氢原子的径向概率密度

M
nl


( 2Z )3 (n l 1)! na0 2n[(n l)!]3
设 x 2Z r,
na0
L2l 1 nl
(
x)
是缔合(连带)拉盖尔多项式。
下标n + l表示拉盖尔多项式阶数，即n + l阶拉盖尔多项 式Ln+l(x)；上标2l + 1表示对Ln + l(x)求2l + 1阶导数。
当n = 4时，曲 线族如图所示。
当n = 5时，曲 线族如图所示。
当n = 6时，曲 线族如图所示。
当n = 7时，曲 线族如图所示。
比较这些图可知：
对于主量子数n来 说，角量子数l可取 0，1，...，n – 1， 共n个值，每条曲 线有n - l个峰。当l = n – 1时，峰值出 现在r = n2a0处，这 个峰比其他曲线的
(x)
nl (1)k [(n+l)!]2 xk2l1 k2l1 k !(n l k )! (k 2l 1)!
设k - 2l – 1 = i，即k = i + 2l + 1，可得
L2l 1 nl
(
x)

nl 1 i0
(n

(1)i+1[(n+l)!]2 l 1 i)!(2l+1+i)!i!
*{范例14.9} 氢原子的角向概率密度和径向概率密度
(2)当氢原子主量子数n一定时，各种角量子数 的径向概率密度随距离分布的规律是什么？
[解析](2)氢原子薛定谔方 程的径向分布函数为
Rnl
来自百度文库(r)

M nl
exp(
Z na0
2Z r)(
na0
r)l
L2l 1 nl
(
2Z na0
r)
Z为原子序数(氢原子Z = 1)，a0是第一玻 尔半径， Mnl是归一化常数(以区别Nlm)
*{范例14.9} 氢原子的角向概率密度和径向概率密度
(2)当氢原子主量子数n一定时，各种角量子数 的径向概率密度随距离分布的规律是什么？
n阶拉盖尔
多项式为
Ln
(
x)

k
n 0
(1)k (n!)2 (k !)2 (n k)!
x
k
n多+项l 式阶为拉盖尔Lnl
(
x)

nl k 0
当主量子数n为2时，如果l为 0，径向概率密度有两个峰， 两峰之间有一个节点；如果l 为1，径向概率密度只有一 个峰，峰值出现在r = 4a0处。
当主量子数n为3时，如果l为 0，曲线有3个峰，随着距离
增加，一个峰比一个峰高， 曲线共有2个节点；如果l为1， 曲线有2个峰，1个节点；如 果l为2，曲线只有1个峰，峰 值出现在r = 9a0处。
最高峰还要高一些。
xi
氢原子中的电子出现 在r到dr之间的概率为 wnldr = |Rnl|2r2dr
径向概率 密度为
wnl
(r)
|
Rnl (r)r
|2
M
2 nl
[exp(
Z na0
2Z r)(
na0
r)l
L2nll1 (
2Z na0
r)r]2.
当氢原子主量子数n为1时，角量子数l 只能取0，径向概率密度wnl随距离的增 加先增后减，其峰值出现在r = a0处。
(1)k[(n (k !)2 (n l
l)!]2 k)!
xk
对于幂函数y = xk， y(n) k(k 1)...(k n 1)xkn k ! xkn
其n阶导数为
(k n)!
因此缔合拉盖
尔多项式为
L2l 1 nl
(
x)

d 2l 1 dx 2l 1
Lnl