氢原子的径向概率密度

合集下载

氢原子

电子相对核的运动方程
2 2 U E 2 2 2 2 x y z
（4）
我们感兴趣的是描述氢原子的内部状态的方程(4)，它描述一个质量为的粒子在势能为 U e s2 r 的力场中的运动。这是一个电子相对于核运动的波函数 r 所满足的方程，相对运动能量 E 就是电子的能级。这与上节电子在库仑场中运动的内容一致，按照上节的讨论 e n 1, 2 , 3, E 能量本征值（5） 2 n
6
3.4 氢原子（续6）
（2）基态能
E1
es
4
2 2
1 3 .6
es
2
2 4
电子伏
1 3 .6 eV
基态氢原子电离的能量：E （3）氢原子谱线系统由高能级 E n 低能级 E n 时，辐射一个光子，其频率
v E nE h
n
E1
电离能
1 1 R c 2 2 n n
电子相对核的坐标
质心坐标
X
Y
折合质量
x x1 x 2 y y1 y 2 z z z 1 2
势能
U ( x, y, z) ze s
m 1 x1 m 2 x 2 m1 m 2
m 1 y1 m 2 y 2 m1 m 2

m1m 2 m1 m 2
z
P-态电子
Y1 0
2
z
W10

y
x
Z
Y1 1
2
z

W 1, 1

y
x
16
3.4 氢原子（续16）

14.10量子物理之氢原子的电子云图和概率密度等值面图

对于4d态电子，当m = 0时，概率密度分为上下双峰，上下还有两包，左右还有四双包。彩色电子云图分上下左右八片，上下的中间两片比较鲜艳。概率密度的等值面是六个曲面，上下四个是封闭曲面，中间两个是环面。
对于4d态电子，当m = ±1时，概率密度分为对称的四峰和四包。彩色电子云图分为四角对称的八片。概率密度的等值面是上下四个分立的环面。
对于4f态电子，当m =±2时，概率密度分为上下左右四峰和左右两包。彩色电子云图分上下左右六片，上下四片比较鲜艳。概率密度的等值面是三个曲面，上下两个是封闭曲面，中间一个是环面。
对于4f态电子，当m = ±2时，概率密度分为对称的四峰，与m = ±1的3d态电子类似。彩色电子云图分为四角对称的四片。概率密度的等值面是上下两个分立的环面，其形状与3d态(m = ±1)电子的概率密度形状相似。
MATLAB可视化大学物理学
第十四章结束湖南大学物电院子，当磁量子数m = 0时，概率密度曲面形成上下双峰，峰顶比较圆。上下两片电子云是双峰的投影，等值线分别围绕着两个峰。概率密度的等值面是两个分立的闭合曲面，由此可知：上下两片电子云是分立。
对于2p态电子，当m = ±1时，概率密度曲面分为左右双峰。在彩色电子云图中，左右两片电子云是双峰的投影。概率密度的等值面是中间空心的环面，左右两片电子云是绕z轴联成一体的。
对于4p态电子，当m = 0时，概率密度除了上下双峰之外，还有四个波包，比m = 0的3p态电子多两个波包。彩色电子云图分为上下六片，相邻的波峰和波包是分开的，等值线分别围绕着各自的波峰和波包。概率密度的等值面是上下六个分立的闭合曲面。
对于4p态电子，当m = ±1时，概率密度分为左右双峰和四个波包，比m = ±1的4p态电子多一对波包。彩色电子云图分为左右对称的六片。概率密度的等值面是三个空心的环面，环面层层相套，三个环面是相似的。

大学物理学电子教案氢原子的量子理论简介

可容纳的电子数为
n1
Nn22l12n2
21
l0
01 sp
2 d
3 f
4 g
5 h
6 i
Nn
1K 2
2
2L 2 6
8
3 M 2 6 10
18
4 N 2 6 10 14
32
5 O 2 6 10 14 18
50
6 P 2 6 10 14 18 22
72
7 Q 2 6 10 14 18 22 26 98
例题：试确定基态氦原子中电子的量子数。
2、角动量量子化及角量子数
求解氢原子波函数的经度方程，可得氢原子中电子的角动量是量子化的
L ll 1 h ll 1 l 0 ,1 ,2 , ,n 1 2
其中l 叫做轨道角动量量子数或角量子数。
讨论：
•波耳理论的L=nh/2，最小值为h/2；而量子力学得出角
动量的最小值为0。实验证明，量子力学得结论是正确的；
Rnl2r2d r n 2lrdr| n0 |2
径向概率密度为：
pnl
(r)
2 nl
(r)
1s 2s 3s
| n1 |2
2p
| n2 |2
4s r
3p
4p
r
3d 4d
r
15
19-10 多电子原子中的电子分布
一、电子自旋自旋磁量子数
1、斯特恩－盖拉赫实验
银原子通过狭缝，经过不均匀磁场后，打
在照相底板上。s 态
23
小结
• 氢原子的量子理论简介 • 氢原子的定态薛定谔方程 • 三个量子数 • 氢原子在基态时的径向波函数和电子的分布概率
• 多电子原子中的电子分布 • 电子自旋自旋磁量子数 • 四个量子数 • 多电子原子中的电子分布

§3-3氢原子量子理论电子的概率分布

§3-3 氢原子理论
电子的概率分布
一、电子概率的径向分布
d体积元内的概率应表示为
nlm
nlm
d
Rnl (r)Ylm ( ,) 2 r 2 sindrdd
Rnl (r) 2 r 2dr Ylm ( ,) 2 sindd
在半径为r到r+dr的球壳内发现电子的概率为
wnl (r)dr
π 0
2π 0
(r)]
0
（r为最概然半径）
可以证明，对于n-l-1 = 0 , n 1, 2,
这与玻尔理论中各能级所对应的圆形轨道半径公
式完全一致。
二、电子概率的角度分布
立体角d = sin d d内发现电子的概率为
wlm (,)d
0
Rnl
(r)Ylm (,)
2 r 2dr sin
d
d
Ylm (,) 2 sin d d = Ylm (,) 2 d
式中wlm (, )是电子出现在相应立体角内的概率
密度，称为电子概率的角度分布函数。
3
在上式中，由于
Ylm(,) 2 Nl2m[Plm (cos)]2 e-im eim Nl2m[Plm (cos)]2
与无关,所以角度分布函数wlm(,)是以z轴
Rnl (r)
2 r 2dr Ylm ( ,)
2
s in d d
Rn2l (r )r 2dr
式中wnl (r) Rn2l (r)r2 是电子出现在相应球壳内的概
率密度，称为电子概率的径向分布函数。
1
一些低量子数的径向概率分布曲线
2
对分布函数的一阶导数等于零求得
d dr
wnl
(r)
d dr

物理-氢原子和类氢原子

r
驻波
计算表明径向波函数
的节点数
通常把节点数为零（
）的“态”，称为
圆轨道，例如：1s, 2p, 3d, …，它们极大值的位
置：
，其中是第一玻尔轨道半径。
§2. 量子力学对（类）氢原子的描述
➢电子的几率密度随角度的变化
电子在附近的立体角内的几率：
Y0,0 ( ,)
1
4
Y2,0 ( ,)
1 (3 cos2 1) 4
Y1,0 ( ,)
1 cos 4
Y2,1 ( ,)
1 sin cos ei 4
Y1,1 ( ,)
1
4
sin ei
Y2,2 ( ,)
1 sin2 ei2 4
§2. 量子力学对（类）氢原子的描述
粒子概率分布随角度的变化|Ylm|2，与φ角无关
Y00 2
Y10 2
实验数据和理论结果之差异可以通过考虑原子核的质量得
到消除。即把电子质量m用约化质量 = mM/(m+M)替代。
对类氢离子（He+, Li++, Be+++等），结果都适用。只需把核电荷+e换为+Ze（Z为核所带正电荷数）。
§2. 量子力学对（类）氢原子的描述
2）氢原子的几个光谱线系
赖曼（Lyman,1914）系：
Y11 2
Y20 2
Y21 2
Y22 2
Y30 2
Y31 2
Y32 2
Y33 2
§2. 量子力学对（类）氢原子的描述
概率密度: 2 Rnl (r)Ylm ( ,) 2 Rnl2 (r) Ylm ( ,) 2 “电子（几率）云”图象

径向分布函数图

n 越小，主峰离核越近；n 越大，主峰离核越
远；好象电子处于某一电子层中。
继续
（三）径向分布函数图
4. 主量子数n 相同，角量子数l 不同时，ns比np
多一个离核较近的峰，np比<nf，说明l不同，
“钻穿”到核附近的能力不同。钻穿能力的顺序
（三）径向分布函数图
2. 径向分布函数图中的峰值有（n-l）个。例如：1s有1个峰；2s有2个峰； 3s有3个峰；
2p有1个峰；3p有2个峰；3d有1个峰等等。峰所在位置就是电子出现概率大的位置。继续
（三）径向分布函数图
3. 角量子数 l 相同，主量子数 n 不同时，主峰离核的距离不同。
是ns>np>nd>nf。
继续
（三）径向分布函数图例如：4s的第一个峰竟钻穿到3d的主峰内去了。
3d和4s轨道的径向分布图
这说明玻尔理论中假设的固定轨道是不存在的，外层电子也可以在内层出现，这正是反映了电子的波动性。
返回
（三）径向分布函数图
设想薄球壳夹层的厚度dr趋向于0，则径向分布函数图表示电子在离核距离为r处的球面上出现的概率。注意这里讲的是概率而不是概率密度。概率 = 概率密度×体积。
图中峰值所对应的横坐标，就是电子出现概率大的区域离核的距离。从径向分布函数图可以看出：
继续
（三）径向分布函数图
1. 在基态氢原子中，电子出现概率的极大值在r＝a0(玻尔半径，a0 =52.9pm)的球面上，从量子力学的观点来理解，玻尔半径就是电子出现概率最大的球壳离核的距离。

p14_10氢原子的电子云图和概率密度等值面图1

根据氢原子的薛定谔方程的解，求概率密度。 (1)为什么说用点的疏密表示的概率密度称为电子云图？ (2)氢原子的概率密度曲面是什么形状？彩色电子云图是如何分布的？通过氢原子最大概率密度的百分之一的等值曲面，说明概率密度的三维形状。
氢原子中的电子在体积元dV之中出现的概率为
wnlmdV = |ψnlm|2dV = |Rnl|2|Θlm|2|Φm|2dV，由于|Φm(φ)|2 = 1/2π，所以电子出现在原子核周围的概率密度为
w n lm (r ,,) |R n l(r )|22 1 π | lm ()|2 r 1 2w n l(r )w lm ()
wlm(θ) = |Θlm(θ)|2/2π是角向概率密度， wnl = |Rnl(r)r|2是径向概率密度。
当主量子数和角量子数确定之后，径向概率密度就
20确21/7定/1 了，磁量子数不同，概率密度的分布就不同。
7
2021/7/1
8
2021/7/1
9
2021/7/1
10
2021/7/1
11
2021/7/1
12
*{范例14.10} 氢原子的电子云图和概率密度等值面图
根据氢原子的薛定谔方程的解，求概率密度。 (1)为什么说用点的疏密表示的概率密度称为电子云图？ (2)氢原子的概率密度曲面是什么形状？彩色电子云图是如何分布的？通过氢原子最大概率密度的百分之一的等值曲面，说明概率密度的三维形状。
*{范例14.10} 氢原子的电子云图和概率密度等值面图
根据氢原子的薛定谔方程的解，求概率密度。 (1)为什么说用点的疏密表示的概率密度称为电子云图？ (2)氢原子的概率密度曲面是什么形状？彩色电子云图是如何分布的？通过氢原子最大概率密度的百分之一的等值曲面，说明概率密度的三维形状。

5第3章概念2-氢原子、守恒量

ˆ 1 ∂F 1 * ˆ ˆ ˆˆ = − ∫ψ HFψ dx + ∫ψ * FHψ dx ∂t ih ih ˆ ˆ ∂F 1 ˆ ˆ ∂F 1 * ˆ ˆ + [F , H ] = + ∫ψ [ F , H ]ψ dx = ∂t ih ∂t ih
即
ˆ d F ∂F 1 ˆ ˆ = + [F , H ] dt ∂t ih
ˆ ˆ [ Lx , p 2 ] = 0
同理所以
ˆ ˆ [ Ly , p 2 ] = 0
ˆ ˆ [ Lz , p 2 ] = 0
v 2 ˆ ˆ [ L, p ] = 0
v ˆ ϕ 因为 L 仅与θ 、有关
因此同理
且 U = U (r )
v ˆ 所以 [ L,U ] = 0
v ˆ ˆ [ L, H ] = 0 ˆ ˆ [L , H ] = 0
θ 有关，无关，而Ylm中关于 ϕ 的部分仅为 e imϕ ，则wlm (θ , ϕ ) 仅与有关，而与ϕ无关，即关于 ϕ 是对称的，所以角向概率分布绕z轴具有旋转对称性。是对称的，所以角向概率分布绕轴具有旋转对称性。轴具有旋转对称性
如： l = 1, m = 0 5．电流分布和磁矩电流密度矢量 v v ih * * J e = qJ = q (ψ nlm∇ψ nlm −ψ nlm∇ψ nlm ) 2µ
[
]
3.径向概率分布 2 2 wnlm dτ = ψ dτ = Rnl 2 (r ) Ylm (θ , ϕ ) r 2 sin θ drdθ dϕ
2 2 * dW ( r ) = Rnl r 2 dr ∫∫ YlmYlm sin θ dθ dϕ = Rnl r 2 dr
径向概率密度

量子力学期末考试题解答题

量子力学期末考试题解答题[标签:标题]篇一：量子力学期末考试题解答题1. 你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。

(简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？)答：Bohr理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。

首先，Bohr的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。

2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率?0，当照射光频率0时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻?10?9s观测到光电子。

爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。

(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。

(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。

氢原子问题

Lz 2
Mz q
Lz 2c
(CGS)
M
2 Y y
2 y2
2 z12
12
M2
2 Z 2
2 1
M
2 Zz
2 z2
所以
2 x22
22
M2
2 X 2
2 2
M
2 X x
2 x2
2 z22
22
M2
2 Z 2
2 2
M
2 Zz
2 z2
12
2 x12
2 y12
2 z12
2 y22
22
M2
2 Y 2
2 2
M
2 Y y
2 y2
12
M2
2 X 2
2．相对方程
我们感兴趣的是原子内部的状态，即电子相对核的运动状态。
2
2
2
相对
U
E
U Zes2 r
只要将粒子质量理解为约化质量就可以完全搬用上节的结果，即
氢原子体系的解为
En
Z 2es4
2n 22
Z 2es2 2a
1 n2
n 1,2,3,
a
h2
es2
玻尔半径
nlm (r, ,) Rnl (r)Ylm ( ,)
径向概率密度
wnl dWnl / dr Rnl 2r 2
在量子力学中，电子并无严格的轨道概念，量子力学认为只能给
出其位置概率分布，有若干极大值。
令 dw d (或r2R2 ) 0，可d求(rR得) 最0 概然半径。
dr dr
例如，基态氢原子
dr
w10
R10 2 r 2
1
3
4e

南京理工大学无机化学周宝晶 lec-10 氢原子的薛定谔方程和原子轨道

• The extra magnetic moment μs associated with angular momentum S (自旋角动量) accounts for the deflection in SGE. • Two equally spaced lined observed in SGE shows that electron has two orientations with respect to magnetic field (磁场).
10
自旋(Spin)量子数 ms / the 4th Quantum Number
11
Spin, A Brief History
• 1921: Stern-Gerlach Experiment (SGE) • January 1925: Pauli had proposed that the
electron should be given an additional fourth quantum number which was a half integer
5
l (角量子数)
0, 1, 2, .. n-1
ml (磁量子数)
-l..0..+l
Total # of orbitals in lth subshell = 2 l + 1
主量子数 n / Principal Quantum Number
• The principal qs the principal shell (壳层) of the orbital. • Higher n means higher energy.
l=3
l=2 l=1 l=0 对单电子原子，如氢，E不受l 影响对多电子原子： E ns E np E nd

氢原子

第十一章原子与激光§11.1 氢原子的能级和能量本征函数一、能量的本征方程、本征值与本征态氢原子的哈密顿算子为()，r U mH +∇-=222ˆ 其中()r e r U 024πε-=其能量本征方程是nlmn nlm E H ψψ=ˆ 解得能量本征值222024132n me E n επ-=及对应本征态()()()ϕφθψm lm nl nlm r R Ξ=其中，n 为主量子数、l 为轨道量子数、m 为磁量子数，记nlnlrR =χ是径向的概率密度幅、Ξθ(lm )是θ横向的概率密度幅、()ϕϕφim m e =是φ方向的概率密度幅。

氢原子能量本征方程的处理思路：1、将直角坐标系转换到球坐标系]sin )(sin sin )([22222221122φθθθθθμμ∂+∂∂+∂∂-=∇-r r r r 2、在质心系中处理：等效准粒子mM Mm+=μ绕质心粒子m M +的运动3、分离变量)()()(),,(φθφθψm lm nl nlm r R r ΦΞ=4、量子数m l n ,,由波函数的标准化条件得到)()()(),,(φθφθψm lm nl nlm r R r ΦΞ=是驻波由原子定态的稳定性，氢原子束缚能量本征态一定是一个概率密度幅驻波，例如：230102a r e a r //-=χ 在0=r 和r →∞处有一个节点，n =1，l=0，节点数2=r N 。

20223021621a r e a r a //-=χ 在r = 0及r →∞各有一个节点，n =2，l=1，2=r N 。

()020302022a r e a r a r /-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=χ 在r =0，r =2a 0及r →∞各有一个节点，n =2，l=0，3=r N 。

它们都是驻波。

量子数n ，l 的节点数r N 有关系：l n N r -+=1 (11-1.1)即n 、l 决定了能量本征态的径向概率密度幅驻波的节点数，图11-1-3，给出一些nl χ驻波及节点分布。

氢原子的径向概率密度.ppt

其n阶导数为
(k n)!
因此缔合拉盖
尔多项式为
L2l 1 nl
(
x)
d 2l 1 dx 2l 1
Lnl
(x)
nl (1)k [(n+l)!]2 xk2l1 k2l1 k !(n l k )! (k 2l 1)!
设k - 2l – 1 = i，即k = i + 2l + 1，可得
Hale Waihona Puke L2l 1 nl对于主量子数n来说，角量子数l可取 0，1，...，n – 1，共n个值，每条曲线有n - l个峰。当l = n – 1时，峰值出现在r = n2a0处，这个峰比其他曲线的
最高峰还要高一些。
r)r]2.
当氢原子主量子数n为1时，角量子数l 只能取0，径向概率密度wnl随距离的增加先增后减，其峰值出现在r = a0处。
当主量子数n为2时，如果l为 0，径向概率密度有两个峰，两峰之间有一个节点；如果l 为1，径向概率密度只有一个峰，峰值出现在r = 4a0处。
当主量子数n为3时，如果l为 0，曲线有3个峰，随着距离
M
nl
( 2Z )3 (n l 1)! na0 2n[(n l)!]3
设 x 2Z r,
na0
L2l 1 nl
(
x)
是缔合(连带)拉盖尔多项式。
下标n + l表示拉盖尔多项式阶数，即n + l阶拉盖尔多项式Ln+l(x)；上标2l + 1表示对Ln + l(x)求2l + 1阶导数。
*{范例14.9} 氢原子的角向概率密度和径向概率密度
*{范例14.9} 氢原子的角向概率密度和径向概率密度

氢原子的概率密度分布

０４
０３
（１．５）
０２
０，
注意（１．５）式给出的径向概率密度是指半径ｒ到ｒ — ｒ＋ｄｒ球壳内找到电子的概率，而并不是说在半径
为ｒ的球面上真实空间的概率密度．比如我们熟知的玻尔半径，是指在ｌ＇￣－Ｃｔ的球面上总的概率取极大值，
关键词：氢原子；概率密度；数值计算
中图分类号：０４１３．１文献标志码：Ａ文章编号：１６７３ —１８Ｏ８（２０１５）０３－００１０－０６
作为量子力学的一个经典问题，氢原子一直是人们关注的对象，近年来关于氢原子概率密度在空间分
０
＝２（ｒ）ｒ２ｄｒ
（１．２）
粒子的径向函数为
ｅ
（ｒ２１＋（ｒ），
１
（１．３）
式中，是归一化常数．归一化常数为
，３、２
＝＝＝
）
ｊ一
４
［收稿日期］２０１５－０５－１１
｛ ’ 。｛
图１．２分别取ｎ＝２，０，ｎ＝２，ｌ＝１时的２（ｒ）。
【实线）和Ｒ２（：ｒ）（点线）分布曲线。
ｔ ●
、
ｆ＼１Ｏ｝
而不是在ｒ＝０的空间点上取极值．而空间沿径向真实的概率密度值应该由Ｒ：（ｒ）给出．为了考察氢原子的

结构化学习题(1)

《结构化学》第二章习题2001 在直角坐标系下， Li 2+ 的Schr ödinger 方程为________________ 。

2002 已知类氢离子 He +的某一状态波函数为：()022-023021e 222241a r a r a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π 则此状态的能量为 )(a ，此状态的角动量的平方值为 )(b ，此状态角动量在 z 方向的分量为 )(c ，此状态的 n ， l ， m 值分别为 )(d ，此状态角度分布的节面数为 )(e 。

2003已知 Li 2+ 的 1s 波函数为03130s1e 27a r -α⎥⎦⎤⎢⎣⎡π=ψ (1)计算 1s 电子径向分布函数最大值离核的距离；(2)计算 1s 电子离核平均距离； (3)计算 1s 电子概率密度最大处离核的距离。

（10!d e +∞-=⎰n ax n a n x x ）2004 写出 Be 原子的 Schr ödinger 方程。

2005 已知类氢离子 He +的某一状态波函数为 ()02-023021e 222241a r a r a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π则此状态最大概率密度处的 r 值为 )(a ，此状态最大概率密度处的径向分布函数值为 )(b ，此状态径向分布函数最大处的 r 值为 )(c 。

2006 在多电子原子中，单个电子的动能算符均为2228∇π-mh 所以每个电子的动能都是相等的，对吗？ ________ 。

2007 原子轨道是指原子中的单电子波函数，所以一个原子轨道只能容纳一个电子，对吗？ ______ 。

2008 原子轨道是原子中的单电子波函数，每个原子轨道只能容纳 ______个电子。

2009 H 原子的()υr,θψ,可以写作()()()υθr R ΦΘ,,三个函数的乘积，这三个函数分别由量子数 (a) ，(b)， (c) 来规定。

原子物理学2-4

d 2Φ 其中ml、λ为常数其中为常数 + m l2Φ = 0 dϕ 2 d dΘ m l2 1 sin θ + λ − Θ = 0 2 dθ sin θ d θ sin θ Ze 2 λ 1 d 2 dR 2 m − 2 R = 0 r + 2 E + 2 r dr dr h 4πε 0 r r
电子态和原子态的表示：习惯用小写字母、、、电子态和原子态的表示：习惯用小写字母s、p、d、 f、g、h、i...表示、1、2、3...的电子态或处于这表示l=0、、、的电子态或处于这、、、表示些态上的电子，字母前表示主量子数，些态上的电子，字母前表示主量子数，如2p表示表示 n=2、l=1的电子，用大写字母S、P、D、F...表示、的电子，用大写字母、、、表示的电子 l=0、1、2、3...的能级或原子态。的能级或原子态。、、、的能级或原子态轨道角动量及量子数l 轨道角动量及量子数轨道角动量大小为 L = l (l + 1)h 磁量子数m 磁量子数 l Lz为轨道总角动量在z方向的分量为轨道总角动量L在方向的分量
u ∗ ,l , m e n
l
−i
Ent h
= R n2,l Θ l2,m Φ m l Φ
l
∗
ml
电子的概率随 ϕ 的分布
P (ϕ ) = Φ m l Φ
∗
ml
= A2
在不同 ϕ 角，单位体积内电子概率分布是相同的
概率密度角分布对z轴是对称的；电子随 ϕ 的概率密度角分布对z轴是对称的；对l=0的状态，是球对称的； =0的状态，是球对称的； =0的状态 l值相同 l不同时，概率密度随 l增大从集中于z轴值相同m 值相同不同时，概率密度随m 增大从集中于z 向与z轴垂直方向移动；向与z轴垂直方向移动；可以证明，对于同一l值不同值不同m 可以证明，对于同一值不同 l的各状态的概率密度之和与 θ 、 ϕ 无关，具有球对称性。无关，具有球对称性。电子径向概率随r的分布电子径向概率随的分布

量子力学中的氢原子和波函数的密度

量子力学中的氢原子和波函数的密度量子力学是一门研究微观物质和能量的科学，它在20世纪初由一些杰出的科学家，如普朗克、玻尔和薛定谔等人所创立。

量子力学的基本原理和概念被广泛应用于物理、化学、生物和工程学等领域，它已经成为现代科学的基石之一。

在量子力学理论中，氢原子是研究的重点之一。

氢原子是最简单的原子，由一个质子和一个电子组成。

根据薛定谔方程，氢原子的波函数可以通过解析方法得到。

波函数描述了氢原子在不同位置和动量下的概率分布，它是描述微观粒子行为的数学函数。

在氢原子中，波函数的密度分布对于理解原子结构和化学反应具有重要意义。

首先，让我们讨论氢原子的波函数及其密度分布。

氢原子的波函数通常由球坐标系来描述，它包含了径向部分和角向部分。

径向部分描述了原子的位置，角向部分描述了原子的方向。

波函数的模方给出了粒子在不同空间点被测到的概率密度。

在标准的氢原子波函数中，第一个量子数n决定了波函数的主要特征。

主量子数n越大，波函数的径向部分在原子核周围的振动更加复杂。

而角向部分则由两个量子数l和m决定。

量子数l决定了角动量的大小，量子数m决定了角动量在空间中的方向。

角向部分的形状决定了波函数的轨道形状。

通过计算波函数的模方，我们可以得到氢原子中电子在不同位置的概率分布情况。

由于氢原子的波函数具有球对称性，电子的概率分布也将具有球对称性。

这意味着在氢原子中，电子更有可能分布在离原子核较远的区域，而几乎没有几率在原子核附近出现。

根据波函数的密度分布，我们可以绘制出氢原子的电子云图。

电子云图以原子核为中心，展示了电子存在的区域。

电子云图可以帮助我们理解原子的形状和大小。

对于氢原子来说，电子云图呈现出球对称的形状。

除了电子云图，我们还可以通过波函数的其他性质来揭示氢原子的特性。

例如，波函数的平均值给出了氢原子的位置和动量的期望值。

位置算符和动量算符作用在波函数上，得到的数值可以给出氢原子在不同状态下的平均位置和动量。

此外，我们还可以利用波函数的密度分布来研究氢原子的能级结构。

氢原子的状态波函数分别是是玻尔半径求这三个态的概率

氢原子的状态波函数分别是1,1,0,1,2-+===l m l n 。

nm a 29.50=是玻尔半%氢原子的电子概率分布图(n=2,l=1,ml=0,-1,+1) clearfor i=1:1000;k=(i-1)/5; %k=r/ao,ao 是玻尔半径p(i)=round(1000*k*k*exp(-k)); %2s 氢原子径向概率密度函数 angle=(2*pi*rand(p(i),1))'; %由随机数决定电子的角位置 %sita=(cos(angle)).^2; %sita 的概率密度(ml=0) sita=(sin(angle)).^2; %sita 的概率密度(ml=-1,+1) r=k*ones(p(i),1)'; %电子的径向位置x=r.*sita.*cos(angle); %将电子的位置换算为直角坐标（x ） y=r.*sita.*sin(angle); %将电子的位置换算为直角坐标（y ） plot(x,y,'b.') %逐点描出氢原子的电子概论分布图 axis([-10 10 -10 10]) hold on endtitle('2p_0氢原子的电子概论分布图')%title('2p_1,2p_-_1氢原子的电子概论分布图')（2）电子密度分布曲线cleark=[0:0.1:30]; %k=r/a0theta=pi/3;a0=5.29;P210=a0^(-3)/(32*pi^2)*k.^2.*exp(-k)*(cos(theta))^2; %2P0( n=2.l=1,ml=0)氢原子径向概率密度函数P211=a0^(-3)/(128*pi^2)*k.^2.*exp(-k)*(sin(theta))^2; %2P1(n=2.l=1,m l=1)氢原子径向概率密度函数%P2111=a0^(-3)/(128*pi^2)*k.^2.*exp(-k)*(sin(theta))^2;%2P-1(n=2.l=1,m l=-1)氢原子径向概率密度函数氢原子径向概率密度函数plot(k,P210,k,P211,'r')xlabel('k=r/a_0')ylabel('氢原子的电子概率密度P')title('氢原子的电子概率曲线')legend('2p_0','2p_1,2p_-_1')grid on。