初中数学中考几何模型(无答案)
初中数学几何模型
全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型：说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是°、°、°、°及有一个角是°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇度旋度，造等边三角形遇度旋度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋度，造中心对称说明：IS 8模型变形BEFcEB说明：说明：nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnnn口叩皿皿皿皿皿中点模型 边构诗中｛fflt 逢阳点闵iS 中幽城 几何最值模型 VH *h 轴对称模型 对称最值 线mi 差模型 fflftffw 同侧"异侧两蜒段之利罐短视它 同侧、异删芮线投之羞媪小槐型 四边形周怏垠小根地 三角形眉长 必小檢哩三线穀之和 她知爬制过桥模取旋转最值说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。
简拼模型三角形j四边形E 面积等分说明：说明：3045602说明：ACOCOAA 模型一：手拉手模型-旋转型全等<2)等濮的AA Mfr=血°拟述°均为等媵直甬M 册A 结险(DA (UCtAO^l>j 超乙他»③。
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九年级数学几何模型
九年级数学几何模型一、相似三角形模型。
1. A字模型。
- 基本图形：在三角形ABC中，DE平行于BC，则三角形ADE相似于三角形ABC。
- 性质：对应边成比例，即(AD)/(AB)=(AE)/(AC)=(DE)/(BC)。
- 应用：在很多几何证明和计算中，若已知平行关系和部分线段长度，可以利用此模型求出其他线段的长度。
例如，已知AD = 2，AB = 5，BC = 6，求DE的长度。
根据(DE)/(BC)=(AD)/(AB)，可得DE=(AD× BC)/(AB)=(2×6)/(5)=(12)/(5)。
2. 8字模型。
- 基本图形：若有四边形ABDC，其中AB与CD相交于点E，则三角形AEC相似于三角形BED。
- 性质：(AE)/(BE)=(CE)/(DE)，并且AE× DE = BE× CE。
- 应用：在求解线段比例关系或者证明线段乘积相等时经常用到。
比如在一个几何图形中，已知AE = 3，BE = 4，CE = 6，求DE的长度。
根据AE× DE = BE×CE，可得DE=(BE× CE)/(AE)=(4×6)/(3)=8。
3. 母子相似三角形模型（射影定理模型）- 基本图形：在直角三角形ABC中，∠ ACB = 90^∘，CD垂直于AB于点D。
则三角形ACD相似于三角形ABC，三角形BCD相似于三角形BAC，三角形ACD相似于三角形CBD。
- 性质：- 在三角形ACD与三角形ABC中，AC^2=AD× AB。
- 在三角形BCD与三角形BAC中，BC^2=BD× AB。
- 在三角形ACD与三角形CBD中，CD^2=AD× BD。
- 应用：在涉及直角三角形中的线段长度计算和比例关系证明时非常有用。
例如，在直角三角形ABC中，∠ ACB = 90^∘，CD垂直于AB，AD = 2，DB = 8，求AC 的长度。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：01 双中点(线段)模型与双角平分线(角)模型(学生版)
专题01.双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。
这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。
但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
模型1.线段的双中点模型图1图21）双中点模型（两线段无公共部分）条件：如图1，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC .2）双中点模型（两线段有公共部分）条件：如图2，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC .．．A ．20ACB ．DC 例3．（2022秋·湖北咸宁·七年级统考期末）1例5．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）直线(1)若20AB cm ，求MN 的长；(2)初步感知：(1)如图1，点C 在线段AB 上，若2k ，则AC __________；若3AC BC ，则k例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB 向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．模型2.双角平分线模型图1图2图31）双角平分线模型（两个角无公共部分）条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12DOE AOC .2）双角平分线模型（两个角有公共部分）条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12DOE AOC .3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）条件：如图3，已知∠AOB +∠BOC+∠AOC=360°，OP 1平分∠AOC 、OP 2平分∠BOC ；结论：1211802POP AOB .A ．70 B ．100例2．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线,BOC OF 平分AOB ，以下四个结论：③AOD BOC ；④EOF例3．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，22OA OB 、分别是1AOM 和MOB 分别是1n A OM 和1n MOB 的平分线，则例4．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，的内部，OE 是∠AOB 的一条三等分线．请从A ．当∠BOC ＝30°时，∠EOD 的度数为B ．当∠BOC ＝α°时，∠EOD 的度数为例5．（2023·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：别平分AOB 、AOC ，求 °<180n m ，OD 、OE 分别平分例6．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在AOB 的内部画射线OC ，射线OC 把AOB 分成两个角，分别为AOC 和BOC ，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC 为AOB 的“3等分线”．(1)若90AOB ，射线OC 为AOB 的“3等分线”，则AOC 的度数为__________．(2)如图2，已知60AOB ，过点O 在AOB 外部作射线OP ．若,,OA OP OB 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求AOP 的度数（180AOP ）．例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点P 是直线AB 上一点，∠CPD 是直角，PE 平分∠BPC ．（1）如图1，若∠APC =40°，求∠DPE 的度数；（2）如图1，若∠APC = ，直接写出∠DPE 的度数（用含 的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图1中的∠CPD 按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠APC 和∠DPE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．A ．①②③B ．③④C ．①②④A ．20225102 B ．20235102 C ．20225102 D ．20235102A ．30B ．25 7．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在别为AOC 和BOC ，若AOC 60AOB ，射线OC 为AOB①在图1的情况下，在DBC 内作DBF ②在旋转过程中，若BM 平分DBA ，BN ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成④DBC ABE 的角度恒为105 ．其中正确的结论个数为（A ．1个B ．2个11．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点713．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）D 、E 分别为线段AB BC 、中点，直线14．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段QD16．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数MP 时，NP ；(1)若点P在线段AB上运动，当7AB ，点P以1cm/s (2)【拓展与延伸】已知线段10cm3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点(1)根据题意，小明求得MN ______于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB a=，C是线段AB上任意一点（不与点(1)如图1，求证：AOB EOB DOE ；(2)如图2，作OF 平分AOB (3)如图3，在（2）的条件下，当90AOD 时，作射线OA 的反向延长线AOH AOE ，反向延长射线OE 得到射线OQ ，射线OP 在HOQ 内部，26BOC DOF ，5271GOH POQ EOF ，求BOP 的度数．（2）若将（1）中的条件“ON 平分BOC ，OM 平分且AOB ，求AOM BON 的度数；（3）如图2，若ON 、OC 在AOB 的外部时，ON 时，猜想：MON 与 的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．232023··(1)如图1，当OB ，OC 重合时，求EOF 的度数；EOF 的度数；(3)当AOB 和COD 的位置如图325．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）为何值时，26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠AOB ＝60°，∠COD ＝90°，OM 、ON 分别平分∠AOC 、∠BOD ．（1）如图1，OC 在∠AOB 内部时，∠AOD +∠BOC ＝，∠BOD ﹣∠AOC ＝；（2）如图2，OC 在∠AOB 内部时，求∠MON 的度数；（3）如图3，∠AOB ，∠COD 的边OA 、OD 在同一直线上，将∠AOB 绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB 边第一次与OD 边重合为止，整个运动过程时间记为t 秒．若∠MON ＝5∠BOC 时，求出对应的t 值及∠AOD 的度数．27．（2023·江苏·七年级专题练习）如图1，射线OC 在AOB 的内部，图中共有3个角：AOB 、AOC 、BOC ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是AOB 的“定分线”．（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，若MPN a ，且射线PQ 是MPN 的“定分线”，则MPQ ________(用含a 的代数式表示出所有可能的结果）；（3）如图2，若MPN =48°，且射线PQ 绕点P 从PN 位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ 与PN 成90°时停止旋转，旋转的时间为t 秒；同时射线PM 绕点P 以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ 同时停止．当PQ 是MPN 的“定分线”时，求t 的值．。
中考必会几何模型,31个模型轻松搞定所有中考几何题无答案
中考必会几何模型——31个模型轻松搞定所有中考几何题目录第一章8字模型与飞镖模型 (2)第二章角平分线四大模型 (5)第三章截长补短 (10)第四章手拉手模型 (13)第五章三垂直全等模型 (15)第六章将军饮马 (18)第七章蚂蚁行程 (24)第八章中点四大模型 (27)第九章半角模型 (33)第十章相似模型 (37)第十一章圆中的辅助线 (47)第十二章辅助圆 (54)第一章 8字模型与飞镖模型模型1 角的“8”字模型如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
结论：∠A +∠D =∠B +∠C 。
模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = ；（2）如图②，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = 。
热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD +∠B +∠C +∠D +∠E = ； （2）如图②，求∠CAD +∠B +∠ACE +∠D +∠E = 。
2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H = 。
OD CBA图12图EABCDEFD CBAOO图12图EABC DEDCBA模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D =∠A +∠B +∠C 。
模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。
探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。
热搜精练1．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = ；2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D = 。
HG EF DCBADCBAMDCBAO135EFDC BA模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
结论：AC +BD >AD +BC 。
初中数学必背几何模型
一、中点模型1．倍长中线条件：AD 为△ABC 的中线辅助线：延长AD 到点E ，使得AD =DE结论：△ADC ≌△EDB ，AC ∥BE2．连中点构造中位线条件：点D 、E 为AB 、AC 的中点辅助线：连接DE 结论：12DE BC DE BC =，∥3．倍长一边构造中位线条件：点D 为AB 的中点辅助线：延长AC 到点E ，使得AC =CE ，连接BE 结论：12DC BE DC BE =，∥4．构造三线合一条件：AB =AC辅助线：取BC 的中点D ，连接AD结论：AD ⊥BC ，∠BAD =∠CADB5．构造斜边中线条件：∠ABC =90°辅助线：取AC 的中点D ，连接BD 结论：12BD AC AD CD ===二、角平分线模型6．往角两边作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作AB 、AC 的垂线，垂足分别为E 、F结论：△ADE ≌△ADF7．在角的两边截取等长线段条件：AD 平分∠BAC辅助线：在AB 、AC 上取点E 、F ，满足AE =AF ，连接DE 、DF 结论：△ADE ≌△ADF8．过角平分线上一点作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作EF ⊥AD ，交AB 、AC 于点E 、FD CBB CCC结论：△ADE ≌△ADF三、双角平分线模型9．内内模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB 结论：1902D A ∠=︒+∠10．内外模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACE 结论：12D A ∠=∠11．外外模型条件：BD 、CD 平分∠CBE 、∠BCF 结论：1902D A ∠=︒-∠四、平行线模型12．猪蹄模型CA BCC ED条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D =∠BED13．铅笔头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D +∠BED =360°14．鸟头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠D +∠BED =∠B15．平行线+角平分线模型条件：AB ∥CD ，CE 平分∠ACD结论：AC =AE五、等积模型16．等底等高条件：AD ∥BCFAFBC结论：ABC DBC S S =，ADB ADC S S =17．等高模型条件：B 、C 、D 共线结论：::ABD ADC S S BD CD =18．等底模型条件：AE 、DE 为△ABC 、△DBC 边BC 上的高结论：::ABC DBC S S AE DE =六、对称半角模型19．对称半角模型-含45°角的三角形条件：∠BAC =45°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等腰直角三角形20．对称半角模型-含30°角的三角形B CB C DED条件：∠BAC =30°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等边三角形七、旋转半角模型21．旋转半角模型-等腰直角三角形条件：AB =AC ，∠BAC =90°，∠MAN =45°辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACM ＇ 结论：ANM ANM '≌，222BM CN MN +=22．旋转半角模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，BD =CD ，∠BDC =120°， ∠MDN =60°辅助线：将△BDM 绕点D 顺时针旋转120°，得到△DCM ＇ 结论：NDM NDM '≌，BM CN MN +=23．旋转半角模型-正方形条件：正方形ABCD ，∠MAN =45°，FEAM'M CAB辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADM ＇ 结论：NAM NAM '≌，BM DN MN +=八、自旋转模型24．自旋转模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，点P 为其内任意一点辅助线：将△BAP 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BCP ＇ 结论：△BPP ＇是等边三角形25．自旋转模型-等腰直角三角形条件：△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点P 为△ABC 内任 意一点辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰直角三角形26．自旋转模型-等腰三角形条件：△ABC 中，AB =AC ，点P 为△ABC 内任意一点，∠BAC =α 辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转α，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰三角形M'DNCBAB九、手拉手模型29．手拉手模型-等边三角形条件：△ABC和△CDE都是等边三角形结论：△ACE≌△BCD27．手拉手模型-等腰直角三角形条件：△ABC和△CDE都是等腰直角三角形结论：△ACE≌△BCD，AE⊥BDEE28．手拉手模型-等腰三角形条件：△ABC 和△CDE 都是等腰三角形，CA =CB ， CD =CE ，且∠ACB =∠DCE结论：△ACE ≌△BCD30．手拉手模型-正方形条件：四边形ABCD 和AEFH 都是正方形结论：△ABE ≌△ADH ，BE ⊥DH十、最短路程模型31．直线同侧两线段之和最小（将军饮马）条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作点A 关于直线l 的对称点A ＇，连接A ＇B 结论：点P 为A ＇B 和l 交点时，AP +BP 最小C32．直线异侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 异侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小33．直线同侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小34．过桥模型（将军饮马）条件：A 、B 为定点，l 1∥l 2，MN 为定长线段且MN ⊥l 1 辅助线：将点A 向上平移MN 的长度得到A ＇，连接A ＇B 结论：点N 为A ＇B 与l 1交点时，AM +MN +BN 最小35．四边形周长最小（将军饮马）条件：A 、B 为定点，M 、N 为角两边上的动点辅助线：作点A 、B 关于角两边的对称点A ＇、B ＇，连接 lAlAll 1l 2A＇B＇结论：M、N为A＇B＇与角两边交点时，四边形ABMN的周长最小B'36．三角形周长最小（将军饮马）条件：A为定点，B、C为角两边上的动点辅助线：作点A关于角两边的对称点A＇、A＂，连接A＇A＂结论：B、C为A＇A＂与角两边交点时，△ABC的周长最小37．旋转类最短路程模型条件：线段OA=a，OB=b（a＞b），OB绕点O在平面内旋转结论：点B与点N重合时，AB最小；点B与点M重合时，AB最大十一、基本相似模型38．A字型条件：BC∥DE结论：△ABC∽△ADE条件：∠ABC =∠ADE结论：△ABC ∽△ADE39．8字型条件：AB ∥CD结论：△AOB ∽△DOC条件：∠BAO =∠DCO结论：△AOB ∽△COD40．母子型条件：△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB结论：△ABC ∽△ACD ∽△CBD41．一线三等角模型条件：∠B =∠D =∠ACE结论：△ABC ∽△CDECBCC A42．手拉手相似模型条件：△ABC ∽△ADE结论：△ACE ∽△ABD十二、对角互补模型43．对角互补模型-90°全等型条件：∠AOB =∠DCE =90°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OEOC ，212OECD S OC 四边形CB ACE AB D CDD44．对角互补模型-120°全等型条件：∠AOB =120°，∠DCE =60°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OE =OC ，24OECD S =四边形45．对角互补模型-任意角全等型条件：∠AOB =2α，∠DCE =180°-2α，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，2cos OD OE OC α+=⋅， 2sin cos OEC OCD S S OC αα+=⋅46．邻边相等的对角互补模型条件：四边形ABCD 中，AB =AD ，∠ABC +∠ADC =180°D BAN E OB辅助线：延长CD 到E ，使得DE =BC ，连接AE结论：△ABC ≌△ADE ，CA 平分∠BCD十三、隐圆模型47．动点定长模型条件：AB =AC =AP ，点P 为动点结论：点B 、C 、P 三点共圆，点A 为圆心，AB 为半径48．直角圆周角模型条件：点C 为动点，∠ACB =90°结论：点A 、B 、C 三点共圆，线段AB 的中点为圆心，线段 AB 为直径49．定弦定长模型条件：点P 为动点，固定线段AB 所对的动角∠APB 为定值 结论：点A 、B 、P 三点共圆，线段AB 和BP 的中垂线的交点 为圆心BA50．四点共圆模型①条件：点A 、C 为动点，∠BAD +∠BCD =180°结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心当∠BAD =∠BCD =90°，BD 为直径51．四点共圆模型②条件：线段AB 为固定长度，点D 为动点，∠C =∠D结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心CCA当∠C=∠D=90°，AB为直径。
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CO ACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
中考必会几何模型,31个模型轻松搞定所有中考几何题-12章全
中考必会几何模型——31个模型轻松搞定所有中考几何题说明：本文档由***************收集自网络并整理。
大家如有兴趣，可以发送一些教学资料到本人电子邮箱，多谢！目录第一章8字模型与飞镖模型 (2)第二章角平分线四大模型 (5)第三章截长补短 (10)第四章手拉手模型 (13)第五章三垂直全等模型 (15)第六章将军饮马 (18)第七章蚂蚁行程 (24)第八章中点四大模型 (27)第九章半角模型 (33)第十章相似模型 (37)第十一章圆中的辅助线 (47)第十二章辅助圆 (54)第一章 8字模型与飞镖模型模型1 角的“8”字模型如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
结论：∠A +∠D =∠B +∠C 。
模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = ；（2）如图②，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = 。
热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD +∠B +∠C +∠D +∠E = ； （2）如图②，求∠CAD +∠B +∠ACE +∠D +∠E = 。
2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H = 。
OD CBA图12图EABCDEFD CBAOO图12图EABC DEDCBA模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D =∠A +∠B +∠C 。
模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。
探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。
热搜精练1．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = ；2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D = 。
HG EF DCBADCBAMDCBAO135EFDC BA模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
中考数学题中的几何模型
有关“中考数学题”中的几何模型
有关“中考数学题”中的几何模型如下：
1.直角三角形模型：直角三角形是初中数学中常见的几何模型之一，它涉及到勾股定
理、直角三角形的性质等知识点。
在中考数学题中，直角三角形模型通常会出现在与三角形、四边形、圆等相关的题目中。
2.相似三角形模型：相似三角形是初中数学中另一个重要的几何模型，它涉及到相似三
角形的性质、相似三角形的判定条件等知识点。
在中考数学题中，相似三角形模型通常会出现在与三角形、四边形、圆等相关的题目中。
3.梯形模型：梯形是初中数学中常见的几何图形之一，它涉及到梯形的性质、梯形的面
积计算等知识点。
在中考数学题中，梯形模型通常会出现在与四边形、圆等相关的题目中。
4.圆与扇形模型：圆与扇形是初中数学中常见的几何图形之一，它涉及到圆的性质、扇
形的面积计算等知识点。
在中考数学题中，圆与扇形模型通常会出现在与圆、扇形、三角形等相关的题目中。
(完整版)初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CO ACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
中考数学常见的11种几何模型
中考数学常见的11种几何模型一、三角形的不等关系模型：A字型、K字型、X字型1. 三角形两边之和大于第三边；2. 三角形两边之差小于第三边；3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4. 直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半；5. 三角形三个内角之和等于180度。
二、全等、相似模型模型：A字型全等、A字型相似、8字型全等、8字型相似、蝴蝶型全等、蝴蝶型相似、平行型全等、平行型相似、等积模型等。
三、平行四边形模型模型：平行四边形ABCD中，E为AB中点，则：AC、DE互相平分；模型：平行四边形ABCD中，AC、BD交于O，则：AO=CO，BO=DO；模型：平行四边形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。
四、梯形模型模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BE=FE；模型：梯形ABCD中，A、B在直线EF上，则：延长DC交AB延长线于F，则：梯形ABCD面积等于三角形面积的2倍；模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。
五、矩形模型模型：矩形ABCD中，E为BC中点，则：AE平分角BAD；模型：矩形ABCD中，E为AD中点，则：AF平分角ABC；模型：矩形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。
六、多边形模型模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BF=FE；模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。
七、燕尾模型模型：在三角形ABC中，BD平分角ABC，CE平分角ACB，则：点D、E在BC同旁，则：三角形ADE的面积等于三角形ABC面积的一半。
八、风筝模型模型：在三角形ABC中，点D、E在BC上，且AD平分角BAE，则：三角形ABC与三角形ADE的面积相等。
九、铅笔模型模型：在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，则：EF平行于AD，则：矩形ABFE与矩形EFCD相似。
中考数学：初中数学几何模型大全+经典题型含答案
初中数学几何模型大全+经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
2024年中考数学总复习初中数学常考10个几何模型汇总
2024年中考数学总复习初中数学常考10个几何模
型汇总
模型一：“12345”模型
模型二：“半角”模型
对称半角模型
旋转半角模型
模型三：“角平分线”模型
角平分线定理角平分线+垂线=等腰三角形角分线+平行线=等腰三角必呈现
角平分线+垂线=等腰三角形
模型四：“手拉手”模型
条件：1、两个等腰三角形；2、顶角相等；3、顶点重合。
结论：1、手相等；2、三角形全等；3、手的夹角相等；
4、顶点连手的交点得平分。
模型五：“将军饮马”模型
模型六：“中点”模型
【模型1】倍长
1、倍长中线；
2、倍长类中线；
3、中点遇平行延长相交
【模型2】遇多个中点，构造中位线
1.直接连接中点；
2.连对角线取中点再相连
模型七：“邻边相等的对角互补”模型
【模型1】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC=180°
【结论】AC平分∠BCD
【模型2】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°【结论】①∠ACB=∠ACD=45°②BC+CD=V2AC
模型八：“一线三角”模型
【条件】∠EDF=∠B=∠C，且DE=DF
【结论】△BDE=△CFD
模型九：“弦图”模型
【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段【结论】新构成了同心的正方形
模型十：费马点。
2024年中考数学常见几何模型(全国通用)三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型(解析版)
专题06三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型(M 型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：猪蹄模型（M 型）【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM ∥BN ，结论：∠APB =∠A +∠B ；②已知：∠APB =∠A +∠B ，结论：AM ∥BN .如图2，已知：AM ∥BN ，结论：∠P 1+∠P 3=∠A +∠B+∠P 2.如图3，已知：AM ∥BN ，结论：∠P 1+∠P 3+...+∠P 2n+1=∠A +∠B+∠P 2+...+∠P 2n .例1．（2022·河南洛阳·统考二模）如图，AB CD ，30ABM ，45CDM ，则BMD 的度数为（）A ．105B ．90C ．75D ．70【答案】C 【分析】过点M 作ME AB ∥，从而可得AB ME CD ∥∥，则有ABM BME ，CDM DME ，即可求BMD 的度数．【详解】解：过点M 作ME AB ∥，如图，∥∵AB CD ，AB ME CD ∥∥ ，30ABM BME ，45CDM DME ，75BMD BME DME ．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．例2．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O 照射到抛物线上的光线OB ，OC 反射后沿着与PO 平行的方向射出，已知图中46ABO ，88OCD ，则BOC 的度数为（）A ．116B ．124C ．134D ．135【答案】C 【分析】由平行线的性质即可得出46BOP ，88COP ，再根据BOC BOP COP 即可求解．【详解】由题意知AB PO CD ∥∥∴46BOP ABO ，88COP OCD∴134BOC BOP COP 故选：C ．【点睛】题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，牢记性质是解决问题的关键．例3．（2023春·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若AB ∥EF ，用含 、 、 的式子表示x ，应为（）A ．B ．C ．180D ．180【答案】C 【分析】过C 作CD ∥AB ，过M 作MN ∥EF ，推出AB ∥CD ∥MN ∥EF ，根据平行线的性质得出 +∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN ，∠NMF= ，求出∠BCD=180°- ，∠DCM=∠CMN= - ，即可得【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．例4．（2023·广东深圳青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进A．60 B．45【答案】A【分析】延长AB交直线ED于点H∵根据题意得AF【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．例5．（2023春·河南驻马店例6．（2022·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知//AB CD ，请问B Ð，D ，E 有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知//AB CD ，请问B Ð，E ，D 又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知//AB CD ，请问E G ∠∠与B F D ∠∠∠有何关系并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D.（2）∠E+∠B+∠D=360°，理由如下：过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°∴∠B+∠3+∠4+∠D=360°即∠E+∠B+∠D=360°.（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD，则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.模型2：铅笔头模型图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM ∥BN ，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM ∥BN ，结论：∠1+∠2+…+∠n =（n －1）180°.例1．（2023·广东·统考二模）如图所示，已知AB EF ∥，那么BAC ACE CEF （）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出180180BAC ACD DCE CEF ，，进而可得出结论．【详解】过点C 作CD EF ∥，∥Q AB EF ，AB CD EF \∥∥，∴180180BAC ACD DCE CEF ①，②，由①② 得，360BAC ACD DCE CEF ，即360BAC ACE CEF Ð+Ð+Ð=°．故选：C ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．例2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若132 ，262 ，则3 的度数为（）A ．118B ．148C ．150D ．162【答案】C 【分析】过点B 作BA ∥工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．【详解】解：如图，过点B 作BA ∥工作篮底部，3180MBA ，∵工作篮底部与支撑平台平行，BA ∥工作篮底部BA ∥支撑平台，132ABN ，2ABN MBA ∵，262 ，30MBA ，3150 ，故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．例3．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知CD 垂直地面上的直线DF 于点D ，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC 段将绕点C 缓慢向上抬高，AB 段则一直保持水平状态上升（即AB 始终平行于DF ）．在该运动过程中，当112ABC 时，BCD 的度数是（）A ．112B ．138C ．158D ．128【答案】C 【分析】如图所示，过点C 作CM AB ∥，利用平行线的性质得到180180ABC BCM MCD CDF ∠∠，∠∠，进而求出6890BCM MCD ∠，∠，则158BCM D CD C B M ∠∠．【详解】解：如图所示，过点C 作CM AB ∥，∵DF AB ，∴CM AB DF ∥∥，∴180180ABC BCM MCD CDF ∠∠，∠∠，∵112ABC ，CD DF 即90CDF ，∴6890BCM MCD ∠，∠，∴158BCM D CD C B M ∠∠，故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．例4．（2023春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果【答案】540【分析】过点E 作EM 【详解】过点E 作EM ∵AB CD ∥，EM CD ∥∴∠B +∠BFN =180°，∠∵∠DEF =∠DEM +∠FEM【答案】360 /360度 1180n【分析】过点2A 向右作21A D A B ∥，过点3A 向右作31A E A B ∥，得到321n A E A D A B A C ∥∥∥∥，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．【详解】解：如图，过点2A 向右作21A D A B ∥，过点3A 向右作31A E A B ∥，∵1n A B A C ∥，∴321n A E A D A B A C ∥∥∥∥，∴112180A A A D ，2323180DA A A A E ，...，∴ 11231...1180n n A A A A A A C n ，当3n 时， 12313360180A A A 故答案为：360 ； 1180n ．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，根据题意作合适的辅助线是解题的关键．模型3：牛角模型图1图2如图1，已知：AB ∥DE ，结论： .如图2，已知：AB ∥DE ，结论：180 .例1．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若AB CD ，则（）【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．例2．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，若∵+180EFC EFD ， 132180 ；故答案为180°．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB ∥CD ，P 为直线AB ，CD 外一点，BF 平分∠ABP ，DE 平分∠CDP ，BF 的反向延长线交DE 于点E ，若∠FED ＝a ，试用a 表示∠P 为______．【答案】∠P ＝360°﹣2a【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC ＝2∠3，进而根据三角形内角和得出∠5、∠FED ，再得到∠P 和a 的关系，然后即可用a 表示∠P ．【详解】解：延长AB 交PD 于点G ，延长FE 交CD 于点H ，∵BF 平分∠ABP ，DE 平分∠CDP ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC ＝2∠3，∵∠PBG ＝180°﹣2∠1，∴∠PBG ＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣12∠PBG ，∵∠FED ＝180°﹣∠HED ，∠5＝180°﹣∠EHD ，∠EHD ＋∠HED ＋∠3＝180°，∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED ＋∠3＝180°，∴∠FED ＝180°﹣∠5＋∠3，∴∠FED ＝180°﹣（90°﹣12∠PBG ）＋12∠6＝90°＋12（∠PBG ＋∠6）＝90°＋12（180°﹣∠P ）＝180°﹣12∠P ，∵∠FED ＝a ，∴a ＝180°﹣12∠P ∴∠P ＝360°﹣2a ．故答案为：∠P ＝360°﹣2a ．【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关系是关键．例4．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线AB CD ∥，点P 为直线AB ，CD 所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，120A ，130C ．求APC 的度数：E【答案】(1)110 (2)APC A C ，理由见解析(3)34【分析】（1）过点P 作PQ AB ∥，易得AB PQ CD ∥∥，由平行线的性质可得60APQ 即可求出APC ；（2）过点P 作PQ AB ∥，易得AB PQ CD ∥∥，根据平行线的性质可得（3）过点E 作EM AB ∥，过点H 作HN AB ∥，易得EM CD ，HN CD ∥，根据平行线的性质可得CEA BAE DCE ，CHA BAH DCH ，再由已知等量代换，即可求得H E的值．∵120A ， 180180120APQ A ，∵AB CD ∥， PQ ∵130C ， 180180130CPQ C ， APC APQ （2）解：APC A C ，理由如下：AB CD ， PQ CD ∥例5．（2023·余干县八年级期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=1n∠MBE，∠CDN=1n∠NDE，直线MB、ND交于点F，则FE=．【答案】(1)∠E=∠END﹣∠BME(2)∠E+2∠NPM=180°（3）1 1 n【分析】（1）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.（2）根据平行线的性质，三角形外角定理，角平分线的性质即可解答.（3）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.【详解】（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠END=∠EFB，∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，∴∠E+2∠NPM=180°；（3）如图3，延长AB 交DE 于G ，延长CD 交BF 于H ，∵AB ∥CD ，∴∠CDG=∠AGE ，∵∠ABE 是△BEG 的外角，∴∠E=∠ABE ﹣∠AGE=∠ABE ﹣∠CDE ，①∵∠ABM=1n ∠MBE ，∠CDN=1n ∠NDE ，∴∠ABM=11n ∠ABE=∠CHB ，∠CDN=11n ∠CDE=∠FDH ，∵∠CHB 是△DFH 的外角，∴∠F=∠CHB ﹣∠FDH=11n ∠ABE ﹣11n ∠CDE=11n （∠ABE ﹣∠CDE ），②由①代入②，可得∠F=11n ∠E ，即11F E n .点睛：本题考查了三角形外角定理，平行线的性质，角平分线的定义.模型4：羊角模型图1图2如图1，已知：AB ∥DE ，结论： .如图2，已知：AB ∥DE ，结论：180 .【详解】解：设AE、CD交于点F，∵∠E＝37°，∠C＝20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．例2．（2022·江苏七年级期中）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°【答案】B【分析】根据AB∥CD，∠A=50°，所以∠A=∠AOC．又因为∠C=∠E，∠AOC是外角，所以可求得∠C．【详解】解：∵AB∥CD，∠A=50°，∴∠A=∠AOC（内错角相等），又∵∠C=∠E，∠AOC是外角，∴∠C=50°÷2=25°．故选B．例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD，求证：∠B＝∠E＋∠D【答案】见解析【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论．【详解】证明：过点E 作EF ∥CD ，如图∵AB ∥CD ，∴∠B =∠BOD ，∵EF ∥CD （辅助线），∴∠BOD =∠BEF （两直线平行，同位角相等）；∠D =∠DEF （两直线平行，内错角相等）；∴∠BEF =∠BED +∠DEF =∠BED +∠D （等量代换），∴∠BOD=∠E +∠D （等量代换），即∠B =∠E +∠D ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．例4．（2023·河南·统考三模）如图，已知AB DE ∥，150ABC ，75CDE ，则BCD 的度数为（）A ．55B ．60C ．45D ．50【答案】C 【分析】过点C 作CF AB ∥，则AB DE CF ∥∥，根据平行线的性质可得到150BCF ABC ，180105DCF CDE ，即可求得45BCD BCF DCF ．【详解】如图，过点C 作CF AB ∥，180DCF CDE∵AB DE ∥，CF AB ∥，∴AB DE CF ∥∥．∴150BCF ABC ，．∵75CDE ，∴18075105DCF ．∴15010545BCD BCF DCF ．故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．例5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，58A ，122D ，132 ，225 ，点P 是BC 上【答案】75 /75度【分析】（1）根据平分线的判定可得（2）根据对顶角相等可得模型5：蛇形模型（“5”字模型）基本模型：如图，AB ∥CD ，结论：∠1+∠3－∠2=180°.图1图2如图1，已知：AB ∥DE ，结论：180 .如图2，已知：AB ∥DE ，结论：180 .例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B 、C 、D 三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若12080ABC BCD ，，则CDE 等于（）A ．50°B ．40°C ．30°D ．20°【答案】D 【分析】过点C 作CF AB ∥，根据平行线的性质即可求出CDE 的度数．【详解】解：过点C 作CF AB ∥，∴180ABC BCF ，∵120ABC ，∴180********BCF ABC ∠∠；∵80BCD ，∴80806020DCF BCF ∠∠；由题意DE AB ∥，∴CF DE ∥，∴20CDE DCF ．故选：D【点睛】本题考查平行线的判断和性质，作出辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键．例2．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若AB CD ∥，65 ，25 ，则 的度数是（）A ．115°B ．130°C ．140°D ．150°【答案】C 【分析】利用平行线的传递性作出辅助线EF ，再通过平行线的性质即可解决问题．【详解】解：过E 作AB 的平行线EF ，如图所示；180********AEF ，AB CD ∥∵∴EF CD ∥25FED y11525140AEF FED 故选C ．【点睛】本题考查了平行线的基本性质与平行的传递性，两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，根据传递性做出辅助线是解决问题的关键．例3．（2023·河南周口·校联考三模）如图，AB EF ∥，100B ，25CDE ，则BCD 的度数是（）A ．125B ．75C ．95D ．105【答案】D 【分析】作CG EF ∥，则CG AB EF ∥∥，根据平行线的性质分别求出GCD 和BCG ，则BCD 105GCD BCG ．【详解】解：如图，作CG EF ∥，则CG AB EF ∥∥，∵CG EF ∥， 25GCD CDE ，∵CG AB ∥， 180B BCG ，180********BCG B ，BCD 2580105GCD BCG 故选D ．【点睛】本题考查根据平行线的性质求角的度数，解题的关键是正确添加辅助线．例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，AB CD ，CD EF ∥，CE 平分BCD ，若58ABC ，则CEF 的度数为（）A ．131B ．141C ．151D ．161【答案】C【答案】25 /25度【分析】过点C 作CM 【详解】解：如图，过点∴ACM ACD ∴3510BAB 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．课后专项训练1．（2023·山东临沂·统考二模）如图，,145a b ∥，则2 的度数为（）A ．105B ．125C ．135D ．145【答案】C 【分析】先根据平行线的性质可得3145 ，再根据邻补角的定义即可得．【详解】解：如图，,145a b ∵∥，3145 ，21803135 ，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，已知：AB EF ∥，B E ，求证：BC DE ∥．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（）A ．延长BC 交FE 的延长线于点GB ．连接BEC ．分别作BCD ，CDE 的平分线CG ，DHD ．过点C 作CG AB ∥（点G 在点C 左侧），过点D 作DH EF ∥（点H 在点D 左侧）【答案】C【分析】根据平行线的性质与判定逐一判断即可．【详解】解：A 、如图，∵AB EF ∥，∴B G ，∵B DEF ，∴G DEF ∠∠，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意；B 、如图，∵AB EF ∥，∴ABE FEB ，∵ABC FED ，∴CBE DEB ，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意；C 、如图，由CG 平分BCD ，DH 平分CDE ，没有条件说明BCD 与CDE 相等，也没有条件说明CG 与DH 平行，∴此辅助线的作法不能说明BC 与DE 平行，故此选项符合题意；D 、如图，延长BC 交DH 于点M ，∵AB EF ∥，CG AB ∥，DH EF ∥，∴AB CG DH EF ∥∥∥，∴B BMD ，MDE E ，∵B E ，∴BMD MDE ，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论．掌握平行线的判定和性质是解题的关键．3．（2023·浙江台州·统考一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若130 ，250 ，则3 的度数为（）．A ．130B ．140C ．150D ．160【答案】D 【分析】过2 顶点作直线l 支撑平台，直线l 将2 分成两个角即4 、5 ，根据平行线的性质即可求解．【详解】如图所示，过2 顶点作直线l 支撑平台，直线l 将2 分成两个角即4 、5∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l 支撑平台∴直线l 支撑平台 工作篮底部∴1430 、53180∵45250 ∴550420 ∴31805160 故选D ．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线AB 、CD 平行，则123456 （）．A ．630B ．720C ．800D ．900【答案】D 【详解】分别过E 点,F 点,G 点,H 点作L 1,L 2,L 3,L 4平行于AB观察图形可知，图中有5组同旁内角，则123456 1805900. 故选D【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键5．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，若AB CD EF ∥∥，115260 ，，那么BCE （）A ．120B ．125C ．130D ．135【答案】D 【分析】根据平行线的性质分别求出BCD ECD ∠、∠的度数即可得到答案．【详解】解：∵AB CD EF ∥∥，115260 ，，∴1151802120BCD ECD ∠∠，∠∠，∴135BCE BCD ECD ∠∠，故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．6．（2022·安徽芜湖·七年级期中）如图，AB ∥CD ，BF ,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE ，BF ∥DE ，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为A ．30°B ．35°C ．36°D ．45°【答案】C 【分析】延长BG 交CD 于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.【详解】解：如图延长BG 交CD 于G∵BF ∥ED ∴∠F=∠EDF 又∵DF 平分∠CDE ，∴∠CDE =2∠F ，∵BF ∥ED ∴∠CGF=∠EDF=2∠F ，∵AB ∥CD ∴∠ABF=∠CGF=2∠F ，∵BF 平分∠ABE ∴∠ABE =2∠ABF=4∠F ，又∵∠F 与∠ABE 互补∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36°故答案选C.【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.7．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB CD ，124 ，3148 ，则2 的度数为（）A ．56B ．66C ．98D ．104【答案】A 【分析】如图，在2 处作∥∥EF AB CD ，根据平行线的性质可得180BHE HEF ，1FED ，由对顶角相等可得3BHE ，根据2HEF FED 计算求解即可．【详解】解：如图，在2 处作∥∥EF AB CD ，∵EF AB ∥，∴180BHE HEF ，∵EF CD ，∴1FED ，∵3BHE ，∴218011803156HEF FED BHE ，故选：A ．9．（2022·江苏七年级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2的度数等于__________．【答案】180°.【解析】解：∵AB ∥CD ∴∠1=∠EFD∵∠2+∠EFC =∠3，∠EFD =180°－∠EFC ∴∠1+∠3－∠2=180°故答案为：180°.【答案】86【分析】过点C 作AB 的平行线【详解】解：如图，过点∵AB DE ∥，AB CF ∥∵1130 ，236 ，3BCF FCD 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，解题关键是在点11．（2022·四川成都·七年级期末）已知直线AB DE ∥，射线BF 、DG 分别平分ABC ，EDC ，两射线反向延长线交于点H ，请写出H ，C 之间的数量关系：________．【答案】2180H C【分析】分别过点C ，H 作∥MN AB ，PQ AB ∥，根据AB DE ∥，可得MN AB DE PQ ∥∥∥，根据平行线性质可得180ABC BCM ，ABF PHF ，根据角平分线定义可得2ABC ABF ，进而证出2180PHF BCM ，同理2180QHG DCN ，根据平角定义可得=180PHF QHG FHG ，180BCM DCN BCD ，由此证出 2+=360PHF QHG BCM DCN ，进而证出结论．【详解】分别过点C ，H 作∥MN AB ，PQ AB∥∵∥MN AB ，∴180ABC BCM ∵射线BF 平分ABC ∴2ABC ABF∵PQ AB ∥∴ABF PHF ∴2180PHF BCM∵AB DE ∥∴MN DE ∥∴180EDC DCN∵射线DG 平分EDC ∴2DEC DEG∵∥MN AB ，PQ AB ∥，∴MN PQ ∥∴DE PQ ∥∴DEG QHG∴2180QHG DCN ∴ 2+=360PHF QHG BCM DCN∵180PHF FHG QHG ∴=180PHF QHG FHG同理：180BCM DCN BCD ∴ 2180180360FHG BCD∴2180FHG BCD 故答案为：2180H C【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识点，能熟记平行线的性质是解本题的关键．12．（2022·黑龙江·七年级月考）如图，//AB CD ，E 是CD 上的点，过点E 作//EF DP ，若PEF PEH ，EG 平分DEH ，152B ，65PEG ，则BPD _______．【答案】22o【分析】延长AB 交HP 于点M ；根据EG 平分DEH ，得2PEH DEP DEG ；根据//EF DP ，得180PDE DEF ，从而推导得 1802PDE DEP DEG ；结合65PEG ，得PDE ；再根据//AB CD 以及152ABP ，结合三角形内角和性质，即可完成求解．【详解】如图，延长AB 交HP 于点M∵EG 平分DEH ∴12DEG HEG DEH ∴2PEH DEP DEH DEP DEG ∵PEF PEH ∴2PEF DEP DEG ∵//EF DP ∴180PDE DEF∴1801801802PDE DEF DEP PEF DEP DEG ∵65PEG ∴65PEG DEP DEG ∴ 180218026550PDE DEP DEG ∵//AB CD ∴50BMD PDE ∴180130BMP BMD∵152ABP ∴18028PBM ABP ∴1801802813022BPD PBM BMP 故答案为：22o ．【点睛】本题考查了三角形内角和、平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握了三角形内角和、平行线、角平分线的性质，从而完成求解．13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知AB DE ∥，30138BCD CDE ，，求ABC 的度数．【答案】72°【分析】如图所示，过点C 作CF AB ∥，则DE CF ∥，根据平行线的性质求出42DCF ，进而求出72BCF ，再由CF AB ∥，即可得到72ABC BCF ．【详解】解：如图所示，过点C 作CF AB ∥．∵AB DE CF AB ∥，∥，∴DE CF ∥．∴180********DCF CDE ．∴304272BCF BCD DCF ．又∵CF AB ∥，∴72ABC BCF ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．14．（2023春·重庆南岸·九年级校考期中）在数学课上老师提出了如下问题：如图，160B ，当A 与D 满足什么关系时，BC DE ∥?小明认为20D A 时BC DE ∥，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作．图．与填空．．：解：用直尺和圆规，在DA 的右侧找一点M ，使DAM D （只保留作图痕迹）．∵DAM D ，∴①_____________∵20D DAB∴BAM ②_________ ，∵160B ，∴B BAM ③__________ ，∴④_____________∴BC DE ∥．所以满足的关系为：当20D A 时，BC DE ∥．【答案】①DE AM ∥，②20，③180，④BC AM∥【分析】首先根据作一个角等于已知角进行尺规作图，然后再题目步骤的引导下，将空白处补充完整即可．【详解】解：如图，通过尺规作图得：DAM D ，∵DAM D ，∴①DE AM ∥，∵20D DAB ，∴BAM ②20 ，∵160B ，∴B BAM ③180 ，∴④BC AM ∥，∴BC DE ∥．所以满足的关系为：当20D A 时，BC DE ∥．故答案为：①DE AM ∥，②20，③180，④BC AM ∥．【点睛】本题考查了平行线的判定方法、尺规作图（作一个角等于已知角）等知识点，平行线判定方法的熟练掌握是解题关键．15．（2023春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）（1）如图（1）AB CD ，猜想BPD 与B D 、的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB CD ，猜想图中的BPD 与B D 、的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB CD ，猜想图中的BPD 与B D 、的关系，不需要说明理由．【答案】（1）360B BPD D ，理由见解析；（2）BPD B D ，理由见解析；（3）图（3）BPD D B ，图（4）BPD B D【分析】（1）过点P 作EF AB ∥，得到180B BPE ，由AB CD ，EF AB ∥，得到EF CD ，得到180EPD D ，由此得到360B BPD D ；（2）过点P 作PE AB ，由PE AB CD ∥∥，得到12B D ，，从而得到结论12BPD B D ；（3）由AB CD ，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得BPD 与B D 、的关系．【详解】（1）解：猜想360B BPD D ．理由：过点P 作EF AB ∥，∴180B BPE ，∵AB CD ，EF AB ∥，∴EF CD ，∴180EPD D ，∴360B BPE EPD D ，∴360B BPD D ；（2）BPD B D ．理由：如图，过点P 作PE AB ，∵AB CD ，∴PE AB CD ∥∥，∴12B D ，，∴12BPD B D ；（3）如图（3）：BPD D B ．理由：∵AB CD ，∴1D ，∵1B P ，∴D B P ，即BPD D B ；如图（4）：BPD B D ．理由：∵AB CD ，∴1B ，∵1D P ，∴B D P ，即BPD B D ．【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键．16．（2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）（1）如图①，如果AB CD ∥，求证：APC A C ．（2）如图②，AB CD ∥，根据上面的推理方法，直接写出A P Q C ___________．（3）如图③，AB CD ∥，若ABP x BPQ y PQC z QCD m ，，，，则m ___________（用x 、y 、z 表示）．【答案】（1）见解析；（2）540 ；（3）x z y【分析】（1）过P 作PM AB ∥，利用平行线的判定与性质证明即可；（2）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，根据平行线的性质即可求解；（3）过点P 作PN AB ∥，过点Q 作QM AB ∥，根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）证明：过P 作PM AB ∥，如图，∴A APM ，∵PM AB AB CD ∥，∥（已知），∴PM CD ∥，∴C CPM ，∵APC APM CPM ，∴APC A C ；（2）如图，过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴180A APE ，180EPQ PQF ，=180FQC QCD ，∴=540A APQ PQC C ，故答案为：540 ；（3）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴B BPE ，QPE PQF ，=FQC C ，∴=B PQC C BPQ ，即=x z m y ，∴=m x z y ，故答案为：x z y ．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．17．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图，AB CD ∥，点E 为两直线之间的一点．【点睛】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系．18．（2022·湖南株洲市八年级期末）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B 分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．（1）如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；（提示：过点P作PM∥a）（2）当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明．②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．【答案】（1）见解析；（2）①∠2＝∠3-∠1；②∠2＝∠3-∠1.【解析】解：（1）证明：作PM∥a，则∠1＝∠APM，∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠APM＋∠MPB＝∠1＋∠3，即∠1+∠3=∠2；（2）①结论：∠2＝∠3−∠1．理由：作PM∥a，则∠1＝∠APM，∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠MPB−∠MPA＝∠3−∠1，即∠2＝∠3-∠1；②结论：∠2＝∠3−∠1.19．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中，AB CD．（1）分别．．说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．（2）请你从中任选一个．．．．加以说明理由．解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．【答案】(1)图1：∠1+∠2＝∠3；图2：∠1+∠2+∠3＝360 ；图3：∠1＝∠2+∠3；图4：∠1+∠3＝∠2；(2)见解析；(3)101°【分析】(1)图1：首先过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；图2：首先过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案；图3：由AB CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案；图4：由AB CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案．（2）选图1，过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；（3）利用图1结论进行求解【详解】(1)图1：∠1+∠2＝∠3；图2：∠1+∠2+∠3＝360图3：∠1＝∠2+∠3；图4：∠1+∠3＝∠2；(2)选择图1，如图所示：过点P作EP//AB(1)求证：180B C A ：(2)如图②，AQ BQ 、分别为DAC EBC 、的平分线所在直线，试探究(3)如图③，在（2）的前提下，且有AC QB ∥，直线AQ BC 、=DAC ACB CBE ：：．【答案】(1)见解析(2)2=180AQB C ，理由见解析(3)122：：∵CF AD BE ∥∥，∴ACF A BCF B ，∴ACB B A BCF B A （2）在图2中，过点QM AD ∥，则QM ∥∵QM AD QM BE ∥，∥∴AQM NAD ，∵AQ 平分CAD ，BQ 平分CBE ，∴NAD【答案】（1）66 ；（2）2BED F ，理由见解析；（3）130【分析】（1）过点E 作EM AB ∥，可得ABE MEB ，CDE MED ，根据BED MEB MED 即可求解；（2）过点E 作EG AB ∥，可求出2(23)2(14)BED ，过点F 作FH AB ∥，可求出14BFD ，由此即可求解；（3）延长DE 交BF 于点P ，可得BED EBP BPD EBP BFD PDF ，BED EBG BPD EDG BGD EBG ，BF 平分ABE ，DF 平分CDE ，可得22BED EBP PDF BGD ，由此即可求解．【详解】解：（1）如图，过点E 作EM AB ∥，∵AB CD ，∴EM AB CD ∥∥，∴ABE MEB ，CDE MED ，∵=45ABE ，21CDE ，∴45MEB ，21MED ，∴452166BED MEB MED ．（2）2BED F ，理由如下：过点E 作EG AB ∥，∵AB CD ，∴EG AB CD ∥∥，∴512 ，634 ，∵BF 平分ABE ，DF 平分CDE ，∴12 ，3=4 ，∴2(23)2(14)BED ，同理，过点F 作FH AB ∥，∴FH AB CD ∥∥，∴1BFH ，4DFH ，∵BFD BFH DFH ，∴14BFD ，∴22(14)BFD ，∴2BED BFD ，即2BED F ．（3）如图，延长DE 交BF 于点P ，∴BED EBP BPD EBP BFD PDF ，BED EBG BPD EDG BGD EBG ，∵BF 平分ABE ，DF 平分CDE ，∴2EBG EBP ，2EDG PDF ，∴22BED EBP PDF BGD ，∴22EBP BFD PDF EBP PDF BGD ，∴952()60EBP PDF EBP PDF ，∴35EBP PDF ，∴953595130BED EBP PDF ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，理解平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．22．（2023春·福建三明·七年级校考期中）探索：小明在研究数学问题：已知//AB CD ，AB 和CD 都不经过点P ，探索P 与A 、C 的数量关系．发现：在图1中，APC A C ；如图5小明是这样证明的：过点Р作//PQ AB∴APQ A ___________∵//PQ AB ，//AB CD ．∴//PQ CD __________∴CPQ C∴APQ CPQ A C即APC A C（1）为小明的证明填上推理的依据；（2）理解：①在图2中，P 与A 、C 的数量关系为_____________________；②在图3中，若30A ，70C ，则P 的度数为_________________；（3）拓展：在图4中，探究P 与A 、C 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①360APC A C ；②40°；（3）APC A C ，理由见解析．【分析】（1）过点P 作//PQ AB ，根据平行线的性质得出APQ A ，CPQ C ，即可得出答案；（2）①过点P 作//PQ AB ，根据平行线的性质得出180APQ A ，180CPQ C ，即可得出答案；②根据平行线的性质得出70PEB C ，根据三角形外角性质得出即可；（3）根据平行线的性质得出180APG A ，求出180APG A ，根据//PG CD 得出180CPG C ，即可得出答案．【详解】（1）证明：过点P 作//PQ AB ，∴APQ A （两直线平行，内错角相等）//PQ AB ∵，//AB CD ．//PQ CD （平行于同一直线的两直线平行）CPQ C APQ CPQ A C 即APC A C故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①解：过点P 作//PQ AB ，所以180APQ A ，//PQ AB ∵，//AB CD ．//PQ CD ，180CPQ C ，APQ CPQ ，360A C ，即360APC A C ，故答案为：360APC A C ；②解：//AB CD ∵，70C ，70PEB C ，30A ∵，40P PEB A ，故答案为：40 ；（3）解：APC A C ．。
2019年初中数学突破中考压轴题几何模型之角平分线模型学案(无答案)
角平分线模型授课日期时 间主 题教学内容1. 熟练掌握与角平分线相关的性质；2. 会根据角平分线模型分析证明.1. 角平分线的性质定理: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（作用: 证明两条线段相等）；2. 角平分线的性质定理逆定理: 在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
（作用: 证明两角相等或一条射线是一个角的角平分线）.3. 还有哪些性质或定理与角平分线有关？ 角平分线+平行线→等腰三角形: 如图, 已知 平分 , , 则 ； 如图, 已知 平分 , , 则 ．NBMPCABPCAFE三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）:如图, 已知 平分 , 且, 则 , ．CDAB【例1】如图: 已知在 中, 的平分线与 的外角平分线交于点 , ∥ , 交 于点 , 交 于点 , 求证: .FEDABCM【例2】如图, 已知在 中, , 的两条角平分线 相交于点 ,求证： .DEOBC A【例3】如图, 已知 中 垂直于 的平分线 于 , 交 于 , 求证: .ED CAB【例4】已知如图在△ABC 中, ∠ACB=90°, CD ⊥AB 于D, ∠A 的平分线交CD 于F, BC 于E, 过点E 作EH ⊥AB 于H.求证：（1）CF=EH. （2）四边形CEHF 是菱形.1. 已知: 如图, 平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E, F, G, H,求证：四边形EFGH是矩形.2. 已知: 如图, 于点是中点,求证：.AD CHB3. 如图, 已知∠BAC=90°, AD⊥BC于点D, ∠1=∠2, EF∥BC交AC于点F. 试说明AE=CF.21FE DABC。
中考数学几何模型“12345”
中考数学几何模型“12345”
例题1：已知A(2，3)B(0，2)点A在反比例函数y=的图象上，再将射线 A B绕点 A按逆时针方向旋转 45°，交反比例函数图象于点C，则点 C的坐标为
例 2.在如图正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D 都在格点处，AB 与CD 相交于O，则tan∠BOD 的值等于。
例题3：如图，正方形ABCD 中，P 是BC 的中点，把△PAB 沿着PA 翻折得到△PAE，过C 作CF⊥DE 于
F，若CF＝2，则DF＝．
例题4：如图：在矩形ABCD 中，AB = 6 ，BC =10 ，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在A' 处，若EA' 的延长线恰好过点C ，则sin ∠ABE 的值：．
练习1:
1.如图∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB 的值是．
2.如图正方形ABCD 的边长AB=2，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，AF 分别与DE、BD 相交于点M，N，则MN 的长为()
3.在四边形ABCD 中BC⊥AB,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°，AB=BC=12，E 是AB 上一点,且∠ DCE=45°，BE=4, 则DE=.
4.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段
AB,PQ 相交于点 M，则图中∠QMB 的正切值是（）
5题：。
初中数学几何模型大全(精心整理)
三线八角同位角找F型内错角找Z型同旁内角找U型拐角模型1.锯齿形∠2=∠1+∠3 ∠1+∠2=∠3+∠42.鹰嘴型鹰嘴+小=大∠2=∠1+∠3 ∠2=∠1+∠33.铅笔头型∠1+∠2+∠3=360° ∠1+∠2+∠3+∠4=540°180×（n-1）等积变换模型S△ACD=S△BCD 八字模型∠A+∠B=∠C+∠DAD+BC>AB+CD飞镖模型∠D=∠B+∠C+∠AAB+AC>BD+CD内内角平分线模型∠A∠D=90°+12内外角平分线模型∠D=1∠A2外外角平分线模型∠D=90°-1∠A2平行平分出等腰模型HG=HM等面积模型 D是BC的中点S△ABD= S△ACD 倍长中线模型：D是BC的中点S△FBD= S△ECD角平分线构造全等模型角平分线垂直两边角平分线垂直中间角平分线构造轴对称以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，垂直也可以做为轴进行对称全等。
三垂模型拉手模型大小等边三角形虚线相等且夹角为60°大小等腰三角形顶角为a，虚线相等，且夹角为a大小等腰直角三角形虚线相等且夹角为90°大小正方形虚线相等，且夹角为90°半角模型正方形ABCD ∠EDF=45°得：EF=AE+CFCD=AD,∠ADC=90°,∠EDF=45°,∠A+∠C=180°得：EF=AE+CF∠BADAB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=12得：EF=BE+DFAB=AC,∠BAC=90°，∠DAE=45°得：DE2=BD2+CE2△CEF为直角三角形上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
初中数学几何模型大全经典题型(无答案)
初中数学几何模型大全+经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角均分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共极点旋转对称全等模型说明：以角均分线为轴在角两边进行截长补短或许作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或许角的等量代换，产生联系。
垂直也能够做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图挨次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或许等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要结构旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接找寻旋转全等中点旋转：倍长中点有关线段变换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特点是相邻等线段所成角含一个二分之一角，经过旋转将此外两个和为二分之一的角拼接在一同，成对称全等。
自旋转模型结构方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋极点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个常常观察的内容。
经过“8”字模型能够证明。
模型变形化，此外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当碰到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或许等腰三角形的公共极点，环绕公共极点找到两组相邻等线段，分组构成三角形证全等。
中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或许一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形极点连线的中点，证明此外两个极点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的向来角边，转变成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或许正方形）公旋转极点，经过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形进而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：经过对称进行等量代换，变换成两点间距离及点到直线距离。
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中考数学几何模型
1、角平分线模型
基本思路：利用角平分线的性质。
（1）三角形内角、外角平分线
OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，则∠O ＝90°＋1
2 ∠A 。
BD 、CD 为∠ABC 的外角平分线，则∠D ＝90°－1
2 ∠A 。
BD 平分∠ABC ，CD 为∠ABC 的外角平分线，则∠D ＝1
2 ∠A 。
AD 1为∠ABC 内角平分线，AD 2为∠ABC 外角平分线，则有AB AC ＝BD 1CD 1 ＝BD 2
CD 2 （可用面
积法或相似证明）。
此外，∠D AD ＝90°。
（2）三角形内心
对任意三角形，有S ∠ABC ＝1
2 （AB ＋BC ＋AC ）·r 。
对等边三角形，有OD AO ＝OE BO ＝OF CO ＝1
2 。
对直角三角形，有r ＝1
2 （AB ＋BC －AC ）。
2、线段和、差最值模型
基本思路：①两点之间线段最短；
①点到直线距离垂线段最短；
①利用了三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，三点共线时取等号。
（1） 点A 、B 为定点，在直线上找一点P ，使得AP ＋BP 的值最小。
（2）点A、B为定点，在直线上找一点P，使得|AP－BP|的值最大。
（3）点A、B为定点，在直线上找一点P，使得AP＋BP的值最小。
（4）点A、B为定点，在直线上找一点P，使得|AP－BP|的值最大。
（5）（6）
点A、B为定点，在两条相互平行的直线上分别找点P、点Q，使得AP＋PQ＋BQ的值最小。
点A、B为定点，在直线上找两点（两点之间距离为定值），使得AP＋PQ＋BQ的值最小。
作线段AA'∠PQ，且AA'＝PQ
（7）
（8）
（9）
（10）费马点：∠若∠ABC 内角都小于120°，则能在∠ABC 内找一点P ，使PA ＋PB ＋PC 的值最小。
∠若∠ABC 有一个内角不小于120°，则∠ABC 内使PA ＋PB ＋PC 的值最小的点 P 就在钝角所在顶点。
点A 、B 分别为OP 和OQ 上的定点，在OQ 上找一点M ，
在OP 上找一点N ，使AM ＋MN ＋MB 的值最小。
点A 为∠POQ 内定点，在OP 上找一点M ，在OQ 上找一点N ，使AM ＋MN ＋AN 的值最小。
点A 、B 为∠POQ 内定点，在OP 上找一点M ，在OQ 上
找一点N ，使AB ＋AM ＋MN ＋BN 的值最小。
将∠APC 绕A 点逆时针旋转60°至∠AP'C ， 则PA ＋PB ＋PC ＝PP'＋PB ＋P'C≤BC'。
（11） 圆所有的弦中，直径最长。
（12）点P 为圆外一定点，点Q 为圆上一动点，则PB≤PQ≤PA 。
3、旋转模型
基本思路：利用旋转图形的性质。
（1）等腰三角形旋转（两个顶角相等的等腰三角形顶角重合，其中一个三角形绕顶点旋转。
） 无论什么三角形，均有∠ABD∠∠ACE 。
如上图方法，作出BC'和B'C ，BC'和B'C 的交点即为所求。
此时，∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°。
（2）正方形旋转
若△ABC、△CDE是等边三角形，B、C、D三点共线则有：
∠BCG∠∠ACH，∠AFB＝∠ACB＝60°，
△CGH为等边三角形，
A、B、C、F四点共圆，C、D、E、F四点共圆，
C、G、F、H四点共圆，
∠BCG∠∠DCE
MN∠
1
2AF
4、半角模型
基本思路：旋转后找全等或相似，利用好含特殊角（30°、45°、60°）的直角三角形边之间的关系。
（1）等腰直角三角形半角模型
MN2＝BM2＋CN2
（2）顶角为120°等腰三角形半角模型
BM2＋NC2－MN2＝BM×NC（余弦定理）
一般来说，BM、MN、NC没有特定的关系，当BM:MN:NC＝2: 3 :1时，∠BDM＝90°。
（3）等边三角形与顶角为120°等腰三角形半角模型
BE＋CF＝EF
（4）正方形半角模型
本质上和等腰直角三角形半角模型差不多，但因为处于正方形中，所以又有不同。
“K”字形模型
GH2＝BG2＋DH2（同等腰直角三角形半角模型）BE＋DF＝EF
BE＝NE，DF＝NF，AE平分∠BEF，AF平分∠AFE
（5）矩形半角模型
方法一：补成正方形半角模型，结合相似解答。
方法二：补成“K”字形模型，利用直角三角形全等，结合相似解答。
5、“K”字形模型（一线三等角）
基本思路：利用三个相等的角寻找全等或相似。
（1）全等
∠ABC∠∠DCE
（2）相似
∠ABC∠∠DCE →AC·CD ＝AB·DE
6、燕尾模型
基本思路：将面积与边联系起来。
若点C 为AD 中点，则有△ABC ∽△DCE ∽△CBE ，
BC 平分∠ABE ，CE 平分∠BED 。
（相似可证，也可延长BA ，EC 利用全等中垂线证明）
在△ABC中，AD、BE、CF相交于同一点O，则有：S△AOB△S△AOC=BD△CD
S△AOB△S△COB=AE△CE
7、四点共圆模型
基本思路：利用圆的性质转换相等的角。
（1）定长对定角型（蝴蝶型（反“8”型）相似）
以定长为弦，定角为圆周角作圆（三点共圆，由于定角的顶点为动点，由三点共圆引出四点共圆、多点共圆）锐角相交弦定理：AE·DE＝BE·CE（∠ACE∠∠BDE可证）
钝角直角
若AB⊥CD，则AE·BE＝CE·DE＝CE2，
这里也可以联系到射影定理，
当定角分别为一些特殊角时，如30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°时，可以求出定圆半径与定长的数量关系。
不难发现30°和150°、45°和135°、60°和120°，数量关系是一样的。
2
2AB r＝3
3AB r＝
1
2AB
r＝AB r＝
（2）对角互补型
四点共圆↔对角互补 托勒密定理：AC·BD ＝AB·CD ＋AD·BC
∠ABC∠∠AED→AC CD ＝ BC ED ，AC·ED ＝AD·BC∠
∠ABE∠∠ACD→AB AC ＝ BE CD ，AC·BE ＝AB·CD∠
∠＋∠即可证。
若AB∠CD ，则∠ABE∠∠DCE （“A”型相似）
若AD∠BC ，则∠ADE∠∠CBE （“8”型相似）
AE·DE＝BE·CE（反“A”型相似，∠ABE∠∠CDE）
若BC为切线，则BC2＝AC·CD（母子型相似，∠ABC∠∠BDC）
（3）特殊型
邻边相等
AB＝AC，I为∠BCD内心，则有AI＝AB＝AC。
邻边相等且夹角为60°（等边三角形）
共斜边的等腰直角三角形和普通直角三角形
AC·BD＝AB·CD＋AD·BC中AB＝AC＝BC即可得
AC·BD＝AB·CD＋AD·BC中AB＝AC＝2
2BC即可得
BD＝CD＋ 2 AD（此处与前面的旋转模型相通）
AD·BC＝AB·CD＋AC·BD中AB＝AC＝2
2BC即可得
2 AD＝CD＋BD（此处与前面的旋转模型相通）。