北师大版高数选修23第2讲：排列组合

排列组合

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1.理解排列组合的概念.

2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.

3.熟练掌握排列、组合的性质.

4.能解决简单的实际问题.

1.排列与组合的概念:

(1)排列:一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.

○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.

○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.

○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.

○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.

○6如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列.

(2)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.

注意：○1如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关.

○2当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，就是不同的组合.

○3组合与排列问题的共同点，都要“从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素”；不同点：前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”.

○4根据定义区分排列问题、组合问题.

2.排列数与组合数：

(1)排列数的定义:一般地，我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫

A表示.

做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号m

n

(2)组合数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m

n C 表示.

3.排列数公式与组合数公式： (1)排列数公式：

(1)(2)(1),m n A n n n n m =--⋅⋅⋅-+其中m ，n *∈N ，且m ≤n .

(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示.

○

1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列. ○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.n

n A n = ○3由此排列数公式(1)(2)(1)m

n

A n n n n m =---+L (1)(2)(1)()21()21n n n n m n m n m ⋅-⋅-⋅⋅-+⋅-⋅⋅⋅=

-⋅⋅⋅L L L !

.()!

n n m =-

所以!.()!

m

n n A n m =

-

(3)组合数公式:!

.!()!

m n n C m n m =

-

(4)组合数的两个性质: 性质1：.m

n m

n n

C C -=

性质2：1

1.m m

m n n n C C C -+=+

类型一.排列的定义

例1：判断下列问题是不是排列，为什么？

(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.

(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.

[解析] (1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关. (2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关.

练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？

(1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.

(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的

椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程22

22 1.x y a b

-=

[解析] (1)是排列问题，一个为幂底数，一个为幂指数，两个数字一旦交换顺序，产生的结果

不同，即与顺序有关.

(2)第一问不是第二问是.若方程22

221x y a b +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大

小一定；在双曲线22221x y a b -=中，不管a >b 还是a

221x y a b

-=均表示焦点在x 轴上的双曲

线，且是不同的双曲线，故这是排列.

类型二.组合的定义

例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.

(1)设集合A ={a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ [解析] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.

(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.

练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.

(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？

(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？

[解析] (1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题.

(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题. 类型三.排列数与组合数

例3：计算下列各式. (1)5

7;A

(2)2

12;A

(3)7

7.A

[解析] [答案] (1)5

7A =7×6×5×4×3=2520； (2)2

13A =13×12=156；

(3)7

7A =7×6×5×4×3×2×1=5040.

练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( ) A.2

m A B.21

m A

C.20

20m A +

D.21

20m A +

[答案] D

[解析] 排列的顺序为由小到大，故n =m +20，而项数是21故可表示为21

20.m A + 例4：计算98

100C [答案] 9810098

210010010010099

4950.21

C C C -⨯===

=⨯

练习2：计算97

2

95

9898982C C C ++

[答案] 原式1

2

3

1

2

2

3

2

98989898989898992()()C C C C C C C C =++=+++=3

3

99100161700.C C +==