圆系方程

答案： 1、 x 2 + y 2 －8x －2y + 12 = 0 2、 x 2 + y 2 + 4x －6 = 0 3、 x 2 + y 2 －x －2y = 0
法一：转移法
x 1 y

1
y 1

1
x
故 所求圆为 x 2 + y 2 －6x －4y + 5 = 0
法二：对称法 ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 8
( x －3 ) 2 + ( y －2 ) 2 = 8
练习： 1、求过圆 x 2 + y 2 －6x －8y + 20 = 0 和 x 2 + y 2 －10x + 4y + 4 = 0 的交点，且过点 ( 3 , －1 ) 的 圆方程。 2、求过圆 x 2 + y 2－2y = 0 和直线 2x + y －3 = 0 的交点，且圆心在 x 轴上的圆方程。 3、求过圆 x 2 + y 2 = 4 和 x 2 + y 2－2x－4y + 4=0 的交点，且和直线 x + 2y = 0 相切的圆方程。
2
1
1
52 16 16
5(

8 )2

16
2
2
55
当 8时, S 4
5
min
5
故 所求圆为 5x 2 + 5y 2 + 26x －12y + 37 = 0
例4、求圆 x 2 + y 2 + 2x + 4y －3 = 0 关于直线
x + y －1 = 0 对称的圆方程。
大小一样，位置不同
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(2) 同心圆系方程为 __(_x_－__a__)_2_+__(_y_－__b__)_2_=__k_2_(__k_为__参__数___)_ 图象特点：_位__置__相__同__，__大__小__不__同___
(3) 过两圆交点的圆系：若两圆 x 2 + y 2 + D1x + E1y + F1 = 0 和 x 2 + y 2 + D2x + E2y + F2 = 0 相 交，则过这两圆交点的圆系方程为
例2、求圆心为 ( 2 , 1 ) 且与已知圆 x 2 + y 2 － 3x = 0 的公共弦所在直线经过点 ( 5 , －2 ) 的 圆方程。 解：设所求圆为 x 2 + y 2 －4x －2y + F = 0 则公共弦方程： x + 2y －F = 0 过 ( 5 , －2 )
∴ F=1 故 所求圆方程为 x 2 + y 2 －4x －2y + 1 = 0
圆系
1、定义：具有某种 _共__同___ 性质的圆叫做圆系；
它的方程叫 __圆__系__方__程_____ 2、常见的圆系方程：
(1) 半径相等的圆系方程为
______________________________________ 图(象x特－点a )：2 _+_(_y__－__b__) _2 _=_r__2 _(_a_、__b__为__参数 )
－2y －4 = 0 的交点，且圆心在直线 2x + 4y = 1
上的圆方程。
解：设所求圆方程为
x 2 + y 2 －4x + 2y + ( x 2 + y 2 －2y －4 ) = 0
由圆心( 2 , 1)代入2 x 4 y 1 1 1 1
3 ∴ x 2 + y 2 －3x + y －1 = 0
例3、过直线 2x + y + 4 = 0 和圆 x 2 + y 2 + 2x
－4y + 1 = 0 的交点，面积最小的圆方程 解：设所求圆方程为
x 2 + y 2 + 2x －4y + ( 2x + y + 4 ) = 0
r 1 (2 2)2 ( 4)2 4(4 1)
x_2___y_2 __D_1_x___E_1 y___F_1___(_x_2___y_2 __D_2_x__E__2 y___F_2_) _ 0
当 = －1 时，方程表示两圆的 _公__共__弦__方__程__
故求两圆的公共弦方程，只需消去 x 2、y 2 项
例1、求过两圆 x 2 + y 2 －4x + 2y = 0 和 x 2 + y 2