导数与数列02
利用导数证明数列不等式(含解析)
利用导数证明数列不等式利用导数证明数列不等式，在高考题中能较好的考查学生灵活运用知识的能力，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，可谓一题多考，巧妙地将函数、导数、数列、不等式结合在一起，也是近年来高考的热门题型. 1、常见类型：（1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题 （2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题 2、恒成立不等式的来源：（1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式.（2）恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向.其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式. 3、常见恒成立不等式：（1） 对数→多项式 （2） 指数→多项式4、关于前项和的放缩问题：求数列前项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有以下几种：（1）倒序相加：通项公式具备第项与第项的和为常数的特点.（2）错位相减：通项公式为“等差等比”的形式（例如，求和可用错位相减）.（3）等比数列求和公式（4）裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，且裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行相消. 注：在放缩法处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑.5、大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式.6、在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向.7、放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向：朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）.ln 1x x <-1x e x >+n n k 1n k -+⨯2nn a n =⋅n a8、数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明（有时更容易发现所证不等式与题目条件的联系）.【经典例题】1．（2020·江苏省如皋中学高三三模）已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ． （1）当2k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当01x <≤时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围； （3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+． 2．（2020·四川省内江市第六中学高三三模）已知函数2()ln(1)(0,0),()2x f x ax x a g x x -=+≥>=+. （1）讨论函数()()y f x g x =-的单调性；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1a =时，证明：1111+35721n +++<+…*1()(N )2f n n ∈. 3．（2020·安徽合肥·三模）已知函数()x xf x e e ax -=--（e 为自然对数的底数），其中a ∈R.（1）试讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑. 4．（2020·安徽相山·淮北一中高三三模）已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （∈）讨论()f x 的单调性；（∈）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.5．（2020·云南高三三模）已知函数()1ln f x x a x =-- （１）讨论()f x 的单调性； （2）证明：()*333ln 2ln3ln 1,222332n n N n n n +++<∈≥---．【精选精练】1．（2020·榆林市第二中学高三三模）已知(),()1(xf x eg x x e ==+为自然对数的底数).(1)求证()()f x g x ≥恒成立；(2)设m 是正整数，对任意正整数n ，2111(1)(1)(1)333n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值. 2．（2020·广东广州高三三模·）已知函数()()()3214613x f x x ex x g x a x lnx -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，．（1）求函数()f x 在()0+∞，上的单调区间； （2）用{}max m n ，表示m n ，中的最大值，()f x '为()f x 的导函数，设函数()()(){}h x max f x g x '=，，若()0h x ≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：()*11111ln 312313n N n n n n n+++++>∈++-． 3．（2020·安徽蚌埠·高三三模）已知函数()()ln 1x f x x+=.（1）分析函数()f x 的单调性；（2）证明：2111ln 3ln 212n n n ⎛⎫+⎛⎫+++≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2n ≥. 4．（2020·全国高三三模）已知函数2()2ln 1()f x ax x x a =--∈R . (1) 若1x e=时,函数()f x 取得极值,求函数()f x 的单调区间； (2) 证明：()*11111ln(21)3521221nn n n n +++⋯+>++∈-+N . 5．（2020·辽宁沙河口·辽师大附中高三三模）已知函数()()2ln 11f x p x p x =+-+．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1p =时，()f x kx ≤恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：()()*111ln 1123n n N n+<+++⋯+∈．6．（2020·浙江省宁波市鄞州中学高三三模）已知函数()()2f x ax a a R =+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0f x ≤对任意的1x ≥-恒成立，求a 的取值范围；（32600⋅⋅⋅+<.7．（2020·广东广州·高三三模）已知函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明:()21f x x x ≤+-；（3）试比较22222222ln2ln3ln4ln 234n n++++与()()()12121n n n -++ ()*2n N n ∈≥且的大小，并证明你的结论． 8．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中三模）已知函数()()2ln 1f x ax bx x =+-+．（∈）当0a =时，函数()f x 存在极值，求实数b 的取值范围；（∈）当1b =时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；（∈）求证：()()1*113ln 2122N 14nk n n k =-+<∈-∑． 9．（2020·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数()()()()ln 111f x x k x k R =---+∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）证明：()()*1ln 2ln 3ln ,13414n n n n n n -++⋅⋅⋅+<∈>+N . 10．（2020·浙江三模）已知数列{}n a ，112a =，1ln 1n n a a +=-. （1）求证：11n n a a +<<； （2）求证：123201912020a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅<.【经典例题】1．（2020·江苏省如皋中学高三三模）已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ． （1）当2k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当01x <≤时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围； （3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+． 【答案】（1）单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞；（2）[1,)+∞；（3）证明见解析.【解析】（1）当2k =时，()2ln f x x x x =-，'()1ln f x x =-，由'()0f x >，解得0x e <<；由'()0f x <，解得x e >，因此函数()f x 单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞．（2）()ln f x kx x x =-，故'()1ln f x k x --＝．当1k时，因为01x <≤，所以10ln k x -≥≥，因此'()0f x ≥恒成立，即()f x 在(]0,1上单调递增，所以()(1)f x f k ≤=恒成立．当1k <时，令'()0f x =，解得1(0,1)k x e -=∈．当1(0,)k x e -∈，'()0f x >，()f x 单调递增；当1(,1)k x e -∈，'()0f x <，()f x 单调递减； 于是1(1))(k f ef k -=＞，与()f x k ≤恒成立相矛盾．综上，k 的取值范围为[1,)+∞．（3）由（2）知，当01x <≤时，ln 1x x x -≤． 令x =21n *()n N ∈，则21n +22nln 1n ≤，即22ln 1n n -≤， 因此ln 1n n +≤12n -． 所以ln1ln 2ln 011(1) (2312224)n n n n n --+++≤+++=+. 2．（2020·四川省内江市第六中学高三三模）已知函数2()ln(1)(0,0),()2x f x ax x a g x x -=+≥>=+. （1）讨论函数()()y f x g x =-的单调性；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1a =时，证明：1111+35721n +++<+…*1()(N )2f n n ∈.【答案】（1）见解析；（2）[1，＋∞)；（3）证明见解析. 【解析】（1）求导数可得2224441(2)(1)(2)a ax a y ax x ax x +-'=-=++++， 当1a 时，0y '，∴函数()()y f x g x =-在[)0+∞，上单调递增； 当01a <<时，由0y '>可得x > ∴函数在⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在0⎡⎢⎣上单调递减； （2）由（1）知当1a 时，函数()()y f x g x =-在[)0+∞，上单调递增， ()()(0)(0)1f x g x f g ∴--=，即不等式()()1f x g x +在[)0x ∈+∞，时恒成立， 当01a <<时，函数在0⎡⎢⎣上单调递减，存在00x ⎡∈⎢⎣使得00()()(0)(0)1f x g x f g -<-=， 即不等式00()()1f x g x +不成立， 综上可知实数a 的取值范围为[1，)+∞；（3）由（2）得当1a 时，不等式()()1f x g x >+在(0,)x ∈+∞时恒成立， 即2(1)2x ln x x +>+，12(1)12ln k k∴+>+，*()k N ∈． 即11[(1)]122ln k lnk k <+-+， ∴11(21)32ln ln <-，11(32)52ln ln <-，11(43)72ln ln <-，11[(1)]212ln n lnn n ⋯<+-+， 将上述式子相加可得11111111(1)(1)()357212222lnn ln lnn ln n f n n +++⋯+<-=<+=+ 原不等式得证．3．（2020·安徽合肥·三模）已知函数()x xf x e e ax -=--（e 为自然对数的底数），其中a ∈R.（1）试讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑. 【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析.【解析】（1）因为()x xf x e ea -'=+-，且2x x e e -+≥，所以当2a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在R 上为增函数，当2a >时，由()0f x '>，得0x x e e a -+->，所以2()10x xe ae -+>，所以22()124x a a e ->-，所以2x ae ->或2xa e -<，所以2xa e +>2xa e -<，所以24ln2aa x 或24ln2aa x ，由()0f x '<，得0x x e e a -+-<，解得2244ln22aa aax ，所以()f x 在ln 22a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在,ln2a ⎛--∞ ⎪⎝⎭和ln 2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增.（2）由（1）知，当2a =时，()2xxf x e e x -=--在R 上为增函数，所以1()(ln )2ln g x f x x x x==--在(0,)+∞上为增函数， 所以当*n N ∈且2n ≥时，13()(2)22ln 2ln 422g n g ≥=--=-=32ln 04e >， 即12ln 0n n n-->，所以212211ln 1(1)(1)11n n n n n n n >==---+-+， 所以211111ln 2ln 23ln 34ln 4ln ni i i n n==++++∑ 1111111121213131414111n n >-+-+-++--+-+-+-+ 111121n n =+--+2322(1)n n n n --=+， 所以22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑.4．（2020·安徽相山·淮北一中高三三模）已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （∈）讨论()f x 的单调性；（∈）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.【答案】（I ）见解析；（II ）见解析 【解析】（∈）函数()f x 可化为ln ,()ln ,0x x a x af x a x x x a --≥⎧=⎨--<<⎩，当0x a <<时，1()10f x x '=--<，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的， 当x a ≥时，11()1x f x x x'-=-=，此时要考虑a 与1的大小.若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减， 在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以 当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增； 当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增.（∈）由（∈）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x <-.所以 222222ln 2ln 3ln 23n n+++22211111123n <-+-+-222111123n n ⎛⎫=--+++⎪⎝⎭11112334(1)n n n ⎛⎫<--+++⎪⨯⨯+⎝⎭11121n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭1(1)2(1)n n n -=--+ 2221(1)(21)2(1)2(1)n n n n n n --+-+==++.5．（2020·云南高三三模）已知函数()1ln f x x a x =-- （１）讨论()f x 的单调性；（2）证明：()*333ln 2ln3ln 1,222332n n N n n n +++<∈≥---． 【答案】（1）当0a 时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增．（2）证明见解析 【解析】（1）解：()1ln (0)f x x a x x =-->，()1af x x'∴=-．∈若0a ，则()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞内单调递增；∈若0a >，则()f x '在(0,)+∞内单调递增，且()0f a '=，∴当(0,)x a ∈时，()0f x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增．综上所述，当0a 时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增．（2）证明：当1a =时，()1ln =--f x x x ．由（1）知()(1)0f x f =，ln 1x x ∴-，当且仅当1x =时，等号成立， 令()*,2x n n N n =∈，ln 1n n ∴<-，33ln 1111(1)1n n n n n n n n n n -∴<==---++． 从而3ln 2112223<--， 3ln 3113334<-- …3ln 111n n n n n <--+， 累加可得333ln 2ln3ln 11223321n n n n ++⋯+<----+， 111212n -<+， 333ln 2ln3ln 122332n n n ∴++⋯+<---，证毕．【精选精练】1．（2020·榆林市第二中学高三三模）已知(),()1(x f x e g x x e ==+为自然对数的底数).(1)求证()()f x g x ≥恒成立；(2)设m 是正整数，对任意正整数n ，2111(1)(1)(1)333n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 2.【解析】（1）令()()()1xF x f x g x e x =-=--，则()1xF x e '=-∴当(),0x ∈-∞时，()0F x '<；当()0,x ∈+∞时，()0F x '>()F x ∴在(),0-∞上单调递减；在()0,∞+上单调递增()()0min 0010F x F e ∴==--=，即()()()0F x f x g x =-≥恒成立 ()()f x g x ∴≥恒成立（2）由（1）知：13113n n e +≤221111113333332111111333n n n e e e e++⋅⋅⋅+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+≤⋅⋅⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又211111111133********13nn n⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭++⋅⋅⋅+==⨯-<⎪⎝⎭- 11112322111111333n n e e ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+≤< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又2111111333n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立 12m e ∴≥ m 为正整数 m ∴的最小值为：22．（2020·广东广州高三三模·）已知函数()()()3214613x f x x ex x g x a x lnx -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，．（1）求函数()f x 在()0+∞，上的单调区间； （2）用{}max m n ，表示m n ，中的最大值，()f x '为()f x 的导函数，设函数()()(){}h x max f x g x '=，，若()0h x ≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：()*11111ln 312313n N n n n n n+++++>∈++-． 【答案】（1）()f x 单调递增区间为()3+∞，;() f x 单调递减区间为()03，；（2）43a ≥；（3）详见解析． 【解析】（1）因为()()3246x f x x ex x -=-+-，所以()()()()3332632x x f x x ex x e --=-+-='-+，令()0f x '=得3x =，当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以函数()f x 在()0+∞，上的单调递增区间为()3+∞，，单调递减区间为()03，； （2）由（1）知()()()332x f x x e-'=-+，当3x ≥时，()0f x '≥恒成立，故()0h x ≥恒成立；当3x <时，()0f x '<，又因为()()(){}0h x max f x g x '=≥，恒成立，所以()0g x ≥在()03，上恒成立， 所以11ln 03a x x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭，即11ln 3xa x+-≥在()03，上恒成立， 令()()1ln 03x F x x x +=<<，则()13max a F x -≥， 由()()221ln 1ln x xF x x x-+-'==， 令()0F x '=得1x =，易得()F x 在()01，上单调递增，在[)13，上单调递减，所以()()11max F x F ==，所以113a -≥，即43a ≥， 综上可得43a ≥.（3）证明：设()()10xm x e x x =-->，则()10xm x e '=->，所以()m x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00m x m >=，即1x e x >+， 所以1111111111312312333112313n n n nn n n nn n n n n ee eeen n n n n++++++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++- 123331231n n n nn n n n +++>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++-，所以11111ln 312313n n n n n+++++>++-. 3．（2020·安徽蚌埠·高三三模）已知函数()()ln 1x f x x+=.（1）分析函数()f x 的单调性；（2）证明：2111ln 3ln 212n n n ⎛⎫+⎛⎫+++≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2n ≥. 【答案】（1）()f x 在区间()–1,0和()0,∞+上单调递减；（2）证明见解析. 【解析】（1）由题意得：()f x 的定义域为()()–1,00,+∞，且()()2ln 11xx x f x x -++'=，令()()ln 11x g x x x=-++则()()21x g x x -'=+，()–1,0x ∈时，()0g x '>； ()0,x ∈+∞时，()0g x '<.即()g x 在()–1,0上单调递增，在()0,∞+上单调递减.因为()00g =，则在()–1,0和()0,∞+上()0g x <. 因为20x >，所以在()–1,0和()0,∞+上()0f x '<， 即函数()f x 在区间()–1,0和()0,∞+上单调递减. （2）由（1）可知，当02x <≤时，()()ln 322x f f =≥，即()ln 3ln 12x x +≥， 当2n ≥时，2021n <≤-，则2ln 3ln 111n n ⎛⎫+≥⎪--⎝⎭， 即()()2ln 3ln 1ln 1ln 111n n n n ⎛⎫+=+--≥ ⎪--⎝⎭， 所以()()()ln 1ln 1ln ln 2ln 4ln 2ln3ln1n n n n +--+--++-+-111ln 31122n n ⎛⎫≥++++ ⎪--⎝⎭整理得：()111ln 1ln ln 2ln1ln 31122n n n n ⎛⎫++--≥++++⎪--⎝⎭， 即2111ln 3ln 212n n n ⎛⎫+⎛⎫+++≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2n ≥，不等式得证.4．（2020·全国高三三模）已知函数2()2ln 1()f x ax x x a =--∈R . (1) 若1x e=时,函数()f x 取得极值,求函数()f x 的单调区间； (2) 证明：()*11111ln(21)3521221nn n n n +++⋯+>++∈-+N . 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由题意可得，()'222(0,)f x ax lnx x a R =-->∈，由1x e =时，函数()f x 取得极值知12'220af e e ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以0a =． 所以()()21,'22(0)f x xlnx f x lnx x =--=-->， 所以10x e <<时，()'0f x >；1x e>时，()'0f x <； 所以()f x 的单调增区间10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调减区间为1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. （2）当1a =时，()221f x x xlnx =--，所以()()'22221f x x lnx x lnx =--=--，令()ln 1g x x x =--，则()11'1x g x x x-=-=，当01x <<时，()'0g x <；当1x >时，()'0g x >，()g x 的单调减区间为()01，，单调增区间为()1+∞，， 所以()()10g x g ≥=，所以()'0f x ≥，()f x 是增函数，所以1x >时，()()22ln 110f x x x x f =-->=，所以1x >时，12ln x x x->， 令*211,21n x n N n +=>∈-，得2121212ln 212121n n n n n n +-+->-+- 即2221112ln 212121n n n n +⎛⎫+--> ⎪-+-⎝⎭ 所以1121111ln 2122122121n n n n n +⎛⎫>+- ⎪---+⎝⎭上式中123n =，，，…，n ，然后n 个不等式相加， 得到()11111...ln 213521221nn n n ++++>++-+ 5．（2020·辽宁沙河口·辽师大附中高三三模）已知函数()()2ln 11f x p x p x =+-+．（2）当1p =时，()f x kx ≤恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：()()*111ln 1123n n N n+<+++⋯+∈． 【答案】(1) 见详解；(2)1k；(3)证明见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为()0 +∞，，()()()221'21p x p p f x p x x x-+=+-=，当1p >时，()'0f x >，故()f x 在()0,∞+单调递增； 当0p ≤时，()'0f x <，故()f x 在()0,∞+单调递减；当10p -<<时，令()'0f x =，解得x =则当x ⎛∈ ⎝时，()'0f x >； x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，时，()'0f x <．故()f x 在⎛ ⎝单调递增，在 ⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减． （2）因为0x >，所以：当1p =时，()f x kx ≤恒成立11ln ln kx xx k x+⇔+≤⇔≥， 令()1ln xh x x +=，则()max k x h ≥， 因为()2ln 'xh x x-=，由()'0h x =得x =1， 且当()0,1x ∈时，()'0h x >；当()1,x ∈+∞时，()'0h x <．所以()h x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()()max 11h x h ==， 故1k ．(3)取,则代入由题设可得,取,并将上述各不等式两边加起来可得()()*111ln 1123n n N n+<+++⋯+∈．6．（2020·浙江省宁波市鄞州中学高三三模）已知函数()()2f x ax a a R =+∈.（2）若()0f x ≤对任意的1x ≥-恒成立，求a 的取值范围；（32600⋅⋅⋅+<. 【答案】（1）()f x 在211,14a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单增；在211,4a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单减；（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（3）证明见解析. 【解析】()'f x a =+.（1）当0a ≥时，()'0f x ≥，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增； 当0a <时，由()'0f x >解得21114x a -<<-， 所以()f x 在211,14a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增；在211,4a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）当0a ≥时，()()2000f x a x =+≥+=，故不合题意；当0a <时，由（∈）知()max 21104x f f a ⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭，211(21)(21)20141244a a f a a a a a a +-⎛⎫=-+- ⎪⎝-+=≤⎭102a a <∴≤-，综上，a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.（3）由（2）知，取12a =-112x ≤+成立.当()1,2,3,,20482020kx k ==时，1111220204040k k =≤⨯+=⨯+，⋅⋅⋅+()11234204820484040++++++<20491024204826004040⨯=+<.7．（2020·广东广州·高三三模）已知函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明:()21f x x x ≤+-；（3）试比较22222222ln2ln3ln4ln 234n n++++与()()()12121n n n -++ ()*2n N n ∈≥且的大小，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）函数()f x 的定义域为：()0,∞+，()'f x = 222a a x x x x++=∈当0a ≥时，()'0f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增∈当0a <时，令()'0f x =，解得x =当0x <<时，220a x +<，所以()'0f x <， 所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >220a x +>，所以()'0f x >，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增． 综上，当0a ≥时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. （2）当a 1=时，()2ln f x x x =+，要证明()21f x x x ≤+-，即证ln 1x x ≤-，即证：ln 10x x -+≤. 设()g ln 1x x x =-+，则()g'x =1xx-，令()0g x '=得，1x =. 当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<. 所以1x =为极大值点，且()g x 在1x =处取得最大值．所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤．故()21f x x x ≤+-.（3）证明：ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立），即11lnx x x≤-, 则有2222ln +22222222223111111111n 132323ln lnn n n n ⎛⎫+⋯+<-+-+⋯+-=--++⋯+ ⎪⎝⎭()111n 123341n n ⎛⎫<--++⋯+ ⎪ ⎪⨯⨯+⎝⎭ ()()()12111111111n 1n 1233412121n n n n n n -+⎛⎫⎛⎫=---+-+⋯+-=---=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 故：2222ln +()()()22221213321n n ln lnn n n -++⋯+<+ 8．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中三模）已知函数()()2ln 1f x ax bx x =+-+．（∈）当0a =时，函数()f x 存在极值，求实数b 的取值范围；（∈）当1b =时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；（∈）求证：()()1*113ln 2122N 14nk n n k =-+<∈-∑． 【答案】（∈）0b >；（∈）12a ≤-；（∈）证明见解析． 【解析】（∈）当0a =时，()()()ln 11f x bx x x =-+>-，()()1111bx b f x b x x --'=-=++， ∈当0b ≤时，()0f x '<，则()f x 在()1,-+∞递减，无极值； ∈当0b >时，令()1'0,11f x x b==->-， 1()0,(1,1),()f x x f x b '<∈--单调递减，1()0,(1,),()f x x f x b '>∈-+∞单调递增，所以11,()x f x b=-取得极小值.综上可知：0b >．（∈）当1b =时，()()()2ln 10f x ax x x x =+-+>，()1212011x f x ax ax x x '=+-=+≤++恒成立 121a x ⇔-≥+对一切()0,x ∈+∞恒成立， ∈11x +>，∈1011x <<+，∈21a -≥，∈12a ≤-．（∈）由（∈）知：当12a =-时，()()21ln 12f x x x x =-+-+在()0,∞+递减，∈()()00f x f ≤=，即：()2ln 12x x x -+<，令221x n =-，则()22212ln 212121n n n n +-<---， 当2n ≥时，()2222122ln 212144121n n n n n n +-<=---+- ()21114121n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭，∈23ln 2ln 311-=- 2511ln 13322⎛⎫-<- ⎪⎝⎭ 27111ln 55223⎛⎫-<- ⎪⎝⎭……221111ln 212121n n n n n +⎛⎫-<- ⎪---⎝⎭累加得，()11112ln 212ln 31212nk n k n =⎛⎫⋅-+<-+- ⎪-⎝⎭∑ 5153ln3ln32222n =--<-<， 当1n =时，131ln 324-<，即：1ln 32>，综上，()1113ln 212124nk n k =-+<-∑． 9．（2020·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数()()()()ln 111f x x k x k R =---+∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）证明：()()*1ln 2ln 3ln ,13414n n n n n n -++⋅⋅⋅+<∈>+N . 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）[)1,+∞；（3）证明见解析. 【解析】（1）函数()()()ln 111f x x k x =---+的定义域为()1,+∞，且()11f x k x '=--. ∈当0k ≤时，()0f x '>恒成立，故函数()y f x =在()1,+∞上为增函数； ∈当0k >时，令()0f x '<，得1k x k +>时，即函数()y f x =在1,k k +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减， 令()0f x '>，得11k x k +<<时，即函数()y f x =在11,k k +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.综上：当0k ≤时，函数()y f x =在()1,+∞上为增函数； 当0k >时，函数()y f x =在11,k k +⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在1,k k +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为减函数； （2）当0k ≤时，()211f k =-+≥，显然()0f x ≤不恒成立； 当0k >时，()max 11ln 0k f x f k k +⎛⎫==≤⎪⎝⎭，即1k .综上：实数k 的取值范围是[)1,+∞；（3）由（2）可知，当1k =时()0f x ≤恒成立，即()ln 12x x -<-，()ln 121x x x-∴<-， ()()22ln ln 11121212n n n n n n n --=<=+++，可得出ln 2132<，ln 3242<，，ln 112n n n -<+， ()()*1ln 2ln 3ln 121,23412224n n n n n N n n --∴+++<+++=∈≥+. 10．（2020·浙江三模）已知数列{}n a ，112a =，1ln 1n n a a +=-. （1）求证：11n n a a +<<； （2）求证：123201912020a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅<. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）∈先利用数学归纳法证明1n a <. （∈）当1n =时，1112a =<成立； （∈）假设n k =时1k a <成立，则1ln 10k k a a +=-<，11k a +∴<. 综上所述，对任意的n *∈N ，1n a <； ∈利用导数证明1x e x -≥，设()1x f x ex -=-，则()1e 1x f x -'=-，当1x <时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减； 当1x >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，()()0110f x f e ≥=-=，即1x e x -≥，当且仅当1x =时，等号成立.1n a <，()()10n f a f ∴>=，即1n a n e a ->，1ln 1n n a a +=-，11n a n n a e a -+∴=>，综合∈∈可知11n n a a +<<；（2）利用数学归纳法证明1n n a n ≤+. ∈当1n =时，112a =满足1n n a n ≤+；∈假设n k =时成立，即1k ka k ≤+，则由1ln 1n n a a +=-，得111111k k a k k k a eee---+++==≤，要证1112k k ek -++<+，令11,012t k ⎛⎫-=∈- ⎪+⎝⎭，则要证11012t e t t ⎛⎫<-<< ⎪-⎝⎭，21 / 21 构造()11x f x e x =+-，1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()()()22211111x x e x f x e x x --'=-=--，令()()211x h x e x =--，1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()()()()2212110x x x h x e x e x e x '=-+⋅-=-<， 所以，函数()y f x '=在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()()00f x f ''∴>=，所以，函数()y f x =在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()()00f x f ∴<=，即11x e x <-成立，即1112k k e k -++<+，112k k a k ++∴<+， 综上1n na n ≤+，当且仅当1n =时等号成立，由于1ln 1n n a a +=-，可知0n a >， 所以，1102a <≤，2203a <<，，2019201902020a <<，1220191232019123420202020a a a ⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⋅⋅⨯=.。
高中数学《导数和数列综合证明 (1)》导学案
高中数学《导数和数列综合证明（一）》导学案例2：已知：x x <+)1ln(2，（1）求证：）*2222()21...(81)41)(21(N n e n ∈<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++（2）求证：*2()311)...(8111)(911(N n e n ∈<+++）（3）求证：（1+421）（1+431）…（1+41n）＜e )211ln(......)411ln()211ln()]211)...(411)(211ln[()1ln(12222222n n x x ++++++=+++∴<+ ）（e n n n n <+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++<)211)...(411)(211(12112112112121 (814121222),)311)...(8111)(911(21311213113113131......3131)311ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[(2212222e e n n n n n n =<+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++<++++++=+++∴）（ （3）ln[（1+421）（1+431）……(1+41n )]=ln[（1+421）（1+431）+…ln （1+41n ）＜221+231+…+21n＜)1(1321211-+⨯+⨯n n =1-21+21-31+…+n n 111--=1-n 1＜1∴（1+421）（1+431）……(1+41n )＜e 例3：设曲线y = f (x ) =cx bx x a ++23213在点x 处的切线斜率为k (x )，且k (-1) = 0.对一切实数x ，不等式).0()1(21)(2≠+≤≤a x x k x 恒成立（1）求f (1)的值；（2）求函数k (x )的表达式；（3）设数列)(1n k 的前n 项和为S n ，求证22+>n nS n解：（1）04)1(,0,00)(222≤--≤∆>∴≥-++++=ac b a x c bx ax c bx ax x k ①0)21)(21(4,0,021,02121222≤---≤∆<-∴≤--++c a b a x c bx ax ②又,4)1(1)1(),11(21)1(12a cb a k k k =++==∴+≤≤ 又1270)1(41=∴=∴f a（2）)0()(2≠++='=a c bx ax y x k ，由0)1(,1)1(=-=k k 得⎩⎨⎧=+-=++01c b a c b a 得⎪⎩⎪⎨⎧==+2121b c a 又)1(21)(2+≤≤x x k x 恒成立，则由)0(0212≠≥+-a c x ax 恒成立得410402141==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+≤-=∆>c a c a ac a 同理由02121)21(2≥-++-c x x a 恒成立得41==c a 综上，21,41===b c a 412141)(2++=∴x x k（3）∑=+++⨯+⨯>+++=ni n n n i k 122])2)(1(1431321[41])1(121[41)(1 22]2121[41+=+-=n n n 法二：和式代换，要证22+>n n S n ，即也证()1121+->-n n S n ，只需证：()()()21411222++=+--+>n n n n n n a n ，只需()()()21414)(12++>+=n n n n k ，且()322121114211=+>=+==S a ，故22+>n n S n。
数学函数公式大全,初中数学函数公式大全及图解
数学函数公式大全，初中数学函数公式大全及图解数学函数公式大全？一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。
下面所整理的高中数学函数知识点归纳总结，供参考。
一、一次函数定义与定义式:自变量x和因变量y有如下关系:y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即:y=kx(k为常数，k≠0)二、一次函数的性质:1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质:1.作法与图形:通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像--一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质:(1)在一次函数上的任意一点p(x，y)，都满足等式:y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x 轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限:当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k当b0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=o时，直线通过原点o(0，0)表示的是正比例函数的图像。
初中数学函数公式大全？1.三角函数公式：两角和公式sin(a+b) =sinacosb+cosasinb sin(a-b) = sinacosb-cosasinb ? cos(a+b) = cosacosb-sinasinb cos(a-b) =cosacosb+sinasinb tan(a+b) = (tana+tanb)/(1-tanatanb) tan(a-b) = (tana-tanb)/(1+tanatanb) cot(a+b) = (cotacotb-1)/(cotb+cota) ? cot(a-b) = (cotacotb+1)/(cotb-cota)倍角公式sin2a=2sina?cosacos2a=cosa^2-sina^2=1-2sina^2=2cosa^2-1tan2a=2tana/（1-tana^2）（注：sina^2 是sina的平方sin2（a）诱导公式：sin(-α) = -sinαcos(-α) =cosαsin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tana= sina/cosa tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα2.乘法原理：n=n1・n2・......・nn3.加法原理：m=m1+m2+......+mm4.排列组合公式(可以去查）注意：全排列公式：当m＝n时，为全排列pnn=n(n－1)(n－2)…3・2・1＝n！检举回答人的补充 2009-07-16 18:10 .椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：1）焦点在x轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (ab0) 2）焦点在y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (ab0) 2.数列极限：设是一数列，如果存在常数a，当n无限增大时，an无限接近（或趋近）于a，则称数列收敛，a称为数列的极限，或称数列收敛于a，记为liman=a。
高数-导数与极限习题详解
m = min{F (0 ), F (1),− − − , F (n − 1)}
m≤
使 F (ξ ) = f (ξ + 1) − f (ξ ) = 0
则
证： 令 F ( x ) = f ( x + 1) − f ( x )
则 F ( x )在[0, n − 1]上连续
1 [F (0) + F (1) + − − − + F (n − 1)] ≤ M n
在 x = 0处
例 A. 0 ;
lim arc cot
x→0
1 = x
（ D ）. C. 2 ;
π
B. π
−;Biblioteka D. 不存在 .极限存在，求a 值。
解： f (0 − 0 ) = lim−
x→0
x+a
1
2+ ex x sin x ⋅ tan 2 f (0 + 0) = lim+ x →0 1 − cos 2 x
∴ b = e或 b = 1
综上知： a = 0, b = e
例
设 f ( x )是[0, n]上的连续函数，
分析： 即证 ∃ξ ∈ [0, n − 1],
证明： ∃ξ ∈ [0, n − 1], 使 f (ξ + 1) = f (ξ )
f (0 ) = f (n ), n是正整数，
设 M = max{F (0 ), F (1),− − − , F (n − 1)}
x − 1 x −1 = lim 1 + x →1 x +1 x +1 2 x ⋅ − x +1
= lim
x →0
1 + x sin x + cos x x sin x 1 − cos x + x2 x2
构造函数法在高考解导数和数列问题
用构造函数法给出两个结论的证明．（1）构造函数()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-≥，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=．所以sin 0x x ->，即sin x x <．（2）构造函数()ln(1)f x x x =-+，则1()1011x f x x x'=-=>++．所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=，所以ln(1)x x >+，即ln(1)x x +<．要证111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭两边取对数，即证11ln 1,1n n ⎛⎫+>⎪+⎝⎭ 事实上：设11,t n +=则1(1),1n t t =>- 因此得不等式1ln 1(1)t t t >->构造函数1()ln 1(1),g t t t t=+->下面证明()g t 在(1,)+∞上恒大于0．211()0,g t t t'=->∴()g t 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0,g t g >= 即1ln 1,t t>-∴ 11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭ ∴111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭以上两个重要结论在高考中解答与导数有关的命题有着广泛的应用．例如：2009年广东21，2008年山东理科21，2007年山东理科22．1．【09天津·文】10．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且22()()f x xf x x '+>，下面的不等式在R 上恒成立的是A ．0)(>x fB ．0)(<x fC ．x x f >)(D ．x x f <)( 【答案】A【解析】由已知，首先令0=x 得0)(>x f ，排除B ，D ．令2()()g x x f x =，则[]()2()()g x x f x xf x ''=+，① 当0x >时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x'''+=>⇒>，所以函数()g x 单调递增，所以当0x >时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．② 当0x <时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x'''+=>⇒<，所以函数()g x 单调递减，所以当0x <时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．综上0)(>x f ．故选A ．【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力． 2．【09辽宁·理】21．（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：若5a <，则对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞．211(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x --+--+-'=-+== …………………2分（i ）若11a -=即2a =，则2(1)()x f x x-'=，故()f x 在(0,)+∞单调增加．（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <；当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加．（iii ）若11a ->，即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加． （II ）考虑函数()()g x f x x =+21(1)ln 2x ax a x x =-+-+． 则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=-． 由于15,a <<故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞单调增加，从而当120x x >>时有 12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--，当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---． ………………………………12分 3．【09全国Ⅱ·理】22．（本小题满分12分）设函数()()21f x x aln x =++有两个极值点12x x ，，且12x x <．（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （II ）证明：()21224ln f x ->． 【解】（I ）由题设知，函数()f x 的定义域是1,x >-()222,1x x af x x++'=+且()0f x '=有两个不同的根12x x 、，故2220x x a ++=的判别式480a ∆=->，即 1,2a <且 12x x == …………………………………①又11,x >-故0a >． 因此a 的取值范围是1(0,)2．当x 变化时，()f x 与()f x '的变化情况如下表：因此()f x 在区间1(1,)x -和2(,)x +∞是增函数，在区间12(,)x x 是减函数． （II ）由题设和①知22210,2(1),2x a x x -<<=-+ 于是 ()()2222222(1)1f x x x x ln x =-++． 设函数 ()()22(1)1,g t t t t ln t =-++则 ()()2(12)1g t t t ln t '=-++当12t =-时，()0g t '=； 当1(,0)2t ∈-时，()0,g t '>故()g t 在区间1[,0)2-是增函数．于是，当1(,0)2t ∈-时，()1122().24ln g t g ->-=因此 ()22122()4ln f x g x -=>．5．2009届山东省德州市高三第一次练兵（理数）21．（本小题满分12分）已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在（0,1）为减函数． （1）求)(x f 、)(x g 的表达式；（2）求证：当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； （3）当1->b 时,若212)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围． 解：（1）,2)(xax x f -='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x ． ∵上式恒成立,∴2≤a ① …………………………1分又x ax g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x ．∵上式恒成立,∴.2≥a ② …………………………2分 由①②得2=a ．…………………………3分∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-= …………………………4分 （2）由（1）可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(xx x x h +--='则 令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x ………5分 令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得 …………………………6分 列表分析：可知)(x h 在1=x 处有一个最小值0, …………………………7分当10≠>x x 且时,)(x h ＞0,∴0)(=x h 在（0,+∞）上只有一个解．即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解． …………………………8分（3）设2'23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x xϕϕ=--+=---<则, …………9分 ()x ϕ∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ϕϕ∴==-+≥ 又1b >-………11分所以：11≤<-b 为所求范围． …………………………12分 7．山东省滨州市2009年5月高考模拟试题（理数）20．（本题满分12）已知函数2()ln .f x ax x =+ （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a =时，设斜率为k 的直线与函数()y f x =相交于两点1122(,)(,)A x y B x y 、 21()x x >，求证：121x x k<<． 解：（Ⅰ）略（Ⅱ）当0a =时，()ln .f x x =以下先证11x k>， 21212121ln ln 0,y y x x k x x x x --==>--所以只需证21211ln ln 1x x x x x -<-，即2212111ln1.x x x x x x x -<=- 设()ln 1(1)t t t t ϕ=-+ >，则1()10(1)t t tϕ'=-< >． 所以在(1,)t ∈+∞时，()t ϕ为减函数， ()(1)0(1t t ϕϕ<= >．即ln 1(1)t t t <- >．又211x x >， ∴2211ln1x x x x <-成立，即11x k >．同理可证21x k<． ∴121x x k<<． 9．山东省安丘、五莲、诸城、兰山四地2009届高三5月联考22．（本题满分14分）已知函数1()ln sin g x x xθ=+⋅在[)1,+∞上为增函数，且(0,)θπ∈，1()ln m f x mx x x-=--，m R ∈． （1）求θ的取值范围；（2）若()()f x g x -在[)1,∞上为单调函数，求m 的取值范围；（3）设2()eh x x=，若在[]1,e 上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立，求m 的取值范围．解：（1）由题意，211()0sin g x x x θ'=-+≥⋅在[)1,+∞上恒成立，即2sin 10sin x xθθ⋅-≥⋅(0,),s i n θπθ∈ ∴>．故sin 10x θ⋅-≥在[)1,+∞上恒成立， ……………2分 只须sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，只有sin 1θ=．结合(0,),θπ∈得2πθ=．…4分（2）由（1），得()()2ln .m f x g x mx x x -=--()222()().mx x m f x g x x -+'∴-=()()f x g x -在[)1,∞上为单调函数，220mx x m ∴-+≥或者220mx x m ∴-+≤在[)1,∞恒成立． ……………．． 6分220mx x m -+≥等价于2(1)2,m x x +≥即22,1xm x ≥+ 而2222,max 11111x m x x x x x ⎧⎫⎪⎪== ∴≥⎨⎬+⎪⎪++⎩⎭． …………………………………8分 220mx x m ∴-+≤等价于2(1)2,m x x +≤即221xm x ≤+在[)1,∞恒成立，而(]220,1,01xm x∈≤+． 综上，m 的取值范围是(][),01,-∞+∞． ………………………………………10分（3）构造函数2()()()(),()2ln .m e F x f x g x h x F x mx x x x=--=--- 当0m ≤时，[]1,,0m x e mx x ∈-≤，22ln 0ex x--<，所以在[]1,e 上不存在一个0x ， 使得000()()()f x g x h x ->成立．当0m >时，22222222().m e mx x m eF x m x x x x-++'=+-+= …………12分 因为[]1,,x e ∈所以220e x -≥，20mx m +>，所以()0F x '>在[]1,e 恒成立．故()F x 在[]1,e 上单调递增，max 4()4F x me e =--，只要440me e-->， 解得24.1em e >-故m 的取值范围是24,.1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭……………………………………………14分。
第十讲 导数放缩和数列 教师版
（放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x <−>⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x >−<<⎛⎫⎪⎝⎭，)ln 1x x<>，)ln 01x x ><<，（放缩成二次函数）2l n x x x ≤−，()()21ln 1102x x xx +≤−−<<，()()21ln 102x x xx +≥−>（放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥−，()()21ln 11x x x x −>>+，()()21ln 011x x x x −<<<+，()ln 11x x x+≥+，()()2ln 101x x x x+>>+，()()2ln 101x x x x+<<+第二组：指数放缩一次：1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥，类反比例：()101x e x x ≤≤−，()10x e x x <−<，二次：（泰勒）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩（双切线） ()()ln 112x e x x x −≥+−−=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥−，22111cos 1sin 22x x x −≤≤−.第五组：以直线1y x =−为切线的函数ln y x =，11x y e−=−，2y x x =−，11y x=−，ln y x x =.3.放缩的思路二、课堂练习例1．已知函数()1x f x e x =−−． （1）证明()0f x ；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ++⋯+<求m 的最小值．【答案】【解答】解：（1）()1x f x e '=−，当0x >时，()0f x '>，函数单调递增，当0x <时，()0f x '<，函数单调递减， 故当0x =时，函数取得最小值(0)0f =， 所以()0f x ；（2）由（1）知，当0x >时1x e x >+， 所以(1)x ln x >+，令12n x =，则可得11(1)22n n ln +<， 从而2211(1)111111122(1)(1)(1)111222222212n n n nln ln ln −++++⋯++<++⋯+==−<−， 故2111(1)(1)(1)222n e ++⋯+<，而23111(1)(1)(1)2222+++>，故m 的最小值为3．变式1．已知函数()1f x elnx x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：*(1)2((123)n n e n N ln n +>∈⨯⨯⨯⋯⨯，且2)n ．【答案】【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1e e xf x x x−'=−=． 在(0,)e 上，()0f x '>，在(,)e +∞上，()0f x '<．()f x ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减． （2）由（1）知()f x f （e ）1=，11elnx x ∴−+，即xlnxe，当且仅当x e =时取等号． 从而11ln e<，22ln e <，33ln e <，⋯，n lnn e <，∴123123nln ln ln lnn e+++⋯++++⋯+<，∴(1)(123)2n n ln n e+⨯⨯⨯⋯⨯<， ∴(1)2(123)n n e ln n +>⨯⨯⨯⋯⨯．例2．已知()x f x e =，()1(g x x e =+为自然对数的底数）． （1）求证：()()f x g x 恒成立；（2）设m 是正整数，对任意正整数n ，2111(1)(1)(1)333n m ++⋯+<，求m 的最小值．【答案】【解答】解：（1）令()()()1x h x f x g x e x =−=−−，()1x h x e '=−，()0h x '=，则0x =，当0x <，()0h x '<；0x >时，()0g x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递减，在(,0)−∞单调递增，所以()()00h x h ==最小值，即()0h x 恒成立； 所以()()f x g x ；（2）由（1）令13n x =，可知131013nn e <+<，由不等式性质得2211(1)3311111111111[1()]33333332322111(1)(1)(1)2333n n n n n e e e e ee e −++⋯+−−++⋯+<⋯===<=．所以m 的最小值为2．变式1．已知函数()1f x xlnx x =−+，()x g x e ax =−，a R ∈． （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）若()1g x 在R 上恒成立，求a 的值；（Ⅲ）求证：2111(1)(1)(1)1222n ln ln ln ++++⋯++<．【答案】【解答】解：()()I f x lnx '=，∴当01x <<时，()0f x '<，1x >时，()0f x '>，()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ∴当1x =时，()f x 取得最小值f （1）0=；()II 由()1x g x e ax =−恒成立可得1x ax e +恒成立， 设()x h x e =，则()x h x e '=，故(0)1h '=，(0)1h =，∴函数()y h x =在(0,1)处的切线方程为1y x =+， 1x x e ∴+恒成立． 1a ∴=；()III 由()II 可知，1x x e +恒成立，两边取对数得(1)ln x x +，令1(12ix i ==，2，3)n ⋯累加得2211(1)111111122(1)(1)(1)111222222212n n n n ln ln ln −++++⋯++++⋯+==−<−，所以原不等式成立．例3．已知实数0a >，函数()1(x f x e ax e =−−是自然对数的底数） （1）求函数()f x 的单调区间及最小值． （2）若()0f x 对任意x R ∈恒成立，求a 的值． （3）证明：*1111(1)()23ln n n N n+++⋯+>+∈． 【答案】【解答】解：（1）()f x 的定义域为R ，()x f x e a '=−， 令f ‘()0x >得，x lna >，令f ’ ()0x <的，x lna <，()f x ∴的单调减区间为(,)lna −∞，增区间为(0,)+∞， ()()1min f x f lna a alna ∴==−−．（2）)()0f x 等价于()0min f x ，∴由（1）得10a alna −−，设g （a ）1a alna =−−，则g ‘（a ）lna =−， 令g ’（a ）0=得1a =，g ∴（a ）在(0,1)上为增函数，(1,)+∞为减函数， g ∴（a ）max g =（1）0=， g ∴（a ）g （1）0=， g ∴（a ）0=，1a ∴=；（3）由（2）可知，当1a =时，()0f x ，即10x e x −−， 1x e x ∴+，两边取对数得(1)x ln x +，当且仅当0x =时取等号，∴令1x n =得111(1)()n ln ln n n n+>+=， 111234123411()()()()()(1)23123123n n ln ln ln ln ln ln n n n n++∴+++⋯+>+++⋯+=⨯⨯⨯⋯⨯=+． 变式1．已知函数()(1)x f x e ln x =−+ （1）求函数()f x 的最小值；（2）证明：()()111*321,ne e e e ln n n N e +++⋯++∈为常数．【答案】【解答】解：（1）由题意知，()f x 的定义域为：1x >−； 对()f x 求导：1()1x f x e x '=−+ 对()f x '求导有：21()0(1)x f x e x ''=+>+，所以()f x '为(1,)−+∞上单调增函数；令()0f x '=，则有0x =；所以，当(1,0)x ∈−时，()0f x '<，()f x 在(1,0)−上单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 故()f x 的最小值为(0)1f =．（2）由（1）知当0x =时，()f x 取得最小值，即()1f x(1)1x e ln x ∴−+，即(1)1x e ln x ++取1x n=，则11(1)1(1)1n e ln ln n lnn n ++=+−+于是211e ln ln −+；12321e ln ln −+； 13431eln ln −+；⋯1(1)1neln n lnn +−+；累加得：11132(1)ne e e e ln n +++⋯++，*()n N ∈故得证．例4．已知函数()(1)f x ln x =+（1）设()y g x =是函数()f x 在(0,0)处的切线，证明：()()f x g x （2）证明：2*22221111(1)(1)(1)(1)()123e n N n+++⋯+<∈ 【答案】【解答】解：（1）1()1f x x'=+，则(0)1f '=，又(0)0f =，所以()g x x = 证明()()(1)f x g x ln x x ⇔+，令()(1)h x ln x x =+−，则1()111xh x x x'=−=−++， 所以()h x 在(1,0)−上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， 故()(0)0h x h =，所以(1)ln x x +．（2）由（1）知(1)ln x x +对任意的1x >−恒成立． 取1x =，则(11)1ln +<；212x =，则2211(1)22ln +<；⋯；2211(1)ln n n +<； 则22221111(11)(1)(1)122ln ln ln n n ++++⋯++<++⋯+， 又因为22111111112221223(1)n n n n++⋯+<+++⋯+=−<⨯⨯−， 所以2211(11)(1)(1)22ln ln ln n ++++⋯++<， 即2211(11)(1)(1)22ln n ++⋯+<， 所以2222111(1)(1)(1)12e n++⋯+<． 变式1．已知函数()f x x lnx =−． （1）求()f x 的最小值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，222111(1)(1)(1)23m n +⨯+⨯⋯⨯+<，求m 的最小值． 【答案】【解答】解：：（1）11()1x f x x x−'=−=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，故()f x 在(0,1)单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞单调递增； 故()f x f （1）1=，故()f x 的最小值为1． （2）由（1）可得，()1f x x lnx =−即1lnx x −， 所以222114422(1)4(21)(21)2121ln k k k k k k k +=<=−−+−+，*k N ∈，2n ， 则222111222222222(1)(1)(1)223355*********ln ln ln ln n n n n ++++⋯++<−+−+⋯+−=−<<−++， 即222111(1)(1)(1)223ln ln n ++⋯+<， 所以222111(1)(1)(1)223n ++⋯+<． 又因为222111(1)(1)(1)123n++⋯+>，故对任意正整数n ，222111(1)(1)(1)23m n++⋯+<的整数m 的最小值为2． 例5．已知函数()f x xlnx kx =+，k R ∈．（1）求()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （2）若不等式2()f x x x +恒成立，求k 的取值范围； （3）求证：当*n N ∈时，不等式2212(41)21ni n nln i n =−−>+∑成立．【答案】【解答】解：（1）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，()1f x lnx k '=++，f '（1）1k =+，f （1）k =，∴函数()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为(1)(1)y k k x −=+−， 即(1)1y k x =+−；（2）设()1g x lnx x k =−+−，1()1g x x'=−， (0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增， (1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减， 不等式2()f x x x +恒成立，且0x >，10lnx x k ∴−+−，()max g x g ∴=（1）20k =−即可，故2k ，（3）由（2）可知：当2k =时，1lnx x −恒成立， 令2141x i =−，由于*i N ∈，21041i >−． 故，221114141lni i <−−−，整理得：221(41)141ln i i −>−−， 变形得：：21(41)1(21)(21)ln i i i −>−+−，即：2111(41)1()22121ln i i i −>−−−+1i =，2，3⋯⋯，n 时，有1312ln >−1(1)3−’ 1512ln >−1(1)3− ⋯⋯⋯⋯21(41)12ln n −>−11()2121n n −−+两边同时相加得：21112222(41)(1)2212121ni n n nln i n n n n =−−>−−=>+++∑， 所以不等式在*n N ∈上恒成立．变式1．已知函数()(1)(1)1f x ln x k x =−−−+． （1）求函数()f x 的极值点；（2）若()0f x 恒成立，求k 的取值范围； （3）证明：*22341(62460(1)22ln ln ln lnn n n N n n n −+++⋯+<∈−+，1)n > 【答案】【解答】解：（1）()f x 的定义域为(1,)+∞，1()1f x k x '=−−， 若0k ，则()0f x '>，()f x 在(1,)+∞单增，所以()f x 无极值点； 若0k >，令()0f x '=，得11x k=+， 当1(1,1)x k ∈+时，()0f x '>，()f x 在1(1,1)k +单增，当1(1,)x k ∈++∞时，()0f x '<，()f x 在1(1,)k++∞单减，所以()f x 有极大值点11x k=+，无极小值点； （2）由（1）知当0k 时，()f x 在(1,)+∞单增，又f （2）10k =−>，所以()0f x 不成立； 当0k >时，1()(1)max f x f lnk k=+=−，若()0f x 恒成立，只需1()(1)0max f x f lnk k=+=−，解得1k ，所以k 的取值范围是[1，)+∞；（3）由（2）知，当1k =时，1(1)lnx x x <−>，∴221111(,1)(1)(1)(1)1lnn n n N n n n n n n n n n −<==−∈>−−++，∴2234111111111(,1)62460(1)233412122ln ln ln lnn n n N n n n n n n n −+++⋯⋯+<−+−+⋯⋯+−=−=∈>−+++．例6．已知函数()2f x x lnx m =−−，()1g x mx =−，m R ∈． （1）若1m =，求函数()()()h x f x g x =−的最小值； （2）求证：*2222222123111111(1)(1)()1232323ln ln ln lnn n N n n n+++⋯++++⋯+−+++⋯+∈． 【答案】【解答】解：（1）当1m =时，()(0)h x x lnx x =−>，则11()1x h x x x−'=−=， 令()0h x '>，解得1x >；令()0h x '<，解得01x <<；∴函数()h x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增， ()min h x h ∴=（1）1=；（2）证明：由（1）可知，1x lnx −，即1lnx x −，当且仅当1x =时取等号，所以2211lnxx x x−， ∴222222212113111111,,,,()1222333ln ln lnnn N ln n n n −<−<−⋯⋯−∈， ∴2222222123111111111232233ln ln ln lnn n n n +++⋯⋯+−+−+−+⋯⋯+−， ∴*2222222123111111(1)(1)()1232323ln ln ln lnn n N n n n+++⋯++++⋯+−+++⋯+∈． 变式1．已知函数1()lnxf x x+=． （1）如果当1x 时，不等式()1af x x +恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求证：222*211221211112()n n n N eee⨯+⨯++++⋯+<+∈；【答案】【解答】解：（1）不等式()1a f x x +，转化为(1)(1)x lnx a x++， 令(1)(1)()x lnx g x x++=，只需()min a g x 即可，2()x lnx g x x −'=，y x lnx =−，110y x'=−，y 在[1，)+∞递增，()h x h （1）10=>， 所以()0g x '>，()g x 在[1，)+∞递增， 所以()min g x g =（1）2=， 所以2a ；（2）令2a =，由（1）得121lnxxx ++，11x lnx x −+，即11x x e x −+，令211x n=+，代入则212121111111(2)(1)1n e n n n n n n +<+<+=+−−− 故22221122121111111111112221nn n n n ne e e ⨯+⨯++++⋯++++−+⋯+−=+−<+−． 故原式成立．例7．已知函数()sin f x a x blnx x =+−．（1）当0a =，1b =时，证明：()1f x −； （2）当6b π=时，若()f x 在(0,)3π上为增函数，求a 的取值范围； （3）*n N ∀∈，试比较2111(1)(1)(1)444n ++⋯+与13e 的大小，并进行证明．【答案】【解答】（1）证明：当0a =，1b =时，()f x lnx x =−，所以1()xf x x−'=， 令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >， 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以()min f x f =（1）1=−， 故()1f x −； （2）解：当6b π=时，()cos 16f x a x xπ'=+−，所以cos 106a x xπ+−在(0,)3π上恒成立，即66cos x ax xπ−在(0,)3π上恒成立，令6()6cos x h x x x π−=，(0,)3x π∈，显然当(0,)6x π∈时，()0h x <；当(6x π∈，)3π时，()0h x >，而当(6x π∈，)3π时，22cos sin (6)()06x x x x h x x cos xππ+−'=>，所以()h x 在(6π，)3π上单调递增， 所以()()13h x h π<=，所以1a ，即a 的取值范围是[1，)+∞；（3）132111(1)(1)(1)444n e ++⋯+<，证明：由（1）知(1)ln x x +< (0)x >， 令14x x =，得11(1)44x x ln +<， 所以11(1)44ln +<，2211(1)44ln +<，⋯，11(1)44n n ln +<，所以22111111(1)(1)(1)444444n n ln ln ln ++++⋯++<++⋯⋯+，即221111111111[(1)(1)(1)]4444443343n n n ln ++⋯+<++⋯⋯+=−⨯<，所以132111(1)(1)(1)444n e ++⋯+<．变式1．已知函数2()(21)(1)f x lnx ax a x a =+−+++． （1）若对1x ∀>，都有()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（2）证明：22222(1)(2)(3)()n n n n n n e n +++⋯+>对任意正整数n 均成立，其中e 为自然对数的底数． 【答案】【解答】（1）解：212(21)1(21)(1)()2(21)ax a x ax x f x ax a x x x−++−−'=+−+==．1x >，10x ∴−>，故：①当0a 时，()0f x '，()f x 在(1,)+∞上单调递减， 而f （1）0=，()0f x ∴<，不符合题意； ②当12a时，即112a，()f x 在(1,)+∞上单调递增， 而()f x f >（1）0=，∴符合题意； ③当102a <<，1(1,)2x a∈时，()0f x '<，()f x 在1(1,)2a 上单调递减， 而f （1）0=，∴此时()0f x <，不符合题意， 综上所述，a 的取值范围为1[,)2+∞．（2）证明：要证明22222(1)(2)(3)()n n n n n n e n +++⋯+>，等价于证明2222222212n n n k n nn n n n ++++⋯⋯>， 等价于证明222222221212n n n k n n ln ln ln ln n n n n ++++++⋯++⋯+>．由（1）可得1(1)[1(1)]2lnx x x >−−−在(1,)+∞恒成立．令21kx n =+，1k =，2，3，⋯，n ，则221k n，∴2224221(1)22k k k k ln n n n n n +>−−， ∴222222222212121122n n n k n n n ln ln ln ln n n n n n n n ++++++⋯+++⋯++⋯+>−⨯=， ∴222222221212n n n k n n ln ln ln ln n n n n ++++++⋯++⋯+>成立，∴22222(1)(2)(3)()n n n n n n e n +++⋯+>成立．例8．已知函数()(1)f x x lnx =+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y ax b =+． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求证：1x >时，()f x ax b >+；（Ⅲ）求证：2227(2)23(2,*)1632ln ln ln n n n N n n −++⋯++>∈−． 【答案】【解答】解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()x f x lnx x+'=+， f '（1）2=，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 又因为f （1）0=，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 所以该切线方程为2(1)y x =−，即2a =，2b =−． （Ⅱ）设()(1)22F x x lnx x =+−+， 则1()1F x lnx x'=+−， 设1()1g x lnx x=+−，(1)x ，g （1）0= 则21()x g x x−'=， 当(1,)+∞，()0g x '>，又g （1）0=，故()0g x >．所以()0F x '>，即()F x 在区间(1,)+∞单调递增，所以()F x F >（1）0= 所以1x >，()f x ax b >+．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，(1)2(1)x lnx x +>−．令22(2,*)x n n n N =−∈，则222(1)(2)2(3)n ln n n −−>−，因为222(2)2113111ln n n n n n −>=−−−−+，所以2n ，*n N ∈时，2227(2)111111111111321116332446211212ln ln ln n n n n n n n n n−++⋯+>−+−+−+⋯+−+−=+−−>−⋯−−−++ 即2227(2)23(2,*)1632ln ln ln n n n N n n −++⋯++>∈−． 变式8．已知函数1()(1)f x alnx a x x=−+−（1）当1a <−时，讨论()f x 的单调性 （2）当1a =时，若1()1g x x x=−−−，证明：当1x >时，()g x 的图象恒在()f x 的图象上方（3）证明：2*2222321(234(1)ln ln lnn n n n N n n −−++⋯+<∈+，2)n【答案】【解答】解：（1）函数1()(1)f x alnx a x x=−+−， 0x ∴>，2221(1)1()(1)a a x ax f x a x x x −+++'=−++=，1a <−，由()0f x '>，得[(1)1](1)0a x x −+−−>，当2a =−时，由()0f x '>，得1x ≠，增区间为(−∞，1]，[1，)+∞，无减区间； 当12a −<<−时，由()0f x '>得，11x a >−+或1x <，增区间为(0，1]，1[1a −+，)+∞，减区间为[1，1]1a −+； 当2a >−时，由()0f x '>得，11x a <−+或1x >，增区间为(0，1]1a −+，[1，)+∞，减区间为1[1a −+，1]． 证明：（2）1a =时，1()2f x lnx x x =−−，1()1g x x x=−−−， 设()()()1F x f x g x lnx x =−=−+，11()1xF x x x−'=−=， 当(0,1)x ∈时，()0F x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0F x '<()F x F ∴（1）0=，即()()f x g x <恒成立， ()g x ∴的图象恒在()f x 图象的上方． （3）由（2）知10lnx x −+(0)x >， 设()1K x lnx x =−+，则11()1x K x x x−'=−=． 当(0,1)x ∈时，()0k x '>，()k x ∴为单调递增函数； 当(1,)x ∈∞时，()0k x '<，()k x ∴为单调递减函数；1x ∴=为()k x 的极大值点，()k x k ∴（1）0=． 即10lnx x −+，1lnx x ∴−．由上知1lnx x −，又0x >，∴11lnx x x−． n N +∈，2n ，令2x n =，得22211lnn n n−，∴2211(1)2lnn n n −，∴222222231111(111)23223ln ln lnn n n++⋯+−+−+⋯+− 2221111[1()]223n n=−−++⋯+1111[1()]22334(1)n n n <−−++⋯+⨯⨯+ 1111111[1()]223341n n n =−−−+−+⋯+−+ 111[1()]221n n =−−−+ 2*21(4(1)n n n N n −−=∈+，2)n ∴2*2222321(234(1)ln ln lnn n n n N n n −−++⋯+<∈+，2)n 三、课后练习1．若函数211()(1)(1)22f x aln x x a x =++−+−． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0f x 在(1,)−+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证：对任意的正整数n 都有，11111234n ln ln ln lnn n−+++⋯+>． 【答案】【解答】解：（1）(1)()11a x x a f x x a x x +−'=+−=+−． 若0a ，则当(1,0)x ∈−时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；若01a <<，则当(1,1)x a ∈−−或(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,0)x a ∈−时，()0f x '<，()f x 单调递减；若1a =，则()0f x '恒成立，当且仅当0x =时取等号，所以()f x 在(1,)−+∞单调递增； 若1a >，则当(1,0)x ∈−或(1,)x a ∈−+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(0,1)x a ∈−时，()0f x '<，()f x 单调递减； （2）11(0)0022f a a =−−⇒−<， 所以当(1,0)x ∈−时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当0x =时，()f x 取最小值(0)0f ；所以(a ∈−∞，1]2−．（3）当12a =−时，2211111111()(1)(1)02222(1)1f x ln x x x ln x x x x x =−++++−⇔=−+++对任意(1,)x ∈−+∞恒成立，当且仅当0x =时取等号． 所以对任意的正整数n ，111(1)1ln n n n >−++，所以1111111111112312231n ln ln ln n n n n n−++⋯+>−+−+⋯++=−=−． 2．已知函数()(1)(1)f x lnx x ax a =+−−−． （Ⅰ）当0a =时，求()f x 的最大值；（Ⅱ）若对1x ∀>，都有()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明：22222(1)(2)(3)()n n n n n n e n +++⋯⋯+>对任意正整数n 均成立，其中e 为自然对数的底数． 【答案】【解答】（1）解：当0a =时，()1f x lnx x =+−，(0)x >， 11()1xf x x x−'=−=． 可得(0,1)∈时，()0f x '>，(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴在(0,1)递增，在(1,)+∞递减， ()f x ∴的最大值为f （1）0=；（2）解：212(21)1(21)(1)()(1)(1)ax a x ax x f x ax a x a x x x−++−−'=+−−+−==． ．110x x >∴−>故：①当0a 时，()0f x '，()f x 在(1,)+∞单调递减，而f （1）0=，()0f x ∴<，不符合题意， ②当102a时，112a，()f x 在(1,)+∞单调递增，在（而f （1）0=， ()0f x ∴>，不符合题意，③当1002a <<时，1(1,)2a ∈时，()0f x '，()f x 在1(1,)2a 单调递减，而f （1）0=，∴此时()0f x <，不符合题意，综上所述：a 的取值范围1[2，)+∞（3）证明：要证明22222(1)(2)(3)()n n n n n n e n +++⋯⋯+>．等价于证明2222222212n n n k n nn n n n++++⋯⋯>， 等价于证明222222221212n n n k n n ln ln ln ln n n n n ++++++⋯++⋯>．由（2）可得1(1)[1(1)]2lnx x x >−−−在(1,)+∞恒成立．令21kx n =+，1k =，2，3，n ⋯．则221k n2224221(1)22k k k k ln n n nn n∴+>−−． 222222222212121122n n n k n n n ln ln ln ln n n n n n n n ++++++⋯+∴++⋯++⋯>−⨯=． ∴．222222221212n n n k n n ln ln ln ln n n n n ++++++⋯++⋯>．成立．22222(1)(2)(3)()n n n n n n e n ∴+++⋯⋯+>．成立．3．已知函数()()f x x ln x a =−+的最小值为0，其中0a >． （1）求a 的值；（2）若对任意的[0x ∈，)+∞，有2()f x kx 成立，求实数k 的范围；（3）证明：*12(21)2()21ni ln n n N i =−+<∈−∑（注12222:2)213521ni i n ==+++⋯−−∑【答案】【解答】解：（1）函数的定义域为(,)a −+∞．由()0f x '=得：1x a a =−>−又由()0f x '得：1x a −()f x ∴在(,1)a a −−单调递减，在[1a −，)+∞单调递增 (())(1)01min f x f a a ∴=−=⇒=（2）设2()()(0)g x kx x In x a x =−++，则()0g x 在[0，)+∞恒成立 ()0(0)(*)min g x g ⇔=注意到g （1）1200k In k =−+⇒> 又(221)()1x kx k g x x +−'=+①当1210()2k k −<<时，由()0g x '得122kx k−．()g x 在12[0,]2k k −单减，12(,)2k k−+∞单增，这与(*)式矛盾； ②当12k时 ()0g x '在[0，)+∞恒成立()(0)0g x g ∴=符合(*) ∴12k⋯⋯（8分） 证明：（3）由（2）知：令12k =得：21(1)2x In x x −+令2(1,2,,)21x i n i ==⋯−得：222[(21)(21)]21(21)In i In i i i −+−−<⋯−− 当1i =时，2232x In =⇒−<； 当2i 时，2211(21)2321i i i <−⋯⋯−−−（11分）从而2121[(21)(21)]23122121i In i In i In i n =−++−<−+−<−−∑． 4．已知函数()1f x x lnx =−−． （1）求函数()f x 的最小值；（2）当*n N ∈时，求证：①11n ln n n+>；②1111231ne n +++⋯+>+．(e 为自然对数的底）【答案】【解答】解：（1）函数()1f x x lnx =−−．(0,)x ∴∈+∞，11()1x f x x x−'=−=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 是增函数， ()min f x f ∴=（1）0=．证明：（2）①由（1）得()10f x x lnx =−−， 当且仅当1x =时取等号，1x lnx ∴−，令*11()n x n N n +=>∈，得11n lnn n+>， ∴11n lnn n +>．②11n lnn n+>， 1112311(1)2312n ln ln ln ln n n n+∴+++⋯+>++⋯+=+， ∴1111231nen +++⋯+>+．5．已知函数()f x x lnx =−． （1）求()f x 的最小值；（2）证明：对于任意正整数n ，222111(1)(1)(1)23e n+⨯+⨯⋯⨯+<． 【答案】【解答】解：（1）11()1x f x x x−'=−=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，故()f x 在(0,1)单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞单调递增； 故()f x f （1）1=，故()f x 的最小值为1． （2）由（1）可得，()1f x x lnx =−即1lnx x −， 所以2211111(1)(1)1ln k k k k k k+<=−−−，*k N ∈，2n ， 则222111111111(1)(1)(1)111232231ln ln ln n n n n ++++⋯++<−+−+⋯+−=−<−， 即222111(1)(1)(1)123ln n ++⋯+<， 所以222111(1)(1)(1)23ln e n ++⋯+<． 6.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 过点(1,0)，其导函数为2()1f x x x'=−+，设23()(1)22x g x k x lnx =−+−++．（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数k ，使得对任意的(0,)x ∈+∞不等式()()0f x g x +>恒成立？若存在，求出k 的取值范围，若不存在，请说明理由； （3）求证：2!(1)(2elnn n n n <+=，3，4)⋯ 【答案】 【解答】解：（1）2()1f x x x'=−+ 2()2(2x f x lnx x C C ∴=−++为常数）又()f x 过(1,0)f ∴（1）1102C =++=，解得32C =− 故23()222x f x lnx x =−+− （2）假设存在实数k ，使得对任意的(0,)x ∈+∞不等式()()0f x g x +>恒成立 由（1）知()()0f x g x +>， 0kx lnx −>，即lnxk x>令()lnx t x x =，则21()lnxt x x −'=，由()0t x '=解得x e =当0x e <<时()0t x '>，()t x 为增函数 当x e >时()0t x '>，()t x 为减函数 1e∴=，1k e ∴>，故k 的取值范围为1(e，)+∞．证明：（3）由（2）知，当0x >时，1lnxx e， ∴当2n =，3，4⋯时1lnn n e<，即elnn n < 22eln ∴<，33eln <，44eln <，⋯，elnn n <，2!(1)(2elnn n n n ∴<+=，3，4)⋯．7．已知函数2()1f x ax bx =++在3x =处的切线方程为58y x =−． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()x f x ke =恰有两个不同的实根，求实数k 的值； （3）数列{}n a 满足12a f =（2），1()n n a f a +=，*n N ∈，证明： ①11n n a a +>> ②123201911112S a a a a =+++⋯+<． 【答案】【解答】（1）解：2()1f x ax bx =++，()2f x ax b '=+， 依题意，(3)5(3)7f f '=⎧⎨=⎩，即659310a b a b +=⎧⎨++=⎩，解得11a b =⎧⎨=−⎩，2()1f x x x ∴=−+；（2）解：方程()x f x ke =，即21x x x ke −+=， 得2(1)x k x x e −=−+， 记2()(1)x F x x x e −=−+，则22()(21)(1)(32)x x x F x x e x x e x x e −−−'=−−−+=−−+(1)(2)x x x e −=−−−．令()0F x '=，得11x =，22x =．∴当1x =−时，()F x 取极小值1e ，当2x =时，()F x 取极大值23e．可知当1k e=或23k e =时，它们有两个不同交点，因此方程()x f x ke =恰有两个不同的实根；（3）证明：①12a f =（2）3=，得1312a =>，又21()1n n n n a f a a a +==−+， ∴22121(1)0n n n n n a a a a a +−=−+=−>， 11n n a a +∴>>．②由211n n n a a a +=−+，得11(1)n n n a a a +−=−， 111111(1)1n n n n na a a a a +==−−−−，即111111n n n a a a +=−−−． ∴12320191223201920201111111111()()()111111S a a a a a a a a a a =+++⋯+=−+−+⋯+−−−−−−− 12020202011122111a a a =−=−<−−−． 8．已知函数()()f x ax ln x b =−+在点(1,1)处的切线与x 轴平行． （1）求实数a ，b 的值；（2）证明：22132(,2)()(1)nk n n n N n k f k n n =−−>∈−+∑．【答案】 【解答】解：（1）1()f x a x b'=−+，又由已知得f '（1）0=①f （1）1a lnb =−=② 由①，②解得：1a =，0b =（2）()k f k lnk −=，设212324,,(1)1n n n n n n n b lnn T a T T n n n −−−===−=+− 当2n 时有，2110,04n n n b lnn a −=>=> 设21()(2)4x h x lnx x −=−，则212()022x x h x x −'=−=>恒成立 即()h x 在[2，)+∞上是增函数， n n b a ∴>等价于221111n n h a b a b −−=（2）3204ln =−>，∴221114443223381(1)n n ln ln lnn n n n −−++⋯+>++⋯+=−+，∴22132(,2)()(1)nk n n n N n k f k n n =−−>∈−+∑． 9．已知函数2()1f x alnx x =−+． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）求证：22223(1)(21)(2)234(1)ln ln lnn n n n n n −+++⋯+<+． 【答案】【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，22()2a a x f x x x x−'=−=．①当0a 时，()0f x '，()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2分） ②当0a >时，由()0f x '<解得x >；由()0f x '>解得0x << 所以()f x在上单调递增，在)+∞上单调递减． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得当2a =时，()max f x f =（1）21110ln =−+=， 即2210lnx x −+当且仅当1x =时等号成立．所以2210(2)lnn n n −+<，21(2)2n lnn n −<， 2211111111(1)[1]()(2)22(1)221lnn n n n n n n n <−<−=−−++， 所以22223111111111111()()2322233412221ln ln lnn n n n n n n −−++⋯+<−−+−+⋯+−=−−++， （11分） 即22223(1)(21)234(1)ln ln lnn n n n n −+++⋯+<+． 10．已知关于x 的函数()(1)f x ln x =+． （Ⅰ）当0x >时，证明：(1)1xln x x +>+； （Ⅱ）求证：1112()332313ni ln n n n=+−<−−∑． 【答案】【解答】（Ⅰ）证明：令1x t +=，(1)t >． 只需证明：1t lnt t −>，即证明110lnt t−+>，(1)t >． 令1()10g t lnt t=−+>，(1)t >．21()0t g t t−'=>，()g t ∴在(0，+∞单调递增． ()g t g ∴>（1）0=，即(1)1xln x x +>+； （Ⅱ）证明由（Ⅰ）可得(1)1x ln x x +>+，令1x n =，可得11(1)1ln n n<++．1111233123131n n nln lm ln lm n n n n n n ++++⋯+<++⋯+=+++− 111121111()()3231332313nni i n n n n n n n ==+−=++−−−−−∑∑ 11111(1)2332313n n n =+++⋯+++−−−（1）111)23n++⋯+ 111123n n n=++⋯+++ ∴1112()332313n i ln n n n=+−<−−∑． 11．已知函数1()12a f x ax a lnx x−=++−−，a R ∈． ()I 若1a =−，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()0f x 在[1x ∈，)+∞上恒成立，求正数a 的取值范围； （Ⅲ）证明：*1111(1)()232(1)n ln n n N n n +++⋯+>++∈+． 【答案】【解答】解：()I 当1a =−时，2()3f x x lnx x=−−−−，则函数()f x 的定义域为{|0}x x >， 则2222(1)(2)()x x x x f x x x −−+−−+'==，则当(0,1)x ∈时，()0f x '>，则()f x 单调递增； 则当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 单调递减；所以()f x 单调递增区间为(0,1)，()f x 单调递减区间为(1,)+∞ （Ⅱ）因为1()12a f x ax a lnx x−=++−−，[1x ∈，)+∞，则f （1）0=，222211(1)1()(1)()a ax x a a af x a x x x x x x a −−−−−'=−−==−−．①当102a <<，时，此时11aa−>，当11ax a−<<，则()0f x '<，()f x 在[1，1]a a −上是减函数，所以在1(1,)a a −上存在0x ，使得0()f x f <（1）0<，()0f x 在[1，)+∞上不恒成立； ②当12a时，11aa−，()0f x '在[1，)+∞上成立，()f x 在[1，)+∞上是增函数，()f x f（1）0=，()0f x 在[1，)+∞上恒成立， 综上所述，所求a 的取值范围为1[,)2+∞；（Ⅲ）由（Ⅱ）知当12a 时，()0f x 在[1，)+∞上恒成立，1120(1)a ax a lnx x x−++−−， 令12a =，有11()2x lnx x−， 当1x >时，11()2x lnx x−>，令1k x k +=，有111111()[(1)(1)]2121k k k ln k k k k k ++<−=+−−++， 即111(1)()21ln k lnk k k +−<++，1k =，2，3，⋯，n ，将上述n 个不等式依次相加得：11111(1)()2232(1)ln n n n +<+++⋯+++，整理得1111(1)(1)232(1)n ln n n n n +++⋯+>+++． 12．已知函数()1f x x lnx =−−． （Ⅰ）求证：()0f x ；（Ⅱ）求证：*2111[(1)(1)(1)]1()222n ln n N ++⋯+<∈．【答案】【解答】证明：（Ⅰ）由题意知，()1f x x lnx =−−的定义域为(0,)+∞， 因为11()1x f x −'=−=，所以()f x 和()f x '的变化情况如下表所示：由表可知：()min f x f =（1）1110ln =−−=． 所以()()0min f x f x =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：10x lnx −−>，(1)x ≠即1(1)lnx x x <−≠． 所以可得22111111(1),(1),,(1)222222n n ln ln ln +<+<⋯+<．将上述n 个式子相加可得：*21111111[(1)(1)(1)]11()2222422n n n ln n N ++⋯+<++⋯+=−<∈，所以结论得证，即*2111[(1)(1)(1)]1()222n ln n N ++⋯+<∈．。
导数、数列、不等式知识点
导数及其应用一．导数的概念：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0'.二．导数的几何意义： (1) 导数的几何意义: 函数在y=f(x)在x 0处的导数，就是曲线y=f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f(x)在点P(x 0, f(x 0))处的切线斜率是)('0x f 。
相应地，切线方程为：))(('000x x x f y y -=-。
注：在导数几何意义的应用过程中，应注意几种关系：① 切点),(00y x P 在曲线上，即)(00x f y =；②切点),(00y x P 也在切线上； ③在切点处的切线斜率为)('0x f k = （2）求曲线过点),(00y x P 的切线方法：①设切点为),(11y x M ；②求导得)('1x f ；③列方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)()(')(1011011x x x f y y x f y ，解出x 1 ④点斜式写出切线方程：))(('000x x x f y y -=-注：曲线在P 点处的切线与曲线过点P 的切线不是同一个概念：前者P 点为切点；后者P 点可能是切点也可能不。
一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的切点。
三、导数的计算 （1）常见函数的导数： 1．0='C 2．1)(-='n n nx x 3．xx e e =')( 4．a a a x x ln )(=' 5．1(ln )x x'= 6．a x e x x a a ln 1log 1)(log =='7．x x cos )(sin =' 8．x x sin )(cos -='（2）导数的四则运算1．和差：()u v u v '''±=± 2．积：v u v u uv '+'=')( 3．商：2)(v v u v u v u '-'=' 四、判断函数的单调性：设函数y=f(x)在区间（a ,b ）内可导（1） 如果恒有0)('>x f ，则函数f(x)在区间（a ,b ）内为增函数；（2） 如果恒有0)('<x f ，则函数f(x)在区间（a ,b ）内为减函数；（3） 如果f(x)在区间（a ,b ）上递增（或递减），则在该区间内0)('≥x f （或0)('≤x f ）。
第7讲 构造函数解不等式(学生版)2023年高考数学重难突破之导数、数列(全国通用)
第七讲构造函数法解决导数不等式思维导图——知识梳理脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶考法一加减法模型构造函数思维导图-----方法梳理1.对于不等式()k x f >'()0≠k ，构造函数()()bkx x f x g +-=2.形如(x)g(x)f >或(x)g(x)f <的函数不等式，（1）.可以构造函数)(-)(x g x f x F =）（，然后求）（x F 的最大值和最小值；（2）.如果(x)0g >，我们也可以构造函数()(x)(x)f G xg =，求()G x 的最值.，且为且当A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b>>围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1．（2021·四川广元市·高三三模）已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（）A．(,3)(0,3)-∞- B．()3,3-C．(3,0)(0,3)-⋃D．(,3)(3,)-∞-⋃+∞例2．（2022·广东·华南师大附中高三阶段练习）设函数()f x '是奇函数()(R)f x x ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 取值范围是（）A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．(1,0)(0,1)-⋃C ．(,1)(0,1)-∞-⋃D ．(1,0)(1,+)-⋃∞例3．（2022·西藏昌都市第四高级中学一模（理））已知函数()f x 是定义在−∞，∪，+∞的奇函数，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，则不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为（）A ．()()33-∞-⋃+∞，，B ．()()3003-⋃，，C ．()()3007-⋃，，D ．−∞，−∪，套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2021·安徽高二月考（理））设函数()f x 是定义在()0,∞+上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()2'f x xf x >，则不等式()()()24202120212f x x f ->-的解集为（）A ．()2021,2023B ．()0,2022C ．()0,2020D ．()2022,+∞2．（2020·广州市育才中学高二月考）函数()f x 的导数为()'f x ，对任意的正数x 都有()()2'f x xf x >成立，则（）A ．()()9243f f >B ．()()9243f f <C ．()()9243f f =D ．()92f 与()43f 的大小不确定3.（2015新课标Ⅱ）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=当0x >时，'()()xf x f x -0<，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是（）A ．()(),10,1-∞- B ．()()1,01,-+∞ C ．()(),11,0-∞-- D ．()()0,11,+∞ 题型二：构造()()nx F x e f x =或()()nxf x F x e =(n Z ∈，且0n ≠)型思维导图-----方法梳理类型一：构造可导积函数1])([)]()(['=+'x f e x nf x f e nx nx 高频考点1：])([)]()(['=+'x f e x f x f e x x 类型二：构造可商函数①])([)()('=-'nxnx ex f e x nf x f 高频考点1：])([)()('=-'xx ex f e x f x f 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.（2021·内蒙古锡林郭勒盟）设函数()'f x 是函数()f x 的导函数，x R ∀∈，()()0f x f x '+>，且(1)2f =，则不等式12()x f x e ->的解集为（）A．(1,)+∞B．(2,)+∞C．(,1)-∞D．(,2)-∞例2.（2022·陕西榆林·三模）已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，且()()1f x f x '+>，(1)2f =，则下列结论一定成立的是（）A ．12(2)f +<e eB ．1(2)f +<e eC ．12(2)f +>e eD ．1(2)f +>e e例3．（2021·赤峰二中高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x >-'，()06f =，则不等式()51x f x e>+(e 为自然对数的底数)的解集为（）A．()0,∞+B．()5,+∞C．()(),05,-∞⋃+∞D．(),0-∞套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2020·贵州贵阳·高三月考（理））已知()f x '是函数()f x 的导数，且满足()()0f x f x '+>对[]0,1x ∈恒成立，A ，B 是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（）A ．()()sin sin sin sin e eB A f A f B <B ．()()sin sin sin sin e e B A f A f B >C ．()()sin cos cos sin e e B Af A f B <D ．()()sin cos cos sin e e B Af A f B >2．（2022·宁夏·平罗中学高三阶段练习（文））设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，()02018f =，则不等式()e e 2017x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．(),0∞-B ．()(),02017,-∞⋃+∞C ．()2017,+∞D ．()0,∞+3．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对任意R x ∈满足()()0f x f x '+<，则下列结论一定正确的是（）A ．()()23e 2e 3f f >B ．()()23e 2e 3f f <C ．()()32e 2e 3f f >D ．()()32e 2e 3f f <围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1．（2021·全国高三）定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2022f x +为奇函数，则不等式()20220xf x e +<的解集是（）A．(),0-∞B．−∞,l BC．()0,∞+D．()2022,+∞例2．（2020·吉林高三月考（理））已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．()4,e-∞D ．()4,e +∞例3．（河南省多校联盟2022）已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的R x ∈，都有()()2f x f x >'+，且()12022f =，则不等式()12020e 2x f x --<的解集为（）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞例4．（2021·全国高三）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()()0f x f x '->，2021(2021)f e =，则不等式31(ln )3f x x <的解集为（）A．6063(,)e +∞B．2021(0,)e C．2021(,)e +∞D．6063(0,)e 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）设()f x '是定义在R 上的连续的函数()f x 的导函数，()()2e 0xf x f x '-+<（e 为自然对数的底数），且()224e f =，则不等式()2e x f x x >的解集为（）A ．()()2,02,-+∞B ．()e,+∞C ．()2,+∞D ．()(),22,∞∞--⋃+2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()()f x f x '>恒成立，则下列不等式成立的是（）A ．e (1)(2)f f >B ．()()e 10f f -<C ．()()e 21f f ->-D ．()()2e 11f f ->3．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若定义在R 上的函数()f x 的导函数()f x '为，且满足()()f x f x '>，则(2017)f 与e (2016)f ⋅的大小关系为（）A ．(2017)f ＜e (2016)f ⋅B ．(2017)f =e (2016)f ⋅C ．(2017)f ＞e (2016)f ⋅D ．不能确定4．（2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，已知()()f x f x '>，且(1)e f =，则不等式()2525e 0x f x --->的解集为（）A ．(),3-∞-B ．(),2-∞-C ．()2,+∞D ．()3,+∞5．（2021·江苏高二月考）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()0f x f x '->，若()()2211x ax e f ax ef x +>-恒成立，则实数a 的取值范围为___________.2．（2022·吉林·长岭县第三中学高三阶段练习）已知奇函数()f x 的定义域为,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其导函数是'()f x ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()sin ()cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()2sin 6f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,0,266πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,,2662ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,66ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．,0,662πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．（2022·湖北·高二阶段练习）奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-⋃，其导函数是()f x '.当0πx <<时，有()()sin cos 0f x x f x x '-<，则关于x 的不等式()2sin 4f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．（4π，π）B ．,,44ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． ,0,44πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．（2021·甘肃省武威第二中学高二期中（理））对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式()()sin cos x f x x f x ⋅⋅'＜恒成立，则下列不等式错误的是（）A ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞B ．()2cos113f f π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＞C ．()2cos114f f π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＜D ．6426f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜op上的奇函数，且套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫。
导数在数列中的应用
导数在数列中的应用
哎呀，一听到“导数在数列中的应用”这个词，我就觉得脑袋嗡嗡的，这对我这个小学生来说，也太难懂啦！不过呢，为了搞清楚它，我还是决定好好研究研究。
我就想啊，这数列就像是一群排好队的小朋友，每个小朋友都有自己的号码。
而导数呢，就像是一个神奇的魔法棒，能让我们发现这些小朋友排队的规律。
比如说有一个数列1，3，5，7，9…… 这不是很有规律嘛，每次都多2 。
那这和导数有啥关系呢？
我们来想想，导数不是能表示变化率嘛。
那在这个数列里，相邻两个数的变化不就是2 嘛。
这是不是就有点像导数在起作用啦？
再比如另一个数列2，4，8，16，32…… 这个每次都翻倍增长，变化可大啦！那这种变化，不也能通过一些神奇的数学方法和导数联系起来吗？
我跑去问老师：“老师老师，这导数和数列到底咋回事呀？”老师笑着说：“孩子，你能想到这个问题就很棒啦！其实啊，导数能帮助我们更深入地理解数列的变化规律。
”
我又问同学：“你能明白不？”同学摇摇头说：“太难啦，我也搞不懂！”
哎呀，我就不信我搞不明白！我不停地看书，不停地想。
我发现，就好像我们玩游戏要找到通关的秘诀一样，找到导数在数列中的应用，就是找到数学这个大游戏里的厉害窍门。
虽然现在我还不能完全搞清楚，但我相信，只要我一直努力，总有一天能把这个难题攻克！
总之，我觉得导数在数列中的应用就像是一个藏在深处的宝藏，等着我去挖掘，去发现它的神奇和美妙！。
导数在数列中的应用
导数在数列中的应用摘 要：导数是解决函数问题的有力工具，更为数学解题注入了新的活力。
由于数列可看做特殊的函数，所以自然可联想尝试应用导数知识解决数列问题。
一．导数的概念1、定义：0'0000()()()()()limlim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ∆→∆→→-∆+∆-===∆∆-左导数：0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ----∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 右导数： 0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ++++∆→∆→→-∆+∆-===∆∆-'''()()()f x A f x f x A -+∴=⇔==可以证明：可导⇒连续 即：可导是连续的充分条件连续是可导的必要条件导函数：'00()()()lim limx x y f x x f x f x y x x∆→∆→∆+∆-===∆∆ 二．导数在数列问题中的应用1.利用导数确定数列的最大或最小项例1 已知数列{n a }的通项n a =328x x -,n ∈N+,求数列{n a }的最大项 解：构造辅助函数f(x )=328x x -(x>0),则()x f '=16x-23x 显然，当0<x<316时，()x f '>0,当x>316时，'f (x )<0,故f(x)在区间（0,316）上是增函数，在区间（316,+∞）上是减函数，所以当x=316时，函数取最大值。
对于n ∈N+,f(n )=328n n -,f(5)=75,f(6)=72,所以f(n)的最大值是75，即数列{n a }的最大项为5a =75. 2.利用导数研究数列的增减性例2 设定以在R 上的函数f(x )与数列{n a }满足：1a >a,其中a 是方程f(x )=x的实数根，()n n a f a =+1,f(x )可导，且()x f '∈（0,1）.（1） 证明：n a >a,(1)判定n a 与1+n a 的大小关系，并证明 证明（1）由已知1a >a,即n=1时，n a >a 成立. (2)设n=k 时 k a >a因为'f (x )>0，所以f(x )是增函数，所以1+k a =f(k a )>f(a) 又由题设可知 f(a)=a ，所以k k a a >+1 即n=k+1时，命题成立. 由（1）（2）知 n ∈N+时，n a >a 成立.(2) 要比较 n a ,1+n a 的大小，即比较n a 和f(n a )的大小，构造辅助函数g(x )=x-f(x )，则'g (x)=1-'f (x)>0,故g(x )是增函数，所以当n a >a 时，g （n a ）>g(a)，又因为g(a)=a-f(a)=0,g(n a )=()n n a f a -，所以()n n a f a ->0，故()n n a f a >即1+>k k a a 3.利用导数求数列前n 项和例3 求数列,...,...3,2,112-n nx x x 前项的和 s n . 解：当x=1时，n s =1+2+3+…+n=()121+n n 当x ≠1时，因x+2x+23x+…+nx=xx x n --+11，两边求导数，得1+2x+32x +…+n-1-n x =1-(n+1)nx +()()21111x x x n n n -++-+ 综上可知：当 x=1时，()121+=n n s n ,当x ≠1时，()()21111x nx x n s n n n -++-=+ 4．利用导数证明数列不等式例4 若⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n t t a 121 其中t ∈[21,2],n T 是数列{n a }前n 项的和，求证：nnn T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<222证明： 构造辅助函数 f (t )=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n t t 121,t ∈[21,2] 则'f (t )=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-1112n n t t n . 当121≤≤t 时 'f (t)<0 当1<t ≤2时 'f (t )>0故f(t )在[21,1]上递减，在[1,2]上递增 所以 ()m a x t f =f(21)=f(2)=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 21221 即n a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤n n 21221 所以()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++≤n n n T 21 (2)1212...222122nn n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫⎝⎛+-=222211212说明这里需要证明 ：212221121n nn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 121221222122121221212121212==∙>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-+n nn n n n ∴nn n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=>⎪⎭⎫ ⎝⎛+2221211212所以命命题的证. 5. 导数在数列求和中的应用 例5 1≠x ，求下列数列之和 （1）12...321-++++n nx x x （2）22221123...n x x n x -++++（3）222242322...-+++n n x c x c x c c 分析 （1）由),...,2,1()'(1n k kx x k k ==- 可设12...321)('-++++=n nx x x x f 则n x x x x x f ...1)(32++++=而 )1(11 (11)32≠--=++++++x xx x x x x n n上式两端对x 求导，并整理得 2212)1()1(1...321x nx x n nxx x n n n -++-=+++++- [1]（2） 比较（1），（2）两式中的通项可发现，只需对[1]两端同乘以x ，再对x 求导 便可得到：22212212222)1()122()1(1...321x x n x n n x n x xn x x n n n n ---+++-+=+++++--（3） 由 21222)(212)1(---=-=n n n n nx x n n x c 可知只需对[1]式两端继续求导便可得到： 22)1(...34232--++∙+∙+n x n n x x=212212)1()()1(2)(2x x n n x n x n n n n n ----++-+- ∴ 312212222242322)1(2)()1(2)(2...x x n n x n x n n xc x c x c c n n n n n----++-=+++++--三．数列是特殊的函数（导数的应用）1. 函数的单调性与导数 例1 已知函数f(x)=3x -ax -1.（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由.解析 （1）由已知)('x f =32x -a.因为f(x)在R 上是单调增函数， 所以f ′(x)=32x -a ≥0在R 上恒成立，即a ≤32x 对x ∈R 恒成立. 又因为32x ≥0，所以只需a ≤0.又因为当a=0时，f ′(x)=32x ≥0, 即f(x)=3x -1在R 上是增函数，所以a ≤0.(2)由)('x f =32x -a ≤0在(-1，1)上恒成立,得a ≥32x ，x ∈(-1,1)恒成立.因为-1<x<1,所以32x <3,所以只需证明a ≥3. 当a=3时，)('x f =3(2x -1),在x ∈(-1,1)上，f ′(x)<0，即)(x f 在(-1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3,使f(x)在(-1，1)上单调递减.2. 函数的极值与导数例2 已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+2x -10x 的一个极值点. (1)求a;(2)求函数f(x)的极大值；(3)若直线y=b 与函数y=)(x f 的图象有3个交点，求b 的取值范围.解析 (1)因为)('x f = x a +1+2x-10, 所以)3('f = 4a+6-10=0, 因此a=16.(2)由(1)知，)('x f =x+116+2x-10 = xx x +--1)3)(1(2 (x>-1).此时，)('x f 、)(x f 随x 的变化情况如下表：x(-1,1)1(1,3)3(3,∞)f ′(x) + 0- 0 +f(x)单增极大值 单减极小值单增由上表知函数f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9.(3)由(2)知，f(x)在(-1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3,+∞)上单调递增，且当x=1或x=3时,f ′(x)=0，所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9,极小值为f(3)=32ln2-21.若直线y=b 与函数y=f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)<b<f(1). 因此，b 的取值范围为(32ln2-21，16ln2-9). 3. 函数的最大值、最小值与导数例3 已知函数f(x)=3x -12x+8在区间［-3,3］上的最大值与最小值分别为M,N ，试求M-N 的值.解析 )('x f =32x -12=3(x+2)(x-2)， 令)('x f =0，得1x =-2，2x =2.则)('x f ，f(x)随x 的变化情况如下表：x -3 (-3,-) -2(-2,2) 2 (2,3) 3 f ′(x) + 0 - 0 + y=f(x) 17单增极大 值24单减极小 值-8单增-1显然，M=24，N=8，则M-N=24+8=32.。
导数应用之数列
导数应用之数列一．导数的概念1、定义：0'0000()()()()()limlim limx x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 左导数：0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ----∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 右导数： 0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ++++∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- '''()()()f x A f x f x A -+∴=⇔==可以证明：可导⇒连续 即：可导是连续的充分条件连续是可导的必要条件导函数：'00()()()lim lim x x y f x x f x f x y x x∆→∆→∆+∆-===∆∆二．导数在数列问题中的应用1.利用导数确定数列的最大或最小项例1 已知数列{n a }的通项n a =328x x -,n ∈N+,求数列{n a }的最大项 解：构造辅助函数f(x )=328x x -(x>0),则()x f '=16x-23x 显然，当0<x<316时，()x f '>0,当x>316时，'f (x )<0,故f(x)在区间（0,316）上是增函数，在区间（316,+∞）上是减函数，所以当x=316时，函数取最大值。
对于n ∈N+,f(n )=328n n -,f(5)=75,f(6)=72,所以f(n)的最大值是75，即数列{n a }的最大项为5a =75.2.利用导数研究数列的增减性例2 设定以在R 上的函数f(x )与数列{n a }满足：1a >a,其中a 是方程f(x )=x 的实数根，()n n a f a =+1,f(x )可导，且()x f '∈（0,1）.（1） 证明：n a >a,(1)判定n a 与1+n a 的大小关系，并证明 证明（1）由已知1a >a,即n=1时，n a >a 成立.(2)设n=k 时 k a >a因为'f (x )>0，所以f(x )是增函数，所以1+k a =f(k a )>f(a) 又由题设可知 f(a)=a ，所以k k a a >+1 即n=k+1时，命题成立. 由（1）（2）知 n ∈N+时，n a >a 成立.(2) 要比较 n a ,1+n a 的大小，即比较n a 和f(n a )的大小，构造辅助函数g(x )=x-f(x )，则'g (x)=1-'f (x)>0,故g(x )是增函数，所以当n a >a 时，g （n a ）>g(a)，又因为g(a)=a-f(a)=0,g(n a )=()n n a f a -，所以()n n a f a ->0，故()n n a f a >即1+>k k a a 3.利用导数求数列前n 项和例3 求数列,...,...3,2,112-n nx x x 前项的和 s n . 解：当x=1时，n s =1+2+3+…+n=()121+n n 当x ≠1时，因x+2x+23x+…+nx=xx x n --+11，两边求导数，得1+2x+32x +…+n-1-n x =1-(n+1)nx +()()21111x x x n n n -++-+ 综上可知：当 x=1时，()121+=n n s n ,当x ≠1时，()()21111x nx x n s n n n -++-=+ 4．利用导数证明数列不等式例4 若⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n t t a 121 其中t ∈[21,2],n T 是数列{n a }前n 项的和，求证：nn n T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<222 证明： 构造辅助函数 f (t )=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n t t 121,t ∈[21,2] 则'f (t )=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-1112n n t t n . 当121≤≤t 时 'f (t)<0 当1<t ≤2时 'f (t )>0故f(t )在[21,1]上递减，在[1,2]上递增 所以 ()m a x t f =f(21)=f(2)=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 21221 即n a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤n n 21221 所以()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++≤n n n T 21 (2)1212...222122nn n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫⎝⎛+-=222211212说明这里需要证明 ：212221121n nn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 121221222122121221212121212==∙>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-+n nn n n n ∴nn n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=>⎪⎭⎫ ⎝⎛+2221211212所以命命题的证. 5. 导数在数列求和中的应用 例5 1≠x ，求下列数列之和 （1）12...321-++++n nx x x （2）12222...321-++++n x n x（3）222242322...-+++n n x c x c x c c分析 （1）由),...,2,1()'(1n k kx x k k ==- 可设12...321)('-++++=n nx x x x f 则n x x x x x f ...1)(32++++=而 )1(11 (11)32≠--=++++++x xx x x x x n n上式两端对x 求导，并整理得 2212)1()1(1...321x nx x n nxx x n n n -++-=+++++- [1] （2） 比较（1），（2）两式中的通项可发现，只需对[1]两端同乘以x ，再对x 求导 便可得到： 22212212222)1()122()1(1...321x x n x n n x n x xn x x n n n n ---+++-+=+++++-- （3） 由 21222)(212)1(---=-=n n n nnx x n n x c 可知只需对[1]式两端继续求导便可得到： 22)1(...34232--++∙+∙+n x n n x x=212212)1()()1(2)(2x x n n x n x n n n n n ----++-+-∴ 312212222242322)1(2)()1(2)(2...x x n n x n x n n xc x c x c c n n n n n----++-=+++++-- 三．数列是特殊的函数（导数的应用）1. 函数的单调性与导数 例1 已知函数f(x)=3x -ax -1.（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由.解析 （1）由已知)('x f =32x -a.因为f(x)在R 上是单调增函数， 所以f ′(x)=32x -a ≥0在R 上恒成立，即a ≤32x 对x ∈R 恒成立. 又因为32x ≥0，所以只需a ≤0.又因为当a=0时，f ′(x)=32x ≥0, 即f(x)=3x -1在R 上是增函数，所以a ≤0.(2)由)('x f =32x -a ≤0在(-1，1)上恒成立,得a ≥32x ，x ∈(-1,1)恒成立.因为-1<x<1,所以32x <3,所以只需证明a ≥3. 当a=3时，)('x f =3(2x -1),在x ∈(-1,1)上，f ′(x)<0，即)(x f 在(-1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3,使f(x)在(-1，1)上单调递减.2. 函数的极值与导数例2 已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+2x -10x 的一个极值点. (1)求a;(2)求函数f(x)的极大值；(3)若直线y=b 与函数y=)(x f 的图象有3个交点，求b 的取值范围. 解析 (1)因为)('x f = x a +1+2x-10, 所以)3('f = 4a+6-10=0, 因此a=16.(2)由(1)知，)('x f =x+116+2x-10 = xx x +--1)3)(1(2 (x>-1).此时，)('x f 、)(x f 随x 的变化情况如下表：x(-1,1)1(1,3)3(3,∞)f ′(x) + 0 -0 +f(x) 单增 极大值 单减 极小值单增由上表知函数f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9.(3)由(2)知，f(x)在(-1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3,+∞)上单调递增，且当x=1或x=3时,f ′(x)=0，所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9,极小值为f(3)=32ln2-21.若直线y=b 与函数y=f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)<b<f(1). 因此，b 的取值范围为(32ln2-21，16ln2-9). 3. 函数的最大值、最小值与导数例3 已知函数f(x)=3x -12x+8在区间［-3,3］上的最大值与最小值分别为M,N ，试求M-N 的值.解析 )('x f =32x -12=3(x+2)(x-2)， 令)('x f =0，得1x =-2，2x =2.则)('x f ，f(x)随x 的变化情况如下表：x -3 (-3,-) -2(-2,2) 2 (2,3) 3 f ′(x) + 0 - 0 + y=f(x) 17单增极大 值24单减极小 值-8单增-1显然，M=24，N=8，则M-N=24+8=32.。
巧妙利用函数的导数_解数列问题_颜复尊
{
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巧与方法
JIETI JIQIAO YU FANGFA
数列中来， 从而问题得到解决． 四、 精心构造， 巧妙运用 （ 1 ） 对任意的正实数 例 4 已知函数 f （ x ） = x － xlnx， x1 ， x2 ， 且 x1 ＜ x2 ． （ 1） 证明： （ x2 － x1 ） f'（ x2 ） ＜ f（ x2 ） － f（ x1 ） ＜ （ x2 － x1 ） f'（ x1 ） ； 1 1 + +…+ （ 2 ） 对任意的 n ∈ N + ， 且 n ≥2 ， 证明： ln2 ln3 1 1 － f（ n + 1 ） ＜ ． lnn ln2 ·lnn 1 ） 时， 解 （ 1 ） 因 为 f' （ x ） = － lnx， 所 以， 当 x ∈ （ 0， f' （ x） ＞ 0 ； + ∞ ） 时， f' （ x） ＜ 0 ． 故 f（ x） 在 x ∈ （ 0 ， 1 ） 上单 当 x∈（ 1 ， + ∞ ） 上单调递减． 调递增， 在 x∈（ 1 ， x1 x2 ， ＜ 所以， 对任 意 的 正 实 数 x1 ， 且 x1 ＜ x2 ， 有f x2 x f（ 1 ） ， f 2 ＜ f（ 1 ） ． x1 x1 x1 x1 x1 ＜ f（ 1） ， － ln ＜ 1， 由f 得 即 x2 － x1 － x2 x2 x2 x2 x2 （ lnx2 － lnx1 ） ＜ 0 ， 所以 f（ x2 ） － f（ x1 ） － （ x2 － x1 ） f' （ x1 ） = x2 － x1 － x2 （ lnx2 － lnx1 ） ＜ 0 ， 故： f（ x2 ） － f（ x1 ） ＜ （ x2 － x1 ） f' （ x1 ） ， ①． x2 ） ＜ f（ 1 ） ， 由 f（ 同理可证（ x2 － x1 ） f' （ x2 ） ＜ f （ x2 ） － x1 f （ x1 ） ， ②． 综合 ①②， 得（ x2 － x1 ） f' （ x2 ） ＜ f （ x2 ） － f （ x1 ） ＜ （ x2 － x1 ） f' （ x1 ） ． ln（ x + k） （ 2） 对 k = 1， 2， …， n － 2， （ x ＞ 令 gk （ x ） = lnx 1） ， 则 lnx ln（ x + k） － x+k x xlnx － （ x + k） ln（ x + k） g k ' （ x） = = ， ln2 x x（ x + k） ln2 x 0 ＜ lnx ＜ ln （ x + k ） ， 显然 1 ＜ x ＜ x + k， 所以 xlnx ＜ （ x + k） ln （ x + k ） ， g k （ x ） 在 （ 1 ，+ ∞ ） 上 单 调 所 以 gk ' （ x ） ＜ 0，
导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法
导数和数列不等式的综合问题解决技巧之构造函数法1．已知曲线．从点向曲线引斜率为22:20(1,2,)n C x nx y n -+== (1,0)P -n C 的切线，切点为．(0)n n k k >n l (,)n n n P x y （1）求数列的通项公式； {}{}n n x y 与（2）证明：．13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅<<A A A A 【解析】曲线是圆心为，半径为的圆， 222:()n C x n y n -+=(,0)n n 切线 :(1)n n l y k x =+ （Ⅰ，解得，又，n =2221n n k n =+2220n n n x nx y -+= 联立可解得， (1)n n ny k x =+,1n n n x y n ==+（Ⅱ=n n x y = 先证：， 13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅< 证法一：利用数学归纳法 当时，，命题成立， 1n =112x =<假设时，命题成立，即 n k =13521kx x x x -⋅⋅⋅⋅< 则当时，1n k =+135212121k kk x x xx x x -++⋅⋅⋅⋅<=∵， 2222416161483k kk k ++=>++．<=∴当时，命题成立，故成立． 1n k =+13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅<==，121214)12(4)12(2122222+-=--<-=-nnnnnnnnnnn xxnnnnnxxxx+-=+=+-⨯⨯⨯<-⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅-1112112125331212432112531<不妨设，令，t=()f t t t=则在上恒成立，故在上单调递减，()10f tt'=<t∈()f t t t=t∈从而()(0)0f t t t f=-<=<综上，成立．13521nnnxx x x xy-⋅⋅⋅⋅<<2．设函数表示的导函数．2()2(1)ln(),()kf x x x k N f x*'=--∈()f x（I）求函数的单调递增区间；()y f x=（Ⅱ）当k为偶数时，数列{}满足，求数列{}的通项公式；na2111,()3n n na a f a a+'==-2na （Ⅲ）当k为奇数时，设，数列的前项和为，证明不等式()12nb f n n'=-{}n b n n S对一切正整数均成立，并比较与的大小．()111n bnb e++>n20091S-2009ln解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），又，212[(1)]()22(1)kkxy f x xx x--''==--=当k为奇数时，，122(1)()xf xx+'=即的单调递增区间为．(0,),()0(0,)x f x'∈+∞∴>+∞在恒成立.()f x'(0,)+∞当k为偶函数时，222(1)2(1)(1)()x x xf xx x-+-'==(0,),0,10,x x x∈+∞>+>又由，得，即的单调递增区间为，()0f x'>10,1x x->∴>()f x(1,)+∞综上所述：当k 为奇数时，的单调递增区间为， ()f x (0,)+∞当k 为偶数时，的单调递增区间为()f x (1,).+∞（Ⅱ）当k 为偶数时，由（Ⅰ）知， 所以22(1)()x f x x-'=22(1)().n n n a f a a -'=根据题设条件有 2222221112(1)3,21,12(1),n n n n n n a a a a a a +++-=- ∴=+ +=+∴{}是以2为公比的等比数列， 21n a +∴ 221211(1)22,2 1.n n n n n a a a -+=+⋅= ∴=-（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当k 为奇数时，12(),f x x'=+ 11111(),1.223n n b f n n S n n'∴=-= =+++⋅⋅⋅+由已知要证两边取对数，即证111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭事实上：设则 11,t n+=1(1),1n t t =>-因此得不等式 …………………………………………① 1ln 1(1)t t t>->构造函数下面证明在上恒大于0．1()ln 1(1),g t t t t=+->()g t (1,)+∞∴在上单调递增，即211()0,g t t t '=->()g t (1,)+∞()(1)0,g t g >=1ln 1,t t>-∴ ∴即成立．11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭()111n b n b e ++>由得 11ln,1n n n +>+111231ln ln ln ln(1),23112n n n n +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=++即当时， 11ln(1),n S n +-<+2008n =20091S -<2009.ln3．已知，函数． 0a >1()ln xf x x ax-=+（Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；（Ⅱ）若()f x 在区间 [)1,+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当 1a =时，设数列 1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为，求证：n S 111()(2)n n nS f n S n N n n---<-<∈*≥且解：（Ⅰ）的定义域为，，由得． ()f x ()0,+∞21()ax f x ax -'=()0f x '=1x a=当时，，递减； 1(,x a a∈()0f x '<()f x 当时，，递增． 1(,)x a∈+∞()0f x '>()f x所以不是定义域上的单调函数．()y f x =（Ⅱ）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立． ()f x x ∈[1,)+∞()0f x '≥1a x≥即．1max,[1,)a x x ⎧⎫≥ ∈+∞⎨⎬⎩⎭11x∴≤1a ∴≥ （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，在上为增函数， 1a =1()ln xf x x x-=+[1,)+∞ 111()ln ln ,n n nf n n n n n n----=+-= 又当时，， ，即．1x >()(1)f x f >1ln 0x x x -∴+>1ln 1x x>- 令则，当时，()1ln ,g x x x =--1()1g x x'=-(1,)x ∈+∞()0.g x '>从而函数在上是递增函数， ()g x [1,)+∞所以有即得()(1)0,g x g >=1ln .x x -> 综上有： 11ln 1,(1).x x x x-<<->111ln .1x x x x+∴<<+ 令时，不等式也成立，1,2,...,1,(2)x n n N n *=-∈≥且111ln .1x x x x+∴<<+ 于是代入，将所得各不等式相加，得1112311...ln ln ...ln 1....2312121n n n n +++<+++<+++--即 11111...ln 1. (2321)n n n +++<<+++-即 111()(2).n n nS f n S n N n n*---<-<∈≥且4．设函数．（是自然对数的底数）()(1),()x f x e x g x e =-=e （Ⅰ）判断函数零点的个数，并说明理由； ()()()H x f x g x =-（Ⅱ）设数列满足：，且 {}n a 1(0,1)a ∈1()(),,n n f a g a n N *+=∈①求证：；②比较与的大小．01n a <<n a 1(1)n e a +-解：（Ⅰ）， 令 ()(1)x H x e e '=--0()0,ln(1)H x x e '= =- 当时，在上是增函数 0(,)x x -∞()0,H x '> ()H x 0(,)x x -∞ 当时，在上是减函数 0(,)x x +∞()0,H x '< ()H x 0(,)x x +∞ 从而max 0()(0)(1)1(1)ln(1)2x H x H e x e e e e ==-+-=---+注意到函数在上是增函数， ()ln 1k t t t t =-+[)1,+∞ 从而 从而 ()(1)0,11k t k e ≥=->又0()0H x > 综上可知：有两个零点．()H x （Ⅱ）因为即， 所以 1()(),n n f a g a +=1(1)1na n e a e +-+=11(1)1n a n a e e +=-- ①下面用数学归纳法证明． 当时，，不等式成立． (0,1)n a ∈1n =1(0,1)a ∈ 假设时， 那么 n k =(0,1)k a ∈11(1)1k a k a e e +=--1011kka a e e e e << ∴<-<- 即 10(1)11k a e e ∴<-<-1(0,1)k a +∈ 这表明时，不等式成立． 所以对， 1n k =+n N *∈(0,1)n a ∈②因为，考虑函数1(1)1na n n n e a a e a +--=--()1(01)x p x e x x =-- << ，从而在上是增函数()10x p x e '=->()p x (0,1)()(0)0p x p >=所以，即1(1)0n n e a a +-->1(1)n n e a a +->5．数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列． {}n a n S n n N *∈2,,n n n a S a （1）求数列的通项公式；{}n a（2）设数列的前项和为，且，求证：对任意实数是常数，{}n b n n T 2ln n n nxb a =(1,](x e e ∈e=2．71828…）和任意正整数，总有；n 2n T <（3）在正数数列中，．求数列中的最大项． {}n c 11(),()n n n a c n N +*+=∈{}n c 解：由已知：对于，总有成立 (1)n N *∈22n n n S a a =+ (2)21112(2)n n n S a a n ---∴=+≥（1）—（2）得22112n n n n n a a a a a --∴=+-- 111()()n n n n n n a a a a a a ---∴+=+-均为正数，1,n n a a - 11(2)n n a a n -∴-=≥ 数列是公差为1的等差数列∴{}n a 又时，，解得，1n =21112S a a =+11a =()n a n n N *∴=∈（2）证明：对任意实数和任意正整数，总有(]1,x e ∈n 22ln 1n n n x b a n=≤222111111...1...121223(1)n T n n n∴≤+++<++++⋅⋅-⋅1111111(1() (22223)1n n n ⎛⎫=+-+-++-=-<⎪-⎝⎭（3）解：由已知22112a c c ==⇒= ，33223a c c ==⇒=44334a c c ==⇒==易得55445a c c ==⇒=12234,......c c c c c <>>> 猜想时，是递减数列2n ≥{}n c令，则 ln ()x f x x=221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==当时，，则，即 ∴3x ≥ln 1x >1ln 0x -<()0f x '< 在内为单调递减函数， ∴()f x [)3,+∞由知 11n n n a c ++=ln(1)ln 1n n c n +=+ 时，是递减数列，即是递减数列 2n ∴≥{}ln n c {}n c又，数列中的最大项为12c c <∴{}n c 2c =6．已知23()ln 2,().8f x x xg x x =++=（1）求函数的极值点；()()2()F x f x g x =-⋅（2）若函数在上有零点，求的最小值；()()2()F x f x g x =-⋅),()te t Z ⎡+∞∈⎣t （3）证明：当时，有成立；0x >[]1()1()g x g x e +<（4）若，试问数列中是否存在？若存在，求出所有相1(1)()()g n n b g n n N *+=∈{}n b ()n m b b m n =≠等的两项；若不存在，请说明理由．（为自然对数的底数）．e 解：（1）由题意，的定义域为23()ln 228F x x x x =++-(0,)+∞,函数的单调递增区间为和， (32)(2)()4x x F x x --'=∴()F x 20,3⎛⎤⎥⎝⎦[)2,+∞的单调递减区间为，()F x 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以为的极大值点，为的极小值点，23x =()F x 2x =()F x （2）在上的最小值为 ()F x 2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭(2)F且，在上没有零点， 23ln 41(2)242ln 2082F -=⨯-++=>()F x ∴2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭函数在上有零点，并考虑到在单调递增且在单调递减，故只∴()F x ),te ⎡+∞⎣()F x 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦须且即可，23t e <()0F t ≤易验证 121222313()120,()20,88F e e e F e e e -----⎛⎫=⋅+->=⋅-< ⎪⎝⎭当时均有所以函数在上有零点， 2,t t Z ≤∈()0,t F e <()F x )1,()t e e t Z -⎡∈⎣即函数在上有零点， 的最大值为()F x ),()te t Z ⎡+∞∈⎣t ∴2-（3）证明：当时，不等式0x >[]1()1()g x g x e +<即为： 11(1)ln(1)1ln(1)xx e x x x x+<⇔+<⇔+<构造函数则 ()ln(1)(0),h x x x x =+->1()10,11x h x x x-'=-=<++所以函数在上是减函数，因而时， ()h x (0,)+∞0x >()(0)0,h x h <=即：时，成立，所以当时，成立；0x >ln(1)x x +<0x >[]1()1()g x g x e +<（4）因为 1(1)(2)111(1)(2)2222(1)11(1)3(1),(1n n n n n n n n n n n b n n e n n b n b n n n n n++++++++++++===⋅+<<令，得， 23(1)1n n+<2330n n -->因此，当时，有4n ≥(1)(2)1(1)(2)1,n n n n n nb b +++++<所以当时，，即 4n ≥1n n b b +>456...b b b >>>又通过比较的大小知：， 1234b b b b 、、、1234b b b b <<<因为且时所以若数列中存在相等的两项，只能是与后面的项11,b =1n ≠111,n n b n +=≠{}n b 23b b 、可能相等，又，所以数列中存在唯一相等的两项， 11113964283528,35b b b b ====>={}n b 即．28b b =7．在数列中， {}n a 12a =11,22().n n n a a n N ++=+∈ （I ）求证：数列为等差数列； }2{nn a（II ）若m 为正整数，当时，求证：． 2n m ≤≤1231(1)()n m n n m m n a m⋅--+≤解：（I ）由变形得：1122+++=n n n a a 122,1221111=-+=++++n nn n n n n n a a a a 即故数列是以为首项，1为公差的等差数列 }2{nn a121=a （II ）（法一）由（I ）得n n n a 2⋅= m m n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即令mn m nn m n f n m n f 123()()1(,23()1()(+⋅-=+⋅+-=则当mn m n m n f n f n m 1)32(1)1()(,2⋅-+-=+≥>时m m m n m 11)32()211(32()11(⋅-+≥⋅-+=又 23221211211(1>>-+>+-⋅+=-+m m m C m m m m m 123(211>-+∴则为递减数列． )(,1)1()(n f n f n f 则>+当m=n 时，递减数列．)1()(+>n f n f )(,2n f n m 时当≥≥∴ mm m m f x f m m 1)1(49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证要证：时，2,)11()1(491)23)(1(2≥+=+≤-≤+-m mm m m m n m m m m n 而即证49221212212122122)1(121111(22010=⨯-+≥-+=-+=-⋅+=⋅+⋅+≥+m m m m m mm C m C C m m m m m 故原不等式成立．（法二）由（I ）得n n n a 2⋅= mm n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即令)123ln 1()23()('),2()23)(1()(-⋅+-=≤≤+-=m x m x f m x x m x f m xm x则上单调递减． ],2[)(0)(',11,2m x f x f mx m m x 在即<∴<+-∴≤≤ ∴ mm m m f x f m m 1)1()49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证也即证，时而2,)11(149≥+≤m mm49221212212122122)1(121111(22210=⨯-+≥-+=-+=-⋅+=⋅+⋅+≥+m m m m m mm C m C C m m m m m 故原不等式成立．。
导数与数列相结合的压轴题
导数与数列相结合的压轴题《导数与数列相结合的压轴题：我的挑战与收获》我呀，是一个在数学海洋里畅游的小学生，虽然导数和数列相结合的压轴题对我来说就像是一座超级高大、云雾缭绕的山峰，但是我可不怕它，我还想跟你们好好讲讲我和它之间的那些事儿呢。
导数，我刚听到这个词的时候，感觉就像听到了一个来自神秘魔法世界的咒语。
它好像有着无穷的力量，可以把函数的变化情况摸得一清二楚。
就像一个超级侦探，能发现函数是怎么偷偷变化的。
数列呢，那就是一列列规规矩矩排着队的数字，有的数列像听话的小士兵，按照一定的规律整整齐齐地站着，比如说等差数列，就像每次都齐步走一样，相邻两个数的差都是一样的。
等比数列呢，就像在玩倍数游戏，后一个数总是前一个数乘上一个固定的数。
那导数和数列相结合的压轴题呢？哎呀，这可就像把两个魔法世界的东西硬凑到一起，创造出一个超级大怪兽。
我第一次遇到这样的题目的时候，我都懵了。
题目就像一个复杂的迷宫，那些数字和符号扭成一团，好像在跟我做鬼脸，说：“嘿嘿，你能把我们怎么样？”我记得有一道题是这样的。
给出了一个函数，然后又有一个数列的通项公式跟这个函数的导数有关系。
我就想啊，这可咋整？我看着那些密密麻麻的字和符号，心里就像有只小兔子在乱蹦。
我同桌看到我这个样子，就凑过来说：“你咋啦？愁眉苦脸的。
”我指了指题目说：“你看这个，这也太难了吧。
”同桌看了看说：“我觉得咱们可以先从函数的导数入手，看看它有啥特点。
”我听了同桌的话，就像抓住了一根救命稻草。
我开始求那个函数的导数，求出来之后，发现它还是一个挺复杂的式子。
这时候我就想，这跟数列的通项公式到底咋联系起来呢？我就像一个迷失在森林里的小探险家，找不到方向。
这时候，老师走了过来，看到我在纠结这道题，就笑着说：“你看啊，这个导数的值在某些特殊点上的情况，是不是和数列的开头几项有啥联系呢？”我眼睛一亮，对啊，我怎么没想到呢。
我赶紧把特殊点代入导数式子，再和数列的前几项对比，嘿，还真发现了点规律。
高三数学导数与三角函数和数列 2
题型三：导数与三角函数综合【例1】 设函数223()cos 4sin 3()2x f x x t t t x =++-∈R ，其中||1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ，则函数()g t 在下面哪个区间上单调递增（ ）A ．1(,)(1,)3-∞-+∞ B ．1[1,]3-- C ．1(,)3+∞ D ．1[,1]3【例2】 将函数2y []()06x ∈，的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ()0θα≤≤，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为 ．【例3】 已知函数2cos ()3sin a x f x x -=在π02⎛⎫⎪⎝⎭，内是增函数，求a 的取值范围．【例4】 求证：方程1sin 02x x -=只有一个根0x =．【例5】 设函数()sin(2)(π0)f x x ϕϕ=+-<<，()y f x =图象的一条对称轴是直线π8x =． ⑴求ϕ；⑵求函数()y f x =的单调增区间；⑶证明直线520x y c -+=与函数()y f x =的图象不相切．【例6】 已知向量πππ2cos tan tan 2242424x x x x a b ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭ ，，，，令()f x a b =⋅ ，是否存在实数[0π]x ∈，，使()()0f x f x '+=（其中()f x '是()f x 的导函数）．若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之．【例7】 设()()21=++x f x e ax x ，且曲线()=y f x 在1=x 处的切线与x 轴平行．⑴ 求a 的值，并讨论()f x 的单调性；⑵ 证明：当π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()()cos sin 2θθ-<f f ． 【例8】 已知：在函数3()f x mx x =-的图象上，以(1,)N n 为切点的切线的倾斜角为π4． ⑴求m ，n 的值；⑵是否存在最小的正整数k ，使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由． ⑶求证：1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ⎛⎫++⎪⎝⎭≤（x ∈R ，0t >）．【例9】 已知函数2()e (22)x f x ax x =⋅--，a ∈R 且0a ≠．⑴若曲线()y f x =在点(1(1))P f ，处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； ⑵当02a <≤时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值． ⑶当2a >时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值．【例10】 设函数()sin ()f x x x x =∈R ．⑴证明(2π)()2πsin f x k f x k x +-=，其中为k 为整数；⑵设0x 为()f x 的一个极值点，证明420020[()]1x f x x =+；⑶设()f x 在(0)+∞，内的全部极值点按从小到大的顺序排列12n a a a ，，，，， 证明：1ππ (12)2n n a a n +<-<= ，，【例11】 已知函数()32343cos cos 16f x x x θθ=-+，其中x ∈R ，θ为参数，且02πθ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间()21a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．【例12】 已知函数321()43cos 32f x x x θ=-+，其中x ∈R ，θ为参数，且π02θ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间(21)a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．题型四：导数与数列综合【例13】 已知函数()sin f x x x =-，数列{}n a 满足：101a <<，1()n n a f a +=，123n = ，，，． 证明：⑴101n n a a +<<<； ⑵3116n n a a +<．【例14】 已知数列{}n a 的通项238n a n n =-，n +∈N ，求数列{}n a 的最大项．【例15】 共有50项的数列{}n a 的通项n a =【例16】 设数列{}n a 的通项公式为2()n a n n n λ+=+∈N ，且{}n a 满足121n n a a a a +<<<<< ，求实数λ的取值范围．【例17】 已知数列{}n a 满足：3123n n n a a a +=-+，n +∈N ，且1(01)a ∈，，求证：01n a <<．【例18】 各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，函数21()()ln 2f x px p q x q x =-++， （其中p 、q 均为常数，且0p q >>），当1x a =时，函数()f x 取得极小值，点(2)()n n a S n *∈N ，均在函数22()qy px f x q x'=-++的图象上，（其中()f x '是函数()f x 的导函数）⑴求1a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶记43n nn S b q n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【例19】 已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且*125()n n S S n n +=++∈N⑴证明数列{}1n a +是等比数列；⑵令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '，并比较2(1)f '与22313n n -的大小．【例20】 已知a 是给定的实常数，设函数2()()()x f x x a x b e =-+，b ∈R ，x a =是()f x 的一个极大值点．⑴求b 的取值范围；⑵设1x ，2x ，3x 是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x ∈R ，使得1x ，2x ，3x ，4x 的某种排列1i x ，2i x ，3i x ，4i x （其中1234{}{1234}i i i i =，，，，，，）依次成等差数列？若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．。
专题3-10 导数与数列,导数与概率统计(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型
a＝1.
于是
f′(x)＝
1 x
－1＝
1
x
x
，
当 x(0，1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当 x(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
即 f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2) 由(1)知 x1(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即 f(x1)的最大值为 0， 由题意知：对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得 f(x1)≤g(x2)成立，只需 f(x)max≤g(x)max.
在区间 ea1,1 单调递减.
又 f ea1 f 1 0 ,与 f x0 恒成立相矛盾.
综上, 实数 a 的取值范围为1, .
(2)
由（1）知当 a 1 时， x 1 x ln x ≤ 0 0 x ≤1
即 ln x ≥ x 1 1 1
x
x
令 x 1 ，则 ln 1 ≥1 n
.............................................................22
题型一：利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题
【典例分析】
例题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列an 满足
a0
0,
a2 n1
an2
2(n
1), n
N
．
(1)求证： an2 an1 ； an1 an
.
4．（2022·湖南张家界·高二期末）已知函数 f x ln x ax 1，其中 a R ．
(1)当 a 1 时，求函数 f (x) 的单调区间；
(2)①若 f x 0 恒成立，求 a 的最小值；
导数在数列问题中的应用
导数是解决函数问题的有力工具, 更为 数 学解题注入了新的活力. 由于数列可看作
特殊的函数, 所以自然可联想、尝试、应用导 数知识解决数列问题. 1 利用导数确定数列的最大或最小项
例 1 已知数列{ an } 的通项 an = 8n2 -
n3 , n ∈ N* , 求数列{ an } 的最大项. 解 构造辅助函数 f ( x ) = 8x 2 - x 3 ( x
N* 时, 0 < an < 1.
1 2
)
=
f ( 2) =
1 2n
)
,
即
an
≤
1 2
(
2n
+
1 2n
)
.
1 2
(
2n
+
所以 T n ≤
1 2
[(2+
22 +
…+
2n ) +
(
1 2
+
1 22
+
…+
1 2n
)
]
=
2n -
1 2
(
1
+
1 2n
)
<
2n
n
-
2.
2
说明 这里需要证明
1 2
(
1
+
1 2n
)
>
2 2
n
=
1 n
.
22
因为
2
n 2
由 及 1 ≤ x ≤ 2 知此时不等式无解.
( 3) 当 2 < x < 3 时, log 3x > 0, l og3( 3 -
x ) < 0, 此时不等式等价于 log 3x - log 3( 3 x ) ≥ 1 !.
利用导数证明数列不等式(含解析)
利用导数证明数列不等式(含解析)利用导数证明数列不等式是高考中常见的题型，可以考查学生灵活运用知识的能力。
这种题型一方面以函数为背景，让学生探究函数的性质；另一方面，体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为有具体特征的数列。
可以说，这种题型涉及到函数、导数、数列和不等式，是一题多考的巧妙结合，也是近年来高考的热门题型。
常见的题型有两种类型：一种是利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题，另一种是利用递推公式处理通项公式中的不等问题。
恒成立不等式的来源主要有两种：一是函数的最值，最值可以提供XXX成立的不等式；二是恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式。
常见的恒成立不等式有lnxx+1.关于前n项和的放缩问题，求数列前n项公式往往要通过数列的通项公式来解决。
高中阶段求和的方法有倒序相加、错位相减、等比数列求和公式和裂项相消。
在处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，应优先考虑。
对于数列求和不等式，要从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式。
在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向。
放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向，朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）。
数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明。
经典例题是已知函数f(x)=kx-xlnx，求函数f(x)的单调区间、当<x≤1时，f(x)≤k恒成立的k的取值范围，以及证明ln1ln2+23+lnnn(n-1)≤n+14.1.已知函数$f(x)=\ln(ax+1)(x\geq0,a>0)$，$g(x)=x-\frac{x^3}{3}$。
1）讨论函数$y=f(x)-g(x)$的单调性；2）若不等式$f(x)\geq g(x)+1$在$x\in[0,+\infty)$时恒成立，求实数$a$的取值范围；3）当$a=1$时，证明：frac{1}{1\cdot3\cdot5\cdots(3572n+1)}+\frac{1}{2\cdot4\cd ot6\cdots(3572n+2)}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}<f^{(n)}(n)(n\in N^*),$$其中$f^{(n)}(n)$表示$f(x)$的$n$阶导数在$x=n$处的值。
2mxt-导数解数列问题1
慎用导数解数列问题导数，作为高中数学的新增内容之一，为解题教学和教研注入了新的活力，更是解决函数单调性问题的有力工具.由于数列可看作是特殊的函数，所以许多学生自然而然就想到用导数来解决有关数列单调性问题.但由于未能深入理解导当选知识的背景、吃透其含义，未能准确把握数列单调性与函数单调性的联系和区别，没有对其进行有机地“整合”，从而导致诸多错误.下面摘取学生的几例典型错误，加以分析，旨在引起同行的注意.例1 已知数列{}n a 的通项2(10)()na n n n N +=-∈，求数列{}n a 的最大项. 错解 设2()(10)()f n n n n N +=-∈，则'2()203f n n n =-. 令'()0f n >得2003n <<；'()0f n <得203n >或0n <. 得()f n 在区间20(0,)3上是增函数，在区间20(,)3+∞是减函数. 又n N +∈，故当7n =时，max ()147f n =.所以，数列{}n a 的最大项为7147a =.分析；结果是正确的，但其解题过程是错误的，原因是导数是定义在连续函数上的，而对于n N +∈，()f n 是离散函数，不存在导数，因而不能对其求导.正解 作辅助函数2()(10)f x x x =-（0x >），则'2()203f x x x =-. 令'()0f x >得2003x <<；'()0f x <得203x >或0x <. 得()f x 在区间20(0,)3上是增函数，在区间20(,)3+∞是减函数.因此，当203x =时函数()f x 取得最大值.对n N +∈，2()(10)()f n n n n N +=-∈.(7)147(6)144f f =>=，于是max ()147f n =所以，数列{}n a 的最大项为7147a =.当然，本题仍可利用数列本身的性质给以解决.若n a 是数列{}n a 中最大项，则11n n n n a a a a +-≥⎧⎨≥⎩，即2222(10)(1)(9)(10)(1)(11)n n n n n n n n ⎧-≥+-⎪⎨-≥--⎪⎩，解得174972339766n ++≤≤.由n N +∈知7n =时，7147a =，即数列{}n a 的最大项为7147a =.例2 已知数列{}n a 是递增数列，且对任意的正整数n ，2na n bn =+恒成立，求实数b 的取值范围.On n a1 2 3 错解 因{}n a 是递增数列，所以2n a n bn =+在[1,)+∞上是单调递增函数，故辅助函数 2()f x x bx =+在[1,)+∞上是单调递增函数，有'()20f x x b =+≥在[1,)+∞上恒成立， 即2b x ≥-在[1,)+∞上恒成立，故2b ≥-.分析：以上解答由{}n a 是递增数列，断定函数 2n a n bn =+在[1,)+∞上单调递增是错误的.由于数列通项公式中的n 是正整数，而不是取[1,)+∞内的任意实数，如图，该图象表示的数列{}n a 显然是递增 数列，但此时对称轴12b ->，即2b <-，并不满足2b ≥-. 正解 由于{}n a 是递增数列，由数列的单调性知，1nn a a +<，即10n n a a +->对任意n N +∈恒成立，将2n a n bn =+代入化简可得(21)b n >-+，又因为max (21)3n -+=-，于是得3b >-，即实数b 的取值范围是(3,)-+∞.例3 已知数列{}n a 的通项为(01)n na n a a =⋅<<且1n n a a +>对所有正整数n 均成立，求a 的取值范围.错解 依题意{}n a 是递减数列，确定a 的取值范围.作辅助函数()x f x x a =⋅（01a <<，1x ≥）， 则1n n a a +>（n N +∈）恒成立⇔()(1)f n f n >+（n N +∈）恒成立⇔函数()f x 在区间[1,)+∞上为减函⇔()0f x ≤在[1,)+∞恒成立.因为'()(1ln )x f x a x a =+，由'()0f x ≤在[1,)+∞恒成立，即1ln 0x a +≤（1x ≥） 恒成立，得1ln a x ≤-（1x ≥）恒成立，于是min 1ln ()1a x ≤-=-，即10a e<≤. 正解 对于01a <<，n N +∈，1nn a a +>⇔1(1)n n n a n a +⋅>+⋅⇔1n a n <+. 因为min 1()12n n =+，所以a 的取值范围为1(0,)2.评注：由于11(0,)(0,)2e ⊂，可见以上两种结果截然不同，上述错解在()(1)f n f n >+（n N +∈）恒成立，并推不出()f x 在区间[1,)+∞上为减函，()(1)f n f n >+（n N +∈）恒成立是函数()f x 在区间[1,)+∞上为减函的必要而不充分条件，二者之间并非等价！事实上，令'()(1ln )0x f x a x a =+=得1log a x e =， 当1(,log )a x e∈-∞时，'()0f x >，()f x 为增函数；当1(log ,)a x e∈+∞时，'()0f x <，()f x 为减函数； 所以1log a x x e =是函数()f x 的极大点，而当11(,)2a e ∈时，1log (1,2)a x e=∈， 即函数()f x 在区间1(1,log )a e （(1,2)⊂）上为增函数，在1[log ,)a e+∞为减函数（()f x 在区间[1,)+∞上并非为减函），但(1)f a =，2(2)2f a =，仍有(1)(2)f f >>(3)f > ()f n ⋅⋅⋅>>⋅⋅⋅（n N +∈）成立.通过以上几例我们可以发现，数列的单调几与函数的单调性出现了不和谐的“音符”，二者并不总是统一一致的，将数列问题简单的函数化，极易出现错误.因此，在涉及数列问题时我们应该更多地首先想到数列自身的特征，利用数列自身所具有的特征解题.。
数列和二阶导数
数列是一组有顺序的数字，它可以是有限的或无限的。
二阶导数是指函数的二阶导数。
二阶导数反映了函数在某一点的曲率，并可用来分析函数的单调性和凹凸性。
数列的求和公式是：
∑(n) = a1 + a2 + a3 + … + an
其中a1, a2, a3, …, an 是数列中的数字，n 是数列中数字的个数。
对于二阶导数，它可以通过对函数进行二阶微积分来求得。
常见的二阶导数形式有：
y'' = d²y/dx²
y'' = ∂²y/∂x²
其中y 是函数，x 是变量。
当二阶导数大于0时，函数在该点是凸的；当二阶导数小于0时，函数在该点是凹的；当二阶导数等于0时，函数在该点是直线。
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导数与数列02 数列与函数导数结合证明不等式问题，是近年来高考考查的热点问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n 有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．
特别注意：由函数向数列过渡时，要分析所求数列的结构特点，特别是数列的“长式”通项的特点。
一、常用的结论
（一）常用的数列求和公式
1．(1)1232
n n n +++++= 2．112311111n n n e e e e e e e e ++--++++==-- 3．23111111
n n n e e e e e e e e ---++++==-- （二）常用的方法
11111(1)()(2231n a n n ++=-+-++--（1）缩：2(1)1
n n n n n >=-++； 21111111111112233411n n n n n ++
>-+-+-++-=-=++ （2）放：当n ≥2时，21111(1)1n n n n n <=---； 222211111111111123412231n n n n ++++<-+-++-=--(2)n >，则121231234n n a a a n -=⨯⨯⨯⨯= 1231ln ln ln ln 234n n a n
-++=++++ ln 2ln 2ln3...ln(1)ln ln n n +-++--=-（三）常用的不等式：
lnx ≤x-1，(x ＞0)
ln(x+1)≤x ，(x ＞0)
≥x+1，
≥x+1，
ln 12311••••••234n n n n n
-＜＝ln 1••n n n ＜。
•商丘三模）已知函数f （x ）=alnx-ax-3（x ）的单调区间；
y=f （x ）的图象在点（2，f （2()2
m f x '+ln 12311••••••234n n n n n
-＜＝。