2020届一轮复习人教A版浙江专版第37题专练(四)

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2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题4.3简单的三角恒等变换(练)含解析

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第四章三角函数与解三角形第03讲简单的三角恒等变换 ---练1．（2017·山东高考真题（文））已知，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由得，故选D ．2.（2019·安徽高考模拟（文））若，则tan 2α=（）A B 7C 7D 7【答案】B 【解析】由题意得，，则tan α=.，故选B .3．（2019·湖南师大附中高考模拟（文））若点P （1，－2）是角a 的终边上一点，则2cos a = （）A ．25B ．35-C ．35D 【答案】B 【解析】因为点P （1，－2）是角a 的终边上一点，所以.所以.故选B.4．（2019·山东高考模拟（理））在平面直角坐标系中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于x 轴对称.若1sin 3α=,则（）A ．-1B ．79-C ．97 D ．1【答案】C 【解析】因为角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于x 轴对称，所以，所以，故本题选C.5．（2019·遵义航天高级中学高考模拟（理））已知，则cos2=α（）A B C ．12D 2【答案】D 【解析】由=21sin a -，可得，由cos2=α212sin a -，可得cos2=α，故选D.6．（2019·江苏高考模拟（文））已知α是第四象限角，3sin 5α=-，则（）A ．5-B ．5C ．7-D ．7 【答案】D 【解析】因为3sin 5α=-，且α为第四象限角，则4cos 5α=，3tan 4α=-，所以.故选D.7．（2019·西南大学附属中学重大校区高考模拟（文））已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2α=（）A B ．13C ．13-D ．【答案】B 【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以，因此.故选B8．（2019·山东高考模拟（理））若4tan 3α=，则（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】A 【解析】因为4tan 3α=，所以，故选：A ．9．（2019·辽宁高考模拟（文））若，则（）A ．35B ．25-C ．-1D ．3【答案】A 【解析】,,把tan2α=代入，求得，故本题选A.10．（ 2018届四省名校第三次大联考）已知，且满足，则_______．【答案】【解析】因为，所以，则，而.1.（2019·山东高考模拟（文））已知，则sin4x的值为（）A．1825B．1825±C．725D．725±【答案】C【解析】由题意得：本题正确选项：C2．（2019·浙江高三期末）已知，3sin5x=-，则tan2(x=)A．724B．724-C．247D．247-【答案】D 【解析】已知，3sin5x=-，，，则，故选：D．3．（2019·山东高考模拟（文））已知角α为第一象限角，，则实数a的取值范围为__________．【答案】(1,2]【解析】由题得，因为所以所以.故实数a的取值范围为(1,2].故答案为：(1,2]4．（2019·吉林高考模拟（文））已知，则m=______．【答案】【解析】由得：整理得：m=本题正确结果：5. （2018·浙江高考模拟）化简=_________【答案】【解析】===-4，故答案为-4.6．（2019·浙江高考模拟）如图，在单位圆上，∠AOB ＝α(62ππα<<)，∠BOC ＝3π ，且△AOC ．（ I ）求 sin α 的值；（ II ）求 2cos(23απ-)sin (26απ+)【答案】(Ⅰ) sin α=14(Ⅱ) 87【解析】（I ），∴，∴，=（II ）∵=，∴==.1．（2019·全国高考真题（文））tan255°=（）A ．－2B ．－C ．2D ．【答案】D 【解析】=2．（2018·全国高考真题（文））（2018年全国卷Ⅲ文）若，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】故答案为B.3．（2019·全国高考真题（文理））已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=（）A ．15 B ．5C D 【答案】B 【解析】，．，又，，又sin 0α>，，故选B ．4. （2017·全国高考真题（文））已知，tan α=2，则=______________．【答案】【解析】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．5．（2019·江苏高考真题）已知，则的值是_____.【答案】10. 【解析】由，得，解得tan 2α=，或1tan 3α=-.，当tan 2α=时，上式当1tan 3α=-时，上式=综上，6. （2018·江苏高考真题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．。

2020版高考数学一轮复习教程随堂巩固训练37 Word版含解析

随堂巩固训练(). 若，均为正实数，且＋＝，则的最大值是．解析：＝××≤×＝，当且仅当＝＝时取等号，所以的最大值为.. 如果＋＝，那么＋的最小值是．解析：因为＋＝，所以()＝，即＝.因为>，>，所以＋≥＝＝，当且仅当＝＝时取等号，所以＋的最小值为.. 下列各式：①＋>；②＋≥；③≤；④＋≥.其中正确的个数是．解析：因为－＋＝(－)≥，所以＋≥，①错误；当>时，＝＋≥(当且仅当＝时取“＝”)；当<时，≥(当且仅当＝－时取“＝”)，②正确；当>，>时，≥，③错误；＋＝＋＋－≥，当且仅当＝时取“＝”，④正确．. 在括号里填上和为的两个正数，使得＋的值最小，则这两个正数的积等于．解析：设所填的两个数分别为，，则>，>，＋＝，则＋＝(＋)＝＋＋≥＋＝，当且仅当＝，即＝，＝时取“＝”，所以＝×＝.. 设>－，则函数＝的最小值为．解析：＝＝＋＋＋≥＋＝，当且仅当＋＝，即＝时取“＝”，所以＝.. 已知正数，满足＋＝，则的最小值为．解析：＝(＋)＝≥＝，当且仅当＝＝时取等号，所以的最小值为.. 若直线－＋＝(>，>)被圆＋＋－＋＝截得的弦长为，则＋的最小值是．解析：圆＋＋－＋＝，即(＋)＋(－)＝，圆心(－，)，半径为.设圆心到直线－＋＝的距离为，则＝，解得＝，即直线经过圆心，所以－－＋＝，即＋＝，所以＋＝＋＝＋＋≥＋＝，当且仅当＝时等号成立，所以＋的最小值为..已知()＝－(＋)＋，若对任意∈，()的值恒为正数，则实数的取值范围是(－∞，－＋)．解析：设＝，则－(＋)＋>在>时恒成立．①当Δ<时，(＋)－<，解得－－<<－；②当Δ≥，即≤－－或≥－时，设方程－(＋)＋＝的两根，，且≤，则≤.因为＝>，所以≠，即≤<，所以＋＝＋<，即≤－－.由①②可知的取值范围是(－∞，－)．. 若不等式＋≥对一切正数，恒成立，则整数的最大值为．解析：由＋≥，且，>，得≤.因为＋≥对一切正数，恒成立，所以≤.因为≥＝，当且仅当＝时等号成立，所以≤，所以≤＝＋.因为为整数，所以整数的最大值为.. 已知正数，满足＋＝，且＋的最小值是，则正数的值为．解析：＋＝(＋)＝＋＋＋≥＋＋＝(＋)，当且仅当＝时取等号，所以(＋)＝，解得＝..若，是正常数，≠，，∈(，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，求函数()＝＋取得最小值时的值．解析：因为∈，所以－∈(，)．因为＋≥，所以()＝＋≥＝，当且仅当＝时取等号，即当＝时，()取得最小值.. () 已知不等式(＋)≥对任意正实数，恒成立，求正实数的最小值；() 已知>，>，且＋＋＝，求的最大值．解析：() (＋)＝＋＋＋≥＋＋＝＋＋.因为不等式(＋)≥对任意正实数，恒成立，所以＋＋≥，即(＋)≥，解得≥，所以正实数的最小值为.() 方法一：由＋＋＝，可得＝(<<)．故＝＝＝－.因为(＋)＋≥＝，当且仅当＋＝，即＝时等号成立，所以≤，所以的最大值为.方法二：因为>，>，所以＋≥＝·.代入＋＋＝，得·＋≤，解得<≤，当且仅当＝，即＝，＝时等号成立，所以的最大值为.点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法；也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决．. 已知函数()＝(∈)，若对于任意∈*，()≥恒成立，求实数的取值范围．解析：对任意∈*，()≥恒成立，即≥恒成立，即≥－(＋)＋对于任意∈*恒成立．设()＝＋，则′()＝－＝，若′()>，则>或<－；若′()<，则－<<.因为∈*，所以函数()在区间(，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增．。

浙江省2020年新课标高考物理一轮复习测评详答新人教版

45分钟单元能力训练卷（一）1．BC [解析] 根据v －t 图象可知，物体在第1 s 末开始减速但运动方向不变，选项A 错误；由于第2 s 内和第3 s 内v －t 图象的斜率相同，所以加速度相同，选项B 正确；由图象与坐标轴所围面积表示位移可知，4 s 末物体刚好返回出发点，选项C 正确；物体在第2 s 末或第6 s 末距离出发点最远，选项D 错误．2．C [解析] 根据题意画出两物体运动的v －t 图线①②，易知只有选项C 正确．3．B [解析] 根据图线的斜率可知，加速度不断减小，假设从t 1到t 2的过程中做匀减速运动，则平均速度为v 1＋v 22，而该物体在这段时间内的速度始终小于做匀减速运动时的速度，因而平均速度也将小于v 1＋v 22，只有选项B 正确．4．B [解析] 由题意可知：v 乙>v 甲>v 丙，三辆车的位移相等，根据公式t ＝x v可知乙车运动时间最短，即乙车最先通过第二块路标．本题也可作出三辆车的v －t 关系图象，如图所示，可以看出乙车最先通过第二块路标．选项B 正确．5．D [解析] 若小球在斜面上做初速度为零的匀加速直线运动，则其位移满足x ＝12at 2，所以x t 2＝12a ，选项D 正确． 6．C [解析] 物体在0～1 s 内做匀加速直线运动，在1～2 s 内做匀减速直线运动，到2 s 时速度刚好减为0，一个周期结束，以此循环运动，选项C 正确．7．B [解析] 由速度图线的物理意义可知，速度图线与坐标轴包围的“面积”代数和表示位移，根据对称性，1～7 s内“面积”代数和为零，即0～1 s内的位移和0～7 s内的位移相等，选项B正确．8．AD [解析] 整个过程中赛车手的平均速度为v＝xt＝95/60km/h＝108 km/h，选项A正确、B错误；而平均速率v＝st＝155/60km/h＝180 km/h，选项C错误；车内速度计指示的速度为汽车通过某位置的瞬时速度，选项D正确．9．②④[解析] 在打下计数点“0”至“5”的过程中，两纸带所用时间相同，但甲纸带的位移小于乙纸带的位移，故v甲<v乙，①错误，②正确；相邻计数点间所用时间相等，但乙的速度变化得更快，故a甲<a乙，③错误，④正确．10．0.86 a＝x4＋x5＋x6－x1＋x2＋x39T20.64[解析] A为x3～x4过程中的时间中点，根据做匀变速直线运动的物体中间时刻的速度为该过程的平均速度可得vA ＝x3＋x42T≈0.86 m/s；由于x4－x1＝3a1T2，x5－x2＝3a2T2，x6－x3＝3a3T2，所以a＝a1＋a2＋a33＝x4＋x5＋x6－x1＋x2＋x39T2，代入数据得a＝0.64 m/s2.11．2304 m[解析] 关闭道口时间为16 s，为安全保障再加20 s，即关闭道口的实际时间为t 0＝t2＋t1＝20 s＋16 s＝36 s汽车必须在关闭道口前已通过道口，汽车从停车线到通过道口实际行程为x总＝x＋x＋l＝26 m＋5 m＋15 m＝46 m需用时t 3＝x总v2＝46×36005000s＝33.12 s由此亮起红灯的时间为T＝t0＋t3＝36 s＋33.12 s＝69.12 s故A点离道口的距离应为L＝v1T＝1200003600×69.12 m＝2304 m.12．(1)4.5 m/s2(2)能[解析] (1)公交车刹车的加速度a 2＝0－v222x＝0－1522×25＝－4.5 m/s2所以其加速度大小为4.5 m/s2. (2)汽车从小明身旁到开始刹车用时t 1＝x－xv2＝50－2515s＝53s汽车刹车过程中用时t 2＝0－v2a2＝103s小明以最大加速度达到最大速度用时t 3＝vm－v1a1＝6－12.5s＝2 s小明加速过程中的位移x 2＝12(v1＋vm)t3＝7 m以最大速度跑到车站的时间t 4＝x－x2v3s＝436s＝7.2 s由t1＋t2<t3＋t4<t1＋t2＋10 s，故小明可以在汽车还停在车站时上车．45分钟单元能力训练卷（二）1．A [解析] 取滑块为研究对象，受力分析如图所示，由平衡条件得FNsinθ＝mg，即FN ＝mgsinθ，选项C、D错误；由Ftanθ＝mg，得F＝mgtanθ，选项A正确、B错误．2．D [解析] 未加压力F之前，物体处于静止状态，由平衡条件可得：f＝Gsinθ，当加上压力F后，物体仍处于静止状态，因此f仍为Gsinθ，故D正确．3．C [解析] 小球A受到竖直向下的重力、水平向左的弹簧弹力和细线的拉力，由平衡条件可得 kx＝mgtan θ2，即x＝mgtanθ2k，选项C正确．4．B [解析] 以小车M和物体m整体为研究对象，它们必受到重力和地面支持力．因小车和物体整体处于静止状态，由平衡条件知，墙面对小车必无作用力．以小车为研究对象，如图所示，它受四个力：重力Mg、地面的支持力FN1、m对它的压力FN2和静摩擦力f.由于m静止，可知f和FN2的合力必竖直向下，故选项B正确．5．AD [解析] 物体受力分析如图所示，由于物体静止，由平衡条件知，沿天花板方向：f＝mgsinθ，所以选项A正确、BC错误；垂直天花板方向：qE＝mgcosθ＋FN ，当E增大时，FN增大，物体仍静止不动，选项D正确．6．B [解析] 设2、3两木块之间弹簧伸长量为x1，分析木块3的受力，由平衡条件可知，mgsinα＋μmgcosα＝kx1，故2、3两木块之间的距离为L＋x1＝L＋sinα＋μcosαmgk ，选项A错误，B正确；设木块1、2之间弹簧的伸长量为x2，以2、3两木块为一整体，可得：kx2＝2mgsinα＋2μmgcosα，故1、2两木块之间的距离为L＋x2＝L＋2sinα＋μcosαmgk，选项C错误；如果传送带突然加速，并不影响木块所受的摩擦力的大小和方向，因此相邻两木块之间的距离将不变，选项D错误．7．D [解析] 依题意，若开始时静摩擦力的方向沿着斜面向上，则有F＋f＝mgsinθ，当力F减小过程中，f增大，直到力F减小到零时f恒定，则D可选；若开始时静摩擦力的方向沿着斜面向下，则有F＝f＋mgsinθ，当力F减小过程中，f 先减小到零，然后反向增大到mgsinθ恒定，无对应选项．8．B [解析] 对第一块石块进行受力分析如图所示，由几何关系可知θ＝60°，所以有FN12∶FN13＝sin60°＝32，选项B正确．9．70.0 2.10[解析] 对钩码进行受力分析，根据平衡条件得mg＝kx,则k＝mgx＝50×10－3×9.87.0×10－3N/m＝70.0 N/m挂三个钩码时，可列方程(m＋m＋m)g＝kx′则x′＝3mgk＝3×50×10－3×9.870.0m＝0.0210 m＝2.10 cm10．(1)BCD (2)更换不同的小重物[解析] 本实验中，结点 O 受三个拉力处于静止状态，三力平衡，任意两个力的合力与第三个力等大反向．以两橡皮筋的伸长量(代表两个拉力的大小)为长度，沿 OA、OB 方向为邻边，作平行四边形，只要该平行四边形的对角线与悬挂重物的橡皮筋在一条直线上，与表示其拉力的线段相等，即验证了平行四边形定则，故实验要测量橡皮筋的原长、悬挂重物后橡皮筋的长度，才能算出橡皮筋受力后的伸长量．为了确定拉力的方向，每次必须记录结点 O 的位置．由于钉子位置固定，可改变的条件只能是所悬挂的重物的质量，即可采用的方法是更换不同的小重物．甲乙11．(1)1033N (2)533N 水平向左[解析] (1)以小球为研究对象，受力分析如图甲所示．在水平方向：Tsin30°＝FNsin30°在竖直方向：FNcos30°＋Tcos30°＝ mg解得T＝12mgcos30°＝12×1×1032N＝10 33N(2)以小球和斜面整体为研究对象，受力分析如图乙所示，因为系统静止，所以f＝Tsin30°＝1033×12N＝533N，方向水平向左．12．(1)30 N、方向沿斜面向上(2)12 cm[解析] (1)物体静止在斜面上受力分析如图甲所示，则物体受到的静摩擦力f ＝mgsin37°代入数据得f＝5×10×sin37° N＝30 N，摩擦力方向为沿斜面向上．甲(2)当物体沿斜面向上被匀速拉动时，如图所示，设弹簧拉力为F，伸长量为x，据胡克定律及平衡条件有F＝kxF＝mgsin37°＋F滑F滑＝μmgcos37°弹簧最终长度l＝l＋x，联立解得l＝12 cm乙13．160 N 如图所示[解析] A、B的受力分析如图所示．对A应用平衡条件Tsin37°＝f1＝μFN1Tcos37°＋FN1＝mAg联立解得：F N1＝3mAg4μ＋3＝60 Nf 1＝μFN1＝30 N对B应用平衡条件F＝f′1＋f2＝f′1＋μFN2＝f1＋μ(FN1＋mBg)＝2f1＋μmBg＝160 N.45分钟单元能力训练卷（三）1．BD [解析] 牛顿第一定律表明，物体在不受外力作用时，具有保持原有运动状态不变的性质，即惯性，故牛顿第一定律又叫惯性定律，选项A 错误．牛顿运动定律都是在宏观、低速的情况下得出的结论，在微观、高速的情况下不成立，选项B 正确．牛顿第一定律说明了两点含义，一是所有物体都有惯性，二是物体不受力时的运动状态是静止或匀速直线运动，牛顿第二定律并不能完全包含这两点意义，选项C 错误．伽利略的理想实验是牛顿第一定律的基础，选项D 正确．2．BD [解析] 作用力和反作用力作用在两个不同的物体上，选项A 错误；太阳系中的所有行星都要受到太阳的引力，且引力方向沿着两个星球的连线指向太阳，选项B 正确，选项C 错误；伽利略理想实验说明力不是维持物体运动的原因，选项D 正确．3．C [解析] 根据题意，瓦在竖直面内受力分析如图甲所示．结合弧形瓦的特点对其截面进行受力分析如图乙所示，F N1＝F N2，且F N1与F N2的合力为F N ，而F N ＝mgcosα.若两杆间的距离不变，F N1与F N2均与瓦的质量成正比，则摩擦力f ＝2μF N1与质量成正比．为了防止瓦被损坏，应使瓦块下滑的加速度减小，而a ＝mgsinα－2μF N1m ，与质量无关，故选项A 、B 错误．增大两杆间的距离，F N 不变，F N1与F N2将增大，则摩擦力增大，加速度减小，符合题意，选项C 正确．减小两杆间的距离会使加速度增大，选项D 错误．甲乙4．B [解析] 由牛顿第二定律有F －μmg＝ma ，解得a ＝1m ·F－μg，由此可知：a －F 图象的斜率表示物体质量的倒数，所以m A <m B ，再由纵轴截距截距可得μA >μB ，所以选项B 正确．5．D [解析] 以整体为研究对象，求得拉力F ＝(m 1＋m 2)a.突然撤去F ，以A 为研究对象，由于弹簧在短时间内弹力不会发生突变，所以A 物体受力不变，其加速度a 1＝a.以B 为研究对象，在没有撤去F 时有：F －F′＝m 2a ，而F ＝(m 1＋m 2)a ，所以F′＝m1a；撤去F则有：－F′＝m2a2，所以a2＝－m1m2a.选项D正确．6．D [解析] 设钢索对载人箱和人整体拉力大小为T，对载人箱和人整体应用牛顿第二定律有(M＋m)g－T＝(M＋m)a，对平衡重物由牛顿第二定律有T－Mg＝Ma，联立解得a＝mg2M＋m，再由运动学规律v＝at，得t＝2M＋m vmg，选项D正确．7．B [解析] 对整体：F－μ·2mg＝3ma，对物体B：F′＝ma，联立得F′＝F－2μmg3，选项B正确．8．BD [解析] 由图可知：从t1时刻到t2时刻，弹力小于钩码重力，钩码处于失重状态，A项正确；从t3时刻到t4时刻，弹力大于钩码重力，钩码处于超重状态，B项错误；根据题目的情景，电梯可能是先加速向下运动，加速度向下，失重，再匀速向下运动，加速度为零，最后减速向下运动，加速度向上，超重，所以选项C 正确，选项D错误．9．②④[解析] 由牛顿第二定律得：F＝ma，a＝1m·F，直线的斜率等于质量的倒数，三条直线的斜率不同，说明三条直线所对应的小车和砝码的总质量不同，由图可知，直线1的斜率最大，所对应的总质量最小；直线3的斜率最小，所对应的总质量最大．10．(1)合外力质量质量所受合外力(2)①改变小车所受的合外力②记录更准确(或：更容易记录，记录误差会更小，时间更容易记录，方便记录，方便计时，位置很难记录等类似答案均正确)(3)①表一线段OA ………OE OF数据(cm) …………7.00 9.40 或表二线段OA ………DE EF数据(cm) ………… 2.25 2.40②0.23311．(1)g (2)3g[解析] (1)绳BC刚好被拉直时，小球受力如图甲所示．因为AB＝BC＝b，AC＝2b，故绳BC与AB垂直，θ＝45°.由牛顿第二定律有mgtanθ＝ma解得a＝g.甲乙(2)小车向左加速度增大，AB、BC绳方向不变，所以AC绳拉力不变，BC绳拉力变大，BC绳拉力最大时，小车向左加速度最大，小球受力如图乙所示．由牛顿第二定律有T m ＋mgtanθ＝mam因Tm ＝2mg，所以最大加速度为am＝3g.12．(1)0.25 (2)8 N或24 N [解析] 对小球，由牛顿第二定律mgsinθ－μmgcosθ＝ma又x＝12at2联立解得μ＝0.25(2)若F垂直杆向下，则mgsinθ－μ(F＋mgcosθ)＝ma′解得F＝8 N若F垂直杆向上，则mgsinθ－μ(F－mgcosθ)＝ma′解得F＝24 N13．(1)L v ＋v 2μg (2)12mv 2(3)如图所示[解析] (1)由μ>v 22gL 可得12mv 2<μmgL说明物体到达B 之前就与传送带共速，设其加速度为a ，则由牛顿第二定律有 μmg＝ma加速阶段的时间为 t 1＝va加速阶段的位移 x 1＝v 22a匀速阶段的时间 t 2＝L －x 1v总时间t ＝t 1＋t 2 联立解得t ＝L v ＋v2μg(2)物体在加速阶段与传送带的相对位移 Δx＝vt 1－12vt 1产生的热量Q ＝μmgΔx 联立解得Q ＝12mv 2(3)如图所示45分钟滚动复习训练卷（一）1．C [解析] 以上方三人为研究对象，设中层两人每只脚受到的支持力为F，则有4F＝3mg，解得F＝3 4mg.设底层中间的人每只脚受到的支持力F′，则有2F′＝mg＋2F，解得F′＝54mg，选项C正确．2．B [解析] 加速度大小与速度大小之间无必然联系，速度是增加还是减小取决于加速度和初速度的方向关系．若初始时刻a、v同向，则加速运动；若初始时刻a、v反向，则减速运动．最终加速度为零，物体处于平衡状态(静止或匀速直线运动)，故选项A、C、D均有可能，B项不可能．3．C [解析] 先对整体分析，可知F－μ(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a，再以铁块1为研究对象，可得：kx－μm1g＝m1a，联立可知C项正确．4．A [解析] 剪断细线前，物体处于平衡状态，由图可知F1cos60°＝mg，解得：F1＝2mg；剪断细线后，小球摆到最低点的过程中，mgL(1－cos60°)＝12mv2，在最低点：F2－mg＝mv2L，联立解得F2＝2mg，故选项A正确．5．C [解析] 甲乙两地距离x＝vt，列车匀速运动的距离x1＝v(t－t)，列车从开始刹车至加速到v过程运动的距离x2＝v2t，则有x＝x1＋x2，解得v＝vtt－12t.6．BD [解析] 以B为研究对象，两杆对B的作用力T1、T2的合力与B的重力沿斜面向下的分力等大反向，即T1＋T2＝mBgsinθ，因此T1、T2不可能均为零，选项C错误，选项D正确；以AB为研究对象，当满足(mA＋mB)gsinθ<μAmAgcosθ，且mCgsinθ<μCmCgcosθ时，T2＝0，选项A错误；同样当满足(mC＋mB)gsinθ<μCmCgcosθ且mAgsinθ<μAmAgcosθ时，T1＝0，选项B正确．7．AC [解析] 由于滑块与斜面之间存在摩擦力，滑块上滑的加速度大于下滑的加速度，选项B 错误、A 正确；以斜面为研究对象，滑块上滑过程中受力如图甲所示，下滑过程中受力如图乙所示，两过程中均有：f AB ＝μmgcosθ，N AB ＝mgcosθ，则：F 1＝Mg ＋mgcos 2θ－μmgcosθ·sinθ，F 2＝Mg ＋mgcos 2θ＋μmgcosθ·sinθ，选项C 正确；f 1＝mgcosθ·sinθ＋μmgcos 2θ，f 2＝mgcosθ·sinθ－μmgcos 2θ，选项D 错误．甲乙8．(1)CBDAEF (2)0.5 N/cm 或50 N/m[解析] 取图象上相距较远的两点(0,0)(6.00 cm ，3.00 N)坐标数值，根据胡克定律可得弹簧劲度系数为k ＝50 N/m.9．(1)B (2)2h 1t 2－h 2t 1t 1t 2t 1－t 2[解析] 由题设条件，本实验的实验原理是H ＝v 0t ＋12gt 2，其中v 为小球达到光电门1时的速度，由实验测得的数据h 1、t 1及h 2、t 2可得h 1＝v 0t 1＋12gt 21，h 2＝v 0t 2＋12gt 22，解得g ＝2h 1t 2－h 2t 1t 1t 2t 1－t 2.为保持v 0不变，不能改变光电门1和吸球器的相对位置．10．(1)100 N (2)200 N[解析] (1)对A 物体进行受力分析，受四个力作用．分解绳的拉力，根据A 物体平衡可得F N1＝m A g ＋Tsinθ f 1＝Tcosθ f 1＝μ1F N1解得T＝μ1mAgcosθ－μ1sinθ＝100 N.(2)对B进行受力分析，受六个力的作用，地面对B的支持力FN2＝mBg＋FN1地面对B的摩擦力f2＝μFN2故拉力F＝f1＋f2＝200 N.11．(1)0.5 (2)1.29 s[解析] (1)由题意可知，滑块在水平面上匀速运动，则v 0＝x1T＝4 m/s在斜面上滑块做匀减速直线运动，设加速度大小为a1，则x 3－x4＝a1T2由牛顿第二定律，有：mgsinα＋μmgcosα＝ma1解得：μ＝0.5(2)设滑块向上滑行所用的时间为t1，上滑的最大距离为x，返回斜面底端的时间为t2，加速度为a2，则v 0＝a1t1x＝12vt1mgsinα－μmgcosα＝ma2x＝12a2t22解得：t＝t1＋t2＝(0.4＋255) s(或1.29 s)12．Δt<0.3 s[解析] 设轿车行驶的速度为v1，卡车行驶的速度为v2，则v1＝108 km/h＝30m/s，v2＝72 km/h＝20 m/s，在反应时间Δt内两车行驶的距离分别为x1、x2，则x 1＝v1Δtx 2＝v 2Δt轿车、卡车刹车所通过的距离分别为x 3、x 4，则 x 3＝v 212a ＝3022×10 m ＝45 mx 4＝v 222a ＝2022×10m ＝20 m为保证两车不相撞，必须x 1＋x 2＋x 3＋x 4<80 m 联立解得Δt<0.3 s45分钟单元能力训练卷（四）1．A [解析] 小车水平向右的速度(也就是绳子末端的运动速度)为合速度，它的两个分速度为v 1、v 2，如图所示．其中v 2就是拉动绳子的速度，它等于物体A 上升的速度，v A ＝v 2＝vcosθ.小车匀速向右运动的过程中，θ逐渐变小，v A 逐渐变大，故A 做加速运动，由A 的受力及牛顿第二定律知，绳的拉力大于A 的重力，选项A 正确．2．A [解析] 由平抛规律x ＝v 0t ，y ＝12gt 2可得，x ＝y 时t ＝2v 0g ，则v y ＝gt ＝2v 0，v ＝v 20＋v 2y＝5v 0，s ＝x 2＋y 2＝2 2v 20g，选项A 正确．3．BD [解析] 恰能通过最高点P ，则在最高点P 重力恰好提供向心力，故 mg ＝mv 2R ，选项C 错误；离开P 点后做平抛运动，x ＝vt,2R ＝12gt 2，解得x ＝2R ，故选项A 错误、B 正确；若将半圆弧轨道上部的14圆弧截去，其他条件不变，则小球离开轨道后竖直上抛，达到的最大高度时速度为零，显然能达到的最大高度比P点高，选项D正确．4．D [解析] 角速度的大小关系为ωa ＝ωc＜ωb，选项A错误；向心加速度的大小关系为ab ＞ac＞aa，选项B错误；线速度的大小关系为vb＞vc＞va，选项C错误；周期的大小关系为Ta ＝Tc＞Tb，选项D正确．5．A [解析] 由于同步卫星与地球的自转周期相同，“缆线”上各点的角速度也相同，选项A正确；线速度v＝ωr，则各点的线速度不同，选项B错误；若“缆线”上个质点均处于失重状态，则万有引力提供向心力，有：G Mmr2＝mv2r，得v＝GMr，r越大，线速度越小，而“缆线”上离地面越高的质点线速度越大，因此只有同步卫星上的质点处于完全失重状态，选项C错误；由G Mmr2＝mg，可得离地面越高，重力加速度越小，选项D错误．6．AD [解析] 设移民质量为Δm，未移民时的万有引力F引＝GMmr2与移民后的万有引力F引′＝GM－Δm m＋Δmr2比较可知，由于M>m，所以F引′>F引；由于地球的质量变小，由F引′＝GM－Δm m＋Δmr2＝(m＋Δm)r⎝⎛⎭⎪⎫2πT2＝(m＋Δm)a可知，月球绕地球运动的周期将变大，月球绕地球运动的向心加速度将变小；由月球对其表面物体的万有引力等于其重力可知，由于月球质量变大，因而月球表面的重力加速度将变大．综上所述，可知本题错误选项为A、D.7．AC [解析] 空间站运动的加速度和所在位置的重力加速度均由其所受万有引力提供，选项A正确；由G MmR2＝mv2R得v＝GMR，运动速度与轨道半径的平方根成反比，并非与离地高度的平方根成反比，选项B错误；由G MmR2＝m⎝⎛⎭⎪⎫2πT2R得T＝2πRRGM，所以空间站运行周期小于地球自转的周期，选项C正确；空间站中宇航员所受万有引力完全提供向心力，处于完全失重状态，选项D错误．8．bgsinθ2a[解析] 物体在光滑斜面上只受重力和斜面对物体的支持力，因此物体所受的合力大小为F ＝mgsinθ，方向沿斜面向下；根据牛顿第二定律，则物体沿斜面向下的加速度应为a 加＝Fm ＝gsinθ，又由于物体的初速度与a 加垂直，所以物体的运动可分解为两个方向的运动，即水平方向是速度为v 0的匀速直线运动，沿斜面向下的是初速度为零的匀加速直线运动．因此在水平方向上有b ＝v 0t ，沿斜面向下的方向上有a ＝12a 加t 2；故v 0＝b t＝b gsinθ2a. 9．1∶8 14[解析] 万有引力提供向心力，则G Mm 1r 2a ＝m 1r a 4π2T 2a ，G Mm 2r 2b ＝m 2r b 4π2T 2b，所以T a ∶T b＝1∶8.设每隔时间t ，a 、b 共线一次，则(ωa －ωb )t ＝π，所以t ＝πωa －ωb ，故b运动一周的过程中，a 、b 、c 共线的次数为：n ＝T b t ＝T bωa －ωbπ＝T b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2T a －2T b ＝2T bT a－2＝14.10.8π2hr 3T 2r 2＋v 20 [解析] 以g′表示火星表面的重力加速度，M 表示火星的质量，m 表示火星的卫星质量，m′表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有GMm′r 20＝m′g′ G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 设v 表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v 1，水平分量仍为v 0，有v 21＝2g′hv ＝v21＋v2由以上各式解得v＝8π2hr 3T2r2＋v2.11．(1)2πR＋h3Gm月(2)T2πGm月R＋h3(3)2π2RTR＋h3Gm月[解析] (1)“嫦娥二号”轨道半径r＝R＋h，由G mm月r2＝m4π2T2r可得“嫦娥二号”卫星绕月周期T＝2πR＋h3 Gm月.(2)在月球自转一周的过程中，“嫦娥二号”将绕月运行的圈数n＝TT＝T2πGm月R＋h3.(3)摄像机只要将月球的“赤道”拍摄全，就能将月面各处全部拍摄下来；卫星绕月球转一周可对月球“赤道”拍摄两次，所以摄像机拍摄时拍摄到的月球表面宽度至少为s＝2πR2n＝2π2RTR＋h3Gm月.12．(1)0.6 m (2)P位置比圆心O低[解析] (1)物体在最高点C时只受重力，由牛顿第二定律得mg＝m v2 C R得vC＝gR.物体从B到C的过程中，由机械能守恒定律得mg(ssinθ－R－Rcosθ)＝12 mv2C代入数据解得R＝0.6 m.(2)设物体平抛至与O点等高处，则由平抛运动的规律得R＝12gt2x＝vCt联立解得x＝2R又由图可知O点到斜面的水平距离为x′＝Rsinθ＝53R显然x′＞x，故物体的落点位置P低于O点．45分钟单元能力训练卷（五）1．A [解析] 空载时：P＝f1v1＝kmgv1，装满货物后：P＝f2v2＝kmgv2，所以汽车后来所装货物的质量是Δm＝m－m0＝v1－v2v2m，选项A正确．2．D [解析] 由牛顿第二定律得F－f－mgsin30°＝－ma，F－f＝mgsin30°－ma＝2m，即物体受到重力以外的力作用，大小为F－f，方向平行斜面向上，对物体做正功，所以物体的机械能增加，选项AB错误，D正确；根据动能定理，重力、拉力、摩擦力对物体做的总功等于物体动能的改变量，选项C错误．3．D [解析] 苹果加速下落，运动越来越快，故苹果通过第3个窗户所用的时间最短，平均速度最大，选项A、B都错误；窗户完全相同，所以苹果通过三个窗户重力做的功一样多，苹果通过第1个窗户用时最长，重力的平均功率最小，故选项C错误、D正确．4．BD [解析] 木板转动过程中，因静摩擦力始终与速度方向垂直，故静摩擦力不做功，由动能定理知，支持力做的功W1＝mgh＝mgLsinα；物块下滑过程中，因支持力始终与速度方向垂直，支持力不做功，由动能定理得，mg Lsinα＋Wf ＝12mv2，所以滑动摩擦力做的功Wf ＝12mv2－mgLsinα.所以选项BD正确．5．AD [解析] 合力F沿斜面向下，F＝mgsinθ－f，θ为斜面倾角，故F不随t 变化，A 正确．加速度a ＝Fm，也不变，由v ＝at 知，v －t 图象为过原点的一条倾斜直线，B 错误；物体做匀加速运动，故位移x ＝12at 2，x －t 图象是开口向上的抛物线的一半，C 错误；设物体起初的机械能为E 0，t 时刻的机械能为E ，则E ＝E 0－Fx ＝E 0＋F·12at 2，E －t 图象是开口向下的抛物线的一半，D 正确．6．ABD [解析] 小球做平抛运动，将A 点时的速度分解如图所示，v y ＝v 0tanθ，v ＝v 0sinθ，小球到达A 点时，重力的功率P ＝mgv y ，小球由O 到A 过程中，动能的变化为12mv 2－12mv 20.此过程竖直方向v y ＝gt ，水平方向x ＝v 0t ，小球抛出点O 距斜面端点B 的水平距离为h tanθ－x ，故A 、B 、D 正确．小球从A 点反弹后是否直接落至水平地面不能确定，故从A 点反弹后落至水平地面的时间不能求出，C 错误．7．B [解析] 两个过程中，恒力F 相同，物体相对地面发生的位移相同，所以做功相同；第二种情景下，物体相对地面的速度增大，运动时间t 变短，物体相对传送带的位移Δx 变小，功率P ＝Wt ，故P 1<P 2，因摩擦产生的热量Q ＝μmgΔx，故Q 1>Q 2.所以选项B 正确．8．C [解析] 运动过程中，弹簧和圆环系统的机械能守恒，因弹簧弹力对圆环做功，故圆环的机械能不守恒；对弹簧和圆环系统，根据机械能守恒定律知，当圆环滑到杆底端时，弹簧的弹性势能增大量等于圆环重力势能的减小量mgh ，又因弹簧先被压缩后被拉伸，所以弹簧的弹性势能先增大后减小再增大；圆环到达杆低端时弹簧的弹性势能最大，此时圆环动能为零.9．(1)左 (2)0.98 m/s (3)0.49 J 0.48 J (4)＞受打点计时器对纸带的摩擦阻力及空气阻力作用(实验中有阻力) (5)在误差允许范围内机械能守恒[解析] (1)左端点迹比较密集，所以应是左端与重物相连． (2)v B ＝x OC －x OA2T＝7.06－3.14×10－2 m2×0.02 s＝0.98 m/s(3)ΔE p ＝mgh ＝0.49 J ，ΔE k ＝12mv 2B ＝0.48 J(4)重物下落过程中受打点计时器对纸带的摩擦阻力及空气阻力作用，所以ΔE p＞ΔE k .(5)在误差允许范围内，重物自由下落过程中的机械能守恒．10．(1)接通气源，将滑块静置于气垫导轨上，若滑块基本保持静止，则说明导轨是水平的(或轻推滑块，滑块能基本做匀速直线运动)．(2)0.52 0.43 滑块的质量M 及滑块释放时遮光条到光电门的距离x (3)mgx 12(m ＋M)⎝ ⎛⎭⎪⎫d Δt 2 [解析] (2)d ＝5 mm ＋2×0.1 mm＝5.2 mm ＝0.52 cm ，v ＝dΔt ＝0.43 m/s ；需测量滑块的质量M 及滑块释放时遮光条到光电门的距离x.(3)系统减少的重力势能为ΔE p ＝mgx, 系统增大的动能为ΔE k ＝12(m ＋M)v 2＝12(m ＋M)⎝ ⎛⎭⎪⎫d Δt 2，当ΔE p ＝ΔE k 时，说明系统的机械能守恒．11.74gL5[解析] 以地面为零势能面，在初始位置，桌面部分铁链的重力势能为E p1＝45mg·2L，悬空部分铁链的重力势能为E′p1＝15mg(2L －L10)铁链的下端刚要触及地面时的重力势能为E p2＝mg L2对铁链应用机械能守恒定律得Ep1＋E′p1＝12mv2＋Ep2即12mv2＋mgL2＝45mg·2L＋15mg(2L－L10)故铁链下端刚要触及地面时的速度为v＝74gL 512．(1)6 m/s 0.4 (2)4.1 m (3)能(4)5.6 J[解析] (1)由物块过B点后其位移与时间的关系x＝6t－2t2得v＝6 m/s，加速度a＝4 m/s2又μm2g＝m2a，故μ＝0.4(2)设物块由D点以初速度vD 做平抛运动，落到P点时其竖直速度为vy＝2gR又vyvD＝tan45°，得vD＝4 m/s设平抛运动用时为t，水平位移为x，由R＝12gt2，x＝vDt，得x＝1.6 mBD间位移为x1＝v2－v2D2a＝2.5 m则BP水平间距为x＋x1＝4.1 m(3)设物块沿轨道到达M点的速度为vM，由机械能守恒得1 2m2v2M＝12m2v2D－22m2gR则v2M＝16－8 2若物块恰好能沿轨道过M点，则m2g＝m2v′2MR解得v′2M ＝8>v2M故物块不能到达M点．(4)设弹簧长为AC时的弹性势能为Ep释放m1时，Ep＝μm1gxCB释放m2时，Ep＝μm2gxCB＋12m2v2又m1＝2m2，故Ep＝m2v2＝7.2 J设m2在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为Wf则Ep －Wf＝12m2v2D可得Wf＝5.6 J45分钟滚动复习训练卷（二）1．AD [解析] 由图线可知，运动过程中发动机输出功率一定，若牵引力＝阻力，则汽车做匀速直线运动；若牵引力＞阻力，则速度增大，牵引力减小，汽车做加速度减小的加速直线运动．故选项A、D正确．2．C [解析] 火车从甲站出发，沿平直铁路做匀加速直线运动，即初速度为零，紧接着又做匀减速直线运动，也就是做匀加速直线运动的末速度即为做匀减速直线运动的初速度，而做匀减速直线运动的末速度又为零，所以在先、后两个运动过程中的平均速度(v＝v2)相等，选项C正确；火车运动的位移x＝v t＝v2t，火车运动的加速度a＝vt，即它们不仅与速度变化量有关，还跟时间有关，而先、后两个运动过程中所用的时间不一定相同，所以火车的位移、加速度在先、后两个运动过程中不一定相等，即A、B、D选项都不正确．3．C [解析] 设物体A对圆球B的支持力为F1，竖直墙对圆球B的弹力为F2；F 1与竖直方向夹角θ.因物体A右移而减小．对物体B由平衡条件得：F1cosθ＝mBg，F 1sinθ＝F2，解得F1＝mBgcosθ，F2＝mBgtanθ因θ减小，故F1减小，F2减小，选项A、B均错误；对A、B整体分析可知：在竖直方向上，地面对整体支持力FN ＝(mA＋mB)g，与θ无关，选项D错误；在水平方向上，地面对A的摩擦力f＝F2，因F2减小，故f减小，选项C正确．4．B [解析] 设斜面倾角为θ，长度为L，小球沿光滑斜面下滑的加速度为a，根据牛顿第二定律有：mgsinθ＝ma得a＝gsinθ，小球沿斜面做匀加速直线运动，所以小球的位移x＝12gsinθ·t2，即位移与时间的平方成正比，选项A错误；小球在斜面上的速度v＝gsinθ·t，即速度与时间成正比，选项B正确；设小球从顶端滑到底端的速度为v，由运动学公式有：v2＝2gsinθ·L，选项C错误；由L＝1 2gsinθ·t2，选项D错误．5．C [解析] A项位移正负交替，说明物体做往复运动；B项物体先做匀加速运动，再做匀减速运动，然后做反向的匀加速运动，再做反向的匀减速运动，周而复始；C项表示物体先做匀加速运动，再做匀减速运动，循环下去，物体始终单向运动，C正确；D项从面积判断物体速度有负值出现，不是单向运动．6．A [解析] 取x＝0，对A端进行受力分析，F－T＝ma，又A端质量趋近于零，则F＝T＝6 N，选项A正确；由于不知绳子的加速度，其质量也无法得知，选项B、D均错误；由图易知选项C错误．7．ABC [解析] 滑动摩擦力对工件做功等于工件动能的改变，也等于其机械能的增加量，选项A、B正确；此过程中，工件(对地)位移为x1＝v22a＝v22μg，x1＝vt2，传送带的位移为x2＝vt＝2x1，因此工件相对传送带的位移为Δx＝x2－x1＝vt2＝v22μg，选项C正确；在工件相对传送带滑动的过程中，传送带对工件的摩擦力对工件做功，D错误．8．BCD [解析] 在由椭圆轨道变成圆形轨道时，需经过加速实现，这样CE—2的机械能增加，线速度增大，选项A错误、B正确；若过Q有一绕月球的圆形轨道，在这一圆形轨道上的飞行器速度比绕椭圆轨道过Q点时的速度小，而这一速度比经过P的圆轨道速度大，所以CE—2在Q点的线速度比沿圆轨道运动的线速度大，选项C正确；根据牛顿第二定律，加速度跟CE—2受到的万有引力成正比，所以在Q 点的加速度比沿圆轨道运动的加速度大，选项D正确．9. (1)0.50 2.00 (2)1.97 (3)v0＝vB[解析] (1)游标尺第0刻度线与主尺5 mm刻度对齐，小球直径为d＝5 mm＋0×0.1 mm＝5.0 mm＝0.50 cm，小球通过光电门的速度vB ＝dt＝0.0050 m2.50×10－3 s＝2.00。

2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第37讲等比数列的概念及基本运算含答案

第37讲等比数列的概念及基本运算1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式，前n 项和公式及其性质． 3．能运用等比数列的概念、公式及性质解决相关问题．知识梳理1．等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，首项记作a 1，公比记作q .(2)表示形式：a n ＋1a n＝q (n ∈N *) . (3)等比中项：如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a ，b 的等比中项，即 G 2＝ab .(4)通项公式：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝ a 1·q n －1 . 2．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m · q n －m (m ，n ∈N *)．(2)在等比数列{a n }中，若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝ a p ·a q .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．3．等比数列前n 项和公式(1)等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和公式为S n ，当q ＝1时，S n ＝ na 1 ；当q ≠1时，S n ＝ a 1(1－q n )1－q ＝ a 1－a n q1－q.(2)等比数列前n 项和公式的性质：若{a n }是公比为q (q ≠－1)的等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n－S 2n ，…仍为等比数列，且公比为 q n .1．等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列．(2)满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．(3)满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }是常数列．(4)满足q <0时，{a n }是摆动数列．2．等比数列前n 项和公式的特征：当等比数列的公比q ≠1时，S n ＝Aq n ＋B ⇔A ＋B ＝0.热身练习1．等比数列－12，14，－18，…的通项公式是(A)A ．a n ＝(－12)nB ．a n ＝(－12)n ＋1C ．a n ＝－(12)nD ．a n ＝－(12)n ＋1因为数列是等比数列，又a 1＝－12，公比q ＝－12，所以a n ＝a 1·q n －1＝(－12)n .2．(2018·北京卷)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的(B) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件a ，b ，c ，d 是非零实数，若a ＜0，d ＜0，b ＞0，c ＞0，且ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 不成等比数列(可以假设a ＝－2，d ＝－3，b ＝2，c ＝3)．若a ，b ，c ，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad ＝bc .所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．3．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝(B) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84设等比数列的公比为q ，则a 1＋a 1q 2＋a 1q 4＝21. 又因为a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝42.4．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是(D) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列从项的下标入手寻找规律，下标成等差数列，对应的项成等比数列．因为a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．5．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项的和为S 3＝21，则公比q 的值为(C)A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝21，故q ＝1满足，排除B ，D ；当q ＝－12时，a 1＝a 3q2＝28，a 2＝a 3q＝－14，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝21，所以q ＝－12也满足，故选C.等比数列的基本量的运算等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝____________.(方法一)当q ＝1时，S 3＝3a 1，S 2＝2a 1，由S 3＋3S 2＝0得，9a 1＝0，所以a 1＝0与{a n }是等比数列矛盾，故q ≠1. 当q ≠1时，由S 3＋3S 2＝0得， a 1(1－q 3)1－q ＋3a 1(1－q 2)1－q ＝0，解得q ＝－2. (方法二)由S 3＋3S 2＝0得， a 1(1＋q ＋q 2)＋3a 1(1＋q )＝0，因为a 1≠0，所以q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2.－2(1)解决等比数列问题，关键是抓住首项a 1和公比q ，求解时，要注意方程思想的运用． (2)运用等比数列求和公式时，要注意公比q 是否为1.当n 较小时，直接利用前n 项和的意义展开，不仅可避开公比q 的讨论，还可使求解过程简捷．1．(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝ 32 .设{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.等比数列的性质及应用(1)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝ A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7(2)公比不为1的等比数列{a n }中前10项的和S 10＝10，前20项的和S 20＝30，则S 30＝__________.(1)(方法一)利用等比数列的通项公式求解．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－12，a 1＝－8.所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.(方法二)利用等比数列的性质求解．由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8.所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.(2)(方法一)设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10，a 1(1－q20)1－q＝30，得1＋q 10＝3，所以q 10＝2.所以S 30＝a 1(1－q 30)1－q ＝a 1(1－q 10)1－q (1＋q 10＋q 20)＝10(1＋2＋22)＝70.(方法二)因为S 10，S 20－S 10，S 30－S 20仍成等比数列，又S 10＝10，S 20＝30，所以S 30－30＝(30－10)210＝40，所以S 30＝70.(1)D (2)70在等比数列的计算时，要注意性质的运用和整体代入，以简化运算．等比数列的常用性质：(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q .(2)等比数列连续k 项的和仍成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 仍成等比数列，公比为q k .2．在等比数列{a n }中：(1)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6的值为 4 ；(2)若a n >0，且a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值为 10 .(1)由等比数列的性质知：a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列，所以(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)，所以a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)2a 1＋a 2＝362324＝4.(2)因为{a n }是等比数列，所以a 1·a 10＝a 2·a 9＝a 3·a 8＝a 4·a 7＝a 5·a 6＝9，所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10 ＝log 3(a 1·a 2·a 3·…·a 10) ＝log 3(a 5·a 6)5＝5log 3(a 5·a 6)＝5log 39＝10.等比数列的判断与证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：因为a n ＋S n ＝n ，① 所以a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，即2a n ＋1＝a n ＋1，所以2(a n ＋1－1)＝a n －1，所以a n ＋1－1a n －1＝12，又a 1＋S 1＝2a 1＝1，所以a 1＝12.因为c n ＝a n －1，所以首项c 1＝a 1－1＝－12，公比q ＝12，所以{c n }是以－12为首项，以12为公比的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝(－12)·(12)n －1＝－(12)n ，所以a n ＝1－(12)n .(1)判断或证明一个数列是等差或等比数列的基本方法是运用定义．(2)在解决等差、等比数列的综合问题时，要树立目标意识：“需要什么，就求什么”，根据目标的需要去变形，去构造，才能快速找到解题途径，达到解决问题的目的．(3)一般地，若a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 是常数)，则可变形为a n ＋1－λ＝p (a n －λ)，利用待定系数法可确定其中的λ.3．(2016·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．要求{a n }的通项公式，关键是确定a 1，要求{b n } 的前n 项和，关键是判断{b n } 是怎样的数列．因此，解决问题的突破口就是用好条件“a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ”，这一条件，揭示了{a n }与{b n } 的联系，通过b 1，b 2可确定a 1，从而确定{a n }的通项公式；确定了a n ，则得到了{b n }的递推关系，由此可确定{b n } 是怎样的数列，从而求出{b n } 的前n 项和．(1)由已知a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1. (2)由(1)知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－(13)n1－13＝32－12×3n －1.1．在等比数列中，无论是首项a 1、公比q ，还是通项a n 均不会为零，公比q ＝1时的等比数列是常数列，即a n ＝a 1.2．等比数列与等差数列之间存在着一种运算的对偶关系．因此，等比数列的复习可类比等差数列的复习进行．例如，在等比数列中，通项公式与前n 项和公式也包含有五个量，知道其中三个也可求出另外两个，同样要注意设元技巧，要根据求解目标作整体代换，等比数列和等差数列也有类似的性质和求解技巧等等．3．等比数列求和公式为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q (q ≠1).在处理等比数列求和的有关问题时，要注意对q 进行讨论，若忽视对q ＝1的讨论，则会导致“对而不全”．4．证明一个数列是等比数列常用定义法，若证明一个数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．。

(人教版)2020届高考数学一轮复习第四章解三角形课时跟踪训练20 三角恒等变换文

课时跟踪训练(二十) 三角恒等变换[基础巩固]一、选择题1．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53 [解析] 由(sin α＋cos α)2＝13得2sin αcos α＝－23，∵α在第二象限， ∴cos α－sin α＝－sin α＋cos α2－4sin αcos α＝－153，故cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－153＝－53，选A.[答案] A2．已知sin2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.13 B.12 C.23D.16[解析] cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin2α2＝1＋132＝23.[答案] C3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )A.2941B.129C.141D ．1[解析] tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1，故选D.[答案] D 4.sin47°－sin17°cos30°cos17°等于( )A ．－32B ．－12C.12D.32[解析] 原式＝sin30°＋17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.[答案] C5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6 的值是( )A ．－235B ．－45C.235D.45[解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435⇒32cos α－32sin α＝435⇒3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝435⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－45. [答案] B6．cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116C.116D.18[解析] cosπ9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－239π＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°cos20°cos40°cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.[答案] A 二、填空题 7.cos10°－3sin10°sin20°＝__________.[解析] 原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°sin20°＝2sin 30°－10°sin20°＝2.[答案] 2 8.3tan12°－34cos 212°－2sin12°＝________.[解析] 原式＝3·sin12°cos12°－322cos 212°－1sin12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°cos12°2cos24°sin12°＝23sin －48°2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24°＝－23sin48°12sin48°＝－4 3.[答案] －4 39．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. [解析] 由已知得tan α＋tan β＝－3a ， tan αtan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝1.又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan α＋tan β＝－3a <0，tan αtan β＝3a ＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. ∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－3π4.[答案] －3π4三、解答题10．(2017·北京西城区5月模拟)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f (β)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，求β的值．[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，得x ≠k π＋π4，k ∈Z .所以函数f (x )的定义域是{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }．(2)依题意，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，整理得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4－1＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12. 因为β∈(0，π)，所以β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，得β＋π4＝π，即β＝3π4；由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12，得β＋π4＝π3，即β＝π12. 所以β＝π12，或β＝3π4.[能力提升]11．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2[解析] 由已知，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β. ∴sin αcos β－cos αsin β＝cos α.∴sin(α－β)＝cos α，∴sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，∴α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.故选C.[答案] C12．(2017·河南百校联盟4月联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋5π6等于( )A ．－1010B.1010 C ．－31010D.31010[解析] tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2⇒tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝－2⇒tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2<0，∵α为第二象限角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－55，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π4＝－31010.[答案] C13．(2017·湖南长沙一模)化简：2sin π－α＋sin2αcos2α2＝________.[解析]2sin π－α＋sin2αcos 2α2＝2sin α＋2sin α·cos α121＋cos α＝2sin α1＋cos α121＋cos α＝4sin α.[答案] 4sin α14．(2018·河南统考)已知tan α，tan β是lg(6x 2－5x ＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.[解析] 由lg(6x 2－5x ＋2)＝0，得6x 2－5x ＋1＝0，由题意知tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.[答案] 115．已知sin(2α＋β)＝2sin β，求证：tan(α＋β)＝3tan α. [证明] ∵sin(2α＋β)＝2sin β，∴sin[(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]． ∴sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝2sin(α＋β)cos α－2cos(α＋β)sin α. ∴3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α. ∴tan(α＋β)＝3tan α.16．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．[解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32.所以sin2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)由(1)知tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3212＝2 3.[延伸拓展](2018·安徽皖江名校联考)已知在锐角△ABC 中，角α＋π6的终边过点P (sin B －cos A ，cos B －sin A )，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝33，则cos2α的值为( ) A.3－26B ．－23－16 C.12－36D ．－63－16[解析] ∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B >π2，A 、B <π2，∴π2>B >π2－A >0，则sin B >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ，cos B <cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝sin A ，∴sin B －cos A >0，cos B －sin A <0，∴角α＋π6为第四象限角，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－63，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝12－66，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－63－16，故选D.[答案] D。

人教版高中英语高三一轮复习英语第四次检测含答案

民生中学2020-2021学年度第一学期期末考试试题高三英语第一部分（共两节，满分40分）第一节阅读理解（共15小题，每小题2分，满分30分）AIf you are ever in Connecticut, you need to be sure to take the family to Lake Compounce Theme Park. The park lies in Bristol, Connecticut. It has been opened since 1846 and is known as America’s oldest park.In October, they open the park for an event called Haunted Graveyard which is open at night. The rates are $ 34.99 for regular tickets, $ 25.99 for kids and $17.99 for those over the age of 60. If you go before 5: 00 p. m., you only pay $17.99. Kids under the age of three are free and parking is $8.00.The rides at the theme park are so much fun. The ride liked by all is the Boomerang with the top speed of over 45 miles per hour. The drop on this ride is 125 feet. Another popular ride is the Pirate Ship. These two rides are great for thrill seekers because you actually feel as if you were falling out of your seat.The park also has plenty of water rides for those who love water fun, such as water guns and water slides. Lights Out is a fast water slide that is all in the dark. It goes around what looks like a lighthouse. Besides the rides, the park also has fun shows for the whole family. They have a great show and a cool circus. There are also some great places to eat at the park.You can stop at the entrance to get a map first. You won’t be able to visit the whole park in a day so you should have your family choose what you want to and have fun!1. A young couple with a six-year-old child driving to the Haunted Graveyard at night will haveto pay ________.A . $95.97B . $68.98C . $105.98D . $103.972.What does the underlined phrase "thrill seekers" in Paragraph 3 mean?A . People who are very brave.B . People who look for adventure.C . People who like visiting parks.D . People who want to learn a lot.3.The passage is written mainly to ________.A . tell readers some information about the theme parkB . persuade more and more people to visit the theme parkC . tell readers the theme park is the oldest in the USD . make the theme park better known to the worldBMom and Dad are two of the most important people in your life.You probably see at least one of them every day. If your dad worships（崇拜）the Pittsburgh Stealers, you're likely to grow up being a big fan of that football team. And if your mom loves to read, you just might grow up carrying a book wherever you go, just like she does.Here are four ways you can stay.close: and build a strong relationship with your parents.⑴Spent time together. How much time do you spend just enjoying each other's company?Instead of playing a computer game or watching TV, maybe you can ask your mom and dad to play with you. Go outside together, try a board game, or read a book out.⑵Share your feelings and ask for help. Your mom or dad might not know that you're having a problem. Tell a parent if you're sad or struggling with something.⑶Show your care. Some families are always kissing, hugging, and saying "I love you". It's important to show that you care for each other. In addition to kisses and hugs, kids and parents show their love by respecting each other, being caring, polite, and thoughtful.⑷Whatever you do, do your best! You, don't have to be perfect, but when you do your best, you make your parents proud. It makes them happy to see how you're turning into such a great kid. Why? Because it lets them know they're doing a good job.4.The first paragraph mainly tells us_______.A . the Pittsburgh Stealers is a famous football teamB . the kid will like reading if his or her mother likesC . parents influence their kids greatlyD . we should follow our parents' hobbies5.In the third paragraph, the author suggests that_______.A . you keep your parents company all the timeB . you stay at home with your parentsC . you enjoy games when your parents watch TVD . you do something together with yourparents6.The underlined part "they're doing a good job" means_______. .A . they have very good jobsB . their jobs can bring the family much moneyC . they make you become a great kidD . they make you find a good job7.The text intends to tell us_______.A . parents are important to everyoneB . how we get along with our parentsC . to respect our parentsD . to share feelings with our parentsCPeople need to relax and enjoy themse1ves. One way they can have a good time is to watch a baseball game or another sports event. Even thousands of years ago, groups of people gathered to watch skilled athletes (运动员).Over 2000 years ago in Greece, certain days in the year were festival days. These were holidays when people stopped work and enjoyed themselves. They liked to watch athletes take part in races and other games of skill.The most important festival was held every four years at the town of Olympia. It was held in honor of the Greek god Zeus (Zus). For five days, athletes from all parts of the Greek world took part in the Olympic Games. At the Olympic Games, people could watch them box, run, jump and so on. There was a relay race between two teams of men in which a lighted torch (火矩) was passed from runner to runner. The Olympic Games were thought to be so important that cities which were at war with one another had to stop fighting. People were allowed to travel to the games safely. Thousands of people came to Olympia from cities in Greece and from her colonies (殖民地) in Africa, Asia and Italy. They met as friends to cheer their favorite athletes and to enjoy themselves.8.What happened in Greece over 2000 years ago？A . People stopped work and enjoyed themselves.B . The cities there were often against one another.C . People watched baseball games.D . People didn't go to any games at all.9.What were those countries in Africa？A . Friends.B . Enemies.C . Colonies.D . Other cities.10.Greek cities then were fighting so they_________.A . were weakB . were strongC . couldn't go to other cities freelyD . could see each other11.The best title for the story is "__________".A . Greece at WarB . Together for the GamesC . Stop FightingD . SportDA thief returned a mobile phone and thousands of yuan he had stolen from a woman after receiving twenty-one text messages from her,a local newspaper reported.Pan Aiying, a Chinese teacher at Wutou Middle School in Qihe County, in East China’s Shandong Province, didn’t think her text messages would help to get her belongings back.A young man riding a motorcycle robbed her of her bag, in which there was her mobile phone, bank cards and 4,900 yuan, as she was riding her bicycle home on Saturday evening.Pan said at first she considered calling the police, but then decided to try to persuade the young man to return her bag.Pan called her lost phone with her friend’s, but co uldn’t get through. So she began sending messages.“Hey,I’m Pan Aiying,a teacher from Wutou Middle School. You must be going through a difficult time. If so, I will not blame you.”Wrote Pan in the first text message, which got no answer. “Keep the 4,900 yuan if you really need it, but please return the other things to me. You are still young. To make mistakes is human. Correcting your mistake is more important than anything, ” Pan wrote in another message.She gave up hope after sending twenty-one text messages without any answer and planned to call the police the next morning. However, as she left her home on Sunday morning, Pan found her stolen bag lying in the courtyard. Nothing was lost.“Dear Pan: I am sorry. I made a mistake. Please forgive me. You are so kind even though I stole from you. I’ll correct my ways and be an honest man,” said a letter left with the bag.12.Where was Pan Aiying robbed?A.In the school.B.At home.C.In the courtyard.D.In the street.13.Why didn’t Pan call the police a t first?A.Because she thought the police wouldn’t help her.B.Because it was too late at that time.C.Because she wanted to communicate with the thief first.D.Because her friend asked her not to.14.How long was Pan’s bag missing?A.About two days.B.About 12 hours.C.About one day and a half.D.About 24 hours.15.From the news we can learn that .A.the young man would not steal any moreB.Pan didn’t give up hope after sending 21 text messagesC.the young man would pay a visit to Pan personallyD.Pan teaches English in a middle school in Shandong Province第二节七选五（共5小题，每小题2分，满分10分）Tips for Green Travel with KidsTraveling is a chance to show your children that being on the road doesn’t have to mean letting go of all the eco-friendly choices we work so hard to achieve during our day-to-day life.Here are a few tips for green travel with kids.Booking nonstop flights whenever possible will reduce carbon emissions(碳排放).If the closest local airport doesn’t have nonstop flights to a certain place,check in with other local airports to see if nonstop flights are available.16Whether you’re flying,driving or taking the train,it’s easy when traveling to pull into fast food restaurants for snacks(小吃).17My kids love to help plan the snacks.I let them create their own snacks for the trip at home.18At the airport keep your reusable bottles empty until you’ve passed through security(安检).Fill them up on the other side of the security check point.Single-use plastic water bottles create unnecessary waste and the plastic can be harmful to your health.19Open a few windows and turn off the air conditioner(空调).You should also help your children keep their good,green habits from home in place while traveling.Sometimes vacation can mean more than one shower each day—once in the morning and again after getting out of the pool.Pay attention to the number of showers and the length of showers.20A.Walking is good for your health.B.Try to cut back to save water and energy.C.But you can pack healthy food from home.D.Traveling is a great chance to introduce your kids to the world.E.Reusable water bottles are easy to bring along wherever you travel to.F.Save energy by turning off the hotel room lights when you head out for the day.G.You might have to drive a bit further,but saving on carbon emissions makes it worthwhile.第二部分语言知识运用（共两节，满分45分）第一节完形填空（共20小题，每小题1.5分，满分30分）As Christmas is coming, there are presents to be bought, cards to be sent, and rooms to be cleaned. Parents are 21 with difficult jobs of hiding presents from 22 young children. If the gifts are large, this is sometimes a real 23 . On Christmas Eve, young children find the 24 almost unbearable. They are torn by the wish to 25 up late so that they will not miss the fun. The wish for gifts usually proves stronger. But though children go to bed early, they often lie 26 in bed for a long time, hoping to get a short 27 at Father Christmas.Last Christmas, my wife and I 28 hid a few large presents in the store room. I 29 the moment when my son, Jimmy, would ask me where the new bike had come from, but 30 he did not see it.On Christmas Eve, it took the children hours to go to sleep. It must have been early 31 when my wife and I went quietly into their room and began 32 stockings. Then I 33 the bike for Jimmy and left it beside the Christmas tree. We knew that we would not get much 34 that night, for the children were sure to get up early. At about 5 o'clock the next morning, we were 35 by loud sounds coming from the children's room—they shouted excitedly! 36 I had time to get out of bed, Jimmy came 37 into our bedroom on his new bike, and his sister, May, 38 close behind, pushing her new baby carriage. Even the baby arrived, he moved on his 39 and knees into the room bringing a large balloon behind him. Suddenly, it burst. That woke us up 40 . The day had really begun with a bang.21.A.faced B.covered C.pleased D.filled22.A.sad B.curious C.worried D.quiet23.A.question B.matter C.problem D.business24.A.interest B. excitement C.parents D.presents25.A.stay B.wake C.get D.stand26.A.asleep B.still C.sick D.awake27.A.stare B.glare C.look D.watch28.A.hopefully B.busily C.hurriedly D.successfully29.A.feared B.liked C.hated D.expected30.A.possibly B.unluckily C.fortunately D.sadly31.A.morning B.midnight C.daybreak D.evening32.A.filling B.mending C.sewing D.wearing33.A.pulled B.dragged C.pushed D.rode34.A.work B.sleep C.money D.talk35.A.woken B.frightened C.shocked D.troubled36.A.When B.After C.Until D.Before37.A.running ughing C.riding D.jumping38.A.ran B.followed C.jumped D.moved39.A.hands B.legs C.feet D.head40.A.suddenly pletely C.happily D.nearly第二节语法填空（共10小题，每小题1.5分，满分15分）If your friendship is going through huge tests, you may find yourself confused, lonely, and angry at the same time. Here are simple ways 41.(keep) your nearly lost friendship alive.Let go of your pride. This is easy to say, but very difficult to do. You may ask yourself, “Why doesn’t he show any regret for 42.he has done? I haven’t done anything wrong—why should I say sorry?”43. (actual), it is your pride that is talking. Allowing your pride to control your feelings will only make you more upset.Talk about the problems.Never restart your friendship without 44.(face) the problem calmly. If you must, write letters 45.each other. It could heal(治愈) the wounds that you have caused to each other.If you ignore the problem, your pain will only increase. Remember, you want to keep the friendship but not to make the problem 46.(bad) than before.Laugh about it. It is often said that laughter is 47. best medicine. After some time, when both of you have renewed your 48.(confident) in each other, go back to the time 49. you nearly fell apart. Laugh about your foolishness, and promise never to let pride take over your friendship again.Friendship is valuable. It cannot be bought or asked for. Common interests and 50. (hobby) are what create a friendship. Love, understanding, acceptance and forgiveness lead to a long-lasting one.第三部分（共20小题，每小题1.5分，满分30分）第一节翻译（共10小题，每小题1.5分，共15分）51.目前，现在52.设法做53.产生；分泌54.如释重负；松了口气55.灭亡；逐渐消失56. at ease57.rid ...of ... 58.thanks toe into being 60.face to face第二节（共10小题，每小题1.5分，满分15分）61. Wat’s your a towards his words?62. It is important to have a balanced and healthy d .63. Mohandas Gandhi was the leader who helped gain India’s i from Britain.64. The new owners have tried to give the restaurant a more family-friendly (气氛).65. At the moment we are d (争论) what furniture to buy for the house.66.Yang Gang wiil organize young (志愿者) to help with the preparations for the 2022 Winter Olympic Games.67. I’d (感激) it if you could allow me to go to the library this afternoon.68. The prices have been r (减少) recently, so it is a good chance to go shopping.69. It is important to know your own strengths and w .70. Dr. Smith (发表) a lecture on endangered species yesterday.第四部分写作（共两节，满分35分）第一节短文改错（共10小题，每小题1分，满分10分）假定英语课上老师要求同桌之间交换修改作文,请你修改你同桌写的以下作文。

2021年高考语文一轮复习晚练37新人教版

晚练 371.以下各句中加点的成语，使用不当的一组是( )①31周岁，对于任何一名游泳运发动而言，都是一个令人望而生畏．．．．的年纪，而菲尔普斯克制了这一切，在里约奥运会上仍拿下了4枚金牌，以23枚奥运金牌总数打破前人保持的奥运奖牌纪录，也创造了奥运历史上奖牌和金牌最多的纪录。

②小李是我最要好的朋友，经常对我耳提面命．．．．，使我在日常的学习与工作中能少犯错误，我非常感谢他。

③我跟他认识，也有几年了，但除了见面点头，几句应酬，就没有别的，因此至今还是白头．．如新．．。

④今年暑假，我和几个小伙伴几经艰辛，终于登上了西岳华山绝顶。

立于巅峰，放目远眺，天无涯际，我顿觉自己渺小，登高自卑．．．．之感油然而生。

⑤泛舟在美丽的漓江上，只见江水浩浩荡荡，两岸丛山叠峰，各具神态，令人目不交睫．．．．，身在其中，倍感奇趣横生。

A.①②⑤B.①③⑤C.②③④D.②④⑤【解析】选D。

①望而生畏：望，看见；畏，畏惧，害怕。

表示看见了就害怕。

在本句中，符合语意。

②耳提面命：对着耳朵告诉，表示教导的殷勤恳切。

多指(长辈对晚辈、上级对下级)恳切地教导，而不能用于同辈之间。

在本句中，用错对象。

③白头如新：白头，头发白了；新，新交。

指交朋友彼此不能理解，时间虽久，仍跟刚认识一样。

在本句中，符合语意。

④登高自卑：自，从；卑，低。

登山要从低处开场。

比喻做事情要循序渐进，由浅入深。

做事脚踏实从小事做起。

不能误以为看见高山而觉得自己很渺小。

在本句中，望文生义。

⑤目不交睫：交睫，上下睫毛相交接，即闭眼。

指没有合上眼皮。

形容夜间不睡觉或睡不着。

在本句中，望文生义。

2.填入下面文段空白处的词语，最恰当的一组是( )______①______人类语言在表达意义和情感时普遍存在局限性，因此______②______怎样详尽的语言描绘______③______不可能把现象世界的全貌呈现于人们的面前，______④______必须______⑤______形象去调动人们的想象，来弥补自然语言______⑥______表意方面的缺乏。

【高中教育】浙江专版2020版高考英语一轮复习 Unit 4 Sharing高考拆组训练新人教版选修7.doc

Unit 4 Sharing练(一) 语言运用组块专练——练准度(限时：25分钟)Ⅰ.完形填空Many years ago, three soldiers, hungry and tired of battle, arrived at a small village. The villagers, suffering a poor harvest and years of war, quickly __1__ the food they owned. They met the three at the village square, __2__ about the lack of food.The first soldier then approached the village elders, “Your tired fields have left you __3__ to share, so we shall share what we have: the __4__ of how to make soup from __5__.”Naturally the villagers became __6__ and soon a fire was put to the village's greatest pot as the soldiers carefully __7__ three stones. “Now this will be a fine soup，” said the second soldier，“__8__ some salt and parsley (西芹) would make it more wonderful！” A woman __9__， crying “What luck! I remember I've got some at home！” Off she ran, __10__ with a handful of parsley. As the pot boiled on, carrots, beef and cream had soon __11__ their way into the pot before everyone set out to __12__.The soldiers ate and danced and sang well into the night, __13__ by the meal and their __14__ friends. The next morning, they awoke to __15__ the entire village standing before them with their best bread and cheese.“You have given us the greatest __16__，” said an elder，“and we shall never forget it.” The third soldier turned to the __17__， and said，“There is no secret but one thing is __18__： it is only by __19__ that we may make a feast.” And off the __20__ wandered, down the road to their next destination.C．hid D．sold解析：选C 根据上文中的“The villagers, suffering a poor harvest and years of war”并结合最后一段内容可知，此处指村民们迅速地把他们拥有的食物藏了起来。

2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题4.3简单的三角恒等变换(讲)含解析

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第四章三角函数与解三角形第03讲简单的三角恒等变换 ---讲1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.3.高考预测：（1）和（差）角公式；（2）二倍角公式；（3）和差倍半的三角函数公式的综合应用.（4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查.4.备考重点：(1) 掌握和差倍半的三角函数公式；(2) 掌握三角函数恒等变换的常用技巧.知识点1．两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；.函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．【典例1】（2019·江西高考模拟（文））如图，点A 为单位圆上一点， 3XOA π∠= 点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B(-45，35)则cos α=( )A ．410B ．410+ C D ．310+ 【答案】A 【解析】由题意得：故选A 【总结提升】三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．【变式1】（2019·四川高考模拟（理））已知4cos 5=-α，()π,0∈-α，则 ( )A ．17B ．7C ．17-D ．7-【答案】C 【解析】∴则故选：C ．知识点2．二倍角公式的运用公式的应用二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.变形公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α21＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 【典例2】（2017·全国高考真题（文））已知，则（）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】.所以选A. 【总结提升】明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．【变式2】（2019·河南高考模拟（理））已知，则tan2α=（）A ．-B ．C ．D ．2【答案】A 【解析】由题，则故tan2α=故选：A考点1 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用【典例3】（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ．射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -.若6BOC π∠=，则()cos βα-的值是( )A B ．310+C D 【答案】C 【解析】依题意，有：3cos 5α=，4sin 5α=，，1sin 2β=，()cos βα-＝.故答案为：C.【总结提升】三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.【变式3】（2019·河南鹤壁高中高考模拟（文））平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 是单位圆在第一象限内的点，xOP α∠=，若，则00y x +为_____．【解析】由题意知：0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，由，得，考点2 两角和与差的正切公式的应用【典例4】（2018年全国卷II 文）已知，则__________．【答案】.，解方程得.【规律方法】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．【变式4】（2019·黑龙江哈尔滨三中高考模拟（理））已知α是第二象限角，且，则tan 2α的值为（） A ．45B ．237-C ．247-D ．249-【答案】C 【解析】由，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-...故选C.考点3 二倍（半）角公式的应用【典例5】（2016·全国高考真题（理））若，则sin 2α=（）A ．725B ．15 C ．15-D ．725-【解析】，且，故选D.【总结提升】转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．【变式5】（2019·湖北高三月考（文））已知α是第一象限角，sin α=2425，则tan 2α=（） A ．43-B ．43C ．34-D ．34【答案】D 【解析】∵α是第一象限角，sin α=2425=， π2+，k ∈Z ， ∴k π2α<<k ππ4+，k ∈Z ， ∴0<tan2α<1，∴sin α＝2sin2αcos ，整理得：212tan 2α-25tan 2α+120＝，解得tan 423α=（舍去）或tan 2α=34．故选D ．考点4简单的三角恒等变换---化简与证明【典例6】求证：.【解析】左边＝sin αcos α＋)24sin()24cos(απαπ++＝右边．故原式得证．【总结提升】1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．2．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．3．三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．【变式6】（2018届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研）已知，满足，则的最大值为______.【答案】.【解析】由，得化为，，，的最大值为，故答案为.。

浙江省2020届高三数学一轮复习典型题专项训练：三角函数

cos 2C 1 ，则 sin C
；当 a 2 ， 2sin A sin C 时，则 b
．
4
13、（稽阳联谊学校 2019 届高三 4 月联考）在 V ABC 中， cos C = 5 ， BC = 1 ， AC = 5 ，则 cos C =
，
25
sin A =
.
14、（绍兴市上虞区 2019 届高三第二次（5 月）教学质量调测）在 ABC 中，角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ，
(
, ),
tan
3。
2
2
（1）求 sin 的值；
（2）求函数
f
(x)
2 sin
x cos
x cos
(cos2
x
sin 2
x) sin ,
x [
，
] 的值域。
4 ,2
2、（金丽衢十二校 2019 届高三第一次联考）如图，在△ABC 中，已知点 D 在边 AB ，AD＝3DB， cos A 4 ， 5
B．[ 3, 3]
C． (, 3]
D． (, 3 ] 3
10、（浙南名校联盟（温州九校）2019 届高三上学期期末联考）在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别是 a,b, c . 若 b sin A a sin C ， c 1 ，则 b ______， ABC 面积的最大值为______.
若 a 2 b 2 2c 2 ，则角 C 的取值范围
A．
0，
6
B．
6
，
4
C．
0，
3
D．
4
，
3Leabharlann 15、（台州市 2019 届高三 4 月调研）在 D ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，∠ABD＝ π . 6

2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测：4.3 三角恒等变换 Word版含解析

4.3三角恒等变换挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点两角和与差的三角函数1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2018浙江,18两角和的正弦和余弦计算任意角的三角函数的定义、诱导公式★★☆2017浙江,14二倍角公式余弦定理2016浙江文,11降幂公式、辅助角公式2015浙江,16,7,文16两角和的正弦正弦定理2014浙江文,18两角和的余弦余弦定理、三角形的面积简单的三角恒等变换能利用和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行简单的三角函数恒等变换.2017浙江,18降幂公式、辅助角公式最小正周期、单调区间★★★2016浙江,10,文16两角和的正弦、余弦正弦定理2015浙江,16三角恒等变换正弦定理、三角形的面积分析解读 1.对本节内容的考查仍以容易题和中等难度题为主.2.主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及运用上述公式进行简单的恒等变换(例:2016浙江,10).3.对三角恒等变换的考查往往与解三角形、向量知识综合在一起.4.预计2020年高考试题中,三角恒等变换仍是考查的重点,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点一两角和与差的三角函数1.(2018浙江金华十校第一学期期末调研,3)sin5°cos55°-cos175°sin55°的结果是()A.-B.C.-D.答案D2.(2018浙江9+1高中联盟期中,12)设sin2α=sinα,α∈(0,π),则cosα=,tan2α=.答案;-解析(1)由(b+c)2-a2=(2+)bc得b2+c2-a2=bc,∴cos A==,∴A=.由sin Asin B=cos2,得sin B=,∴sin B=1+cos,即sin B+cos B=sin=1,且B+C=π,故B=.(2)f(x)=sin x(cos x+asin x)=+=sin(2x-φ)+≤+= (其中tanφ=a),解得a=.2.(2018浙江高考模拟卷,18)函数f(x)=acosωx+bsinωx(ω>0)的最小正周期为,当x=时,有最大值4.(1)求a,b,ω的值;(2)若<x<,且f=,求f的值.解析(1)f(x)=acosωx+bsinωx=sin(ωx+θ),其中sinθ=,cosθ=.由条件得=,∴ω=4,∴f(x)=acos4x+bsin4x,又x=时,有最大值4,∴-a+b==4,解得a=-2,b=2.(2)由(1)得f(x)=2sin4x-2cos4x=4sin,则f=4sin=,∴cos4x=,∵<x<,∴cos2x=-=-,∴f=4sin=4cos2x=-.炼技法【方法集训】方法1 三角函数式的化简方法1.已知tanα=2018tan,则=()A.-1B.1C.-D.答案C2.(人教A必4,一,2,B2,变式)已知α为第二象限角,则cosα+sinα=. 答案sinα-cosα方法2 三角函数式的求值方法1.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,14)已知sin+sinα=,且α∈,则sin=,cos α=.答案;2.已知α,β均为锐角,且cosα=,tanβ=.(1)比较α,β的大小;(2)设θ,φ均为锐角,且sin(α+θ)sin(β+φ)=1,求θ+φ的值.解析(1)∵cosα=,α∈,∴sinα==,∴tanα=.∵tanβ=<=tanα,β∈,函数y=tan x在上单调递增,∴α>β.(2)由(1)得tan(α+β)==1,又α+β∈(0,π),∴α+β=.∵α,β,θ,φ∈,∴α+θ,β+φ∈(0,π),∴0<sin(α+θ)≤1,0<sin(β+φ)≤1.∵sin(α+θ)sin(β+φ)=1,∴sin(α+θ)=sin(β+φ)=1,∴α+θ=β+φ=.∵α+β=,∴θ+φ=π-(α+β)=.方法3 利用辅助角公式解决问题的方法1.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,18)已知f(x)=2cos2x+sin2x-+1(x∈R).(1)求f(x)的单调增区间;(2)当x∈时,求f(x)的值域.解析由题可知f(x)=sin2x+(2cos2x-1)+1=sin2x+cos2x+1=2sin+1.(1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,即2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z).(2)∵x∈,∴2x+∈,∴sin∈,∴f(x)∈[0,3].2.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,20)已知a=(2cosα,2sinα),b=(cosβ,sinβ),其中0≤α<β<π,设=a+b,=a-2b(O为坐标原点),以OA,OB为邻边所作的平行四边形为菱形.(1)求cos(β-α)的值;(2)若α=0,单位向量e=x a+y b(x,y∈R),求x+y的最大值.解析(1)∵a=(2cosα,2sinα),b=(cosβ,sinβ),∴a+b=(2cosα+cosβ,2sinα+sinβ),a-2b=(2cosα-2cosβ,2sinα-2sinβ).∵|a+b|=|a-2b|,即(2cosα+cosβ)2+(2sinα+sinβ)2=(2cosα-2cosβ)2+(2sinα-2sinβ)2,∴12cos(β-α)=3,∴cos(β-α)=.(2)当α=0时,a=(2,0),b=,e=x a+y b=,设e=(cosθ,sinθ),则⇒∴x+y=sinθ+cosθ=sin(θ+φ),∴(x+y)max=.过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点一两角和与差的三角函数(2014浙江文,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2+4sin Asin B=2+.(1)求角C的大小;(2)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值.解析(1)由已知得2[1-cos(A-B)]+4sin Asin B=2+,化简得-2cos Acos B+2sin Asin B=,故cos(A+B)=-,所以A+B=,从而C=.(2)由S△ABC=absin C=6,b=4,C=,得a=3.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得c=.评析本题主要考查两角和与差的余弦公式、二倍角公式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.考点二简单的三角恒等变换(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案;1B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一两角和与差的三角函数1.(2018课标全国Ⅲ理,4,5分)若sinα=,则cos2α=()A. B. C.- D.-答案B2.(2016课标全国Ⅱ,9,5分)若cos=,则sin2α=()A. B. C.- D.-答案D3.(2018课标全国Ⅱ理,15,5分)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.答案-4.(2017课标全国Ⅰ文,15,5分)已知α∈,tanα=2,则cos=.答案考点二简单的三角恒等变换1.(2017课标全国Ⅲ文,4,5分)已知sinα-cosα=,则sin2α=()A.-B.-C.D.答案A2.(2014课标Ⅰ,8,5分)设α∈,β∈,且tanα=,则()A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=答案C3.(2016四川,11,5分)cos2-sin2=.答案4.(2014福建,16,13分)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-.(1)若0<α<,且sinα=,求f(α)的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析解法一:(1)因为0<α<,sinα=,所以cosα=.所以f(α)=×-=.(2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin2x+-=sin2x+cos2x=sin,所以T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.解法二:f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin2x+-=sin2x+cos2x=sin.(1)因为0<α<,sinα=,所以α=,从而f(α)=sin=sin=.(2)T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.评析本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数公式及三角函数的图象与性质等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.C组教师专用题组考点一两角和与差的三角函数1.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.-B.C.-D.答案D2.(2015重庆,9,5分)若tanα=2tan,则=()A.1B.2C.3D.4答案C3.(2017江苏,5,5分)若tan=,则tanα=.答案4.(2015四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案5.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为.答案36.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.解析本小题主要考查同角三角函数关系、两角差及二倍角的三角函数,考查运算求解能力.(1)因为tanα=,tanα=,所以sinα=cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,所以cos2α=2cos2α-1=-.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)==,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=,所以tan2α==-.因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.7.(2014江苏,15,14分)已知α∈,sinα=.(1)求sin的值;(2)求cos的值.解析(1)因为α∈,sinα=,所以cosα=-=-.故sin=sincosα+cossinα=×+×=-.(2)由(1)知sin2α=2sinαcosα=2××=-,cos2α=1-2sin2α=1-2×=,所以cos=cos cos2α+sin sin2α=×+×=-.评析本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力.考点二简单的三角恒等变换1.(2017山东文,4,5分)已知cos x=,则cos2x=()A.-B.C.-D.答案D2.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b= (3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-.又x∈[0,π],所以x=.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos.因为x∈[0,π],所以x+∈,从而-1≤cos≤.于是,当x+=,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-2.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2019届台州中学第一次模拟,2)计算:sin5°cos55°-cos175°sin55°的结果是()A.-B.C.-D.答案D2.(2019届镇海中学期中考试,7)已知sin=-,则cos2α+sin2α=()A. B.- C.- D.答案A3.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),5)已知△ABC中,有关系式tan C(sin2B-sin A)=cos2B+cos A成立,则△ABC为()A.等腰三角形B.∠A=60°的三角形C.等腰三角形或∠A=60°的三角形D.等腰直角三角形答案C二、填空题(单空题4分,多空题6分,共20分)4.(2019届台州中学第一次模拟,15)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-,则cos2α=,tan(α-β)=.答案-;-5.(2019届浙江高考模拟试卷(五),16)若sin=cos+cos,则tanα=.答案6.(2018浙江杭州二中期中,15)若α满足sin(α+20°)=cos(α+10°)+cos(α-10°),则tanα=.答案7.(2018浙江温州二模(3月),12)若cos2α=2cos,α∈(0,π),则sin2α=,tanα=.答案1;1三、解答题(共20分)8.(2019届浙江名校协作体高三联考,18)已知函数f(x)=cos2ωx+sinωxcosωx- (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)在区间上的取值范围.解析(1)f(x)=cos2ωx+sinωxcosωx-=+-=cos.由=π,得ω=1.(2)由(1)知f(x)=cos,因为x∈,所以2x-∈,所以f(x)∈.9.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),18)已知函数f(x)=sinωx+acosωx(ω>0)满足f(0)=,且f(x)图象的相邻两条对称轴间的距离为π.(1)求a与ω的值;(2)若f(α)=,α∈,求cos的值.解析(1)∵f(0)=,∴a=,∴f(x)=2sin,∵T=2π,∴ω=1.(2)∵f(α)=,∴sin=,∵-<α<,∴-<α+<.∵sin=<1,∴0<α+<,∴cos=,∴cos=cos=×+×=.。

浙江省2020年新课标高考物理一轮复习作业详答新人教版

课时作业（一）【基础热身】1．B [解析] 选项A、C、D中的数据都是时间轴上的一个点，指的都是时刻；而选项B中15 s是与跑完100 m这一运动过程相对应的，指的是时间间隔，故选项B正确．2．C [解析] 位移是从起点指向终点的有向线段，是矢量；路程是运动路径的长度，是标量，它没有方向．正确选项只有C.3．B [解析] 加速度描述物体速度变化的快慢程度，选项A错误，选项B正确；加速度方向与运动方向共线时，物体一定做直线运动，同向时做加速运动，反向时做减速运动，选项C、D错误．4．A [解析] 由图可知，心脏每跳动一次，纸带向前移动大约是4个小方格的距离，约2.0 cm，则心脏每跳动一次所需时间约T＝xv＝0.80 s；此人心脏一分钟跳动的次数为n＝60 s0.80 s/次＝75次，故本题只有选项A正确．【技能强化】5．B [解析] 无论加速度正在增大还是正在减小，只要加速度与速度同向，物体速度就一直增大，当同向加速度减小到零时，物体速度达到最大，速度不再增大，但位移会继续增大，由此可知本题只有选项B正确．6．AC [解析] 速度与加速度都是矢量，其正负表示速度与加速度的方向．速度与加速度方向相反，汽车做减速运动；经1 s速度减小Δv＝aΔt＝1 m/s，所以再过1 s汽车的速度变为5 m/s，故选项A、C正确．7．AB [解析] 如果物体做加速度逐渐减小的加速直线运动，则加速度为零时速度最大，选项A正确；根据加速度定义可知选项B正确；质点某时刻的加速度不为零，但该时刻的速度可以为零，选项C错误；物体速度变化量大小决定于加速度和时间两个因素，选项D错误．8．A [解析] 由于通讯员初、末位置都跟队尾士兵相同，所以位移也相同，由平均速度公式可以判断选项A正确．9．C [解析] 设总位移为x，则甲车运动的总时间t甲＝x2v甲1＋x2v甲2＝v甲1＋v甲22v甲1v甲2x，所以甲车的平均速度v甲＝xt甲＝2v甲1v甲2v甲1＋v甲2＝48 km/h；设乙车运动的总时间为t乙，则乙车的总位移x＝v乙1·t乙2＋v乙2·t乙2＝v乙1＋v乙22t乙，所以乙车的平均速度v乙＝xt乙＝v 乙1＋v乙22＝50 km/h.故C项正确．10. 230 m[解析] 为确保行车安全，要求在列车驶过距离L的时间内，已越过停车线的汽车的车尾必须能通过道口．汽车越过停车线至车尾通过道口的过程中，汽车的位移为x′＝l＋x＋x＝(15＋5＋26) m＝46 m汽车速度v2＝36 km/h＝10 m/s通过这段位移需要的时间t＝x′v2＝4610s＝4.6 s高速列车的速度v1＝180 km/h＝50 m/s所以安全行车的距离为L＝v1t＝50×4.6 m＝230 m. 11．(1)6.61 m/s2(2)9.26 s[解析] (1)末速度v＝100 km/h＝1003.6m/s＝27.78 m/s平均加速度a1＝v－vt1＝27.78－04.2m/s2＝6.61 m/s2.(2)所需时间t2＝v－va2＝27.78－03s＝9.26 s.12．0.067 m/s2[解析] 遮光板通过第一个光电门的速度v 1＝LΔt1＝0.030.3m/s＝0.10 m/s遮光板通过第二个光电门的速度v 2＝LΔt2＝0.030.1m/s＝0.30 m/s故滑块的加速度a＝v2－v1Δt＝0.067 m/s2【挑战自我】13．45 km/h[解析] 设甲、丙两地距离为2l，汽车通过甲、乙两地的时间为t1，通过乙、丙两地的时间为t2.从甲到乙是匀加速运动，由l＝v甲＋v乙2·t1得t1＝lv甲＋v乙2＝2lv甲＋v乙从乙到丙也是匀加速运动，由l＝v乙＋v丙2·t2得t2＝lv乙＋v丙2＝2lv乙＋v丙所以v甲丙＝2lt1＋t2＝v甲＋v乙v乙＋v丙v甲＋2v乙＋v丙＝45 km/h.课时作业（二）【基础热身】1．BD [解析] 由匀加速直线运动的位移公式可知x＝v t＝0＋v2t＝12vt，选项A错误，选项B正确；匀减速直线运动可以看成初速度为0的匀加速直线运动的逆过程，故返回后的加速度、位移的大小和起飞前相同，选项C错误，选项D正确．2．B [解析] v0＝72 km/h＝20 m/s，设刹车时间为t，则at＝v，解得t＝va＝4 s，故刹车距离x＝v2t＝40 m.3．BC [解析] 当滑块速度大小变为v2时，其方向可能与初速度方向相同，也可能与初速度方向相反，因此要考虑两种情况，即v＝v2或v＝－v2，代入公式t＝v－v0 a 得，t＝vg或t＝3vg，故选项B、C正确．【技能强化】4．C [解析] 物体开始做匀加速直线运动，a＝μg＝1 m/s2，速度达到传送带的速度时发生的位移x＝v22a＝12×1m＝0.5 m＜L，所经历的时间t1＝va＝1 s，物体接着做匀速直线运动，所经历的时间t2＝L－xv＝2.5－0.51s＝2 s，故物体从a点运动到b点所经历的时间t总＝t1＋t2＝3 s.5．A [解析] 由逐差法得x6－x1＝5aT2，所以a＝x6－x15T2＝0.01 m/s2，选项A正确．6．D [解析] 用“逆向思维”法解答．由题意，若倒过来分析，子弹向左做匀加速直线运动，初速度为零，设每个木块长为L，则v23＝2a·L，v22＝2a·2L，v21＝2a·3L，v3、v2、v1分别为子弹倒过来向左穿透第3块木块后、穿透第2块木块后、穿透第1块木块后的速度，则v1∶v2∶v3＝3∶2∶1，子弹依次向右穿入每个木块时速度比v1∶v2∶v3＝3∶2∶1，因此选项A、B错误．由v3＝at3，v2＝a(t2＋t3)，v 1＝a(t1＋t2＋t3)．三式联立，得t1∶t2∶t3＝(3－2)∶(2－1)∶1，因此选项C错误，选项D正确．7．B [解析] 由x＝12at2，解得a＝8 m/s2，最后1 s的位移为x1＝12×8×12 m＝4 m，选项B正确．8．ABD [解析] 小球沿斜面向上做匀减速直线运动，因从a到c和c到d所用时间相等，故经过c点时恰为从a到d所经历时间的中间时刻，vc ＝xad2T＝6＋62×2m/s＝3 m/s，选项B正确；因xac ＝xab＋xbc＝7 m，xcd＝xbd－xbc＝5 m，由Δx＝xac－xcd＝aT2得：a＝0.5 m/s2，由v2b －v2c＝2axbc可得，vb＝10 m/s，选项A正确；从c到e所经历的时间tce ＝vca＝6 s，故从d到e所用的时间tde＝tce－T＝4 s，de＝12at2de＝4 m，选项C错误，选项D正确．9．ABC [解析] 如图所示，物体由A沿直线运动到B，C点为AB的中点，物体到达C点时速度为v1，若物体做匀加速直线运动，A到B的中间时刻应在C点左侧，有v1>v2，若物体做匀减速直线运动，A到B的中间时刻应在C点右侧，仍有v1>v2，故A、B正确，D错误；若物体做匀速直线运动，则v1＝v2，C正确．10．12 m/s 没有超速[解析] 设汽车刹车前的速度为v，汽车刹车时加速度大小为a.将汽车刹车到速度为零的运动看成逆向的匀加速运动，则x＝12at2v＝at解得v＝12 m/s因12 m/s＝43.2 km/h＜50 km/h，故汽车没有超速行驶．11．v≤6m/s[解析] 设经过时间t，货箱和平板车达到共同速度v，以货箱为研究对象，由牛顿第二定律得，货箱向右做匀加速运动的加速度为a1＝μg货箱向右运动的位移为x箱＝12a1t2又v＝a1t平板车向右运动的位移为x车＝vt－12at2又v＝v－at为使货箱不从平板车上掉下来，应满足x车－x箱≤l联立得：v≤2a＋μg l代入数据：v≤6 m/s.【挑战自我】12．(1)99 m 1.25 m (2)8.6 s[解析] (1)设直升机悬停位置距地面高度为H，伞兵展伞时，离地面的高度至少为h，此时速度为v0，着地时，速度为v1，相当于从h1高处自由落下．在匀减速运动阶段，有v2 1－v2＝－2ah在自由落体运动阶段，有v2＝2g(H－h)联立解得h＝99 m，v＝50 m/s以5 m/s的速度落地相当于从h1高处自由落下即2gh1＝v21所以h1＝v212g＝522×10m＝1.25 m.(2)设伞兵在空中的最短时间为t，则在自由落体运动阶段，有v0＝gt1，解得t1＝vg＝5010s＝5 s，在匀减速运动阶段，有t 2＝v1－va＝5－50－12.5s＝3.6 s，故所求时间t＝t1＋t2＝(5＋3.6) s＝8.6 s.课时作业（三）【基础热身】1．B [解析] 自由落体运动是竖直方向上初速度为零、加速度为g 的匀加速直线运动，满足初速度为零的匀加速直线运动的规律，故选项A 、C 、D 均正确；对B 项，平抛运动在竖直方向上的分运动也满足该规律，故选项B 错误．2．C [解析] 在匀速飞行的飞机上自由释放的物体有一个与飞机相同的水平速度，同时物体在竖直方向上做自由落体运动，所以从飞机上看，物体始终在飞机的正下方，且相对飞机向下运动，故A 、B 均错误；从地面上看，物体做平抛运动，故C 正确，D 错误．3．C [解析] 因曝光时间极短，故AB 段可看作匀速直线运动，小石子到达A 点时的速度为v A ＝x t ＝0.0211000m/s ＝20 m/s ，h ＝v 2A2g ＝2022×10 m ＝20 m ，选项C 正确．4．A [解析] 根据时间的对称性，物体从A 点到最高点的时间为T A2，从B 点到最高点的时间为T B 2，所以A 点到最高点的距离h A ＝12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫T A 22＝gT 2A8，B 点到最高点的距离h B ＝12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫T B 22＝gT 2B 8，故A 、B 之间的距离为h A －h B ＝18g(T 2A －T 2B )，正确选项为A.【技能强化】5．D [解析] 自由落体运动初速度为零，据此可排除选项C ；小球与地面碰撞瞬间速度突然反向，据此可排除选项A 、B.综上分析可知本题正确选项为D.6．A [解析] 由题图可知，小球做匀加速直线运动，相邻的两段位移之差为一块砖的厚度，由Δx＝d ＝aT 2可得，a ＝dT2；位置“3”是位置“2”和位置“4”的中间时刻，由v t 2＝v 得，v 3＝7d2T.只有选项A 错误．7．C [解析] 根据自由落体运动的规律，尺子下落(a －b)高度对应的时间即乙同学的反应时间．由公式h ＝12gt 2得t ＝2a －b g，选项C 正确．8．C [解析] 设中学生的重心位于身体的中点，则重心上升的高度约为：h＝2.10 m－12×1.70 m＝1.25 m，由v2＝2gh得：v＝2gh＝5 m/s.9．C [解析] 依题意可设第1个小球经时间t落地，则第2个小球经时间2t 落地，第3个小球经时间3t落地，第4个小球经时间4t落地．又因为四个小球做的都是初速度为零的匀加速运动，因此它们下落的高度之比为1∶4∶9∶16，只有选项C正确.10．A [解析] 磕头虫向下运动的末速度与向上运动的初速度大小相等，向下运动过程v21＝2ah1，反弹起来过程v21＝2gh2；人向上加速运动过程v22＝2aH1，离地上升过程中v22＝2gH2，代入数值得H2＝150 m，故选项A正确．11．1.75 s[解析] 由向上跃起的高度h1＝0.45 m可求得向上跃起的时间为t 1＝2h1g＝2×0.4510s＝0.3 s设运动员从手到脚全长2l，双手向上立在跳台上时，重心位置O离跳台为l，手接触水面时重心位置O离水面也为l，运动员从最高点到将入水时，重心下降的高度h 2＝H＋l＋h1－l＝H＋h1＝10.45 m下降过程的时间t 2＝2h2g＝2×10.4510s＝1.45 s所以运动员完成空中动作的时间为t＝t1＋t2＝0.3 s＋1.45 s＝1.75 s.12．(1)7.2 m (2)2.5 m/s2[解析] 设前、后两过程下落的高度分别为h1、h2，所用时间分别为t1、t2，减速过程加速度的大小为a，运动中达到的最大速度为v，则有h 1＋h2＝40 m－4 mt 1＋t2＝6 sv2＝2gh1＝2ah2t 1＝vg，t2＝va由以上各式联立解得：h1＝7.2 m，a＝2.5 m/s2.【挑战自我】13．(1)4 s (2)29 m/s≤v′≤32 m/s[解析] (1)取向下为正方向，小球初速度v＝－10 m/s，加速度g＝10 m/s2，对空管由牛顿第二定律可得mg－F＝ma代入数据得a＝2 m/s2设经时间t，小球从N端穿出，小球下落的高度h 1＝vt＋12gt2空管下落的高度h2＝12at2则h1－h2＝l联立得v0t＋12gt2－12at2＝l代入数据解得t1＝4 s，t2＝－1.5 s(舍去)(2)设小球的初速度大小为v0′，空管经时间t′到达地面，则H＝12at′2得t′＝2Ha＝8 s小球经t′时间下落的高度为h＝v0′t′＋12gt′2小球落入管内的条件是64 m≤h≤88 m解得－32 m/s≤v′≤－29 m/s所以小球的初速度大小必须在29 m/s到32 m/s范围内．课时作业（四）【基础热身】1．C [解析] 选项A、B、D中物体均做往复运动，只有选项C中物体做单向直线运动．2．AC [解析] 由图象可知前5 s做的是匀速运动，选项A正确；5 s～15 s 内做匀加速运动，加速度为0.8 m/s2，选项B错误；15 s～20 s做匀减速运动，其加速度为－3.2 m/s2，选项C正确；质点在20 s末离出发点最远，质点一直做单向直线运动，选项D错误．3. A [解析] 由图可知，两车均做匀变速直线运动，因第5 s时两车第一次相遇，第10 s时速度相同，由对称性可知两车在第15 s时第二次相遇，选项A正确，选项B错误；由于两车在第5 s时第一次相遇，前5 s内va ＞vb，故a车在后、b车在前，5 s后a车在前、b车在后，15 s后b车超过a车，选项C错误；第10 s时两车速度相同，此后va ＜vb，两车间距离逐渐减小，第15 s时两车相遇，选项D错误．4. BD [解析] 由图象可知乙在追赶甲，即甲在前、乙在后，且二者速度均为零时，距离最远，其最远距离Δx＝x乙－x甲＝12×3×4 m－12×2×2 m＝4 m，即选项B 、D正确，选项A、C错误．【技能强化】5．A [解析] 甲车中的乘客以甲车为参考系，相当于甲车静止不动，乙车以初速度v向西做减速运动，速度减为零之后，再向东做加速运动，所以选项A正确；乙车中的乘客以乙车为参考系，相当于乙车静止不动，甲车以初速度v向东做减速运动，速度减为零之后，再向西做加速运动，所以选项B错误；以地面为参考系，当两车速度相等时，距离最远，所以选项C、D错误．6．CD [解析] 两图线都在t轴上方，说明A、B两物体运动方向相同，所以选项A错误；4 s内A、B两物体对应的图线与坐标轴所围的面积不同，则位移不同，故选项B错误；4 s时A、B两物体的图线交于同一点，对应速度相同，故选项C正确；A图线斜率的绝对值小，所以A物体的加速度比B物体的加速度小，因此选项D 正确．7．D [解析] 由A车的图线可知，它在4 s时间内速度由0增大到10 m/s，其加速度a＝2.5 m/s2，选项A错误；3 s末A车速度为v＝at＝7.5 m/s，选项B 错误；2 s末时A车与B车之间距离最远，为5 m,4 s末时A车与B车位移相等，A 车追上B车，选项C错误、D正确．8．CD [解析] 汽车A在匀加速过程中的位移xA1＝12aAt21＝180 m，此过程中汽车B的位移xB1＝vBt1＝240 m>xA1，故A车在加速过程中没有与B车相遇，选项A错误、C正确；之后因vA ＝aAt1＝12 m/s>vB，故A车一定能追上B车，相遇之后不能再相遇，A、B相遇时的速度一定不相同，选项B错误、D正确．9．ABC [解析] 乙车追上甲车时，若甲、乙两车速度相同，即此时t＝T，则x 0＝x1，此后甲车速度大于乙车速度，全程甲、乙仅相遇一次；甲、乙两车速度相同时，若x0<x1，则此时乙车已在甲车的前面，以后甲还会追上乙，全程中甲、乙相遇2次；甲、乙两车速度相同时，若x0>x1，则此时甲车仍在乙车的前面，以后乙车不可能再追上甲车了，全程中甲、乙都不会相遇，综上所述，选项A、B、C对，D错.10．A [解析] 根据题意画出两物体运动的v－t图象如图所示，根据图象易得选项A正确．11．1.5 m[解析] 设甲车刹车后经时间t，甲、乙两车速度相等，则：v 0－a1t＝v－a2(t－Δt)，代入数据得：t＝2 s.在这段时间内，甲、乙走过的位移分别为x甲、x乙，则：x甲＝vt－12a1t2＝26 m；x乙＝vΔt＋v(t－Δt)－12a2(t－Δt)2＝27.5 m；Δx＝x乙－x甲＝1.5 m即甲、乙两车行驶过程中至少应保持1.5 m的距离．12．0.8 s[解析] 设货车启动后经过时间t1两车开始错车，则有x 1＋x2＝180 m其中x1＝12at21，x2＝vt1解得t1＝10 s设货车从开始运动到两车错车结束所用时间为t2，则有x 1′＋x2′＝(180＋10＋12) m＝202 m.其中x1′＝12at22，x2′＝vt2解得t2＝10.8 s故两车错车时间Δt＝t2－t1＝0.8 s.【挑战自我】13．(1)10 s (2)36 m (3)14 s[解析] Δx＝Δt·v＝2.5×8 m＝20 m.(1)设警车发动起来后要时间t才能追上违章的货车，则12at2－vt＝Δx解得t＝10 s或t＝－2 s(舍去)．(2)在警车追上货车之前，两车速度相等时，两车间的距离最大，设警车发动起来后经时间t′两车速度相等，两车间的距离最大为xm，则t′＝va＝4 sx m ＝Δx＋v·t′－12at′2＝(20＋8×4－12×2×42) m＝36 m.(3)若警车的最大速度是12 m/s，则警车发动起来后加速的时间t 0＝vma＝122s＝6 s设警车发动起来后经过时间t″追上违章的货车，则1 2at2＋vm(t″－t)－vt″＝Δx解得t″＝14 s.课时作业（五）【基础热身】1．A [解析] 长木板不能侧向倾斜，但可以一端高一端低，故选项A错误；实验时，为了能在纸带上得到较多的点迹，释放小车前，小车应停在靠近打点计时器处，选项B正确；如果先释放小车，可能纸带上打不上几个点，选项C正确；为了保护小车，在小车到达定滑轮前要用手使小车停止运动，选项D正确.2．(1) 匀加速直线(2)小于用平均速度求位移(或用v－t图象下的面积求位移)[解析] (1)由表中数据可知，每经过0.1 s，速度大约增大0.25 m/s，在误差允许的范围内，小车做匀加速直线运动；(2)因为小车是不断加速的，而该同学把第一个0.1 s内的运动看成是以最小速度做匀速运动，同样，其他时间段内也是这样运算的，这样算出的位移比实际位移小．可以把时间分割得再细小一些，也可以利用平均速度来求位移，还可以利用v－t图象下的面积求位移．3．(1)0.02 s (2)0.70 cm(0.68 cm～0.72 cm均可) 0.100 m/s[解析] 毫米刻度尺的精确度为0.1 mm，故A、B间的距离为1.70 cm－1.00 cm＝0.70 cm，vC ＝xBD2T＝2.00×10－22×0.1m/s＝0.100 m/s.【技能强化】4．C [解析] 中间时刻瞬时速度等于全程的平均速度，所以vB ＝x2＋x32T，选项C正确；x6－x1＝5(x2－x1)，选项B错误；相邻计数点间的时间间隔是0.1 s，选项D错误；按照实验要求应该先接通电源再放开纸带，选项A错误．5. (1)相等匀加速(匀变速) (2)乙同学 1.10 m/s2[解析] (1)由表中数据可知，x4－x3＝x3－x2＝x2－x1，小球做匀加速直线运动；(2)乙同学采用逐差法求加速度，较准确，加速度值为a＝x3＋x4－x2－x14T2＝1.10 m/s2.6．(1)0.25 0.45 (2)如图所示(3)1.00[解析] (1)相邻两个计数点间的时间间隔为0.1 s，所以vB ＝xAC2T＝0.050.2m/s＝0.25 m/s，vCE ＝xCE2T＝0.14－0.050.2m/s＝0.45 m/s；(2)如图所示；(3)在v－t图象中，图线的斜率表示加速度，即a＝0.55－0.250.3m/s2＝1.00 m/s2.7．(1)A C (2) 2.98(2.97～2.99均可) 13.20(13.19～13.21均可) (3)如图所示(4)0.18(0.16～0.20均可) 4.80(4.50～5.10均可)[解析] (1)还需要的实验器材有电压合适的50 Hz交流电源和刻度尺；(2)用毫米刻度读数，注意要估读一位，则x2＝2.98 cm，x5＝13.20 cm；(3)描点连线如图所示；(4)设打0点时速度为v0，则x＝vt＋12at2，即：xt＝v＋12at，由图可读出v＝0.18 m/s，图线的斜率k＝12a＝2.4，a＝4.8 m/s2.8．(1)相邻相等时间内的位移差相等 (2)如图所示 (3)0.800 m/s 2[解析] (1)由图中所标纸带每段位移的大小，可知在相邻相等时间内的位移差相等，可近似认为Δy＝8 mm ；(2)把图中的x 轴作为时间轴，以纸带的宽度表示相等的时间间隔T ＝0.1 s ，每段纸带最上端中点对应v 轴上的速度恰好表示每段时间的中间时刻的瞬时速度，即v n ＝y nT ；因此可以用纸带的长度表示每小段时间中间时刻的瞬时速度，将纸带上端中间各点连接起来，可得到v －t 图象，如图所示．(3)利用图象求斜率或用Δy＝aT 2均可以求得小车加速度a ＝0.800 m/s 2. 【挑战自我】9．3.0×10－2(2.8×10－2～3.1×10－2均可) 9.0×10－2 能利用(x 6－x 4)－(x 4－x 2)＝4aT 2可求出x 4的具体位置(其他合理方法均可) [解析] 从图中读出5、6之间的距离为37.5 cm －24.0 cm ＝13.5 cm,2、3之间的距离为6.0 cm －1.5 cm ＝4.5 cm ，利用逐差法有x 56－x 32＝3aT 2，求出a ＝3.0×10－2m/s 2；位置4对应的速度为v 4＝x 352T ＝24.0－6.02×10－2 m/s ＝9.0×10－2m/s ；欲求4的具体位置，可以采用逐差法利用(x 6－x 4)－(x 4－x 2)＝4aT 2求解.课时作业（六）【基础热身】1．AD [解析] 力是物体间的相互作用，受力物体同时也是施力物体，施力物体同时也是受力物体，所以A正确；产生弹力时，施力物体和受力物体同时发生形变，但弹力是由施力物体形变引起的，反作用力是由受力物体形变引起的，放在桌面上的木块受到桌面给它向上的弹力，这是由于桌面发生微小形变而产生的，故B 不正确；力的作用是相互的，作用力和反作用力同时产生、同时消失，故C选项错误；根据力的作用效果命名的力，性质可能相同，也可能不相同，如向心力，可以是绳子的拉力，也可以是电场力，还可以是其他性质的力，D选项正确．2．CD [解析] 地球上的物体运动或静止时都受地球的吸引作用，故运动或静止的物体均受重力，选项A错误；某物体在地球某点处所受地球吸引而产生的重力一定，与此物体的运动状态无关，选项B错误，选项C正确；物体所受重力G＝mg，在g一定时，G由m决定，选项D正确．3．AD [解析] 弹簧的弹力为 2 N，有两种可能情形：①弹簧处于拉伸状态，②弹簧处于压缩状态．当弹簧处于拉伸状态时，A正确；当弹簧处于压缩状态时，D 正确．4．D [解析] 物体B处于静止状态，则绳子拉力大小T＝mg，A对绳的作用力的大小为mg，再以物体A为研究对象，在竖直方向根据平衡条件有T＋N＝Mg，所以地面对A的作用力的大小为N＝(M－m)g.选项D正确．【技能强化】5．B [解析] 不拉A时，对A：kx1＝mg；B刚要离开地面时，对B：kx2＝mg，L＝x1＋x2.解得L＝2mgk.6．C [解析] 弹簧测力计的示数决定于作用在秤钩上力的大小，而与作用在和外壳相连的提环上的力无关，故正确选项为C.7．D [解析] 绳A和绳C的拉力大小与方向均不变，所以其合力不变，对滑轮而言，杆的作用力必与两绳拉力的合力平衡，所以杆的弹力大小与方向均不变，选项D正确．8．D [解析] 根据力的作用是相互的可知：轻质弹簧A、B中的弹力大小是相等的，即k1x1＝k2x2，所以两个弹簧的压缩量之比x1∶x2＝k2∶k1，故选项D正确．9．AB [解析] 小车向左做减速运动时，N可能为零，选项A正确；小车向左做加速运动时，T可能为零，选项B正确；小车向右做加速运动时，N可能为零，选项C错误；小车向右做减速运动时，T可能为零，选项D错误．10．C [解析] 由图象可以看出在直线a对应的阶段，弹簧处于压缩状态，弹力F随着缩短量的减小而减小，当弹簧长度为12 cm时恢复原长；直线b对应的是弹簧的伸长阶段，弹力F随伸长量的增大线性递增．由此可看出当弹力F＝100 N时，弹簧对应的形变量x＝4 cm，根据胡克定律可求出弹簧的劲度系数k＝Fx＝2500N/m，选项C正确．11．(1)如图所示(2)433G23＋33G[解析] (1)对圆柱体进行受力分析，受力分析图如图所示，其中FN1、FN2、FN3分别为桌面、挡板、细杆对圆柱体的弹力．(2)已知竖直挡板对圆柱体的弹力大小为2G，即FN2＝2G，根据平衡关系有F N3sin60°＝FN2解得FN3＝433G设圆柱体对均匀细杆AO的作用力大小为F′N3，根据牛顿第三定律有F′N3＝433G由竖直方向的平衡关系有F N1＝FN3cos60°＋G代入数据解得FN1＝23＋33G.12．(1)4mg (2)4mgk[解析] (1)对A 、B 整体：mg ＋F N ＝5mg 所以F N ＝4mg (2)对B ：F N ＝3mg ＋F k 所以F k ＝mg物体C 的质量改为5m ，当系统达到新的平衡状态后，进行受力分析．对A ：T ＝F k ′＋2mg 对C ：T ＝5mg 所以F k ′＝3mg 即kx 1＝3mg x 1＝3mg k开始时，弹簧的压缩量为x 2，则kx 2＝mg 所以A 上升的高度为：h A ＝x 1＋x 2＝4mg k. 【挑战自我】13．F －(m A ＋m B )gsinθm A ＋m Bgsinθk[解析] B 刚要离开C 时，弹簧弹力大小为 F 弹＝m B gsinθ.以A 为研究对象，受力如图所示．故合力F 合＝F －F 弹－m A gsinθ＝F －(m A ＋m B )gsinθ，开始时弹簧压缩量Δx 1＝m A gsinθkB 刚要离开时，弹簧伸长量Δx 2＝m B gsinθk所以A的位移d＝Δx1＋Δx2＝mA＋mBgsinθk.课时作业（七）【基础热身】1．CD [解析] 静摩擦力产生在两个相对静止的物体之间，与物体是否运动无关，滑动摩擦力产生于两个相对运动的物体之间，与物体是否运动无关，选项A、B 均错误；静摩擦力的大小与正压力的大小无关，一般由平衡条件或牛顿运动定律来求，滑动摩擦力f＝μFN，随着正压力的增大而增大，选项C正确；摩擦力的方向与相对运动或相对运动趋势方向相反，与速度方向无关，选项D正确．2．BC [解析] 容器处于平衡状态，在竖直方向上重力与摩擦力平衡，盛满水前墙面对容器的静摩擦力一直增大，如果一直没有达到正压力F作用下的最大静摩擦力，则水平力F可能不变，选项B、C正确．3．ABD [解析] 题中没有明确F的大小，当F＝mgsinθ时，物块M受到的摩擦力为零．当F<mgsinθ时，物体M有下滑趋势，所受摩擦力沿斜面向上．当F>mgsinθ时，物块M有上滑趋势，所受摩擦力沿斜面向下．当0≤F≤mgsinθ时，静摩擦力f的取值范围是：0≤f≤mgsinθ.可见f>F、f<F和f＝F均有可能，故A、B、D选项均正确．4．CD [解析] 物块M在传送带启动前匀速下滑，应满足所受滑动摩擦力f＝μmgcosθ＝mgsinθ，传送带突然启动后物块M所受摩擦力仍为f＝μmgcosθ＝mgsinθ，且方向不变，选项C、D正确．【技能强化】5．D [解析] 由于物块始终静止在斜面上，物块所受静摩擦力与正压力无直接关系，对物块进行受力分析，沿斜面方向列平衡方程可判断出选项D正确．6．B [解析] 物块静止在斜面上时，物块所受的摩擦力为：f1＝Mgsinα.给物块平行于斜面的水平力F后，在斜面内，重力沿斜面向下的分力、水平力F、摩擦力f2三力平衡，根据平衡条件有：f2＝Mgsinα2＋F2，重力沿斜面向下的分力和F的合力与摩擦力f2等大、反向，所以摩擦力的方向和大小都发生了改变，只有选项B正确．7．C [解析] 由于斜面光滑，则物块在斜面上做上下往返运动时对斜面的摩擦力为零，对斜面的正压力始终等于重力沿垂直斜面方向的分力，因此地面对斜面体的摩擦力始终是一个恒力，C正确．8．A [解析] 杆匀加速上升，斜面体水平向右运动，杆相对于斜面体向上滑动，因此杆受的摩擦力沿斜面向下，选项A正确、B错误；杆受的支持力垂直于斜面向上，杆受斜面体的作用力斜向右上方，选项C、D错误．9．D [解析] 取物体B为研究对象，分析其受力情况如图所示，则有F＝mgtanθ，T＝mgcos θ，在将物体B缓慢拉高的过程中，θ增大，则水平力F和细绳上的拉力F随之变大．对A、B两物体与斜面体这个系统而言，系统处于平衡状态，则地面对斜面体的摩擦力一定变大，而竖直方向并没有增加其他力，故斜面体所受地面的支持力不变；在这个过程中尽管绳子张力变大，但是开始时物体A所受斜面体的摩擦力方向未知，故物体A所受斜面体的摩擦力的情况无法确定．10．D [解析] 弹簧对B有向左的弹力，B保持静止，因此A对B有向右的摩擦力，则B对A的摩擦力向左，选项A、B错误；A、B整体在水平方向不受其他外力作用，因此没有向左或向右的运动趋势，地面对A没有摩擦力，选项C错误、D 正确．11．0.30[解析] 设接触面间的动摩擦因数为μ，物体A与B间的摩擦力为f 1＝μGA物体B与地面间的滑动摩擦力为f 2＝μ(GA＋GB)将B匀速拉出，拉力大小与两个摩擦力的合力大小应相等，有F＝f1＋f2解得μ＝0.3012．0.2[解析] 因为圆柱体匀速滑动，所以水平方向的拉力与摩擦力平衡，即f＝200 N．又因为圆柱体两面均与槽接触，所以每一面所受摩擦力f ′＝100 N.设V形槽两侧对圆柱体的弹力大小分别为FN1、FN2，在竖直平面内，圆柱体受到重力G、两侧的弹力FN1、FN2作用，如图所示，由对称性可知，FN1＝FN2＝G.根据f ′＝μFN1，解得μ＝0.2.【挑战自我】13．7 N[解析] P、Q两点应是静摩擦力最大的两个临界位置，在P点弹簧处于伸长状态，受力分析如图甲所示．f m ＝F1－mgsinα在Q点弹簧处于压缩状态，受力分析如图乙所示．f m ＝F2＋mgsinα设弹簧原长为x，则有F1＝k(0.22－x)F2＝k(x－0.08)由以上各式，解得＝7 N.fm课时作业（八）【基础热身】1．C [解析] 合力F和两个分力F1、F2之间的关系为|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，则应选C.2．C [解析] 由矢量合成法则可知，A图的合力为2F3，B图的合力为0，C图的合力为2F2，D图的合力为2F3，因F2为直角三角形的斜边，故这三个力的合力最大的为C图．3．D [解析] 物体做匀速直线运动，则受力平衡，将拉力F在水平方向和竖直方向上分解，则物体一定要受到滑动摩擦力的作用，再根据摩擦力产生的条件知，一定会受到弹力，因此物体一定会受到四个力的作用．4．BC [解析] 手指所受的拉力等于2mgcosθ，增加重物重量或减小夹角θ，都可以使拉力增大，选项B、C正确．【技能强化】5．D [解析] 细线对天花板的拉力等于物体的重力G；以滑轮为对象，两段绳的拉力都是G，互成120°，因此合力大小是G，根据共点力平衡条件，a杆对滑轮的作用力大小也是G(方向与竖直方向成60°斜向右上方)；a杆和细线对滑轮的合力大小为零．6．B [解析] 细绳对A的拉力大小始终等于物体B的重力，选项A错误；系统仍保持静止，则A受到的合力仍为零，选项D错误；斜面倾角由45°增大到50°，A对斜面的压力大小由mA gcos45°减小到mAgcos50°，选项B正确；A受到的静摩擦力大小发生了变化，选项C错误．7．A [解析] 绳子恰好不断时的受力分析如图所示，由于F＝mg＝10 N，绳子的最大拉力也是10 N，可知F1、F2之间的最大夹角为120°，由几何关系知两个挂。

浙江2020届高考数学一轮复习单元检测四导数及其应用单元检测含解析

乐山市2020届初中学业水平考试生物一、选择题(共60分，每小题3分)19．下列描述中，不属于生物与环境关系的是A．雨露滋润禾苗壮B．风吹草低见牛羊C．大树底下好乘凉D．葵花朵朵向太阳20．生态系统物质循环和能量流动的渠道是A．食物链B．食物网C．消费者D．A和B21．显微镜是人类探索微观世界不可缺少的工具。

下列关于显微镜的使用正确的是A．当环境光线较暗时，用反光镜的凸面镜B．对光完成时，应观察到明亮圆形的视野C．在下降镜筒过程中，眼睛应该看着目镜D．清洁收镜时，使用纱布擦拭物镜、目镜22．细胞是生物体结构和功能的基本单位，细胞的生活依靠细胞各结构的分工合作。

下列细胞结构与功能的关系，错误的是A．细胞膜——控制物质进出B．线粒体一一能量转换器C．细胞壁一一控制物质进出D．叶绿体——能量转换器23．花、果实和种子是绿色开花植物的生殖器官。

开花、传粉后结出果实，下列花与果实各部分的对应关系，正确的是A．子房——果实B．受精卵——种子C．胚珠——胚D．子房壁——种皮24．有人说“包括人类在内的其他生物是‘攀附’着植物的茎蔓才站在这个星球上的。

”这句话道出了绿色植物光合作用的重要意义。

下列关于光合作用的意义说法错误的是A．为动物和人类提供食物B．为自身生活提供有机物C．为自身生活提供无机盐D．为动物和人类提供能量25．呼吸作用是生物的共同特征，下列说法正确的是A．发生的主要部位是叶绿体B．意义是为自身生命活动提供能量C．所需原料是二氧化碳和水D．适当提高温度可以降低呼吸作用26．关于光合作用和呼吸作用及它们在农业生产上的运用，下列说法错误的是A．通过合理密植可达到提高产量的目的B．适时松土有利于根细胞呼吸作用的正常进行C．白天，在温室大棚中增加二氧化碳浓度可提高产量D．农作物在白天只进行光合作用，保证了有机物的生产27．生活存中原地区的人，进入高原一段时间后，血液中的一种成分会显著增加，这种成分是A．血浆B．血小板C．红细胞D．白细胞28．下判说法中错误的是A．白细胞有吞噬消灭病菌，促进止血和加速血液凝固的作用B．输液时，刺入的手背上的“青筋”，就是分布较浅的静脉C．臀部肌肉注射的青霉素，最先到达心脏四个腔中的右心房D．某A型血的人因大量失血需输血，应输入A型血最为安全29．眼球里有一个能折射光线的结构，它能灵敏调节曲度使人可看清远近不同的物体。

2020版广西高考人教A版数学(理)一轮复习考点规范练：37 数学归纳法 Word版含解析

1
1 �� 2�� + 1
2�� + 1+…+2�� + 1 = 2 + 2�� + 1 = 2 .
∴当 n=k+1 时不等式成立.
根据(1)和(2)可知猜想对任何 n∈N*都成立.
8.观察下列等式:
1=1,
2+3+4=9,
3+4+5+6+7=25,
��2 + 3�� + 2 < (��2 + 3�� + 2) + (�� + 2) = (�� + 2)2=(k+1)+1,
所以当 n=k+1 时,不等式成立.上述证法( )
A.过程全部正确
B.n=1 验得不正确
C.归纳假设不正确
D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确
A.P(n)对于所有的自然数 n 都成立
B.P(n)对于所有的正奇数 n 都成立
C.P(n)对于所有的正偶数 n 都成立
D.P(n)对于所有大于 3 的自然数 n 都成立
答案 B
解析由于若命题 P(n)对 n=k 成立,则它对 n=k+2 也成立.
又已知命题 P(1)成立,可推出 P(3),P(5),P(7),P(9),P(11)…均成立,
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②假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时成立, 即 k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)=(2k-1)2. 则当 n=k+1 时,(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(2k1)+3k+3k+1=(2k-1)2+(2k-1)+3k+(3k+1)=4k2-4k+1+8k=(2k+1)2=[2(k+1)-1]2. 这就是说,当 n=k+1 时,等式也成立. 根据①②知,等式对任何 n∈N*都成立.