高中数学讲义微专题100利用同构特点解决问题

h' x 0 恒成立
Q h' x
1 x
a 21
x1பைடு நூலகம்
1a
x
2 10 x1
2
2 x1
即a x 1
恒成立 所以只需 a
x
令p x
2
x1
2
x1 x
2
x1
2
x1 x
min
p' x
2x 1
2
2x x 1 x 1 x2
2
x 1 2x 1 x2
px在
1 0,
单调递减，在
1 ,2
单调递增
2
2
1 27
p x min
p 2
f' x
ex
1
xex 1 ，设 g x
x
x
xex 1，则有 g' x
x 1 ex 0 恒成立，所以
g x 在 0,1 单调递增，所以 g 0 1 0,g 1 e 1 0 ，从而存在 x0 0,1 ，使得
g x0 0 ，由单调性可判断出：
x 0, x0 , g' x 0 f ' x 0,x x0,1 , g' x 0 f ' x 0 ，所以 f x 在 0,1
x 都有
拼搏的你，背影很美！
努力的你，未来可期 !
2015
xf x 1 x 1 f x ，则 f
的值是（
）
2
A. 0
1
B.
2
C. 1
5
D.
2
思路：观察条件可变形为：
fx 1 x1
fx
，从而得到等式左右的结构均为
x
ft
的形式，
t
且括号内的数间隔为
2015
f
1。所以
2
2015
2
2013
1
f
f
2
2
2013 L
5
x1
5
y1
2x 1 2y 1
sin x 1 sin y 1
1
，观察上下式子左边结构相同，进而可将相同的结构
1
视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性
质求解
5
x 1 2x sin x 1 3
解：
5
y 1 2 y sin y 1 1
5
x 1 2 x 1 sin x 1 1
x ，且对任意
思路：观察到已知不等式为轮换对称式，所以考虑定序以便于化简，令
x2 x1 ，则不等式变
形为 g x2 g x1 x1 x2 ，将相同变量放置一侧， 可发现左右具备同构特点， 所以将相同
结构视为函数 h x g x x ，从而由 x2 x1 且 h x2 h x1 可知只需 h x 为增函数即
（ 3）在解析几何中的应用： 如果 A x1, y1 ,B x2, y2 满足的方程为同构式， 则 A, B 为方程所
表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线
AB 的方程
（ 4）在数列中的应用： 可将递推公式变形为 “依序同构” 的特征， 即关于 an , n 与 an 1,n 1
努力的你，未来可期 !
微专题 100 利用同构特点解决问题
一、基础知识：
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式 2、同构式的应用：
（ 1）在方程中的应用：如果方程
f a 0 和 f b 0 呈现同构特征，则 a,b 可视为方程
f x 0 的两个根
（ 2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函 数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式
1
x
所以当
m 时，无论 y0 为何值，等式均成立
y0
点
1 ,0
恒在直线
AB 上，故无论
P 在何处，
AB 恒过定点
1 ,0
m
m
例 8：已知椭圆 C 中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点为 （ 1）求椭圆 C 的方程
0,1 ，离心率为 2 5 5
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uuur （ 2）过右焦点 F 作直线 l 交椭圆于 A, B ，交 y 轴于 R ，若 RA
解：设 A x1, y1 , B x2, y2 ， PA 的斜率为 k
则 PA : y
y1
k x x1 ，联立方程
y y1 k x x1 消去 y 可得： x2 y2 1
x2 kx
2
kx1 y1
1 ，整理可得：
1 k 2 x2 2k y1 kx1 x
2
y1 kx1 1 0 ，因为 PA与双曲线相切
所以
到分离常数简化分式，即
2 t n 1 1 an 1
an 1 1
an 2tn 1
，寻求相邻同构的特点，转化为
an 1 1 tn 1 1
2
an tn
an 1
tn 1
1 1 ，即可设 2
bn
an tn
1 ，递推公式变为 1
bn 1
2bn ，则能够求出 bn 通 bn 2
的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
二、典型例题：
例 1：（2015 天津十二校联考） 设 x, y R ，满足
5
x 1 2x sin x 1
5
y 1 2 y sin y 1
3 ，则 x y
1
（）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
思 路 ： 本 题 研 究 对 象 并 非 x, y ， 而 是 x 1 , y 1 ， 进 而 可 变 形 为
2
x1
0
即 k x1 y1
PA : y y1
x1 x x1 y1
y1y x1x 1
同理，切线 PB 的方程为 y2 y x1x 1
Q P m, y0 在切线 PA, PB 上，所以有
y0y1 mx1 1 y0y2 mx2 1
A, B 满足直线方程 y0 y mx 1 ，而两点唯一确定一条直线
AB : y0 y mx 1
同理可得：
2
2
10 5 20k 0
, 为方程 x2 10 x 5 20k 2 0 的两个不同根
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10
例 9：已 知函数 x
a ， a 为 正 常 数 ， 若 g x ln x
x1
x1, x2
0,2 , x1
x2 ，都有
g
x2 x2
g x1 x1
1，求 a 的取值范围．
值范围是 _____________
思路：注意到 f x 是增函数，从而得到 f a
a, f b 2
b
，即
2
a1m b1m
a 2 ，发现两 b 2
个式子为 a, b 的同构式，进而将同构式视为一个方程，而
a, b 为该方程的两个根， m 的取值
只需要保证方程有两根即可
解： Q f x 为增函数
f a a, f b b
1
2
2
1
f
2 1
。因为 f
x
2
为偶函数，所以
1 f
2
1
f
1
f
，由
2
2
1
2
1
f
2 可得 f 1
1
2
2
1
f
0 ，进而
2
2015
f
2
2015
0
2
答案： A
例 6：如果 cos5
2015
f
0
2
sin5 7 sin3
cos3 ,
0,2 ，那么 的取值范围是 ________
思路：本题很难直接去解不等式，观察式子特点可发现若将关于
思路：本题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将
x1, x2 分居在不等式两侧后都具备
同构的特点， 所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在
0,1 的单调性即可
解： A 选项： e x2 ex1 ln x2 ln x1 ex2 ln x2 ex1 ln x1 ，设 f x ex ln x
2k
2k k Z ，结合
0,2 ，可得
，5
4
44
答案： ，5 44
例 7：如图， 设点 P x0, y0 在直线 x m y m,0 m 1,且 m为常数 上，过点 P 作双曲
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线 x2 y2 1的两条切线 PA, PB ，切点为 A, B ，求证：直线 AB 过某一个定点
sin ,cos 的项分居在不等
号两侧： cos5 7cos3 sin 5 7sin 3 ，则左右呈现同构的特点，将相同的结构设为函
数 f x x5 7x3 ，能够判断 f x 是奇函数且单调递增。 所以不等式 f cos
f sin
等 价 于 cos sin ， 即 sin cos 0 2 sin
0 ，所 以 4
可。从而只需不等式 h' x 0 恒成立即可，从而求出 a 的范围
解： g x
a
ln x
x
，不妨设
1
x1
x2 ，则恒成立不等式转化为：
g x2 g x1 x1 x2 g x2 x2 g x1 x1
设h x
gx
x
ln x
a x1
x ，则由 h x2
只需 h x 在 0,2 单调递增即可
h x1 恒成立和 x1 x2 可得：
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充要又不必要条件
思路：观察 a a > b b 可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数
f x x x ，分析其
单调性。 f x x x
x2, x
0 可得 f x 为增函数。所以
a > b ? f (a)
f ( b) ，即
x2 , x 0
x
1 x2
ex
，则
f'
x
0
在 x 0,1 恒成立。所以 f x 在 0,1 单调递减，所以 f x1 f x2 成立
D 选项： x2ex1 x1ex2
答案： C
ex1
ex 2
，同样构造 f x
x1 x2
ex
，由 C 选项分析可知 D 错误
x
例 5：已知函数 f x 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数
2
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27 0a
2 例 10：已知数列 an 满足 a1 2t 3 t R, t
1 ，且
an 1
2tn 1 3 an 2 t 1 t n 1 an 2 tn 1
求数列 an 的通项公式
思路：本题递推公式较为复杂，所以考虑先化简分式，观察到分子中含有分母的项，所以想
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a > b ? a a b b ，所以是充要条件
答案： C
例 4：若 0 x1 x2 1 ，则（
）
A. ex2 ex1 ln x 2 ln x1
B. ex1 ex2 ln x2 ln x1
C. x2 ex1 x1ex2
答案： C
D. x2ex1 x1e x2
uuur uuur uuur 仅是角标不同。 所以可推断由 RA AF , RB
uuur BF 列出的方程是同构的， 而 A, B 在同一椭
圆上，所以如果用 , 表示 x1, x2 , y1, y2 ，代入椭圆方程中也可能是同构的。通过计算可得：
2 10 2 10
5 20k2 5 20k 2
0
，所以
4k 2 y1
2
kx1
4 1 k2
y1
2
kx1
4 1 k2
0
4 y1
2
kx1
4 1 k2
0
k 2x12 2kx1 y1 y12 1 k 2 0
x12 1 k2 2kx1y1 y12 1 0
Q x12 y12 1
x12 1 y12 , y12 1 x12 代入可得：
y12k 2
2x1 y1k
x12
0 即 y1k
不单调，不等式不会恒成立
B 选项： ex1 ex2 ln x2 ln x1
ex1 ln x1 ex2 ln x2 ，设 f x
ex ln x 可知 f x 单
调递增。所以应该 f x1 f x2 ， B 错误
C 选项： x2ex1 x1ex2
ex1
ex2
，构造函数 f x
x1 x2
ex ， f ' x x
5
y 1 2 y 1 sin y 1 1
设 f t t 5 2t sin t ，可得 f t 为奇函数，由题意可得：
fx1 1 fy1 1
fx1 f y1
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x1 y1 x y 2
答案： B
例 2：若函数 f x
x 1 m 在区间 a,b 上的值域为 a , b b a 1 ，则实数 m 的取 22
,
为方程 x2
0
10x
5 20k 2
0 的两个不同根， 进而利
用韦达定理即可得到
10
解：由（ 1）得 F 2,0 ，设直线 l : y k x 2 ，可得 R 0, 2k ，设 A x1, y1 , B x2 , y2
uuur
uuur
uuur uuur
可得： RA x1, y1 2k , AF 2 x1, y1 ，由 RA AF 可得：
x1
2 x1
y1 2k
y1
x1 2 1
①
2k y1
1
因为 A 在椭圆上， x12 5 y12 5 ，将①代入可得：
2
2
2
+5 2k =5 4 2 20k2 5
2
1
1
1
2 10 5 20k 2 0
uuur
uuur
uuur uuur
对于 ， RB x2, y2 2k ,BF 2 x2, y2 ， RB BF
2
2
a a1m
2 b b1 m 2
x a,b 为方程 x 1 m 在 1,
2
x 上的两个根，即 m
2
令 t x 1 t 0 x t2 1
x 1 有两个不同的根
所以方程变形为： m 1 t 2 1 t 1 t 2 2t 1 ，结合图像可得： m
1 0,
2
2
2
答案： m
1 0,
2
例 3：设 a,b ? R ，则 | “ a > b ”是“ a a > b b ”的（ ）
uuur uuur AF , RB
uuur BF ，求
c2 解：（ 1） e
a5
b1
Q a 2 c2 b2 1 解得 a
x2 C:
5
2
y1
uuur （ 2）思路：本题肯定从 RA
5, c 2 uuur uuur AF , RB
uuur BF 入手，将向量关系翻译成坐标的方程，但观
察发现两个等式除了 A, B 不同，系数 , 不同，其余字母均相同。且 A x1, y1 , B x2 , y2 也