全微分和应用

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全微分及其应用

根据一元函数微分学中增量与微分的关系,
进一步
f ( x + Δx, y ) − f ( x, y ) = f x ( x, y )Δx + o(Δx)
f ( x , y + Δy ) − f ( x , y ) = f y ( x , y ) Δ y + o ( Δ y )
这里f(x+△x, y)-f(x, y)与f(x, y+△y)-f(x, y)分别称为函数z=f(x, y) 在点(x, y)处对x与对y 的偏增量， fx(x, y) △x 与 fy(x, y) △y 分别称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处对x与对y的偏微分。称
2 2
y yz 例2. 计算函数 u = x + sin + e 的全微分。 2 ∂u 1 y ∂u ∂u 解: = cos , =1, y eyz = ∂y 2 2 ∂z ∂x
1 y cos dy + ze yz d y + y e y z d z d u = 1⋅ d x + 2 2
y ⎛1 yz ⎞ = dx + ⎜ cos + ze ⎟ dy 2 ⎝2 ⎠
Δ z = A Δx + B Δy + o( ρ ) , ρ = (Δx) 2 + (Δy ) 2
其中A , B 不依赖于Δx , Δy , 仅与 x , y 有关, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， △x+B△y称为函数 f(x, y)在点 (x, y)的全微分, A 记作
z −1
∂z ⎛ x⎞ ⎛ x ⎞ = z ⋅ ⎜ xy + ⎟ ⎜ x − 2 ⎟ y⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ ∂y

全微分及其应用

常见方法
求解无约束最优化问题的方法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
牛顿法
牛顿法是一种基于目标函数二阶导数的迭代算法，通过构造海森矩阵并求解线性方程组来逼近最优解。
有约束最优化问题
01
有约束最优化问题
有约束最优化问题是在存在约束条件限制下，寻找满足所有约束条件的参数的最优解。
02 分类有约束最优化问题可以分为等式约束问题和不等式约束问题。
极值点判断
全微分还可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，则该点可能是函数的极值点。
函数极值点的判断
极值点判断
全微分可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，且该点的二阶导数大于0，则该点是函数的极值点。
极值点类型判断
全微分还可以用于判断函数的极值点类型，如极大值点或极小值点。如果函数在某一点的二阶导数小于0，则该点是极大值点；如果二阶导数大于0，则该点是极小值点。
全微分的几何意义
总结词
全微分在几何上表示函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
全微分可以理解为函数图像在某一点处的切线的斜率，这个斜率表示函数在该点处沿任一方向的变化率。
全微分的性质
总结词
全微分具有线性性质、可加性、可乘性和链式法则等性质。
详细描述
全微分具有线性性质，即两个函数的和或差的微分等于它们各自微分的和或差；全微分具有可加性，即函数在两点间的微分等于这两点间各自微分的和；全微分还具有可乘性和链式法则等性质，这些性质在求导和积分中有着广泛的应用。
应用
全微分在几何上表示函数图像在某点处的切线斜率的变化量。
全微分在优化、近似计算、泰勒级数展开等方面有广泛应用。

高数7-3(全微分及其应用)

(由偏导数定义可求得)
全微分
xy
f
(
x,
y
)
x2 y2
x2 y2 0 .
在点(0,0)处有
0
x2 y2 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y ,
(x)2 (y)2
如果考虑点 P(x,y) 沿直线 y x趋近于(0,0),
x y
则
(x)2 (y)2
4
全微分
dz Ax By z Ax By o( )
注全微分有类似一元函数微分的两个性质:
1. dz是x与y 的线性函数; 2.z与dz之差是比高阶无穷小.
可微与偏导数存在，连续有何关系呢？微分系数 A=? B=?
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.
5
全微分
由下面的定理来回答：
x0
(x)2
sin x
1 (x)2
同样, f y (0,0) 0
z Ax By o( ),
其中A、B仅与x 、y有关, 而不依赖于x、y,
(x)2 (y)2 , 则称函数 z f ( x, y)在点
( x, y)处可微分,Ax By 称为函数 z f ( x, y) 在点( x, y)处的全微分.记作 dz, 即
dz Ax By.
函数若在某平面区域D内处处可微时, 则称这函数在D内的可微函数.
令f x ( x 1x, y y) f x ( x, y) 1 其中1 0(x 0, y 0)
12
全微分
同理 f ( x, y y) f ( x, y)
f y ( x, y)y 2y, 当y 0时,2 0,
z fx ( x, y)x 1x f y ( x, y)y 2y

全微分的计算公式

全微分的计算公式全微分是微积分中一个重要的概念，它用于描述函数变量之间的微小变化关系。

全微分的计算可以使用泰勒展开、导数定义和偏导数等方法。

本文将介绍全微分的计算公式和应用。

一、一元函数的全微分设函数y = f(x)在点(x0, y0)处可微分。

此时，函数f(x)在x0附近可以用其局部线性近似代替。

根据导数的定义，可得到函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)。

函数f(x0)的全微分df表示函数f(x)在x0附近的微小变化量，可以通过以下公式计算：df = f'(x0)dx其中，f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数，dx表示自变量x的微小变化量。

二、二元函数的全微分对于二元函数z = f(x, y)，如果在点(x0, y0)处可微分，那么z在(x0, y0)处的全微分dz可以表示为：dz = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy其中，∂f/∂x表示函数f(x, y)对x的偏导数，∂f/∂y表示函数f(x, y)对y的偏导数，dx表示自变量x的微小变化量，dy表示自变量y的微小变化量。

需要注意的是，在计算二元函数的全微分时，要先对函数进行偏导数运算，然后与自变量的微小变化量相乘，再将结果相加。

三、多元函数的全微分对于多元函数z = f(x1, x2, ..., xn)，如果在点(x1^0,x2^0, ..., xn^0)处可微分，那么z在(x1^0, x2^0, ..., xn^0)处的全微分dz可以表示为：dz = ∂f/∂x1*dx1 + ∂f/∂x2*dx2 + ... + ∂f/∂xn*dxn其中，∂f/∂x1表示函数对变量x1的偏导数，∂f/∂x2表示函数对变量x2的偏导数，dx1表示自变量x1的微小变化量，dx2表示自变量x2的微小变化量，以此类推。

四、全微分的应用例如，在概率论与统计学中，我们常常需要计算函数的期望和方差。

对于连续型随机变量，若已知其概率密度函数f(x)和函数g(x)，可以通过全微分的公式计算函数g(x)的期望和方差。

9.4 全微分及其应用

全增量：全增量：定义: 定义如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点 x , y ) 在定义域的内点( 处全增量可表示成
∆ z = A∆x + B ∆y + o(ρ ) ,
其中 A , B 不依赖于∆ x , ∆ y , 仅与 x , y 有关，不依赖于∆ 有关，则称函数 f ( x, y ) 在点 x, y) 可微，A ∆ x + B ∆ y 称为函数 f (x, y) 在点( 可微，全微分, 在点 (x, y) 的全微分记作
= x + yx ∆x + x ln x∆y
y y
y−1
取 x = 1, y = 2, ∆x = −0.01, ∆y = 0.01 则
0.99
2.01
= f (0.99,2.01)
= 1 + 2 × (−0.01) + 0 × 0.01 = 0.98.
内容小结 1. 微分定义:
∆z =
+ o ( ρ)
在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微.
证：∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
∂z ∂z 的偏导数 , ∂x ∂ y
= [ f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y)] + [ f (x, y + ∆y) − f (x, y)]
= f x (x +θ1∆x, y + ∆y)∆x + f y (x, y +θ2∆y)∆y = [ f x (x, y) + α ]∆x + [ f y ( x, y) + β ]∆y

全微分的实际应用举例

全微分的实际应用举例
全微分的实际应用举例有：
1. 在物理学中，全微分可以用于描述物体的位移。

例如，当一个物体在空间中进行自由落体运动时，其位移可以通过全微分来描述。

2. 在经济学中，全微分可以用于描述生产函数和边际效应。

例如，当某个企业的生产函数发生微小变化时，可以利用全微分来计算其边际效益的变化。

3. 在化学中，全微分可以用于描述化学反应的速率。

例如，当各种反应物的浓度发生微小变化时，可以利用全微分来计算反应速率的变化。

4. 在生物学中，全微分可以用于描述生物体的生长变化。

例如，当一个生物体的体积发生微小变化时，可以利用全微分来计算其生长速率的变化。

5. 在工程学中，全微分可以用于描述工程系统的稳定性。

例如，在控制系统中，全微分可以用于描述系统的输入和输出之间的关系，并帮助分析系统的稳定性和响应速度。

全微分的应用及举例

全微分的应用及举例
全微分是微积分中的概念，它是指一个多元函数在某一点处的微小变化，可以用该点的偏导数以及自变量的微小变化来描述。

全微分可以应用于多个实际问题中，以下是一些常见的例子：
1.求出曲线的弧长
当我们想要求曲线的弧长时，可以使用全微分来计算。

我们可以将曲线表示为函数y=f(x)，并使用以下公式来计算弧长：
L = ∫sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx
其中dy/dx 是函数f(x) 的导数。

可以看出，这个公式就是对函数f(x) 的全微分进行积分得到的。

2.计算温度/压力的变化
当物体温度或压力发生微小变化时，可以使用全微分来计算其变化量。

例如，对于理想气体，温度和压力可以表示为函数T(V,P) 和P(V,T)，可以使用以下两个公式计算它们的微小变化量：
dT = (∂T/∂V) dV + (∂T/∂P) dP
dP = (∂P/∂V) dV + (∂P/∂T) dT
其中(∂T/∂V)、(∂T/∂P)、(∂P/∂V)、(∂P/∂T) 分别为函数T(V,P) 和P(V,T) 在某一点处的偏导数。

3.计算多元函数的极值
求多元函数的极值时，可以使用全微分的概念。

设多元函数为f(x,y)，则当(∂f/∂x)=0 和(∂f/∂y)=0 时，该函数在某一点处取得极值。

这个过程利用了全微分的定义和二元函数的最值定理。

高等数学第八章第3节全微分及其应用(中央财经大学)

第三节全微分及其应用一、全微分二、全微分在近似计算中的应用d d tan xy=α沿此曲线计算的函数在点P 处的增量为偏增量z x∆多元函数的全增量运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量y x ∆∆ ,:z ∆α+∆+∆=−∆+∆+=∆y b x a y x f y y x x f z ),() ,(, ,无关的常数和是与y x b a ∆∆.应该是一个无穷小量α二元函数全微分的定义全微分概念的极限形式函数在区域上的可微性如果函数)f在区域Ω中的(X每一点均可微, 则称函数在区域Ω上可微 .可微连续可导连续：0lim 00=∆→∆→∆z y x 可微：+∆=∆x a z +∆y b )o(22y x ∆+∆什么?可微连续可导可微连续可导可微连续可导逆命题?可微连续可导连续可导连续可导Okf,0(),(≠y xf二、全微分在近似计算中的应用例5 计算的近似值. 解.),(y x y x f =设函数.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x 取,1)2,1(=f ∵,),(1−=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f yy =,2)2,1(=x f ,0)2,1(=y f 由公式得02.0004.021)04.1(02.2×+×+≈.08.1=谢谢大家！。

8全微分及其应用-PPT精选文档

复习一元函数微分
微分的几何意义
f ( x0 ) lim
y x 0 x
微分是函数的局部线性化
.
f (x)
N
(x)
tan
x dy = f(x 0)
y
=tan x
在图上是哪条线段？
y
y d y ( x )
当 x 很小时
dy
f ( x0 )
即
d y f ( x ) dx
函数可导函数连续
一、全微分的定义
设二元函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)的某邻域内有定义. 当自变量x，y在点(x0,y0)的该邻域内分别取得增量 x 和y 时，函数的全增量为
z f ( x x , y y ) f ( x , y ). 0 0 0 0
令 x B ,y A ，则 S 可以表示为 0 0
S A x B y o ( ).
将增量S 分离出和的线性部分 A , x B y x y 再加上一项比高阶的无穷小 o() .

定义设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，如果z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量
例1
解
2 2 计算函数 z x y y 的全微分 .
z z x2 2y, 因为 2 xy , y x
2 所以 d z 2 xy d x ( x 2 y ) d y .
例2 解
xy 计算函数 z e 在点 ( 2 ,1 ) 处的全微 .
z z xy xy xe , ye , y x z z 2 2 e , 2 e . ( 2 , 1 ) ( 2 , 1 ) x y

全微分的定义与应用

全微分的定义与应用全微分是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的微小变化与其自变量的微小变化之间的关系。

在本文中，我们将介绍全微分的定义以及一些常见的应用。

**一、全微分的定义**在微积分中，对于一个具有多个自变量的函数，其全微分可以被定义为函数在某一点处的线性逼近。

假设有一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其中x₁, x₂, ..., xn为自变量。

在点(a₁, a₂, ..., an)处，函数f的全微分df可以表示为如下形式：df = ∂f/∂x₁ · dx₁ + ∂f/∂x₂ · dx₂ + ... + ∂f/∂xn · dxn其中∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xn分别表示函数f对自变量x₁, x₂, ..., xn的偏导数，dx₁, dx₂, ..., dxn表示自变量的微小变化量。

**二、全微分的应用**全微分的应用非常广泛，下面将介绍其中的一些常见应用。

**1. 近似计算**全微分可以用于进行函数值的近似计算。

通过求解函数的全微分，可以将函数在某一点处的微小变化近似表示为自变量的微小变化量与偏导数的乘积之和。

这对于计算复杂函数在某一点处的近似值非常有用。

**2. 极值问题**全微分还可以用于求解函数的极值问题。

对于一个多元函数，函数的局部极值点处，其全微分等于0，即df=0。

通过求解这个方程组可以得到极值点的坐标。

**3. 函数的变化率**全微分还可以用于描述函数的变化率。

对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其全微分可以看作一个量对另一个量的变化率。

这对于分析函数在不同自变量取值情况下的变化规律非常有帮助。

**4. 微分方程的求解**全微分在微分方程的求解中也起到重要作用。

通过对微分方程进行全微分，可以将微分方程转化为更容易求解的形式，从而得到方程的解析解。

**结语**全微分作为微积分中的一个重要概念，在数学和科学研究中有着广泛的应用。

全微分及其应用

? x ?? y , (? x)2 ? (? y)2
? x ?? y
则
(? x)2 ?
?
(? y)2 ?
? x?? y (? x)2 ? (? y)2
如果考虑点 P?(? x, ? y)沿着直线 ?y? ?x趋近于(0,0)，
? x?? y
1
(? x)2 ? (? y)2 ?? ? 2
说明它不能随着 ? ? 0 而趋于 0, 当 ? ? 0时，
? f (1,2) ? 1, fx ( x, y) ? yx y?1 , f y( x, y) ? x y ln x,
f x (1,2) ? 2, f y(1,2) ? 0, 由公式得 (1.04)2.02 ? 1 ? 2 ? 0.04 ? 0 ? 0.02 ? 1.08.
三、小结
１、多元函数全微分的概念；２、多元函数全微分的求法；３、多元函数连续、可导、可微的关系．
? z ? dz ? fx ( x, y)? x ? f y( x, y)? y. 也可写成
f ( x ? ? x, y ? ? y) ? f ( x, y) ? fx ( x, y)? x ? fy( x, y)? y.
例 5 计算(1.04)2.02 的近似值.
解设函数 f ( x, y) ? x y . 取 x ? 1, y ? 2, ? x ? 0.04, ? y ? 0.02.
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
? xy
例如，
f ( x, y)
?
? ?
x2 ? y2
??0
x2 ? y2 ? 0 .
x2 ? y2 ? 0
在点(0,0) 处有 f x (0,0) ? f y (0,0) ? 0

第四节,全微分及其应用解析

定理2(充分条件) 如果函数z=f(x,y)的偏导数在点 (x,y)连续，则函数在该点处可微.
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数
函数可微偏导数连续
三、全微分的计算
例2 求函数z 2xy3－x2 y6 的全微分.
解 z 2y 3 2x y 6, z 6x y 2 12x 2y 5,
（1） f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续；
（2）
f
x
(
x
,
y
)
、
f
y
(
x
,
y
)在点(
x0
,
y0
)
的
某邻域存在；
（3）z
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x,
y)y
，
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量；
z
（4）
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x,
(x)2 (y)2
y)y
,
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量.
z dz fx ( x, y)x fy ( x, y)y. 也可写成
f ( x x, y y) f ( x, y) fx ( x, y)x fy ( x, y)y.
例 5 计算(1.04)2.02的近似值.
解设函数 f ( x, y) x y. 取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02.
x
y
故 dz 2y3(1－xy3)dx 6xy2 (1－xy3)dy.
例3 计算函数z exy 在点(1，2)处的全微分.

全微分及其应用

3.02
的近似值.
y f x , y x 解设函数 .x 1, y 3, x 0.05,
y 0.02. f 1,3 13 1, f x x, y yx y－1 ,
f x 1,3 3, f y 1,3 0.
3.02
得
1.05
z y ex y z x ex y , y x
z z 2 2 e x 1 2e , x 1 y x y 2 y 2 故 dz 2e2 dx e2 dy.
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例4
解
求函数 u xy cos2y e yz 的全微分.
§7.4 全微分及其应用
一. 全微分的定义定义1 如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定义， x )为这邻域内的任意一点，则称 y 并设M(x+ ,y+
f ( x x, y y)－f x, y
为函数在点P对应于自变量增量Δx,Δy的全增量，记为Δz，即
z f ( x x, y y)－f x, y .
在点(0,0)的偏导数、连续性和可微性. 解由§7.3的例7，同理可得： (1) 函数f(x,y)在点(0,0)的偏导数存在，且为：
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f x 0,0 0, f y (0,0) 0.
(2) 因函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在，所以f(x,y)在点(0,0)处不连续. 由定理1可知连续是可微的必要条件，故由f(x,y)在点 (0,0)处不连续，即知f(x,y)在点(0,0)处不可微. 定理2(充分条件) 如果函数z=f(x,y)的偏导数在点(x,y) 连续，则函数在该点处可微.

new 第三节全微分及其应用

第三节全微分及其应用
全微分的概念函数可微的充分条件和必要条件全微分在近似计算中的应用
一、全微分的概念
对一元函数y = f ( x ), 我们曾研究y关于x的微分, 若 y = Ax + o( x ) , 其中A与x无关, 则y = f ( x )关于x 可微 , dy = Ax称为f ( x )在x处的微分, 且有A = f ′( x ), 即 dy = f ′( x )dx .
(3.4)
同样可以证明
(3.5)
二、函数可微的充分条件和必要条件
由(3.1)看到，若f ( x，y )在( x，y )点可微，则 lim u = lim [ f ( x + x , y + y ) - f ( x , y )]
x →0 y→0 x → 0 y → 0
= lim [ Ax + By + o( ρ )] = 0
例11 计算(1.04)2.02的近似值。
解
设函数 f ( x , y ) = x y . 取 x = 1, y = 2, x = 0.04, y = 0.02.
∵ f (1, 2) = 1,
f x ( x , y ) = yx y 1 ,
f x (1, 2) = 2,
f y ( x , y ) = x y ln x ,
∴ du = e x + z [sin( x + y ) + cos( x + y )]dx + e x + z cos( x + y )dy + e x + z sin( x + y )dz
例10 设A = xz3 i 2x2 yz j + 2 yz4 k,求d A.

全微分和应用

zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y.
例5 计算(1.04)2.02的近似值. 解设函数 f(x, y)x y. 显然, 要计算的值就是函数在 x1.04, y2.02时的函数值f(1.04, 2.02). 取x1, y2, x0.04, y0.02. 因为
f(x, yy)f(x, y) ——函数f(x, y)对y的偏增量
fx(x, y)x
fy(x, y)y ❖全增量
————函数f(x, y)对x的偏微分 ————函数f(x, y)对y的偏微分
zf(xx, yy)f(x, y).
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❖全微分的定义如果函数zf(x, y)在点(x, y)的全增量 zf(xx, yy)f(x, y)
且函数 zf(x, y)在点(x, y)的全微分为
dz
z x
x
z y
y
.
❖可微分的充分条件
如果函数
zf(x
,
y)的偏导数
z x
、
z y
在点(x,
y)连续,
则函数在该点可微分.
以上结论可推广到三元及三元以上函数.
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❖叠加原理
按着习惯, x、y分别记作dx、dy, 并分别称为自变量的微分, 这样函数zf(x, y)的全微分可写作
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❖可微分与连续
偏导数存在不一定连续, 但可微分必连续.
这是因为, 如果zf(x, y)在点(x, y)可微, 则

全微分及其应用

dy
x x0
dy f ( x0 )dx , f ( x0 ) dx
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x x0
;
对一元函数，可微可导。
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一、全微分的概念
设D为R 中的一个开集, P x , y D, z f x , y 是
2
定义在D内的函数, Q x x , y y D, 则称这两
且当 x 0, y 0 时， 1 0 .
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同理
f ( x , y y ) f ( x , y )
f y ( x, y )y 2y, 当y 0时， 2 0 ,
z f x ( x, y )x 1x f y ( x , y )y 2 y
同理可得
z B . y
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如果函数 z = f ( x , y ) 在点(x0, y0) 可微, 定理2：
则函数z f x , y 必在点 x0 , y0 连续.
（作为练习自己证明）
三、可微的充分条件
定理 3 （充分条件）如果函数 z f ( x , y ) 的偏导数
dx
解

4
，dy 时的全微分.
z y sin( x 2 y ), x z cos( x 2 y ) 2 y sin( x 2 y ), y
dz ( , )
4
z z 2 dx dy ( 4 7 ). x ( , ) y ( , ) 8
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(0,0) 时, 当点 P ( x , y ) 沿直线 y x 趋于

全微分及其应用

第四节全微分及其应用一元函数)(x f y =在x 处可微的本质是:可用x 处自变量的增量x ∆的线性函数x A ∆近似地描述函数值增量y ∆,从而可简化y ∆的计算.我们自然要问:给定二元函数()y x f z ,=,当y x ,有改变量y x ∆∆,时,相应的函数值的改变量z ∆与y x ∆∆,有何关系?可否用y x ∆∆,的线性函数y B x A ∆+∆来近似代替z ∆?一、全微分1. 全微分的定义对于一元函数)(x f y =,当自变量在点x 处有增量x ∆时,若函数的增量y ∆可表示为)(x o x A y ∆+∆⋅=∆,其中,A 与x ∆无关而仅与x 有关,当0→x ∆时,)(x o ∆是比x ∆高阶的无穷小量.则称函数)(x f y =在点x 可微,并把x A ∆叫做)(x f y =在点x 的微分,记作dy ,即x A dy ∆=.类似的,我们给出二元函数全微分的定义.定义如果二元函数),(y x f z =在点()y x P ,的某一个邻域)(P U 内有定义,相应于自变量的增量y x ∆∆,,函数的增量为),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆.称z ∆为函数),(y x f 在点),(y x P 处的全增量.若全增量z ∆可表示为:)(ρo y B x A z +∆+∆=∆ (6.4.1) 其中B A ,仅与y x ,有关,而与y x ∆∆,无关,22)()(y x ∆+∆=ρ,则称函数),(y x f z =在点),(y x P 可微.并称y B x A ∆+∆为),(y x f 在点),(y x P 的全微分,记作z d 或),(y x f d ,即:y B x A z d ∆+∆=. (6.4.2) [说明](1) 当0→ρ时,)(ρo 是比ρ高阶的无穷小量,即:()()()();0)()()()(limlim22220,0,0=∆+∆∆+∆=→∆∆→y x y x o o y x ρρρ(2) 习惯上,自变量的增量x ∆与y ∆常写成dx 与dy (类似于一元函数的情形可证明其相等性,请读者自行完成),并分别称为自变量y x ,的微分.这样,函数()y x f z ,=的全微分也可写为:Bdy Adx z d +=(3) 如果函数在区域D 内的各点都可微,则称函数在区域D 内可微,或称函数为D 内的可微函数.例1 求证函数22y x z +=在()00,y x 处可微,并求其全微分.解因为()00,y x 处函数的全增量为:()()()()(),22220020202020y x y y x x y x y y x x z ∆+∆+∆+∆=+-∆++∆+=∆且()()()().0)()(lim)()()()(lim220,0,22220,0,=∆+∆=∆+∆∆+∆→∆∆→∆∆y x y x y x y x y x所以,根据可微的定义知,函数22y x z +=在()00,y x 处可微,且其全微分为:.22220000y d y x d x y y x x z d +=∆+∆=2. 全微分与偏导数、连续的关系(1) 可微必连续在第三节中我们指出,多元函数即使可偏导(即各个偏导数存在),也不能保证函数是连续的.然而,从全微分的定义知,如果函数),(y x f z =在点),(y x P 可微,则函数在该点必定连续.事实上,由于此时()()0lim 0,0,=∆→∆∆z y x ,也就是()()[]0),(),(lim0,0,=-∆+∆+→∆∆y x f y y x x f y x ,即()()),(),(lim 0,0,y x f y y x x f y x =∆+∆+→∆∆.从而),(y x f z =在点),(y x P 处连续.在一元函数中,可导与可微是等价的,那么对二元函数,可微与可偏导存在之间有什么关系呢?下面的两个定理回答了这个问题.(2) 可微必可偏导定理1(可微的必要条件) 若函数),(y x f z =在点),(y x P 可微,则函数在点),(y x P 的两个偏导数yzx z ∂∂∂∂,都存在(即函数),(y x f z =在点),(y x P 可偏导),且 dy yz dx x z y y z x x z z d ∂∂+∂∂==∆∂∂+∆∂∂=. (6.4.3)证明因),(y x f z =在点),(y x P 可微,所以对于),(y x P 的某一邻域()P U 内的任意一点),(y y x x ∆+∆+,都有)(),(),(ρo y B x A y x f y y x x f +∆+∆=-∆+∆+.特别地,当0y ∆=时,||x ρ=∆且|)(|),(),(x o x A y x f y x x f ∆+∆=-∆+,两边同除以x ∆,取极限得=∂∂x z A xx o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆)|)(|(lim ),(),(lim 00,同理yz ∂∂=B ,所以 y y zx x z z d ∆∂∂+∆∂∂=. 然而,两个偏导数存在是二元函数可微的必要条件,而不是充分条件.例如在原点(0,0)处有0)0,0(,0)0,0(='='y x f f (即可偏导),但是由第二节例8可知,该函数在原点(0,0)是不连续的,因此函数在原点(0,0)不可微.但是,可以证明,如果函数的各个偏导数存在且连续,则该函数必是可微的.定理2(可微的充分条件) 如果函数),(y x f z =的两个偏导数),(),,(y x f y x f y x ''在点),(y x P 的某一邻域内存在且在该点连续,则函数在该点可微.由上述结论可知:二元函数的可微、可偏导及连续之间的关系为⎩⎨⎧⇒⇒)()(可偏导偏导数存在连续可微且连续可偏导偏导数存在一般情况下,上述关系是不可逆的. 3. 全微分公式及其计算由定理1知，二元函数),(y x f z =的全微分可以写成: dy y x f dx y x f dy yz dx x z y x df dz y x ),(),(),('+'=∂∂+∂∂==. (6.4.4) 称上式为全微分公式.全微分公式很容易推广到二元以上的函数的情形.例如,如果三元函数()z y x f u ,,=可微分,那么它的全微分公式为:dz z y x f dy z y x f dx z y x f dz zudy y u dx x u u d z y x ),,(),,(),,('+'+'=∂∂+∂∂+∂∂=(6.4.5) 由此可见,在函数可微的条件下,要求函数的全微分,只需先求出其偏导数,再代入全微222222,0;(,)0,0.xy x y x yf x y x y +≠+=+=分公式进行组装即可得到.例2 求函数22y y x z +=的全微分. 解因为y x yz xy x z 2,22+=∂∂=∂∂,所以dy y x xydx dz )2(22++=. 例3 求函数32),(y x y x f =在点)1,2(-处的全微分.解因为 2233),(,2),(y x y x f xy y x f y x ='=',所以12)1,2(,4)1,2(=-'-=-'y x f f .由于两个偏导数是连续的,故dy dx df 124)1,2(+-=-.例4 求函数yzy x u arctan 2cos+-=的全微分. 解因为2222,2sin 21,1z y yz u z y z y y u x u +=∂∂+-=∂∂=∂∂.所以 dz zy zdy z y z y dx du 2222)2sin 21(+++-+=.二、全微分在近似计算中的应用二元函数的全微分也可用来做近似计算.若二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 可微,则有,)(),(),(),(),(00000000ρo y y x f x y x f y x f y y x x f z y x +∆'+∆'=-∆+∆+=∆其中22)()(y x ∆+∆=ρ.故当|||,|y x ∆∆充分小时,有dz y y x f x y x f z y x =∆'+∆'≈∆),(),(0000, (6.4.6) 即y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆'+∆'≈-∆+∆+),(),(),(),(00000000.移项得y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆'+∆'+≈∆+∆+),(),(),(),(00000000 (6.4.7) 公式（6.4.6）可用来计算函数的增量的近似值,公式（6.4.7）可用来计算函数的近似值.例5 计算3397.102.1+的近似值.解设函数33),(y x y x f +=,所计算的值可看作是函数在97.1,02.1==y x 处的函数值.取03.0,2,02.0,100-====y y x x ∆∆.则33233223),(,23),(yx y y x f yx x y x f y x +='+='.而2)2,1(,21)2,1(,3)2,1(),(00='='==y x f f f y x f ,所以 95.2)03.0(202.021397.102.133=-⨯+⨯+≈+.例6 有一圆柱体，受压后发生形变，它的半径由20厘米增大到05.20厘米,高度由100厘米减少到99厘米,求此圆柱体体积变化的近似值.解设圆柱体的半径,高和体积分别为V h r ,,,则h r V 2π=.记V h r ,,的增量依次为V h r ∆∆∆,,,且1,05.0,100,20-=∆=∆==h r h r ,由公式(6.4.6)得.200)1(2005.010*******πππππ-=-⨯⨯+⨯⨯⨯=∆+∆=∆∂∂+∆∂∂≈∆h r r rh h hV r r V V即此圆柱体在受压后体积约减少了π200立方厘米.习题 6-41. 求下列函数的全微分: (1) 22lny x z +=; (2) 5ln 23+-=-x xe z y ; (3) zx y u 1⎪⎭⎫⎝⎛=.2. 求函数x y e x z ysin 22+=在点()0,π处的全微分. 3. 求函数yx e z =当1.0,15.0,1,1=∆=∆==y x y x 时的全微分.4. 计算()02.204.1的近似值.5. 设生产两种产品B A ,的产量分别为y x ,时的联合总成本函数为:()223215,y xy x y x C +++=.求当产量分别为40,50时,产量再分别增加2个单位,联合总成本的增加量.。

全微分及其运用范文

全微分及其运用范文全微分是微积分中一个重要的概念，它是描述多元函数在其中一点附近发生微小变化时的变化量的近似值。

全微分在物理学、经济学、工程学等领域具有重要的应用价值，能够帮助我们更好地理解和描述自然界的现象。

全微分的定义为：对于具有连续偏导数的函数f(x, y)，在点（x0, y0）处，可以将函数的增量df表示为f(x0+dx, y0+dy)与f(x0, y0)之间的线性近似，即：df = ∂f/∂x·dx + ∂f/∂y·dy其中，∂f/∂x表示函数f对变量x的偏导数，∂f/∂y表示函数f对变量y的偏导数。

dx和dy分别表示自变量x和y的微小变化量。

全微分的应用非常广泛，下面列举几个常见的应用示例。

1.边际效应在经济学中，边际效应是指其中一因素增加或减少一单位时所引起的变化。

全微分可以用来描述经济学中的边际效应。

对于一种商品的需求函数，可以通过计算其价格和需求量之间的关系来求得边际效应，即：边际效应=∂Q/∂P·dP其中，∂Q/∂P表示需求函数对价格的偏导数，dP表示价格的微小变化量。

2.物理学中的位移、速度和加速度在物理学中，我们可以用全微分来描述物体的位移、速度和加速度之间的关系。

考虑一个物体在直线上做匀速直线运动，它的速度恒定为v，物体在时间t1到t2之间的位移可以用全微分表示为：ds = v·dt其中，ds表示物体在t1到t2之间的位移，dt表示时间的微小变化量，v表示物体的速度。

3.工程学中的误差和灵敏度分析在工程学中，全微分可以用来分析系统中的误差和灵敏度。

考虑一个工程系统，它的输入变量为x1, x2, ..., xn，输出变量为y。

全微分可以用来计算输入变量的微小变化量对输出变量的影响，即：dy = ∂y/∂x1dx1 + ∂y/∂x2dx2 + ... + ∂y/∂xndx其中，∂y/∂xi表示输出变量y对输入变量xi的偏导数，dxi表示输入变量xi的微小变化量。

全微分和应用

全微分及其应用

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高等数学 第八章 第3节 全微分及其应用(中央财经大学)

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