第6章集合代数离散数学

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离散数学集合

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离散数学
无重复性是集合的四大性质之一。五.空集（empty,null,void set）：记为空集是没有成员的集合。即注.将空集作为集合实际上是集合运算的封 x(x）（所谓的空集公理）；闭性所要求的 ! 所以={ }；空集是集合(作这点规定是运算封闭性的要求)。空集是唯一的。因为若有两个空集，则它们有完全相同的元素(都没有任何元素)，所以它们相等，是同一集合。六.全集（universe of discourse）：记为X 全集是所要研究的问题所需的全部对象（元素）所构成的集合。全集给个体（研究的对象）划定适当的范围。
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离散数学
两个集合不相等，记为AB ；根据这个定义，关于集合我们可得下列性质： (1) 无序性：集合中的元素是无序的。例如 {a,b,c}= {b, a, c} = {b , c, a} 因此，为了使用方便，我们可任意书写集合中元素的顺序。但一般情况下，通常采用字母序、字典序；有时，还需要强行命名一种序；无序性是集合的四大性质之一。 (2)无重复性：集合中元素的重复是无意义的。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c}= {a, b, c} 包（bag）：若允许元素重复称为包。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c} 一般记布尔系统图论
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离散数学 Discrete Mathematics
序言：
离散数学是现代数学的一个重要分支，计算机科学基础理论的核心课程。它充分描述了计算机科学的离散性特点，是随着计算机科学的发展而逐步建立起来的新兴的基础性学科。本课程作为计算机科学的基础性课程，把握离散数学的关键性问题，介绍五大块内容：集合论、代数系统、布尔代数、图论、数理逻辑。这些和计算机科学密切相关的理论的结构按排，既着重于各部分之间的紧密联系，又深入探讨各部分内容的概念、例子、理论、算法、以及实际应用。

大学数学离散数学

大学数学离散数学离散数学是一门研究离散对象及其结构、性质和关系的数学学科。

离散数学在计算机科学、信息科学、工程学以及许多其他领域中具有重要的应用价值。

本文将介绍离散数学的基本概念、主要内容和应用领域。

一、概述离散数学是数学中的一个分支，研究的对象是离散的、离散化的数学结构。

它关注的是非连续、离散的数学概念和算法，与连续数学不同，离散数学是离散化的、离散性质的研究。

离散数学的主要内容包括集合论、逻辑、关系、图论、代数结构和组合数学等。

二、集合论集合论是离散数学中的基石，它研究的是集合这一基本概念及其性质。

集合是指具有确定特征的对象的整体，集合论主要研究集合的运算、集合的关系、集合的划分等基本问题。

集合论的基本公理包括空集公理、对偶公理、包含公理等。

三、逻辑逻辑是研究正确推理和证明的数学学科，也是离散数学的重要组成部分。

逻辑分为命题逻辑、谓词逻辑和模态逻辑等不同的分支。

离散数学中的逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑，它们用于描述命题的真值和命题之间的关系。

四、关系关系是数学中的一种基本概念，描述了事物之间的联系和相互作用。

离散数学中的关系论主要研究二元关系和等价关系。

二元关系是指一个集合上的二元对组成的集合，它描述了两个元素之间的某种联系。

等价关系是一种满足自反性、对称性和传递性的二元关系，它将集合划分为不同的等价类。

五、图论图论是离散数学中的一门重要学科，研究图及其性质和应用。

图是由顶点和边组成的数学对象，它是描述许多实际问题的有效工具。

图论主要研究图的连通性、图的着色、最短路径、最小生成树等基本问题，并在网络、电路设计、运筹学等领域有广泛的应用。

六、代数结构代数结构是离散数学中的一个重要分支，研究的是集合上的运算和结构。

常见的代数结构包括群、环、域等，它们用于描述抽象代数系统的性质。

代数结构在计算机科学中有广泛的应用，例如密码学中的置换群、编码理论中的线性空间等。

七、组合数学组合数学是离散数学中的一门重要学科，研究离散对象的组合与排列问题。

离散数学结构第6章集合代数

离散数学结构第6章集合代数第六章集合代数1. 集合，相等，（真）包含，⼦集，空集，全集，幂集2. 交，并，（相对和绝对）补，对称差，⼴义交，⼴义并3. ⽂⽒图，有穷集计数问题4. 集合恒等式（等幂律，交换律，结合律，分配律，德·摩根律，吸收律，零律，同⼀律，排中律，⽭盾律，余补律，双重否定律，补交转换律等）学习要求1. 熟练掌握集合的⼦集、相等、空集、全集、幂集等概念及其符号化表⽰2. 熟练掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、⼴义交、⼴义并的定义及其性质3. 掌握集合的⽂⽒图的画法及利⽤⽂⽒图解决有限集的计数问题的⽅法4. 牢记基本的集合恒等式（等幂律、交换律、结合律、分配律、德·摩根律、收律、零律、同⼀律、排中律、⽭盾律、余补律、双重否定律、补交转换律）5. 准确地⽤逻辑演算或利⽤已知的集合恒等式或包含式证明新的等式或包含式6.1 集合的基本概念⼀．集合的表⽰集合是不能精确定义的基本概念。

直观地说，把⼀些事物汇集到⼀起组成⼀个整体就叫集合，⽽这些事物就是这个集合的元素或成员。

例如：⽅程x2－1＝0的实数解集合；26个英⽂字母的集合；坐标平⾯上所有点的集合；……集合通常⽤⼤写的英⽂字母来标记，例如⾃然数集合N(在离散数学中认为0也是⾃然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。

表⽰⼀个集合的⽅法有两种：列元素法和谓词表⽰法，前⼀种⽅法是列出集合的所有元素，元素之间⽤逗号隔开，并把它们⽤花括号括起来。

例如A={a，b，c，…，z}Z={0，±1，±2，…}都是合法的表⽰。

谓词表⽰法是⽤谓词来概括集合中元素的属性，例如集合B＝{x|x∈R∧x2－1＝0}表⽰⽅程x2－1＝0的实数解集。

许多集合可以⽤两种⽅法来表⽰，如B也可以写成{-1，1}。

但是有些集合不可以⽤列元素法表⽰，如实数集合。

集合的元素是彼此不同的，如果同⼀个元素在集合中多次出现应该认为是⼀个元素，如{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}集合的元素是⽆序的，如{1，2，3}＝{3，1，2}在本书所采⽤的体系中规定集合的元素都是集合。

离散数学第六章集合代数

3、相对补集 1）定义3 设A和B是任何两个集合，B 对A的相对补集 A－B，是由属于集合A的但不属于集合B的所有元素构成的集合 A － B = { x |（x∈A）∧（x ∉ B）} = { x |（x∈A）∧ ┐（x∈B）} 2）相对补集的文氏图表示 3）性质（ a） A － ø = A （b）A ∩（B-A）= ø （c）A∪（B－A）= A∪B （d）A－（B∪C）=（A－B）∩（A－ C）（e）A－（B∩C）=（A－B）∪（A－C）（f）A －（A∩B）= A － B (g) A ⊆ B的等价形式： ⇔ A ∩B＝A ⇔ A－B ＝Ø ⇔ A∪B ＝B
证明:A－B ＝A 的充要条件是 A∩B ＝ Ø 充分性：必要性：
证明 A⊆B任取 x ∈ A 利用所给的性质 ⇒ x∈B 或采用谓词演算方法 ∀x(x∈A→x∈B )成立例：已知 A⊆B ，证明 ~B ⊆ ~A 证：∀x x∈~B ⇔ ┐x∈B 因为∀x ( x ∈ A → x ∈ B ) ┐x∈B → ┐x∈A ⇔ x∈ ~B → x∈~ A
§6.3
集合恒等式
Байду номын сангаас
集合运算的恒等式与命题公式的等值式有非常类同地方即将： ∩看成 ∧ 、∪看成 ∨ 、 ∼ 看成 ┓ 空集Ø 看成 F 、全集E看成 T 那么命题公式的等值式可表示为集合运算的恒等式
一、下面给出对照的公式： 1）等幂律 A∪A= A [P∨P ⇔ P] A∩A= A [P∧P ⇔ P] 2）结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C） [（P∨Q）∨R ⇔ P∨（Q∨R）] （A∩ B）∩C=A∩（B∩C） [（P∧Q）∧R ⇔ P∧（Q∧R）] 3）交换律 A∪B=B∪A [P∨Q ⇔ Q∨P] A∩B=B∩A [P∧Q ⇔ Q∧P] 4）分配律 A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） [P∨（Q∧R） ⇔ （P∨Q）∧（P∧R）] [P∧（Q∨R） ⇔ （P∧Q）∨（P∨R）]

离散数学_第06章代数结构概念及性质

【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R，＋〉。（2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构的基数。如果S是有限集合，则说代数结构是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律，则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。

《离散数学》偏序关集与格

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第六章偏序关集与格
• §6.1 偏序关系和偏序集
– §6.1.1 偏序关系和偏序集的定义与性质 – §6.1.2 积偏序和字典序 – §6.1.3 哈斯图
• §6.2 偏序集中的特殊元素
– §6.2.1 偏序集中的特殊元素 – §6.2.2 拓扑排序 – §6.2.3 有限偏序集的高度与宽度
• §6.3 格与布尔代数
– §6.3.1 格的定义 – §6.3.2 特殊的格 – *§6.3.3 布尔代数
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积偏序和字典序
• 定理假设 (A, ≤1) 和 (B, ≤2) 是两个偏序集，
则可以定义在 AB 上的偏序关系 ≤ 为： (a, b) ≤ (a’, b’) 当且仅当 a≤1a’ 且 b≤2b’，
42
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
43
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
44
最大元与最小元
12 8
9
6
4
10
11 3
2
57
1
45
极大元与极小元
{a, b}
{a, b, c}
{b, c} {a, c}
{a}
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{b} {c}
极大元与极小元
• 有时候，极大元/极小元只有一个； • 有时，极大元/极小元也可能存在多个； • 孤立结点既是极小元，也是极大元； • 有时，极小元和极大元可能不存在，
• 偏序集 (A, R1) 称做偏序集 (A, R) 的对偶。
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偏序集
• 例如：
– 小于等于关系和
– 大于等于关系

离散数学第六章集合代数

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集合算律
6.3 集合恒等式
1．只涉及一个运算的算律：
交换律、结合律、幂等律
交换结合
幂等
AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A
AB=BA (AB)C= A(BC)
AA=A
AB=BA (AB)C =A(BC)
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2．涉及两个不同运算的算集律合：算律分配律、吸收律
与
分配
A(BC)=
(AB)(AC)
A(BC)=
(AB)(AC)
吸收
A(AB)=A
A(AB)=A
与
A(BC) =(AB)(AC)
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3．涉及补运算的算律：集合算律 DM律，双重否定律
D.M律
双重否定
A(BC)=(AB)(A C)
A(BC)=(AB)(A C)
(BC)=BC (BC)=BC
A=A
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4．涉及全集和空集的算律集：合算律补元律、零律、同一律、否定律
解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假.
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(1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法：
把 #2022 a 作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的 a 可
能是集合表达式.
(2) 判断AB的四种方法
若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否在B中出现.
（交换律）
八． = A E
（零律）
九． = A
（同一律）
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例6 证明AB AB=B AB=A AB=
#2022
①
②
③
④
证明思路：
确定问题中含有的命题：本题含有命题 ①, ②, ③, ④

离散数学讲义(第6章)

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6-2 分配格（续）
定理：如果在一个格中交运算对并运算可分配，则并运算对交运算一定可分配。反之亦然。
定理：每个链是分配格。
定理：设〈A， ≤ 〉为一个分配格，则对任意的a，b，c A，如果有a b = a c且a b = a c，则b=c。
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6-2 分配格（续）
定义：设〈A,,〉是由格〈A， ≤ 〉所诱导的代数系统。如果对任意的a,b,cA，当b ≤ a时，有： a (b c) = b (a c) 则称〈A， ≤ 〉是模格。
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6-1 格的概念（续）
偏序集但不是格
e d f
格
c a b
6
6-1 格的概念（续）
代数系统
设〈A， ≤ 〉是一个格，如果在A上定义两个二元运算和，使得对于任意的a，bA，ab等于a和b的最小上界，ab等于a和b的最大下界，那么就称〈A，，〉为由格〈A， ≤ 〉所诱导的代数系统。二元运算，分别称为并运算和交运算。
定理：分配格一定是模格。
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6-3 有补格
定义：设〈A， ≤ 〉是一个格，如果存在元素aA，对任意的xA，都有a ≤ x，则称a为格〈A， ≤ 〉的全下界。记作 0。定义：设〈A， ≤ 〉是一个格，如果存在元素bA，对任意的xA，都有x ≤ b，则称b为格〈A， ≤ 〉的全上界。记作 1。
{a,b} {a,b} {a,b} {a,b} {a,b}
{b} {a,b}
6-4 布尔代数（续）
定理：对布尔代数中的任意两个元素a，b，有
(a ) a
ab a b
a b ab
定义：具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数。
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离散数学第二版答案(6-7章)

离散数学第二版答案(6-7章)LT第六章代数系统6.1第129页1．证明：任取,x y I ∈，(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=，因此，二元运算*是可交换的；任取,,x y z I ∈，(,(,))*(*)*()()g x g y z x y z x y z yz x y z yz x y z yz x y z xy xz yz xyz==+-=++--+-=++---+((,),)(*)*()*()(,(,))g g x y z x y z x y xy zx y xy z x y xy z x y z xy xz yz xyz g x g y z ==+-=+-+-+-=++---+=因此，运算*是可结合的。

该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。

2．证明：任取,,x y N x y ∈≠，由*,*x y x y x y x ==≠知，**y x x y ≠，*运算不是可交换的。

任取,,x y z N ∈，由(*)**x y z x z x ==，*(*)*x y z x y x ==知，(*)**(*)x y z x y z =，*运算是可结合的。

任取x N ∈，*x x x =，可知N 中的所有元素都是等幂的。

*运算有右么元，任取,x y N ∈，*x y x =，知N 中的所有元素都是右么元。

*运算没有左么元。

证明：采用反证法。

假定e 为*运算的左么元，取,b N b e ∈≠，由*的运算公式知*e b e =，由么元的性质知，*e b b =，得e b =，这与b e ≠相矛盾，因此，*运算没有左么元。

3．解： ① 任取y x I y x ≠∈,,的最小公倍数和y x y x =*的最小公倍数和的最小公倍数和y x x y x y ==*因此对于任意的y x I y x ≠∈,,都有x y y x **=，即二元运算*是可交换的。

离散数学第六章

6.1.6 循环群和置换群
§循环群在循环群G=<a>中, 生成元a的阶与群G的阶是一样的. 如果a是有限阶元, |a|＝n, 则称G为n阶循环群. 如果a是无限阶元, 则称G为无限阶循环群. 例如: <Z,+>是无限阶循环群; <Z6,>是n阶循环群. 注意:(1) 对9 无限阶循环群G=<a>, G的生成元是a和a-1; (2) 对n阶循环群G=<a>=<e,a,…,an-1>,G的生成元是at 当且仅当t与n互素, 如12阶循环群中, 与12互素的数有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、 a11. (3) N阶循环群G=<a>, 对于n的每个正因子d, G恰好有一个d阶子群H=<an/d>.
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次幂, 20=e=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所以由2生成的子群：<2>={0,2,4}.
对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.6 循环群和置换群
§循环群
定义6.7 在群G中, 如果存在aG使得 G={ak|kZ} 则称G为循环群, 记作G=<a>,称a为G的生成元. ☆ 循环群必定是阿贝尔群, 但阿贝尔群不一定是循环群. 证明: 设<G,*>是一个循环群, 它的生成元是a, 那么,对于任意x,yG, 必有r,sZ, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x 由此可见<G,*>是一个阿贝尔群. 例如,<Z,+>是一个循环群, 其生成元是1或-1.

离散数学(修订版)-耿素云

例如 A = { a, b, c, …, z } Z = { 0, ±1, ±2, … }
谓词表示法: 用谓词来概括集合中元素的属性. 例如:B = { x | x R 且 x2 - 1 = 0 } 集合B表示方程x2 - 1 = 0的实数解集.
图示法:用一个圆来表示, 圆中的点表示集合中的元素. 许多集合可用两种方法来表示, 如: B = { -1, 1 }. 有些集合不能用列元素法表示, 如: 实数集合, 不能列举出
6.2 集合的运算
中山大学计算机科学系
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集合的基本运算有并(Union), 交(Intersection)和相对
补(Relative Complement).
定义6.7 设A和B为集合, A与B的并集A∪B, 交集A∩B, B对A
的相对补集A-B分别定义如下:
A∪B = { x | x A∨x B }
常用的集合名称:
N: 自然数集合(本课程中认为0也是自然数)
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合
C: 复数集合
6.1 集合的基本概念
中山大学计算机科学系
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集合有三种表示方法:列元素法、谓词表示法和图示法.
列元素法:列出集合中的所有元素, 各元素之间用逗号隔开, 并把它们用花括号括起来.
《离散数学》(修订版) 耿素云、屈婉玲, 高等教育出版社, 2004年
教学参考书
《离散数学》
王兵山、王长英、周贤林、何自强编, 国防科技大学出版社, 1985年
《离散数学》
檀凤琴、何自强编著, 科学出版社, 1999年
《离散数学》
孙吉贵、杨凤杰、欧阳丹彤和李占山, 高等教育出版社, 2002年
《离散数学》

离散数学第六章

第六章几个典型的代数系统6.1 半群与群引言：简略介绍群论产生的背景1. 图形的对称性如正三角形、正方形（一般地正n 边形）、长方形、等腰三角形、等腰梯形等；三维空间中的正四面体、正方体、长方体等都各有自己的对称性。

画图解释：2．用根式求解代数方程的根（1）一元二次方程：20x bx c ++=⇒122b x -±=，。

注：①约公元前2000年即出现二次方程求根问题； ②约公元9世纪时，阿拉伯人花拉子米首次得到上述求根公式。

（2）三次及四次方程的求根公式一般三次方程: 320x ax bx c +++=。

先作变换：用3a x -代替x 后可化成 3x mx n +=（不含二次项），（*）其中 332,3327a ab a m b n c =-=--。

利用恒等式：333()3()u v uv u v u v -+-=-，把它与（*）比较得：33,3,x u v uv m u v n =-=-=。

由后面两个关于33,u v 的方程可得u x u v v ⎫⎪=⎪⇒=-= （即*方程的解）以上求解三次方程的公式叫做卡丹公式，出现在公元1545年出版的著作《大书》中。

关于四次方程的求根公式这里从略，可以肯定的是，四次一般方程也有求根公式，并且也叫卡丹公式。

（3从1545年之后的近300年间，人们都没能找到五次(当然，这并不排除对某些特殊的五次及五次以上的方程可以求出它们的根）。

直到1830年由法国人Galois （伽珞瓦）解决，证明出：五次及五次以上的一般方程不存在用加、减、乘、除及开方表示的求根公式，所用方法就是现在已广为接受的群的思想。

可是在当时，很多同时代的大数学家都无法理解和接受他的思想方法。

3．群在其它方面的应用：如编码理论、计算机等。

一．群的定义及简单性质1定义：设,G ⋅是一个具有二元运算⋅的代数系统，如果⋅同时满足（1）结合律：即,,a b c G ∀∈，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅总成立；（2）存在单位元（也称为幺元，记为e ），即 ,;a e e a a a G ⋅=⋅=∀∈（3）中每个元素a 都有逆元（记为1a -）：即存在1a G -∈，使得11a a a a e --⋅=⋅=，则称G 关于运算⋅构成一个群。

离散数学第五-六章

例如实数集上对+可分配,但+ 对不可分配; 集合上的运算, ;,命题集合P上的,都是相互可分配
例题4
设集合A={ ,}, A上定义的二元运算如表所示. 对*可分配吗? * 对 ?
代数结构 >运算性质
定义5-2.6 设,△是定义在集合A上的两个二元运算,如果对 x y∈A,都有 x (x△y) = x x△(x y) =x 则称运算和运算△满足吸收律。
代数系统 >代数系统的引入
二元运算的例子 • N上 +, 是N上二元运算,而-, 不是. • 整数集I上 +,-, 是I上的二元运算, 而不是. • R-{0}上的 , 是R-{0}上的二元运算,而+,-不是. • 矩阵的 +, 是N阶实矩阵集合上的二元运算,但不是全体实矩阵集合上的二元运算. • ,,, 是真值集合{0,1}上的二元运算. • ,, 是幂集P(A)上的二元运算. 一元运算的例子 • R上的求绝对值|X|运算. • 整数 I上求负运算是一元运算,但不是N上的一元运算.
n 例如实数集上的+, ; 集合上的运算, ;,命题集合P上的,都是可结合的.
例题3
A为非空集合,*定义为:对任意的a,bA,有 a*b=b. 证*可结合的.
代数结构 >运算性质
定义5-2.4 设是定义在集合A上的一个二元运算, x∈A,若xx=x,称x是等幂元; 若对x∈A,都有
2 独异点(monoid)
定义5-3.3 含有幺元的半群称为独异点。独异点的判定: 对给定集合S 及运算*, 1)是封闭的, 即对x,y∈S, 有 xy∈S (是代数系统) 2)是可结合的,即对x,y,z∈S, 有(x y) z= x (y z) 3) 有幺元,即e∈S, 对x∈S,有ex=xe=x. 例如 <R, +>是独异点,幺元为0, <I+,+ >不是. <R, * >, <I, * >都是独异点,幺元为1 <{0,1}, > , <{0,1}, >都是独异点,幺元分别为0和1. < P(S), >和 < P(S), >是独异点?

离散数学第6讲置换群和循环群

i(0 i k )[i] , [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] (1 ][i,) 其 [0 ] 中 (1 ][0)
i个
例如k=4时, 这个群如右表所示, 其中[0]是么元, [1]或 [3]是生成元。
二、循环群
定理11：设<G,*>是由g∈G为生成元的循环群。 (a)若G是无限集，则<G,*>与<I,+>同构。 (b)若G是有限集且|G|=k,则<G,*>与<Nk, +k>同构。
定理9：任何一个循环群必定是阿贝尔群(可交换群)。证明：设<G,*>是一个循环群，它的生成元为g,那么对于任意的a, b∈G, 必有i, j∈I,使得
gi=a, gj=b 那么a*b=gi*gj=gi+j=gj+i=gj*gi=b*a，因此，<G,*>是一个阿贝尔群。
二、循环群
定理10：设<G, *>是由g∈G生成的有限循环群, 如果|G|=n,则gn=e, G ={g, g2, g3, …, gn=e}且n是使 gn=e的最小正整数。证明： (1)先证gm=e而m＜n是不可能的。
所以<Sn, ◇>是一个群。
一、置换群
给定n个元素组成的集合A: A上的若干置换所构成的群称为n次置换群； A上所有置换构成的群称为n次对称群, <Sn,◇>。 n次对称群<Sn,◇>的子群即为n次置换群。
例1 令A＝{1,2,3}，A上置换的全体S3={pi i = 1,2,3,4,5,6}。
(pa◇pb)(x) = (x * a) * b =x * (a * b) =pa*b(x)∈P
(1)
(b) 存在幺元设e是<G , *>的么元, a∈G是任一元素,则有

06集合代数

引言集合论
集合论是现代数学的基础，几乎与现代数学的各个分支都有着密切联系，并且渗透到所有科技领域，是不可缺少的数学工具和表达语言。
集合论的起源可以追溯到16世纪末期，为了追寻微积分的坚实基础，开始时，人们仅进行了有关数集的研究。1976～1983年，康托尔(Georg Cantor)发表了一系列有关集合论研究的文章，奠定了集合论的深厚基础，以后策墨罗(Zermelo)在1904～1908年列出了第一个集合论的公理系统，并逐步形成公理化集合论。
在本书所采用的体系中规定：集合的元素都是集合。
元素和集合之间的关系
元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于，属于记作∈，不属于记作。
A
例如：A＝{a，{b，c}，d，{{d}}} a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A，
a {b,c} d
bA，{d}A。 b和{d}是A的元素的元素。
A x(x∈ → x∈A) 右边的蕴涵式因前件假而为真命题，所以 A也为真。
推论空集是唯一的。证明：假设存在空集1和2，由定理6.1有
1 2 ， 2 1。根据集合相等的定义，有 1＝ 2。
有限集和无限集
▪ 集合 A 中元素的数目称为集合 A 的基数（ base
n元集
含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m(m≤n)个元素的子集叫做它的m元子集。
例6.1 A＝{1,2,3}，将A的子集分类：
0元子集（空集） 1元子集（单元集） 2元子集 3元子集
{1}，{2}，{3} {1,2}，{1,3}，{2,3} {1,2,3}
幂集 ( power set )
一般地说，对于n元集A，它的0元子集有 Cn0个，1元子集有 C1n 个，…，m元子集有 Cnm个，…，n元子集有 Cnn个。子集总数为

离散数学知识点整理

离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等众多领域都有着广泛的应用。

下面就为大家整理一下离散数学的一些重要知识点。

一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。

集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。

比如，一个班级里所有学生就可以构成一个集合。

集合的表示方法有列举法和描述法。

列举法就是将集合中的元素一一列举出来，如{1, 2, 3, 4, 5}；描述法是用元素所满足的条件来描述集合，如{x ｜ x 是小于 10 的正整数}。

集合之间的关系包括子集、真子集、相等。

如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 就是 B 的子集；如果 A 是 B 的子集，且 B中存在元素不属于 A，那么 A 就是 B 的真子集；如果 A 和 B 包含的元素完全相同，那么 A 和 B 相等。

集合的运算有并集、交集、差集和补集。

并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合；补集是在某个给定的全集 U 中，集合 A 的补集是由不属于 A 的元素组成的集合。

二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。

比如，在一个班级中，同学之间的“朋友关系”就是一种关系。

关系可以用矩阵和图来表示。

矩阵表示中，若元素之间存在关系则对应位置为 1，否则为 0；图表示中，用节点表示元素，有关系的元素之间用边连接。

关系的性质包括自反性、对称性、反对称性和传递性。

自反性是指每个元素都与自身有关系；对称性是指如果 a 与 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是指如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系，那么 a ＝b；传递性是指如果 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，那么 a 与 c 有关系。

三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，都有唯一的对应值在值域中。

函数的类型有单射、满射和双射。

离散数学高教版屈婉玲 06

y2 4-x x y1
2 4-x
y3
5-2
y1+2(4-x)+x+2=13
4-x
y2+2(4-x)+x=9
y3+2(4-x)+x=10 y1+y2+y2+3(4-x)+x=19
C
解方程组得 x=1,y1=4,y2=2,y3=3.
7/11/2013 1:59 AM Discrete Math. , huang liujia 11
| A1 A2 Am |
| S | | Ai |
i 1 m 1i j m
| A A
i
j
|

1i j k m
| Ai A j Ak | (1) m | A1 A2 Am |
7/11/2013 1:59 AM
7/11/2013 1:59 AM
Discrete Math. , huang liujia
14
应用——欧拉函数的值
CHAPTER SIX
例6.6 计算欧拉函数的值(n). 欧拉函数：小于 n 且与 n 互素的自然数的个数解 n 的素因子分解式: n p11 p22 ...pk k Ai = { x | 0xn1，且 pi 整除 x }， (n) | A A2 ... Ak | . 则 1
7/11/2013 1:59 AM Discrete Math. , huang liujia 3
§6.1 集合的基本概念
注：元素与集合的关系是属于∈和不属于。本书规定集合的元素都是集合。对任何集合A，都有AA .
CHAPTER SIX
2.子集合(Def 6.1):若集合B中的元素都在集合A中，则称B是A的子集合(简称子集)。这时也称B被A包含，或A包含B。记为B A。

离散数学(屈婉玲版)第六章部分答案

对 2∈Z， x∈Z 有 x °2=x+2-2=x=2°x,
可见 , 存在幺元，幺元为 2。对 x∈Z 有 4-x∈Z,使 x ° （4-x）= (4-x) °x=2
所以 x-¹= 4-x 所以 Z 与运算 ° 能构成群。
6.7 下列各集合对于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格？（1）L={1,2,3,4,5}. （2）L={1,2,3,6,12}. （3）L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}. （4）L={1,2,2(2),…,2(n)}.
答：满足封闭性，因为矩阵加法可结合所以为半群，且幺元为 e＝0 的矩阵,故为独异点。又因为以任一 n 阶矩阵的逆元存在是它的负矩阵，所以是群。评语：答案太简单
6.2 （1）因为可结合，交换，幺元为 1，但不存在逆元所以是半群（2）因为可交换，结合，幺元为 0，是有限阶群并且是循环群，G 中的 2 阶元是 2，4 阶元是1和3
设 a={1,3} b={3,4,5} ∴a,b∈p(A) ∵<p(A), >构成群 a x=b ∴a-1 a x= a-1b
e x= a-1b x= a-1b
e= a-1=a ∴x=ab={1,3}{3,4,5}={1,4,5} (2)由 B 生成的循环子群<B>为 {,{1,4,5}}
6.10
答案太简单621因为可结合交换幺元为1但不存在逆元所以是半群2因为可交换结合幺元为0是有限阶群并且是循环群gz为正数集合在z上定义二元运算yxy2那么z与运算c2abc4bc22abc44x4x4x所以67下列各集合对于整除关系都构成偏序集判断哪些偏序集是格
6.1(5) S5 = Mn (R),+为矩阵加法，则 S 是（群）
110

第6章集合代数离散数学

离散数学 集合

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