第6章集合代数离散数学
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集合论的起源可以追溯到16世纪末期，为了追寻微 积分的坚实基础，开始时，人们仅进行了有关数集的研 究。1976～1983年，康托尔(Georg Cantor)发表了一系 列有关集合论研究的文章，奠定了集合论的深厚基础， 以后策墨罗(Zermelo)在1904～1908年列出了第一个集合 论的公理系统，并逐步形成公理化集合论。
解 |A| = 0， |B| = 1，|C| = 3，|D| = 2。
含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m(m≤n)个元 素的子集叫做它的m元子集。
例6.1 A＝{1,2,3}，将A的子集分类：
0元子集（空集） 1元子集（单元集） 2元子集 3元子集
隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些 集合可以同时成立这两种关系。
例如 A＝{a，{a}}和{a} 既有{a}∈A，又有{a}A。 前者把它们看成是不同层次上的两个集合， 后者把它们看成是同一层次上的两个集合。
定义6.2 设A，B为集合，如果 AB 且 BA，则称A与 B相等，记作A＝B。
本章对集合论本身及其公理化系统不作深入探讨，主 要是介绍集合、子集的基本概念及相关性质；集合间的各 种运算和它们满足的运算性质；
1 集合集的合基的本概概念念
2 集合集的合表的示运方算法
3
有穷集的计数
4
集合恒等式
重点掌握
1
1 集合的概念 及集合间关系 2 集合的表示 3 集合运算及 定律 4 幂集P(A)
–A＝{a，b，c，…，z}
–Z＝{0，±1，±2，…}
–C＝{桌子,灯泡,老虎,自然数}
谓词表示法(defining predicate)是用谓词来概括集合中元
素的属性。
X所具有的
–A＝{x|P(x)}
性质p
–B＝{x|x∈R∧x2－1＝0}
代表元
许多集合可以用两种方法来表示，如B也可以写成{-1，1}。 但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。
A
例如：A＝{a，{b，c}，d，{{d}}}
a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A， a {b,c} d
bA，{d}A。
b和{d}是A的元素的元素。
bc
可以用一种树形图表示集合与元素的隶属关 系。
{{d}} {d} d
隶属关系可以看作是处在不同层次上的集合之间的关系。
说明
规定：对任何集合A都有AA。
例如： –方程x2－1＝0的实数解集合：
特定对 象
–26个英文字母的集合；
–坐标平面上所有点的集合；
–… …
集合通常用大写的英文字母来标记。
N
Z
Q
R
C
表示一个集合的方法主要有两种：列元素法和谓词表示法。
列元素法(roster)是列出集合的所有元素，元素之间用逗号 隔开，并把它们用花括号括起来。
定义6.1 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素， 则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包 含B，记作 BA。
包含的符号化表示为 BA x(x∈B→x∈A)
如果B不被A包含，则记作 B A。
例如：N Z Q R C，但Z N。 显然对任何集合A都有 AA。
▪ 集 合 A 中 元 素 的 数 目 称 为 集 合 A 的 基 数 （ base
number)，记为|A|。
▪ 如|A|是有限的，则称集合A为有限集， ▪ 如|A|是无限的，则称集合A为无限集。
求下列集合的基数。
（1）A =Φ ；
（2）B = {Φ}；
（3）C = {a, b, c}；（4）D = {a, {b, c}}。
集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次 出现应该认为是一个元素。 例如：{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}
集合的元素是无序的。 例如：{1，2，3}＝{3，1，2}
在本书所采用的体系中规定：集合的元素都是集合。
元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于 或不属于，属于记作∈，不属于记作。
是方程x2+1=0的实数解集，因为该方程无实数解，所以是 空集。
定理6.1 空集是一切集合的子集。 证明：任给集合A，由子集定义有
A x(x∈ → x∈A) 右边的蕴涵式因前件假而为真命题， 所以 A也为真。
推论 空集是唯一的。 证明：假设存在空集1和2，由定理6.1有
1 2 ， 2 1。 根据集合相等的定义，有 1＝ 2。
我们这里学习集合论，更是因为计算机科学及其应用 的研究也和集合论有着极其密切的关系。集合不仅可以表 示数、而且还可以象数一样进行运算，更可以用于非数值 信息的表示和处理，如数据的增加、删除、排序以及数据 间关系的描述；有些很难用传统的数值计算来处理，但可 以用集合运算来处理。因此，集合论在程序语言、数据结 构、编译原理、数据库与知识库、形式语言和人工智能等 领域都得到了广泛的应用，并且还得到了发展。
相等的符号化表示为： A＝B AB ∧ BA
如果A与B不相等，则记作A≠B。
定义6.3 设A，B为集合，如果 BA 且 B≠A，则称B是 A的真子集，记作BA。
真子集的符号化表示为 BA BA ∧ B≠A
如果B不是A的真子集，则记作B A。 例如：N N
定义6.4 不含任何元素的集合叫做空集，记作。 空集的符号化表示为： ＝{x|x≠x}。 例如: {x|x∈R∧x2+1=0}
一般掌握
了解
2
1 集合的归纳 法表示 2 集合的对称 差运算
3Fra Baidu bibliotek
1 集合的递归 指定法表示 2 了解无限集 的基本概念
集合(Set)是不能精确定义的基本概念。
–所谓集合，是指我们无意中或思想中将一些确定的、彼
此完全不同的客体的总和而考虑为一个整体。这些客体
叫指做定该集合的元素。(康托) –合直范，观围而地这说些，事把物一就些是事这物个汇集集合到的一元起素组或成成一员个。整体就叫集
离散数学
本章的主要内容
–集合的基本概念—集合、相等、(真)包含、子集、空集、 全集、幂集
–集合运算—交、并、(相对和绝对)补、对称差、广义交、 广义并
–文氏图—有穷集计数问题 –集合恒等式
本章与后续各章的关系
– 是集合论后面各章的基础
– 是典型的布尔代数系统
集合论是现代数学的基础，几乎与现代数学的各个 分支都有着密切联系，并且渗透到所有科技领域，是不 可缺少的数学工具和表达语言。
解 |A| = 0， |B| = 1，|C| = 3，|D| = 2。
含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m(m≤n)个元 素的子集叫做它的m元子集。
例6.1 A＝{1,2,3}，将A的子集分类：
0元子集（空集） 1元子集（单元集） 2元子集 3元子集
隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些 集合可以同时成立这两种关系。
例如 A＝{a，{a}}和{a} 既有{a}∈A，又有{a}A。 前者把它们看成是不同层次上的两个集合， 后者把它们看成是同一层次上的两个集合。
定义6.2 设A，B为集合，如果 AB 且 BA，则称A与 B相等，记作A＝B。
本章对集合论本身及其公理化系统不作深入探讨，主 要是介绍集合、子集的基本概念及相关性质；集合间的各 种运算和它们满足的运算性质；
1 集合集的合基的本概概念念
2 集合集的合表的示运方算法
3
有穷集的计数
4
集合恒等式
重点掌握
1
1 集合的概念 及集合间关系 2 集合的表示 3 集合运算及 定律 4 幂集P(A)
–A＝{a，b，c，…，z}
–Z＝{0，±1，±2，…}
–C＝{桌子,灯泡,老虎,自然数}
谓词表示法(defining predicate)是用谓词来概括集合中元
素的属性。
X所具有的
–A＝{x|P(x)}
性质p
–B＝{x|x∈R∧x2－1＝0}
代表元
许多集合可以用两种方法来表示，如B也可以写成{-1，1}。 但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。
A
例如：A＝{a，{b，c}，d，{{d}}}
a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A， a {b,c} d
bA，{d}A。
b和{d}是A的元素的元素。
bc
可以用一种树形图表示集合与元素的隶属关 系。
{{d}} {d} d
隶属关系可以看作是处在不同层次上的集合之间的关系。
说明
规定：对任何集合A都有AA。
例如： –方程x2－1＝0的实数解集合：
特定对 象
–26个英文字母的集合；
–坐标平面上所有点的集合；
–… …
集合通常用大写的英文字母来标记。
N
Z
Q
R
C
表示一个集合的方法主要有两种：列元素法和谓词表示法。
列元素法(roster)是列出集合的所有元素，元素之间用逗号 隔开，并把它们用花括号括起来。
定义6.1 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素， 则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包 含B，记作 BA。
包含的符号化表示为 BA x(x∈B→x∈A)
如果B不被A包含，则记作 B A。
例如：N Z Q R C，但Z N。 显然对任何集合A都有 AA。
▪ 集 合 A 中 元 素 的 数 目 称 为 集 合 A 的 基 数 （ base
number)，记为|A|。
▪ 如|A|是有限的，则称集合A为有限集， ▪ 如|A|是无限的，则称集合A为无限集。
求下列集合的基数。
（1）A =Φ ；
（2）B = {Φ}；
（3）C = {a, b, c}；（4）D = {a, {b, c}}。
集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次 出现应该认为是一个元素。 例如：{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}
集合的元素是无序的。 例如：{1，2，3}＝{3，1，2}
在本书所采用的体系中规定：集合的元素都是集合。
元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于 或不属于，属于记作∈，不属于记作。
是方程x2+1=0的实数解集，因为该方程无实数解，所以是 空集。
定理6.1 空集是一切集合的子集。 证明：任给集合A，由子集定义有
A x(x∈ → x∈A) 右边的蕴涵式因前件假而为真命题， 所以 A也为真。
推论 空集是唯一的。 证明：假设存在空集1和2，由定理6.1有
1 2 ， 2 1。 根据集合相等的定义，有 1＝ 2。
我们这里学习集合论，更是因为计算机科学及其应用 的研究也和集合论有着极其密切的关系。集合不仅可以表 示数、而且还可以象数一样进行运算，更可以用于非数值 信息的表示和处理，如数据的增加、删除、排序以及数据 间关系的描述；有些很难用传统的数值计算来处理，但可 以用集合运算来处理。因此，集合论在程序语言、数据结 构、编译原理、数据库与知识库、形式语言和人工智能等 领域都得到了广泛的应用，并且还得到了发展。
相等的符号化表示为： A＝B AB ∧ BA
如果A与B不相等，则记作A≠B。
定义6.3 设A，B为集合，如果 BA 且 B≠A，则称B是 A的真子集，记作BA。
真子集的符号化表示为 BA BA ∧ B≠A
如果B不是A的真子集，则记作B A。 例如：N N
定义6.4 不含任何元素的集合叫做空集，记作。 空集的符号化表示为： ＝{x|x≠x}。 例如: {x|x∈R∧x2+1=0}
一般掌握
了解
2
1 集合的归纳 法表示 2 集合的对称 差运算
3Fra Baidu bibliotek
1 集合的递归 指定法表示 2 了解无限集 的基本概念
集合(Set)是不能精确定义的基本概念。
–所谓集合，是指我们无意中或思想中将一些确定的、彼
此完全不同的客体的总和而考虑为一个整体。这些客体
叫指做定该集合的元素。(康托) –合直范，观围而地这说些，事把物一就些是事这物个汇集集合到的一元起素组或成成一员个。整体就叫集
离散数学
本章的主要内容
–集合的基本概念—集合、相等、(真)包含、子集、空集、 全集、幂集
–集合运算—交、并、(相对和绝对)补、对称差、广义交、 广义并
–文氏图—有穷集计数问题 –集合恒等式
本章与后续各章的关系
– 是集合论后面各章的基础
– 是典型的布尔代数系统
集合论是现代数学的基础，几乎与现代数学的各个 分支都有着密切联系，并且渗透到所有科技领域，是不 可缺少的数学工具和表达语言。