解决问题的策略—假设法

解决问题的策略》教材解读解决问题的策略从三年级上册开始教学，有计划地在每册教科书里编排一个单元的内容，集中教学一个（种）策略。

到现在为止，已经进行了四个学期，依次教学了从条件向问题的推理、从问题向条件的推理、列表整理条件、画图整理信息等策略。

条件与问题之间的推理是研究实际问题数量关系最常用的方法，列表整理已知与未知数据以及画图整理条件与问题信息，能够帮助人们理解题意，促进分析数量关系的活动顺利展开。

可以说，三、四年级教学的策略是最基本的策略，可以用来解答常见的、比较容易的实际问题，而且十分有效。

不过，日常生活和生产劳动中，往往会遇到一些仅仅依靠数量关系的推理还难以解决的问题，甚至有些问题还不宜列式计算，因此需要进一步教学解决问题的策略。

从五年级上册的本单元起，将陆续教学枚举、转化、假设与调整等策略，将解答一批过去大纲教科书里没有编排的问题。

这些策略的教学，将使学生获得更多的解决问题的方法，积累解决问题的经验，形成个体解决问题的能力。

教学五、六年级教科书里的解决问题的策略，往往要解答稍复杂的、较特殊的，甚至有点超“常规”的问题。

教学解决问题的策略，假如解答的问题过于简单，学生不需要多少思考，思维负担过轻会使解题策略显得苍白无力，以致体会不到策略及其价值。

当然，教学的例题和习题过难，学习负担会相应加重，这也不好。

我们必须清楚认识到，那些较难的问题是教学策略的载体，策略教学正是通过这些题的解答，让学生感悟策略、学习策略，初步具有一些比较基础的策略。

对那些较难的题目，没有必要进行大量的强化练习，不要求学生认识并记住这些题的特点与解法。

本单元教学用枚举的方法解决实际问题。

所谓枚举就是一一列举，即把事情发生的各种可能逐个罗列，并用某种形式进行整理，由此得到问题的答案。

生活中有许多实际问题，列式计算比较困难，如果联系生活经验，用枚举的方法能比较容易地得到解决。

因此，枚举是人们解决问题的常用策略之一。

而且，枚举时十分讲究有序思考，要做到不重复、不遗漏，对发展思维的条理性和严密性很有帮助。

全单元编排两道例题，具体安排见下表：例1在表格里有序地一一列举，初步体会列举策略例2有意识地使用列举策略解决问题，鼓励列举形式活泼多样（一）引发列举活动，初步体验列举策略解决问题的策略表现在具体的解题活动中，要通过充分的解题活动才能逐渐形成。

例1作为本单元教学的起始，让学生初步体会列举是解决问题的一种有效方法。

设计的教学线索包括“理解题意、构思解法——填表列举、找到答案——回顾过程、体会方法——联系过去、感悟策略”等几个主要环节。

1. 利用现实的问题情境引发列举活动。

例题用22根栅栏围一个长方形花圃，由于每根栅栏的长都是1米，所以围成的长方形花圃的长和宽都是整米数。

配置的王大伯围花圃的情境图，帮助学生理解栅栏的总数22米（即长方形的周长）是确定不变的，围成的长方形的长和宽的数量是可变的，也就是围法多样。

接着进一步想到，长方形的宽可以是1米、2米、3米……每一个宽都有相应的长，每种围法都有其面积。

于是产生摆小棒解决问题的动机，逐步形成根据长与宽的和是11米，依次找到各个长方形的思路。

无论哪一种思考，都是初步的列举。

教学这个环节要抓住“怎样围面积最大”帮助学生明白花圃有多种围法，并在交流中体会各种围法可以按宽的米数从小到大有序地列举出来（当然也可以按长的米数从大到小有序列举），只要算出各种围法的面积，就能比出面积最大的围法。

2. 填表列举，加强数学思维。

学生在自主进行的列举活动中会感到，列举不能有遗漏，也不能有重复，应该有序地进行。

如果把各种围法的长、宽以及面积等数量分别记录下来，就能方便地比出面积最大的围法。

于是产生优化列举活动的愿望，这就是填表列举的思想基础。

教材为学生提供了列举的表格，而且按长从大到小、宽从小到大的次序，及时算出各种围法的面积。

正确列举的关键在于“长方形长与宽的和是11米”，把握住这个关系，才能找到对应的长与宽，也才能算出相应的面积。

所以，例题在列举之前，先计算长方形长与宽的和“22÷2=11（米）”，为正确列举作准备。

填表列举以后，教材提醒学生检查自己的列举有没有遗漏或重复，进一步体会“有序”列举的重要性。

教学应该引导学生注意列举从哪里开始，按怎样的次序进行，感受这里“从大到小”“从小到大”列举的好处。

教学还要引导学生注意列举到哪里结束，这里只要找到“长6米”“宽5米”就够了，如果再列举下去就重复了。

从摆小棒列举到填表列举，动手的成分少了，动脑的成分多了。

从没有表格的列举到填表列举，有序性加强了。

这个环节的教学要处理好摆小棒到填表的过渡，从无序列举到有序列举的改进，激发并利用学生的优化愿望，提升数学思考的水平。

3. 回顾列举过程，反思相关活动。

例1的教学不能满足于获得问题的答案，还要继续提炼解决问题的策略。

教材要求学生说说自己的体会，引导他们回顾解决问题的过程与做法，感悟其中的数学思想和数学方法。

这是例题不可缺少的教学环节，也是学生把自己的学习活动作为认识对象的元认知活动。

如果不经历这个环节，不反省自己的学习活动，就很难形成解决问题的策略。

这里的回顾与反思，可以先是相当具体的，包括怎样想、怎样算的，采用了什么形式，进行了哪些活动，小棒是怎样有条理地摆的，表格是怎样有序地填的……然后比较概括地理解自己所开展的活动是一一列举，这是解决问题的有效方法，并深刻体会“有序”“不重复”“不遗漏”都是列举的要领。

4. 回忆曾经进行过的列举，丰富对列举活动的感受。

对个体来说，策略不是无本之木、无源之水，更不是天降之物，总要在自己已有的经验上萌发。

可以说，已有的经验越是丰富，形成的策略越是厚实。

列举策略虽然在本单元内教学，但学生早就进行过许多类似的活动，尽管那时他们还不知道“列举”这个词语，还不意识自己在一一列举。

例题要求学生回顾曾经运用列举策略解决过的问题，使他们对列举策略有更多的体验，有更深的感情。

应该说学生曾经进行过许多列举活动，教科书里几个小卡通的交流仅是其中的一小部分。

10的分与合是一年级教学的，3张数字卡片排出三位数是二年级教学的，12个相同的正方形拼成长方形是三年级教学的。

教材希望这些例子引起对以往数学学习的回忆，让学生说出更多应用列举方法解决问题的实例，从大量的实例中体会列举有利于解决问题，是解决问题的常用策略。

（二）主动应用列举策略，灵活开展列举活动，进一步体验列举的方法列举作为一种策略，在解决问题时的具体应用，不仅是表格列举，而且还应是灵活多样的。

在学生初步学会表格列举以后，引导他们学习一些其他的列举形式，能使列举活动更加方便、更加有效。

学生掌握列举策略通常表现为：联系实例知道什么是列举，会主动采用列举的方法解决具体的问题，并且具有一些列举的技巧。

他们在例1里初步认识了列举，在例2里将要主动利用列举解决新的问题，体验列举的作用与价值，积累更多列举的经验。

教材为例2预设的教学线索是：创设需要列举的问题情境——学生自主选择列举形式开展列举活动——交流各人的列举形式、过程、结果和经验。

1. 由实际问题引发列举活动。

列举是解决问题的一种策略，应该由实际问题引发出来。

例2的情境里有4支足球队，每两队比赛一场，求一共要比赛多少场。

学生会对这个问题产生兴趣，并且能主动选择列举策略解决它。

他们选择列举一般有两个原因：一是例1学习的影响。

之前已经用列举的方法解答了例1和“练一练”里的两个问题，这些列举的心向会影响新问题的解决，从而在新的问题情境里首先想到列举。

二是例2的问题情境提供的启示。

学生会感到解决这个问题不一定列式计算，“排一排”可能是解决这个问题的方法，从而选择列举策略，尝试开展列举活动。

教学时，要通过“读”题和“说”题进入问题情境，弄清楚“每两支球队之间比赛一场”的意思，这是引发列举策略的关键。

2. 学生自主开展列举活动。

在确定采用列举方法解决例2以后，教材鼓励学生自主开展列举活动。

例1的列举只要有序地排出长方形花圃长的米数，就能算出宽的米数和面积的平方米数，在表格里进行比较方便。

例2的列举稍复杂些，如果仍然在表格里列举，无论是设计表格还是使用表格都不太容易。

因此，学生会想出一些别的列举形式。

如“萝卜”卡通的“排排——写写”，“番茄”卡通的“连连——数数”等都是学生能够想到和使用的列举方法。

除了这些形式，学生中还可能有其他方法，只要能方便地表达“每两支球队之间比赛一场”这个规定，能够清楚地看出一共比赛的场数，都是可以使用的列举形式。

列举应该有序地进行，必须做到不重复、不遗漏。

所以，“萝卜”卡通先列举红队要进行的比赛，再列举黄队要进行的比赛，然后列举绿队要进行的比赛。

采用这种列举形式，应该弄清楚为什么红队列举3场，黄队列举2场，绿队列举1场，蓝队不列举的原因。

相应地，“番茄”卡通的列举也应该先表示出红队比赛的场次，再表示出黄队比赛的场次，最后表示出绿队比赛的场次，也应该弄清楚与“萝卜”卡通列举时同样的问题。

3. 交流列举的方法和体会。

例题鼓励学生自主设计列举活动的形式，课堂教学就有交流的资源。

组织学生交流要注意两点：第一，既要交流列举的各种形式，也要体会各种形式的特点，以及哪些形式较为简便。

像“萝卜”卡通那样列举，很有条理，不会遗漏或重复。

像“番茄”卡通那样列举，比较简便，能够较快地得出答案。

第二，要联系例1的列举，注意到解决两道例题所采用的列举形式不同，体会列举的形式应有助于列举活动的开展，也应有利于问题的解决。

一定要突出列举必须不遗漏、不重复，否则就不会得到正确的结果。

为此，应该讲究列举的“序”，有次序地列举才能不重复、不遗漏。

列举得出的结果应该及时检验，这是应有的习惯与态度。

检验应着重于列举的方法、过程和结果，看一看列举的方法是不是能够解决问题，查一查列举的过程有没有重复或遗漏，想一想列举的结果是不是符合实际情况。

教材编排的习题，题材相当丰富。

有数与代数领域的问题，有图形与几何领域的问题，有统计与概率领域的问题。

可见，列举策略的应用范围很广，许多问题都可以通过列举得到解决。

采用的列举形式多种多样，开展的列举活动生动活泼，能够调动学生解题的积极性。

如，例2的“练一练”是人际交往方面的问题，“每两人通一次电话”和“每两人互相寄一张贺卡”是不同的。

前者小强和小华两人之间通一次电话就可以了，后者小强要给小华寄一张贺卡、小华也要给小强寄一张贺卡。

把通电话和寄贺卡两种交往方式编在一道题里，让学生体会解决相关问题的列举是不同的。

再如，练习十七第7题在方格纸上涂出轴对称图形，用画图列举比较合适。

学生可以涂出很多个符合要求的图形，在感兴趣的画图活动中，发展想象能力，体会画图也是列举的一种形式。

又如，第12题从四张扑克牌中任意选出两张，和例2四个球队每两队之间比赛一场的数学问题是一样的，也可以采用连线列举的形式，得出扑克牌有6种选法。