MUSIC方法_清华大学《现代信号处理》讲义_-张贤达

Vandermonde矩 阵
j p e j ( m 1) p e 1
方向矩阵
满列秩 1 2 p
1 j1 e j ( m 1)1 e
1 e j2 e j ( m 1)2
H
投影矩阵
PS S S, S
1
S H SS H (称 SS H 为信号子空间)
1
PG G G, G
G H GG H (称 GG H 为噪声子空间)
正交投影矩阵
PS I PS
H S H U U S, G H SS H GG H I G
Σ1 0 2 S, G G 2 I I
即
RxxG 2G
R xx APA I
H 2
RxxG APA G G G
H 2 2
APA G 0
H
G H APA H G 0
A G O (t Rt 0 iff t 0)
改进方法1: (求根MUSIC方法)
基本思想：Pisarenko谐波分解 (不需一维搜索)
a H ( )G 0
j
或
j ( m 1)
G H a( ) 0

T
a( ) 1, e , , e
z e j
p( z ) 1, z, , z
m 1 T

E e(n)e H (n) 2 I
假设3： P E s(n)s H (n) 满秩矩阵（非奇异）
R xx E x(n)x H (n) E A( )s( n) e( n) A( )s( n) e( n)
A( ) E s(n)s H ( n) A H ( ) E e( n)e H ( n) APA H 2 I
信号模型 xk (n) ak (i ) si (n) ek (n), k 1,, m
i 1
p
阵元k上的观测数据
x(n) x1 ( n), , xm ( n)
T
e(n) e1 (n), , em (n)
T
s ( n) s1 (n),, s p (n)
其中 E z (n) 2 w H R xx w
J ( w ) 0 * w
1 wopt R xx a(k )


H H 又 wopt a(k ) 1 a (k )wopt ，代入上式
1 H 1 a ( k )R xx a( k )
w opt
1 R xx a(k ) H 1 a (k )R xx a(k )
1 ( m 1) T 1 p H ( z) 1, z , , z p ( z )
故 p H ( z )GG H p( z) 0 是z和 z 1的多项式， 不方便求根
两边同乘 z m1后，
pH ( z)GG H p( z) 0
z m1pT ( z 1 )GG H p( z) 0
H H
a (i )G 0 (行向量)
H T
a (i )GG a(i ) 0 (标量)
H H
MUSIC空间谱：
噪声子空间方法
1 1 P( ) H H H a ( )GG a( ) a ( ) I SS H a( )
信号子空间方法
P ( ) 取峰值的 p 个 就给出 1 ,, p (需一维搜索)
3. 子空间方法
假设1：对于不同的 i 值，向量 a(i ) 线性独立
假设2：各阵元上复加性噪声具有零均值、相同方差， 且不相关
E e(n) 0
E{e(n)eT (n)} O 令复白噪声分量ei (n) xi (n) jyi (n)，则 E{ei (n)e j (n)} 0, i j E{ei2 (n)} E{xi2 (n)} E{ yi2 (n)} j 2 E{xi (n) yi (n)} 0 (实部和虚部不相关,具有相同方差）
i 1
N 2 1 N 1 N H 2 H 1 H z (n) w x(n) w x(n)x (n) w N n1 N n1 N n1
则
1 min N

n 1
N
2 ˆ w z (n) min w H R xx H x ( n ) x (n) n 1 N
2
加性噪声

2

1 lim N N
2

n 1
N
z (n) w H E x(n)x H (n) w
2
E sk (n)

w
H
a( k )
i 1,i k

p
E si (n)

2
w
H
a(i ) w
2
2
2
H w a( k ) 1 H w a( i ) 0, i k
p span a1 ,, a p close a1 ,, a p j a j , j C j 1
信号子空间： span s1 , , s p span u1 , , u p 噪声子空间： span g1 , , g p span u p 1 , , u m 观测空间： span x(1),, x( N ) span u1,, um
i 2
d
sin i
p个信号
si (n)
si (n)e ji
si (n)e j ( m1)i
信号 si (n)的方向向量，(阵列响应)向量：
a(i ) 1, e
ji
,, e
j ( m 1)i

T
A( ) a(1 ), , a( p )
观测空间 = 信号子空间 + 噪声子空间
特征值分解后，与大特征值对 应 与小特征值对 应
子空间的几何意义：
U S, G
H H H S S S S G H U U H S, G H I H G S G G G
S S I p , GH G Im p , G H S 0 S H G 0
m p p p pm
2 11 2 pp

H

特征值分解：
UH R xx U Σ
U H APA H U 2I Σ
2 I 0 0
R xx 的特征值：
2 2 , i 1, , p ii i 2 i p 1, , m ,
T
A( ) a(1 ),, a( p )
( m p)
阵列信号处理的数学模型：
x(n) A( )s(n) e(n)
N个快拍
阵列信号处理的问题：已知数据向量 x(1),, x( N ) ，求空 间参数 1,, p 波达方向
2. 最优波束形成器 DOA估计：波束形成器 设计一个滤波器 w1,, wm 抽头(权系数)，
GG I SS I S S, S
H H
1
S H PS
噪声子空间是信号子空间的正交补，
几何意义：信号子空间和噪声子空间正交
4. MUSIC方法
R xx UΣUH
H
U S G
H S G 2 H I G
Σ1 R xx G UΣU G S, G
波束形成器：
w opt
1 H R xx a (d ) 1 H a(d )R xx a (d )
5. 改进的MUSIC方法
改进方法1：
ˆ ( ) a H ( )Ua P( ) H a ( )GG H a( )
p
ˆ 2 U
i 1
2 i
i
H s s 2 k k
现代信号处理讲义
清华大学自动化系 张贤达
3.5 MUSIC方法
1. 阵列信号处理问题 2. 最优波束形成器 3. 子空间方法 4. MUSIC方法 5. 改进的MUSIC方法
3.5 MUSIC方法
MUSIC: Multiple Signal Classification 1. 阵列信号处理问题 (array signal processing) 阵列：多个天线的组合
(波束形成条件) (干扰拒绝条件，零点形成条件)
则 E z (n) 2 E sk (n) 2 2 w 2
H 在 w a(k ) 1 约束条件下，使 E z (n)




2

min
Largange乘子法：
J (w) E z (n)

2
1 w
H
a(k )
Baidu Nhomakorabea
其根 zi e ji 给出DOA估计 i
求根MUSIC方法
1. 由m 1观测数据向量x(1), x(2), , x( N )估计样本 1 N T 相关函数矩阵 R xx x(i )x (i ) N i 1 2. 由R xx的EVD，得到 G [u p 1 , , u m ] 3. 求多项式 z m 1pT ( z 1 )GG H p( z ) 0 的根 zi e ji， 具有最大幅值的 p 个根给出DOA估计，即 1 m =arccos arg( zm ) , m 1, , p kd
2 2 若 ii ，区分大和小的特征值
U 1 , , u p | u p 1 , , u m ] S G [u
信号S 噪声G
子空间：向量组 a1 , , a p 的线性组合的集合，称为 a1 , , a p 张成的空间。
G H a( ) 0
G H p( z) 0 (列向量形式)
标量形式：
p( z ) 1, z, , z
z e j
pH ( z)GG H p( z) 0
m 1 T

* *( m 1) p H ( z) 1, z , , z
z* e j z 1
z (n) wi* xi (n)
i 1 m
加权求和
输出信号 z (n) 只包含 xd (n) —— 期望信号 拒绝其他信号 —— 干扰信号
最小输出能量(MOE: minimum output energy)准则：
1 N

n 1 H
N
z ( n)
2
min
m
z (n) w x(n) w, x(n) wi* xi (n)
最佳滤波器
由Capon提出，称为最小方差无畸变(MVDR)波束形成器
MVDR: minimum variance distortionless response 关键：求
a(k ) k
1 P(k ) H 1 a (k )R xx a( k )
空间谱：
最大幅值对应的 k 即为所求。
1 ˆ 其中 R xx N
1 lim min N N

n 1
N
z (n) min w H R xx w
2
x(n) A( )s(n) e(n) a(k ) sk (n)
i 1,i k
a( )s (n) e(n)
i i
P
期望信号
E z ( n)
干扰信号
每个天线——阵元：天线、传感器
假设：⑴窄带信号 si (n) ：点信源 ⑵远场(far field)：波前——平面波
波达方向 i (DOA: direction of arrival)：入射线与法线 之间的夹角，可以有正有负
——波长
d 2 (半波长条件)：若不满足该条件，会出现DOA估 计的模糊
结论： ⑴ 基本MUSIC方法和求根MUSIC具有相同的 统计特性(大样本) ⑵在小样本情况下，求根MUSIC的估计精度明 显优于基本MUSIC方法
习 题
题3.13 (Prony方法),题3.15 (最优波束形成器) MUSIC和求根MUSIC习题: