《结构动力学》论文
结构动力学克拉夫
结构动力学克拉夫结构动力学是一门研究结构受力、振动和变形的学科。
它是结构力学的一个重要分支，主要研究结构的静力学和动力学行为。
结构动力学的研究可以帮助工程师设计和分析结构的稳定性，预测结构的振动响应，以及提高结构的动力性能。
结构动力学的研究对象是各种类型的结构体系，包括建筑物、桥梁、塔类结构、航空航天器、汽车等。
这些结构在使用过程中会受到各种外部荷载的作用，会发生变形和振动，甚至会发生破坏。
因此，必须通过结构动力学的研究来评估结构的受力情况，以便保证结构的安全和可靠性。
结构动力学的理论基础是力学、振动学和数学分析等。
力学用来描述结构的受力情况，振动学用来描述结构的振动响应，而数学分析则是结构动力学理论的基本工具。
在结构动力学的研究中，常用的数学方法包括牛顿第二定律、拉格朗日方程、哈密顿原理等。
在结构动力学的研究中，需要对结构的质量、刚度和阻尼进行建模。
质量是指结构对外界力的响应情况，通常可以用结构的质量矩阵来描述；刚度是指结构对位移的响应情况，通常可以用结构的刚度矩阵来描述；阻尼是指结构损耗能量的能力，通常可以用结构的阻尼矩阵来描述。
通过对这些参数的建模，可以得到结构的动力学方程。
结构动力学的研究包括两个主要方面：一是结构的自由振动，即结构在没有外界荷载作用下的振动行为；二是结构的强迫振动，即结构在受到外界荷载作用下的振动行为。
通过对这两方面的研究，可以得到结构的振动特性和响应情况。
总的来说，结构动力学是一门重要的学科，它通过对结构受力、振动和变形的研究，可以帮助工程师设计和分析各种类型的结构体系。
同时，结构动力学也为其他学科的研究提供了基础和支持，促进了工程技术的发展和进步。
机械工程中的结构动力学研究
机械工程中的结构动力学研究机械工程在现代工业中起着重要的作用，而结构动力学是机械工程领域中的一个重要研究方向。
结构动力学涉及到结构物在受力条件下的运动规律，包括振动、冲击和动载荷等方面的研究。
本文将从悬挂系统、振动与稳定性、动载荷研究以及结构动力学与设计优化等几个方面论述机械工程中的结构动力学研究。
悬挂系统是机械工程中常见的应用之一，在汽车和铁路车辆中都有广泛的应用。
悬挂系统的目的是减少车辆在行驶过程中受到的冲击和振动，提高行驶的平稳性和乘坐的舒适性。
对于悬挂系统的优化设计，结构动力学研究起到了重要的作用。
通过研究车辆行驶时的振动模态及其频率，可以确定合适的悬挂系统参数，使得车辆在行驶时能够达到最佳的平衡状态。
振动与稳定性是结构动力学研究的核心内容之一。
在机械工程中，许多结构物都会在使用过程中受到外界的振动激励，因此研究结构物的振动与稳定性对于确保机械设备的正常运行至关重要。
结构物的振动与稳定性包括对结构物自身特性的研究以及对外界激励所引起的共振问题的研究。
通过研究结构物的振动特性，可以确定结构的固有频率和振动模态，从而为结构的设计和优化提供依据。
动载荷是机械工程中常见的另一个研究方向。
在机械设备的使用过程中，往往会受到动态载荷的作用，如风载荷、地震载荷和运动载荷等。
这些动载荷会对结构物产生影响，导致结构的振动和破坏。
因此，研究动载荷对结构物的影响及其传递规律是非常重要的。
通过研究动载荷的特性和传递规律，可以对结构物进行合理的设计和优化，提高其抗震和抗风能力。
结构动力学与设计优化是机械工程中的一个前沿研究领域。
在传统的结构设计中，通常采用一种固定的参数和结构形式，这种设计方法不够灵活和高效。
而结构动力学研究为优化设计提供了新的思路和方法。
通过结构动力学的分析，可以找到结构物的瓶颈和薄弱环节，并通过优化设计的手段来提高结构物的性能和可靠性。
通过结构动力学的研究，可以使结构物在使用过程中更加安全、稳定和经济。
结构动力学中的特征值反问题
南京航空航天大学博士学位论文结构动力学中的特征值反问题姓名：***申请学位级别：博士专业：一般力学与力学基础指导教师：***20060601南京航空航天大学博士学位论文摘要本文研究了结构动力学中的特征值反问题，包括弹簧-质点系统振动反问题、离散梁振动反问题、阻尼振动系统的振动反问题以及振动杆结构探伤问题。
全文主要包括以下内容：首先，研究了弹簧-质点系统的振动反问题。
对二自由度简单连接度弹簧-质点系统分别通过加刚性约束、弹性约束和质量摄动得到修改系统，研究了利用原系统和修改系统的两组特征值（频率）和修改量识别系统的物理参数问题，给出了解的表达式。
对于多自由度简单连接度弹簧-质点系统，研究了增容修改系统的频率反问题。
提出了由多自由度简单连接弹簧-质点系统的四个和五个特征对（频率和模态）识别系统物理参数的振动反问题，分别研究了解的存在性，给出了解的表达式、相应算法和算例。
提出并研究了一类混合连接弹簧-质点系统的振动反问题，提出了利用三个特征对（频率和模态）以及部分系统物理参数识别系统其它物理参数的振动反问题，研究了解的存在性，给出了解的表达式、相应算法和模型算例。
其次，研究了有限差分离散梁振动反问题，利用有限差分法得到振动梁的弹簧-质点-刚杆模型，质量矩阵为对角矩阵而刚度矩阵为对称五对角矩阵。
提出了基于三个特征对的频率模态反问题，研究了解的存在性，给出了解存在惟一的充要条件和解的表达式、数值算法和算例。
再次，研究了阻尼振动系统中的二次特征值反问题。
研究了阻尼弹簧-质点系统的物理参数识别，包括：由全部频率信息模态识别阻尼振动系统的结构物理参数；由部分频率模态信息识别比例阻尼振动系统的结构物理参数；由两对频率模态信息识别比例阻尼振动系统的结构物理参数；由频率模态信息识别非比例阻尼振动系统的结构物理参数。
对每种提法分别研究了问题解的存在性，给出了数值算法，并对每种问题给出了阻尼振动模型算例。
最后，研究了振动杆结构探伤的特征值反问题。
关于主振型正交性的思考-3页文档资料
《结构动力学》小论文关于多自由度体系主振型正交性的几点思考姓 名：×× 学 号：U2009158×× 专业班级: 土木工程0905班 指导老师：龙晓鸿完成时间：2012年3月21日 关于多自由度体系主振型正交性的几点思考教材中对于多自由度体系主振型的正交性证明过程中，经过简单的变形之后，得到下式：和不同频率相应的主振型相对于质量矩阵M 来说，是彼此正交的： 以及不同频率相应的主振型相对于刚度矩阵M 来说，是彼此正交的： 上述得到式①和式②的前提都是在不同频率k l ωω≠下，那么我们有必要讨论一下，当k l ωω=时，主振型还是否能保持这种正交性。
一、 在重频()k l ωω=情况下主振型的正交性在重频情况下，一般来说是不正交的，但由于之间是线性独立的，那么，可以通过一些正交化手段和线性组合的方式，来找到使式①及式②成立的向量。
设多自由度体系有多个相同频率，且假设为12ωω=，则计算对应的阵型时，由方程组可以令1,2,,i n =L ，可得出n 个向量方程，其中有两个是不独立的。
我们不妨将最后两个方程去掉，同时将方程中与对应的振型向量()i Y 的最后两个元素1,n n y y -有关的项移动到方程的右边化作：22221111111,211,221,111,111,11,2222,11,11,21,22,11,11,1,()()()() ()()()() n n n n n n n n n i i i n i n n i n i n n i n i n n k m y k m y k m y k m y k m y k m y k m y k m y ωωωωωωωω-------------++-=-----++-=----L L L 2222,112,112,212,222,112,1122,12, ()()() ()n n n n n n n n n n n n n n n n nk m y k m y k m y k m y ωωωω--------------⎫⎬-++-=----L L ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭④任意给定1,n n y y -两组线性独立的值()()111,n n y y -和()()221,n n y y -，例如可令对于给定的以上两组值，从方程组④解出其余2n -个()1,2,,2j y j n =-L的两组解，分别记作()1j y 和()2j y ，与⑤组合为第一主振型和第二主振型此组合的第一主振型和第二主振型显然不是唯一的，为保证它们之间满足正交性条件，将()2Y 改为(2)(1)Y cY +也是方程④的解，c 由以下正交性条件确定解出待定系数c从而得到相互独立且正交的第一主振型和第二主振型。
浅谈对结构动力学的认识
浅谈对结构动力学的认识摘要：简单地讲述了对结构动力学的整体认识，介绍了结构动力学的发展历程，结构动力问题的几大特点，结构动力问题的分类，结构系统的动力自由度及其离散方法（包括集中质量法、广义坐标法和有限单元法），建立运动方程的方法（包括利用达朗贝尔(d'Alermbert)原理的直接平衡法，虚位移原理建立振动方程，哈密顿(Hamilton)原理建立振动方程）。
关键词：结构动力学；质量；阻尼；运动方程On understanding of structure dynamics Abstract: This paper simply tells the overall understanding of structure dynamics, and introduces the development course of structure dynamics, a few big characteristics of structure dynamic problem , the classification of structure dynamic problem, the structure of the system and its dynamic freedom discrete method (including focus on quality method, generalized coordinates method and finite element method), the method for establishing the equations of motion (including the use of d'Alermbert principle direct balance method, vibration equation with imaginary displacement principle, establish vibration equation with Hamilton principle).Key words: structure dynamics; quality; damping; equations of motion1结构动力学发展简介结构动力学是研究结构体系的动力特性，及其在动力荷载作用下动力响应分析原理和方法的一门技术学科。
机械工程中的结构动力学研究
机械工程中的结构动力学研究导言在机械工程领域中，结构动力学是一个重要的研究方向。
它关注机械系统的振动特性、材料的力学性质以及结构的稳定性等问题。
本文将以机械工程中的结构动力学研究为主题，探讨其在工程实践中的应用和发展。
I. 振动特性的研究振动是机械系统中普遍存在的现象，而振动特性的研究可以帮助工程师更好地设计和优化机械结构。
结构动力学的一项重要任务就是研究机械系统的自由振动频率和模态形式。
首先，自由振动频率是指系统在没有外力作用下自发振动的频率。
通过对结构的材料特性、几何形状和边界条件等进行分析和计算，可以得到这些自由振动频率。
在设计过程中，了解自由振动频率有助于预测系统的固有频率，避免共振现象的发生。
其次，模态形式是指机械结构在自由振动过程中不同部位的振幅和相位差。
通过模态分析，工程师可以获得系统各个特征振动模态的振型、频率和耦合情况，从而判断结构的稳定性和振动特性。
模态分析多用于设计工程师考虑结构的可靠性和舒适性。
II. 力学性质的研究除了研究振动特性外，结构动力学还关注材料的力学性质。
在机械工程中，材料的力学性质包括弹性模量、屈服强度、韧性等等。
这些性质对于工程设计和结构分析至关重要。
首先，弹性模量是指材料在受力时发生弹性变形的能力。
在工程实践中，工程师需要选择合适的材料以满足设计要求。
弹性模量的研究可以帮助工程师了解材料的强度和刚度，从而选择合适的材料。
其次，屈服强度是指材料在受力时发生塑性变形的最大应力。
在机械工程中，要确保结构在使用过程中不发生塑性变形或断裂，因此需要了解材料的屈服强度。
力学性质的研究可以帮助工程师预测结构在不同载荷下的变形和破坏情况。
III. 结构稳定性的研究结构稳定性是指机械系统在受到外力作用后不发生失稳和破坏的能力。
在机械工程中，结构的稳定性是一个重要的设计指标。
通过结构动力学的研究，工程师可以评估和优化机械结构的稳定性。
一种常用的分析方法是杆件的整体弯曲稳定性分析。
结构动力学读书报告(张子明)
图1
简支梁
5
1.2.3 有限单元法
将实际结构用有限个在结点处相互连接的单元所组成的离散系 统代替，对每个单元给定插值函数，然后叠加单元在各个相应结点的 贡献建立系统的求解方程。 有限单元法根据基本未知量选取的不同可 分为，位移有限元法、应力有限元法和兼有应力、位移未知量的混合 有限元法。其中，以位移有限元法应用最为广泛。 上述三种结构的简化方法以集中质量法较为简便实用， 广义位移 法需要选择满足位移边界条件的函数族，故它仅适用于简单结构。有 限单元法适用于各种复杂结构，因而，在求解工程结构动力问题中应 用广泛。
1.2 弹性系统的动力自由度
结构系统的动力计算和静力计算一样，也需要选择计算简图。因 为要考虑质量的惯性力，所以必须明确结构的质量分布情况，并分析 结构可能产生的位移。在结构系统运动的任一时刻，确定其全部质量 位置所需的独立几何参变量的个数， 称为系统的动力自由度 （dynamic freedom）。 实际结构的质量都是连续分布的，因此，它们都是无限自由度系 统。对于无限自由度系统的动力计算，只有一些很简单的情况能给出 解答，而且计算复杂。为了简化计算，通常采用下列方法将实际结构 简化为有限自由度系统。
③
这道题目，采用直接平衡法很容易就能列出运动方程，如果采用 虚位移列平衡方程的话，过程就会及其复杂。 这里需要注意的是：J 是对形心的转动惯量，J 2 0 2 r 2
J
l
m d r ，则 l
ml 2 ，所以就可以 ，而 ；惯性矩 M J [2]；因为 v r ， a v 12 v r a r Y Y ，则 M J 。还需要注意的一点就是：材料力 r 3l
2.运动方程式的建立
建立运动方程一般有以下三种方法：1.直接平衡法（达朗贝尔原 理）；2.虚位移原理；3.哈密顿原理。以上三种方法中。直接平衡法
结构动力学论文范文
结构动力学论文范文标题：基于结构动力学方法的建筑结构分析研究摘要：本文采用结构动力学方法，对建筑结构进行了分析研究。
首先，通过建筑结构的静力分析，得出了该结构在正常工况下的内力分布。
然后，采用模态分析方法，研究了该结构的固有频率和振型，并对其进行了模态超静定分析。
最后，通过响应谱分析，研究了该结构在地震荷载下的动力响应情况，并进行了结构的抗震性能评估。
研究结果表明，在设计参数满足标准要求的情况下，该建筑结构具有良好的抗震性能。
1.引言建筑结构的分析研究是保障建筑结构安全性的重要手段之一、结构动力学方法是一种常用的分析方法，可以通过分析结构的动力响应，研究结构的抗震性能。
2.静力分析根据建筑结构的几何形状和结构材料的力学性质，可以进行静力分析，得出结构在正常工况下的内力分布。
通过分析结构的内力大小和分布规律，可以判断结构的受力性能是否满足设计要求。
3.模态分析模态分析是研究结构固有频率和振型的一种方法。
通过模态分析，可以得到结构的固有频率和振型，并对其进行模态超静定分析。
模态超静定分析可以帮助优化结构设计，并减小结构的动态响应。
4.响应谱分析响应谱分析是根据结构的动力响应计算其在地震荷载下的最大响应，可以为结构的抗震设计提供基础。
通过响应谱分析，可以分析结构的地震响应特性，如峰值加速度、峰值位移等指标，并评估结构的抗震性能。
5.结果与分析通过静力分析，得出了结构在正常工况下的内力分布情况。
通过模态分析，得到了结构的固有频率和振型，并进行了模态超静定分析。
通过响应谱分析，研究了结构在地震荷载下的动力响应情况，并进行了抗震性能评估。
6.结论本文采用结构动力学方法，对建筑结构进行了分析研究。
研究结果表明，在设计参数满足标准要求的情况下，该建筑结构具有良好的抗震性能。
通过本文的研究，可以为类似建筑结构的设计提供参考。
[1]张三,李四,王五.结构动力学基础[M].北京：科学出版社。
[2]张三,王五.建筑结构分析与设计[M].北京：人民交通出版社。
结构动力学论文
《结构动力学》课程论文任课老师:许凌云专业:水利水电工程姓名:班级:学号:结构动力学在房屋建筑抗震减震隔振中的作用姓名专业中文摘要：结构动力学是一门研究结构在荷载作用下的响应规律的学科。
虽然在短短的几周时间内学习这门课程，但还是了解到结构动力学在水利工程方面的一些应用，在这里浅谈结构动力学在房屋抗震减震隔振中的作用。
关键词：结构动力学，房屋建筑，抗震，减震，隔振正文：结构动力学着重研究结构对于动荷载的响应（如位移、内力、速度、加速度等时间的历程），以便确定结构的承载能力和动力学特性，或为改善结构的性能提供依据。
然而，在房屋抗震减震方面，结构动力学既是抗震设计的基础，又是减震隔振的理论依据。
对于动荷载，如果荷载的大小、方向、和作用点随时间变化，使得质量运动加速度所以起得惯性力与荷载相比大到不可忽视时，则称为动荷载。
如引起基础震动的地震作用，而地震作用引起地面运动通过基础传给上部结构，使之产生惯性力，而此惯性力往往可以达到较高的水平。
地震力是典型的动力作用，在此对结构动力学在房屋建筑抗震、减震、隔振方面的作用做简单分析。
从房屋结构抗震设计的角度对房屋建筑的抗震设计进行了分析探讨,对于进一步提高我国房屋建筑的结构抗震设计水平及其应用水平具有一定借鉴意义.一、建筑结构抗震的前景目前房屋建筑抗震设计中存在的问题：我国房屋建筑的结构材料一直以钢筋混凝土为主。
随着设计思想的不断更新,结构体系日趋多样化,房屋建筑平面布置与竖向体型也越来越复杂,出现了许多超高超限钢筋混凝土建筑,这就给房屋建筑的结构分析与设计提出了更高的要求。
尤其是在抗震设防地区,如何准确地对这些复杂结构体系进行抗震分析以及抗震设计,已成为房屋建筑研究领域的主要课题之一。
近年来,许多科研和软件设计人员对房屋建筑结构进行的大量的分析与研究,目前我国已有多种房屋建筑结构分析设计软件,如中国建筑科学研究院结构所研制的TBSA、TAT、SATWE,清华大学建筑设计研究院研制的TUS,广东省建筑设计研究院研制的广厦CAD等,为房屋建筑的结构分析与抗震设计提供了方便、高效的计算分析手段。
结构动力学论文隔震减震论文
结构动力学论文隔震减震论文摘要：在国内各类建筑蓬勃发展的今天，对建筑的质量要求特别是抗震减震要求越来越高，在进行建筑结构设计时，必须要结合相关的实际，采取科学有效的措施控制好结构地震的反应，进而有效的降低结构的地震内力，从根本上降低地震给建筑结构所带来的破坏，提升建筑物的抗震减震能力，保证建筑物的安全和人民群众的生命财产安全。
一、建筑结构设计的保障在建筑物设计时，只要设防烈度在六度以上的，根据规定必须开展抗震设计，为了达到抗震设防目标，要求建筑物必须具备良好的延伸性、刚度、承载力等多项要求。
延伸性实际上是指在承载力没有发生重大变化时，让建筑主体维持原来的形态，在受力发生变形时可以有一定的舒缓性。
通常来说，延伸性越好，该建筑的抗震能力也越高。
在选择延伸性以及相关的建筑要求以后，就必须借助抗震措施进而提升该建筑的延伸性，进而保证在发生各类地震时满足抗震的要求。
一般来说，要想达到上述要求，首先需要做的就是增大梁柱的抗弯能力，使其在地震来临时，有充分的韧性去应对，从而保证建筑不受地震的影响，始终保持其稳定性，最后保证其安全性。
在进行抗震设计时，抗震计算为建筑抗震设计提供定量计算方式，而良好的构造措施能有效地保障局部薄弱环节和整体性达到抗震计算结构的有效性，而抗震设计包含了三个方面的内容，分别是抗震计算、概念设计、构造措施，这三部分是一个统一的整体，必须全部具备，忽略了任何一个部分都有可能造成抗震设计的失败。
二、结构动力学的特征在结构动力中，通常会伴随时间的推移而变化。
由于反应时间以及荷载发生变化，其动力问题也会随之发生变化，而静力问题则较为单一，是属于恒定的，其解十分单一，必须建立在相应于反应过程全部感兴趣时间的一系列解答；在结构静力学问题和动力学问题中，二者的区别是非常明显的，而特征都是抵抗结构加速度及惯性力。
通常而言，如果惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部外荷载的一个组成部分，那么在考虑问题时，首先需要考虑的问题就是动力特性。
结构动力学傅里叶变换
结构动力学傅里叶变换全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：结构动力学是研究结构在受到外力作用时的变形、振动以及稳定性等问题的学科。
而傅里叶变换则是一种重要的数学工具，可用于分析结构的振动响应并识别结构的固有频率及模态形态。
结构动力学与傅里叶变换的结合，不仅可以帮助工程人员更好地理解结构的动态响应特性，还可以指导设计人员优化结构的设计，提高结构的抗震性能和安全性。
一、结构动力学基础结构动力学是一个复杂的领域，需要掌握一定的数学和物理知识。
结构动力学主要涉及结构的振动、变形和稳定性等问题。
结构在受到外力作用时会发生振动，其振动特性取决于结构的固有频率、质量、刚度和阻尼等因素。
结构动力学的研究对象包括建筑、桥梁、船舶、飞机等各种工程结构。
结构动力学的研究方法包括模态分析、频域分析、时域分析和模态综合等。
模态分析是一种常用的方法，通过对结构进行模态分解，可以得到结构的固有频率和模态形态。
频域分析则是利用傅里叶变换将结构的时域响应转换为频域响应，可以进一步分析结构的频域特性。
二、傅里叶变换原理傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，可以将一个信号分解为不同频率的正弦和余弦波形成的谱。
傅里叶变换在处理各种信号和振动问题中得到广泛应用，而在结构动力学中，傅里叶变换可以用于分析结构的振动响应和识别结构的固有频率及模态形态。
傅里叶变换的基本原理是将时域函数f(t)分解为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合，其数学表达式为：F(ω)=∫f(t)e^(-jωt)dtF(ω)为频率为ω的谱，f(t)为时域函数，e^(-jωt)为复指数函数。
三、结构动力学中的傅里叶变换应用结构动力学中常用的傅里叶变换方法包括离散傅里叶变换(DFT)和快速傅里叶变换(FFT)。
DFT是将一个有限长度的时域信号分解为不同频率的正弦和余弦波的线性组合，而FFT则是一种高效的计算DFT的快速算法，可以在计算上更快速地得到频域响应。
第二篇示例：结构动力学是一个研究结构在受到外部力作用时的振动和变形特性的学科。
结构动力学论文
结构动力学论文土木09…………………………1 引言结构动力学，作为一门课程也可称作机械振动，广泛地应用于工程领域的各个学科，诸如航天工程，航空工程，机械工程，能源工程，动力工程，交通工程，土木工程，工程力学等等。
作为固体力学的一门主要分支学科，结构动力学起源于经典牛顿力学，就是牛顿质点力学。
质点力学的基本问题是用牛顿第二定律来建立公式的。
此后另一个重要的发展时期，是与约翰·伯努利，欧拉，达朗贝和拉格朗日等人的名字分不开的。
1788年，即牛顿的《自然哲学的数学原理》问世一百年后，拉格朗日在总结了这一时期的成果之后，发表了《分析力学》，为分析动力学奠定了基础，其主要内容就是今天的拉格朗日力学。
经典力学分析方法随后的发展主要归功于泊桑，哈密尔顿，雅克比，高斯等人。
他们提出新的观念，而这些观念却和哈密尔顿联系在一起，因为质点力学中的基本问题，在这里是用哈密尔顿正则方程来表达的，力学的这一个分支如今称为哈密尔顿力学。
也可以这样认为，牛顿质点力学，拉格朗日力学和哈密尔顿力学是结构动力学基本理论体系组成的三大支柱。
经典动力学的理论体系早在19世纪中叶就已建立，迄今已有150余年的历史。
但和弹性力学类似，理论体系虽早已建立，但由于数学求解上的异常困难，能够用来解析求解的实际问题实在是少之又少，能够通过手算完成的也不过仅仅限于几个自由度的结构动力体系。
因此，在很长一段时间内，动力学的求解思想在工程实际中并未得到很好的应用，人们依然习惯于在静力学的范畴内用静力学的方法来解决工程实际问题。
随着汽车，飞机等新时代交通工具的出现，后工业革命时代各种大型机械的创造发明，以及越来越多的摩天大楼的拔地而起，工程界日新月异的发展和变化对工程师们提出了越来越高的要求，传统的只考虑静力荷载的设计理念和设计方法显然已经跟不上时代的要求了。
也正是从这个时候起，结构动力学作为一门学科，也开始受到工程界越来越高的重视，从而带动了结构动力学的快速发展。
结构力学结课论文：结构动力学振动理论在建筑结构抗震中的应用研究.doc
结构动力学振动理论在建筑结构抗震中的应用研究摘要:随着社会的不断发展，抗震功能在建筑结构设计中的要求日益提高。
通过结构动力学振动理论的研究应用，抗震技术得到了很大发展。
本文将运用单自由度无阻尼和有阻尼受迫振动的理论知识，通过对动力学中的结构动力特性、建筑结构设计中的抗震功能的分析，简要介绍装有粘弹性阻尼器的单自由度体系的应用实例。
关键词:建筑结构抗震结构动力学振动理论单自由度体系简谐荷载一、综述随着社会的不断向前发展，建筑结构形式日益多样化，结构设计中对于抗震功能的要求也越来越高。
与此同时，各门学科的交叉发展使得建筑结构抗震技术的运用走上了一个新的阶段。
传统的结构抗震设计不仅仅使得结构的造价大大增加，而且由于地震的不确定性而往往难以达到预期效果。
通过运用动力学的相关知识来分析隔震减震装置在地震作用下的反应可以发现，自振振动在结构的地震反应中经常占有主导地位，不能够忽略。
那么运用动力学理论分析，找到结构反应的最大控制量，通过改进材料的性能参数，就能够使用最合适的材料来制造隔震减震装置，提高装置的使用效能，这样就有希望把被动控制技术推向一个新高度。
二、单自由度无阻尼受迫振动当体系上作用的外荷载为简谐荷载，同时忽略体系的阻尼，单自由度体系的运动方程为：式中：p0为简谐荷载的幅值；为简谐荷载的圆频率。
体系的初始条件为：该方程的解为：解的第一部分为结构的自振频率振动的部分，即伴生自由频率的振幅，记为：其中，为自振频率的振幅：解的第二部分为激振频率振动的部分，即稳态动部分，记为：其中，为自振频率的振幅：解的第二部分为激振频率振动的部分，即稳态动部分，记为：其中：为激振频率振幅：比较两部分振动的振幅得到：由上面的式子可以看出，结构自振的振幅与稳态振动部分的振幅的比值是成反比例的。
当1θω≥时，按自振频率部分的振幅大于按荷载频率的部分的振幅，尤其是当1θω>时，自振部分在结构反应中将占相当重要的部分。
三、单自由度有阻尼受迫振动在简谐荷载作用下，单自由度体系的运动方程和初始条件为：该方程解为：式中：,解的第一部分为自振频率振动部分，记为：其中，解的第二部分为荷载频率振动的部分，即激振频率振动的部分：比较两部分的振幅可以得到：在一般情况下,我们注重的是分析稳态反应项，但是在这里应当注意，可能出现在反应的初始阶段瞬态，反应项远远大于稳态反应项，从而成为结构反应的最大控制量。
“结构动力学”课程教学探讨
“结构动力学”课程教学探讨摘要：针对“结构动力学”难教难学的现象，结合教学实践，寻求课堂教学改革与提高学生能力的突破口，探讨提高“结构动力学”课堂教学效果的最佳途径。
指出备好课是上好课的前提条件。
传统教学手段和多媒体教学相结合是培养学生学习兴趣，促进教与学矛盾双方转化的有效途径。
启发式教学方法和工程实例法是培养学生分析问题、解决实际问题能力的重要手段。
关键词：结构动力学；教学实践；教学方法；综合能力“结构动力学”是一门技术性很强的专业基础课程，涉及数学建模、演绎、计算方法、测试技术和数值模拟等多个研究领域，具有鲜明的工程与应用背景[1]。
绝大多数学生对这门课有一个共同的感觉：公式多而冗长、计算难而复杂、求解繁琐、涉及面广、不易理解。
不少学生反映看书时经常理不清思路、做习题大多无从下手、复习时往往找不到重点。
面对这些问题，提高教学效果，进一步激发学生的学习热情，加强学生分析问题、解决问题能力的培养，显得尤为重要。
基于此，笔者结合教学实践，对如何提高“结构动力学”课堂教学效果，谈谈一些教学体会和思考。
一、认真备课，提高教师驾驭教学内容的能力备好课的前提条件是选择好一本合适的教材。
目前，“结构动力学”教材可谓是五花八门，良莠不齐。
一些高校选择的“结构动力学”教材，本科生、硕士生共用甚至博士生也在用，教学效果不尽理想。
所以，选择一本好的教材非常重要。
笔者结合中国矿业大学土木工程专业和学生实际情况，选择了由徐赵东编写、科学出版社出版的“结构动力学”。
此教材内容相对较为简单且实用性较强，是一本非常适合本科生使用的教材。
备好课的第二步是应该认真通读教材，并查阅有关参考书及文献资料，优化教学内容，突出授课重点。
经过分析，明确本门课程在培养学生中的地位：课程的基本要求是什么，提高要求又是什么，哪些是重点，通过课程培养学生哪些能力，通过什么环节和手段，课程教学提高学生哪些方面的素质等等。
此外还要了解先修课程、后续课程及学生情况。
基于结构动力学的转子系统稳定性研究
基于结构动力学的转子系统稳定性研究转子系统是机械工程中一种重要的系统，广泛应用于涡轮机、风力发电机、轴承等领域。
转子系统的稳定性对系统的可靠性和工作效率有着重要的影响。
随着工程领域的发展，研究转子系统的稳定性成为了一个热点问题。
本文将从结构动力学的角度，探讨转子系统的稳定性研究。
结构动力学是一门研究结构物在外力作用下的动力响应和内部力学特性的学科。
转子系统作为一种非常特殊的结构物，受到多种力的影响，如重力、离心力、惯性力等。
这些力的作用下，转子系统的响应特性和振动特性发生变化，影响了系统的稳定性。
因此，研究转子系统的结构动力学问题是很有必要的。
转子系统受到外力干扰时，会出现各种形式的振动，如旋转振动、激振振动、不稳定振动等。
不同的振动模式对于转子系统的稳定性有着不同的影响。
通常情况下，旋转振动和激振振动是合理的振动模式，而不稳定振动则是不合理的振动模式。
旋转振动是指转子系统在转速作用下出现的振动。
在旋转振动的情况下，振动是沿着旋转轴的方向，振动频率与旋转速率相同，是合理的振动模式。
对于稳定的转子系统来说，旋转振动的幅值应该尽可能小，以保证系统的稳定性。
激振振动是指转子系统在外力作用下出现的振动。
在激振振动的情况下，振动频率为外力的频率，振动幅值与外力的幅值有关。
通过分析外力和转子系统的耦合关系，可以确定激振振动的幅值及其对系统稳定性的影响。
通常来说，在激振频率小于临界频率时，激振振动对于稳定的转子系统来说是合理的。
但是，如果激振频率大于临界频率，则会导致系统不稳定。
不稳定振动是转子系统的一种不良状态，是指系统在某些特定条件下，出现的无限增长的振动。
不稳定振动会对系统的稳定性产生严重的影响，可能导致系统破坏。
通过分析系统的结构动力学特性，可以确定系统的临界振动频率和临界转速，从而避免不稳定振动的发生。
除了振动特性外，转子系统的稳定性还受到结构特性、控制特性等多种因素的影响。
为了保证转子系统的稳定性，需要综合考虑各种影响因素，并采取相应的控制策略。
浅谈对结构动力学的认识
浅谈对结构动力学的认识摘要：简单地讲述了对结构动力学的整体认识，介绍了结构动力学的发展历程，结构动力问题的几大特点，结构动力问题的分类，结构系统的动力自由度及其离散方法（包括集中质量法、广义坐标法和有限单元法），建立运动方程的方法（包括利用达朗贝尔(d'Alermbert)原理的直接平衡法，虚位移原理建立振动方程，哈密顿(Hamilton)原理建立振动方程）。
关键词：结构动力学；质量；阻尼；运动方程On understanding of structure dynamics Abstract: This paper simply tells the overall understanding of structure dynamics, and introduces the development course of structure dynamics, a few big characteristics of structure dynamic problem , the classification of structure dynamic problem, the structure of the system and its dynamic freedom discrete method (including focus on quality method, generalized coordinates method and finite element method), the method for establishing the equations of motion (including the use of d'Alermbert principle direct balance method, vibration equation with imaginary displacement principle, establish vibration equation with Hamilton principle).Key words: structure dynamics; quality; damping; equations of motion1结构动力学发展简介结构动力学是研究结构体系的动力特性，及其在动力荷载作用下动力响应分析原理和方法的一门技术学科。
《结构动力学》论文
《结构动力学》论文结构动力学是研究结构在地震等外部激励下的动力响应和稳定性的一个重要领域。
随着近年来地震的频率和强度的增加，结构抗震性能的研究变得尤为重要。
本文将探讨一些与结构动力学相关的研究内容，包括结构动力学的基本原理、动力响应的计算方法以及结构抗震设计的最新进展。
首先，结构动力学的基本原理是通过力学和振动理论来研究结构在地震等外部激励下的动力响应。
通过建立结构的数学模型，可以进行动力计算和分析，从而得到结构的振动特性和响应情况。
结构动力学主要包括结构的固有频率和振型计算、结构的动力方程建立以及结构的稳定性分析等内容。
其次，结构的动力响应可以通过数值计算的方法得到。
其中，最常用的方法是有限元法。
有限元法将结构离散为许多小单元，通过求解结构的运动方程，可以得到结构在地震激励下的动力响应。
此外，还可以利用频谱分析的方法来对结构的动力响应进行预测和分析。
频谱分析可以通过地震波的频谱特性来得到结构的响应谱，从而评估结构在不同频率激励下的响应情况。
最后，结构抗震设计是结构动力学领域的一个关键问题。
为了提高结构的抗震能力，不仅要考虑结构的强度和刚度，还要考虑结构的耗能能力和减震措施。
目前，随着材料科学和结构设计技术的不断发展，出现了许多新型的抗震结构系统和减震设备，如基础隔震系统、阻尼器等。
这些新技术和设备的应用可以显著提高结构的抗震能力，减小结构的动力响应。
综上所述，结构动力学是一个涉及力学、振动理论和地震学等多学科的交叉领域。
通过研究结构的动力响应和稳定性，可以为结构的抗震设计和工程实践提供理论依据和技术支持。
希望本文对读者对结构动力学的了解有所帮助。
结构动力学论文
结构动力学论文经过一学期的学习，首先对结构动力学在建筑结构中的抗震做如下分析：1 动力学中的结构动力特性(1)结构动力特性与结构的刚度及结构的质量有关。
结构动力学在建筑结构中反映抗震性质的微分方程: y = C1 cos wt +C2 sin wt，其中的系数1 C 和2 C 可以根据初始条件确定。
(2)采用一种能够处理重复变换加载的三维有限元方法分析钢筋混凝土柱在地震荷载作用下的非线性特性。
钢筋混凝土墙—框架体系的非弹性地震反应，主要考虑连续变化的轴向力和挠曲的相互作用以及剪切变形的影响，并且轴向力的变化对动力反应影响显著，而剪切变形影响不大。
分析钢框架建筑的非弹性地震反应，发现柱的轴向塑性变形在一个方向积累，会导致水平位移增加，加剧p—△效应。
轴向力将减小挠曲为主的振型的自振频率，并将增大大多数拉伸振型的自振频率。
采用离散变量的方法，将整个体系加以处理，用拉格朗日方程进行分析，便于考虑结构的空间特性。
2 建筑结构的定义及设计优化建筑结构是在建筑中，由若干构件，即组成结构的单元如梁、板、柱等，连接而构成的能承受作用的平面或空间体系。
建筑结构因所用的建筑材料不同，可分为混凝土结构、砌体结构、钢结构、轻型钢结构、木结构和组合结构等。
结构设计形状优化是通过调整结构内外边界形状来改善结构的动力学性能和达到节省材料的目的。
结构设计形状优化从对象上区分,主要有桁架框架类的杆系结构和块体、板、壳类的连续体结构。
在进行优化设计时考虑剪切变形、柱的轴向变形、不等截面等多因素，并近似考虑P—△效应，导出楼层转换矩阵，通过连乘运算，可得顶层与底层之间的矩阵关系式，于是便于求解振动问题。
同时考虑柱和非正交楼板梁的特性，可求得柱的主位移方向和主侧移刚度。
3 结构动力学中动力的安全性随着经济的发展，城市现代化改造步伐的加快，高层建筑的快速发展，在城市进行拆除工作越来越普遍。
拆除爆破在获得巨大的经济效益的同时，也会产生一系列的负面效应，诸如震动效应、空气冲击波效应、爆破飞石、噪声、有害气体等，这些效应会对周围建筑物或居民造成危害。
结构动力学论文
探讨瑞利法求出的基本频率略大于其精确值的原因前言：从微分方程出发，研究弹性体的振动，除了一些简单情况以外，要精确求解往往是不可能的，而工程中遇到的实际结构总是比较复杂的，因此近似解法占有重要地位。
目前我们学习了三种近似求解法：瑞利能量法、集中质量法、矩阵迭代法。
但是通过笔者做作业时发现运用瑞利能量法求出近似结果尽管精度较高，但是总是略高于精确值。
这是为什么呢？笔者通过查阅资料并思考学习出了其中原因。
1.瑞利法简介：（1）瑞利能量法出发点(依据)瑞利法的出发点是能量守恒原理，即一个无阻尼的弹性体系自由振动时，它在任一时刻的总能量(应变能U 与动能T 之和)应当保持不变，即机械能=应变能(U )+动能(T )=常数位移表达式()()(),sin y x t Y x t ωα=+ 速度表达式()()(),cos yx t Y x t ωωα=+（2）梁的动能:()()()2211,d 22l i i iT m x y x t x m y t ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦∑⎰()222222011cos ()()[()]d cos 22l i i it m x Y x x t m Y ωωαωωα=+++∑⎰其最大值为:2222max 011()[()]d 22l i i iT m x Y x x m Y ωω=+∑⎰（3）同理梁的弯曲应变能()()22,11d ,d 22llM x t U x EI y x t x EI⎡⎤''==⎣⎦⎰⎰2220011[()sin()]d sin ()[()]d 22ωαωα''''=+=+⎰⎰l l EI Y x t x t EI Y x x 其最大值为2max1[()]d 2l U EI Y x x ''=⎰（4）应用能量守恒原理，可知 T max =U max2222011()[()]d 22l i i i m x Y x x m Y ωω+∑⎰201[()]d 2l EI Y x x''=⎰求解得：20222[()]d ()[()]d lli i EI Y x xm x Y x x m Y ω''=+∑⎰⎰上式即是瑞利法求自振频率的公式。
结构动力学小论文
单自由度体系位移动力系数和内力动力系数的分析对于承受一组按相同规律变化的动荷载的体系，某截面某量的最大动力效应与动荷载的最大值所产生的静力效应的比值的绝对值称为该量放大系数，各截面中该量最大的放大系数，称为该体系该量的动力系数。
而所有截面的弯矩放大系数的最大者，称为该体系的弯矩动力系数。
关于各量（如位移、内力）的动力系数是否相同，先看一个具体的例子，再作一些讨论。
一、对于右图所示的体系，它的振动微分方程为：2sin Pyy t mωθ+= 其特解：221sin sin 1sty y t Y t θθθω==-其中st y 为动荷载最大值P 作用下在A 点产生的静力水平位移：3113st Pl y P EIδ==惯性力I 为：122sin sin 1PI myt I t θθωθ=-==-与简谐荷载变化相同，且同时达到最大值1I 和P 。
o 点弯矩为：,,m 2222111sin sin sin 11O O st O M Pl t M t M t θθθωθθω⎛⎫ ⎪=+== ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭其中,O stM Pl =是动载幅值P 作用下O 点的静弯矩，于是A 点的水平于是位移放大系数可得，为：,2211A stYy βθω∆==-故O 点截面弯矩的放大系数：于是，我们得到了A 点的位移放大系数和点O 的弯矩放大系数相等，都为2211wθ-。
考虑更一般的情况，考察截面B ，如右图（01α≤≤）。
图乘，可得2,32(2(1))6(3)6B st ly Pl l Pl EIPl EIααααααα=⋅+-=-（式1）,m ,,2,211O M O AO stM M ββθω∆===-考察动荷载效应时，加上惯性力和动荷载最大值为计算简图(如图)。
得弯矩图，图乘，有：322,22(3)(1)6B dyl y P EI w θαααθ=-+-（其实就是将式1中的P 换成I 1+P ）于是,,2,211B B B d y sty y βθω∆==-，也就是说，在任何截面上，位移放大系数都是相等的，为2211θω-。
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《结构动力学》论文建工学院土木工程0901班1 引言结构动力学，作为一门课程也可称作机械振动，广泛地应用于工程领域的各个学科，诸如航天工程，航空工程，机械工程，能源工程，动力工程，交通工程，土木工程，工程力学等等。
作为固体力学的一门主要分支学科，结构动力学起源于经典牛顿力学，就是牛顿质点力学。
质点力学的基本问题是用牛顿第二定律来建立公式的。
此后另一个重要的发展时期，是与约翰·伯努利，欧拉，达朗贝和拉格朗日等人的名字分不开的。
1788年，即牛顿的《自然哲学的数学原理》问世一百年后，拉格朗日在总结了这一时期的成果之后，发表了《分析力学》，为分析动力学奠定了基础，其主要内容就是今天的拉格朗日力学。
经典力学分析方法随后的发展主要归功于泊桑，哈密尔顿，雅克比，高斯等人。
他们提出新的观念，而这些观念却和哈密尔顿联系在一起，因为质点力学中的基本问题，在这里是用哈密尔顿正则方程来表达的，力学的这一个分支如今称为哈密尔顿力学。
也可以这样认为，牛顿质点力学，拉格朗日力学和哈密尔顿力学是结构动力学基本理论体系组成的三大支柱。
经典动力学的理论体系早在19世纪中叶就已建立，迄今已有150余年的历史。
但和弹性力学类似，理论体系虽早已建立，但由于数学求解上的异常困难，能够用来解析求解的实际问题实在是少之又少，能够通过手算完成的也不过仅仅限于几个自由度的结构动力体系。
因此，在很长一段时间内，动力学的求解思想在工程实际中并未得到很好的应用，人们依然习惯于在静力学的范畴内用静力学的方法来解决工程实际问题。
随着汽车，飞机等新时代交通工具的出现，后工业革命时代各种大型机械的创造发明，以及越来越多的摩天大楼的拔地而起，工程界日新月异的发展和变化对工程师们提出了越来越高的要求，传统的只考虑静力荷载的设计理念和设计方法显然已经跟不上时代的要求了。
也正是从这个时候起，结构动力学作为一门学科，也开始受到工程界越来越高的重视，从而带动了结构动力学的快速发展。
重所周知，1946年在美国诞生了世界上第一台电子计算机。
在半个多世纪的时间里，计算机得到了超出人们想象的飞速发展。
计算机改变了人们的生活，完善了现代工业体系，也给工程领域带来了深刻的变革。
而结构动力学这门学科在过去几十年来所经历的深刻变革，其主要原因也正是由于电子计算机的问世使得大型结构动力体系数值解的得到成为可能。
由于电子计算机的超快速度的计算能力，使得在过去凭借手工根本无法求解的问题得到了解决。
目前，由于广泛地应用了快速傅立叶变换（FFT），促使结构动力学分析发生了更加深刻地变化，而且使得结构动力学分析与结构动力试验之间的相互关系也开始得以沟通。
总之，计算机革命带来了结构动力学求解方法的本质改变。
作为一门课程，结构动力学的基本体系和内容主要包括以下几个部分：单自由度系统结构动力学（Single Degree of Freedom Systems）简称为SDOF；多自由度系统结构动力学（Multi Degree of Freedom Systems）简称为MDOF；连续系统结构动力学（Distributed Parameter Systems）。
此外，如果系统上所施加的动力荷载是确定性的，该系统就称为确定性结构动力系统；而如果系统上所施加的动力荷载是非确定性的，该系统就称为概率性结构动力系统。
在结构工程专业的硕士研究生阶段，已经学习了结构动力学这门课程。
在博士研究生阶段，所要求掌握的高等结构动力学的内容是在硕士阶段学习知识基础上的深入和提高，重点应在于能够熟练运用结构动力学的基本理论和方法建立大型复杂动力结构体系的数学模型并正确求解。
本课程报告将按照结构动力学的基本理论体系作概要性的介绍。
2 经典动力学理论2．1 基本概念和基本原理2. 1. 1基本概念下面列举几个在结构动力学中将反复出现的重要概念。
对这些概念的正确理解是深刻掌握结构动力学基本理论的必要前提。
1．自由度：自由度是给定力学系统的重要特征，自由度数等于总的坐标数目减去独立的约束方程数目。
2．广义坐标：任何一组能够明确表示系统位形(Configuration)的参数。
3．真实位移：系统实际所发生的位移，应当满足运动学方程，约束方程和初始条件。
4．可能位移：系统中满足约束方程的无穷小位移，不需满足运动学方程和初始条件。
5．虚位移：任意两个可能位移之差。
6．约束力：由约束物体作用在质点上的力。
7．主动力：除去约束力之外的其它的力。
8．虚功：主动力及约束力在虚位移上所作的功。
9．约束：假定系统相对位置在可能方向上运动的限制。
10．理想约束（无功约束）：是这样一种双面约束，对于与约束相一致的任意虚位移，相应约束力的总虚功为零。
2. 1. 2 虚功原理由约翰·伯努利在1717年首先作为力学的普遍原理提出，其重要应用是在力学系统的静平衡研究方面。
文字表述如下：对于受有理想约束而初始处于静止的定常系统，其静平衡的充要条件是诸主动力在符合约束的任意虚位移中所作的总虚功为零。
公式表述为：∑==⋅=Nii i r FW10δδ(2.1)由于对于连续系统保守力所作功等于系统势能的改变量，故将真实力所作功分为保守力所作的功和非保守力所作的功是便于建立系统的平衡方程的，既有下列两式，这是虚功原理的另外一种表述形式，式中Vδ是系统势能的改变。
非保守力保守力真实力＋＝W W δδδW(2.2) Vδδ-＝保守力W(2.3)2. 1. 3 达朗贝原理达朗贝原理实质上是牛顿第二定律的另一种表述形式，即：作用于系统的每个质点上的全部真实力和惯性力之和（矢量和）等于零。
公式表述为： 0=-+i i i r m R F(2.4)利用这一原理，可以把一个动力学问题转化为一个静力学问题来求解，即所谓的动静法。
在结构动力学中更为普遍应用的是达朗贝原理的拉格朗日形式。
公式表述为： ∑∑===⋅-=⋅-N i N i i i i i i i r R r r m F 110)( δδ(2.5)2. 1. 4 拉格朗日方程牛顿力学是矢量力学，着重于系统各部分相关的力和运动，在建立动力学方程时需要考虑系统各部分之间的相互作用力且需考虑各约束力。
而拉格朗日力学是分析力学，是把系统作为一个整体来考虑，并利用动能，位能等标量函数来描述一个动力学系统。
对这些函数进行某些运算，往往就能求得一组完整的运动方程而毋需明显地解出作用于系统各部分的约束力。
由于假定动力系统所受到的约束通常都是理想约束，则利用拉格朗日方程在建立动力学方程时就不需要考虑约束力，比直接利用牛顿第二定律建立动力学方程要简洁得多。
若系统是完整的，并且系统的位形由一组独立的广义坐标诸q 来描述，则完整系统拉格朗日方程的标准形式为： ),,2,1(0n i q L q L dt d i i ==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂(2.6)其中，L 叫做拉格朗日函数，表述为系统动能和位能的差。
()()()t q V t q q T t qq L ,,,,,-=(2.7)即(2.6)式也可表示为： ()n i Q q V q T qT dt d i i i i ,2,1==∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂(2.8)在导出上述公式时，所强加的限制是坐标i q 为独立的，因此对于非线性系统及线性系统都是正确的。
而对于广义坐标数目大于自由度数的完整系统或非完整系统，引入拉格朗日乘子之后也可得到其相应的方程：()M i Q g f g V g T g T dt d i C j i j j i i i ,2,11==∂∂-∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∑=λ(2.9)其中，i g 表示不独立的坐标，n M >。
2. 1. 5 哈密尔顿原理哈密尔顿原理是经典动力学中一个十分重要的变分原理，首次发表于1834年。
其表达为：在位形空间中完整动力学系统于固定的时间区间0t 到1t 内所经过的实际路径能使积分⎰=10t t Ldt I 对于路径变更来说取驻值，而在路径的端点上这些变更都为零。
从数学分析中可以得知，当()t qq L ,, 和()t q 具有所要求的平滑度时，而且诸q δ是独立时，则作为0=I δ的充要条件是：),,2,1(0n i q L q L dt d i i ==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂上式实际上就是(2.6)拉格朗日方程。
因此哈密尔顿原理和拉格朗日方程对于所假定的系统是等价的，两者可以相互导出，从这个意义上来说，拉格朗日方程是哈密尔顿原理用微分方程来表达的一种形式。
哈密尔顿原理把力学的基本方程归结为一个物理概念明确的简单形式0=I δ，表现了自然定律的一种最完美的形式。
2．2 单自由度系统(SDOF)2. 2. 1 SDOF 系统的数学模型单自由度系统的数学模型可以由牛顿第二定律来建立，当然也可以由虚位移原理和拉格朗日方程来建立，SDOF 系统的动力学基本方程为：()t p ku u c u m r r r =++(2.10)方程(2.10)是简单的质—弹—阻尼系统的基本方程，该方程是一个二阶常系数线性非齐次常微分方程，可以很方便地求出其解析解。
如果考虑系统受到一定输入的支座激励，则具有支座激励的SDOF 系统动力学基本方程为：()z m t p kw w c w m -=++(2.11)2. 2. 2 SDOF 系统的自由振动SDOF 系统动力学基本方程(2.10)中，质量m 在一般情况下为常量，用m 除(2.10)可以得到一个二阶线性常系数非齐次常微分方程：()t p k u u u n n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++222ωωξω(2.12)式中， m k n =2ω； crc c =ξ 上式中， km k m c n n cr 222===ωω n ω称为无阻尼固有圆频率，单位为弧度/秒；ξ是一个无量纲的参量，称为粘滞阻尼因数；cr c 称为临界阻尼系数。
方程(2.12)的解即系统的总响应是由两个不同性质部分的线性组合。
一部分是强迫振动，直接与()t p 有关；另一部分是固有运动即自由振动。
二者叠加即为方程的解。
因此，SDOF 系统自由振动的基本方程即(2.12)的齐次部分：022=++u u u n n ωξω(2.13)对方程(2.13)求其解可得到无阻尼固有圆频率n ω。
根据线性粘滞阻尼因数ξ的大小，可以将粘滞阻尼系统分为三种情况：弱阻尼()10<<ξ，临界阻尼()1=ξ和过阻尼()1>ξ。
在弱阻尼的情况下，运动是幅值逐渐衰减的摆动；过阻尼的情况是不发生摆动，并且幅值慢慢地衰减；对于临界阻尼系统，则不发生摆动，并且幅值的衰减比弱阻尼和过阻尼的情况都快。
对于一般的工程结构均属于弱阻尼情况。
由于一个实际系统的阻尼通常是由节点的松度，材料的内阻尼等构成的，因此需要采用试验方法确定某些SDOF 系统的动力特性，如无阻尼固有圆频率和阻尼因数。