《结构动力学》论文

《结构动力学》论文

建工学院土木工程0901班

1 引言

结构动力学，作为一门课程也可称作机械振动，广泛地应用于工程领域的各个学科，诸如航天工程，航空工程，机械工程，能源工程，动力工程，交通工程，土木工程，工程力学等等。作为固体力学的一门主要分支学科，结构动力学起源于经典牛顿力学，就是牛顿质点力学。质点力学的基本问题是用牛顿第二定律来建立公式的。此后另一个重要的发展时期，是与约翰·伯努利，欧拉，达朗贝和拉格朗日等人的名字分不开的。1788年，即牛顿的《自然哲学的数学原理》问世一百年后，拉格朗日在总结了这一时期的成果之后，发表了《分析力学》，为分析动力学奠定了基础，其主要内容就是今天的拉格朗日力学。经典力学分析方法随后的发展主要归功于泊桑，哈密尔顿，雅克比，高斯等人。他们提出新的观念，而这些观念却和哈密尔顿联系在一起，因为质点力学中的基本问题，在这里是用哈密尔顿正则方程来表达的，力学的这一个分支如今称为哈密尔顿力学。也可以这样认为，牛顿质点力学，拉格朗日力学和哈密尔顿力学是结构动力学基本理论体系组成的三大支柱。

经典动力学的理论体系早在19世纪中叶就已建立，迄今已有150余年的历史。但和弹性力学类似，理论体系虽早已建立，但由于数学求解上的异常困难，能够用来解析求解的实际问题实在是少之又少，能够通过手算完成的也不过仅仅限于几个自由度的结构动力体系。因此，在很长一段时间内，动力学的求解思想在工程实际中并未得到很好的应用，人们依然习惯于在静力学的范畴内用静力学的方法来解决工程实际问题。

随着汽车，飞机等新时代交通工具的出现，后工业革命时代各种大型机械的创造发明，以及越来越多的摩天大楼的拔地而起，工程界日新月异的发展和变化对工程师们提出了越来越高的要求，传统的只考虑静力荷载的设计理念和设计方法显然已经跟不上时代的要求了。也正是从这个时候起，结构动力学作为一门学科，也开始受到工程界越来越高的重视，从而带动了结构动力学的快速发展。

重所周知，1946年在美国诞生了世界上第一台电子计算机。在半个多世纪的时间里，计算机得到了超出人们想象的飞速发展。计算机改变了人们的生活，完善了现代工业体系，也给工程领域带来了深刻的变革。而结构动力学这门学科在过去几十年来所经历的深刻变革，其主要原因也正是由于电子计算机的问世使得大型结构动力体系数值解的得到成为可能。由于电子计算机的超快速度的计算能力，使得在过去凭借手工根本无法求解的问题得到了解决。目前，由于广泛地应用了快速傅立叶变换（FFT），促使结构动力学分析发生了更加深刻地变化，而且使得结构动力学分析与结构动力试验之间的相互关系也开始得以沟通。总之，计算机革命带来了结构动力学求解方法的本质改变。

作为一门课程，结构动力学的基本体系和内容主要包括以下几个部分：单自由度系统结构动力学（Single Degree of Freedom Systems）简称为SDOF；多自由度系统

结构动力学（Multi Degree of Freedom Systems）简称为MDOF；连续系统结构动力学（Distributed Parameter Systems）。此外，如果系统上所施加的动力荷载是确定性的，该系统就称为确定性结构动力系统；而如果系统上所施加的动力荷载是非确定性的，该系统就称为概率性结构动力系统。

在结构工程专业的硕士研究生阶段，已经学习了结构动力学这门课程。在博士研究生阶段，所要求掌握的高等结构动力学的内容是在硕士阶段学习知识基础上的深入和提高，重点应在于能够熟练运用结构动力学的基本理论和方法建立大型复杂动力结构体系的数学模型并正确求解。本课程报告将按照结构动力学的基本理论体系作概要性的介绍。

2 经典动力学理论

2．1 基本概念和基本原理

2. 1. 1基本概念

下面列举几个在结构动力学中将反复出现的重要概念。对这些概念的正确理解是深刻掌握结构动力学基本理论的必要前提。

1．自由度：自由度是给定力学系统的重要特征，自由度数等于总的坐标数目减去独立的约束方程数目。

2．广义坐标：任何一组能够明确表示系统位形(Configuration)的参数。

3．真实位移：系统实际所发生的位移，应当满足运动学方程，约束方程和初始条件。

4．可能位移：系统中满足约束方程的无穷小位移，不需满足运动学方程和初始条件。

5．虚位移：任意两个可能位移之差。

6．约束力：由约束物体作用在质点上的力。

7．主动力：除去约束力之外的其它的力。

8．虚功：主动力及约束力在虚位移上所作的功。

9．约束：假定系统相对位置在可能方向上运动的限制。

10．理想约束（无功约束）：是这样一种双面约束，对于与约束相一致的任意虚位移，相应约束力的总虚功为零。

2. 1. 2 虚功原理

由约翰·伯努利在1717年首先作为力学的普遍原理提出，其重要应用是在力学系统的静平衡研究方面。文字表述如下：对于受有理想约束而初始处于静止的定常系统，其静平衡的充要条件是诸主动力在符合约束的任意虚位移中所作的总虚功为零。

公式表述为：∑

=

=⋅

=

N

i

i i r F

W

1

0δ

δ

(2.1)

由于对于连续系统保守力所作功等于系统势能的改变量，故将真实力所作功分为保守力所作的功和非保守力所作的功是便于建立系统的平衡方程的，既有下列两式，这是虚功原理的另外一种表述形式，式中V

δ是系统势能的改变。

非保守力

保守力真实力＋＝W W δδδW

(2.2) V

δδ-＝保守力W

(2.3)

2. 1. 3 达朗贝原理

达朗贝原理实质上是牛顿第二定律的另一种表述形式，即：作用于系统的每个质点上的全部真实力和惯性力之和（矢量和）等于零。 公式表述为： 0=-+i i i r m R F

(2.4)

利用这一原理，可以把一个动力学问题转化为一个静力学问题来求解，即所谓的动静法。在结构动力学中更为普遍应用的是达朗贝原理的拉格朗日形式。

公式表述为： ∑∑===⋅-=⋅-N i N i i i i i i i r R r r m F 11

0)( δδ

(2.5)

2. 1. 4 拉格朗日方程

牛顿力学是矢量力学，着重于系统各部分相关的力和运动，在建立动力学方程时需要考虑系统各部分之间的相互作用力且需考虑各约束力。而拉格朗日力学是分析力学，是把系统作为一个整体来考虑，并利用动能，位能等标量函数来描述一个动力学系统。对这些函数进行某些运算，往往就能求得一组完整的运动方程而毋需明显地解出作用于系统各部分的约束力。由于假定动力系统所受到的约束通常都是理想约束，则利用拉格朗日方程在建立动力学方程时就不需要考虑约束力，比直接利用牛顿第二定律建立动力学方程要简洁得多。

若系统是完整的，并且系统的位形由一组独立的广义坐标诸q 来描述，则完整系统拉格朗日方程的标准形式为： ),,2,1(0n i q L q L dt d i i ==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂

(2.6)

其中，L 叫做拉格朗日函数，表述为系统动能和位能的差。

()()()t q V t q q T t q

q L ,,,,,-=

(2.7)

即(2.6)式也可表示为： ()n i Q q V q T q

T dt d i i i i ,2,1==∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂

(2.8)