2015年全国大学生数学建模竞赛A题
2015年数学建模国赛A题
二、 问题分析
问题一要建立直杆影子长度变化的数学模型， 首先需知道太阳影子长度计算 公式，故引入太阳高度角[1]这个概念。即若已知某时刻太阳高度角的大小和直 杆高度，根据其满足的三角函数关系便可得到此时太阳影子长度。太阳高度角与 观测地地理纬度、地方时角和太阳的赤纬[2]相关。其中太阳赤纬是太阳直射点 所在纬度，与日期有关；时角由当地经度及其所用时区时间决定，故根据影长、 太阳赤纬、时角计算公式可求得直杆影子长度变化模型，并根据模型分析影子长 度关于各参数的变化规律。将附件一中直杆的有关数据直杆影长变化模型中，可 求出该直杆的具体影长变化公式。根据所建立的模型，运用 MATLAB 软件便可得 到影子长度随时间的变化曲线。 问题二需根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据， 建立数学 模型确定直杆所处的地点。首先由问题一可推测影子长度与时间的关系，故可将 太阳影子长度与对应时间进行拟合，得到影长与时间关系模型。当某个时刻影长 得到极小值时，该时刻为太阳与直杆距离最近，即地方时正午 12 时，结合当地 所使用的标准时间便可得到当地经度。 最后利用太阳高度角与直杆长度以及影长 满足的三角关系式，便可得到影长关于直杆高度、直杆所在地点的纬度的函数关 系式，即得到了有关太阳影子顶点坐标与直杆地点经纬度的模型。将附件一中影 子顶点坐标数据应用于该直杆位置模型，可得到直杆所在位置。用相对误差分析 法分析误差[3](168-169 页)，若所得的相对误差小于 2.5%，认为得到的模型合 理。 问题三可根据光照成影原理和太阳高度角计算公式建立影长与时间变 化模型，根据相关数据，运用 MATLAB 软件拟合可得到直杆所在位置的经纬 度。令年份均为 2015 年，根据太阳赤纬角计算公式，可求解具体的日期。 将附件 2 和附件 3 时间和对应直杆影长数据分别代入模型中，通过拟合计
太阳影子定位 2015 数学建模 国赛 A题
st
2
n
H L
一年中的日期序号，如 1 月 2 日， n 2 ；10 月 22 日， n 295 ； 固定直杆的高度； 直杆被太阳光照射后的影子在地表的长度； 程序所求影长与问题二附件数据求得影长的方差； 程序所求影长与问题二附件数据求得影长的误差精度； 北京时间； Nhomakorabea
t
四 模型的建立与求解
图 9 影长与经度关系
图 10 影长与纬度关系
（4）影子长度 L 与当前地区纬度 的变化关系
在北半球，纬度的范围在 (0, ) 。直杆高度 H 、经度 固定的情况下，求解出影子 2
长度 L 与纬度 关系如图 10 所示。随着纬度 的增加，第 n 天的影长最大值先增大，在 北纬 80.21 度时突然骤减，影子长度 L 随着纬度 的增大，反而递减。在太阳赤纬角、 时角一定时，太阳的高度随着纬度变化，纬度高，太阳高度小，纬度低，太阳高度大， 因此纬度高的地方影子长，纬度低的地方影子短。
根据以上公式从而建立出影子长度变化的模型：
(7) 其中：
且： b 2 (n 1) / 365
图 5 太阳位置移动后影长的变化图
图 6 杆高、高度角和影长的关系图
5
3.分析影子长度关于各参数的变化规律 在上一节中，我们已得出影子长度 L 变化相关的四个参数：一年中的日期序号 n 、 北京时间 t 与当前地区经度 、纬度 。为了分析影子长度 L 关于某一个参数的变化规 律，我们固定其他三个参数值。 (1) 影子长度 L 与北京时间 t 的变化关系 以北京天安门广场 9：00~15：00 之间时刻为例，用 Matlab 运行 Test_4.m 程序拟合 出影子长度与时间的关系图，如下图 7 所示。 随着时间 t 的增长，影子长度 L 逐渐减小， 在到达最低点后再增大。其中最低点为 (11.9533,3.6633) ,即当北京时间 t 为 11 点 57 分 时，影子长度 L 最短，约为 3.66m 。由此可知，时间决定太阳的位置，位置决定影子的 长短，影子长度与最低点成左右对称关系。
2015数学建模国赛论文A题
利用影子确定视频拍摄地点和日期的建模和算法摘要本文研究的问题是如何通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期。
建模整体思路是，先建立一系列分析用到的物理量，设定一些假设和约束条件，使得问题求解有可行性，之后对这些物理量进行演绎。
建模使用的软件平台主要是matlab ，分析用到的主要参量是太阳赤纬、时角、高度角、方位角、纬度，分析过程当中用到的方法有，建立物理概念，明确物理意义，比如引用天球坐标系的概念，在天球坐标系的基础上进行物理分析，通过对建立的参变量进行物理关系的推导，形成公式体系进行求解，对题目所给予的影子坐标数据进行适当变换处理，使用matlab 进行合理的拟合，对于用公式法和方程法没法顺利解决的问题使用穷举法作为解题的补充，对于视频中坐标的取法用到了坐标转换的思想。
其中主要公式有 1.cos sin sin coshA δω= 2.tanh H L= 3. sinh sin sin cos cosh cos A ϕδϕ-= 4. sinh=cos Ωcos φcos δ+sin φsin δ第一问，通过物理量变换，先求出高度角，进而得到影子长度与时间变化关系。
第二问，拟合点求经度，取点套公式求纬度。
第三问，方程思想，过程复杂，采用穷举法近似实现求解。
第四问，难点在于通过视频分析，得到影子端点的变化坐标，进而将问题转化成第二问，已知日期（太阳赤纬），时间（时角），求解经度纬度。
关键词：天球坐标系 物理量演绎分析 matlab 数据拟合分析 二元方程组近似穷举法 坐标转换思想1.问题重述与分析如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题
太阳影子定位（一）摘要根据影子的形成原理和影子随时间的变化规律，可以建立时间、太阳位置和影子轨迹的数学模型，利用影子轨迹图和时间可以推算出地点等信息，从而进行视频数据分析可以确定视频的拍摄地点。
本文根据此模型求解确定时间地点影子的运动轨迹和对于已知运动求解地点或日期。
直立杆的影子的位置在一天中随太阳的位置不断变化，而其自身的所在的经纬度以及时间都会影响到影子的变化。
但是影子的变化是一个连续的轨迹，可以用一个连续的函数来表达。
我们可以利用这根长直杆顶端的影子的变化轨迹来描述直立杆的影子。
众所周知，地球是围绕太阳进行公转的，但是我们可以利用相对运动的原理，将地球围绕太阳的运动看成是太阳围绕地球转动。
我们在解决问题一的时候，利用题目中所给出的日期、经纬度和时间，来解出太阳高度角ｈ，太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，直杆高度Ｈ和影子端点位置（x0，y o），从而建立数学模型。
影子的端点坐标是属于时间的函数，所以可以借助时间写出参数方程来描述影子轨迹的变化。
问题二中给出了日期和随时间影子端点的坐标变化，可以根据坐标变化求出运用软件拟合出曲线找到在正午时纵坐标最小，横坐标最大，影子最短的北京时间，根据时差与经度的关系，求出测量地点的经度。
根据太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，可以求出太阳高度角ｈ。
再结合问题一中的表达式，建立方程求解测量地点的纬度Ф。
我们在求解第三问的思路也是沿用之间的模型，但第三问上需要解出日期。
对于问题四的求解，先获取自然图像序列或者视频帧，并对每一帧图像检测出影子的轨迹点；然后确定多个灭点，并拟合出地平线；拟合互相垂直的灭点，计算出仿射纠正和投影纠正矩阵；进而还原出经过度量纠正的世界坐标；在拟合出经过度量纠正世界坐标中的影子点的轨迹，利用前面几问中的关系求出经纬度。
关键字：太阳影子轨迹Matlab曲线拟合（二）问题重述确定视频拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
2015全国大学生数学建模竞赛A题解析
V
是' 无变位时的显示储油量。
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让更多的农民成为新型职业农民 中央农业广播电视学校 刘天金
2013˙05˙07 陕西
农业部部长韩长赋： 这是一项基础性工程、创新性工作，
要大抓特抓、坚持不懈。
——让更多的农民成为新型职业农民（目标） ——生产更多更好更安全的农产品供给社会（方向）
由于本问较复杂，需要分情况建立模型，可以先考 虑只发生纵向变位的情况。
三、解题思路（续）
球冠Ⅰ的体积表达式为：
其中
三、解题思路（续）
球冠III的体积表达式为：
其中
三、解题思路（续）
圆柱体II的体积表达式为：
其中
三、解题思路（续）
在不考虑罐体横向变位的情况下（即 ） ，0 储油罐 的体积与辅助变量 的H 关1 系表达式为：
2r,
r(1cos)h纵2r
由于罐体只产生纵向变位时油位高度 与h 纵储油量 V (, h纵) 的对应关系已得到，再根据上面推导出的 h 与纵 同 时发生纵向和横向变位时油位高h，就可以求出一般情 况下，即罐体同时产生纵向和横向变位的油位高h与储
油量V之间的关系模型 VF(。,,h)
三、解题思路（续）
二、问题分析（续）
（3）对于（2）得到的实验罐在纵向倾斜变位情形 下油位高度与储油量的模型，将变位参数 4.1 代入 计算，得出修正后的油位高度间隔为1cm的罐容表标定 值。并与原标定值比较，分析罐体变位的影响。
第二部分：根据实际检测数据，识别实际储油罐罐 体是如何变位的，估计出变位参数，给出实际罐罐容表 的修正标定方法和结果。并分析检验模型的正确性和方 法的可靠性。
太阳影子定位-2015年全国数学建模比赛a题全国二等奖论文
太阳影子定位摘要本文研究的问题是分析直杆在太阳的照射下，影子的角度和长度的变化，再结合相关地理知识和数学几何模型，推算出具体的所在地点和具体日期。
该模型可以用于太阳影子定位技术中，根据物体在阳光照射下影子的变化进行定位。
对于问题一，我们首先根据地球与太阳的位置关系列出太阳赤纬角，太阳高度角，太阳时角的计算式，其中需对较粗略的太阳赤纬角计算式进行修正，得出精准的计算式。
再建立数学几何模型，根据太阳高度角，影长与杆长形成的角边关系，列出影长的计算式。
最后建立一个太阳日照影长模型，该模型以太阳高度角计算式，太阳赤纬角计算式，太阳时角计算式为子函数，以太阳赤纬角，太阳日角，太阳时角，时间初值为中间变量，以当地经纬度，从1月1日到测量日的天数，时间，杆长，年份为自变量的复合函数数学模型。
然后采用由内到外计算法对此复合函数进行求解，计算出从九点到十五点的影长和太阳高度角的变化，得出直杆的太阳影子长度的变化曲线。
对于问题二，我们首先分析因为时间日期已给出，所以根据太阳赤纬角计算式可知太阳赤纬角为已知量，接着我们将影长的计算式进行等式移项变换，得到一个拟合杆长及经纬度的非线性最小二乘模型，该模型将问题一中太阳日照影长模型作为参数拟合对象，以杆长和影长与太阳高度角正切值之积的差值最小误差平方和为目标函数，以太阳高度角计算式，太阳时角计算式为约束条件，以测量时间，天数，影长为已知量。
将该模型在1stopt 软件中运行，采用麦夸尔特算法和通用全局最优化法对该模型进行迭代计算，对实验结果统计分析后得出该直杆相应的北纬为19.29392848度，东经为108.7225248度（海南岛的西海岸）。
对于问题三，除了需要拟合杆长和经纬度以外，还需拟合日期，同样参照影长等式移项变换公式，得到一个拟合杆长、经纬度及日期的非线性最小二乘模型。
同样采用问题二的计算方法得到多组结果，其中附件二最优解地点为新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县(40.0025°N,79.6587°E)，附件三最优解地点为湖北省十堰市郧西县（32.9638°N,110.277°E ）。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题
太阳影子定位技术问题的数学模型摘要本文涉及的是太阳影子定位技术问题。
在已知视频中物体的太阳影子变化的情况下，要确定视频的拍摄地点和拍摄日期。
首先，分析了文中四个问题的关系，发现前三个问题的已知条件逐步减少，问题难度依次递进。
第四问则给出一个实际问题，该问题需要转化成数学模型利用前三问的方法求解；随后，建立了L-G模型、MinZ-模型等，并应用非线性最小二乘法、遗传算法等算法对模型求解。
得到基于模型的合理结果。
最后，将第四问的实际问题转化数学模型并求解，进而解决问题。
对于问题一，要解决的问题是杆长与影子长度的关系，根据天文、几何知识，我们建立了模型来刻画问题给出的参数之间联系，如赤纬角模型、时角模型、太阳高度角模型、影子长度模型（L-G模型）等；分析了各参数对影子长度的影响；最后运用MATLAB绘制出具体给定参数下的3米高直杆的影子变化曲线；从曲线可以看出在9:00到15:00这段时间里，影子长度先变短后变长，最短为3.627米，最长为7.182米。
问题二提供了一个关于时间、影子坐标的附件1，杆长未知，为了确定直杆所处的地点，本问建立了MinZ-模型，首先将经度、纬度、杆长离散化，搜索出大概的可行解，然后运用非线性最小二乘算法，选取matlab中的lsqcurvefit命令，以可行解为初值，再运用非线性最小二乘算法，选取MATLAB中的lsqcurvefit命令，在控制残差在10−8之内范围的情况下得到了三个可能地点皆在海南省昌江县内，最小误差的地点为海南省江黎族自治县，北纬19.3025°，东经108.6988°，此时对应直杆高度为2.0219m。
同时，将结果代入问题一的模型进行检验，验证了模型的稳定性和算法的合理性。
问题三沿用问题一的模型和问题二的算法，由于一个已知量变成一个变量，根据算法特点，在增加一个变量的情况下，算法搜索影长差时只需要增加一重循环。
关于附件2数据，残差最小对应的位置为北纬39.8926°，东经79.7438°，具体地点在新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题优秀论文太阳影子定位模型教程
我们依据太阳位置算法[2]（ SPA）得到太阳位置的几何模型图如图 1 所示：
图 1 太阳位置的几何模型
图中 为高度角， 为方位角， 为纬度角， 为赤纬角， 为太阳时角， 和 能由下列式子计算得到(公式来源:/1GU1iS)：
（1.2）
其中 为一个参数，能通过如下公式得到
2 (d 1) 365
（1.3）
式中， h 为北京时间， 为当地经度， d 为日期，即 1 月 1 日就用 d 1来表
示，假设一年为 365 天，则 d 365表示 12 月 31 日。由式（1.1）可知，相邻两天的赤
纬角 差值几乎为 0，因此当闰年时，我们设定 2 月 28 日的 d 59 ，29 日时 d 59 ，
g( ) (0.006918 - 0.399912 cos( ) 0.070257 sin( ) - 0.006758 cos(2 ) 0.000907 sin(2 ) - 0.002697 cos(3 ) 0.00148 sin(3 ))
（1.1 ）
h15 300
关键词：太阳位置算法 最小二乘法 遗传算法 太阳影子定位模型
一． 问题重述
1.1. 问题背景 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位
技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化来确定视频拍摄的地点和日期的一种方 法。 1.2. 问题提出 1. 建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建
5.1.2. 模型求解
首先根据问题分析和模型，我们将观测日期代入得到赤纬角 21.8985 ，负号表
示太阳直射点在南半球，然后代入求出太阳时角 和高度角 在不同时刻的值，得到表
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
本题要求根据视频中物体的太阳影子，建立数学模型确定视频拍摄地点和日期。
主要考察学生关于空间几何问题的建模能力以及非线性优化问题的求解能力，对求解精度具有一定的要求。
评阅时应注意：“北京时间”与“北京当地时间”的不同，经度与时间的关系，日期关于春分、秋分、冬至、夏至的近似对称性等。
大气折射会导致太阳高度角产生一定偏转，所以考虑大气折射情形的模型更佳。
对能够自行构造数据进行模型检验的论文，应给予较好的评价。
问题1在已知视频拍摄时间及地点的条件下求影子的数学模型，并分析长度关于日期、时间、经纬度等参数的变化规律。
有较多的参考文献给出这一问题的模型，若直接采用文献中的模型，需指明出处。
问题2在已知物体影子顶点真实坐标及拍摄日期与北京时间的条件下，根据问题1得到的影子长度变化模型，反解出纬度及当地时间，根据当地时间和北京时间之间的关系确定经度。
附件1的位置是(109.5°E, 18.3°N)海南三亚。
评阅时应以模型和方法为主，结果仅作为参考。
要尽可能使用所给数据的全部信息。
问题3与问题2相比，问题3中拍摄日期未知，反演难度有所增加，同时使用长度和角度信息反演效果更好。
附件2的位置是(79.75°E, 39.52°N)新疆，日期是7月20日；附件3的位置是(110.25°E, 29.39°N)湖南省张家界，日期是1月20日。
由于日期相近的影子长度和角度变化较小，导致参数反演问题的近似解较多。
可以将日期、经纬度一定范围内的结果都认为是近似正确的。
评阅时应以模型和方法为主，结果仅作为参考。
问题4建立影子顶点大地坐标与视频坐标之间的关系，然后反演模型中的参数。
由于反演参数的增加，以及视频数据提取时产生的误差，导致模型求解精度下降、确定拍摄地点的难度增加。
2015年数模A题
2.2问题二的分析
第二个问题根据对竞赛评委有不同的基本素质要求，给出合理的度量评委基本素质的指标体系。我们根据题目附件给出的数据，去发掘测评评委基本素质要求的一些指标体系。测评基本素质指标体系主要三个方面构成：指标一是评委打分的准确度，指标二是评委打分的稳定度，指标三是评委打分的偏差度。为了使指标准确可靠，需要把不同的论文的结果分为两大类，一个是得奖论文，另一个是未得奖论文。为简化问题的复杂度，我们从得奖论文入手，分别找到这三个指标的评价标准：
序号
阅卷号
评委
打分
标准分
1
A1
评委A04
35
46.25937
2
A2
评委A11
53
55.66406
3
A3
评委A06
46
60.54732
……
……
……
……
……
353
A9020
评委A03
62
61.27679
354
A9021
评委A12
28
46.8965
355
A9022
评委A11
30
36.32556
2015数学建模竞赛A题：太阳影子定位技术研究
针对问题二，首先，我们通过影子的顶点坐标得到各个时刻的影子长度。之 后进行数据标准化，消除直杆长度对影子长度的影响。任意选取某一经纬度为假 设采样点，将经度、纬度作为变量，使用问题一中的模型求出该假设采样点的影 子长度。最后使用最小二乘法将这些假设采样点数据与原始影子长度数据进行拟 合，在 MATLAB 中编程计算，得到的最小目标函数值������ = 1.2981 × 10−7 ，该假设 采样点为东经 109°，北纬 17°（见正文图 11），其周边海南三亚市、越南沿海地 区都可以认为是采样点的可能位置。
太阳影子定位技术的研究
摘要
本文针对太阳影子定位问题，通过运用天球模型和最小二乘法，研究了直杆 太阳影子长度与直杆长度、太阳高度角、采样点经纬度、采样日期和采样时间等 参数的关系，实现了利用物体的太阳影子变化来确定视频拍摄地点和日期。
针对问题一，在已知直杆长度的情况下，太阳影子长度和太阳高度角满足一 个确定的函数关系。因此，我们可以将研究对象从太阳影子长度转换为太阳高度 角。引入天球模型后，使用天球坐标系统中的赤道坐标系和地平坐标系来描述太 阳的运动和位置，得到了太阳高度角与采样地点经度、纬度、日期和当天具体时 间的函数关系，进而得到了影子长度与各参数的关系。之后，使用控制变量法分 别得到了影子长度关于直杆长度、经度、纬度、日期和时间这 5 个参数的变化规 律（见正文图 5、6、7、8、9）。最后，运用该模型画出了天安门广场上 3 米高的 直杆的太阳影子长度的变化曲线（见正文图 10）。
2015年数学建模a题
将其带入方程⑤
a=2.9721
b=-18.6741
c=30.4846
由于 a、b、c 为时角状态，为了更清晰的表示出不同时间下影子长度的变化，将其
重新转换为北京时间，得到新的 a、b、c 数据：
a=0.2037
b=-4.8888
c=30.4843
5.1.3 模型的解决
将得到 a、b、c 带入方程⑤中，得到：
东经 116 度 23 分 29 秒），所以观测地地理纬度为北纬 39 度 54 分 26 秒，东经度 116 度
23 分 29 秒。在本文中为了计算方便，将纬度度数转化为弧度制。
(4)时角：一个天体的时角被定义为该天体的赤经与当地的恒星时的差值。
5.1.2 模型的建立
由太阳高度角的求法可知：tan ℎ = ������(杆长）
1.2 问题的提出
围绕太阳照射下物体的影子长度的动态变化过程、设计参数，本文依次提出如下问 题：
1.通过建立物体影子长度变化的数学模型，分析影子长度在各个参数影响下的变化 规律，并用建立的数学模型描绘出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门 广场（北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的 变化曲线。
针对问题三，对附件二与附件三分别求出非线性回归方程，建立模型，通过正午太 阳高度所在的北京时间推导经度，在杆长一并已知的情况下，将分散的未知数整体凝聚， 在问题二所做模型的基础上进一步优化，使其达到同求纬度与日期的目的。
针对问题四，借助 photoshop 软件对视频截图中影长进行测量，将测量的数据根据 测量杆长与实际杆长的比例计算出真实影长，并拟合出影长和北京时间的回归方程，推 导出观测地经度，接着进行筛选，去除异常数据,对残缺数据进行适当补充,并从中抽取 了 20 组数据进行数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。通过新建立的 数据模型得出具体纬度，确定地点。
2015年全国数学建模竞赛A题全国一等奖论文14
的 9 月 23 日，冬至日为每年的 12 月 22 日。
三、符号说明
符号 R
含义 地球半径，6371km
2
测量地点的纬度
（南纬为负，北纬为正）
测量地点的经度
（西经为负，东经为正）
太阳赤纬角
到各个点的空间坐标：A R cos,0, Rsin ，BR cos cos, R cos sin, Rsin ， C R cos, Rsin,0 ， D R,0,0 。
Z
N
E
阳光
B βO
A α
Y
C
θ
D
X S
图 1 太阳光直射地球正面图（1）
通过对包含点 A,B 的最大圆进行几何学分析，我们得到长度为 AE 的物体在 太阳光的照射下，投影长度为 AF，则：
子与 Y 轴夹角 arctan(xi / yi )，进一步求出 20 组相邻时刻的影子之间的夹角 i arctan(xi / yi ) arctan(xi1 / yi1) 作为实际值。接着再引入影子与正北方向的 夹角 作为参数。我们运用几何学知识可以求出 与各参数, , 之间的函数关 系。并且与上一模型类似，我们对直杆所在地点的经度 ，纬度 ，测量时间 t 进行穷举法遍历，通过建立的模型对于每一组 ( , ) 求解出 20 组 i i i1 作
1
一、问题重述
确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位 技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一 种方法。
1、建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律， 并用建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北 纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变 化曲线。
2015数学建模A题
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要在整个“嫦娥三号”软着陆过程中发动机的燃耗问题是整个着陆过程的关键问题之一，其利用率直接影响到整个着陆过程的成果与否，本文主要利用数学建模的方法对整个软着陆过程进行分析，使得整个软着陆过程发动机能耗最优。
针对问题一，首先需建立一个三维立体坐标系，根据牛顿第二定律，结合科氏定律整理得到嫦娥三号在月固定坐标系中的运动方程，再以卫星运行轨道切面为基面建立二维平面坐标系，将嫦娥三号软着陆问题简化为平面几何问题，求解出主减速阶段嫦娥三号水平位移的距离。
通过坐标变换求得位置。
最后根据天体运动规律得到近日点与远日点速度分别为s6226.1。
km.1、skm7006针对问题二，通过寻找一个制导律u,来调整推力的大小和方向,使嫦娥三号在月面实现燃耗最优着陆轨道，应用极大值原理设计这个最优制导律。
在障碍规避过程中，将动力学模型进行进一步简化，忽略了月球的自转角速度等相关因素。
再利用双线性插值的方法求取规则的采样点处的高程值，这样有利于方便的建立障碍检测算法并对着陆区表面的障碍进行提取，最后利用基于平面拟合的障碍检测算法取得着陆区域内某局部区域内的地形平面，我们将利用这个地表平面来对障碍物进行识别，达到安全着陆的目的。
针对问题三，影响制导精度的误差源主要有偏离标准飞行轨迹的初始条件误差和导航与控制传感器误差。
初始条件误差由主制动段以前的任务决定，传感器误差则由导航系统和传感器本身决定，通过建立误差模型，可以很好地对初始状态偏差、传感器测量偏差等不同因素造成的误差进行分析。
关键词：月球着陆轨道能耗最优打靶法最优制导律控制策略一问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题秀论文介绍
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太 阳 影 子 的 长 度 （m)
太 阳 影 子 的 长 度 （m)
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-20 0 20 观测点的纬度（角度）
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-10 -5 0 5 10 太阳直射点的纬度（角度）
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图 4 直杆影长与观测点纬度关系图
图 5 直杆影长与太阳直射点纬度的关系图
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观测点与太阳直射点的经度差 进行灵敏度分析，分别分析改变此变量对直杆影 子长度的影响。 直杆影长与观测点纬度关系图如图 4 所示（图 4 为 11:00 时的关系图像） 。当 观测点纬度从南往当前的太阳高度角所在纬度靠近时，影长缩短，当观测点纬度 与太阳高度角处于同一纬度时，影长达到最小，随后观测点再往北移动，影长又 呈增大趋势，且增大速率明显加快。由图，在其他影响因素的取值都不变的前提 下，观测点纬度与太阳高度角处于同一纬度时，影长为 1m 左右，据推测， 12:00 时的图像，最小值应为 0m ，为太阳直射的情况。 直杆影长与太阳直射点纬度的关系图如图 5 所示。首先，太阳直射点的纬度 范围在南北回归线之间，而题设天安门所处的纬度在北回归线以北，故太阳直射 点纬度在由南到北的过程中，影长一直是减小的，且减小速率逐渐趋缓。
图 2 地球上过 A ， B 的大圆
考虑到太阳与地球之间相距较远，我们认为同一时刻照射到地球表面的太阳 光线是平行的，即 HF / / BO ，从而 AOB AHF 。
A 地 t 时刻的太阳高度角记为 angel 90 。
设图 1 中向量 AK 是与 A 点处经线相切且方向向北的单位向量，向量 AE 是与
【数学建模国赛获奖】2015年全国数学建模竞赛A题全国一等奖论文14
关键字： 枚举法 微元法 直杆影对角 小孔成像 牛顿莱布尼兹公式
间的变化规律。
针对问题二，建立确定直杆所处地点的数学模型。分别从影子实际长度 l 和 相邻时刻影子的夹角 两个方面考虑直杆所在地点。一方面，通过对附件 1 中的 数据分析，求出实际影子长度比值 li / li1 。根据问题一中 与各参数, , 之间 的关系，对直杆所在地点的经度 ，纬度 采用枚举法，对每一组 ( , ) 求解出 li / li1 tani / tani1 的比值，找出实际值与理论值之间的最小方差，即得到若 干最优解 ( , ) 。另一方面，利用附件 1 中的数据求出相邻时刻影子之间的夹角 i ，再重新定义参数 为影子与正北方向的夹角。与上一方法类似，我们应用参 数 通过对直杆所在地点的经度 ，纬度 采用枚举法，对于每一组 ( , ) 求解 出 i i i1 作为模拟值，用类似的方法得到若干最优解。最后比较两种方法
4、建立确定视频拍摄地点的数学模型，根据附件 4 为一根直杆在太阳下的 影子变化的视频，给出若干个可能的拍摄地点。已通过某种方式估计出该直杆的 高度为 2 米。若拍摄日期未知，试根据视频确定出拍摄地点与日期。
二、问题假设
1、 假设地球为规则的球体，半径为 R=6371km； 2、 假设南纬为负，北纬为正，西经为负，东经为正； 3、 假设地球公转的周期为 365 天，地球自转的周期为 24 小时； 4、假设题目中给出的所有数据都是准确的，忽略测量时出现的误差； 5、假设太阳为点光源，发出的光线为平行光线直射地球，忽略大气层折射对太
2015数学建模国赛A题论文Word版
太阳影子定位摘要太阳影子定位技术[1]是解决拍摄视频的地点和时间的重要手段，因此对太阳影子定位技术进行定性与定量的研究具有重要的理论和实际价值。
我们建立了直杆的影子长度，北京时间，日期等变量之间的关系模型，并应用模型解决了题目所列的四个问题。
对于问题一我们利用空间几何学建立数学模型，确定了(太阳光线与直杆之间的)夹角、直杆和太阳直射点位置之间的关系。
进一步地，我们得到了直杆影子长度与直杆、太阳直射点[2]位置（经纬度）之间的关系方程。
我们分两种情况进行讨论，一种情况是太阳直射点与直杆同处于南、北半球，另一种情况是太阳直射点与直杆分别处于南、北半球。
最后我们由方程和matlab软件作图得到2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
对于问题二我们根据附件一给出的数据建立了多个关于直杆经度和纬度的非线性方程组，利用基于matlab的遗传算法[3]求解非线性方程组[4]，得到杆子的几个可能的位置。
对于问题三我们根据附件二和三给出的数据建立了多个关于直杆经度、纬度和日期的非线性方程组，利用基于matlab的遗传算法求解非线性方程组，得到若干个可能的地点和日期。
对于问题四我们首先利用图像模拟方法，测得杆子在一些特定时刻的影子的实际长度值，再利用视频给出的数据建立了多个关于直杆经度和纬度的非线性方程组，利用基于matlab的遗传算法求解非线性方程组，得到杆子的几个可能的位置。
【关键字】：直杆影子长度，经纬度，非线性方程一、问题重述太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
本题就是利用物体影子随时间的变化规律来求解拍摄地点与拍摄日期。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
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§ 3 模型的假设
1、所收集的数据资料都是真实可靠的；
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2、文章所统计的出租车均正常运营； 3、出租车和乘客不会中途中断交易； 4、假设乘客使用打车软件均呼叫出租车； 5、匹配程度只与乘客对打车软件服务平台的需求量与司机对打车软件服务平台的供给 量有关。
§ 4 名词解释与符号说明
一、名词解释 出行强度：每人每天出行次数，它可以反映城市交通服务水平； 出租车使用率：在各种出行方式中，选择出租车出行所占比例； 二、符号说明 序号 符号 含义 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 qij xi λi ci tj pij bj Amn α β y1 y2 te 表示第 i 个城市第 j 个时段出租车的需求量 表示第 i 个城市的人口数 表示第 i 个城市出行强度 表示第 i 个城市出租车使用率 表示第 j 个时段出租车需求比 表示第 i 个城市第 j 时段的匹配程度 表示第 j 个城市出租车总量 表示准则层对方案层的判断矩阵 表示乘客使用打车软件打车意愿 表示司机使用打车软件接单意愿 表示打车软件公司对乘客的补贴金额 表示打车软件公司对司机的补贴金额 表示某一时段出租车需求比
§ 5 模型的建立与求解
问题一的分析与求解 1、匹配程度时间函数模型 日常生活中，当需求与供给越接近，既不会造成需求得不到满足，也不会造成资源
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浪费，同时表示此时匹配程度较好。由此说明匹配程度由需求和供给共同决定。所以建 立出租车匹配程度时间函数，需要出租车在所有出行方式中的占用率和出租车的总量。 查阅相关文献[1-2]可得以下数据，如表格 1 所示。 表格 1 基本数据 人口数 （万人） 出行强度 （次/人.天） 出 租 车 占 用 率 出租车总量（万 （%） 辆） 北京（1） 1917 2.64 9.01 6.6646 广州（2） 625.33 1.86 6.25 2.0300 成都（3） 533.96 2.56 7.60 1.4898 济南（4） 360 1.88 15.04 0.8043 哈尔滨（5） 495 2.54 18.23 1.4300 人们每日日常生活，相对比较规律，所以在出行规律也存在一定的相似性。我们通 过查阅相关文献[3]，做出每天从早上 6:30 至晚上 22:00 每隔半小时的出租车需求百分比 图，如图 1 所示。
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方公里。它属于沿海城市，是招商引资重点区域，其经济高度发达。 ③成都 成都中心位于经纬度[104.06667,30.66667]、拥有人口 533.96 万，城市面积 11939.00 平 方公里，它是我国西南地区的金融、商贸、科技中心和交通、通讯的枢纽。 ④济南 济南中心位于经纬度[117.00，36.40]，拥有人口 518.9 万，城市面积 8177.00 平方公里， 它是环渤海经济区与京沪经济轴上的重要交汇点， 环渤海地区与黄河中下游地区中心城 市，山东半岛城市群与济南都市圈的核心城市。 ⑤哈尔滨 哈尔滨中心位于经纬度[126.36， 45.44]， 拥有人口 495 万， 城市面积 53775.00 平方公里。 它是中国东北北部政治、经济、文化中心，也是全国省辖市中面积最大、人口居第二位 的特大城市。 选取这 5 个具有代表不同等级的城市，对基本统计情况如表格 3 所示。 表格 3 城市基本数据4pij qij bi（2）
式中： pij 表示第 i 个城市第 j 时段的匹配程度； bi 表示第 i 个城市出租车总量。 将表 1 与图 1 联系表达式（2）得出的匹配度数据导入 MATLAB 中，进行计算， 求出 5 个城市每个时间段的匹配度（附录 1） ， 如图 2 所示。再以北京为例，在 MATLAB 对数据采用高斯拟合去进行拟合（附录 2） ，如图 3 所示。
图 1 各时段出租车需求量占一天出租车总需求量的百分比 根据表 1 数据与图 1 的曲线变化趋势得出了一天中各个时段需求量与其他变量的函 数关系：
qij xi i cit j （i=1，2，…，5；j=1，2，…，32）
（1）
式中：qij 表示第 i 个城市第 j 个时段出租车的需求量；xi 表示第 i 个城市的人口数；i 表 示第 i 个城市出行强度； ci 表示第 i 个城市出租车在所有出行方式中的占用率； t j 表示 第 j 个时段出租车需求比。 由匹配度与需求和供给之间关系，可以用需求和供给之比来定义匹配度，即：
图 2 不同城市各个时段匹配程度
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图 3 北京地区各时段匹配程度拟合 拟合结果得出匹配度与时间之间的大致函数关系为： （3） 根据经济学中对供求关系的描述，再结合实际情况，对匹配程度提出以下分级，如 表格 2 所示。 表格 2 等级参考 匹配范围 pij<0.5, 0.5<pij<0.7, 0.7<pij <0.9, 0.9<pij<2 （pij） pij >10 5< pij <10 2< pij <5 等级 差 一般 良 优
§ 2 问题的分析
一、对问题的总分析 通过查阅相关文献，获得国内一些城市出租车相关数据，选择北京、广州、成都、 济南、哈尔滨五个相对具有代表性的城市。通过这五个城市的相关数据的分析，建立了 供求匹配函数来衡量匹配程度的模型。 通过查阅相关资料，获得国内一些打车软件的补贴方案，利用层次分析法对不同补 贴方案对“打车难”问题影响程度进行分析，从而得出相关结论。 结合上述分析，结合实例，找出需求和供给与补贴方式关系的模型，得出解决匹配 度与补贴方式的模型。以匹配程度最优为目标函数，补贴方式为约束条件，进行目标规 划，从而求出最优解下的对应补贴方案。以计算结果作为参考，提出新型补贴方案，与 原来数据进行比较分析，从而论证该方案的合理性。 二、对问题的具体分析和处理办法 1、对问题一的分析 结合资料中的相关数据，分别选择北京、广州、成都、济南、哈尔滨五个相对具有 代表性的城市作为研究对象。首先通过这些城市的相关数据，利用 MATLAB 拟合出匹 配程度随时间变化函数关系式；然后选取北京市为研究对象，分析在同一时间段内的不 同区域的匹配程度影响因素，从而确定匹配程度的空间分布特征。 2、对问题二的分析 在网上收集影响打车难的因素和相关打车软件的不同补贴方案， 选择具有代表性的 几个影响因素和几种补贴方案。然后以缓解打车难为目标层，影响打车难的因素为准则 层， 补贴方案为方案层进行层次分析， 最终得出几种补贴方案对缓解打车难的帮助程度。 3、对问题三的分析 根据问题一分析， 再结合相关资料分别得出出租车需求量和供给量与补贴方式之间 的关系。通过问题一中对匹配程度的定义，最终得到匹配程度与补贴方式的关系，并以 匹配程度最优为目标函数。通过问题二结果分析，找出最优补贴方式的范围，从而确定 约束条件。利用 LINGO 求出目标函数的最优解和对应的补贴方案。以结果作为参考， 提出更加合理的补贴方案。
2、匹配程度空间分布特征
出租车在区域空间上的分布是随机的，其中存在某些特定区域吸引、产生了大部分 的出租车载客出行。本文在分析出租车载客空间分布特征时，根据查阅资料[2]，在深圳 选取了功能不同、出租车载客出行集聚的几个较为典型区域，对各个区域内出租车载客 出发、到达空间分布分别进行统计分析，如下所示： ① 北京： 北京中心位于经纬度[116.41667，39.91667]，拥有人口 1972 万，城市面积 16800.00 平 方公里。它是我国首都，是政治文化中心，是传统的金融中心。 ②广州 广州中心位于经纬度[113.23333，23.16667]、拥有人口 625.33 万，城市面积 7263.00 平
网络时代下出租车资源配置问题探讨
摘 要
本文集中讨论了网络时代出租车资源配置问题， 我们针对问题收集有关网络打车软 件服务平台的数据，运用了理论分析、对比分析、综合分析法分别构建匹配程度时间函 数模型与分析了匹配程度空间分布特征，以数据拟合算法为基础，以匹配程度为指标， 运用 MATLAB、LINGO、EXCEL 软件进行数据处理，根据相关数据，分析得出匹配程 度与时空之间的关系。利用层次分析法分析出了 4 种缓解打车难方案的权重矩阵。设计 出了更加合适的补贴方案。对于解决打车难有一定的指导意义。 针对问题一，对于解决匹配程度与时间关系，分别选取了北京、广州、成都、济南 和哈尔滨 5 个城市各个时间段基于网络打车软件服务平台的数据， 得出 5 个城市各个时 间段的匹配程度变化基本一致，都有高峰期，其中大城市高峰期持续时间相对较长。对 于解决匹配程度与空间关系的问题，对上述 5 个城市分别从出租车数量、万人拥有量、 出租车密度以及亿元 GDP 出租车拥有量 4 个方面进行了分析。得出匹配程度与地区发 达程度呈主要相关，也与人口等其它因素相关。 针对问题二，通过查阅相关资料，得到影响打车难的因素和相关公司的补贴方案， 分析总结出 4 个影响因素和 4 种补贴方案。利用层次分析法，分别对 4 种方案进行权重 排序。得到补贴方案： “对乘客返现 10-15 元”对缓解打车难问题最有帮助，其次是“对 司机每单补贴 2 元”。 针对问题三，分别定义了乘客使用软件打车意愿系数和司机使用软件接单意愿系 数，且两个系数均与乘客获得补贴方式有关。再根据问题一，得出匹配程度与补贴方式 之间关系；根据问题二，得出各种方式最优范围，结合实际，给出约束条件。最后建立 目标函数为匹配度最优，约束条件为各种方式最优约束范围。得出在打车高峰期应采取 多补贴司机少补贴乘客方式，即补贴司机 10 元，补贴乘客 6 元；在打车低潮期应采取 多补贴乘客少补贴司机方式，即补贴司机 2 元，补贴乘客 15 元。从而我们提出随时间 变化阶段补贴方式，合理调动乘客与司机积极性，且保持我们的软件平台公司支出相对 稳定。 本文后续对模型进行了误差分析， 指出了模型的优缺点， 进行了模型的评价与推广。 最后，指出了模型的特点与创新性。
表格 3 为 5 个具有代表城市的基本数据，这 5 个城市由综合实力来比较，可以分为 四个等级。分别是超一线城市北京，一线城市广州和成都，二线城市济南以及三线城市 哈尔滨。通过这 5 个区域出租车匹配度分析，基本可以反映全国所有城市出租车匹配程 度。根据资料[]显示，本文分别统计了五个城市的人口、面积、出租车数量、万人拥有 量，出租车密度以及亿元 GDP 出租车拥有量。为了将出租车情况进行一步对比，作出 以下条形图，如图 4 所示。