九年级数学第4讲二次函数探究_二次函数与平行四边形的综合问题教案
(教学设计)二次函数综合(动点)问题平行四边形存在问题教学设计
教学过程一、课堂导入如图，已知平面直角坐标系上的三点坐标分别为A（2，3）、B（6，3），C （4，0），现要找到一点D，使得这四个点构成的四边形是平行四边形，那么点D的坐标_______________________________.问题：这是我们在平面直角坐标系那章学习的内容，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线上求作一点，使得四边形是平行四边形并求出该点坐标时,又该如何解答呢？如果是存在两个动点又该如何解答？二、复习平行四边形性质：两组对边分别平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
三、例题精析【例题】1. （2011湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y=x2+2x-3；(2)见解析；(3) F的坐标为（3，12），（-5，12），（-1，-4）．【解析】解：（1）由题意得{−b2=−14c−b24=−4，解得：b=2，c=-3，则解析式为：y=x2+2x-3；（2）由题意结合图形则解析式为：y=x2+2x-3，解得x=1或x=-3，由题意点A（-3，0），∴AC=√9+9＝3√2，CD＝√1+1=√2，AD=√4+16＝2√5，由AC2+CD2=AD2，所以△ACD为直角三角形；（3）∵A（-3，0），B（1，0），∴AB=4，∵点E在抛物线的对称轴上，∴点E的横坐标为-1，当AB为平行四边形的一边时，EF=AB=4，∴F的横坐标为3或-5，把x=3或-5分别代入y=x2+2x-3，得到F的坐标为（3，12）或（-5，12）；当AB为平行四边形的对角线时，由平行四边形的对角线互相平分，∴F点必在对称轴上，即F点与D点重合，∴F（-1，-4）．∴所有满足条件的点F的坐标为（3，12），（-5，12），（-1，-4）四、课堂小结平行四边形模型探究：1. 已知三个定点，一个动点的情况在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标。
九年级数学上册《探索二次函数的性质》教案、教学设计
3.拓展提高题：针对学有余力的同学，可以尝试完成课本第XX页的拓展题11-15题，深入研究二次函数的性质及其在实际问题中的应用。
4.数学写作：请同学们结合本节课所学，撰写一篇关于二次函数性质与应用的小论文，要求观点明确、论据充分，字数在500字左右。
4.培养学生的创新意识，鼓励学生勇于尝试、善于发现、敢于创新，为未来的发展奠定基础。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念和一次函数的性质有了初步的了解。在此基础上，学习二次函数的性质，他们需要将已学的知识进行拓展和深化。然而，学生在面对二次函数图像的变换、最值问题的求解等方面可能存在困难。因此，在教学过程中，应关注以下几个方面：
（四）课堂练习
课堂练习环节，我会设计以下几类题目：
1.基础题目：求解给定二次函数的顶点、对称轴、开口方向等。
2.应用题目：利用二次函数的性质解决实际问题，如最大（小）值问题、曲线交点问题等。
3.拓展题目：研究二次函数图像的变换规律，以及在实际问题中的应用。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我会带领学生一起回顾本节课所学的内容，总结二次函数的定义、性质、图像变换规律以及最值问题的求解方法。同时，我会强调数形结合的数学思想在解决二次函数问题中的重要性。
3.对于拓展提高题，同学们可以自主选择题目进行研究和探讨，培养自己的创新意识和解决问题的能力。
4.数学写作要注重逻辑性和条理性，通过论文撰写，提高自己的数学表达和归纳总结能力。
5.小组讨论要积极参与，分享自己的学习心得和经验，互相学习，共同进步。
数学人教版九年级上册二次函数中的平行四边形存在性问题(两定两动型)
二次函数中的平行四边形存在性问题（两定两动型）教学设计旬阳县城关一中黄涛目标：1、通过典型例题及其变式训练，进一步巩固二次函数中的平行四边形及特殊平行四边形存在性问题的解题思路和方法，体会数形结合和分类讨论思想的应用过程。
2、通过本节课的学习，感受一题多解的过程及方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。
重点：解决平行四边形存在性问题的一般方法及思路。
难点：根据条件求平行四边形的顶点中动点坐标的求解。
过程：一、典型例题如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，52）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．问题1：如何用待定系数法确定适当的解析式形式？①抛物线上已知三点，可用一般式y=ax2+bx+c；②因为在已知的三点中，A、B两点为抛物线与x轴交点，则可用交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
问题2：如何借助一定的方法通过画图的方式找到M、N点？先确认已知点A、C，连接AC，根据四边形顶点的无序性利用分类讨论思想分别以AC为边和以AC为对角线两种情况进行作图讨论，作图依据平行四边形对边平行且相等的性质进行。
问题3：通过怎样的方法和手段获取点N的坐标？可利用以下四种方法或依据得出符合条件点N的坐标。
①依据对称性求点N坐标②利用三角形全等及数形结合思想求点N坐标③依据平行四边形对边平行且相等利用平移求点N坐标④依据抛物线解析式设点N 坐标为（m N 点与C 点纵坐标相等的原则列得绝对值方程，将所有符合条件的点N 及其坐标完全覆盖得解，注意取舍（这是本题最简方法）。
解：（1）解法1：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5) （a ≠0），将C （0，52-）代入得： a(0+1)(0-5)=52-解得：a=21∴二次函数的解析式为：y=21 (x+1)(x-5)即解法2：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c （a ≠0），∴ ，解得 .∴抛物线的解析式为： y=(2)解法1：存在，理由如下：①以AC 为边时，当N 点位于x 轴下方时，若四边形ACNM 为平行四边形，则CN ∥AM ∴N 与C 纵坐标相等∴点N 与点C 关于抛物线对称轴直线x=2对称∴N （4，52-）当点N 在x 轴上方时， 如图，过点N2作N2D ⊥x 轴于点D ， 在△AN2D 与△M2CO 中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），N2D=OC =解得x=2+或x=2﹣，2+﹣②当AC为对角线时，根据CN∥AM，过C点作x轴平行线与抛物线交点和N重合。
新苏科版九年级数学下册《二次函数中平行四边形存在性问题》教案_1
专题复习——二次函数中平行四边形存在性问题教学目标：1、复习二次函数及平行四边形的相关知识。
2、探索二次函数中平行四边形的存在性问题。
3、培养学生探索精神和分析问题的方法，学习分类讨论的数学思想。
教学重点：培养学生探索精神和分析问题的方法，学习分类讨论的数学思想。
教学难点：平行四边知识的综合应用及分类标准的理解与应用。
教学过程：【类型一】已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，4)，B(－6，－2)，C(6，－2)，若以点A，B，C为顶点作一个平行四边形，试写出第四个顶点D的坐标，你的答案唯一吗？解：答案不唯一，有三种情况：若AB为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(－15，4)；若BC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(3，－8)；若AC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(9，4)．方法：分别过A、B、C三个点作BC、AC、AB的平行线，三条平行线的交点即为所求。
【类型二】，已知两定点，探求另外两点，使之构成平行四边形。
如图是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）中，若以O、A、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．P(0,3),Q(1,3) 或P(1/2, 15/4),Q(3/2,15/4（3）分两种情况，第一种情况，若OA为边，又分为两种情况①OA为边，且P在Q左侧，P（0，3）Q（1，3）或P（1/2，15/4）,Q(3/2，15/4)②OA为边，且P在Q右侧，P（2，3）Q（1，3）或P（-3/2，-9/4）,Q(-5/2，-9/4) 3）第二种情况OA为对角线，P（-3/2，-9/4）Q（1/2，9/4）或P（2，3）,Q(-3，3)【巩固提高】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠O）与x轴交于点A、B两点，其中点A在点B的左侧，其坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，4），抛物线的对称轴为x=1，连接BC．（1）直接写出a、b、c的值。
新苏科版九年级数学下册《二次函数中平行四边形存在性问题》教案_1
专题复习——二次函数中平行四边形存在性问题教学目标：1、复习二次函数及平行四边形的相关知识。
2、探索二次函数中平行四边形的存在性问题。
3、培养学生探索精神和分析问题的方法，学习分类讨论的数学思想。
教学重点：培养学生探索精神和分析问题的方法，学习分类讨论的数学思想。
教学难点：平行四边知识的综合应用及分类标准的理解与应用。
教学过程：【类型一】已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，4)，B(－6，－2)，C(6，－2)，若以点A，B，C为顶点作一个平行四边形，试写出第四个顶点D的坐标，你的答案唯一吗？解：答案不唯一，有三种情况：若AB为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(－15，4)；若BC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(3，－8)；若AC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(9，4)．方法：分别过A、B、C三个点作BC、AC、AB的平行线，三条平行线的交点即为所求。
【类型二】，已知两定点，探求另外两点，使之构成平行四边形。
如图是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）中，若以O、A、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．P(0,3),Q(1,3) 或P(1/2, 15/4),Q(3/2,15/4（3）分两种情况，第一种情况，若OA为边，又分为两种情况①OA为边，且P在Q左侧，P（0，3）Q（1，3）或P（1/2，15/4）,Q(3/2，15/4)②OA为边，且P在Q右侧，P（2，3）Q（1，3）或P（-3/2，-9/4）,Q(-5/2，-9/4) 3）第二种情况OA为对角线，P（-3/2，-9/4）Q（1/2，9/4）或P（2，3）,Q(-3，3)【巩固提高】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠O）与x轴交于点A、B两点，其中点A在点B的左侧，其坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，4），抛物线的对称轴为x=1，连接BC．（1）直接写出a、b、c的值。
九年级数学单元教案-二次函数与平行四边形
二次函数与平行四边形教学目标：通过本节课的学习，让学生了解二次函数与平行四边形结合的基本类型，使学生学会能熟练运用平行四边形的判定方法解决问题，在解题过程中渗透分类讨论的思想与一题多解的数学思想方法。
教学重，难点：教学重点：二次函数的求解，平行四边形的判定教学难点：当平行四边形定点不固定时如何进行分类讨论，尤其是涉及动点问题。
教学过程设计：例1：在平面直角坐标系中，已知抛物线2142y x x =+-与X 轴交于点A ，C ，与y 轴交于点B 。
1）求A,B,C 三点的坐标。
2）点 Q 是直线y x =-上的动点，判断有几个位置能够使得点A ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形，写出相应的点 Q 的坐标，并说明理由．3）在2）的条件下，若点P 是抛物线上的动点，判断又有几个位置能够使得点P ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标。
解题过程：1）令y=o,即21402x x +-=，则124,2,x x =-=(4,0),(2,0)A C ∴- 令x=0，则y=-4，(0,4)B ∴- 2)要使点A ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形1.O B O B A QQ A -Q -a ∴以为边时，必须∥此时点与的横坐标相同为4，（4,4） 2.OB OA BQQ B -Q -b ∴以为对角线时，必须∥此时点与的纵坐标相同为4，（4,4） 综上所述，存在两个位置能够使得点A ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形分别为点1Q -（4,4），2Q -（4,4） 3）(4,4),(4,4),(22---+---+例2：已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线364y x =-+与x 轴、y 轴的交点分 别为A B 、，将OBA ∠对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点.C（1）直接写出点C 的坐标，并求过A B C 、、三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；:解：（1）点C 的坐标为(3,0). ∵ 点A 、B 的坐标分别为(8,0),(0,6)A B ，∴ 可设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为(3)(8)y a x x =--.将0,6x y ==代入抛物线的解析式，得14a =. ∴ 过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为2111644y x x =-+. （2）可得抛物线的对称轴为112x =，顶点D 的坐标为 1125(,)216-，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G . 直线BC 的解析式为26y x =-+.- - - - - - - - - - 4设点P 的坐标为(,26)x x -+. 解法一：如图8，作OP ∥AD 交直线BC 于点P ，连结AP ，作PM ⊥x 轴于点M.∵ OP ∥AD ，∴ ∠POM=∠GAD ，tan ∠POM=tan ∠GAD.∴ PM DG OM GA =，即2526161182x x -+=-. 解得167x =. 经检验167x =是原方程的解. 此时点P 的坐标为1610(,)77. 但此时四边形的对边OP 与AD 平行但不相等，∴ 直线BC 上不存在符合条件的点P.解法二：如图9，取OA 的中点E ，作点D 关于点E 的对称点P ，作PN ⊥x 轴于点N. 则∠PEO=∠DEA ，PE=DE.可得△PEN ≌△DEG ． 由42OA OE ==，可得E 点的坐标为(4,0). NE=EG=32， ON=OE －NE=52，NP=DG=2516. ∴ 点P 的坐标为525(,)216. ∵ x=52时，52526261216x -+=-⨯+=≠， ∴ 点P 不在直线BC 上. ∴ 直线BC 上不存在符合条件的点P .探究提高：平行四边形中的二次函数如图，在菱形ABCD 中，2AB cm =，60BAD ∠=︒，E 为CD 边中点，点P 从点A 开始沿AC方向以每秒的速度运动，同时，点Q 从点D 出发沿DB 方向以每秒1cm 的速度运动，当点P 到达点C 时，P Q ，同时停止运动，设运动的时间为x 秒．（1）当点P 在线段AO 上运动时．①请用含x 的代数式表示OP 的长度；②若记四边形PBEQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当0x =时，四边形PBEQ 即梯形ABED ，请问，当P 在线段AC 的其他位置时，以P B E Q ，，，为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x 的值；若不能，请说明理由．小结：1.学生总结：通过本节课的学习你有什么收获？（数学知识，数学思想方法）2.教师小结：二次函数与平行四边形的结合比较常见，不仅在二次函数中某C A些动点的移动会产生平行四边形，而且在平行四边形中某些动点的移动也会产生一些图像的面积会是二次函数，但是解题的关键都是熟练掌握相关知识，学会将他们联系在一起。
九年级数学《二次函数》教案
九年级数学《二次函数》教案初中数学二次函数教案篇一准备目标1、知识与技能(1)进一步理解表达式y=Asin(ωx+φ)，掌握A、φ、ωx+φ的含义；(2)熟练掌握由的图象得到函数的图象的方法；(3)会由函数y=Asin(ωx+φ)的图像讨论其性质；(4)能解决一些综合性的问题。
2、过程与方法通过具体例题和学生练习，使学生能正确作出函数y=Asin(ωx+φ)的图像；并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。
教学重难点重点：函数y=Asin(ωx+φ)的图像，函数y=Asin(ωx+φ)的性质。
难点：各种性质的应用。
教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】函数y=Asin(ωx+φ)的性质问题，是三角函数中的重要问题，是高中数学的重点内容，也是高考的热点，因为，函数y=Asin(ωx+φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型，与我们的生活息息相关。
五、归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、布置作业：习题1-7第4，5，6题。
课后小结归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？课后习题作业：习题1-7第4，5，6题。
板书一、素质目标(一)知识教学点使学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确地用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
数学人教版九年级上册二次函数与平行四边形
综
合
练
习
，
巩
固
提
高
练习：已知在抛物线 上，点A的坐标为（3,1），点B的坐标为（2,3），在抛物线的对称轴 上找一点D，在x轴上找一点C，使以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D的坐标。
自主探究，合作交流
通过练习，进一步巩固学生对平行四边形的性质和判定的理解和应用。着重体会画法和求法的灵活应用的能力。从而体会一题多解和多题一解的好处。
数学优秀课教学设计
单位
章党镇九年一贯制学校
授课教师
张连和
日期
2017.5.17
课题
二次函数与平行四边形课型源自复习课课时第一课时
教材分析
二次函数与平行四边形的知识主要是抚顺中考26题的压轴题，点的存在性问题。给出三个定点找一个动点，以四个点为顶点构成平行四边形，找到动点并求动点的坐标；给出两个定点，再找两个有条件限制的动点，以四个点为顶点构成平行四边形，找出两个动点，并求出其中一个动点的坐标。
5、学生板演，说明根据，学生补充。
6、我们找到了M点后，怎样求呢？师生进一步交流，还有其他方法吗？
7、师生归纳：全等法、方程法、平移法、倍长中线法。
8、比较哪种方法更简单呢？
那么利用以上几种方法求点的坐标你学会了吗？那么我们继续闯关。
引起学生学习的兴趣。从最简单的图形入手，从学生的原有的知识出发，激活学生原有的认知结构中的有关知识。
4、怎样求呢？师生交流学生汇报，教师点评。交流其它方法。
体会不确定性。
先找一个再找一个逐一解决，进一步体会分类讨论的思想，进一步体会平行四边形的性质和判定的灵活应用。着重体现找的方法和根据。
激励学生进一步提高自己。
初三数学 二次函数与平行四边形的综合问题教案
教学过程一、课堂导入二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值12分，难度较大。
主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。
此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。
就本节二次函数与平行四边形的点存在性问题，主要考查了学生能否将平行四边形的性质与判定融入到二次函数，在函数图像中构造题意所需图形的能力。
二、复习预习平行四边形的判定与性质1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2. 性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形两组对边分别相等；③平行四边形两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分；3. 判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；三、知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 探究平行四边形的一般思路在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：（1）假设结论成立；（2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有两种：第一种是：①从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；第二种是：①以给定的3个定点两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；（3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解。
九年级数学下册 26.1二次函数(4)精品教案 人教新课标版【教案】
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入
1.函数 y ax2 k 的图像可以由函数 y ax2 的图像上下平移
得到，平移的规律是怎么样的？
2.猜想函数 y 1（x 1）2 的图像是否可以由函数 y 1 x2 的图像通过
2
2
平移得到？
二、探究新知
1.在同一直角坐标系中画二次函数 y 1 x2 、 y 1（x 1）2 、
用 描 点 法 画 二 次 函 数 y a（x h)2 的 图 像 ， 归 纳 整 理 得 出 抛 物 线 y a（x h)2 的特点. 继续渗透体会数形结合思想，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯， 增强学习信心.
二次函数的 y a（x h)2 图象和性质.
教学难点
理解抛物线 y ax2 和 y a（x h)2 的位置关系.
ax2 向左平移 h（h>0）个单位，就 得到抛物线 y a（x h)2 ；把抛物线 y ax2 向右平移 h（h>0） 个单位，就得到抛物线 y a(x h)2 。 4.在同一直角坐标系中画函数 y （2 x 2）2 ，y 2x2 ，y （2 x 2）2
像特点，思考教 师提出的问题。 教师指导感觉 困难的学生， 将发现的结论
在前面二次函 数图像性质的 研究的基础进 一步研究形如 y a（x h)2 的二次函数的 图像和性质
通过学生亲自 动手画图像，观 察，思考，初步 感知抛物线 y a（x h)2 的图 像特点
通过观察图像， 以及图像上横 坐标相同的点 的位置关系，初 步了解抛物线 之间的的平移 规律
.
2. 函数 y x2 2x 1的图像和 x 轴的交点坐标是
九年级数学下册 26.1《二次函数》(第4课时)教案 新人
《26.1 二次函数》 教 学 设 计学科数学 教者 题目教 学 目 标 知识 与技能 1．使学生能利用描点法画出二次函数y ＝a(x —h)2的图象。
2．让学生经历二次函数y ＝a(x －h)2性质探究的过程，理解函数y ＝a(x －h)2的性质，理解二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的关系。
过程与方法情感态度与价值观 让学生经历二次函数y ＝a(x －h)2性质探究的过程，理解函数y ＝a(x －h)2的性质，理解二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的关系.教 材 分析 教学重点 会用描点法画出二次函数y ＝a(x －h)2的图象，理解二次函数y ＝a(x －h)2的性质，理解二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的关系是教学的重点。
教学难点 理解二次函数y ＝a(x －h)2的性质，理解二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的相互关系是教学的难点。
教 学 过 程教师活动 学生活动 备注（设计目的、时间分配等）一、设疑启发 1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y ＝－12x 2，y ＝－12x 2－1的图象，并回答： (1)两条抛物线的位置关系。
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(3)说出它们所具有的公共性质。
2．二次函数y ＝2(x －1)2的图象与二次函数y ＝2x 2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 二、探疑互动 问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题? 问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝2x 2与y ＝2(x －1)2的图象吗?学生回答。
画出二次函数y ＝2(x －1)2和二次函数y ＝2x 2的图象，并加以观察)教师活动 学生活动 备注（设计目的、时间分配等）二、探疑互动问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?(画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察)问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗?教学要点1．让学生完成下表填空。
二次函数与平行四边形动点问题教学设计
二次函数与平行四边形动点问题教学设计一、教材分析本节课是中考总复习的一节关于二次函数与平行四边形动点问题的一节课，常在中考压轴综合题中考察.压轴综合题是初中数学中覆盖面最广、灵活性最强的题型.从知识结构分析可为两大类型：一类是以几何图形为主干的几何综合题；另一类是以函数图像为主干的代数综合题. 本堂课的内容属于第二类，代数综合题在关注函数与几何图形结合的同时，也要强调基本计算能力的训练，特别是含有字母的代数运算；近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答.二次函数和平行四边形分别是初中数学代数和几何较为重要的内容，也是中考代数综合压轴题的常考内容，其中动点问题这类动态几何更能较好的考察学生的观察、分析、比较、概括能力及发散思维能力，对激发学生学习兴趣、培养学生的创新探索能力十分有利，是今后中考常考的题型.二、学情分析1、初中主要数学知识已学完，学习基础较好；2、求知欲强，喜欢动态几何问题的探索;3、学生已经掌握了根据平行四边形的一组对边平行且相等解决二次函数与平行四边形动点问题的相关问题了.三、教学目标1、知识与技能：学生通过本节课的学习，掌握二次函数与平行四边形动点问题的主要特征以及这一类问题的一般解题思路，并能解决此类型简单的动点问题.2、过程与方法：①学生经历课上对简单动点问题的学习，理解平行四边形的性质与判定，对简单动点问题的解法方法有初步的理解；②学生对动点问题的求解方法解题策略进行归纳，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.3、情感态度价值观：学生在自主解题和师生探究的学习过程中体会数形结合、分类谈论、方程思想等数学解题思想在解题中的应用，体验探索数学的乐趣，感受数学的严谨及数学结论的确定性.四、教学重难点1、教学重点：应用平行四边形的性质和判定定理解决二次函数与四边形形状.2、教学难点：运用图形的性质和判定寻找运动中的特殊位置，利用方程思想解决问题.五、教法说明课堂教学中采用“主体学习法”，坚持学生是学习的主体，教师引导点拨，关注学生的个体差异，课后的研究性学习中采用“组间同质，组内异质”的原则合理分组，并深入小组，有效地实施有差异的分层次教学辅导.六、学法指导这堂课主要引导学生“大胆思想，勇于探索，发现问题，解决问题”的研讨室学习方法，是学生的思维始终处于积极状态，增强学生的参与意识，是学生真正成为学习的主体.七、教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图1.直接点题二次函数与几何图形相结合的函数综合注意力被吸吸引学生的注压轴题是中考的热门考点. 引到课堂上意力.来.2. 带着学生梳理考点，归纳总结以往解题策略. （1）常见考点：①确定二次函数解析式②与函数有关的最值问题（线段最值、面积最值）③运动问题中特殊位置的数量和位置关系④与动点有关的存在性问题（直角三角形、等腰三角形、特殊四边形等）本节课主要解决二次函数与平行四边形动点问题的研究方法和策略（2）解题策略：先画出平行四边形，再根据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形对角线互相平分” 来解决. 根据自己的通过简单的提做题记忆提问让学生主动出考点，并参与到课堂并一、开门结合以往经调动学生的积见山，考验提炼解题极性.点引入策略.（5 分钟）（一）预备知识学生动笔画明确不共线四如图 1，已知不在直线上的三点 A,B,C，在平面图尝试解点围成平行四内另找一点 D，是以 A,B,C,D 为顶点的四边形为平行答. 边形的可能四边形，有多少可能性？性.总结学生的结论答案有三种：①以AB 为对角线的ACBD1;②以AC 为对角线的ABCD2;二、经典③以AD 为对角线的ABD3C.例题，启得出上面辅助结论后，师生共同探究例 1导探究（二）三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题例 1 已知抛物线y =x2 - 2x +a(a < 0) 与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线y =1x -a 分别与x 轴、y 轴相2交于点B、C ，并且与直线AM 相交于点N . (1) 填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则M ( )，N ( ) ；i（2）在抛物线y =x2 - 2x +a(a < 0) 是否存在一点P ，积极参与问通过简单题目（10 分题的探究，的练习，加强钟）思考问题，学生用几何法对平行四边解决此类动点形存在的情的技能，为后况进行分类面提出代数法讨论. 解题作铺垫.三、深化 （三）两个定点、两个动点，探究平行四边形的存在性问题 例 2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过 A (-1,0), B (3,0),C (0,-1) .（1） 求出抛物线的表达式； （2） 点Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使以点Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标.ii解：（1） y = 1 x 2 - 2x -13 3（2） P (-4,7), P (4, 5), P (2,-1)1 23 3教师针对学生的板演结果进行点评，并归纳总结. 一题多变：把点Q 放在 x 轴或某一定直线上，满足条 件的点 P 坐标又如何呢？总结：这种题型一个动点在抛物线上，另一个动点在 x 轴（ y 轴）或对称轴上或某一直线上.解题策略：设动点坐标→把坐标轴或定直线的动点看成定点→转化为三定一动问题解决.学生实战演由特殊到一 拓展，锻 练，应用新 般，新知的应 炼思维 知，请两位 用巩固.让学 (10 分钟)学生板演生在实践中理 解新知，应用新知，掌握新知.四、一题 再变，提 提升 1：在例 2 的背景下，以点Q 、P 、A 、B 为顶点学生自主讨论，并大胆 发挥典型例题的功能，不失 升能力(7 分钟) 的四边形可能是菱形吗？如果可能求出点 P 的坐标； 如果不可能，请说明理由. 的分享小组的讨论结果 时机的引导学生将其适当变 分析：只需在平行四边形的条件下，用两点距离公式 形，可以激发 验证其中一组邻边是否相等即可.学生的求知欲望，培养学生 提升 2：在例 2 的背景下，以点Q 、P 、A 、B 为顶点自主探究的良好习惯，使学的四边形可能是矩形或是正方形吗？如果可能求出 生从紧张复习 点 P 的坐标；如果不可能，请说明理由. 的“题海”中 解脱出来无疑 分析：只需在平行四边形的条件下，借助勾股定理逆 是一个很好的 定理验证有一个角是 90°即可. 策略. 五、反思 解题反思：通过例题和拓展、变式训练的学习， 你有什么体会？ 师生反思：复习课不是简单的知识再介绍，也不 是机械的习题操练，我们要做到：讲出新水平，练出 学生分享心 让学生充分体 提炼，提 得体会 会“一题多变， 升思维(3 方法归一”. 分钟)在讲完例题的八、板书设计本节课设计的容量不大，但是对学生的综合能力要求相对较高，在复习课堂中结合图像的演示和预备知识的铺垫努力做到题意让学生理解；方法让学生探索；规律让学生寻找。
2020年中考数学专题复习教案：二次函数与平行四边形
二次函数与平行四边形教学目标：使学生掌握二次函数与平行四边形结合的综合题的解法教学重点：重点讲解从单纯的平行四边形的构造到与二次函数的结合的区别与联系教学难点：平行四边形与二次函数的结合综合题的掌握一、预备知识：通过三道构造平行四边形的例题，从而实现从一般到特殊的转化1、作图题：已知A、B、C三点，以已知A、B、C三点为顶点作平行四边形ABCD，这样的平行四边形能作几个？2、已知如图，写出A、B、C三点的坐标，以A、B、C三点为作平行四边形ABCD，并求出D的坐标。
ACB3、 在直角坐标系中有三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c ，（其中0c >）．求以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形，用含c 的式子并求出所有符合条件的P 点坐标．二、二次函数与平行四边形的结合通过三道例题的讲解使学生充分感知二次函数与平行四边形综合题目的做法1、如图1，已知抛物线y ＝ax 2－2ax －3与x 轴交于A 、B 两点，其顶点为C ，过点A 的直线交抛物线于另一点D(2，－3)，且tan ∠BAD ＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使以A ，D ，F ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．2、已知：抛物线y ＝x 2－2x ＋a （a ＜0）与y 轴相交于点A ，顶点为M ．直线y ＝21x －a 分别与x 轴，y 轴相交于B ，C 两点，并且与直线AM 相交于点N ．（1）填空：试用含a 的代数式分别表示点A 、B 、C 、M 、N 的坐标，则A （ ， ），B （ ， ）；C （ ， ），M （ ， ），N （ ， ）；（2）在抛物线y ＝x 2－2x ＋a （a ＜0）上是否存在一点P ，使得以P ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由．图1 备用图3、如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．。
九年级数学《二次函数》(第四节)教学设计
回顾二次函数 图象的特征，集体交流，电脑演示：
温故二次函数 中的a、c对二次函数图象的作用.
让学生大胆猜想一般地二次函数 可能是由 平移得到的.
诱思探究，获取新知（1-9分）
1．函数y=a(x-h)2的图象与性质
【探究】，在同一坐标系中，画出函数y=- (x+1)2和函数y=- (x-1)2的图象．
例3若直线y=3x+m经过第一、三、四象限，则抛物线y=(x-m)2+1的顶点必在第象限
A.一B.二C.三D.四
教师引导：
解这类型题要将不同形式的解析式统一为y=a(x-h)2+ k的形式，再根据图象特征填写．这样更便于解答.
抛物线的移动，主要看顶点位置的移动．
学会利用公式解决问题.即化归思想的运用.
设计意图
创设情境，导入新课(1-5分)
(1)抛物线y=2x2，y=2x2+3，y=2x2-3的对称轴，顶点坐标，开口方向各是什么？它们之间有何关系？
(2)抛物线y=ax2中，a起什么作用？对抛物线有何影响？a值相同，能说明什么？
小明作出了函数y=3x2与函数y=3x2+6x+5的图象，发现它们有极为相似的地方，却不明白是什么原因，你能帮助说明其中的道理吗？导入新课
y=4(x+2)2-7
向上
x=-2
（-2，-7）
课后辅导备选题
1. 二次函数y= (x-3)2+4的图象可以看作是二次函数y= x2图象向平移个单位，再向平移个单位得到的.
2. 如果二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴为x= -l,则h=；如果它的顶点坐标为，则k的值为.
3. 确定下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标（口答）
初中数学华东师大九年级下册第26章 二次函数二次函数与平行四边形存在性问题教学设计
二次函数与平行四边形存在性问题教学设计教学目标：1.通过对二次函数知识点的回顾，增强学生对函数知识点的认识。
2.进一步增强学生对二次函数的综合应用能力。
3.把二次函数的知识与平行四边形的判定结合起来，强化对函数的运用能力。
教学重点：进一步增强学生对二次函数的综合应用能力。
教学难点：把二次函数的知识与平行四边形的判定结合起来，强化对函数的运用能力。
教学过程：一、复习引入1．抛物线2)3(4-=x y 的开口 ；对称轴是 ；顶点坐标是 2．已知抛物线3)1(22-+-=x y ，若y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是 3. 已知二次函数2)3(2-=x y .下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=－3；③其图象的顶点坐标为（3,0）；④当x<3，y 随x 的增大而减小.则其中说法正确的有 （填序号）4. 平行四边形的判断方法有哪些？二、探究学习探究一：如图，在平面直角坐标系中，顶点为⎪⎭⎫ ⎝⎛825-23，的抛物线交y 轴于点C ()2,0-，交x 轴于点A ，B 两点，点A 在点B 的左侧，F 点是y 轴上一动点，Q 点是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)F 点运动到何位置时，△POA 与△ABC 相似？并求出此时P 点的坐标；(3)当以A 、B 、P 、Q 四点为顶点的四边形为平行四边形时，求Q 点的坐标．变式练习：如图，抛物线52-+=bx ax y 与坐标轴交于A(-1,0)，B （5,0）,C(0,-5)三点，顶点为D ．(1)请直接写出抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)连接BC 与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点(点P 不与B 、C 两点重合)，过点P 作PF//DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①是否存在点P ，使四边形PEDF 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． ②过点F 作FH ⊥BC 于点H ，求△PFH 周长的最大值．（四）拓展延伸探究二：如图，抛物线252++=bx ax y 与直线AB 交于点A(-1,0)，⎪⎭⎫ ⎝⎛25,4B 点D 是抛物线A ，B 两点间部分上的一个动点(不与点A ，B 重合)，直线CD 与y 轴平行，交直线AB 于点C ，连接AD ，BD ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点D 的横坐标为m ，△ADB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C 的坐标；(3)当点D 为抛物线的顶点时，若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线AB 上的动点，判断有几个位置能使以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．当堂测评教学反思：本节课采用“先学后教，小组合作”的教学模式教学，循序渐进，从二次函数复习到二次函数与平行四边形结合应用，逐步帮助学生把二次函数知识点应用到具体问题中，设计了变式练习是为了提高认知结构的区分度和概括度。
九年级数学 第4讲 二次函数探究-二次函数与平行四边形的综合问题教案
二次函数与平行四边形的综合问题知识点二次函数综合；平行四边形的性质及判定； 教学目标1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题 2．灵活运用数形结合思想 教学重点巧妙运用数形结合思想解决综合问题； 教学难点 灵活运用技巧及方法解决综合问题；平行四边形的判定与性质1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2. 性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形两组对边分别相等；③平行四边形两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分；3. 判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 探究平行四边形的一般思路在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：（1）假设结论成立；（2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有两种：第一种是：①从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；第二种是：①以给定的3个定点两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；（3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解。
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二次函数与平行四边形的综合问题知识点 二次函数综合；平行四边形的性质及判定； 教学目标 1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题 2．灵活运用数形结合思想教学重点 巧妙运用数形结合思想解决综合问题； 教学难点灵活运用技巧及方法解决综合问题；平行四边形的判定与性质1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2. 性质：①平行四边形两组对边分别平行； ②平行四边形两组对边分别相等； ③平行四边形两组对角分别相等； ④平行四边形的对角线互相平分；3. 判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2bxc （a ，b ，c 是常数且a ≠0那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2bxc （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2bxc ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2bxc 而言，其顶点坐标为（－2b a，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2k 而言其顶点坐标为（h ，k•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 探究平行四边形的一般思路在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：（1）假设结论成立；（2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有两种：第一种是：①从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；第二种是：①以给定的3个定点两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；（3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解。
例题精析例1如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．例2如图，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．例3如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．A例4如图，抛物线y=ax2bxc交x轴于点A（3,0点B（1,0交y轴于点E（0，3点C是点A关于点B 的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行，直线y=xm过点C，交y轴于点D. （1）求抛物线的函数表达式；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标.课程小结有针对性的对平行四边形的性质及判定与二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与平行四边形的综合问题提供有利的依据。
在探究二次函数与平行四边形的综合问题时，抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出平行四边形，并能运用平行四边形的性质解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。
例1规范解答(1) 因为抛物线与x 轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，设y ＝a(x ＋4)(x －2)．代入点B(0,－4)，求得12a =． 所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--．所以2142MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++．因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论：当OB 为一边时，那么PQ OB ，PQ ＝OB ＝4．设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-． ①当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得225x =-±．此时点Q 的坐标为(225,225)-+-（如图3或(225,225)--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=．解得4x =-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）．图3 图4 图5当OB 为对角线时，PQ 、OB 互相平分，PB OQ （如图6此时点Q 的坐标为(4,－4)图6总结与反思1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．2．把△MAB 分割为共底MD 的两个三角形，高的和为定值OA ．3．当PQ 与OB 平行且相等时，以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，按照P 、Q 的上下位置关系，分两种情况列方程．例2规范解答（1）A （－1，0B （3，0C （0，3）．抛物线的对称轴是x ＝1． （2）①直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3．把x ＝1代入y ＝－x ＋3，得y ＝2．所以点E 的坐标为（1，2）．把x ＝1代入322++-=x x y ，得y ＝4．所以点D 的坐标为（1，4）．因此DE=2．因为PF D E ，点P 的横坐标为m ，设点P 的坐标为)3,(+-m m ，点F 的坐标为)32,0(2++-m m ，因此m m m m m FP 3)3()32(22+-=+--++-=．当四边形PEDF 是平行四边形时，DE=FP ．于是得到232=+-m m ．解得21=m ，12=m （与点E 重合，舍去）．因此，当m=2时，四边形PEDF 是平行四边形时． ②设直线PF 与x 轴交于点M ，那么OMBM=OB=3．因此BM FP OM FP S S S S CPF BPF BCF ⋅+⋅=+==∆∆∆2121 m m m m 29233)3(2122+-=⨯+-=．m 的变化范围是0≤m ≤3．图2 图3总结与反思1．数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 2．当四边形PEDF 为平行四边形时，根据DE=FP 列关于m 的方程． 3．把△BCF 分割为两个共底FP 的三角形，高的和等于OB ．例3规范解答解：（1）令y=0，解得x 1=﹣1或x 2=3，∴A （﹣1，0B （3，0将C 点的横坐标x=2，代入y=x 2﹣2x ﹣3，得：y=﹣3，∴C （2，﹣3）；∴直线AC 的函数解析式是：y=﹣x ﹣1；（2）设P 点的横坐标为x （﹣1≤x ≤2则P 、E 的坐标分别为：P （x ，﹣x ﹣1E （x ，x 2﹣2x ﹣3 ∵P 点在E 点的上方，PE=（﹣x ﹣1）﹣（x 2﹣2x ﹣3）=﹣x 2x2=﹣（x ﹣12）294，∴当x=12时，PE 的最大值=94； （3）存在4个这样的点F ，分别是：F 1（1，0F 2（﹣3，0F 3（47，0F 4（4﹣7，0）．①如图1，连接C 与抛物线和y 轴的交点，那么CG ∥x 轴，此时AF=CG=2，因此F 点的坐标是（﹣3，0）；②如图2，AF=CG=2，A 点的坐标为（﹣1，0因此F 点的坐标为（1，0）；因此F 点的坐标为（1，0）；③如图3，此时C ，G 两点的纵坐标关于x 轴对称，因此G 点的纵坐标为3，代入抛物线中，即可得出G 点的坐标为（1±7，3由于直线GF 的斜率与直线AC 的相同，因此可设直线GF 的解析式为：y=﹣xh ，将G 点代入后， 可得出直线的解析式为：y=﹣x7．因此直线GF 与x 轴的交点F 的坐标为：（47，0）；④如图4，同③可求出F 的坐标为：（4﹣7，0）；综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F 点． 总结与反思1. 抛物线223y x x =--与x 轴的交点即为A 和B ，再将A 和C 带入求解直线方程。
2. 将点P 和点E 坐标设出后，求解最大值。
3. 将已知AC 边作为边或者对角线分类讨论求出点坐标。
例4规范解答（1）设抛物线的函数表达式为y=a(x1)(x3).∵抛物线交y 轴于点E （0，3将该点坐标代入得a=1,∴抛物线的函数表达式为y=(x1)(x3)=xx3. (2) ∵点C 是点A 关于点B 的对称点，点A 的坐标为（3,0点B 的坐标（1,0∴点C 的坐标（5,0）. 将点C 的坐标代入y=xm,得m=5，∴直线CD 的函数表达式为y=x5.设K 点的坐标为（t,0）,则H 点坐标为(t,t5),点G 的坐标为（t,tt3）.∵点K 为线段AB 上一动点，∴3≤t ≤1.∴HG=(t5)(tt3)=t 23t8=(t23)2441. ∵3≤t ≤1. ∴当t=23时，线段HG 的长度有最大值441. （3）∵点F 是线段BC 的中点.点B （1,）点C （5,0∴点F 的坐标为（3,0∵直线l 过点F 且与y 轴平行，∴直线l 的函数表达式为x=3,∵点M 在直线l 上，点N 在抛物线上，∴设点M 的坐标为（3，m ）,点N 的坐标为（n,nn3）.∵点A （3,0点C （5,0）. ∴AC=8.分情况讨论：①若线段AC 是以点A,C,M,N 为顶点的平行四边形的边，则须MN ∥AC,且MN=AC=8，当点N 在点M 的左侧时，MN=3n ，∴3n=8，解得n=5，∴点N 的坐标为（5，,1）；当点N 在点M 的右侧时，MN= n3， ∴n3=8，解得n=11，∴点N 的坐标为（11，140）.②若线段AC 是以点A,C,M,N 为顶点的平行四边形的对角线，由“点C 是点A 关于点B 的对称点”知：点M 与点N 关于点B 中心对称，取点F 关于B 的对称点P ，则P 的坐标为（1,0过P 作NP ⊥x 轴，交抛物线于点N ，将x=1代入y=xx3.得y=4，过点N ，B 作直线NB 交直线l 于点M ，在△BPN 与△BFM 中，∠NBP=∠MBF ，BF=BP ，∠BPN=∠BFM=90°，∴△BPN ≌△BFM, ∴NB=MB. ∴四边形ANCM 为平行四边形，∴坐标为（1，4）的点N 符合条件.∴当N 点的坐标为（5,12（11,140（1，4）时，以点A,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边形.总结与反思1. 用交点式表示出二次函数的表达式，再将抛物线与y轴的交点坐标代入求得a的值，得出二次函数的表达式；2. H、G的横坐标相同，用一字母t表示出H、G两点的坐标，其长度就是两点纵坐标之差，这样得到长度关于t的二次三项式，结合t的取值范围，求的HG的最大值；3．要分AC是对角线和边两种情况来讨论，AC为边时，点M、N的左右位置不一样，结果又不一样，考虑要周到，运算一定要仔细．。