案例分析与数学教师的专业发展

案例分析与数学教师的专业发展

顿继安1

裴艳萍

2

(1.北京教育学院数学系 2.北京市门头沟区新桥路中学)

在平凡的数学教学生活中,经常会发生一些让老师有所触动的故事.这些故事可以成为被抛进平静湖面的小石子,虽然激起了丝丝涟漪,但是很快会消逝于深邃的湖底;也可以通过多角度地分析与解读,成为引领我们思考和认识数学教育基本规律的的璀璨明珠.

下面就是一个这样的故事:

在讲完分式通分后,P 老师留了书上的练习为作业,题目都是常规问题,P 认为很简单.当晚9点多,P 正忙着写计划时,邓同学打来电话:a a +b ,b a -b 最简公分母是什么?

P 很诧异:这怎么不会呢?不就是(a +b)(a -b)吗?!

邓当时迟疑了一下,然后 啊!了一下,放下了电话.

类似地讨论:要使过点(a,b)的曲线的切线有两条,则方程(*)有两相异实根,显然a ∀0,当t =0,t =a 时,函数g (t)取得极(大或小)值,要使方程(*)有两相异实根,函数g (t)的极大(小)值中有一个为零,即下面两种情况:

a +

b =0或#b -f (a)=0,亦即:结论5 中心切线y =-x 除对称中心上的所有的点,或曲线y =f (x )上除对称中心上的所有的点.

至此中心切线y =-x ,直线x =0,三次曲线y =f (x )将坐标平面划分的几个区域,过该区域内一点可作曲线的切线的条数如下图所示

.

生6提出问题(六):探究任意的三次曲线

f (x )=ax 3+bx 2+cx +d(a ∀0)直线x =-b

3a ,中心切线,将平面分成的几个区域中,过区域内的点作曲线的切线,切线的条数有怎样的结论?可得出:

结论6 该三次曲线的下方,与中心切线的上方的公共区域,或该三次曲线的上方,与中心切线的下方的公共区域,存在三条不同切线;三次曲线上,中心切线上,除对称中心上的所有的点的区域存在两条不同切线;其余的区域,及对称中心只有一条切线.这几个区域关于对称中心对称.(建议同学们课后加以证明)

对于本堂课产生的效果是令人欣慰的,一是学生探究的积极性很高,敢于猜想,有力地激发了学生的探究性思维,培养了探究能力,二是探究的结论科学性强,可以享受数学的对称美.

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2010年 第49卷 第2期 数学通报 本文为北京市教育科学十一五规划重点课题 三维目标与单元教学设计!成果.

由于当时太忙,P并没有过多的思考学生为什么问出这个问题,接着写计划.

第二天上课本应讲分式加减法混合运算,P 首先提问:如何进行异分母加减法运算?!

学生:异分母的加减法运算首先要转化为同分母,那就需要通分.

P又问:通分同学们有问题吗?

本来以为学生会爽快地说:没有问题!这时,陈同学(学习成绩总在班上的前三名)站起来:老师,昨天,作业上有一道题我感觉没有办法通分.

P问:哪一道?

陈同学说:21页1题(2)

P打开书,发现是a

a+b,

b a-b.

P马上想起昨晚的电话,意识到一定学生在哪里出了问题,于是马上追问:你为什么说没有办法通分呢?

陈说:分母不是乘积形式,没有办法确立最简公分母.

P马上构思并讲解:将a+b,a-b看作一个整体,或者看作1∃(a+b),1∃(a%b)不就行了!!接下来想马上进入新课.

然而,此时,周同学站了起来:老师,我认为您这样解释他还是不会明白,而且这不是他不会的&根儿∋.其实,a+b,a-b是互质的,就像2和3!.

很多学生呼应道:对,所以是它俩的积!

P看到了陈同学的表情豁然开朗,感到很高兴,认为这下可以进入新课了.

没想到,又有一位齐同学问:

1

x2+y2

,

1

(x+y)2

如何通分?!

其他同学异口同声:那不就是周说的吗!互质,乘积!

((

类似的故事相信在许多初中教师的课堂上都发生过,a+b,a-b看作一个整体,或者看作1∃(a+b),1∃(a-b)不就行了!!,面对遇到学生的问题,P老师的反应也是一般老师们的常见反应%%%把学生的问题归因于缺乏整体思想!.

但是,整体思想!的本质是什么?为什么这么多的学生缺乏整体思想!?数学上还有哪些知识的学习存在着类似的困难?((如果我们能够这样追问下去,也许会赋予这个故事以不同的意义.

下面,我们就对上面的故事从多个视角进行解读.

视角1 数学知识

从数学知识的角度看,分式通分的意义似乎简单而清楚,即对异分母分式

c

a

+

d

b

(这是分式通分的原型问题)做加减运算时,需要按照代数式恒等变形的原则统一分母后再相加:

b

a+

b

c=

bc

ac+

ad

ac=

bc+ad

ac

这里的字母a、b、c、d表示任何一个数,也可以表示任何一个代数式,所以上述的过程适用于任何两个异分母分式的加减法,P老师布置的作业,是学习了分式通分!后的常规题目.

然而这样的解释只反映了数学知识的结论,却掩盖了人类探索知识过程中的思维过程,不利于发挥知识的育人价值.

在上面的故事中,老师们希望学生掌握的是整体思维!,指的是将一个代数式用一个字母表示,其中包含把一个缺乏结构的问题转化为一个结构化的问题的思维过程.

然而,教师往往采用把a+b,a-b看作一个整体!的方式进行教学,这是把思想方法作为具体的解题方法进行教学的表现,学生通过训练掌握了这些具体方法并不意味着就能领会到方法背后的思维活动,因此并不一定能灵活运用这些方法.以故事中的整体思想!为例,面对找不到最简公分母!和没有办法通分!的困惑,如果我们能够引领学生去思考通分的目的、分式通分可以利用的资源,体会目的和资源关系的实质是实现通分,需要找公分母,帮助学生以分式通分原型问题的结构为基础去寻找新问题的解决方案,理解原型问题对于数学解决问题活动的作用与价值,进而理解把加减算式看成是乘法算式的意义,那么就能够揭示出整体思想!的思想性、过程性的价值.

视角2 学生的认知

这个故事让我们看到,即使是优秀的学生陈受到了分母不是乘积形式!的影响,认为没有办法确定最简分母!,而已经独立将问题解决的周同

40数学通报 2010年 第49卷 第2期