数学史著名公式定理在初中数学中的运用(Word版含答案解析)

数学史著名公式定理在初中数学的运用

2018.7

1.我们把1，1，2，3，5，8，13，21，这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依

次以这列数为半径作圆弧，，，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结，，，得到螺旋折线如图，已知点，，，则

该折线上的点的坐标为（）.

A. B. C. D.

2.阅读下面的材料：1750年欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中

一条是：如果用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有这个发现，就是著名的欧拉定理根据所阅读的材料，完成：一个多面体的面数为12，棱数是30，则其顶点数为．

3.数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．

；；

；；

；；

；

通过这组等式，你发现的规律是请用文字语言表达．

4.“斐波那契数列”是这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，从第3个数开始，

每个数是前面两个数的和“斐波那契螺旋线”是以斐波那契数位边的正方形拼成的长方形，然后再正方形里面画一个的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线如图1，自然界中有许多动植物是按照斐波那契螺旋线的规律生长图2是小明用“1，1，2，3，5，8”构成的斐波那契螺旋线，则小明构造的斐波那契螺旋线的长度为．

5.背景资料：

在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．

这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．

如图，当三个内角均小于时，费马点P在内部，此时

，此时，的值最小．

解决问题：

如图，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．

为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时≌，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______；

基本运用：

请你利用第题的解答思想方法，解答下面问题：

如图，中，，，E，F为BC上的点，且，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；

能力提升：

如图，在中，，，，点P为的费马点，连接AP，BP，CP，求的值．

6.用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格

点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则史称“皮克公式”．小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：

（1）根据图中提供的信息填表：

（2）则S与a、b之间的关系为______ 用含a、b的代数式表示．

7.请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德折弦定理

阿基米德，公元前公元前212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

阿拉伯年的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦即折线ABC是圆的一条折弦，，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即下面是运用“截长法”证明的部分证明过程证明：如图2，在CB上截取，连接MA，MB，MC和MG．

是的中点，

．

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图3，已知等边内接于，，D为上一点，，于点E，则的周长是__________ ．

8.问题探究：

【1】新知学习

（1）梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．

（2）梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．

（3）形如分式为常数，且，若，则，并且有下列结论：当x逐渐增大时，分母逐渐增大，分式的值逐渐减少并趋于0，但仍大于当x逐渐减少时，分母逐渐减少，分式的值逐渐增大并趋于，即趋于，但仍小于．

【2】问题解决一

如图2，已知在梯形ABCD中，，，E、F分别是AB、CD的中点．设，，求四边形

的值．

四边形

设为正的常数，，请问：当BC的长不断增大时，四边形

的值

四边形能否大于或等于3，试证明你的结论．

【3】问题解决二

进一步猜想：任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是什么，并说明理由．

数学史著名公式定理在初中数学的运用

2018.7 【答案】

1. B

2. 20

3. 所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和

4.

5.

6.

7.

8. 问题解决一

解：（1）设梯形ADFE的高为h，则梯形BCFE的高为h，

、F分别是AB、CD的中点，

是梯形ABCD的中位线，

，，

四边形

；

四边形

（2）当BC的长不断增大时，四边形

的值不能大于或等于3；理由如下：

四边形

、F分别是AB、CD的中点，

是梯形ABCD的中位线，

，

，

由（1）得：四边形

四边形

当BC的长x不断增大时，的分子逐渐增大并趋于，即趋于3，但仍小于3；

当BC的长不断增大时，四边形

的值不能大于或等于3；

四边形

问题解决二

解：任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是大于1而小于3；理由如下：

由得：四边形

，当x逐渐减少时，分母逐渐减少，x趋于a，四边形

则趋于4a，趋于4a，

四边形

的值趋于1，但大于1，

四边形

四边形

，

四边形

故任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是大于1而小于3．【解析】

1. 解：由题意，在的正上方，推出在的正上方，且到的距离，

所以的坐标为，

故选：B．

观察图象，推出的位置，即可解决问题．

本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定的位置．

2. 解：由题意可得，，

解得．

故答案为：20

直接把面数、棱数代入公式，即可求得顶点数．

此题考查欧拉公式的应用，直接代入计算即可．

3. 解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，

故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和

根据以上等式得出规律进行解答即可．

此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．