数学史著名公式定理在初中数学中的运用(Word版含答案解析)
勾股定理计算方法 勾股定理的运用方法
勾股定理计算方法勾股定理的运用方法你真的懂勾股定理吗数是什么？毕达哥拉斯会告诉你，数是众神之母，万物之源——节选自《数学之旅· 闪耀人类的54个数学家》一般人看来，勾股定理只存在于特定的三角形或几何图形中。
但实际上，绝大多数人都小看了这条有2600年历史的公式，很多看似不可能的图形，只要涉及到了平方数，勾股定理就能插上一手！什么？你不信？今天，超模君就来讲一下勾股定理背后隐藏的大学问，不过在讲之前，超模君先带模友们重新认识一下“面积”这个词。
面积是怎么计算？何谓面积？当物体占据的空间是二维空间时，所占空间的大小就叫做该物体的面积。
举个简单的例子：正方形的面积 = 边长 x 边长对此，相信模友们也能快速地列举出大量的图形面积公式，但你真的理解面积的性质吗？实际上，除了我们熟知的图形面积公式，还有一种鲜为人知的面积计算方法——通过计算任意线段的平方来得到任意图形的面积。
先不要质疑，继续往下看。
举个例子：正方形的面积为边长a的平方，平方项即边长a（边为5，那么面积就是25）；圆的面积为πr²，平方项为半径r（半径是5，那么面积就是25π）；接下来，超模君要做一个大胆的假设：如果把半径 r 当做边长a的“替代品”，那么圆的面积也可看成某条线段的平方，但由于线段选取和图形的不同，在此过程中会产生一个“面积系数π”。
也就是说，任意图形的面积公式将会变成这个样子：面积＝系数×(线段)²然后我们再来看看，正方形和圆形的面积是怎么算的：如果用周长“p”作为线段，则面积为 p² /16，面积系数为1/16；如果用对角线“d”作为线段，则面积为 d²/2，面积系数为1/2 。
也就是说，我们可以通过正方形上任意一条线段计算出正方形的面积。
因为在被选取的任意一条线段总可以通过一定的关系（比如说正方形的周长，正好是边长的四倍）与通常意义上计算面积的线段相联系起来。
初一,初二数学常用定理及公式
初一、初二数学常用定理及公式1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
初一初二初三数学定律定理与习题讲解
初一初二初三数学定律定理与习题讲解一、初一数学定律定理1. 乘法交换律：对于任意的实数a和b，a乘以b等于b乘以a。
2. 加法结合律：对于任意的实数a、b和c，(a加上b)再加上c等于a加上(b再加上c)。
3. 减法法则：对于任意的实数a，b和c，a减去(b再减去c)等于a加上c减去b。
4. 乘法分配律：对于任意的实数a、b和c，a乘以(b加上c)等于a乘以b再加上a乘以c。
5. 整除定理：对于任意的正整数a和b，如果a能够整除b，则存在一个整数c，使得b等于a乘以c。
二、初二数学定律定理1. 次序交换律：对于任意的实数a、b和c，如果a小于b，那么a加上c就小于b加上c；如果a大于b，那么a减去c就大于b减去c。
2. 倍数性质：对于任意的整数a和正整数n，如果a能够被n整除，则a是n的倍数。
3. 相反数性质：对于任意的实数a，存在一个实数-b，使得a加上b等于0。
4. 反比例性质：对于任意的实数a和b，如果a乘以b等于1，则a 和b互为倒数。
5. 平方根性质：对于任意的非负实数a，存在一个非负实数b，使得b的平方等于a。
三、初三数学定律定理1. 同底数幂的乘法：对于任意的非零实数a和整数m、n，a的m次方乘以a的n次方等于a的(m加上n)次方。
2. 同底数幂的除法：对于任意的非零实数a和整数m、n，a的m次方除以a的n次方等于a的(m减去n)次方。
3. 对数的乘法：对于任意的正数a、b和正整数m，log(a的m乘以b)等于log(a的m)加上log(b)。
4. 对数的除法：对于任意的正数a、b和正整数m，log(a除以b的m)等于log(a)减去log(b的m)。
5. 二次根式性质：对于任意的实数a和非负实数b，如果a平方等于b，则a等于正根号b或负根号b。
以上是初一、初二和初三阶段数学学习中涉及的一些重要的数学定律和定理。
通过对这些定律和定理的学习，学生可以更好地理解和应用数学知识，提高解题能力。
初中数学竞赛：XXX定理(附练习题及答案)
初中数学竞赛：XXX定理(附练习题及答案)初中数学竞赛：XXX定理韦达定理是一元二次方程的根与系数的关系，最初由16世纪法国数学家XXX发现。
它包含了丰富的数学内容，并有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：求方程中参数的值、求代数式的值、讨论根的符号特征、构造一元二次方程辅助解题等。
XXX定理具有对称性，可以通过设而不求、整体代入的方法解题。
它与代数、几何中的许多知识结合，可以生成丰富多彩的数学问题，解这些问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
例题求解】例1】已知α、β是方程x^2-x-1=0的两个实数根，则代数式α^2+α(β^2-2)的值为。
思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为α、β的对称式，即α^2+β^2和αβ，然后代入已知条件求解。
例2】如果a、b都是质数，且a^2-13a+m=0，b^2-13b+m=0，那么ba/(ab+2)的值为(。
)。
思路点拨：可将两个等式相减，得到a、b的关系，由于两个等式结构相同，可视a、b为方程x^2-13x+m=0的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
例3】已知关于x的方程：x-(m-2)x^4=01)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
2)若这个方程的两个实根x1、x2满足x2=x1+2，求m的值及相应的x1、x2.思路点拨：对于(2)，先判定x1、x2的符号特征，并从分类讨论入手。
例4】设x1、x2是方程2x^2-4mx+2m^2+3m-2=0的两个实数根，当m为何值时，x1^2+x2^2有最小值?并求出这个最小值。
思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。
应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即判别式△≥0.转化是数学中重要的思想方法，但需注意转化前后问题的等价性。
已知四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于x的方程x^2-2mx+(m-2)^2的两个根。
初中数学全部公式定理推论归纳总结
初中数学全部公式定理推论归纳总结数学是一门科学，它研究的是数量、结构、空间以及变化等一切与运算和度量有关的概念和规律。
在初中数学中，我们学习了许多重要的公式、定理、推论和归纳方法，在解决问题中起到重要的作用。
下面是对这些知识点的一个总结，希望能够帮助大家更好地理解初中数学。
一、代数公式：1. 二项式定理：(a + b)^n = Cn0 * a^n + Cn1 * a^(n-1) * b^1 + Cn2 * a^(n-2) * b^2 + ... + Cnk * a^(n-k) * b^k + ... + Cnn *b^n2.平方差公式：(a+b)*(a-b)=a^2-b^23.平方根公式：(a+b)*(a-b)=a^2-b^2二、几何公式：1.勾股定理：直角三角形中，a^2+b^2=c^2，其中a、b为直角边，c为斜边的长度。
2.相似三角形定理：(1)AAA相似定理：两个三角形对应的角分别相等，则这两个三角形相似。
(2)SAS相似定理：两个三角形对应的两条边成比例并且夹角相等，则这两个三角形相似。
(3)SSS相似定理：两个三角形对应的三条边成比例，则这两个三角形相似。
3. 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。
4. 余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角的角度。
5.正弦定理：A=π*r^2，其中r为圆的半径。
6.弧长公式：L=rθ，其中L为弧长，r为半径，θ为圆心角的弧度数。
7.扇形面积公式：S=1/2*r^2*θ，其中S为扇形的面积，r为半径，θ为圆心角的弧度数。
三、推论与定理：1.同位角定理：当两条直线被一条截线所交叉时，同位角相等。
2.内切圆定理：一个三角形的内切圆的半径等于三角形的周长与面积之比的一半。
3.外接圆定理：一个三角形的外接圆的半径等于三角形三边长度的乘积与面积的比的一半。
2023年数学中考十八个特色微专题01 数学史问题
1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，则其面积S -秦九韶公式．若5p =，4c =，则此三角形面积的最大值为（ ）AB ．4C ．D ．5【答案】C【解析】把5p =，4c =代入S =S =2a b c p ++=，所以210a b c p ++==，而4c =，所以6a b +=，∴6b a =-，把6b a =-代入S 可得S =，当3a =时，S 最大，=考查秦九韶公式的变形处理技巧以及二次函数的配方2. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何?”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为（ ）A. 46383548x y x y +=⎧⎨+=⎩B. 46483538y x y x +=⎧⎨+=⎩C. 46485338x y x y +=⎧⎨+=⎩D. 46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】D【解析】设马每匹x 两，牛每头y 两，根据马四匹、牛六头，共价四十八两与马三匹、牛五头，共价三十八两列方程组即可．【详解】设马每匹x 两，牛每头y 两，由题意得46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩， 故选：D ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．3．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为．【答案】6x+14＝8x．【解析】设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．设有牧童x人，依题意得：6x+14＝8x．故答案为：6x+14＝8x．4．如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面d及π的值都正确的是（）A．d＝，π≈8sin22.5°B．d＝，π≈4sin22.5°C．d＝，π≈8sin22.5°D．d＝，π≈4sin22.5°【答案】C【解析】根据外接圆的性质可知，圆心各个顶点的距离相等，过圆心向边作垂线，解直角三角形，再根据圆周长公式可求得．如图，连接AD，BC交于点O，过点O作OP⊥BC于点P，则CP ＝PD ，且∠COP ＝22.5°，设正八边形的边长为a ，则a+2×a ＝4， 解得a ＝4（﹣1），在Rt △OCP 中，OC ＝＝， ∴d ＝2OC ＝， 由πd ≈8CD ， 则π≈32（﹣1），∴π≈8sin22.5°．故选：C ．5.我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x 斛，1个小桶盛酒y 斛，下列方程组正确的是（ ）．A. 5352x y x y +=⎧⎨+=⎩B. 5253x y x y +=⎧⎨+=⎩C. 53125x y x y +=⎧⎨+=⎩D.35251x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】A 【解析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，∴5x+y=3，∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，∴x+5y=2，∴得到方程组5352x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选：A.【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键.6．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x 人，y辆车，则可列方程组为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设共有x人，y辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．解：设共有x人，y辆车，依题意得：．7.九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设共有y人，x辆车，依题意得：．8. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得．设井深为x尺，所列方程正确的是（）A. 50.455x =+B. 50.45x =C. 550.4x x =+D.550.40.4x -= 【答案】A【解析】如图，设AD 交BE 于K ．利用相似三角形的性质求解即可．如图，设AD 交BE 于K ．∵DK ∥BC ，∴△EKD ∽△EBC ，∴DK ED BC EC=， ∴0.4555x=+． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．9．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A 处立一根垂直于井口的木杆AB ，从木杆的顶端B 观察井水水岸D ，视线BD 与井口的直径AC 交于点E ，如果测得AB ＝1米，AC ＝1.6米，AE ＝0.4米，那么CD 为 米．【答案】3．【解析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．由题意知：AB∥CD，则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD＝3米．10．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径寸．【答案】26【解析】过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，则CD＝1寸，AC＝BC＝AB，连接OA，设圆的半径为x，利用勾股定理在Rt△OAC中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图：∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，．则CD＝1寸，AC＝BC＝AB＝5寸．设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．11．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD；②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．【答案】见解析。
数学史知识点及答案
数学史知识点及答案正文：数学作为一门古老而重要的学科，在人类历史的发展中起着举足轻重的作用。
它不仅仅是一种工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。
在数学的长时间发展过程中，不断涌现出一系列重要的数学理论和定理。
本文将介绍一些数学史的重要知识点和对应的答案。
1. 费马大定理费马大定理是数学史上的一座丰碑，由法国数学家费尔马在17世纪提出。
它阐述了当n大于2时，对于方程xⁿ + yⁿ = zⁿ没有整数解。
虽然费马在提出该定理后并未给出详细的证明，但这一问题引发了许多数学家的兴趣，并且一直成为数学界最具吸引力的问题之一。
2. 黄金分割黄金分割是一个神秘而美丽的数学概念，它常常出现在自然界和艺术中。
黄金分割比值约等于1.6180339887。
它可以通过求解 x^2 = x + 1 的正根得到。
黄金分割具有独特的美学吸引力，因此广泛应用于建筑设计、艺术创作和金融领域等。
3. 平方根的发现平方根的发现是古代数学中的一个重要成就。
最早的平方根发现可以追溯到巴比伦文化中的孟德尔逊法则。
而古希腊数学家毕达哥拉斯提出了勾股定理，揭示了直角三角形中平方根的关系。
此后，数学家们不断发展并完善了关于平方根的理论，最终形成了我们今天所熟知的平方根运算规则。
4. 导数和微积分导数和微积分是现代数学的重要分支，它们在17世纪由牛顿和莱布尼兹独立发展而成。
导数可以用于计算函数的变化率和曲线的斜率，微积分则是对连续变化的量进行研究的数学工具。
导数和微积分在物理学、工程学以及经济学等领域具有广泛的应用。
5. 贝尔特拉米数贝尔特拉米数是数学中的一个特殊数列，由意大利数学家贝尔特拉米引入。
该数列的前几个项为0、1、2、1、2、1、2……它的规律是每隔两个数重复一次1和2。
贝尔特拉米数被广泛研究，并应用于数论等领域。
6. 黎曼猜想黎曼猜想是数论中的一个重要问题，由德国数学家黎曼在19世纪提出。
该猜想关于素数的分布规律，即描述素数分布的函数具有与素数分布相关的零点。
初中数学常用公式和定理大全
初中数学常用公式定理1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.737373…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数．2、绝对值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14．3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0．4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10－5．5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．6、幂的运算性质：①a m×a n＝a m＋n．②a m÷a n＝a m－n．③(a m)n＝a mn．④(ab)n＝a n b n．⑤()n＝n．⑥a－n＝1na，特别：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3a3)3＝27a9，(－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)º＝1，(－)0＝1．7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如：①(3)2＝45．②＝6．③a＜0时，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念）8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0：①求根公式是x＝242b b aca-±-，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根．②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)．③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0．9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点．10、反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反．11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数． （2）公式：设有n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么： ①平均数为：12......nx x x xn；②极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值； ③方差：数据1x 、2x ……, n x 的方差为2s ，则2s =222121.....nx xx xx xn标准差：方差的算术平方根.数据1x 、2x ……, n x 的标准差s ，则s =222121.....nx xx xx xn一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。
(完整word版)《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第六章
1.解析几何产生的背景是什么?在那个时期哪些问题导致了人们对运用代数方法处理几何问题的兴趣?解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求．文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展,思想普遍活跃的时代．机械的广泛使用，促使人们对机械性能进行研究，这需要运动学知识和相应的数学理论；建筑的兴盛、河道和堤坝的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题，这些问题的合理解决需要正确的数学计算；航海事业的发展向天文学，实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法，望远镜与显微镜的发明，提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题．在数学上就需要研究求曲线的切线问题．所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内解决，于是，人们就试图创设变量数学．作为代数与几何相结合的产物――解析几何,也就在这种背景下问世了．2、笛卡尔研究解析几何的出发点是什么？他又是怎么得到解析几何思想的?答：笛卡儿对数学方法的深入研究，是他断定数学可以有效地应用到其他科学上去。
他分析了古代已有的几何学和当时已经定型的代数学的优缺点，批评希腊几何过于抽象，并且过多地依靠图形,而代数则使人受到某些规则和公式的约束.他提出“寻求另外一种包含这两门科学的好处而没有他们的缺点的方法。
”当他看到代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力，便着手把代数用到几何上去。
在《几何学》一书中,他仿造韦达的方法,用代数来解决几何作图的问题,比希腊人有了明显进展。
（在变量的理解和应用上。
希腊人无法处理三个以上变量的乘积.而笛卡儿是从纯数学方面考虑，所以可以处理三个以上的变量的乘积。
)笛卡儿之所以能创立解析几何,主要是他勇于探索，勤于思考.运用科学方法的必然结果。
3。
阐述费马的主要数学成就。
（1）对解析几何的贡献费马独立于勒奈·笛卡儿发现了解析几何的基本原理。
1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。
【精品】孙子定理
【关键字】精品孙子算经●“”《孙子算经》共三卷，完成于公元四-五世纪。
卷下第31题，是后世“”题的始祖，后来传到，变成“鹤龟算”。
书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。
求笼中各有几只鸡和兔？趣题1：巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。
三百六十四只碗，看看用尽不差争。
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。
请问先生明算者，算来寺内几多僧？●“荡杯问题”“今有妇人河上荡杯。
津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘有客。
’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。
不知客几何？”“术曰：置六十五杯，以一十二乘之，得七百八十，以十三除之，即得”。
这里告诉我们这次洗碗事件，要处理的是65个碗共有多少人的问题。
其中有能了解客数的信息是2人共碗饭，3人共碗羹，4人共碗肉。
通过这几个数值，很自然就能解决客数问题。
因为客数是固定值，因此将其列成今式为N/2+N/3+N/4=65，易得客数六十人。
●“孙子定理”（中国剩余定理--一次同余论）《孙子算经》具有重大意义的是卷下第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：『二十三』”这个问题也被称为“物不知数”问题。
西方数学史将其称为“中国剩余定理”（Chinese remainder theorem）。
与上面的荡杯问题相比较，可以发现主要区别在于这里出现了余数，而不是整除。
此题相当于求大概方程组N=3x+2, N=5y+3, N=7z+2 ---三个方程式，4个未知数，比较难解。
孙子算经给出了算法：N=70×2+21×3+15×2－2×105=23。
这里105是模数3、5、7的最小公倍数。
这里给出的是符合条件的最小正整数。
对于一般余数的情形，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。
中考数学专题复习 专题42 中考数学史类试题解法(教师版含解析)
中考专题42 中考专题数学史类试题解法初中阶段了解一些著名的中外数学家的事迹及其贡献，可以激发学生学习数学的积极性和主动性，通过学习数学家研究问题的思想，提升学生数学观念、科学思维、科学探究、科学态度等核心素养的是十分重要的举措。
1.秦九韶秦九韶(1208年－1261年)南宋官员、数学家.著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。
他在1247年著成《数书九章》十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。
在世界数学史上占有崇高的地位。
2.杨辉杨辉，字谦光，中国南宋(1127～1279)末年钱塘(今杭州市)人。
其生卒年月及生平事迹均无从详考。
据有关著述中的字句推测，杨辉大约于13世纪中叶至末叶生活在现今浙江杭州一带，曾当过地方官，到过苏州、台州等地。
是当时有名的数学家和数学教育家，他每到一处都会有人慕名前来请教数学问题。
杨辉一生编写的数学书很多，被称为《杨辉算法》。
杨辉继承中国古代数学传统，他广征博引数学典籍，引用了现已失传的宋代的许多算书，使我们才得知其部分内容。
其中，刘益的“正负开方术”，贾宪的“增乘开方法”与“开方作法本源”图(即误传为“杨辉三角”)，就是极其宝贵的数学史料。
3.刘徽三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一。
他是魏晋时代山东邹平人。
终生未做官。
他在世界数学史上，也占有杰出的地位他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。
在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。
他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。
在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则改进了线性方程组的解法。
勾股定理千古第一定理(最全)word资料
勾股定理千古第一定理(最全)word资料勾股定理——千古第一定理在古代，许多民族发现了这个事实即直角三角形的三条边长为a，b，c，则a2+b2=c2.其中a，b是直角边长，c为斜边长.我国的算术《周髀算经》中，就有关于勾股定理的记载，为了纪念我国古人的的伟大成就，就把这个定理定名为“勾股定理”或“商高定理”.在西方，被称为“毕达哥拉斯”定理，是因为现代的数学和科学的来源于西方，而西方的数学和科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，就落在毕达哥拉斯的头上.不管怎么说，勾股定理是数学中的伟大定理，它的应用范围是非常广泛的，它给人们的巨大力量可说是难以估量，几乎所有生产技术和科学研究都离不开它；而且有许多发展目前还探索不够，说不上什么时候会出现创新出奇的崛起，它的前程未可估量.人类远征太空的梦想正在实现.当年，周公憧憬“天可阶而升”的幻想竟变成了现实.今天，人们普遍认为，与世外文明生物对话的日子虽很遥远，但却势在必行.很难想像，他们是什么模样，智能高低如何，总不能按照几千年来人们创造神的形象那样，谁也未曾见过神，于是，神就被模塑得与人一样.可是，人类的智慧毕竟贫乏，无法确定“世外人”的分辨能力，只好将“地球人”的意识强加给“世外人”.因此，为了寻找与“世外人”接触的可能性，人类已向太空发射一批物件，其中包括：地球人的男、女形象，各种物质和元素符号，有代表性的乐曲……数学家华罗庚提出一种新颖的独特设想：最好带两个图形去，一个“数”，一个“数形关系”.他提供的“数”如上图(左)，这是“洛书”，相传大禹治水时，洛水中爬出一只神龟，背负着这幅象征吉祥的图，它构成了一个“幻方”，纵、横和对角线的数字和都为15.“数形关系”则如上图(右)，这分明是一幅人们所熟悉的“勾股弦关系”图.这两个图形说明数学的基础扎根于它们之中，不论在我们居住的地球上，或是某个神秘的天体上，绝无例外.为什么说勾股定理如此重要，是千古第一定理呢？除以上所述外，更重要的在于：(1)勾股定理是联系数学最基本的，也是最原始的两个对象——数与形第一定理；(2)勾股定理导致无理数的发现.这就是所谓的第一次数学危机.(3)勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学；(4)勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多组数满足这个方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导出各式各样的不定方程，包括著名的费马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式.勾股定理的推广如果把勾股定理“直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和”中的平方，理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理还可以推广.比如，把由直角三角形三边所构作的三个正方形，推广为以三边为直经的半圆，结论仍然成立，即以斜边为直径的半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作的半圆的面积之和(如下图).证明如下：因为c 2=a 2+b 2.等式两边同乘4π，得 4πc 2=4πa 2+4πb 2即π(2c )2=π(2a )2+π(2b )2所以222)2(21)2(21)2(21b a c πππ+=如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻一个身，成为下图的样子，不难证明“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”.这两个阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙形”.《原本》一书中勾股定理的证明我们知道，勾股定理的证明方法有五百余种.现存的最古老的证明，载于欧几里得的《原本》一书中，它随《原本》在世界广泛流传而流传，成为二千年来《几何学》教科书中通用证法.如下图，在Rt △ABC 各边上向外作正方形ABED ，BCG K ，CAFH .连结CD ，FB .因为AF =AC ，AB =AD ，∠F AB =∠CAD =90°+∠CAB ，所以△F AB ≌△CAD ，作CL ∥AD .因为S △F AB =21F A ·FH .(FH 为△F AB 的AF 边上的高).而S 正方形CAFH =F A ·FH .所以S 正方形CAFH = 2S △F AB . 又因为S △CAD =21AD ·DL (DL 为AD 边上的高)，而S 长方形ADLM =AD ·DL ，所以S 长方形ADLM = 2S △CAD ；综上所述，可得S 正方形CAFH =S 长方形ADLM .同理可证S 正方形BCGK =S 长方形BELM ，所以S 正方形ABED =S 长方形ADLM +S 长方形BELM =S 正方形CAFH + S 正方形BCGK ，即AB2=AC2+BC2.其实，欧几里得《原本》中的证明并不简单，简明的证明要数公元三世纪我国数学家赵爽给出的勾股圆方图.即这节课我们介绍的验证勾股定理的第二种拼图.c ab ac b b c ba ac勾股定理勾股定理的证明【例】 如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形． 借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？ 练习1． 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称 为弦图．观察图形，验证：c 2＝a 2＋b 2.2、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新 的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ′C ′D ′ 的位置，连接CC ′，设AB=a,BC=b,AC=c ，请利用四边形BCC ′D ′ 的面积验证勾股定理：a 2+b 2=c 2.翻折中的勾股定理【例】．如图，折叠矩形的一边，使点D 落在BC 边的点F 处，其中cm 10,cm 8==BC AB ，你知道CE 多长吗？练习1、 如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C /处， BC /交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则DE 的长为（ ） A 3 B 4 C 5 D 62、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm,BC =8cm,现将 直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上， 且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3. 如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出对角线BD,再折叠使AD 边与BD 重合,得到折痕DG,若AB=8. BC=6,求AG 的长.D ＇BC D A C ＇B ＇ a bcAEC D BEBDC'第1题DCA G BD ˊ A B CD A ˊB ˊC ˊ4、如图长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，将该矩形折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为（ ） （A ）3.74 （B ）3.75 （C ）3.76 （D ）3.775、（2020 安徽）如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN等于（ ）A.65 B. 95 C. 125 D. 1656、（2020内江）如图，在等腰三角形ACB 中，5AC BC ==，8AB =，D 为底边AB 上一动点（不与点A B ，重合），DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E F ，，则DE DF +=最值问题1、点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是（ ）2．已知长方体的长为2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B 点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?3、如图：有一圆柱，它的高等于cm 8，底面直径等于cm 4（3=π）在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约4、如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm ，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，•最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是________厘米5．如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和103㎝的长方体无盖盒子中，●●AB (第1题图) （3题图）BAA 6题图BCDEF A MNC B 第5题4题图5题图则细木棒露在盒外面的最短长度是 ㎝．6．如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？方位角与勾股定理【例】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00吗？练习1．如图，甲乙两船从港口A 同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛.若C 、B 两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？2、如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西300，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西450，问该货轮到达灯塔正东方向D 处时，货轮与灯塔M 的距离是多少？（精确到0.1海里）勾股定理的逆用【例】如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.小河 A B C D A B练习1. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF是什么三角形？请说明理由.2、如图所示，在四边形ABCD 中，已知：1:3:2:2:::=DA CD BC AB ，且090=∠B ，求DAB ∠的度数。
初中数学考试能用到的全部的公式
1、平方根计算公式：根号内的数可以化成相同或相同则可以相加减，不同不能相加减。
如果根号里面的数相同就可以相加减，如果根号里面的数不相同就不可以相加减，能够化简到根号里面的数相同就可以相加减了。
举例如下：（1）2√2+3√2=5√2（根号里面的数都是2，可以相加）（2）2√3+3√2（根号里面的数一个是3，一个是2，不同不能相加）（3）√5+√20=√5+2√5=3√5（根号内的数虽然不同，但是可以化成相同，可以相加）（4）3√2-2√2=√2（5）√20-√5=2√5-√5=√5根号的乘除法：√ab=√a·√b﹙a≥0b≥0﹚，如：√8=√4·√2=2√2√a／b=√a÷√b三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|2、解方程必背公式：乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)一元二次方程的解：-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a3、常见图形的面积公式：长方形的面积= 长×宽S = ab正方形的面积= 边长×边长S = a2三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2平行四边形的面积=底×高S=ah梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a+b）h÷2圆的面积=圆周率×半径×半径4、因式分解常用公式：1、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)。
2、完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2。
3、立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)。
4、立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)。
5、完全立方和公式：a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3。
数学史试题答案(简答论述)
数学史题库填空题（填空题（每空2 分）1．古希腊著名的三大尺规作图问题分别是：化圆为方、倍立方体、三等分角2．.欧几里得是古希腊论证数学的集大成者，他通过继承和发展前人的研究成果，编撰出旷世巨著《原本》..3．中国古代把直角三角形的两条直角边分别称为勾和股，斜边称为弦4．“万物皆数”是毕达哥拉斯学派的基本信条..5．毕达哥拉斯学派的基本信条是万物皆数6．1687 年，牛顿的《自然哲学的数学原理》出版，它具有划时代的意义，是微积分创立的重要标志之一，被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”.7．1637 年，笛卡儿发表了他的哲学名著《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，解析几何的发明包含在这本书的附录《几何学》中.8．非欧几何的创立主要归功于数学家高斯、波约、罗巴切夫斯基9．解析几何的发明归功于法国数学家笛卡尔和费马11．徽率、祖率(或密率)、约率分别是.. .、和12．《海岛算经》的作者是__刘徽__，《四元玉鉴》的作者是__朱世杰_____.13．秦九韶的代表作是《_数书九章》，他的提出__正负开方术_是求高次代数方程的完整算法，他提出的__大衍总数术___是求解一次同余方程组的一般方法.14．我国古代数学家刘徽用来推算圆周率的方法叫___割圆术____术，用来计算面积和体积的一条基本原理是___出入相补原理_原理.15．对数的发明者__纳皮尔_____是一位贵族数学家，_拉普拉斯_____曾赞誉道：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”.16.历史上第一篇系统的微积分文献《流数简论》的作者是__牛顿______，第一个公开发表微积分论文的数学家是__莱布尼茨____.17.古代美索不达米亚的数学常常记载在___泥版_____上，在代数与几何这两个传统领域，他们成就比较高的是__代数_______领域.18．阿拉伯数学家__花拉子米____的《还原与对消计算概要》第一次给出了__一元二次____方程的一般解法，并用几何方法对这一解法给出了证明.19.“非欧几何”理论的建立源于对欧几里得几何体系中__第五公设___的证明，最先建立“非欧几何”理论的数学家是___高斯___.20．起源于“英国海岸线长度”问题的一个数学分支是__分形几何____，它诞生于___20_世纪. 21．四色问题是英国青年大学生__古德里_____于___19_____世纪提出的.22．在代数和几何这两大传统的数学领域，古代埃及的数学成就主要在___几何_____方面，美索不达米亚的数学成就主要在__代数______方面.23．用圆圈符号“O”表示零，可以说是__印度数学___的一大发明，有零号的数码和十进位值记数在公元8 世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至___欧洲____.24．希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：__相容性___、__独立性____、__完备性____.25．被称为“现代分析之父”的数学家是_魏斯特拉斯，被称为“数学之王”的数学家是_高斯__.26.“数学无王者之道”，这里的“王”是指捷径.27.被著名数学史家贝尔称为“最伟大的埃及金字塔”是指莫斯科纸草书中的截棱锥体28. 刘徽是中算史上第一个建立可靠理论来推算圆周率的数学家..简答或证明（简答或证明（每小题5 分）：1.请列举《九章算术》各章的名称和主要研究内容.3.请简述《几何原本》和《九章算术》的思想方法特点，并比较两者的异同.4.请简述微积分诞生的酝酿时期微分学的基本问题和积分学的基本问题.5.请简述开普勒利用“无限小元素和”推导球体积公式的方法.6.请给出勾股定理的两种证明方法，要求画图并写出简要推导过程.7.用《九章算术》中的盈不足术解下面问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何”？8.推导三次方程x3=px+q 的求根公式——卡尔丹公式. 9.简述费马大定理的具体内容，并指出它是哪一年被提出的，又在何时被解决.10.在牛顿和莱布尼茨之前有许多数学家曾对微积分的创立作出过重要贡献，请列举其中的两位，并指出他们的主要贡献.11.简述莱布尼茨生活在哪个世纪、所在国家及在数学上的主要成就.12.花拉子米是什么时代、什么地方的数学家，简述他的代表著作和重要数学贡献.13.写出数学基础探讨过程中所出现的“三大学派”的名称、代表人物、主要观点.14.朱世杰是什么时代、什么地方的数学家，简述他的代表著作和重要数学贡献.15.秦九韶是什么时代、什么地方的数学家，简述他的代表著作和重要数学贡献.16.简述笛卡尔的生活年代、所在国家、代表著作以及在数学上的主要成就.17.已知三角形三边长为a,b,c，请推导秦九韶公式，并将该公式变形为海伦公式.18.请简述阿基米德推导球体积公式的方法.19.请简述刘徽证明阳马的体积公式为其三条直角边乘积的三分之一的过程.20.试证明素数有无穷多个.21.试证明2 不是有理数.22.写出斐波那契数列及其通项公式，并说明这个数列与“黄金分割率”的关系.23.三次数学危机分别发生在何时？主要内容是什么？是如何解决的？24. 牛顿、莱布尼兹微积分思想的异同有哪些？25.数系扩充的原则是什么？26.《几何原本》中的5 条公理和5 条公设分别是什么27.四元数系的发现者是谁？这一发现的意义是什么？28.简述阿波罗尼奥斯的生活时代及主要数学成就？29.解方程y 3 ? 3 y 2 ? 3 y ? 14 = 0 .30.试论述“论证几何学的鼻祖”的主要数学成就.31.设最初的正三角形的边长为1，试推导科奇雪花经过n 次变换以后的周长公式，以及当n→∞时科奇雪花面积的极限值.论述题（论述题（20 分）：1.论述数学史对数学教育的意义和作用.2.论述东方古代数学和西方古代数学各自的主要特征、对现代数学的影响，及其对数学教育的启示. 3. 试论述三角学的发展历史及其对高中三角函数教学的启示.4. 集合论的发展经历了哪几个阶段？5. 中国古代最早对勾股定理作出证明的数学家是三国时期的赵爽。
(完整word)数学文化之海伦—秦九韶公式
海伦—秦九韶公式
古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）,在数学史上以解决几何测量问题而闻名。
在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明,这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261),曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
下面我们对公式②进行变形：
这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式.
证明过程 ①海伦公式的证明
证明:如图，在△ABC 中，过A 作高AD 交BC 于D,设BD = x ，那么DC = a —x ，
由于AD 是△ABD 、△ACD 的公共边，
则h 2=c 2—x 2=b 2-(a-x ）2，
解出x 得x=222
c -b +a 2a ， 于是h=2
22
2c -b +a c -2a 2
（）， S △ABC 的面积=1ah 2=12a ·222
2
c -b +a c -2a 2（），
即S=12222
22c +a -b c a -22
（）, 令p=1
2（a+b+c ），
对被开方数分解因式,并整理得到 S=.))()((c p b p a p p --- 得证。
②由海伦公式推导秦九韶公式
秦九韶公式：])2([41
2
22222c b a b a S -+-=。
推导过程:
))()((c p b p a p p ---.。
(word完整版)师范大学数学本科毕业参考题目
2012年数学系毕业论文题目1．浅析素质教育观下的数学教学2．论数学课堂的师生互动3．适合反证法命题的条件4．论导入《数学系毕业论文题目》正文开始〉〉 1．浅析素质教育观下的数学教学2．论数学课堂的师生互动3．适合反证法命题的条件4．论导入新课的直观方法5．优化数学课堂，培养创新意识6．剖析数学学习的心理障碍及对策7．谈数学教育中非智力因素的培养8．谈数学实验在中学数学中的作用9．论述中学生数学语言能力的培养10．对中学生数学解题能力培养的研究11．中学生创新意识的形成12．后进生数学水平提高的若干措施13．发挥课本习题的潜在功能14．论述中学数学的开放性教学15．如何培养学生的空间观念16．论新课程下的数学教师应具有的人格魅力17．谈谈数学课堂教学的语言艺术18．论数学归纳能力的培养19．浅析多媒体在数学教学中的应用20．论数学课程标准的新理念21．剖析影响数学教学的内在因素22．数学学习中的迁移现象及其对教学的意义23．论数学考试对数学学习的影响24．论述中学生数学应用意识的培养25．论述数学学习与学生身心发展关系26．中学生数学概念形成的心理分析B1.浅谈线性变换的对角化问题2。
数学研究性学习的实施与评价3.范德蒙行列式的一些应用4。
分块矩阵的应用5。
行列式计算的若干方法6。
“数形结合”在中学数学教学中的应用7。
数学史在中学数学教学中的运用8.线性变换思想在中学数学中的应用9。
矩阵可逆的若干判别方法10。
数学归纳法在行列式计算机中的应用11.浅谈数学创造性思维及其培养12。
反例在数学教学中的作用研究13。
“高等代数"知识在几何中的应用14。
猜想在数学中的应用15.引入多媒体进行数学课堂教学探究C1。
“几何画板"在数学教学中的重要性2。
数学实验和现代数学教育3.求最值问题的方法探讨4.从学习“微积分"中谈谈技巧和能力的提高5。
谈谈“数形结合"6。
线性规划应用举例7。
数学史著名公式定理在初中数学中的运用(Word版含答案解析)
数学史著名公式定理在初中数学的运用2019.7 1.我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90∘圆弧P1P2⌢，P2P3⌢，P3P4⌢，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P1(0,1)，P2(−1,0)，P3(0,−1)，则该折线上的点P9的坐标为（）.A. (−6,24)B. (−6,25)C. (−5,24)D. (−5,25)2.阅读下面的材料：1750年欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有P−P+P=2.这个发现，就是著名的欧拉定理.根据所阅读的材料，完成：一个多面体的面数为12，棱数是30，则其顶点数为．3.数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4=2+2；12=5+7；6=3+3；14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+518=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是(请用文字语言表达)．4.“斐波那契数列”是这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…(从第3个数开始，每个数是前面两个数的和).“斐波那契螺旋线”是以斐波那契数位边的正方形拼成的长方形，然后再正方形里面画一个90∘的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如图1，自然界中有许多动植物是按照斐波那契螺旋线的规律生长.图2是小明用“1，1，2，3，5，8”构成的斐波那契螺旋线，则小明构造的斐波那契螺旋线的长度为．5.背景资料：在已知△PPP所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图P，当△PPP三个内角均小于120∘时，费马点P在△PPP内部，此时PPPP= PPPP=PPPP=120∘，此时，PP+PP+PP的值最小．解决问题：(1)如图P，等边△PPP内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求PPPP的度数．为了解决本题，我们可以将△PPP绕顶点A旋转到△PPP′处，此时△PPP′≌△PPP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出PPP=______；基本运用：(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：如图P，△PPP中，PPPP=90∘，PP=PP，E，F为BC上的点，且PPPP=45∘，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：(3)如图P，在PP△PPP中，PP=90∘，PP=1，PPPP=30∘，点P为PP△PPP的费马点，连接AP，BP，CP，求PP+PP+PP的值．6.用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形.设格点多边形的面积为S，该多边形各边上P+P−1(史称“皮克公式”)．的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则P=12小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：（1）根据图中提供的信息填表：（2）则S 与a 、b 之间的关系为P = ______ (用含a 、b 的代数式表示)．7. 请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德(PPPPPPPPP ，公元前287−公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯PP −PPPPP (973−1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据P −PPPPP 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是⊙P 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，PP >PP ，M 是^PP 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即PP =PP +PP .下面是运用“截长法”证明P =PP +PP 的部分证明过程.证明：如图2，在CB 上截取P =PP ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵P 是P ^PP 的中点， ∴PP =PP ． 任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知等边△PPP 内接于⊙P ，PP =2，D 为P ^P 上一点，PPP =45∘，PP ⊥PP 于点E ，则△PPP 的周长是__________ ．8. 问题探究：【1】新知学习（1）梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．（2）梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （3）形如分式P P +2P(P 为常数，且P >0)，若P >0，则P P +2P，并且有下列结论：当x 逐渐增大时，分母P +2P 逐渐增大，分式P P +2P的值逐渐减少并趋于0，但仍大于0.当x 逐渐减少时，分母P +2P 逐渐减少，分式P P +2P 的值逐渐增大并趋于P2P，即趋于12，但仍小于12．【2】问题解决一如图2，已知在梯形ABCD 中，PP //PP ，PP <PP ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点． (1)设PP =7，PP =17，求P 四边形PPPPP四边形PPP的值．(2)设PP =P (P 为正的常数)，PP =P ，请问：当BC 的长不断增大时，P 四边形PPPPP 四边形PPPP的值能否大于或等于3，试证明你的结论．【3】问题解决二进一步猜想：任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是什么，并说明理由．数学史著名公式定理在初中数学的运用2019.7【答案】1. B2. 203. 所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和4.19P 25. 150∘6. P +2(P −1)7. 2+2√28. 问题解决一解：（1）设梯形ADFE 的高为h ，则梯形BCFE 的高为h ， ∵P 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴PP 是梯形ABCD 的中位线，∴PP //PP //PP ，PP =12(PP +PP )=12(7+17)=12，∴P 四边形PPPP P 四边形PPPP=12(12+17)⋅P 12(7+12)⋅P =2919； （2）当BC 的长不断增大时，P 四边形PPPPP四边形PPPP的值不能大于或等于3；理由如下：∵P 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴PP 是梯形ABCD 的中位线， ∴PP =12(PP +PP )=12(P +P )， 由（1）得：P 四边形PPPPP四边形PPPP=12(P +P )+P P +12(P +P )=P +3P 3P +P，当BC 的长x 不断增大时，P +3P3P +P 的分子P +3P 逐渐增大并趋于，即趋于3，但仍小于3； ∴当BC 的长不断增大时，P 四边形PPPPP 四边形PPPP的值不能大于或等于3；问题解决二解：任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是大于1而小于3；理由如下： 由(2)得：P 四边形PPPPP四边形PPPP=P +3P3P +P <3，当x 逐渐减少时，分母3P +P 逐渐减少，x 趋于a ，则P +3P 趋于4a ，3P +P 趋于4a ， ∴P 四边形PPPPP四边形PPPP=P +3P3P +P 的值趋于1，但大于1，∴1<P 四边形PPPP P 四边形PPP<3，故任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是大于1而小于3． 【解析】1. 解：由题意，P 5在P 2的正上方，推出P 9在P 6的正上方，且到P 6的距离=21+5=26，所以P 9的坐标为(−6,25)， 故选：B ．观察图象，推出P 9的位置，即可解决问题．本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定P 9的位置．2. 解：由题意可得，P −30+12=2，解得P =20． 故答案为：20直接把面数、棱数代入公式，即可求得顶点数． 此题考查欧拉公式的应用，直接代入计算即可．3. 解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和 根据以上等式得出规律进行解答即可．此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．4. 解：小明构造的斐波那契螺旋线的长度为：90⋅P⋅1 180+90⋅P⋅2180+90⋅P⋅3180+90⋅P⋅5180+90⋅P⋅8180=90⋅P⋅19180=19P2，故答案为：19P2．根据弧长公式计算这5段弧的长度之和即可．本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．5. 解：(1)∵△PPP′≌△PPP，∴PP′=P=3、PP′=PP=4、PPP′=PPPP，由题意知旋转角PPP P′=60∘，∴△PP P′为等边三角形，P P′=PP=3，PP P′P=60∘，易证△P P′P为直角三角形，且PP P′P=90∘，∴PPPP=PPP′P=PP P′+PP P′P=60∘+90∘=150∘；故答案为：150∘；(2)P′P2=PP′2+PP2，理由如下：如图2，把△PPP绕点A逆时针旋转90∘得到△PPP′，由旋转的性质得，PP′=PP，PP′=P，PPPP′=PPPP，PPPP′=PP，PPPP′=90∘，∵PPP=45∘，∴PP′PP=PPPP′+PPPP=PPPP+PPPP=PPPP−PPPP=90∘−45∘=45∘，∴PPPP=PP′PP，在△PP和△P′PP中，{PP=PP′PPPP=PP′PP PP=PP，∴△PPP≌△P′PP(PPP)，∴P′P=PP，∵PPPP=90∘，PP=PP，∴PP=PPPP=45∘，∴PP′PP=45∘+45∘=90∘，由勾股定理得，P′P2=P′2+PP2，即PP2=PP2+PP2.(3)如图3，将△PPP绕点B顺时针旋转60∘至△P′P′P处，连接PP′，∵在PP△PP中，PP=90∘，PP=1，PPPP=30∘，∴PP=2，∴PP=√PP2−PP2=√3，∵△PPP绕点B顺时针方向旋转60∘，∴△P′P′P如图所示；PP′PP=PPPP+60∘=30∘+60∘=90∘，∵PP=90∘，PP=1，PPPP=30∘，∴P=2PP=2，∵△PPP绕点B顺时针方向旋转60∘，得到△P′P′P，∴P′P=P=2，PP=PP′，P′′=PP，∴△PPP′是等边三角形，∴PP=PP′，PPPP′=PPP′P=60∘，∵PPPP=PPPP=PPPP=120∘，∴PPPP+PPPP′=PPP′P′+PPP′P=120∘+60∘=180∘，∴P、P、P′、P′四点共线，在PP△P′PP中，P′P=√P/P2+PP2=√(√3)2+22=√7，∴P+PP+PP=P′P′+PP′+PP=P′P=√7．(1)根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；(2)把△PP绕点A逆时针旋转90∘得到△PPP′，根据旋转的性质可得PP′=PP，PP′=PP，PPPP′=PPPP，PPPP′=PP，PPPP′=90∘，再求出PP′PP=45∘，从而得到PPPP= PP′PP，然后利用“边角边”证明△PPP和△P′P全等，根据全等三角形对应边相等可得P′P=PP，再利用勾股定理列式即可得证．(3)将△PPP绕点B顺时针旋转60∘至△P′P′P处，连接PP′，根据直角三角形30∘角所对的直角边等于斜边的一半求出PP=2P，即P′P的长，再根据旋转的性质求出△PPP′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得PP=PP′，等边三角形三个角都是60∘求出PPPP′=PPP′P=60∘，然后求出C、P、P′、P′四点共线，再利用勾股定理列式求出P′P，从而得到PP+PP+PP=P′P．本题考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．解：填表如下：格点多边形各边上的格点的个数格点边多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形1818多边形27311…………一般格点多边形a b S则S与a、b之间的关系为P=P+2(P−1)(用含a、b的代数式表示)．根据8=8+2(1−1)，11=7+2(3−1)得到P=P+2(P−1)．考查了作图−应用与设计作图.此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律.寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．7. (1)证明：如图2，在CB上截取PP=PP，连接MA，MB，MC和MG．∵P是P^PP的中点，∴PP=PP．在△PPP和△PPP中∵{PP=PP PP=PP PP=PP，∴△PPP≌△PPP(PPP)，∴PP=PP，又∵PP⊥PP，∴PP=PP，∴PP=PP+PP=PP+PP；(2)解：如图3，截取PP=P，连接AF，AD，CD，由题意可得：PP=PP，PPP=PPPP，在△PPP和△PPP中∵{PP=PPPPPP=PPPP PP=PP，∴△PPP≌PP(PPP)，∴PP=PP，∵PP⊥PP，∴PP=PP，则PP+PP=PP，∵PPPP =45∘， ∴PP =√2=√2，则△PPP 的周长是2+2√2． 故答案为：2+2√2．(1)首先证明△PPP ≌△PPP (PPP )，进而得出PP =P ，再利用等腰三角形的性质得出PP =PP ，即可得出答案；(2)首先证明△PPP ≌PPP (PPP )，进而得出PP =P ，以及PP +PP =PP ，进而求出DE 的长即可得出答案．此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．8. 问题解决一(1)设梯形ADFE 的高为h ，则梯形BCFE 的高为h ，证出EF 是梯形ABCD 的中位线，由梯形中位线定理得出PP //PP //P ，PP =12(PP +PP )=12，由梯形面积公式即可得出答案； (2)由梯形中位线定理得出P =12(PP +PP )=12(P +)，由(1)得：P 四边形PPPP P 四边形PPPP=12(P +P )+P P +12(P +P )=P +3P3P +P ，当BC 的长x 不断增大时，P +3P 3P +P 的分子P +3P 逐渐增大并趋于，即趋于3，但仍小于3； 问题解决二 由(2)得：P 四边形PPPPP四边形PPPP=P +3P 3+P<3，当x 逐渐减少时，分母3P +P 逐渐减少，x 趋于a ，则P +3P趋于4a ，3P +P 趋于4a ，得出P 四边形PPPPP四边形PPPP=P +3P3P +P 的值趋于1，但大于1，即可得出答案．本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、梯形中位线定理、梯形面积公式、分式的性质等知识；熟练掌握梯形中位线定理是解决问题的关键．。
数学初一填空题必备定理公式
数学初一填空题必备定理公式数学能力的提高离不开做题，“熟能生巧”这个简单的道理大家都懂。
但做题不是搞题海战术，要通过一题联想到很多题。
接下来小编为大家介绍初一数学学习的相关内容，一起来看看吧!数学初一填空题必备定理公式一、代数篇(1)立方公式：(实用度： )(2)头同尾合十：(实用度： )名词解释：例如28*22，两个两位数，十位数字2相同，个位数字8+2=10，故称头同尾合十。
巧算方法：尾数相乘，得出的答案占后两位;头乘(头+1)，占前一位到两位，就可以得出积。
比如28*22，尾数相乘：2*8=16，2*(2+1)=6，依次排序就是616。
用法：85*85，口算时，为8*(8+1)=72，5*5=25，一边算一边写就得出了答案7225。
47*45，口算时，折分成(45+2)*45来计算。
45*45=2025，在脑子里对2025加上90，即得2115。
注：这个是小学速算，本质是整式的乘法。
小学时也学过不少别的技巧，不过感觉这个最实用，尤其是对于35^2，65^2之类，效果很好，初中高中都能用到，能省半分钟时间且没有算错的可能，也就没有了验算的麻烦。
二、几何篇(1)平行四边形：(实用度： )两边长为a和b，两对角线长为m和n，则有可以拿这个公式和托勒密定理对比记忆。
(2)三角形：A.勾股数：(实用度： )常见的最简勾股数有：3、4、55、12、138、15、177、24、259、40、41B.三角恒等式：(实用度： )这几个公式对于初中来说确实没什么用，很少能用到。
不过如果有兴趣，记下来了，高中需要背的时候就会少一些麻烦。
C.正余弦定理：(实用度： )在遇到45度、60度、75度之类的非直角三角形题目时，我们可以用上这两个公式。
其他时候很少能用得上。
所以要记得：D.重心(质量法)：(实用度： )三角形的重心将中线分为2：1的两段。
质量法：(填空压轴题重点!!)两个小球A、B，如果质量相等，如(1)，那么它们的重心是AB的中点D。
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数学史著名公式定理在初中数学的运用2018.71.我们把1，1，2，3，5，8，13，21，这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作圆弧，，，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结，，，得到螺旋折线如图，已知点，，，则该折线上的点的坐标为（）.A. B. C. D.2.阅读下面的材料：1750年欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有这个发现，就是著名的欧拉定理根据所阅读的材料，完成：一个多面体的面数为12，棱数是30，则其顶点数为．3.数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．；；；；；；；通过这组等式，你发现的规律是请用文字语言表达．4.“斐波那契数列”是这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，从第3个数开始，每个数是前面两个数的和“斐波那契螺旋线”是以斐波那契数位边的正方形拼成的长方形，然后再正方形里面画一个的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线如图1，自然界中有许多动植物是按照斐波那契螺旋线的规律生长图2是小明用“1，1，2，3，5，8”构成的斐波那契螺旋线，则小明构造的斐波那契螺旋线的长度为．5.背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图，当三个内角均小于时，费马点P在内部，此时，此时，的值最小．解决问题：如图，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时≌，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______；基本运用：请你利用第题的解答思想方法，解答下面问题：如图，中，，，E，F为BC上的点，且，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：如图，在中，，，，点P为的费马点，连接AP，BP，CP，求的值．6.用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则史称“皮克公式”．小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：（1）根据图中提供的信息填表：（2）则S与a、b之间的关系为______ 用含a、b的代数式表示．7.请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德，公元前公元前212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯年的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦即折线ABC是圆的一条折弦，，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即下面是运用“截长法”证明的部分证明过程证明：如图2，在CB上截取，连接MA，MB，MC和MG．是的中点，．任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知等边内接于，，D为上一点，，于点E，则的周长是__________ ．8.问题探究：【1】新知学习（1）梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．（2）梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．（3）形如分式为常数，且，若，则，并且有下列结论：当x逐渐增大时，分母逐渐增大，分式的值逐渐减少并趋于0，但仍大于当x逐渐减少时，分母逐渐减少，分式的值逐渐增大并趋于，即趋于，但仍小于．【2】问题解决一如图2，已知在梯形ABCD中，，，E、F分别是AB、CD的中点．设，，求四边形的值．四边形设为正的常数，，请问：当BC的长不断增大时，四边形的值四边形能否大于或等于3，试证明你的结论．【3】问题解决二进一步猜想：任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是什么，并说明理由．数学史著名公式定理在初中数学的运用2018.7 【答案】1. B2. 203. 所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和4.5.6.7.8. 问题解决一解：（1）设梯形ADFE的高为h，则梯形BCFE的高为h，、F分别是AB、CD的中点，是梯形ABCD的中位线，，，四边形；四边形（2）当BC的长不断增大时，四边形的值不能大于或等于3；理由如下：四边形、F分别是AB、CD的中点，是梯形ABCD的中位线，，，由（1）得：四边形四边形当BC的长x不断增大时，的分子逐渐增大并趋于，即趋于3，但仍小于3；当BC的长不断增大时，四边形的值不能大于或等于3；四边形问题解决二解：任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是大于1而小于3；理由如下：由得：四边形，当x逐渐减少时，分母逐渐减少，x趋于a，四边形则趋于4a，趋于4a，四边形的值趋于1，但大于1，四边形四边形，四边形故任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是大于1而小于3．【解析】1. 解：由题意，在的正上方，推出在的正上方，且到的距离，所以的坐标为，故选：B．观察图象，推出的位置，即可解决问题．本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定的位置．2. 解：由题意可得，，解得．故答案为：20直接把面数、棱数代入公式，即可求得顶点数．此题考查欧拉公式的应用，直接代入计算即可．3. 解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和根据以上等式得出规律进行解答即可．此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．4. 解：小明构造的斐波那契螺旋线的长度为：，故答案为：．根据弧长公式计算这5段弧的长度之和即可．本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．5. 解：≌，、、，由题意知旋转角，为等边三角形，P，，易证为直角三角形，且，；故答案为：；，理由如下：如图2，把绕点A逆时针旋转得到，由旋转的性质得，，，，，，，，，在和中，，≌，，，，，，由勾股定理得，，即如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接，在中，，，，，，绕点B顺时针方向旋转，如图所示；，，，，，绕点B顺时针方向旋转，得到，，，，是等边三角形，，，，，、P、、四点共线，在中，，．根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证．将绕点B顺时针旋转至处，连接，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，即的长，再根据旋转的性质求出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，等边三角形三个角都是求出，然后求出C、P、、四点共线，再利用勾股定理列式求出，从而得到．本题考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．6. 解：填表如下：则S与a、b之间的关系为用含a、b的代数式表示．根据，得到．考查了作图应用与设计作图此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．7. 证明：如图2，在CB上截取，连接MA，MB，MC和MG．是的中点，．在和中，≌，，又，，；解：如图3，截取，连接AF，AD，CD，由题意可得：，，在和中，≌，，，，则，，，则的周长是．故答案为：．首先证明≌，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；首先证明≌，进而得出，以及，进而求出DE 的长即可得出答案．此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．8. 问题解决一设梯形ADFE的高为h，则梯形BCFE的高为h，证出EF是梯形ABCD的中位线，由梯形中位线定理得出，，由梯形面积公式即可得出答案；由梯形中位线定理得出，由得：四边形四边形，当BC的长x不断增大时，的分子逐渐增大并趋于，即趋于3，但仍小于3；问题解决二，当x逐渐减少时，分母逐渐减少，x趋于a，则趋于由得：四边形四边形4a，趋于4a，得出四边形的值趋于1，但大于1，即可得出答案．四边形本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、梯形中位线定理、梯形面积公式、分式的性质等知识；熟练掌握梯形中位线定理是解决问题的关键．。