(完整版)常用均值不等式及证明证明

三元均值不等式的证明与应用

三元均值不等式的证明与应用1.三元均值不等式的证明：设a、b、c为非负实数，且不全为0。

根据三元均值不等式的表述，我们要证明以下不等式成立：（a+b+c）/3 ≥ √(abc)证明：我们可以先将不等式两边平方得到以下等价不等式：(a+b+c)²/9 ≥ abc展开得到：(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)/9 ≥ abc化简得到：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc ≥ 9abc将不等式两边减去2ab、2ac和2bc，得到：a²-2ab+b² +c²-2ac+a² +c²-2bc+b² ≥ 5abc化简得到：(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 5abc不等式左边是三个数的平方和，而右边是它们的积，由于三个非负实数的平方和≥它们的积，因此不等式成立。

2.三元均值不等式的应用：（1）证明两个数的平均值大于等于它们的几何平均值：设a和b为非负实数，且不全为0。

根据三元均值不等式，有：(a+b)/2 ≥ √(ab)化简得到：a+b ≥ 2√(ab)这就证明了两个数的平均值大于等于它们的几何平均值。

（2）证明两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积：设a和b为非负实数，且不全为0。

根据三元均值不等式，有：(a²+b²)/2 ≥ ab化简得到：a²+b² ≥ 2ab这就证明了两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积。

（3）求证函数的不等式：设f(x)为一个定义在[a,b]上的连续函数，并且f(x)在[a,b]上不恒为0。

那么根据三元均值不等式可得：∫[a,b]f(x)dx / (b-a) ≥ √(∫[a,b]f²(x)dx / (b-a))这个不等式可以用于证明函数的平均值大于等于它的均方根。

均值不等式课件

在极值问题中的应用
总结词
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重要的解题技巧和方法。
详细描述
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重要的解题技巧和方法
04
均值不等式的推广
柯西不等式的定义与证明
柯西不等式的定义
$||x|| \cdot ||y|| \geqslant ||x \cdot y||$，其中$x, y$为向量，$||\cdot ||$表示向量的模。
要点一
均值不等式的概念
要点二
均值不等式的形式
均值不等式是数学中的一个重要不等式，表示两个或多个正数的平均数与它们的几何平均数之间的关系。
常见的均值不等式包括基本均值不等式、柯西均值不等式、排序均值不等式等。
要点三
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法有多种，包括利用导数证明、利用矩阵的迹证明、利用矩阵的行列式证明等。
中等。
在物理中的应用
02
柯西不等式可以用于量子力学中的不确定关系和力学中的最小
作用量原理等。
在经济学中的应用
03
柯西不等式可以用于金融领域中的投资组合理论和风险评估等
。
柯西不等式的推广
向量形式的推广
对于任意的向量$x_1, x_2, ..., x_n$和$y_1, y_2, ..., y_n$，有$(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \cdot (y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geqslant (x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n)^2$
在数列求和中的应用

均值不等式的证明精选多的篇

均值不等式的证明篇一:均值不等式（AM-GM不等式）是数学中常用的一种不等式关系，它说明了算术平均数和几何平均数之间的关系。

具体表达式为：对于任意非负实数集合{a1,a2,an}，有(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)其中，等号成立当且仅当所有的非负数都相等。

下面，我们将给出AM-GM不等式的证明。

证明：首先，我们可以假设所有的a1,a2,an都是正实数。

因为AM-GM不等式对于非负实数也是成立的，所以我们可以通过限制条件来放缩实数集合。

考虑对数变换。

定义函数f(x) = ln(x)，其中x>0。

因为ln(x)在整个定义域都是凸函数，所以根据对数函数的性质，我们有：f((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(f(a1)+f(a2)+.+f(an))即，ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(ln(a1)+ln(a2)+.+ln(an))这是因为凸函数的定义是在一条直线上任取两个点，它总是在两点的连线上方。

继续推导，根据ln的性质，我们有：ln(a1 a2 .*an) = ln(a1) + ln(a2) + . + ln(an)将上述不等式代入这个等式中，得到ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ ln(a1 a2 .*an)^(1/n)移项化简得到(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)即AM-GM不等式得证。

最后，我们来说明等号成立的条件。

根据对数函数的性质，等号成立当且仅当所有的非负数的对数都相等，即a1 = a2 = . = an。

至此，我们完成了AM-GM不等式的证明。

总结： AM-GM不等式是数学中常用的一种不等式关系。

它表明算术平均数大于等于几何平均数，并且等号成立的条件是所有的非负数相等。

该不等式的证明可以通过对数变换和凸函数的性质进行推导得到。

篇二:在数学中，均值不等式是一类用于比较多个数的重要不等式。

均值不等式的证明(精选多篇)

均值不等式的证明(精选多篇)第一篇：常用均值不等式及证明证明常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足hn?gn?an?qn?、ana1、a2、?r?，当且仅当a1?a2???an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a222?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a,b?0?2ab(4)对实数a,b，有a?a-b??b?a-b?a2?b2?2ab?0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2?b2?c2?ab?bc?aca?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?bn注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0，a+b≥0 (用数学归纳法)。

当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点，设f?x??lnx，f?x?为上凸增函数所以，在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）第二篇：均值不等式证明均值不等式证明一、已知x,y为正实数，且x+y=1求证xy+1/xy≥17/41=x+y≥2√(xy)得xy≤1/4而xy+1/xy≥2当且仅当xy=1/xy时取等也就是xy=1时画出xy+1/xy图像得01时，单调增而xy≤1/4∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得证继续追问：拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证补充回答：我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：证xy+1/xy≥17/4即证4(xy)²-17xy+4≥0即证(4xy-1)(xy-4)≥0即证xy≥4，xy≤1/4而x,y∈r+，x+y=1显然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4，得证法三：∵同理0xy+1/xy-17/4=(4x²y²-4-17xy)/4xy=(1-4xy)(4-xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!二、已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】那么1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=1+1/a2+..+1/an)证明：1.sqrt(((a1) +(a2) +..(an) )/n)≥(a1+a2+..an)/n两边平方,即证((a1) +(a2) +..(an) )≥(a1+a2+..an) /n(1)如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了：柯西不等式变式：a1 /b1+a2 /b2+...an /bn≥(a1+a2+...an) /(b1+b2...+bn)当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可(2)柯西不等式(a1 +a2 +...an )*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)2.(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)(1)琴生不等式:若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)令f(x)=lgx显然，lgx在定义域内是凸函数nf((x1+x2+...x1a2a3...an(3)数学归纳法:但要用到(1+x)>1+nx这个不等式，不予介绍3.n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)原不等式即证：n次根号(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n左边=n次根号+n次根号++n次根号+...n次根号由2得和≥n*n次根号(它们的积)所以左边≥n*n次根号(1)=n所以(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)证毕特例：sqrt(a +b /2)≥(a+b)/2≥sqrt(ab)≥2/1/a+1/b证明：1.sqrt(a +b /2)≥(a+b)/2两边平方a +b ≥(a+b) /4即证(a/2-b/2) ≥0显然成立2.(a+b)/2≥sqrt(ab)移项即证(sqrt(a)-sqrt(b))≥0显然成立此不等式中a+b可以表示一条直径的两部分，(a+b)/2=rsqrt(ab)就是垂直于直径的弦，而r≥弦的一半3.sqrt(ab)≥2/1/a+1/b两边同时乘上1/a+1/b即证sqrt(ab)*(1/a+1/b)≥2而sqrt(ab)*(1/a+1/b)=sqrt(a/b)+sqrt(b/a)≥2。

均值不等式证明

均值不等式证明均值不等式是一个非常重要的数学定理，它被广泛应用于数学、物理、经济等学科中。

均值不等式的证明是数学证明中的一种非常重要的方法，通过均值不等式的证明，我们可以体会到数学证明的思路和方法。

本文将详细介绍均值不等式的证明，让读者更深入地了解这个重要的数学定理。

首先，我们来介绍一下均值不等式的概念。

均值不等式是指对于n个实数a1，a2，……，an，它们的算术平均数和它们的几何平均数之间有如下关系：(a1+a2+……+an)/n ≥ (a1×a2×……×an)^(1/n)其中“≥”表示大于等于的关系。

这个不等式告诉我们，对于一组实数，它们的算术平均数一定大于等于它们的几何平均数。

并且，当这组实数中每个数都相同时，这个不等式取等。

这就是均值不等式，它是一个非常重要的不等式。

接下来，我们将介绍均值不等式的证明方法。

首先，我们来证明一个简单的均值不等式，即两个数的均值不小于它们中的较小值。

假设a和b是两个实数，不妨假设a≥b，那么它们的算术平均数是(a+b)/2，它们的几何平均数是(a×b)^(1/2)。

我们需要证明(a+b)/2 ≥ (a×b)^(1/2)。

我们先把等式两边平方，得到：(a+b)^2/4 ≥ a×b化简后得到：a^2+b^2+2ab/4 ≥ a×b即：a^2+b^2 ≥ 2ab这个不等式显然成立，因为它等价于(a-b)^2 ≥ 0。

因此，我们证明了两个数的均值不小于它们中的较小值。

接下来，我们来证明n个数的均值不等式。

我们先不妨假设这n个数是正实数，否则我们可以通过取绝对值来获得正实数的情况。

假设a1，a2，……，an是n个正实数，它们的算术平均数是A，几何平均数是G。

则有：A = (a1+a2+……+an)/nG = (a1×a2×……×an)^(1/n)接下来，我们需要证明A≥G。

高中数学均值不等式知识点

高中数学均值不等式知识点一、均值不等式的形式。

1. 基本形式。

- 对于任意的正实数a、b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时，等号成立。

- 这里(a + b)/(2)叫做a、b的算术平均数，√(ab)叫做a、b的几何平均数。

2. 推广形式（三元均值不等式）- 对于任意的正实数a、b、c，有(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}，当且仅当a=b = c时，等号成立。

- 其中(a + b + c)/(3)是a、b、c的算术平均数，sqrt[3]{abc}是a、b、c的几何平均数。

二、均值不等式的证明。

1. 对于(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)的证明。

- 方法一：作差法。

- 因为((a + b)/(2))^2 - ab=(a^2 + 2ab + b^2)/(4)-ab=(a^2 - 2ab + b^2)/(4)=((a - b)^2)/(4)≥slant0。

- 当且仅当a = b时，((a + b)/(2))^2 - ab = 0，即(a + b)/(2)≥slant√(ab)。

- 方法二：分析法。

- 要证(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)，只需证((a + b)/(2))^2≥slant ab，即证a^2 + 2ab + b^2≥slant4ab，也就是证a^2 - 2ab + b^2≥slant0，即(a - b)^2≥slant0，显然成立，当且仅当a = b时等号成立。

三、均值不等式的应用。

1. 求最值。

- 类型一：和定积最大。

- 已知a + b = m（m为定值，a>0,b>0），根据均值不等式(a +b)/(2)≥slant√(ab)，可得ab≤slant((a + b)/(2))^2=(m^2)/(4)，当且仅当a = b=(m)/(2)时，ab 取得最大值(m^2)/(4)。

均值不等式

均值不等式xx年xx月xx日contents •均值不等式的定义•均值不等式的性质•均值不等式的证明方法•均值不等式的扩展•均值不等式的应用实例目录01均值不等式的定义•均值不等式（Mean Inequality）是指在实数范围内，任何一个数的平方与它的算术平均数的平方之差，等于0。

也就是说，对于任意实数x，有x^2=(x-x)^2=0。

什么是均值不等式•均值不等式的常见形式是：对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。

这个不等式表示，当a和b都是非负实数时，a的算术平均数大于等于b的几何平均数。

均值不等式的形式•均值不等式的证明方法有多种，其中一种是利用微积分中的积分函数。

设f(x)=x^2，则f'(x)=2x，令f'(x)=0，得x=0，则f(x)在x=0处取得极小值0。

因此，对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。

均值不等式的证明02均值不等式的性质算术平均数与几何平均数之间的关系：$AM \geq GM$均值的不等式性质：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$均值不等式的形式二次幂和不等式当且仅当a=b时，均值不等式取等号。

一次幂和不等式当且仅当a+b为定值时，均值不等式取等号。

均值不等式的条件算术平均数的几何意义：长度为a和b的两线段的中点。

几何平均数的几何意义：面积的算术平均数。

均值的几何意义03均值不等式的证明方法总结词微积分方法证明均值不等式是通过研究函数的单调性和极值，证明在不同情况下，变量的和至少等于其平均值。

详细描述首先，定义一个实值函数 $f(x)$，并设其最小值 $m$ 和最大值 $M$ 存在。

由极值定理可知，对任意 $x_1, x_2$ 有 $[f(x_1) + f(x_2)]/2 \geq m$。

由此得出，对任意正整数 $n$，都有 $[f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n)]/n \geq m$利用微积分知识证明矩阵相乘的性质证明均值不等式是通过利用矩阵相乘的顺序无关性，将矩阵相乘转化为向量点积，再利用柯西不等式证明。

均值不等式函数证明

均值不等式函数证明均值不等式函数是初等数学中的一类基本不等式，我们来研究一下如何证明它。

定义：设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是 $n$ 个非负实数，则有：$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geqslant \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$$证明：为了方便证明，假设 $a_1,a_2, \cdots,a_n$ 是按照大小排列的，即 $a_1\leqslant a_2 \leqslant \cdots \leqslant a_n$。

我们考虑构造一个函数 $f(x)$，使得 $f(x)$ 满足以下两个性质：1. $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增；为了找到这样一个函数，我们考虑$f(x)=\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-x\right)^n-x^n$。

可以验证，这个函数满足上面两个性质。

首先，我们证明当 $x \geqslant a_1$ 时，$f(x) \geqslant 0$，即$\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-x\right)^n \geqslant x^n$。

这是因为当 $x\geqslant a_1$ 时，$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-x \leqslant\frac{a_2+\cdots+a_n}{n} \leqslant \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$，所以$\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-x\right)^n \geqslant\frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^n}{n^n} \geqslant \frac{(a_1 \cdot a_2 \cdotsa_n)^n}{n^n} = x^n$。

最后，当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 时，$f(x)$ 在 $[a_1,a_n]$ 上取到最小值$0$（因为 $f(a_k)=0$）。

常用均值不等式及证明证明

常用均值不等式及证明证明常用的均值不等式有以下几个：1.算术均值-几何均值不等式：对于任意非负实数$a_1,a_2,...,a_n$，有$\dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}$证明：设 $S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$，则 $a_1 + a_2+ ... + a_n = nS$。

由均值不等式 $a_1 + a_2 + ... + a_n \geq n \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$，将等式两边同时除以 n 得到$S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$2.二次均值不等式（柯西-施瓦茨不等式）：对于任意实数$a_1,a_2,...,a_n$和$b_1,b_2,...,b_n$，有$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2$证明：设$x=(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$，$y=(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)$。

对于任意非零实数$t$，考虑函数$f(t)=t^2y-x$。

由于 $f(t)$ 是一个二次函数，且 $f(t) \geq 0$，则 $f(t)$ 的判别式不大于 0。

即 $4y(a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 - 4y(a_1^2 +a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \leq 0$。

简化之后得到 $(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2+ ... + b_n^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 \geq 0$，即所证明的不等式。

均值不等式的证明方法

均值不等式的证明方法第一篇：均值不等式的证明方法柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong（数学之家）本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。

一般的均值不等式我们通常考虑的是An≥Gn: 一些大家都知道的条件我就不写了x1+x2+ (x)n≥x1x2...xn我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：二维已证，四维时：a+b+c+d=(a+b)+(c+d)≥2ab+2cd≥4八维时:(a+b+c+d)+(e+f+g+h)≥4abcd+4efgh≥8abcdefghabcd=4abcd这样的步骤重复n次之后将会得到x1+x2+ (x2)n≥nx1x2...x2n令x1=x1,...,xn=xn;xn+1=xn+2= (x2)nx1+x2+ (x)n=A由这个不等式有nA+(2-n)Ann≥nx1x2..xnA2-nn=(x1x2..xn)2An1-n2n即得到x1+x2+ (x)n≥nx1x2...xn这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：例1：n若0<ai<1(i=1,2,...,n)证明∑i=111-ai≥n1-(a1a2...an)n例2：若ri≥1(i=1,2,...,n)证明∑i=11ri+1≥n1+(r1r2...rn)n这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：给出例1的证明：当n=2时11-a1+11-a2≥⇔(1--a1-a2)≥2(1-a1)(1-a2)设p=a1+a2,q=⇔(1-q)(2-p)≥2(1-p+q)⇔p-2q+pq≥2q⇔p(1+q)≥2q(q+1)⇔p≥2q，而这是2元均值不等式因此11-a1≥+11-a22n+11-a3+11-a4≥+此过程进行下去n≥因此∑1-ai1-(a1a2...a2n)2n令an+1=an+2=...=a2n=(a1a2...an)n=Gn有∑i=1n11-ai11-ai+(2-n)n11-G≥nn2-nn=n1-(GG≥n1-Gn)n1-G即∑i=1例3：已知5n个实数ri,si,ti,ui,vi都>1(1≤i≤n),记R=T= nn∑r,Sii=1nn∑sii1nn∑t,Uii=1nn∑uii,V=1nn∑v，求证下述不等式成立：ii∏i=1（risitiuivi+1risitiuivi-1)≥（RSTUV+1RSTUV-1)n要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式其实由均值不等式，以及函数f(x)=ln因此e+1e-1xx是在R上单调递减RSTUV≥=（RSTUV+1RSTUV-1)≤n我们要证明：n∏(rstuvi=1iiiirisitiuivi+1i-1)≥证明以下引理：n∏(xi=1xi+1ix2+1x2-1n-1)≥n=2时，⇔(令A=x1+1x1-1)（）≥2⇔A(x1x2+1+x1+x2)+(x1+x2+1+x1x2)-2A(x1x2+x1+x2+1)≥A(x1x2+1-x1-x2)+(1+x1x2-x1-x2)+2A(x1x2+1-x1-x2)⇔(A+1)(x1x2+1)≥2A(x1x2+1)显然成立2-nnn因此∏（i=1xi+1xi-1n)•（G+1G-1)2-nn≥（GGGGnnnn+1-12-n2n)，G=n=（G+1G-1n)因此∏（i=1xi+1xi-1n)≥所以原题目也证毕了这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:f(x1)+f(x2)≥f（x1+x2)，则四维：f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)≥2f（x1+x2)+2f（x3+x4)≥4f（x1+x2+x3+x4)一直进行n次有f(x1)+f(x2)+...+f(x2n)n≥f（x1+x2+ (x2)n),令x1=x1,...,xn=xn;xn+1=xn+2= (x2)nx1+x2+ (x)nn=A有f(x1)+...+f(xn)+(2-n)f(A)nn≥f（nA+(2-n)An)=f(A)所以得到f(x1)+f(x2)+...+f(xn)n≥f（x1+x2+ (x)n)所以基本上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件第二篇：常用均值不等式及证明证明常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤QnΛ、ana1、a2、∈R+，当且仅当a1=a2=Λ=an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a,b>0>2ab(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)a2+b2≥2ab≥0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2+b2+c2≥ab+bc+aca+b+c≥abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

平均值不等式证明

平均值不等式证明平均值不等式是数学中著名的不等式，它被用来证明求平均数的概念。

它的基本原理以及它在应用程序中的重要性，一直以来都受到数学家们的极大关注。

本文将介绍平均值不等式并解释如何证明它。

平均值不等式定义和证明平均值不等式是指求平均数的运算结果必须小于或等于原数列中元素的最大值。

它可以用来证明求平均数的概念，也可以用来证明它是有效的。

具体来说，假设有一个数列a1，a2，...，an，它们的平均数是A1=Σan/n，其中n是项数。

平均值不等式的形式化定义就是：A1<=max{a1,a2,...,an}，即A1不能大于数列中最大的元素。

证明这个不等式并不复杂，只要证明平均数是不大于最大值的就可以了。

根据上面所述，A1=Σan/n，即Σan>=A1*n，因此，Σan必须大于等于A1*n，从而推出A1<=max{a1,a2,...,an}。

因此，通过上面的分析，可以得出结论，即平均值不等式是正确的，这可以简单地用数学归纳法证明。

平均值不等式的应用平均值不等式可以用于计算和比较各种类型的数据的平均值。

考虑到不等式的条件，这种方法可以有效地识别和控制数据的变化。

例如，在金融市场中，可以用平均值不等式来测量市场风险，并找出潜在的机会。

平均值不等式还可以应用于统计分析。

它可以用来确定数据中是否存在异常值，并用来分析数据之间的关系。

此外，平均值不等式在概率论中也有用武之地，可以用来解释概率变量的分布情况，还可以用来验证假设概率的正确性。

结论本文讨论了平均值不等式的定义和证明，并且介绍了它在各种应用中的重要性。

它可以用来计算多个数字的平均值，并发现和预测数据的变化，以及应用于统计学和概率论。

因此，平均值不等式是数学中重要的不等式，它在日常应用中也是十分重要的。

均值不等式公式四个及证明

均值不等式公式四个及证明1.算术均值-几何均值不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1*a2*...*an)证明：当n=2时，不等式成立。

因为(a1+a2)/2≥√(a1*a2)，即a1+a2≥2√(a1*a2)。

假设当 n=k 时，不等式成立，即(a1+a2+...+ak)/k ≥√(a1*a2*...*ak)。

现在考虑 n=k+1 的情况，即要证明(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) ≥ √(a1*a2*...*ak*ak+1)。

根据已知条件，我们有：(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) = [(a1+a2+...+ak)/k]*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1)由归纳假设，(a1+a2+...+ak)/k ≥ √(a1*a2*...*ak)。

因此，上式可以表示为：(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) ≥ (√(a1*a2*...*ak))*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1)根据加权平均不等式，我们有：(√(a1*a2*...*ak))*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1) ≥√(a1*a2*...*ak*ak+1)因此，不等式成立。

2. 广义均值不等式（Cauchy不等式）：对于非负实数 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1^p+a2^p+...+an^p)^(1/p) * (b1^q+b2^q+...+bn^q)^(1/q) ≥ a1*b1+a2*b2+...+an*bn其中，p和q是正实数，满足1/p+1/q=1证明：当n=2时，不等式成立。

因为(a1^p+a2^p)^(1/p)*(b1^q+b2^q)^(1/q)≥a1*b1+a2*b2假设当 n=k 时，不等式成立，即 (a1^p+a2^p+...+ak^p)^(1/p) * (b1^q+b2^q+...+bk^q)^(1/q) ≥ a1*b1+a2*b2+...+ak*bk。

常用均值不等式及证明证明之欧阳家百创编

常用均值不等式及证明证明欧阳家百（2021.03.07）概念： 1、调和平均数： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n a a a nHn 111212、几何平均数： ()nn a a a Gn 121 =3、算术平均数：()na a a A n +++=21n4、平方平均数：na a a Q n22221n +++=这四种平均数满足Qn An Gn H ≤≤≤n+∈R n a a a 21、、、，当且仅当na a a 21=== 时取“=”号均值不等式的一般形式：设函数()rr nr r n a a a x D 121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++= (当0r ≠时); ()()nn D 121a a a x =(当=r 时）（即()()nn D 121a a a 0 =则有：当r=-1、1、0、2注意到Hn ≤Gn ≤An ≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b ，有ab 2b a 22≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号)，ab 20b ,a 22>>(2)对非负实数a,b ，有02≥≥+ab b a≥≥ab(3)对负实数a,b ，有 02-<<+ab b a (4)对实数a,b ，有 ()()b a b b a --a ≥(5)对非负实数a,b ，有02a 22≥≥+ab b (6)对实数a,b ，有abb a b 22a 222≥+≥+(7)对实数a,b,c ，有3c b a 2222c b a ++≥++(8)对实数a,b,c ，有ac bc ab c b a 222++≥++(9)对非负数a,b ，有()43a 222b a b ab +≥++3abc ≥均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A ≥0，B ≥0，则()()Bn n nA A B A 1-n +≥+注：引理的正确性较明显，条件A ≥0，B ≥0可以弱化为A ≥0，A+B ≥0(用数学归纳法)。

均值不等式的证明方法及应用

均值不等式的证明方法及应用1.均值不等式的证明方法：（1）严格证明法：通过构造具体的数学推理过程，使用数学定理、运算性质和逻辑推理方法，进行步步推导，最终得出结论。

例如，证明算术均值大于等于几何均值（对于任意非负实数a,b）时，可以先证明两者的平方之差大于等于0，然后进行变形运算、化简等步骤，直至得到最终结论。

（2）几何方法：通过对图形的分析和变换，运用几何性质和数学定理，从而得出结论。

例如，证明算术均值大于等于几何均值时，可以通过构造一个几何图形，使两个均值分别对应到该图形上的一些量，然后通过比较图形的各个部分，从而得到结论。

（3）代数方法：通过运用代数运算性质和数学定理，以及构造恰当的函数和不等式，从而得到结论。

例如，证明算术均值大于等于几何均值时，可以构造一个函数f(x)=ln(x)，然后运用函数的性质和不等式知识，通过对不等式的变形和运算，得到结论。

2.均值不等式的应用：（1）最优化问题：均值不等式广泛应用于数学中的最优化问题中。

通过运用均值不等式，可以简化复杂的优化问题，找到最优解。

例如，在求函数的最大值和最小值时，可以通过构造适当的均值不等式，将原问题转化为寻找等号成立的条件，从而求得最优解。

（2）证明其他不等式：均值不等式是不等式学中的一个基本方法，常常用来证明其他不等式。

通过将其他不等式进行变形、运算、配方等操作，可以将其转化为均值不等式的形式，从而得到结论。

例如，证明柯西-施瓦茨不等式、夹逼准则等，常常可以使用均值不等式进行证明。

（3）函数单调性：均值不等式常常用于研究函数的单调性。

通过将函数的表达形式进行变形和运算，得到函数值的不等式关系，从而推导出函数的单调性。

例如，通过均值不等式可以得到极限存在的条件，从而得到函数的单调性。

（4）数列极限：均值不等式也常用于研究数列的极限问题。

通过将数列的表达式进行变形和运算，可以得到数列值之间的不等式关系，从而研究数列的极限性质。

例如，通过均值不等式可以得到数列的单调性、有界性等，从而推导出数列的极限。

(完整版)均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)

均值不等式归纳总结1. (1)若，则(2)若，则（当且仅当R b a ∈,ab b a 222≥+R b a ∈,222b aab +≤时取“=”）b a =2. (1)若，则(2)若，则（当且仅当时取*,R b a ∈abb a ≥+2*,R b a ∈ab b a 2≥+b a =“=”）(3)若，则 (当且仅当时取“=”）*,R b a ∈22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab b a =3.若，则 (当且仅当时取“=”）0x >12x x +≥1x =若，则 (当且仅当时取“=”）0x <12x x+≤-1x =-若，则 (当且仅当时取“=”）0x ≠11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或b a =4.若，则 (当且仅当时取“=”）0>ab 2≥+ab ba b a =若，则 (当且仅当时取“=”）0ab ≠22-2a b a ba bbabab a+≥+≥+≤即或b a =5.若，则（当且仅当时取“=”）R b a ∈,2)2(222b a b a +≤+b a =『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋（2）y ＝x ＋12x 21x解：(1)y ＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞）12x 266(2)当x ＞0时，y ＝x ＋≥2＝2；1x 当x ＜0时， y ＝x ＋= －（－ x －）≤－2=－21x 1x ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知，求函数的最大值。

54x <14245y x x =-+-解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所450x -<1(42)45x x --A以对要进行拆、凑项，42x -，5,5404x x <∴-> 11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。

均值不等式的证明(精选多篇)

均值不等式的证明(精选多篇)常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足hn?gn?an?qn?、ana1、a2、?r?，当且仅当a1?a2???an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a222?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)， a,b?0?2ab(4)对实数a,b，有a?a-b??b?a-b?a2?b2?2ab?0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2?b2?c2?ab?bc?aca?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?bn注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。

当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点，设f?x??lnx，f?x?为上凸增函数所以，在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）均值不等式证明一、已知x,y为正实数，且x+y=1求证xy+1/xy≥17/41=x+y≥2√(xy)得xy≤1/4而xy+1/xy≥2当且仅当xy=1/xy时取等也就是xy=1时画出xy+1/xy图像得01时，单调增而xy≤1/4∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得证继续追问：拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证补充回答：我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：证xy+1/xy≥17/4即证4(xy)?-17xy+4≥0即证(4xy-1)(xy-4)≥0即证xy≥4，xy≤1/4而x,y∈r+，x+y=1显然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4，得证法三：∵同理0xy+1/xy-17/4=(4x?y?-4-17xy)/4xy=(1-4xy)(4-xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!二、已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】那么1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0三、1、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足hn≤gn ≤an≤qn的式子即为均值不等式。

柯西不等式证明均值不等式

柯西不等式证明均值不等式柯西不等式证明均值不等式引言：在高等数学中，我们经常会遇到各种各样的不等式问题。

其中一个非常经典和重要的不等式就是均值不等式。

均值不等式给出了一组数字的平均数与其它某种函数的值之间的关系。

在本文中，我将通过证明柯西不等式，来展示它与均值不等式之间的紧密联系。

一、柯西不等式的表述和证明：柯西不等式是指对于任意的实数 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有如下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)柯西不等式的证明非常巧妙，基于向量内积的性质。

我们定义两个 n 维向量 a 和 b：a = (a1, a2, ..., an)b = (b1, b2, ..., bn)我们计算它们的内积a∙b：a∙b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn接下来，我们考虑向量 a - λb，其中λ 是一个参数。

根据向量的长度与内积之间的关系，我们可以得到：|a - λb|^2 = (a - λb)∙(a - λb) = a∙a - 2λa∙b + λ^2b∙b由于a∙a 和b∙b 是非负值，我们可以将右边的式子写成一个平方和的形式：|a - λb|^2 = (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) - 2λ(a1b1 + a2b2 + ... + anbn) + λ^2(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)现在，我们希望找到一个合适的参数λ，使得右边的式子最小化。

根据二次函数的性质，当λ = (a∙b) / (b∙b) 时，右边的式子达到最小值。

将λ 带入右边的式子，我们得到：|a - (a∙b)/(b∙b) * b|^2 = (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) - 2(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 / (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) * (b1^2 +b2^2 + ... + bn^2)注意到左边的式子是一个长度为 n 的向量的平方和，它必定非负。

借用梯形证明均值不等式

借用梯形证明均值不等式一、均值不等式均值不等式：对于任意的正实数a、b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。

二、利用梯形证明均值不等式（一）构建梯形设梯形ABCD，其中AD∥ BC，AD=a，BC = b（a,b>0），且a≠ b。

设梯形的高为h。

（二）梯形中的线段关系1. 中位线- 梯形的中位线EF=(a + b)/(2)（根据梯形中位线定理，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半）。

2. 两底之间的直角梯形的斜腰- 过A作AE⊥ BC于E，过D作DF⊥ BC于F。

- 在直角梯形ABFE中，根据勾股定理，AB=√(h^2)+((b - a)/(2))^{2}。

- 因为h>0，a≠ b时，AB>h。

- 当a = b时，此时梯形变为平行四边形，AB = h。

- 而这个直角梯形的面积S=((a + b)h)/(2)。

- 我们可以把这个梯形沿着中位线EF分割成两个小梯形，这两个小梯形的面积之和等于原梯形的面积。

- 同时，这个梯形还可以看作是以AB为底，高为h的矩形（当a=b时这种看法最直观），此时面积为AB× h。

- 由于S=((a + b)h)/(2)，当把它看作以AB为底的图形时，S = AB× h，可得AB=(a + b)/(2)（这里的等号是在a = b时成立）。

- 而对于直角梯形中的另一条斜腰CD，同样有CD=√(h^2)+((b -a)/(2))^{2}，也满足CD≥slant h，当且仅当a = b时等号成立。

- 我们知道在这个梯形中，以AD=a和BC = b为底的两个三角形（ ABE和DCF）相似。

- 根据相似三角形的性质，设 ABE中BE=x， DCF中CF = y，则(x)/(y)=(a)/(b)，且x + y=b - a，解这个方程组可得x=(a(b - a))/(a + b)，y=(b(b - a))/(a + b)。