4离散时间系统的差分方程描述

k 0
M
函数 F 实际是当前和过去若干时刻的输入的线性加权和， h(n), 0 n。 M 加权的系数就是系统的
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递归和非递归系统的框图表示
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递归系统和非递来自百度文库系统之间的主要差别


(1)递归系统有从输出到输入的反馈环路。 反馈环路包含一个延迟元件，延迟对于 系统的实现是很重要的。 (2)必须按顺序计算递归系统的输出，即 ，而非递归系统，没有顺序 y (0), y(1), 的约束［即 y(200), y(15), y(3), y(300), ］。
y(n) y(n 1) 2 y(n 1)

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如果把幅度为A的阶跃序列[ x(n) Au(n) ]作为系 统的输入，并且用初始值 y(1) 作为Ａ的估计值， 则系统的响应 y(n) 随着n的增大就会不断地逼近 于 A。 不需要确切的初始条件，粗略的估计就可以。
例：令A 2, y (1) 1, 则可得： y (0) 3 / 2, y (1) 1.4166667, y (2) 1.4142157。 类似地，对于y (1) 1.5，可得： y (0) 1.416667，y (1) 1.4142157。 他们和 2的值差1.414236不多。
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2 线性时不变系统的常系数差分方程描述

假定一个递归系统的输入输出差分方程描述为 y(n) ay(n 1) x(n) a为常数 (1)

一个LTI系统. 而累加平均系统是线性时变系统。 假定输入为 x(n), n 0 ，不考虑 n 0 时的输 入，但是假设 y(1) 是已知的,解方程以得到系 统输出的明确表达式。

则这样的系统称为非递归的。 用卷积公式描述的因果线性时不变FIR系统称为非递归系统
y ( n) h( k ) x ( n k ) h(0) x(n) h(1) x(n 1) h( M ) x(n M ) F[ x(n), x(n 1), , x(n M )]
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因果的实际可实现的递归系统的输出更一般地表示为 y(n) F [ y(n 1), y(n 2), , y(n N ), x(n), x(n 1), , x(n M )] 如果仅取决于当前时刻和以前时刻的输入，

y(n) F [ x(n), x(n 1), , x(n M )]
2.4 离散时间系统的差分方程描述
1 2 3 4 递归离散时间系统和非递归离散时间系统 线性时不变系统的常系数差分方程描述 线性常系数差分方程的解 线性时不变递归系统的冲激响应

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线性时不变系统由单位冲激响应 h(n) 表示, 反过来,对于 任何给定的输入序列 x(n) ，系统的输出y (n) 可通过 h(n) 并借助卷积公式来得到: y ( n) h( k ) x ( n k )
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y (0) ay (1) x(0) y (1) ay (0) x(1) a 2 y (1) ax(0) x(1) y (2) ay (1) x(2) a 3 y ( 1) a 2 x(0) ax(1) x(2) y (n) ay ( n 1) x( n) a n 1 y (1) a n x(0) a n 1 x(1)
k 0 n 1
递归累加平均系统的实现
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递归系统: 一般说来，如果一个系统当前时 刻 n 的输出 y (n)依赖于任意个以前时刻的输 出 [ y(n 1), y(n 2), ] 就被称为递归系统。 递归系统的计算
y (0) x(0) y (1) y (2) y (n0 )
k



卷积公式不仅给出了任何线性时不变系统输入输出之间 的关系,而且给出了系统的实现方法。FIR系统可按卷积 和直接实现,但IIR系统用这种方法实现是不可能的。 除了卷积和方法外，能不能用其他方法实现IIR 系统呢? 卷积公式仅以输入信号明确地表示了LTI的输出。在IIR 系统中，离散时间系统更方便用差分方程来表示。 这类系统在包括数字滤波器的实现和一些物理现象及物 理系统的建模在内的许多实际应用中是非常有用的。
1 2 2 3
y (0) x(1) y (1) x(2)
3 n0 2 1
1
n0 1
y (n0 1)
1 n0 1
x(n0 )
y (n1 )
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说明：


计算系统对 n n0 时刻施加的输入信号 x(n) 的响应，需要值 y(n0 1) 和 n n0 时的输入 取样值 x(n) 。 y(n0 1) 被称为初始条件，而且包含着确定 在 n n0 时刻系统对输入信号 x(n) 的响应 所需的所有信息，而与以前的值无关。
n k 0
ax (n 1) x (n)
y (n) a n 1 y (1) a k x(n k ) y zi ( n) y zs (n) , n 0
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例2.4.1 平方根算法:大多数计算机和计算器
利用迭代算法求正数A的方根，该迭代算法为
1 A sn (sn1 ) 2 sn1


其中，s 1 是 A 的初始猜测值。当迭代收敛时， 有 sn sn1 ，所以，由此很容易地得出 sn A 。 现在，考虑递归系统 1 x(n)
2
1 递归和非递归离散时间系统


存在许多系统，不仅以输入的当前值和过去值 来描述系统，而且以现在已有的过去的输出值 来描述系统。 计算信号 x(n) 在区间 0 k n 上累加平均值
1 y ( n) n 1

k 0
n
x(k )
一是直接计算;
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二是简单的代数变换,更有效地计算
(n 1) y(n) x(k ) x(n) ny(n 1) x(n) n 1 y ( n) y (n 1) x ( n) n 1 n 1