一元线性回归_方差分析_显著性分析

一元线性回归分析及方差分析与显著性检验

某位移传感器的位移x 与输出电压y 的一组观测值如下：（单位略）

设x 无误差，求y 对x 的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。 （附：F 0。10(1，4)=4.54，F 0。05(1，4)=7.71，F 0。01(1，4)=21.2）

回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。

一． 一元线性回归的数学模型

在一元线性回归中，有两个变量，其中 x 是可观测、可控制的普通变量，常称它为自变量或控制变量，y 为随机变量，常称其为因变量或响应变量。通过散点图或计算相关系数判定y 与x 之间存在着显著的线性相关关系，即y 与x 之间存在如下关系：

(1)

通常认为且假设与x 无关。将观测数据 (i=1，……，n)代入(1)再注意样本为简单随机样本得：

(2)

称(1)或(2)(又称为数据结构式)所确定的模型为一元(正态)线性回归模型。 对其进行统计分析称为一元线性回归分析。

模型(2)中 EY=，若记 y=E(Y),则 y=a+bx,就是所谓的一元线性回归方程，其图象就是回归直线，b 为回归系数，a 称为回归常数，有时也通称 a 、b 为回归系数。

设得到的回归方程

bx b y

+=0ˆ 残差方程为N t bx b y y

y v t t t i ,,2,1,ˆ0 =--=-= 根据最小二乘原理可求得回归系数b 0和b 。 对照第五章最小二乘法的矩阵形式，令

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=N N N v v v V b b b x x x X y y y Y 2102121ˆ111

则误差方程的矩阵形式为

V b

X Y =-ˆ 对照X A L V ˆ-=，设测得值 t

y 的精度相等，则有 Y X X X b

T T 1)(ˆ-=

将测得值分别代入上式，可计算得

,)()

)((2

1

1

2

1

1

1

xx

xy N

t t N t t N

t t N

t t N

t t t l l x x N y x y x N b =

--=

∑∑∑∑∑=====x b y x x N y x x y x b N t N

t t t t N

t t N t t N t t N t t -=--=

∑∑∑∑∑∑======1

1

2

21

111

20)()

)(())((

其中

2

111

2

2

1

1112

11

2

12

1

1)(1)()

)((1)()()(1)(11∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============-=-=-=--=-=-==

=

N

t t N t N

t t t yy N

t t N

t t N

t t t t N

t t xy N

t t N

t t N

t t xx N t t

N

t t

y N y y y l y x N y x y y x x l x N x x x l y

N

y x

N x

二、回归方程的方差分析及显著性检验

问题：这条回归直线是否符合y 与x 之间的客观规律回归直线的预报精度如何？

解决办法：

方差分析法—分解N 个观测值与其算术平均值之差的平方和；从量值上区别多个影响因素；用F 检验法对所求回归方程进行显著性检验。 （一）回归方程的方差分析

总的离差平方和（即N 个观测值之间的变差）

∑==-=N

t yy t l y y S 12)(，1-=N S ν

可以证明：

S=U+Q

其中

∑==-=N

t xy t bl y y U 12)(，1=U ν

xy yy N

t t t bl l y

y Q -=-=∑=1

2)ˆ(，2-=N Q ν U —回归平方和，反映总变差中由于x 和y 的线性关系而引起 y 变化的部分。

Q —残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残余误差，即其它因素对y 变差的影响。

（二）回归方程显著性检验— F 检验法

基本思路：方程是否显著取决于U 和Q 的大小，U 越大Q 越小说明y 与x 的线性

关系愈密切。 计算统计量F

Q

U

Q U F νν//=

对一元线性回归，应为

)

2/(1

/-=

N Q U F

查F 分布表，根据给定的显著性水平α和已知的自由度1和N-2进行检验： 若， ),2,1(01.0-≥N F F 回归在0.01的水平上高度显著。

),2,1()2,1(01.005.0-<≤-N F F N F 回归在0.05的水平上显著。 ),2,1()2,1(05.010.0-<≤-N F F N F 回归在0.1的水平上显著。 ),2,1(10.0-

（三）残余方差与残余标准差

残余方差：排除了x 对y 的线性影响后，衡量y 随机波动的特征量。

22-=

N Q σ

残余标准差：

2-=

N Q σ

含义：σ越小，回归直线的精度越高。

程序如下：

test=[1.2 5 10 15 20 25;

5.1 10.1 14.8 21.5 25.2 28.4] N=length(test(1,:));

sx=0;sx2=0;sy=0;sy2=0;sxy=0;Lxy=0;Lyy=0; for i=1:N

sx=sx+test(1,i); sx2=sx2+test(1,i)^2; sy=sy+test(2,i); sy2=sy2+test(2,i)^2;

sxy=sxy+test(1,i)*test(2,i);

Lxy=Lxy+(test(1,i)-sum(test(1,:))/N)*(test(2,i)-sum(test(2,:)/N)); Lyy=Lyy+(test(2,i)-sum(test(2,:))/N)^2; end