02第二讲 函数列的一致收敛性,柯西准则

数学分析第十三章函数列与函数项级数

函数列的一致收敛性

柯西准则

第二讲

数学分析第十三章函数列与函数项级数

定义1{

,}n f f D 设函数列与函数定义在同数集上一,x D ∈对一切都有

|()()|n f x f x ε-<，

{}n f D f 则称函数列在上一致收敛于,记作

→→()()(),.

n f x f x n x D →∞∈由定义看到, 一致收敛就是对D 上任何一点, 于极限函数的速度是“一致”的. 函数列趋若对,,N ε任给的正数总存在某一正整数使当n N 时，>这种一致性体现为：函数列的一致收敛性

数学分析第十三章函数列与函数项级数

例2 中的函数列sin nx n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是一致收敛的,,x ε正数不论(,)-∞+∞因为对任意给定的取上什么值，

N ε1只要取=,n N 当时恒有>

显然, 若函数列{}n f 在D 上一致收敛, 则必在D 上每一点都收敛. 它在D 上不一定一致收敛.

反之, 在D 上每一点都收敛的函数列,与相对应的N 仅与有关, εε而与x 在D 上的取值无().N ε因而把这个对所有x 都适用的N 写作关，

数学分析第十三章函数列与函数项级数

在D 上不一致收敛于f 的正面陈述是:

{}n f 函数列存在某正数0,ε对任何正数N , 必定存在0x D ∈和00x n 与的取值与N 有关), ( 注意: >0n N 正整数使得0000

()().n f x f x ε-≥{}(0,1)0.n

x 在上不可能一致收敛于由例1 知道, 下面来证明这个结论.

事实上, 若取01,2,2N ε对任何正整数=≥10011(0,1),N n N x N 取正整数及⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭就有001101.2

n x N -=-≥

数学分析第十三章函数列与函数项级数

{}n f f 函数列一致收敛于的几何意义:

号大于N 的所有曲线

()y f x ε

=+都落在曲线与()y f x ε=-所夹的带

状区域之内.

()(),

n y f x n N =>00,N ε∀>∃>,对于序y

O x

b a ()y f x ε=-()y f x ε=+()

y f x =()n y f x =图13‐1

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{}(0,1)n

x 函数列在区间上不一致收敛,1x y x O 2x 11

3x εε-不能全部落在由与=y εy ε=-夹成的带状区域内.

<(1)b 上, 就是存在某个预先给定的(1),ε<总存在某条曲线

(),

n y x n N =>从几何意义上看

{}n

x 所以在[0,]b 上是一致收敛的. y ε=y ε和=-所夹成的带状

n y x =曲线就全部落在ln (01),ln n b εε其中><<只要无论N 多么大,只限于在区间{}n x 若函数列[0,]

b 则容易看到,区域内，b

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定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）

函数列{}n f D 在数集上一致收敛的充要条件是:ε对任给正数, >,,n m N 时总存在正数N , 使当x D ∈对一切, 都有

|()()|.(4)

n m f x f x ε-<即对任给证必要性存在正数N , 使得当>n N 时, 0,ε>的都有|()()|.(5)2n f x f x ε-<,,(5)n m N 于是当由得>|()()||()()||()()|n m n m f x f x f x f x f x f x -≤-+-()()(),,n f x f x n x D 设→∞∈,

x D ∈对一切<+=.22

εεε

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充分性若条件(4) 成立, 由数列收敛的柯西准则, 在D 上任一点都收敛, {}n f →∞(4),,n m 现固定式中的让∈x D 对一切都有|()()|.n f x f x ε-≤由定义1知,

()()(),.

n f x f x n x D →∞∈→→定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）

函数列{}n f D 在数集上一致收敛的充要条件是:ε对任给正数, ,,n m N >总存在正数N , 使当x D ∈对一切, 都有

|()()|.(4)

n m f x f x ε-<>,n N 于是当时(),.f x x D ∈记其极限函数为