初中数学如何确定函数自变量的取值范围(最新编写)
初中数学 反比例函数的最大值和最小值如何确定
初中数学反比例函数的最大值和最小值如何确定
反比例函数的最大值和最小值可以通过函数的图像和定义域来确定。
下面是确定反比例函数的最大值和最小值的步骤：
1. 确定函数的定义域：反比例函数的定义域是除了零的所有实数。
因此，我们需要确定函数的自变量x 的取值范围。
2. 观察图像：反比例函数的图像是一条经过第一象限的双曲线。
这条曲线在x 轴和y 轴上都有渐近线。
通过观察图像，我们可以大致确定函数的最大值和最小值。
3. 确定最大值和最小值的条件：反比例函数在定义域内是无界的，即没有绝对的最大值和最小值。
然而，根据定义域的限制和图像的特点，我们可以确定最大值和最小值的条件。
-最大值：当自变量x 的取值趋近于零时，函数的值趋近于无穷大。
因此，反比例函数在定义域内没有最大值。
-最小值：当自变量x 的取值趋近于正无穷大或负无穷大时，函数的值趋近于零。
因此，反比例函数在定义域内的最小值为零。
需要注意的是，反比例函数在x = 0 处是不可定义的，因此函数在x = 0 处没有取值。
这也是为什么反比例函数在定义域内没有最大值的原因。
总结起来，反比例函数在定义域内没有最大值，最小值为零。
这些结论可以通过观察函数图像和理解函数定义域的特点来确定。
在实际问题中，这些信息可以帮助我们理解函数的变化趋势和应用反比例函数进行问题求解。
初中数学_如何确定函数自变量的取值范围
初中数学_如何确定函数自变量的取值范围确定函数自变量的取值范围是数学中的一个重要问题。
在解决数学问题和应用函数时，我们需要正确地确定自变量的取值范围，以保证问题的有效性和解决方案的正确性。
本文将介绍一些常见的确定函数自变量取值范围的方法。
首先，我们需要明确函数的定义域。
函数的定义域是指可以使函数有意义的自变量的取值范围。
根据函数的性质和实际问题的限制，我们可以用以下几种方法确定函数的定义域。
1.代数方法：根据函数的代数表达式，我们可以通过排除无意义或不符合要求的值来确定函数的定义域。
常见的情况包括分母不能为零、平方根函数的被开方数不能为负数等。
例如，对于函数f(x)=1/x，在这个函数中，分母不能为零，所以我们可以排除x=0。
因此，定义域可以表示为x≠0。
2.几何方法：通过函数的几何意义，我们可以确定自变量的取值范围。
例如，对于平方根函数y=√x，我们知道平方根函数的被开方数不能为负数。
因此，自变量的取值范围是x≥0。
3.实际问题的限制：在解决实际问题时，问题本身可能对自变量的取值范围有限制。
例如，一些问题要求在一个已知的范围内解决，那么自变量的取值范围可以限定在这个已知范围内。
其次，我们需要注意函数图像的特点，以确定函数自变量的取值范围。
1.函数的增减性：考虑函数的增减性可以帮助我们确定自变量的取值范围。
例如，对于一个递增函数，在这个函数中，随着自变量的增加，函数值也会增加。
因此，自变量的取值范围可以是无穷大或有实数限制的有界范围。
2.函数的奇偶性：如果函数是奇函数，那么函数图像关于原点对称，即f(x)=-f(-x)。
如果函数是偶函数，那么函数图像关于y轴对称，即f(x)=f(-x)。
根据函数的奇偶性可以帮助我们确定函数自变量的取值范围。
例如，如果函数是奇函数，那么自变量的取值范围可以限定在非负数范围内。
最后，我们可以通过函数的应用问题来确定自变量的取值范围。
1.题目限定：在解决应用问题时，问题本身可能对自变量的取值范围有限制。
求函数自变量的取值范围的确定方法
求函数自变量的取值范围的确定方法确定函数自变量的取值范围是数学问题中的一个重要环节，它涉及到函数的定义域、排除可能的异常情况，以及满足问题背景要求的合理取值范围等。
在本文中，我将从多个角度解释如何确定函数自变量的取值范围。
1.首先，根据函数的定义来确定自变量的取值范围。
在确定函数自变量的取值范围之前，我们需要了解函数的定义。
函数可以通过数学表达式、描述或者图像来定义。
对于数学表达式来说，自变量一般不应使函数的分母为零或者函数内存在不合法值（例如负数的平方根）等情况。
对于描述和图像来说，需要根据问题背景对自变量的限制进行理解。
例如，一个描述中可能指定了自变量必须为正整数，或者一个图像中显示了自变量只能在一些特定范围内取值。
2.其次，根据问题的背景确定自变量的取值范围。
问题的背景可能涉及到实际世界的限制条件，例如物理问题中对时间、空间的限制。
在这种情况下，我们需要根据问题的具体要求来确定自变量的取值范围。
例如，如果问题要求求解一个物体在一段时间内的位移，那么时间必须在非负范围内取值。
3.然后，考虑函数所处的数学领域以及函数类型。
不同的数学领域和函数类型对自变量的取值范围有不同的要求。
例如，对于实数域上的函数，自变量的取值范围可以是整个实数集；对于复数域上的函数，自变量的取值范围可以是整个复平面。
此外，特殊类型的函数（例如三角函数、指数函数）也会有特定的自变量取值范围。
在确定函数自变量的取值范围时，需要考虑到这些领域和类型的特殊要求。
4.最后，通过排除可能的异常情况来确定自变量的取值范围。
在解决实际问题时，常常需要考虑一些异常情况，例如除零错误或其他无法计算的情形。
在这些情况下，我们需要通过排除这些异常情况来确定自变量的取值范围。
例如，如果函数在一些自变量值附近没有定义，则需要将这个值排除在自变量的取值范围之外。
总结起来，确定函数自变量的取值范围需要结合函数的定义、问题的背景、数学领域和函数类型以及异常情况等因素综合考虑。
初中数学用三招确定“函数自变量取值范围”
初中数学用三招确定“函数自变量取值范围”一、问题提出：一个函数关系式的自变量取值是有一定范围的，自变量取值范围必须使关系式或题中条件有意义。
那么如何才能准确地确定自变量的取值范围呢?二、问题解决：第一招: 必须使含自变量的代数式有意义1、解析式是整式时,自变量取值范围是全体实数例如:指出下列各函数的自变量取值范围:①21y x =-；②32y x =-； ③5y x =- .解:这三个函数式中,右边的式子都是含自变量x 的整式，所以它们的自变量取值范围是全体实数。
2、解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数例如: 确定下列函数的自变量取值范围:①y= 2x-； ②y=21x + ； ③ y = 211x - 解：这三个函数解析式中，右边的式子都是含自变量x 的分式，所以分母不为零时，右边的代数式有意义。
因此①中的x ≠0；②中的x ≠-1；③中的x ≠1且x ≠-13、解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数例如：确定下列函数的自变量取值范围:①y=； ②y= ； ③y= ；④y = ；⑤解：① x ≥2； ②x ≥-1；③ 全体实数 ；④010x ≥⎧⎪≠ 即 x ≥0且x ≠1；⑤ 全体实数4、解析式含有零指数、负整指数幂的函数,自变量的取值范围是使底数不为零的实数 例如：确定下列函数的自变量取值范围:①()02y x =-；②)31y -=解： ①x-2≠0， x ≠2 ; ②10110x x +≥⎧⎪⎨+-≠⎪⎩ 即x ≥-1且x ≠0 第二招:必须使实际问题有意义例如：一辆汽车的油箱中有汽油40升，该车每千米油耗为0.4升，请写出油箱剩余油量Q （升）与行驶路程s （千米）之间的函数关系式，并确定自变量取值范围。
解：Q = 40 -0.4s ∵0400Q s ≤≤⎧⎨≥⎩∴0400.4400s s ≤-≤⎧⎨≥⎩ ∴0≤s ≤10 ∴自变量取值范围为0≤s ≤100第三招:必须使图形存在例1：A 、B 、C 、D 四个人做游戏，A 、B 、C 三人站在三个不同的点上构成一个三角形，且∠BAC=40°，D 在△ABC 内部移动，但不能超越△ABC ，则D 与B 、C 构成一个三角形。
冀教版八年级数学下册《二十章 函数 20.2 函数 函数的自变量取值范围》教案_0
函数自变量的取值范围设计思路：《函数自变量的取值范围》是八年级数学下册20章第二节的内容。
函数是研究运动变化的重要数学模型，它源自生活，又服务于生活。
函数有着广泛的应用，初中阶段对函数的认识也是逐步加深的，因此，本节课的学习效果如何将直接影响学生的后续学习。
《函数自变量的取值范围》是本节课的重点内容之一，我把它单独安排一个课时来学习。
在教学设计上，我主要是以四个活动为载体：1.情境活动：使学生感到容易---我能学2.探究归纳：提出问题，引起学生求知欲---我要学利用导学案中的“填一填”提出“自变量的取值有限制吗？”这一问题，从而勾起学生求知的欲望-----我想学，调动学生的主动性。
3.实践应用：结合所学知识应用到实践中---我学会这一活动中我设计了两个例题，其中例1是针对单纯解析式中的函数自变量取值范围，例2是在实际应用中的自变量取值范围。
每个题目都让学生分组完成，尽量照顾到每位同学的态度，使每个人都参与其中，都能发表自己的见解。
4.交流反思：引导学生回顾在活动中的得失，以提高自己---我会学根据实践活动的应用，引导学生反省自己在活动中的得失，以弥补不足之处，同时锻炼归纳总结的能力，以便更好的形成知识体系。
在活动的设计上，我注重了活动的目的性、活动的层次性、活动的思维性以及活动的可操作性，和学生的所有交流都是在自然进行的。
在整个教学过程中，始终注重的是学生的参与意识；注重学生对待学习的态度是否积极；注重引导学生从数学的角度去思考问题，让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈。
我在课堂上，尽量留给学生更多的空间，让学生有更多的展示自己的机会，让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中，充分调动他们的非智力因素，特别是内在动机，让他们以强烈的求知欲和饱满的热情来学习新知识，在老师和同学的鼓励与欣赏中认识自我，找到自信，体验成功的乐趣，从而树立起学好数学的信心。
教学目标1.知识与技能（1）能根据函数关系式直观得到自变量取值范围。
初二函数自变量的取值范围方法和经典题型
班级_______ 姓名______ 耀华学号______ 分数___________中考宝典之----确定函数自变量的取值范围的秘诀：（1）关系式为整式时，自变量的取值范围为全体实数；如：27y x =- 中，x 可以取任意实数（2）关系式分母含有变量时，整个分母不等于零；如：y =中，分母含有变量x ，分母为 1x + ，故分母10x +≠（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；中，被开方数为 21x -，则 210x -≥（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；即：()010a a =≠，如：()01y x =+ ，底数为1x + ，则 10x +≠ （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
如：某汽车的油箱内装有200 升的油，行驶时每百公里耗油10升，设行使的里程为 x （百公里），则油箱中所剩下的油 y (升）与 x 之间的函数关系式是：20010y x =-，则自变量 x 的范围是 020x ≤≤我一定都能过关！1、（2009·哈尔滨中考）函数y ＝22x x -+的自变量x 的取值范围是 . 2、（2010黑龙江哈尔滨）函数21-+=x x y 的自变量的取值范围是 。
3、（2010江苏苏州）函数11y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≠0 B ．x ≠1 C ．x ≥1 D ．x ≤1 4、（2009·桂林中考）在函数y =x 的取值范围是 ．5、函数x x y 中自变量1-=的取值范围是 ，当2=x 时，函数值y= .6、（2010·威海中考）在函数x y -=3中，自变量x 的取值范围是 ．7、（2010湖南常德）函数y =x 的取值范围是 .8、函数y =x 的取值范围是___________.9、（2010广东湛江）函数1-=x y 的自变量x 的取值范围是（ ）A.1≥xB. 1-≥xC. 1-≤xD. 1≤x10、（2009·牡丹江中考）函数12y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 11、函数y=11+x 中自变量x 的取值范围是____________.12、函数中，自变量的取值范围应是（ ）、 、 、 、13、在函数3y x =-中，自变量x 的取值范围是 。
2024年初中升学考试九年级数学专题复习函数自变量的取值范围
函数自变量的取值范围28．（2023•广安）函数y =√x+2x−1的自变量x 的取值范围是 x ≥﹣2且x ≠1 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解【解答】解：根据题意得：{x +2≥0x −1≠0， 解得：x ≥﹣2且x ≠1．故答案为：x ≥﹣2且x ≠1．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．函数自变量的取值范围26．（2023•云南）函数y =1x−10的自变量x 的取值范围是 x ≠10 ．【考点】函数自变量的取值范围． 【分析】根据分式的分母不能为0即可求得答案．【解答】解：已知函数为y =1x−10， 则x ﹣10≠0即x ≠10，故答案为：x ≠10．【点评】本题考查函数自变量的取值范围，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．函数自变量的取值范围21．（2023•岳阳）函数y =1x−2中，自变量x 的取值范围是 x ≠2 ．【答案】x≠2．【分析】根据分母不为0可得：x﹣2≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．函数自变量的取值范围25．（2023•齐齐哈尔）在函数y=1√x−11x−2中，自变量x的取值范围是x＞1且x≠2．【答案】x＞1且x≠2．【分析】根据二次根式有意义的条件及分母不能为0即可求得答案．【解答】解：已知函数为y=√x−1+1x−2，则x﹣1＞0，且x﹣2≠0，解得：x＞1且x≠2，故答案为：x＞1且x≠2．【点评】本题考查求函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件及分母不能为0求得x﹣1＞0，且x﹣2≠0是解题的关键．函数自变量的取值范围22．（2023•黑龙江）在函数y=√x+3中，自变量x的取值范围是x≥﹣3．【答案】见试题解答内容【分析】因为二次根式的被开方数要为非负数，即x+3≥0，解此不等式即可．【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．【点评】当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．函数自变量的取值范围23．（2023•达州）函数y=的自变量x的取值范围是x＞1．√x−1【考点】函数自变量的取值范围．【分析】由二次根式的被开方数大于等于0可得x﹣1≥0，由分式有意义的性质可得x﹣1≠0，即可求出自变量x的取值范围．【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0且x﹣1≠0，即x﹣1＞0，解得：x＞1．故答案为：x＞1．【点评】考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．。
初中数学中考函数自变量取值范围的确定方法素材
初中数学中考函数自变量取值范围的确定方法素材在初中数学中，函数是一个非常重要的概念。
而函数的自变量的取值范围的确定对于理解函数的性质和解题非常关键。
下面我将为你提供一些关于函数自变量取值范围确定方法的素材。
1.实际问题与函数自变量的关系很多实际问题可以通过函数来建模并求解。
在确定函数的自变量取值范围时，首先要分析实际问题中自变量的意义和限制条件。
例如，对于一个描述时间和距离之间关系的函数，自变量表示时间，通常限制为非负数，因为时间不能为负。
2.函数图像与自变量取值范围函数的图像可以提供很多关于函数自变量取值范围的信息。
通过观察函数图像，可以确定函数的自变量取值范围。
例如，对于一个定义在实数集上的线性函数，其图像是一条直线，我们可以观察直线的延伸方向，确定自变量取值范围是整个实数集。
3.函数的定义域函数的定义域是指函数可以取值的自变量的集合。
在确定函数的自变量取值范围时，通常可以参考函数的定义域。
例如，对于一个分式函数，自变量不能使分母为0，所以要求自变量取值不能使分母为0的范围。
4.函数的性质和条件函数的性质和条件也可以用来确定函数的自变量取值范围。
例如，对于一个定义在正整数集上的函数，我们可以利用正整数的性质来确定自变量取值范围为正整数集。
5.不等式的解集一些情况下，函数的自变量取值范围可以通过不等式的解集来确定。
例如，对于一个定义域为实数集的二次函数，我们可以通过求不等式ax^2+bx+c≥0的解集来确定自变量取值范围。
6.函数的可行性在实际问题中，函数的自变量通常有一定的物理或数学限制。
通过分析这些限制，可以确定函数的自变量取值范围。
例如，对于一个模拟水龙头放水的函数，自变量的取值范围应该是在水龙头可调节的范围内。
总结起来，确定函数的自变量取值范围的方法可以从实际问题、图像、定义域、性质和条件、不等式的解集以及可行性等方面考虑。
通过综合运用这些方法，可以有效地确定函数的自变量取值范围，有助于解决相关的数学问题。
2020年上学期初中八年级数学 自变量的取值范围 习题课(1)
个图形的重叠部分也是等腰直角三
角形.由MA=x，得
y=
1 2
x2 , 00＃≤xx≤1100. .
14.一辆长途汽车，以60 km/h的平均速度，从甲地驶往相距270
km的乙地.求汽车距乙地的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系 式，并指出自变量的取值范围.
解： s＝270－60t，自变量t的取值范围是0≤t≤4.5.
6．汽车由A地驶往相距840千米的B地，汽车的平均速度为每
小时70千米，t小时后，汽车距B地s千米． (1)求s与t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围． (2)经过2小时后，汽车离B地多少千米？ (3)经过多少小时后，汽车离B地140千米？ 解： (1)s＝840－70t(0≤t≤12)．
(2)当t＝2时，s＝840－70×2＝700. 所以经过2小时后，汽车离B地700千米．
的取值范围，则这个函数解析式为( C )
A．y＝x＋2
B．y＝x2＋2
C．y＝ x + 2
D．y＝ 1 x+ 2
2. 等腰三角形的周长是40 cm，底边长y(cm)是腰长 x(cm)的函数，此函数表达式和自变量取值范围正确 的是( C ) A．y＝－2x＋40(0＜x＜20) B．y＝－0.5x＋20(10＜x＜20) C．y＝－2x＋40(10＜x＜20) D．y＝－0.5x＋20(0＜x＜20)
解：(1)设该厂每月的利润为W(元)，产品件数为x件，则W＝(50 －25)x－2×0.5x－30 000， 即W＝24x－30 000.
(2)由题意可知，W＞0，即24x－30 000＞0，解得x＞1 250. 因为x为正整数，所以该厂每月至少需生产并销售这种产 品1 251件．
函数自变量的取值范围
解析式或代数式所含字母 的取值范围 二次根式有意义的条件 函数解析式 函数解析式 分式有意义的条件
课后作业
1.（2015昆明，9题，3分）要使二次根式 x 1 有意义，则 x 的 取值范围是 . 2.（2014昆明，13题，3分）要使分式 取值范围是 .
y 3. 若 y x 3 3 x 2 ，则x
2
共同探究 二、实际问题中自变量的取值范围 （1）问题3中的函数中，自变量 x 的取值有限制吗？
解：由题意得，
x>0 180- 2 x > 0
解得，0<x<90
（2）一个三角形的周长为y(cm)，与三边长分别为7 cm，3 cm， x cm.试写出y(cm)与x(cm)之间的函数关系式，此时自变量x的 取值有限制吗？
就说y是x的函数，x是自变量.
自变量允许取哪些值？ 范围又如何确定呢？
自主探究
一、函数解析式中自变量的取值范围：
（1）
y 5x
y 2x 1
函数的解析式是 整式时，自变量 可取全体实数.
y x x 12
2
解：x取全体实数
自主探究
一、函数解析式中自变量的取值范围：
3 （2） y x
近六年云南省考查求函数自变量取值范围及 代数式所含字母的取值范围的情况
年份 2017 2016 2015 2013 2012
题号 分值 考查的类型 3 4 3 3
4 8 10 2014（昆明） 13 11 12
二次根式 分式 二次根式 分式 分式与二次 3 函数解析式 根式 3 二次根式 函数解析式
解：y=x+10. 4<x<10 实际问题中自变量的取值范围，主要考虑两个因素： 归纳： （1）自变量自身表示的意义.如边长、时间、人数等不能为负数. （2）问题中的限制条件.此时多用不等式或不等式组来确定自变 量的取值范围.
初中数学中考函数自变量取值范围的确定方法素材
初中数学中考函数自变量取值范围的确定方法素材在初中数学中，函数是一个非常重要的概念和工具。
在考试中，经常会出现关于函数定义域和值域的问题。
函数的自变量取值范围的确定方法是关键的一部分。
下面就是一些关于函数自变量取值范围的确定方法的素材，供你参考。
一、基本概念1.函数的定义：函数是一个对应关系，它把一个集合的每个元素对应到另一个集合的唯一元素上。
2.定义域：函数中自变量的取值范围。
3.值域：函数中因变量的取值范围。
二、常见函数类型的自变量取值范围确定方法1. 一元一次函数：y = kx + b，自变量取值范围通常为所有实数。
2. 一元二次函数：y = ax^2 + bx + c，自变量取值范围通常为所有实数。
3.绝对值函数：y=，x，自变量取值范围通常为所有实数。
4.平方函数：y=x^2，自变量取值范围通常为所有实数。
5.倒数函数：y=1/x，自变量取值范围通常不能为0。
6. 正比例函数：y = kx，自变量取值范围通常为所有实数。
7.反比例函数：y=k/x，自变量取值范围通常不能为0。
三、常用方法1. 对于给定的函数表达式，通过观察函数的性质来确定自变量的取值范围。
例如，对于一元一次函数y = kx + b，由于直线延伸到无穷远，自变量的取值范围为所有实数。
2.对于一些特定函数，可以通过图像来确定自变量的取值范围。
例如，对于平方函数y=x^2，我们可以观察到图像在x轴左侧和右侧都有延伸，因此自变量的取值范围为所有实数。
3.对于一些函数，可能存在自变量取值的限制条件。
例如，对于正方形的面积函数S=x^2，自变量x的取值范围通常是非负实数，因为面积不可能为负值。
4. 对于一些应用题，需要根据题目的实际情况来确定自变量的取值范围。
例如，对于一个长方形的长和宽分别为x和y，而面积要求为100平方米，那么自变量x和y的取值范围需要满足条件xy=100。
四、常见错误1.将定义域和值域混淆。
定义域是自变量的取值范围，而值域是函数结果的取值范围。
初中人教版数学八年级下册：19.1.1 第2课时 函 数 习题课件(含答案)
（2）求距地面 3 km 处的气温 T； （3）求气温为－6 ℃处距地面的高度 h. （2）当 h＝3 时，T＝24－6×3＝6（℃）. 答：距地面 3 km 处的气温 T 为 6 ℃. （3）当 T＝－6 时，－6＝24－6h，解得 h＝5. 答：气温为－6 ℃处距地面的高度 h 为 5 km.
方法点拨：在实际问题中，要注意自变量的 取值要符合实际意义.
1.下列几个式子，其中 y 是 x 的函数的是( A )
A.y＝2x
B.y2＝2x
C.y＝±2x D.|y|＝2x
2.在函数关系式 y＝1x2－1 中，当自变量 x＝2－1 C.1 D.2
知识要点 1 函数的概念 函数：在一个变化过程中，有两个变量 x，y，
对于 x 的每一个确定的值，y 都有 唯一 确定的值 与它对应.x 是 自变量 ，y 是 x 的 函数 .
函数值：如果当 x＝a 时，y＝b，那么 b 叫做当自变 量的值为 a 时的 函数值 . 解题策略：判断变量 y 是否为变量 x 的函数，要抓 住三个特点：①在同一变化过程中；②有两个变量； ③本质上是一种对应关系，给定一个 x 的值，确定 唯一一个 y 的值；而对应 y 的一个值，自变量 x 的 取值不一定只有一个.
例 水箱内原有水 200 升，7：30 打开水龙头，以 2 升/分的速度放水，设经过 t 分钟时，水箱内存水 y 升. （1）求 y 关于 t 的函数关系式和自变量的取值范围； （2）7：55 时，水箱内还有多少水？ （3）几点几分水箱内的水恰好放完？
分析：（1）根据水箱内还有的水等于原有水减去放 掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于 0 列 不等式求出 t 的取值范围；（2）当 7：55 时，55－ 30＝25（分钟），将 t＝25 代入（1）中的关系式即 可；（3）令 y＝0，求出 t 的值即可.
人教版初中数学求一次函数自变量取值范围的基本方法
求一次函数自变量取值范围的基本方法
一次函数自变量取值范围的问题相对复杂一些，题型多、解法活、难度大，本文将求一次函数自变量取值范围的基本策略呈现于后，供大家参考。
一.图像法
例1.已知函数的图像如图1所示，则x的取值范围是（）
A.一切实数
B.
C. D.
图1
解析：仔细观察图像，就会发现正确答案是D。
二.单调性法
例2.已知函数的函数值范围是。
求该函数自变量x的取值范围。
解析：当时，由得；
当时，
对于函数，y随x的增大而增大
即自变量x的取值范围是。
三.极限位置法
例3.已知：如图2，在中，，D、E分别是AB、AC边上的动点，在运动过程中，始终保持，设，求y与x之间的函数关系式，并求自变量的取值范围。
图2
解析：在中，
，即
所以y与x之间的函数关系式为。
当D与B重合时，CE最小，此时。
则，即，
故
当时，
自变量的取值范围是。
四.生活经验法
例4.拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，求油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式，并写出自变量取值范围。
解析：由题意得
油箱中的油最多是40升，同时拖拉机工作需要燃油提供能量，所以，即自变量t 应满足，解得。
需要补充说明的是，在求一次函数解析式时，有的题目本身没有提出求自变量取值范围的要求，解题时我们最好还是把自变量的取值范围写出来，因为离开自变量的取值范围，函数就失去存在的依据了。
2024-2025学年华师版初中数学九年级(下)教学课件26.3实践与探索(第2课时商品销售问题)
润是多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
y
解：(1)由图象可得函数图象过点（5，0），（7，16），
代入得 = −2 + 20 − 75.
∵−1 < 0，对称轴为直线 = 10，
16
∴当 = 10时，y值最大，最大值为25.
即： = − + + .
（2）如何确定自变量x的取值范围？
通常价格下降，则销量上升，因此只要考虑单件利润即可，故20 −
≥ 0，且 ≥ 0，因此自变量的取值范围是0 ≤ ≤ 20.
知识讲解
（3）涨价多少元时利润最大，是多少？
= −202 + 100 + 6 000，
当 =
− 时，二次函数
（大）值 =
−
.
= + + 有最小
新课导入
日常生活中到处可以
用到数学知识，商品
买卖过程中，商家追
求的目标往往是利润
的最大化.
如果你是商场经理，
如何定价才能使商场
获得最大利润呢？
知识讲解
商品利润最大问题
问题
商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润.
注意：此时可以利用配方法或公式法求；或者画
出函数的简图，利用简图和性质求出.
知识讲解
例
解：
某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖
出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期
初中数学中考函数自变量取值范围的确定方法素材
初中数学中考函数自变量取值范围的确定方法素材在初中数学中，函数是一个非常重要的概念。
而确定函数自变量的取值范围也是解题的重要一环。
下面将介绍一些方法和例子，帮助你更好地理解和应用这个概念。
一、函数自变量的取值范围的确定方法在确定函数自变量的取值范围时，可以考虑以下几个方面：1.函数的定义域：函数在定义上是有限制的，有些值是不能作为自变量的。
要确定函数的自变量的取值范围，首先要确定函数的定义域。
定义域就是函数中自变量可以取的值的集合。
常见的定义域有实数集、正整数集等。
通过观察函数的定义式，可以确定定义域的范围。
2.可能存在的特殊情况：对一些特殊函数，如分式函数、开方函数等，可能会存在一些特殊情况需要考虑。
例如，对于分式函数，要求分母不为0，这样的自变量的取值范围就需要排除分母为0的情况。
3.各个条件限制：在一些应用题中，函数的自变量的取值范围可能会受到一定的条件限制。
要仔细阅读题目中的条件，推导出自变量的取值范围。
二、例子例1：确定函数的自变量取值范围已知函数f(x)=3x+2，求自然数n，使得f(n)是偶数。
解析：首先，根据函数的定义式，我们可以得知函数f(x)的定义域为实数集。
然后，根据题目中的条件，我们需要求使f(n)是偶数的自然数n。
偶数的特点是能被2整除，所以我们可以列出方程f(n)=3n+2=2k，其中k是整数。
将方程变形为3n=2k-2，我们可以观察到n的取值范围是有限的，它取值的可能是所有满足3n是一个偶数的自然数。
而n是自然数，所以满足条件的自变量的取值范围是偶数的自然数集合。
例2：确定函数的自变量取值范围已知函数g(x)=√(x-4)，求函数自变量x的取值范围。
解析：首先，我们要注意到根号下面的被开方数x-4必须大于等于0，因此要求x≥4、而函数g(x)的定义域是x-4的所有可能取值，所以自变量的取值范围是[4,+∞)。
例3：确定函数的自变量取值范围已知函数h(x)=1/(x-2)，求函数自变量x的取值范围。
函数自变量取值范围的确定方法
函数自变量取值范围的确定策略金山初级中学 庄士忠 201508函数是初中数学一个十分重要的内容，为保证函数式有意义或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围。
函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型：（1）函数关系式中函数自变量的取值范围；（2）实际问题中函数自变量的取值范围；（3）几何问题中函数自变量的取值范围。
一、 函数关系式中函数自变量的取值范围：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数：底数≠0。
典型例题：例1：函数y=x 1-的自变量x 的取值范围在数轴上可表示为【 】A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出y=x 1-的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使y=x 1-在实数范围内有意义，必须x 10-≥ x 1⇒≥。
故在数轴上表示为：。
故选D 。
例2：函数y =1x 2- 中自变量x 取值范围是【 】A ．x =2 B ．x ≠2 C ．x ＞2 D ．x ＜2【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使1x 2-在实数范围内有意义，必须x 20x 2-≠⇒≠。
故选B 。
例3：函数x+2x 的取值范围是【 】A ．x ＞﹣2 B ．x ≥2 C ．x ≠﹣2 D ．x ≥﹣2 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使x+2在实数范围内有意义，必须x+20x 2x >2x+20x 2≥≥-⎧⎧⇒⇒-⎨⎨≠≠-⎩⎩。
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如何确定函数自变量的取值范围
湖北省黄石市下陆中学宋毓彬
为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围．函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题．
初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为以下三种类型：
一、函数关系式中自变量的取值范围
在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；⑵函数关系式为分式形式：分母≠0；⑶函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；⑷函数关系式含0指数：底数≠0．
例1．在下列函数关系式中，自变量x的取值范围分别是什么？
⑴y=2x-5；⑵y=；⑶y=；⑷y=；⑸y=（x-3）0
解析：⑴为整式形式：x的取值范围为任意实数；
⑵为分式形式：分母2x+1≠0∴x≠－∴x的取值范围为x≠－；
⑶含算术平方根：被开方数3x-4≥0 ∴x≥∴x的取值范围为x≥；
⑷既含分母、又含算术平方根，故∴x≥－2且x≠0
x的取值范围为：x≥－2且x≠0
⑸含0指数，底数x-3≠0 ∴x≠3，x的取值范围为x≠3．
二、实际问题中自变量的取值范围．
在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：
⑴自变量自身表示的意义．如时间、用油量等不能为负数．
⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．
例2、某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，每量汽车上至少有一名教师．甲、乙两车载客量和租金如下表：
甲种车辆甲种车辆
载客量（单位：人/辆）45 30
租金（单位：元）400 280
设租用甲种车x辆，租车费用为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．解析：⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x辆，则租用乙种车辆（6－x）辆．y=400x+280（6-x）=120x+1680
∴y与x的函数关系式为：y=120x+1680
⑵自变量x需满足以下两个条件：
240名师生有车坐：45x+30（6-x）≥240 ∴x≥4
费用不超过2300元：120x+1680≤2300 ∴x≤5
∴自变量x的取值范围是：4≤x≤5
三、几何图形中函数自变量的取值范围
几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动
范围．特别要注意的是在三角形中“两边之和大于第三边”．
例3．若等腰三角形的周长为20cm，请写出底边长y与腰长x的函数关系式，并求自
变量x的取值范围．
解析：底边长y与腰长x的函数关系式为：y=20-2x
①x表示等腰三角形腰长：x≥0
②三角形中“两边之和大于第三边”：2x＞y 即2x＞20-2x ∴x＞5
③等腰三角形底边长y＞0，20-2x＞0，∴x＜10
∴自变量x的取值范围是：5＜x＜10
作者简介：宋毓彬，男，43岁，中学数学高级教师．在《中学数学教学参考》、《数
哩天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、
《数学周报》、《数学辅导报》等报刊发表教学辅导类文章40多篇．主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究．。