磁场能量的推导过程
磁场的能量 磁场能量密度
磁场的能量
L R
K
当电键打开后，电源已不再向灯泡供应能量了。 它突然闪亮一下，所消耗的能量从哪里来的？
考察在开关合上后的一段时间内，电路中的电 流滋长过程：
由欧姆定律
dI L dt +
ε
L =I R
R
这一方程的解为：
ε
)
I I )
BATTERY
电池
I = R (1 e
= I (1 e
I1
dI dt
M12
1 B2 dV 2
12
I2
1 2 Wm LI 2
， ，
M k L1L 2
磁场能量： Wm v
总磁 能
1 Wm BH d V 2 1 2 1 L 2 m 2 磁场能量密度： 单位体积中储存的磁场能量 wm 磁能密度：
B wm 2
2
总磁能
Wm
V
B dV 2
2
例1 求同轴传输线之磁能 o I 解： B dV = 2 π rl 2r
t
时间内电源提供的部分能量转化为消耗 0 在电阻 R 上的焦耳-楞次热；
1 2
t
RI 2 d t 是
LI 02 是回路中建立电流的暂态过程中电源电动势克
服自感电动势所作的功，这部分功转化为载流回路的 能量； 当回路中的电流达到稳定值后，断开 K1 ，并同时 接通K 2 ，这时回路中的电流按指数规律衰减，此电 流通过电阻时，放出的焦耳-楞次热为
电磁感应 定律
电动势
d m i dt 动 L( v B ) d l
L
大小与方向 非静电力 f 洛 感生电场
磁场中的磁能与自感现象
实验验证方法
静态实验法
通过测量静态情况下两个线圈之间的互感系数来验证互感现象的存在。这种方法需要使用 精密的测量仪器和稳定的电源来提供恒定的电流。
动态实验法
通过改变线圈中的电流或线圈之间的相对位置来观察感应电动势的变化情况。这种方法需 要使用示波器、电流计等实验
汇报人：XX 2024-01-16
contents
目录
• 磁场与磁能基本概念 • 磁能计算与储存方式 • 自感现象及其产生原因 • 互感现象与自感现象关系 • 磁场中能量转换与传递过程 • 总结回顾与拓展延伸
01
磁场与磁能基本概念
磁场定义及性质
磁场定义
磁场是一种存在于磁体周围的特 殊物质，它对放入其中的磁体产 生磁力作用。
影响因素探讨：距离、角度等
距离
线圈之间的距离越近，互感作用越强。当两 个线圈紧密靠近时，它们之间的磁通量变化 会更加显著，从而导致更大的感应电动势。
角度
线圈之间的相对角度也会影响互感作用。当 两个线圈的法线方向相互平行时，它们之间 的磁通量变化最大，互感作用最强。随着相 对角度的增大，磁通量变化减小，互感作用 减弱。
互感和自感之间联系和区别
联系
自感和互感都是电磁感应现象，都遵循 法拉第电磁感应定律。在电路分析中， 自感和互感往往同时存在，相互影响。
VS
区别
自感是单个线圈中电流变化时产生的感应 电动势，而互感是两个或多个线圈之间相 互作用产生的感应电动势。此外，自感系 数仅与线圈本身的结构和电流变化率有关 ，而互感系数则与线圈之间的相对位置、 形状、大小以及周围介质有关。
超导线圈应用案例
超导线圈在磁共振成像（MRI）、粒子加速器等领域有重要 应用。例如，在MRI中，超导线圈产生的强磁场和梯度磁场 用于对人体进行成像。
通电线圈磁场能的计算
通电线圈磁场能的计算一、磁场能的定义磁场能是指由磁场所储存在空间中的能量，它来源于磁场对物质的作用而具有能量的形式。
在物理学中，磁场能是电磁场能量的一部分，与电场能等同重要。
磁场能可以通过公式进行表述：\[U_{mag} = \frac{1}{2\mu_0} \int B^2 dV\]其中，$U_{mag}$为磁场能，$\mu_0$为真空磁导率，$B$为磁感应强度，$dV$为体积元素。
这一公式表达了在给定磁场中单位体积内的储存的能量量，即磁场能密度。
二、磁场能密度的推导和计算根据上述定义，磁场能可以表示为磁场能密度的积分形式。
为了推导磁场能密度，首先考虑磁场对物质的作用，即磁场能来源。
在传统的静磁场情况下，系统总能量为：\[U = U_{mag} + U_{mech}\]其中，$U_{mech}$为磁场对电流所做的功，其表达式为：\[U_{mech} = \int \vec{M} \cdot \vec{B} dV\]其中，$\vec{M}$为磁矩，$\vec{B}$为磁感应强度。
将上述两式合并，可以得到磁场能密度的表达式：\[u_{mag} = \frac{1}{2}(\vec{H} \cdot \vec{B})\]其中，$\vec{H}$为磁场强度。
这一表达式表示了单位体积内磁场的能量密度。
三、通电线圈磁场能的求解对于通电线圈而言，其磁场能可以通过积分计算线圈周围的磁场能密度来求解。
设通电线圈的磁场强度为$\vec{H}$，磁感应强度为$\vec{B}$，面积为$S$，匝数为$N$，电流为$I$，则通电线圈的磁场能为：\[U = \frac{1}{2} NIS \vec{H} \cdot \vec{B}\]将磁场强度与磁感应强度之间的关系$\vec{B} = \mu \vec{H}$代入上式，可以得到通电线圈的磁场能的具体表达式：\[U = \frac{1}{2} NIS \mu \vec{H} \cdot \vec{H}\]以上便是通电线圈磁场能的计算方法。
磁场与电流的能量转化：磁场对电流的能量转化过程
磁场与电流的能量转化：磁场对电流的能量转化过程磁场和电流之间存在着密切的关系，其中最显著的表现便是磁场能量对电流的能量转化过程。
在这个过程中，电流通过导线产生磁场，而这个磁场又可以影响电流，从而实现其能量的转换。
本文将探讨磁场对电流的能量转化过程，以及相关的应用和意义。
首先，我们需要了解磁场和电流之间的相互作用机制。
根据安培定律，在一根长直的导线周围形成的磁场的磁感应强度与电流成正比。
也就是说，电流越大，所产生的磁场越强。
反过来，当导线周围存在磁场时，这个磁场将对电流产生力的作用，称为洛伦兹力。
这种相互作用机制使得磁场和电流之间能量的转化成为可能。
当电流通过导线时，它会产生一个环绕导线的磁场。
这个磁场所储存的能量称为磁场能量。
磁场能量的大小与磁感应强度的平方成正比，也与导线所围成的面积有关。
具体来说，磁场能量等于磁感应强度的平方乘以导线面积的一半。
可以用以下公式表示：W = (1/2) * B^2 * A其中，W表示磁场能量，B表示磁感应强度，A表示导线的面积。
当磁场与导线内的电流相互作用时，就会发生能量的转化。
磁场通过洛伦兹力对电流起到作用，导致电流在导线中流动所以作用力所做的功。
这个功可以被视为电流能量的转化。
具体来说，功等于洛伦兹力乘以电流在导线中行进的距离。
可以用以下公式表示：W = F * d其中，W表示功，F表示洛伦兹力，d表示电流在导线中行进的距离。
通过分析上述公式，可以发现磁场能量和电流能量之间的关系。
磁场能量可以通过洛伦兹力对电流所做的功来转化为电流能量。
换句话说，磁场能量转化为电流能量的过程就是洛伦兹力对电流做功的过程。
磁场与电流能量的转化在很多领域都得到了广泛的应用和研究。
其中一个典型的应用是电动机。
电动机是一种将电能转化为机械能的装置，其中的关键组件便是磁场和电流的相互作用。
当电流通过电动机的线圈时，它会产生磁场。
这个磁场与电动机内部的永磁体相互作用，从而产生力矩，使得电动机转动，将电能转化为机械能。
电场与磁场的能量转化及计算方法
电场与磁场的能量转化及计算方法在物理学中，电场和磁场是两个重要的概念，它们不仅在我们日常生活中起着重要作用，而且在科学研究和技术应用中也扮演着重要角色。
本文将探讨电场和磁场之间的能量转化以及计算方法。
一、电场的能量转化电场是由电荷产生的力场，它可以对其他电荷施加力，并且具有能量。
当电荷在电场中移动时，电场对其做功，将电势能转化为动能。
这种能量转化可以通过以下公式计算：电场能量= 1/2 * ε * E^2 * V其中，ε是真空介电常数，E是电场强度，V是体积。
电场能量的计算方法可以通过对电场的积分来实现。
假设我们有一个电荷分布在空间中，电场强度在不同位置上有所变化。
我们可以将空间分成小的体积元，计算每个体积元内的电场能量，并对所有体积元的电场能量进行求和，即可得到总的电场能量。
二、磁场的能量转化磁场是由电流或磁体产生的力场，它也具有能量。
当电流通过导线时，磁场对电流产生力，并将电流的动能转化为磁场能量。
磁场能量的计算方法如下：磁场能量= 1/2 * μ * H^2 * V其中，μ是真空磁导率，H是磁场强度，V是体积。
与电场能量的计算类似，磁场能量的计算也可以通过对磁场的积分来实现。
我们可以将空间分成小的体积元，计算每个体积元内的磁场能量，并对所有体积元的磁场能量进行求和，即可得到总的磁场能量。
三、电场和磁场的能量转化电场和磁场之间存在着相互转化的关系。
当电流通过导线时，磁场会随之产生。
而当磁场发生变化时，会产生感应电场。
这种相互转化的过程可以通过麦克斯韦方程组来描述。
电场和磁场的能量转化可以通过以下公式计算：能量转化率 = 1/2 * (E * J + H * B)其中，E是电场强度，J是电流密度，H是磁场强度，B是磁感应强度。
这个公式表明，电场和磁场之间的能量转化是由电流和磁感应强度共同决定的。
当电流通过导线时，电场能量转化为磁场能量；而当磁场发生变化时，磁场能量转化为电场能量。
四、计算方法的应用电场和磁场的能量转化及其计算方法在科学研究和技术应用中具有重要意义。
《线圈通电后产生的磁场的能量的公式推导》——阿基米道
《线圈通电后产生的磁场的能量的公式推导》
——4.6《自感和互感》相关知识
汕头陈锐桐 2017年2月20日
当线圈接通电
源后，会在其周围
产生磁场，磁场具
有能量，能量来自
于电能。
线圈电流稳定后，电流产生的磁场的能量2LI 2
1E =磁 （其中L 为线圈的自
感系数，I 为稳定后的电流大小），这里对该公式进行推导。
功是能量变化的量度。
由电能转化而成的（磁场能量）=（线圈自感电动势对电流做的负功的绝对值）。
设电流未稳定的某个时刻，线圈的电流大小为i ，自感电动势大小为自e ，在这个时刻附近趋于0的极短时间t ∆内，自感电动势对电流做
的负功的绝对值为 t e ∆自i 又t
i e ∆∆=L 自，代入上式得 i L ∆i ，这是该极短时间t ∆内产生的磁场能。
建立磁场的过程电流大小从0变为I ，产生的磁场能
202021Li 21E LI i iL I I =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆=⎰磁。
史上最全高中物理磁场知识点总结
史上最全⾼中物理磁场知识点总结⼀、磁场磁体是通过磁场对铁钴镍类物质发⽣作⽤的，磁场和电场⼀样，是物质存在的另⼀种形式，是客观存在的。
⼩磁针的指南指北表明地球是⼀个⼤磁体。
磁体周围空间存在磁场；电流周围空间也存在磁场。
电流周围空间存在磁场，电流是⼤量运动电荷形成的，所以运动电荷周围空间也有磁场。
静⽌电荷周围空间没有磁场。
磁场存在于磁体、电流、运动电荷周围的空间。
磁场是物质存在的⼀种形式。
磁场对磁体、电流都有⼒的作⽤。
与⽤检验电荷检验电场存在⼀样，可以⽤⼩磁针来检验磁场的存在。
如图所⽰为证明通电导线周围有磁场存在——奥斯特实验，以及磁场对电流有⼒的作⽤实验。
1．地磁场地球本⾝是⼀个磁体，附近存在的磁场叫地磁场，地磁的南极在地球北极附近，地磁的北极在地球的南极附近。
2．地磁体周围的磁场分布与条形磁铁周围的磁场分布情况相似。
3．指南针放在地球周围的指南针静⽌时能够指南北，就是受到了地磁场作⽤的结果。
4．磁偏⾓地球的地理两极与地磁两极并不重合，磁针并⾮准确地指南或指北，其间有⼀个交⾓，叫地磁偏⾓，简称磁偏⾓。
说明：①地球上不同点的磁偏⾓的数值是不同的。
②磁偏⾓随地球磁极缓慢移动⽽缓慢变化。
③地磁轴和地球⾃转轴的夹⾓约为11°。
⼆、磁场的⽅向在电场中，电场⽅向是⼈们规定的，同理，⼈们也规定了磁场的⽅向。
规定：在磁场中的任意⼀点⼩磁针北极受⼒的⽅向就是那⼀点的磁场⽅向。
确定磁场⽅向的⽅法是：将⼀不受外⼒的⼩磁针放⼊磁场中需测定的位置，当⼩磁针在该位置静⽌时，⼩磁针N极的指向即为该点的磁场⽅向。
磁体磁场：可以利⽤同名磁极相斥，异名磁极相吸的⽅法来判定磁场⽅向。
电流磁场：利⽤安培定则（也叫右⼿螺旋定则）判定磁场⽅向。
三、磁感线在磁场中画出有⽅向的曲线表⽰磁感线。
磁感线特点：（1）磁感线上每⼀点切线⽅向跟该点磁场⽅向相同。
（2）磁感线的疏密反映磁场的强弱，磁感线越密的地⽅表⽰磁场越强，磁感线越疏的地⽅表⽰磁场越弱。
永磁体磁动势公式推导
永磁体磁动势公式推导
永磁体的磁动势公式可以通过考虑磁场的能量密度来推导。
首先，我们知道磁场的能量密度可以表示为u = (1/2) B H，其中u
是磁场的能量密度，B是磁感应强度，H是磁场强度。
在永磁体中，
磁感应强度B是由外加磁场和永磁体本身的磁化产生的，即B =
μ0 (H + M)，其中μ0是真空中的磁导率，M是永磁体的磁化强度。
根据上述公式，我们可以得到永磁体中的磁场能量密度为u = (1/2) μ0 (H + M) H。
接下来，我们对磁场能量密度进行体积分，即对整个永磁体的体积V进行积分，得到总的磁场能量U。
U = ∫(1/2) μ0 (H + M) H dV.
根据能量最小原理，我们知道磁场的能量U对磁场强度H有极
小值，因此对U关于H求导并令导数等于0，可以得到磁场强度H
的方程。
通过求解这个方程，我们就可以得到永磁体的磁动势公式。
需要注意的是，永磁体的磁动势公式可能会受到永磁体材料特性、外加磁场等因素的影响，因此在实际应用中需要根据具体情况
进行修正和适应。
同时，推导磁动势公式涉及到一定的磁场理论知识和数学推导，需要结合相关背景知识进行深入研究和分析。
总的来说，永磁体的磁动势公式可以通过能量最小原理和磁场能量密度的体积分推导得到，但具体的推导过程可能会比较复杂，需要结合具体情况进行分析和求解。
电磁场的能量和功率的计算
电磁场的能量和功率的计算电磁场是物质的一种基本性质，包含了电场和磁场两个方面。
在电磁学中，我们常常需要计算电磁场的能量和功率，以便更好地理解和应用电磁学原理。
本文将介绍一些常见的计算方法。
一、电磁场的能量计算1. 电场能量的计算对于电场能量的计算，可以使用以下公式：W_e = 0.5 * ε * E^2 * V其中，W_e表示电场能量，ε表示介质的电容率，E表示电场强度，V表示电场所占据的体积。
2. 磁场能量的计算对于磁场能量的计算，可以使用以下公式：W_m = 0.5 * B^2 * V / μ其中，W_m表示磁场能量，B表示磁场强度，V表示磁场所占据的体积，μ表示介质的磁导率。
二、电磁场的功率计算1. 电场功率的计算对于电场功率的计算，可以使用以下公式：P_e = 0.5 * ε * E^2 * A * v其中，P_e表示电场功率，ε表示介质的电容率，E表示电场强度，A表示电场的横截面积，v表示电场的传播速度。
2. 磁场功率的计算对于磁场功率的计算，可以使用以下公式：P_m = 0.5 * B^2 * A * v / μ其中，P_m表示磁场功率，B表示磁场强度，A表示磁场的横截面积，v表示磁场的传播速度，μ表示介质的磁导率。
三、总结与应用通过以上的能量和功率计算公式，我们可以更好地理解电磁场的能量和功率的含义和计算方法。
这些计算方法在电磁学的研究和应用中起到了重要的作用。
例如，在电磁波传播过程中，我们可以通过计算电场和磁场的能量和功率来分析电磁波的强度和传播特性。
在电磁辐射防护中，我们可以通过计算电磁场能量和功率来评估辐射风险和采取相应的防护措施。
此外，电磁场的能量和功率计算也为电磁学教学提供了重要的工具和实例，帮助学生更好地理解和应用电磁学原理。
总而言之，电磁场的能量和功率的计算是电磁学研究和应用中的重要内容。
通过使用合适的公式和方法，我们可以准确地计算电磁场的能量和功率，从而更好地理解和应用电磁学知识。
电场能量和磁场能量的转化问题
电场能量和磁场能量的转化问题一、引言电场和磁场是物理学中非常重要的概念，它们可以相互作用，相互转化。
其中，电场能量和磁场能量的转化问题是一个非常有趣的问题。
本文将围绕这个问题展开讨论。
二、电场能量1. 电势能和电场能量在静电学中，一个带点粒子在电势为V的点处具有电势能E=qV，其中q为粒子的电荷量。
当带点粒子从一个位置移动到另一个位置时，它所具有的电势能发生了变化。
这种变化可以用下面的公式来表示：ΔE=q(V2-V1)其中ΔE表示电势能变化量，V2和V1分别表示粒子所处位置的电势。
在涉及多个带点粒子时，我们需要考虑它们之间相互作用产生的总体效应。
这就需要引入电场概念。
对于一个静止不动的带点粒子，在某个空间点处所受到的力可以用下面公式来表示：F=qE其中F为力大小，q为粒子荷量，E为该空间点处的电场强度。
我们可以将这个公式推广到多个带点粒子之间相互作用的情况下：F=∑qiEi其中qi为第i个粒子的电荷量，Ei为该空间点处的电场强度。
这个公式说明了电场力是所有带点粒子之间相互作用的结果。
由于电势能和电场强度之间存在着一定的关系，我们可以将它们转化为电场能量。
对于一个体积为V的空间区域，其中所存储的电场能量可以用下面公式来表示：W=1/2ε∫E^2dV其中ε为真空介质常数，E为该空间区域内任意一点处的电场强度。
这个公式说明了电场能量与空间中电场强度分布有关。
2. 电场能量密度对于一个给定体积V内部的所有点，我们可以定义它们各自所存储的单位体积内平均电场能量为u。
这样，我们就得到了一个新概念——电场能量密度。
u=W/V=1/2εE^2其中W表示体积V内所存储的总电场能量。
三、磁场能量1. 磁感应强度和磁通量在静磁学中，一个带磁物质在磁感应强度B处具有磁势能E=mB，其中m为物质的磁矩。
当带磁物质从一个位置移动到另一个位置时，它所具有的磁势能发生了变化。
这种变化可以用下面的公式来表示：ΔE=m(B2-B1)其中ΔE表示磁势能变化量，B2和B1分别表示物质所处位置的磁感应强度。
磁场的能量公式
磁场的能量公式
1. 自感线圈磁场能量公式。
- 对于一个自感系数为L的线圈，当通过的电流为I时，其储存的磁场能量W = (1)/(2)LI^2。
- 推导过程：当电路中的电流I发生变化时，自感电动势E = - L(di)/(dt)。
在建立电流I的过程中，电源克服自感电动势做功，这个功就转化为磁场的能量。
根据能量守恒定律，设电流从0增加到I，电源克服自感电动势做的功W=∫_0^tEidt=∫_0^ILi
di=(1)/(2)LI^2。
2. 磁场能量密度公式。
- 在均匀磁场中，磁场能量密度w=(1)/(2)frac{B^2}{μ}，其中B是磁感应强度，μ是磁导率（对于真空μ=μ_0，对于介质μ = μ_rμ_0，μ_r是相对磁导率）。
- 推导过程：对于长直螺线管，内部磁场B=μ nI（n是单位长度的匝数），自感系数L=μ n^2V（V是螺线管的体积）。
根据W=(1)/(2)LI^2，将L和I=(B)/(μ n)代入可得W=(1)/(2)frac{B^2}{μ}V，所以磁场能量密度w = (W)/(V)=(1)/(2)frac{B^2}{μ}。
对于非均匀磁场，可以通过对体积元dV积分W=∫_Vw dV=∫_V(1)/(2)frac{B^2}{μ}dV
来计算磁场的总能量。
磁体中的磁场能量储存与释放机制
磁体中的磁场能量储存与释放机制磁场是物质中固有的特性之一，它在许多领域都起着重要的作用。
磁体作为一种能够产生强磁场的装置，在科学研究、工业生产和医疗等领域都有广泛的应用。
然而，磁体中的磁场能量的储存和释放机制却是一个复杂而又有趣的问题。
首先，我们需要了解磁场的基本概念。
磁场是由电流或者磁性物质产生的，它具有方向和大小两个重要的特性。
在磁体中，由于磁性材料中的原子或分子具有一定的磁性，当这些磁性物质排列成一定的方式时，就形成了磁体的磁域。
每个磁域中的磁矩都有一个方向，当大量的磁矩一致排列时，就形成了强大的磁场。
磁体中的磁场能量主要来自两个方面：一是外部电源的能量输入，二是磁性物质的固有磁能。
对于电磁磁体来说，外部电源通过电流的输入，使磁场能量得以储存。
在储能过程中，电源通过与磁体内部线圈相连，形成一个封闭的电路，将电能转化为磁能。
而对于永磁磁体来说，由于磁性材料自身带有一定的磁性，它可以在外界无需能源输入的情况下，产生和保持其磁场。
当磁体需要释放能量时，磁场能量会转化为其他形式的能量，如热能、动能等。
对于电磁磁体来说，当电源断开，形成的回路中的磁场能量会产生一个自感电动势，使电流继续流动，并通过线圈中的电阻产生热能。
而永磁磁体则通过改变磁性材料内部磁场的排列方式来释放能量。
磁体中的磁场能量储存和释放过程是一个不断转化的过程。
它涉及到电磁力的作用、热能的产生、磁场的重组等多个因素。
磁体的设计和制造需要考虑到这些因素的相互作用，以实现磁场能量的高效储存和释放。
除了基本的能量储存和释放机制外，磁体中还存在着一些特殊的能量现象。
例如，磁体中的自磁效应和磁滞效应。
自磁效应是指磁体中磁场能量的自激增强现象，即磁场能量会进一步增大，而不需要外界能量的输入。
这种现象常见于超导磁体中，它可以实现更高效的能量储存和释放。
而磁滞效应则是磁体在磁化和去磁化过程中能量损失的现象，它会导致磁体的能量转化效率下降，需要通过优化材料和工艺来改善。
磁场的能量和麦克斯韦方程组
磁场能量表示为\(W = \frac{1}{2}j \cdot B\)
当电流密度增加时，磁场 能量密度也随之增加
磁场能量密度与电流密度 的关系是麦克斯韦方程组
中的一个重要公式
该公式描述了磁场和电流 之间的相互作用和转化关
系
磁场能量与物质磁导率的关系
磁场能量与物质 磁导率的关系： 磁场能量与物质 的磁导率密切相 关，磁导率越高 的物质，磁场能
量越强。
添加标题
磁场能量与物质 磁导率的相互作 用：磁场能量与 物质磁导率之间 存在相互作用， 磁场能量可以改 变物质的磁导率， 而物质的磁导率 也会影响磁场能
量的分布。
添加标题
磁场能量与物质 磁导率的应用： 在物理学、电磁 学等领域中，磁 场能量与物质磁 导率的关系有着 广泛的应用，如 电磁铁、磁力悬
磁场能量与电 荷的密度成正 比
磁场能量与磁 感应强度的平 方成正比
0
0
0
0
1
2
3
4
磁场能量的计算方法
磁场能量公式：W = 1/2 * B^2 * V，其中B为磁感应强度，V为体积 计算方法：先计算磁感应强度B的分布，再乘以体积V，最后求和得到总磁场能量 应用场景：用于评估磁场存储能量的能力，以及磁场能量密度等 注意事项：计算时需注意磁感应强度B的方向和单位
麦克斯韦方程组的求解方法
分离变量法：将复 杂的偏微分方程转 化为容易求解的常 微分方程。
有限差分法：将偏 微分方程转化为离 散的差分方程进行 求解。
谱方法：利用傅里 叶变换将偏微分方 程转化为代数方程 进行求解。
积分变换法：利用 积分变换将偏微分 方程转化为容易求 解的常微分方程。
麦克斯韦方程组的应用实例
磁场的能量磁场能和磁场的能量密度
磁场的能量磁场能和磁场的能量密度磁场是物质中特定区域内部存在的一种物理量，它可以由电流、磁铁等产生。
在物质中，磁场具有能量，磁场的能量密度则是描述磁场能量分布的物理量。
本文将着重探讨磁场的能量以及磁场的能量密度，并从理论和实验两个方面进行论述。
一、磁场的能量磁场的能量是由电流和磁铁等物体产生的。
当电流通过导线时，就会在周围产生一个磁场。
此时，电流所具有的能量会转化为磁场能量。
同样地，磁铁中的磁场也是由磁场的能量驱动的。
磁场的能量主要存在于两种形式，一种是磁场中的储能，另一种是以磁场能量形式储存于物体中。
首先来看磁场中的储能。
当一个点电荷沿曲线移动时，在磁场中要克服磁场的作用才能改变自己的位置。
这就相当于是对磁场做了一定的功。
根据功的定义，功是能量转化的过程中所做的功，因此我们可以得出结论：磁场中的储能等于电荷在磁场中所受到的力与移动距离的乘积，即U=Fl。
其中，U表示储存在磁场中的能量，F表示电荷所受到的磁场力，l表示电荷在磁场中移动的距离。
其次来看以磁场能量形式储存于物体中。
如果在一个磁性物质中存在一个磁场，那么这个磁场会使得物质内部的磁矩发生定向，从而存储了一定的能量。
这部分能量就是以磁场能量的形式储存在物体中。
二、磁场的能量密度磁场的能量密度是指单位体积内磁场能量的大小。
在物质中，磁场的能量密度可以由以下公式表示：ε = (B^2) / (2μ)其中，ε表示磁场的能量密度，B表示磁场的磁感应强度，μ表示真空中的磁导率。
从上述公式可以看出，磁场的能量密度与磁感应强度的平方成正比。
根据磁通连续性定律，磁场的能量是相对稳定的，即磁场的能量密度在整个空间中是保持不变的。
这也意味着，磁场的能量既没有位势能，也没有动能，仅仅以磁场能量密度的形式存在于物体中。
实验上可以通过测量磁场的能量密度来了解磁场的能量分布情况。
一种常用的方法是利用霍尔探测器来测量磁场的磁感应强度，然后根据磁场能量密度的公式计算得出磁场的能量密度。
电磁能动张量推导
电磁能动张量推导1. 引言电磁理论是物理学中的重要分支，它描述了电荷和电流之间的相互作用以及由此产生的电磁场。
在研究电磁场时，我们常常需要考虑其能量和动量的表达方式。
本文将介绍如何推导出电磁场的能动张量，以及该张量在描述电磁场能量和动量时的应用。
2. Maxwell方程组为了推导出电磁场的能动张量，我们首先需要回顾一下Maxwell方程组。
Maxwell 方程组描述了电磁场在时空中的行为，它包括四个方程：2.1 麦克斯韦方程•高斯定律：∇⋅E=ρε0•高斯安培定律：∇⋅B=0•法拉第电磁感应定律：∇×E=−∂B∂t•安培环路定律：∇×B=μ0J+μ0ε0∂E∂t其中，E表示电场，B表示磁场，ρ表示电荷密度，J表示电流密度，ε0表示真空介电常数，μ0表示真空磁导率。
3. 能动张量的定义能动张量是描述物质系统中能量和动量分布的数学工具。
对于电磁场而言，能动张量被定义为：Tμν=ε0(EμEν−12δμνE2)+1μ0(BμBν−12δμνB2)其中，上标μ和ν代表时空坐标（取值为0、1、2、3），Eμ和Bν分别代表电场和磁场在时空中的四个分量。
4. 推导过程接下来我们将推导出能动张量的表达式。
首先考虑麦克斯韦方程中的第一个方程——高斯定律。
由高斯定律可得：∇⋅E=ρε0将电场的四个分量展开，可得：∂E0∂x0+∂E1∂x1+∂E2∂x2+∂E3∂x3=ρε0根据张量的性质，我们可以将上式写成矩阵形式：∂Eμ∂xμ=ρε0接下来考虑能动张量中与电场相关的部分。
根据定义，我们有：T00=ε0(E0E0−12δ00E2)+1μ0(B0B0−12δ00B2)将T00展开，并利用麦克斯韦方程中的第三个方程，可得：T00=ε0(E0E0−12δ00E2)+1μ0(BμBν−12δ00μ0ε0(∇×E)μ(∇×E)ν)化简上式，并利用麦克斯韦方程中的第四个方程，可得：T00=ε0(E0E0−12δ00E2)+1μ0(B0B0−12δ00μ0ε0(μ0J+μ0ε0∂E∂t)μ(μ0J+μ0ε0∂E∂t)ν)继续化简上式，并利用麦克斯韦方程中的第二个方程，可得：T00=ε0(E i E i−12δij E i E j)+1μ0(B i B i−12δijμ0ε0(∇×E)i(∇×E)j)将上式推广到所有的分量，可得能动张量的表达式：Tμν=ε0(EμEν−12δμνEαEα)+1μ0(BμBν−12δμνμ0ε0(∇×E)α(∇×E)α)5. 应用能动张量在描述电磁场能量和动量时起到了重要的作用。
磁 场 能 量
可表示为
(10-15)
磁场能量
式(10- 15)为磁场能量密度的结果，它说明任何磁场都 具有能量，磁场能量存在于一切磁感应强度 B≠0 的空间.要 说明一点，式(10-15)虽然是从螺绕环特例推出的结论，但可 以证明上述结论适用于普遍情况.
在非均匀磁场中，各点的B、H、μ不尽相同，计算磁场 能量可在磁场中取一个微小体积元dV，在此微小部分的范围 内，各点的B、H、μ可以认为是相同的，于是体积元dV中的 磁场能量为
磁场能量
三、 磁场的能量密度
可采用均匀密绕的 细螺绕环（l>R）来讨 论上述问题.如图10-24 所示，当细螺绕环通电 流I时，它内部的磁感 应强度为B=μnI.
图10- 24 螺绕环
磁场能量
从上节内容可知，细螺绕环的自感系数为L=μn2V.这样，式（ 10-13）可改写为
（10-14） 由于螺绕环内部是均匀磁场，于是，磁场中单位体积中分布 的能量——能量密度，即
磁场能量
图中电路的开关S突然由1拨到2时，自感线圈 L中的电流不是立即消失，而是按指数规律逐渐衰 减到零.开关S合到2上时，电源已经不再提供能量 了，线圈中电流的能量从何而来呢?由于这时线圈 中的电流是由电路中的自感电动势产生，随着线圈 中磁场的消失而逐渐消失的，因此这部分能量是原 来就储存在通电线圈中的，或者是储存在线圈磁场 中的的磁场能量为 (10- 16)
式(10- 16)就是计算磁场能量的通用公式. 如果空间同时存在电场和磁场，那么电磁场中总能量密 度的表达式为
在储存的能量密度相等的前提下，磁场比电场更容易储 存能量.
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磁场能量
磁场能量
场是物质存在的一种方式，因此 场具有物质的基本属性——能量.本 节从磁场建立过程中所发生的电磁感 应现象出发，探讨磁场能量的来源、 分布特征和计算方法.
磁场储能计算公式
磁场储能计算公式磁场储能是指将电流通过线圈产生的磁场能量储存起来的一种能量转换和储存方式。
在实际应用中，磁场储能广泛应用于电力系统、电动机、变压器等领域。
磁场储能的计算公式是指根据特定条件下的线圈参数和磁场强度来计算磁场储能的公式。
磁场储能计算公式的推导过程是基于电磁学理论和物理学原理。
在推导过程中，需要考虑线圈的形状、尺寸、材料以及电流大小等因素。
下面将介绍几种常见的磁场储能计算公式。
1. 磁场储能的基本公式根据电磁学理论，线圈中的磁场储能可以表示为：W = (1/2) * L * I^2其中，W表示磁场储能，L表示线圈的自感系数，I表示线圈中的电流。
这个公式表示，磁场储能与线圈的自感系数和电流的平方成正比。
2. 圆形线圈的磁场储能公式对于一个半径为r、匝数为N的圆形线圈，其自感系数可以表示为：L = (μ0 * N^2 * π * r^2) / l其中，μ0表示真空中的磁导率，l表示线圈的长度。
将上述自感系数代入基本公式中，可以得到圆形线圈的磁场储能公式：W = (1/2) * (μ0 * N^2 * π * r^2 * I^2) / l3. 螺线管的磁场储能公式对于一个半径为r、长度为l、匝数为N的螺线管，其自感系数可以表示为：L = (μ0 * N^2 * π * r^2) / (l + 0.5 * π * d)其中，d表示螺线管的直径。
将上述自感系数代入基本公式中，可以得到螺线管的磁场储能公式：W = (1/2) * (μ0 * N^2 * π * r^2 * I^2) / (l + 0.5 * π * d)4. 长直导线的磁场储能公式对于一个长度为l、电流为I的长直导线，其自感系数可以表示为：L = (μ0 * l) / (2π) * ln(b/a)其中，a和b分别表示导线的内径和外径。
将上述自感系数代入基本公式中，可以得到长直导线的磁场储能公式：W = (1/2) * (μ0 * l * I^2) / (2π) * ln(b/a)需要注意的是，上述公式中涉及到的单位是国际单位制（SI）中的标准单位。
65 磁场的能量和能量密度5
§5 磁场的能量和能量密度一、磁场能量及能量密度1、电磁能定域于场中(1) 电能定域于电场中，即场具有能量、电能储于电场中：E D w e⋅=21；(2) 同样，磁能也储于磁场中，场能密度为：H B w m⋅=212、公式推导出发点：自感线圈储能221LI W m =。
特 例：螺绕环.真空下---V n IL nIS N S NB nI B 200000000,,μψμψμ=====充满μ介质时---⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======。
，所以：；220200000,,I n HB V n L L I n H B I n B μμμμμμψψμμμ另一方面看：HBV VI n LI W m 2121212202===μμ， HB V W w m m 21==∴ (因螺绕环内场能均匀分布)。
[讨论](1) 考虑到方向，有磁能密度公式：H B w m⋅=21； (2) V W m ∝表明能量分布于磁场中；(3) 上述虽然特例导出，但可推广至一般：遍及场全部空间V dV H B W Vm ,21⎰⎰⎰⋅=； (4) 真空下20202121B H w m μμ==。
二、两线圈之总磁能公式如图7-18中1、2两回路，空间任一场点p 之磁场为两回路电流激发场的叠加2121,B B B H H H+=+=互自互自总磁能W W dV H H dV H H dVH H B B dV H B W V VV m +=⋅++=+⋅+=⋅=∴⎰⎰⎰⎰210222102121)21)()(2121μμμμ图7-18[讨论]1、上述公式本身表明，系统总磁能m W 只与最后所处状态有关，而与建立电流的过程（次序）无关。
2、第一项为21,L L 两线圈各自的自感磁能之和，第二项则为互感磁能。
3、第一项恒正，但第二项可正（夹锐角21,H H ）、可负（夹钝角21,H H）。
三、由磁能公式计算自感、互感系数——磁能法1、求自感L若空间仅由某一载流回路激发，则因⎰⋅==Vm dV H B LI W21212有⎰⋅=VdV H B I L 212、求互感M若空间场由多回路载流激发，则因dV H H I MI W V21021⋅==⎰μμ互有dV H H I I M V210211⋅=⎰μμPL 1 μL 2B3、计算示例例1：如图7-19同轴电缆，12R R 〉，其间充满均匀介质μ，求自感L 。
电场能量和磁场能量的转化问题
电场能量和磁场能量的转化问题在物理学中，电场能量和磁场能量是两种不同形式的能量，在特定条件下这两种能量可以相互转化。
这种转化是通过电磁场中的相互作用来实现的，这也是电磁学的基本原理之一。
首先，让我们来了解一下电场能量和磁场能量的定义和计算方法。
电场能量是指由电荷在电场中所具有的能量，可以通过以下公式计算：W = 1/2 * ε0 * ∫E^2 dV其中，W表示电场的能量，ε0是真空电容率，E是电场强度，dV是电场体积元素的微小体积。
与之相对应的，磁场能量是指由电流在磁场中所具有的能量，可以通过以下公式计算：W = 1/2 * μ0 * ∫B^2 dV其中，W表示磁场的能量，μ0是真空磁导率，B是磁场强度，dV是磁场体积元素的微小体积。
从上面的公式可以看出，电场能量和磁场能量都与场强的平方成正比，因此，当电场或磁场强度增大时，能量也会相应增加。
接下来，我们来了解电场能量和磁场能量之间的转化。
在电磁学中，磁场是由电流或变化的电场所产生的，而电场是由电荷所产生的。
因此，当电流变化时，会产生磁场，而当磁场与电荷相互作用时，又会产生电场。
这种相互转化的过程可以通过以下两种情况来说明：1. 电磁感应：当磁场的变化通过一个电路时，会在电路中产生电动势，并使电流流动。
这个过程可以用法拉第电磁感应定律来描述。
在这个过程中，磁场能量转化为电场能量，从而产生电流。
这种现象被广泛应用于发电机和变压器等设备中。
2. 电磁波传播：当电流变化时，会产生电磁波，这种电磁波同时包含了电场和磁场的变化，它们相互作用并传播。
在电磁波传播的过程中，电场能量和磁场能量相互转化，相互支持。
这种现象被广泛应用于通信和无线电技术中。
总的来说，电场能量和磁场能量之间的转化是通过电磁场中的相互作用来实现的。
电磁场中的能量转化是动态的，随着电流和电场的变化而变化。
这种能量转化的机制不仅在我们日常生活中起着重要作用，也是现代科学和技术中的基础。
需要注意的是，在电场和磁场相互作用的过程中，并不是所有的能量都会转化。
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V
J
(
x,
y, z) r2
er
dV
两边取散度
B(x, y, z) 0 4
V
J
(
x,
y, z) r2
er
dV
0
4
V
J( x, y,z )(
1 r
)dV
图3.2.1 计算体电流的磁场
矢量恒等式
( AC ) C A AC
0
0
则
J( x, y,z )(
1 r
)
(
1 r
) J( x, y,z ) J( x, y,z ) (
图3.2.9 两对上下放置传输线的磁场分布
图3.2.10 两对平行放置传输线的磁场分布
ex
0 K0 2
arctg
x y
ex
0K0 2
ex
0K 2
0
e
x
无限大电流片及 B 的分布
y0 y0
3.2 磁通连续性原理 • 安培环路定律
3.2.1 磁通连续性原理 1. 恒定磁场的散度
可从 Biot-Savart Law 直接导出恒定磁场 B 的散度。
B(x, y, z) 0
4
磁感应强度。
解：元电流 Idl 在其轴线上P点产生的磁感应
强度为
dB 0 Idl er 4r 2
dB
0
Idl
s
in
2
4 (R2 x2 )
( Idl er )
根据圆环磁场对 P 点的对称性，
图3.1.3 圆形载流回路
dBx dBsin dBy 0
B
Bxex
4
(
0 I R2
x2
)
sin
dl
• B 强处，B 线稠密，反之，稀疏。
图3.2.4 一载流导线 I 位于无限大铁板上 方的磁场分布（B 线）
图3.2.5 长直螺线管磁场的分布（B 线）
图3.2.6 一载流导线I位于无限大铁板内 的磁场分布（H 线）
图3.2.7 两根异向长直流导线的磁场分布
图3.2.8 布
两根相同方向长直流导线的磁场分
1 r
)
0
所以
B 0
表明 B 是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无源场。（在任意媒质中均成立）
B 0 可以作为判断一个矢量场能否成为恒定磁场的必要条件。
2. 磁通连续性原理
B 0
BdV 散度定理 B dS 0
V
s
这说明磁场通过任意闭合面的磁通量为零，
称之为磁通连续性原理，或称磁场中的高斯定律 (Gauss’s Law for the Magnetic field )。
l
ex
4
(
0 R2
I
x2
)
R R2
x2
2Rex
2(
0 IR2 R2 x2
)3 / 2
ex
图3.1.4 圆形载流回路轴线上的磁场分布
例 3.1.3 图示一无限大导体平面上有恒定面电流 K K0ez , 求其所产生的磁感应强度。
解：在电流片上取宽度为 dx 的一条无限长线电流，
它在空间引起的磁感应强度为
3.1 磁感应强度
3.1.1 安培力定律 1820年, 法国物理学家安培从实验中总结出电流回路之间的相互作用
力的规律,称为安培力定律 (Ampere’s force Law )。
电流 I ' 的回路对电流I回路的作用力 F
F 0 Idl (I 'dl' eR )
4 l l'
R2
式中真空中的磁导率0 4 107 H/m
式中 R r r '
磁感应强度 单位 T（wb/m2）特斯拉。
写成一般表达式，即
B 0
4
Idl (r r) l r r 3
毕奥——沙伐定律（Biot — Savart
Law )
1）适用条件：无限大均匀媒质 ( ) ，且电流分布在有限区域内。
2）由毕奥—沙伐定律可以导出恒定磁场的基本方程（B 的散度与旋度）。
• 恒定磁场的知识结构框图。
基本实验定律 (安培力定律） 磁感应强度（B）（毕奥—沙伐定律） H 的旋度 基本方程 B 的散度
磁位( m )（J=0） 数值法
分界面上衔接条件 边值问题
磁矢位（A） 解析法
有限差分法
有限元法
分离变量法
镜像法
电感的计算
磁场能量及力
磁路及其计算
图3.0 恒定磁场知识结构框图
3.1.2 毕奥——沙伐定律 • 磁感应强度 电流之间相互作用力通过磁场传递。
图3.1.1 两载流回路间的相互作用力
电荷之间相互作用力通过电场传递。
F Idl 0 I 'dl eR
l
4 l' R2
l Idl B
1 dV
F q
4 0
V
R2 eR
qE
定义： B 0
4
I 'dl eR l R2
图3.1.2
dl eR dzSine dzSine dze R
B
0 4
L1 L2
( 2
I z2
)3
2 dz
0 I 4
[
0 I 4
(
Sin1
Sin 2
)
L1 2 L12
L2 ] 2 L22
长直导线的磁场 当 L1 , L2
B
0 I 2
e
时，
例 3.1.2 真空中有一载流为I，半径为R的圆形回路，求其轴线上P点的
第 3 章 恒定磁场
• 实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围 的媒质中 ，不仅有恒定电场 ，同时还有不随时间变化的磁场 ，简称 恒定磁场（Static Magnetic Field）。
• 恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法 上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。
3）对于体分布或面分布的电流，Biot - Savart Law 可写成
B 0
4
V
J
(
r)( r r r
3
r
)dV
B 0
4
s
K
(
r
) r
( r
r 3
r
)
dS
例3.1.1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。
解采用圆柱坐标系，取电流Idz， B 0
则 式中， R2 2 z2
4
Idl eR L R2
dB1
0 Idl e 2
0 K0dx sin 2
由于是无限大电流平面，所以选P点在 y 轴上。 根据对称性 , 整个面电流所产生的磁感应强度为
B Bxex
0 K0 sin
2
(x2
y
2
)
1 2
dxex
(sin
(x2
y
y2
1
)2
图3.1.5
0 K0 2
y
(
x
2
dx y
2
)
若要计算 B 穿过一个非闭合面 S 的磁通，则
sB dS (韦伯)
3. 磁力线 仿照静电场的 E 线，恒定磁场可以用 B 线描绘，
B 线的微分方程
Bdl 0
图3.2.2 磁通连续性原理
在直角坐标系中
Bx By Bz dx dy dz
图3.2.3 B 的通量
B 线的性质： • B 线是闭合的曲线; • B 线不能相交 ( 除 B = 0 外 )； • 闭合的 B 线与交链的电流成 右手螺旋关系；