162二次根式的乘除PPT课件3-PPT课件3-法52
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人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
《二次根式的乘除》课件
《二次根式的乘除》ppt课 件
目录
• 二次根式的乘法规则 • 二次根式的除法规则 • 二次根式的混合运算 • 二次根式的乘除在实际问题中的应用 • 总结与回顾
01
二次根式的乘法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
乘法运算规则
规则
对于任意实数a、b（a≥0，b≥0），有√a×√b=√(a×b)。
在此添加您的文本16字
根据除法规则，$frac{sqrt{5}}{sqrt{2}} = sqrt{frac{5}{2}} = frac{sqrt{10}}{2}$。
在此添加您的文本16字
例3：计算$sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$。
在此添加您的文本16字
先进行乘除运算，再进行加减运算，$sqrt{3} + sqrt{2} frac{sqrt{5}}{2} = sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$ 。
02
二次根式的除法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
除法运算规则
规则
对于任意实数a和b（b≠0），有√a/√b=√(a/b)。
注意事项
在进行二次根式的除法运算时，需要保证分母不为0，即b>0。
除法运算实例
实例1
计算√10/√2的结果。
金融领域的应用
假设某项投资的年化收益率为10%，要求计算投 资回报。可以使用二次根式乘除运算，即年化收 益率 = (投资回报 / 本金)^(1/年数) = (1.1 / 1)^(1/2) = 10%√(2) = 14.42%。
目录
• 二次根式的乘法规则 • 二次根式的除法规则 • 二次根式的混合运算 • 二次根式的乘除在实际问题中的应用 • 总结与回顾
01
二次根式的乘法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
乘法运算规则
规则
对于任意实数a、b（a≥0，b≥0），有√a×√b=√(a×b)。
在此添加您的文本16字
根据除法规则，$frac{sqrt{5}}{sqrt{2}} = sqrt{frac{5}{2}} = frac{sqrt{10}}{2}$。
在此添加您的文本16字
例3：计算$sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$。
在此添加您的文本16字
先进行乘除运算，再进行加减运算，$sqrt{3} + sqrt{2} frac{sqrt{5}}{2} = sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$ 。
02
二次根式的除法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
除法运算规则
规则
对于任意实数a和b（b≠0），有√a/√b=√(a/b)。
注意事项
在进行二次根式的除法运算时，需要保证分母不为0，即b>0。
除法运算实例
实例1
计算√10/√2的结果。
金融领域的应用
假设某项投资的年化收益率为10%，要求计算投 资回报。可以使用二次根式乘除运算，即年化收 益率 = (投资回报 / 本金)^(1/年数) = (1.1 / 1)^(1/2) = 10%√(2) = 14.42%。
人教版数学《二次根式的乘除》_课件-推荐
1.大小比较: 3 2与2 3
2.将根号外的因式移到根号内：
(1) 3 2 ( 2 ) x y (x＞0) ( 3 ) x
3
x
(4)a 1 a
y (x＜0) x
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.2 二次根式的乘除（1
二次根式的定义:
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（ . 双重非负性）
2 a a(a0) a (a≥ 0) a 2 =∣a∣= -a (a＜0)
计算: (1) 4 25 = (2) 4 25 (3) 16 9 = (4) 169
3 2 xy 1
x
2.化简:
（1） 49 121
4 288 1
72 （2） 225
（3） 4 y
（4） 16 ab 2 c 3
3.已知一个矩形的长和宽分别
是 10cm和2 2cm，求这个
矩形的面积。
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1.若 (x2)(3x)x2•3x,则 x的 取 值 范 围 _______变 ： (x 2 )(x 3 )x 2•x 3
2.若(99x)(x99) 99x• x99 求(x1) x23x2的值 .
x21 3.判 断 正 误 ： 161 4161 4=41 2=2
(4)(9)(4)(9)
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人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品教学课件课件
36
6
（2）
=(
7
49
),
4
16
(
);
5
25
6
36
(
);
49
7
a
a
b
b
活动探究
二次根式的除法法则：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
a
a
( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例1 计算：
（2） 3
（1） 24 ；
3
解： (1)
24
2
24
3
3
3
(2)
2
1
．
18
8 2 2
1 ＝ 3 1 ＝ 3 18
＝ 27 ＝3 3
2
18
2
18
活动探究
探究二：二次根式除法法则的逆运用
把
a
b
aห้องสมุดไป่ตู้
( a 0，b＞0) 反过来，就得到
b
a
a
( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例2 化简：
(1)
3
100
解：（1）
75
27
(2)
3
=
100
75
（2） =
27
3
100
=
a
a
( a 0，b＞0)
解：原式=
− × −
= ×
解：原式= − × −
= ×××
=
× ×
=
4、计算： ∙ −
原式= ∙
初中数学课件二次根式的乘除法ppt课件
开为 $msqrt{a} + nsqrt{a} + msqrt{b} + nsqrt{b}$。
02
特殊形式处理
当遇到形如 $(sqrt{a} + sqrt{b})^2$ 的表达式时，可以按照完全平方
公式展开为 $a + 2sqrt{ab} + b$。
03
应用实例
对于 $(sqrt{3} + 1)(sqrt{3} - 1)$，可以按照分配律展开为 $sqrt{3}
实例二
计算$frac{sqrt{20} + sqrt{5}}{sqrt{5}}$。
解
$frac{sqrt{20} + sqrt{5}}{sqrt{5}} = frac{sqrt{5}(sqrt{4} + 1)}{sqrt{5}} = sqrt{4} + 1 = 3$。
实例三
计算$frac{sqrt{3}}{sqrt{6}}$。
05 误差分析与计算精度控制
误差来源及影响因素分析
原始数据误差
由于测量工具、方法或人 为因素导致的原始数据不 准确。
运算误差
在进行二次根式乘除法运 算过程中，由于计算规则 或方法不当而产生的误差 。
截断误差
在使用近似计算方法时， 由于省略了某些项或使用 了有限项而产生的误差。
提高计算精度方法和技巧
实例三
计算(2√5 + 3√2) × (2√5 - 3√2)。
实例四
计算√a × √b (a ≥ 0, b ≥ 0)。
03 二次根式除法运算规则
同类二次根式除法法则
法则一
被开方数相同，则直接进行系数相除 。例如：$frac{sqrt{a}}{sqrt{a}} = frac{c}{d}$（其中$a geq 0$，$c$ 和$d$是系数）。
《二次根式的乘除》课件
1 除法中的除数
除数中不能含有二次次方根式（分母不能含有根号）。
2 分式的表达问题
如何将二次根式分式化为规定形式的分式是化简过程中的重要问题。
3 注意符号
化简过程中务必注意正负号的符号问题。
总结
1
知识点回顾
二次根式的定义、乘法和除法、化简，及注意事项。
2
实例演示
勾股定理、身高测量、网页搜索。
3
提高思维
例子
√2 × √3 = √(2×3) = √6
二次根式的除法
方法
将除数与被除数都化简成含有单个二次次方根号的形式，然后将它们相除。
例子
√ 10 ÷ √ 2 = √ (10/ 2) = √ 5
注意
除数中不能含有根式。
二次根式的化简
基本法则
可利用有理化分式法则将分母中含有二次次方根式的分式化成规定形式的分 式。
化简二次根式的方法能够锻炼我们的逻辑思维和空间思维。
例子
1 / (√6 + √3) = (√6 - √3) / (6 - 3)
实例演示
勾股定理
身高测量
勾股定理指出，对直角三角形， a²+ b²= c²。
身高测量中，常用毫米线测量 身高，可以根据身高信息判断 健康状况。
网页搜索
网页搜索是日常学习生活中必 不可少的工具，可以快速获取 丰富的信息。
注意事项
《二次根式的乘除》PPT 课件
本课程将为大家详细讲解二次根式的乘除，帮助您轻松掌握这个数学难点。数与一个含有不超过二次次方根式（或有理数）的代数式相乘或相除所得到的 式子称为二次根式。
特点
有理数和二次根式可以相加、相减、相乘、相除。
二次根式的乘法
除数中不能含有二次次方根式（分母不能含有根号）。
2 分式的表达问题
如何将二次根式分式化为规定形式的分式是化简过程中的重要问题。
3 注意符号
化简过程中务必注意正负号的符号问题。
总结
1
知识点回顾
二次根式的定义、乘法和除法、化简，及注意事项。
2
实例演示
勾股定理、身高测量、网页搜索。
3
提高思维
例子
√2 × √3 = √(2×3) = √6
二次根式的除法
方法
将除数与被除数都化简成含有单个二次次方根号的形式，然后将它们相除。
例子
√ 10 ÷ √ 2 = √ (10/ 2) = √ 5
注意
除数中不能含有根式。
二次根式的化简
基本法则
可利用有理化分式法则将分母中含有二次次方根式的分式化成规定形式的分 式。
化简二次根式的方法能够锻炼我们的逻辑思维和空间思维。
例子
1 / (√6 + √3) = (√6 - √3) / (6 - 3)
实例演示
勾股定理
身高测量
勾股定理指出，对直角三角形， a²+ b²= c²。
身高测量中，常用毫米线测量 身高，可以根据身高信息判断 健康状况。
网页搜索
网页搜索是日常学习生活中必 不可少的工具，可以快速获取 丰富的信息。
注意事项
《二次根式的乘除》PPT 课件
本课程将为大家详细讲解二次根式的乘除，帮助您轻松掌握这个数学难点。数与一个含有不超过二次次方根式（或有理数）的代数式相乘或相除所得到的 式子称为二次根式。
特点
有理数和二次根式可以相加、相减、相乘、相除。
二次根式的乘法
《二次根式的乘除》二次根式PPT课件3 (共21张PPT)
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
3
mn m n ; m n
例题2 计算:
10 4 ; 1 5 5 1
先将每一项 分母有理化.
1 1 . 2 2 2 x 1 x x 1 x
例题2 计算:
1
3
2 12;
2 2
例将下列各式分母有理化 :
1) 2 3 2 ;
(a b)( a b ) 3) A : 原式 ( a b )( a b )
(a b)( a b ) 2 2 a b B : 原式 ( a ) ( b ) a b
解:
3 2 2 2) ; 3 2 2
2 2
问题
怎样计算下式？观察所得的积是否 含有二次根式？
x y含有二次根式的非零代数式相乘,如 果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为有理化因式.
x y 与 x y 互为有理化因式.
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
3b 3b 3b
含有二次根式 不含二次根式 两个含有二次根式的非零代数式相乘,如 果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为有理化因式.
3b 与
3b 互为有理化因式.
想一想
a b
的有理化因式为
a b
; ; ;
《二次根式的乘除》二次根式PPT实用课件3
1) a的有理化因式为 : a 1 1 5) 2 3 6): ax b 2y 2)a 3 b的有理化因式为 2
3)a b c d的有理化因式为 : a b c d
7)2 2 3
8)2 2 3 3
练习
将下列各式分母有理化：
(2) 3y 2x y
5 2 (1) 4 3
(3) 4x 27 x 3 y
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
3
mn m n ; m n
例题2 计算:
10 4 ; 1 5 5 1
先将每一项 分母有理化.
1 1 . 2 2 2 x 1 x x 1 x
例题2 计算:
1
3
2 12;
1 例题3 已知 x ， 3 2 2
x 6 x 2 求 值. x3 先将 x 分母
2
有理化. 例题4 解不等式:
2x 3 3x.
复习 计算
1 1 1 5 12 9 48; 3 2
2
3
2 m n;
ab a b b.
2
复习
1 x 2 6x 2 1.已知x ,求 的值； x3 3 2 2 1 x x 1 1 2.已知x ，求 2 2 的值； 2 1 x x x 2x 1 x 1 1 - 2a a 2 a 2 2a 1 3.已知a ，求 的值. 2 a 1 a a 52 1 1 2 2 4.已知a ,b ，求a b 的值. 32 32
D
2a
B
3 a 3
?
E
C
例题4 解下列方程和不等式:
1
2
3 2 6x 2 2;
3)a b c d的有理化因式为 : a b c d
7)2 2 3
8)2 2 3 3
练习
将下列各式分母有理化：
(2) 3y 2x y
5 2 (1) 4 3
(3) 4x 27 x 3 y
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
3
mn m n ; m n
例题2 计算:
10 4 ; 1 5 5 1
先将每一项 分母有理化.
1 1 . 2 2 2 x 1 x x 1 x
例题2 计算:
1
3
2 12;
1 例题3 已知 x ， 3 2 2
x 6 x 2 求 值. x3 先将 x 分母
2
有理化. 例题4 解不等式:
2x 3 3x.
复习 计算
1 1 1 5 12 9 48; 3 2
2
3
2 m n;
ab a b b.
2
复习
1 x 2 6x 2 1.已知x ,求 的值； x3 3 2 2 1 x x 1 1 2.已知x ，求 2 2 的值； 2 1 x x x 2x 1 x 1 1 - 2a a 2 a 2 2a 1 3.已知a ，求 的值. 2 a 1 a a 52 1 1 2 2 4.已知a ,b ，求a b 的值. 32 32
D
2a
B
3 a 3
?
E
C
例题4 解下列方程和不等式:
1
2
3 2 6x 2 2;
人教版数学八年级下册《二次根式的除法》ppt课件
不是“ a ”，而是“
a 3
a a”3刘敏说：哎呀，真抄错了，好在
不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？
解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
按
a
a
3计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0；
而按 a 计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．
a 3
课堂小结
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1) 4 = 4 ； 99
(2) 16 = 16 ； 25 25
(3)
36 36 . 49 49
猜测 你发现了什么规律？能用字母表示你所发
现的规律吗？ 猜测： a a bb
从上面的猜测的规律中，a，b 的取值范 围有没有限制呢？
回顾上节课所讲的二次根式的乘法，我们知道
h 5
40时，此时
他看到的水平线的距离d2是多少？
解：d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到 的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
d2 16 10 . d1 16 5
【思考】乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？
除法有没有类似的法则？
(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进
行化简,如 0.3 3 30 30 .
10 100 10
巩固练习
在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是
最简二次根式的进行化简．
（1）
45
;
（2） 1 ;
3
（3） 5 ;
2
（4）
0.5
;（5） 1 4
5
.
《二次根式的乘除》PPT优质课堂课件3人教版
小数化成分数，带分数化成假分数
我们看到，这个比与地球半径无关，这样，只要知道h1，h2，就可以求出比值.
”如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是多少？
情境导入，复习回顾
二次根式的乘法法则：
二次根式的除法法则：
a b = ab（a≥0，b≥0）
a a （a≥0，b>0）
1 2 x2 y 2 - 45y2
3 xy
3 5y
3
a2b 4c2
4 2xy
2x
1原式= 2 x2 y 2 x
3 xy 3
2原式=- 1 45y2 - 1 9y y
3 5y 3
3原式= a2b = a b
4c2 2c
4原式= 2xy 2x = 2xy 2x y 2x
2x 2x 2x
二次根式乘除混合运算的解题策略 例3 （课本P1 h km,电视节目信号的传播半径为r km,则它们之间存在近似关系 二次根式乘除混合运算
3 根号内外的因数分别相乘.
22 12 - 5 2 二次根式乘除混合运算
4 ”如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是多少？ 小数化成分数，带分数化成假分数
b
b
最简二次根式:
(1) 被开方数不含分母; (2) 被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
情境导入，复习回顾
复习：计算：2 2 3 5
解：原式=23 25
=6 10
根号内外的 因数分别相 乘.
灵活应用，能力提升
例1 计算： 2 2 3 5 5 4 1 2
解：原式=235 2 5 9
2 =30 45
3 35
解：2原式=
2024年《二次根式的乘除运算》PPT免费课件
24
05 课程总结与回顾
2024/2/29
25
关键知识点总结
二次根式的概念和性质
包括二次根式的定义、性质，以及开 方运算的基本规则。
二次根式的除法运算
学习二次根式相除的技巧，理解除法 运算中的有理化过程。
二次根式的乘法运算
掌握二次根式相乘的方法，理解乘法 运算中的化简过程。
2024/2/29
26
27
学员自我评价报告
2024/2/29
01
学员可在此部分对自己的学习情 况进行自我评价，包括掌握程度 、薄弱环节、学习困难等方面。
02
通过自我评价，学员可以明确自 己的学习目标和方向，为下一阶 段的学习做好准备。
28
下一讲预告及预备工作
预告下一讲的学习内 容，包括二次根式的 混合运算、实际应用 等。
通过讨论和交流，激发学生的创造力 和求知欲。
23
练习题及答案解析
提供针对二次根式乘除运算的练习题，包括选择题、填 空题和解答题等。
针对易错点和难点进行重点讲解，提高学生的解题能力 。
答案解析详细、准确，帮助学生理解和掌握解题方法。
引导学生对练习题进行分类和总结，形成系统的知识体 系。
2024/2/29
《二次根式的乘除运算》 PPT免费课件
2024/2/29
1
目录
• 二次根式基本概念回顾 • 乘除运算基础知识点梳理 • 乘除运算在二次根式中应用 • 复杂场景下二次根式乘除问题探讨 • 课程总结与回顾
2024/2/29
2
01 二次根式基本概 念回顾
2024/2/29
3
二次根式定义及性质
2024/2/29
Байду номын сангаас
二次根式的乘除课件
03
二次根式的乘除混合运算
乘除混合运算的基本性质
乘除法结合律
在二次根式的乘除混合运算中， 乘除法可以按照任意组合进行计 算，结合律允许我们重新组合运
算顺序，而不改变结果。
乘法分配律
在二次根式的乘除混合运算中，乘 法分配律允许我们将一个根式与括 号内的多个根式相乘，结果是将每 个根式分别相乘。
除法的倒数性质
熟记二次根式的乘法法则和除法 法则，并能够灵活运用
掌握二次根式乘除混合运算的步 骤和方法，提高计算速度和准确
性
在实际应用中，能够根据题意选 择合适的二次根式进行运算，解
决实际问题
感谢Байду номын сангаас看
THANKS
在二次根式的乘除混合运算中，除 法可以转化为乘法，即除以一个根 式等于乘以这个根式的倒数。
乘除混合运算的公式推导
公式推导一
01
利用乘法的结合律和分配律，将复杂的二次根式乘除混合运算
分解为更简单的二次根式乘法或除法。
公式推导二
02
利用二次根式的性质，将复杂的二次根式化简为更简单的二次
根式，以便进行进一步的乘除混合运算。
$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$ (a≥0, b>0)
3
二次根式的乘除混合运算
先进行乘法运算，再进行除法运算
本节课的难点解析
理解二次根式的乘法 法则和除法法则的推 导过程
正确处理二次根式中 的非负数的条件
掌握二次根式乘除混 合运算的顺序和步骤
对学生的建议和要求
二次根式的乘除课 件
汇报人：可编辑 2023-12-26
目 录
• 二次根式的乘法规则 • 二次根式的除法规则 • 二次根式的乘除混合运算 • 二次根式的乘除法则的应用 • 总结与回顾
二次根式的乘除ppt课件
(3)几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律简
化运算 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 法则中被开方数a，b既可以是数，也可以是式子，但都
必须是非负的 .
2. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因
式时一定要开方 .
3. 二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个整式 .
感悟新知
知1－练
10
8
10
＝－
9×8＝－20 2.
3
10
3
27÷ ＝－1× 3 ×
8
8
27×
3
感悟新知
知3－练
(5)
(a>0，b>0)；
a3b6
解：∵a>0，b>0，∴
＝
ab
(6)8 ÷3 ÷6 .
a3b6
＝ a2b5＝ab2 b.
ab
4
8 6÷3 3÷6 2＝(8÷3÷6)× 6÷3÷2＝ .
学习目标
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
感悟新知
知1－讲
知识点 1 二次根式的乘法
1. 二次根式的乘法法则
一般地，有 · ＝ (a ≥ 0，b ≥ 0). 这就
是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的
积的算术平方根 .
感悟新知
知1－讲
2. 二次根式的乘法法则的推广
(1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单
方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因
式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
C. 0 ≤ x<1
D. x ≥ 0 且x ≠ 1
化运算 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 法则中被开方数a，b既可以是数，也可以是式子，但都
必须是非负的 .
2. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因
式时一定要开方 .
3. 二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个整式 .
感悟新知
知1－练
10
8
10
＝－
9×8＝－20 2.
3
10
3
27÷ ＝－1× 3 ×
8
8
27×
3
感悟新知
知3－练
(5)
(a>0，b>0)；
a3b6
解：∵a>0，b>0，∴
＝
ab
(6)8 ÷3 ÷6 .
a3b6
＝ a2b5＝ab2 b.
ab
4
8 6÷3 3÷6 2＝(8÷3÷6)× 6÷3÷2＝ .
学习目标
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
感悟新知
知1－讲
知识点 1 二次根式的乘法
1. 二次根式的乘法法则
一般地，有 · ＝ (a ≥ 0，b ≥ 0). 这就
是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的
积的算术平方根 .
感悟新知
知1－讲
2. 二次根式的乘法法则的推广
(1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单
方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因
式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
C. 0 ≤ x<1
D. x ≥ 0 且x ≠ 1
二次根式的乘除(课件)八年级数学下册(苏科版)
足公式 t
2h
.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高
10
空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
t2
t1
2 100
10 20 2.
10
2 50
10
课堂练习
1.化简
A．9
18 2 的结果是（ B ）
B．3
C． 3 2
D．
2 3
2.下列根式中，最简二次根式是（ C ）
注意：被开方数 a，b 既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非
负的．
典型例题
例1 计算：
1
3 5；
2
1
27.
3
解： 1 3 5= 3 5= 15；
2
1
1
27 = 27 = 9=3.
3
3
提示：
两个二次根式相乘，把被开方数
相乘，根指数不变.即：
a b ab (a≥0，b≥0)
7
7
5
× × ＝
2²×2×5
2 10
＝
．
5×5
5
8
5
探究新知
二次根式的乘除混合运算中的四点注意：
（1）带分数要化成假分数；
（2）要注意确定最后结果的符号；
（3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式；
（4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用．
05
二次根式乘除法的应用
典型例题
例题9. 一个长方形的长和宽分别是 10 和2 2 .求这个
可以发现这些数不能再化简，这些数有两个特点：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2h
.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高
10
空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
t2
t1
2 100
10 20 2.
10
2 50
10
课堂练习
1.化简
A．9
18 2 的结果是（ B ）
B．3
C． 3 2
D．
2 3
2.下列根式中，最简二次根式是（ C ）
注意：被开方数 a，b 既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非
负的．
典型例题
例1 计算：
1
3 5；
2
1
27.
3
解： 1 3 5= 3 5= 15；
2
1
1
27 = 27 = 9=3.
3
3
提示：
两个二次根式相乘，把被开方数
相乘，根指数不变.即：
a b ab (a≥0，b≥0)
7
7
5
× × ＝
2²×2×5
2 10
＝
．
5×5
5
8
5
探究新知
二次根式的乘除混合运算中的四点注意：
（1）带分数要化成假分数；
（2）要注意确定最后结果的符号；
（3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式；
（4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用．
05
二次根式乘除法的应用
典型例题
例题9. 一个长方形的长和宽分别是 10 和2 2 .求这个
可以发现这些数不能再化简，这些数有两个特点：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
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a b
( a b)( a b) a b
a b
复习 计算
1 5 12 9 1 1 48;
32
2 2 m n;
3 ab a2b • b.
复习
计算
1 3 40 2 2 0.1;
5
2 2 9x 6 x 2x 1;
3
4
x
3 3 x 2x .
32
例题3 已知 x ，1 32 2
练习 将下列各式分母有理化：
52 (1) -
43
3y (2)
2x y
4x (3)
27x3 y
5 + 10 (4)
10
3a2
x2 y2
(1)
(2)
75a
x y
填空:
1。 a的有理化因—式 —a 是
2。化简：
1） x x x 1 x 1 ——x——1—
2）
2 5
1 10
—5———
3） ( 3 6)( 3 6)
***二次根式的乘除
思考 你会几种方法计算？
2a 3b ?
2a 2a • 3b 6ab 6ab 3b 3b • 3b ( 3b)2 3b
把分母中的根号化去，叫做分母有理化. ： 分母有理化的方法，一般是把分子和分母乘 以同一个适当的代数式，使分母不含根号.
3b 3b 3b这个过程称为分母有理化
x y 与 x 互y为有理化因式.
求 x2 6x值.2 x3
先将 x分母有
理化.
例题4 解不等式: 2x 3 3x.
复习 计算
1 5 12 9 1 1 48;
32
2 2 m n;
3 ab a2b • b.
复习
1.已知x 2.已知x
1 ，求 2 1
x x2
1 x
x2
x 2x
1
1 x
的值；
3.已知a
1 ，求1- 2a a2
52
a 1
a
2
a
2a 2 a
1
的值.
4.已知a 1 , b 1 ，求a 2 b2的值.
32
32
问题
怎样计算下式？观察所得的积是否含 有二次根式？
x y x y x y
含有二次根式
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果 它们的积不含有二次根式,就说这两个含有二 次根式的非零代数式互为有理化因式.
3b 3b 3b
含有二次根式
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果 它们的积不含有二次根式,就说这两个含有二 次根式的非零代数式互为有理化因式.
3b 与 3b互为有理化因式.
想一想
a b 的有理化因式为 a b ;
a b 的有理化因式为 a b ;
a x b y 的有理化因式为 a x b y ;
二次根式的代数式互为有理化因式.
小1) 结3 : 2
2)3 7
有3)理x化 因 2 式y 的类型: 4)3 2 2
1) a的有理化因式为 : a
25))a13 2 b的12 有3理化因式为6): ax b2y
3)a b c d的有理化因式为 : a b c d
7)2 2 3
8)2 2 3 3
a b 的有理化因式为 b .
分母有理化的方法： 把分子和分母都乘 以同一个适当的代数式,使分母不含根号.
例题1 将下列各式分母有理化:
1 5 ;
33
2 x ;
ax
3
a a2
b b
2
;
4 a b .
ab2 a2b
例题1 把下列各式分母有理化:
1 3 ;
31
2
1;
4 33 2
分子和分母都 乘以分母的有理 化因式.
3 m n m n;
m n
例题2 计算:
1 10 4 ;
5 51
先将每一项 分母有理化.
2
x
1 1
x2
x
1 1
x
2
.
例题2 计算:
1 2 12;
2 a a b;
3 a2 b2 2a 2b. a b 0
例题3 如图,在面积为 的2a正方形
中,截AB得C直D角三角形 的面积为AB,E求
的长.
3a BE
3
解 因为正方形 ABCD A
D
面积为 2a,
所以 AB 2a.
1 • BE • 2a 3a
2
3
BE 6a
2a
B
3a 3
?
E
C
3
例题4 解下列方程和不等式:
1 3 2 6x 2 2;
2 5x 6 3 3 5x.
两个含有二次根式地代数式相乘，如果他们
的积不含有二次根式，我们就说这两个含有
——3——
( 3)2 ( 6)2 3 6 3
例将下列各式分母有理化 :
1) 2 ;
解: 3 2
2) 3 2 2 ;
3)
32 2
3)A : 原式 (a b)( a b) ( a b)( a b)
ab . a b
(a b)( a ab
b) B : 原式
(
a)2 (
b)2
a b