第三章 流体动力学理论基础

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一般情况下，二条流 线是不能相交的，除非 这个相交点，流体质点 的速度为零。如图3.6， 两条流线在 A 、 B 点相交， 通常将 A 和 B 分别称为前 驻点和后驻点。 在流场中，某时刻 过任意一点都可以作 出一条相应的流线。 如图3.7所示。
A
B
图 3.6 绕二维圆柱体的流线图 图 3 . 6绕 二 维 圆 柱 体 的 流 线 图
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② 用欧拉法表示的流体质点的加速度 速度表达式中的坐标x，y，z是质点运动轨迹上的空间点坐标， 它不是独立变数，而是时间t的函数，即
流体质点的加速度则按复合函数求全导数的方法来求：
a dv v v dx v dy v dz dt t x dt y dt z dt v v v v u v w t x y z
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5
流体动力学理论基础
描述流体运动的方法 研究流体运动的若干基本概念 流体运动的连续性方程 理想流体的运动微分方程及其积分 伯努利方程
§3-6
§3-7
动量方程
流体微团运动的分析
§3-8
理想流体无旋流动简介
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§3-2-1
如果该水箱有来水补充，水位H保持不变。 该质点的加速度:
u ax u x
H x
图3.3是水箱内水经等 截面直管流出，若水位
H不变即:
图 3.2 等直径直管出流 图 3.3 等直径直管出流
ax 0
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D 推广到求任意物理量的质点导数，引入算子符号 Dt :
v v为变位加速度或迁移加速度，由流场的不均
匀性引起的
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图3.2是水箱内的水经收缩管流出
若水箱无来水补充
H u x
质点的加速度是这两项之和
即
u u ax u t x
图3图 .1 收缩管出流 3.2 收缩管出流
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恒定流和非恒定流
流体运动可以分为恒定流动（定常流动）和非恒定流
动（非定常流动）。
所谓恒定流动是指在任何固定的空间点来观察流体质点 的运动，流体质点的流体参数皆不随时间变化。反之即为 非恒定流动。 对于恒定流动，流场方程为
v v ( x, y , z ) p p ( x, y , z ) ( x, y , z )
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其中:
a ax i ayБайду номын сангаасj az k
u 2 x ax t t 2 ax (a, b, c, t ) v 2 y 2 a y (a, b, c, t ) 其中 a y t t w 2 z 2 az (a, b, c, t ) az t t 流体质点的密度场ρ、压强场p也可用拉氏坐标表示:
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由于:
x y aet 2 x y be t 2
将上式代入，得:
x y x y u y 2 2 v x y x y x 2 2
即:
u y v x
此为欧拉法表达的流体质点运动。
朗日表达式。
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【例2】已知流体质点运动用欧拉表达式为
u 2x v 2 y
试将上式转换成拉格朗日表达式?
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【解】 由于
x u 2x t
dx dx 上式可表示为 2x ， 2dt dt x
' 两边积分 ln x 2t C1
u v w x u ( a , b, c , t ) t y v(a, b, c, t ) t z w(a, b, c, t ) t
然后以欧拉坐标 ( x, y, z ) 代替式中的拉氏坐标 (a, b, c)，也就 是求拉氏法的反函数。便得欧拉表达式。
工程流体力学
第三章 流体动力学 理论基础
主讲：王光进
第三章
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5
流体动力学理论基础
描述流体运动的方法 研究流体运动的若干基本概念 流体运动的连续性方程 理想流体的运动微分方程及其积分 伯努利方程
§3-6
§3-7
动量方程
流体微团运动的分析
§3-8
理想流体无旋流动简介
故
x c1e 2 t 2 t y c e 2
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当t=0时（即初始时刻）
x c1 a
y c2 b
代入上式得到
x ae 2 t 2 t y b e
即为拉格朗日表达式。
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第三章
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§3-2-2
一元流、二元流与三元流
流体运动可分为一元、二元和三元流动。 流场中的运动参数（以速度为主）都可以表示为三个 空间坐标（及时间）的函数， v v ( x, y, z, t ) ，称这种流动是 三元流动，或空间流动。如果速度场可简化表示为两个空 间坐标的函数，称这种流动为二元流动（平面流动）；可 简化为一个空间坐标的函数，称这种流动为一元流动。 图3.4所示为理想流体绕一个无限长圆柱体的流动。
v A B d l 2 l Ad 1
C
v B
Dv C Ev d l D 3 d l 4 v E
图 3 . 7过 一 点 的 流 线
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图3.7 过一点的流线
流线的微分方程：
在t时刻，在流线AB上某点处取微分线段矢量 dr ，
v 为该点的速度矢量（图3.8），两者方向一致。 z
D u v w Dt t x y z
物理量 B( x, y, z, t )的质点导数(随体导数)定义为:
DB B B B B u v w Dt t x y z
等式右边第一项表示当地（局部）变化率，其他三项
表示迁移（变位）变化率。
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欧拉（Euler）法
① 欧拉法又称当地法。它是在选定的一个空间点，观察先后经 过这个空间点的各个流体质点物理量的变化情况，当逐次由一个 空间点转移到另一个空间点……便能了解整个流场或部分流场的 运动情况。
流体质点的速度场表示为
v v ( x, y, z, t )
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（2）设已给的是欧拉表达式
u u ( x, y , z , t ) v v ( x, y , z , t ) w w( x, y , z , t )
首先对两边进行积分，得:
x x(c1 , c2 , c3 , t ) y y (c1 , c2 , c3 , t ) z z (c , c , c , t ) 1 2 3
在直角坐标系中 ：
v A B y o x
图图 3.8 流线方程 3 .8 流线方程
dr dxi dyj dzk
v ui vj wk
dr v 0
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【例1】已知流体质点运动拉格朗日表达式为
x ae t be t t t y a e b e
试用欧拉法来表示流体质点的运动? 【解】 流体运动为二维（平面）流动，首先对上式两边 进行微分 x t t u a e b e t v y aet be t t
引进汉米顿（Hamilton）算子符号:
i j k x y z
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可表示为
dv v a v v dt t
加速度各项的物理意义是,流体质点的加速度由两部分组成。 称 称
v 为当地加速度或局部加速度，由流场的不恒定性引起的 t
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
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② 用拉格朗日法表示的流体质点的速度和加速度。
v ui vj wk
u v w x u ( a , b, c , t ) t y v(a, b, c, t ) t z w(a, b, c, t ) t
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整个流场只需用x和y方向的两个坐标表示，即 v v ( x, y, t ) ，属于二维流动， 又称为平面流动。
y
x
图 3.4 二维圆柱绕流 图 3 .3 二维圆柱绕流
在实际工程中，当流动管道或渠道流束的纵向尺寸远大于横向尺寸，当不 考虑过流截面上速度分布时，为简化计算，工程上常将流速取断面的平均 流速V，那么，流动也可视为一维流动 V V (s, t )
两种表示方法的互相转换
拉格朗日法和欧拉法，它们之间是可以互相转换的。 （1）设已给的是拉格朗日表达式
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
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首先将上式两边微分后得到
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工程流体力学
§3-2-3 1.流线的定义
流线和迹线
流线就是这样的一条曲线，在某个瞬时，这条曲线上所有 空间点上的流体质点速度方向和该曲线相切。 这曲线就称 为该瞬时的流线（图3.5）。