一元二次不等式PPT优秀课件
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一元二次不等式及其解法优质课幻灯片课件
一元二次不等式及其解法优质课
新知讲解 一元二次不等式（定义）
像 x2－x－6>0 这样只含一个 未知 数，并且未知数最高次数为 2 的不等 式，称为一元二次不等式.
那么怎样求一元二次不等式 x2－x－6>0的解集呢？
画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答： (1).图象与x轴交点的坐标为 (-2, 0)，(3, 0) ,
(2)判定△的符号， (3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;（画出函数图像） (4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
巩固练习
1、解下列一元二次不等式： （1） 3x2 7x + 2 0 ； （2） 6x2 x + 2 0 ；
答案:
(1){x|13x2}
（大于0解集是大于大根或小于小根，小于0解集是大于小根且 小于大根）
例2：解不等式4x2+1>4x
解：整理，得 4x2-4x+1>0
因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解 x1=x2=1/2 故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }
例3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
{x|x≠
b
}
2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
一元二次不等式的标准形式：
ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0（a>0）
记忆口诀：a>0（0）
新知讲解 一元二次不等式（定义）
像 x2－x－6>0 这样只含一个 未知 数，并且未知数最高次数为 2 的不等 式，称为一元二次不等式.
那么怎样求一元二次不等式 x2－x－6>0的解集呢？
画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答： (1).图象与x轴交点的坐标为 (-2, 0)，(3, 0) ,
(2)判定△的符号， (3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;（画出函数图像） (4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
巩固练习
1、解下列一元二次不等式： （1） 3x2 7x + 2 0 ； （2） 6x2 x + 2 0 ；
答案:
(1){x|13x2}
（大于0解集是大于大根或小于小根，小于0解集是大于小根且 小于大根）
例2：解不等式4x2+1>4x
解：整理，得 4x2-4x+1>0
因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解 x1=x2=1/2 故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }
例3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
{x|x≠
b
}
2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
一元二次不等式的标准形式：
ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0（a>0）
记忆口诀：a>0（0）
一元二次不等式及其解法 课件
研一研·问题探究、课堂更高效
S 甲＝0.1x＋0.01x2，S 乙＝0.05x＋0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任？ 一元二次不等式在实际生活实践中有着广泛的应用．这节课 我们将研究一元二次不等式的实际应用．
探究点一 一元二次不等式恒成立问题
问题 解决不等式恒成立问题的关键是转化思想的应用，一
解析 当 a＝0 时，－2≥0 解集为 ∅ ；
当 a≠0 时，a 满足条件：aΔ<＝04a2＋4aa＋2<0 ，
解得－1<a<0.
综上可知，－1<a≤0.
例 2 关于 x 的一元二次方程 kx2＋(k－1)x＋k＝0 有两个正 实数根，求实数 k 的取值范围．
解 方法一 设 f(x)＝kx2＋(k－1)x＋k，由题意，
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
3．不等式xx－＋23>0 的解集是 A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
(C )
4．若不等式 x2＋mx＋1≥0 的解集为 R，则实数 m 的取值范
围是
(D )
A．m≥2
B．m≤－2
跟踪训练 3 某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x 件 与单价 P 元之间的关系为 P＝160－2x，生产 x 件所需成本 为 C＝500＋30x 元，该厂日产量多大时，每天获利不少于 1 300 元？ 解 由题意得(160－2x)x－(500＋30x)≥1 300， 化简得 x2－65x＋900≤0
解得 0<k≤31.
小结 解一元二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二
次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等
7-2一元二次不等式及其解法 课件【共102张PPT】
则原不等式的解集是x2<x<1a
；
当a＝12时，原不等式的解集是∅；
当a>12时，1a<2，则原不等式的解集是x1a<x<2
.
(2)当a＝0时，原不等式为－(x－2)<0，解得x>2，即原不等式的解集是{x|x>2}．
(3)当a<0时，原不等式可以化为a(x－2)x－1a<0，
根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)x－1a>0， 由于1a<2，故原不等式的解集是
角度Ⅱ.含参二次不等式的解法 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0(a∈R)．
[解] 原不等式可化为(ax－1)(x－2)<0. (1)当a>0时，原不等式可以化为a(x－2) x－1a <0，根据不等式的性质，这个不等 式等价于(x－2)·x－1a<0. 因为方程(x－2)x－1a＝0的两个根分别是2，1a， 所以当0<a<12时，2<1a，
k1－k2或x>1－
1－k2 k
；
当k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
当k＜－1时，不等式的解集为R.
解/题/感/悟(小提示，大智慧) 对于含参二次不等式，应注意参数出现的位置．二次项系数出现参数，需要讨 论系数和零的大小；如果可以通过因式分解法求得两个根，根里面含参，那么就需 要对根的大小关系进行讨论；如不能因式分解求根，则需要对判别式进行讨论．总 之我们一定要关注参数出现的位置，往往既要讨论二次项系数，同时还需要讨论根 的大小！
(1)解析：由不等式x(1－2x)＞0，得不等式x(2x－1)＜0，解得0＜x＜12. (2)解析：当a＜0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为 x－1a (x－2)>0，解得x>2或 x<1a；当a＝0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为x－2＞0，解得x＞2.
高中数学 一元二次不等式及解法 PPT课件 图文
y<0
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b
x1=x2= 2 a
{x|x<x1,或 x>x2}
b {x|x≠ 2 a }
{x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
y>0
x O 没有实根
R Φ
函数 、方程、不等式的关系
a<0时如何求解呢？
自主练习
1．下列是关于x的一元二次不等式化为(x＋2a)(x－a)＜0 对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a， (1)当a＞－2a，即a＞0时，－2a＜x＜a， (2)当a＝－2a，即a = 0时，原不等式化为x^2＜0，无解, (3)当a＜－2a, 即a＜0时, a＜x＜－2a. 综上所述，原不等式的解集为： 当a＞0时，{x|－2a＜x＜a} 当a＝0时， ∅ 当a＜0时，{x|a＜x＜－2a}
A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析：不等式的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞)，故
选C. 答案： C
课堂 讲 义
求解一元二次不等式
例一 求下列一元二次不等式的解集:
(1)－x2＋5x＜－6
解：原不等式可化为 x2－5x－6>0
集。
变式训练
求下列不等式的解集:
(1)－2x2＋3x＋2 ≤ 0；
{ x|x2或 x 2 }
y x1 O x2 x
变式训练
(2)4x2＋4x＋1>0
{x
|x
1} 2
y
O x1
x
变式训练
一元二次不等式的解法省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
谢 谢 大 家！ 再 见！
请同学们完毕下表:
方程或不等式 （a>0）
Δ>0
解
集
Δ=0
｛x|x=x1 或 ax2＋bx＋c=0、
x=x2｝
｛－ b ｝
2a
ax2＋bx＋c >0
Δ<0 ф
ax2＋bx＋c <0
一元二次方程、不等式旳解集
方程或不等式
解
集
（a>0）
Δ>0
Δ=0
｛x|x=x1 或 ax2＋bx＋c=0、
参照答案：
(1) {x | 1 x 2}
(2)
{x
3
|x
1
或
x
2}
2
3
(3)
(4) R
本课小节：
解一元二次不等式旳环节: (1)化成原则形式(a>0) (2)解方程ax2+bx+c=0 (3)由图象写解集
小节
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 (a>0) 旳环节是：
x=x2｝
ax2＋bx＋c >0
｛x|x<x1 或 x>x2｝
｛－ b ｝
2a
｛x|x≠－ b｝
2a
ax2＋bx＋c <0 ｛x|x 1 <x <x2｝
ф
Δ<0 ф R ф
⊿=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)
旳图象
⊿>0 x1 x2
⊿=0
⊿<0
x1(x2)
方程
ax2+bx+c=0 旳根
高考一元二次不等式及其解法 课件(共51张PPT)
(4)根据对应二次函数的图象,写出不等
式的解集.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
例1
解下列不等式：
(1)2x2＋4x＋3>0; (2)－3x2－2x＋8≥0;
(3)12x2－ax>a2(a∈R).
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
【思路分析】
首先将二次项系数转化
为正数,再看二次三项式能否因式分解, 若能,则可得方程的两根,大于号取两边, 小于号取中间;若不能,则再看“Δ”,利
法二比较简单.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
【解】
(1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立,
若 m＝0,显然－1<0; 若 m≠0,
m<0 则 ⇒－4<m<0. 2 Δ＝m ＋4m<0
所以－4<m≤0.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
(2)要使 f(x)<－m＋5 在[1,3]上恒成立,就是 12 3 要使 m(x－ ) ＋ m－6<0 在 x∈[1,3]上恒 2 4 成立. 有以下两种方法： 12 3 法一：令 g(x)＝m(x－ ) ＋ m－6,x∈[1,3]. 2 4 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max＝g(3)＝7m－6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
－∞，－1 ∪(1,＋∞). ∴不等式的解集为 2
－∞，－1 ∪(1,＋∞) 答案： 2
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
5.已知(ax－1)(x－1)>0的解集是{x|x<1 或x>2},则实数a的值为________.
一元二次不等式的解法PPT优秀课件
2 2 2
一元二次方程 x x20 ，三者之间有什 关系
想一想
2
f x x x 2
2
x x20 x2 x 2 0
y
在初中学习二次函数时， 我们曾解决过这样的问题： 对二次函数y=x2-x-2， 当x为何值时，y=0？
-1
o
2
x
当x为何值时，y<0？
当x为何值时，y>0？
2
•
巩固练习
判断下列式子是不是一元二次不等式？
1 (1) x 5 x
( 2 ) xy 3 0
2
4 )x 3 x x ( x 1 ) ( 3 ) ( x 2 )( x 3 ) 0(
寻觅方法，解：
代数方法：
x x 2 0
2
x 2 x 1 0
3.2一元二次不等式的解法
现在有一家商店对某种成本价为650元的电视机有一个促销活 商品促销
动：
买一台电视机，单价950元； 买两台，单价是900元； 依次类推，每多买一台，单价降低50元。 要使商店保持每次交易赢利大于200元，
问每人最多买几台？
一元二次不等式
一个整式不等式，若只含有一个未知数，并且未知数
你还能写出多少个？
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]
一元二次方程 x x20 ，三者之间有什 关系
想一想
2
f x x x 2
2
x x20 x2 x 2 0
y
在初中学习二次函数时， 我们曾解决过这样的问题： 对二次函数y=x2-x-2， 当x为何值时，y=0？
-1
o
2
x
当x为何值时，y<0？
当x为何值时，y>0？
2
•
巩固练习
判断下列式子是不是一元二次不等式？
1 (1) x 5 x
( 2 ) xy 3 0
2
4 )x 3 x x ( x 1 ) ( 3 ) ( x 2 )( x 3 ) 0(
寻觅方法，解：
代数方法：
x x 2 0
2
x 2 x 1 0
3.2一元二次不等式的解法
现在有一家商店对某种成本价为650元的电视机有一个促销活 商品促销
动：
买一台电视机，单价950元； 买两台，单价是900元； 依次类推，每多买一台，单价降低50元。 要使商店保持每次交易赢利大于200元，
问每人最多买几台？
一元二次不等式
一个整式不等式，若只含有一个未知数，并且未知数
你还能写出多少个？
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]
一元二次不等式及其解法ppt课件
∵f(x)图象的对称轴为直线 x=2,∴f(x) 在(0,1)上单调递减，
∴当x=1 时 ，f(x)取到最小值，为一3,∴实数m 的取值范围
是[一0, — 3],故选A.
答案： A
2.若不等式 x²+mx—1<0对于任意x∈[m,m+1] 都成立，则 实数m 的取值范围是 解析：由题意，得函数f(x)=x²+mx—1在[m,m+1] 上的 最大值小于0,又抛物线f(x)=x²+mx—1开口向上，
(3)若a 可以为0,需要分类讨论， 一般优先考虑a=0 的 情形.
三、典型例题分析 考点一一元二次不等式的解法
考法(一)不含参数的一元二次不等式
[典例] 解下列不等式：(1)—3x²—2x+8≥0;
(2)0<x²—x—2≤4; [解]( 1)原不等式可化为3x²+2x—8≤0,
即(3x—4)(x+2)≤0, 解 得
考法(二)含参数的一元二次不等式 [典例] 解不等式ax²—(a+1)x+1<0(a>0). [解] 原不等式变为(ax—1)(x—1)<0,
因 为a>0, 所 以
所以当a>1,
时，解
当 a=1 时，解集为o; 当 0<a<1, 艮 时，解为
综上，当0<a<1 时，不等式的解集 当a=1 时，不等式的解集为o; 当a>1 时，不等式的解集为
[解题技法] 1. 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0,小于 0 , 还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
(2)判断方程根的个数，讨论判别式△与0的关系； (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要 讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集.
一元二次不等式解法PPT课件
来解一元二次不等式是 个有效的方法.
下面我们再对一般的一元二次不等式 ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0来进行讨论.
首先讨论a>0的情形.请思考下列问题：
（1）如果相应的一元二次方程分别有 两个实根、唯一实根、无实根的话， 其相应的二次函数的图像与轴的位置 关系如何？
（2）请观察表中的二次函数的图像， 并写出相应的一元二次不等式的解集.
参考答案：
(1) {x | 1 x 2}
(2)
{x
3
|x
1
或
x
2}
2
3
(3)
(4) R
总结提练
（1）一元二次不等式的解集与一元二 次方程的解及其相应的二次函数的图 像相对于轴的位置密切相关.解题时要 注意解题格式，头脑中要想象图像或 划出草图. （2）对于a<0的一元二次不等式可转 化为a>0的情形求解. （3）一元二次不等式的解法是今后学 习其他不等式的基础，要求大家熟练 掌握解法，准确运算结果.
(x 1)(x 2)
x2 2 2
25 0
所以不等式的解集是{x
|
x
1
或x
2}.
2
请同学们看课本P19的例2～例4，并 在空白处画出相应的二次函数的草图.
演练反馈
1．解下列6x2－x+2≤0 （3）4x2+4x+1<0 （4）x2－3x+5>0
∆＝b2-4ac ∆>0
二次函数 y
∆=0 ∆<0
y
y
y=ax2+bx+c 的图像
o ●x1
● x2 x
o●
下面我们再对一般的一元二次不等式 ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0来进行讨论.
首先讨论a>0的情形.请思考下列问题：
（1）如果相应的一元二次方程分别有 两个实根、唯一实根、无实根的话， 其相应的二次函数的图像与轴的位置 关系如何？
（2）请观察表中的二次函数的图像， 并写出相应的一元二次不等式的解集.
参考答案：
(1) {x | 1 x 2}
(2)
{x
3
|x
1
或
x
2}
2
3
(3)
(4) R
总结提练
（1）一元二次不等式的解集与一元二 次方程的解及其相应的二次函数的图 像相对于轴的位置密切相关.解题时要 注意解题格式，头脑中要想象图像或 划出草图. （2）对于a<0的一元二次不等式可转 化为a>0的情形求解. （3）一元二次不等式的解法是今后学 习其他不等式的基础，要求大家熟练 掌握解法，准确运算结果.
(x 1)(x 2)
x2 2 2
25 0
所以不等式的解集是{x
|
x
1
或x
2}.
2
请同学们看课本P19的例2～例4，并 在空白处画出相应的二次函数的草图.
演练反馈
1．解下列6x2－x+2≤0 （3）4x2+4x+1<0 （4）x2－3x+5>0
∆＝b2-4ac ∆>0
二次函数 y
∆=0 ∆<0
y
y
y=ax2+bx+c 的图像
o ●x1
● x2 x
o●
3.2一元二次不等式及其解法(共35张PPT)
31
1 1 x|－ <x< 【例 3】 已知 x2＋px＋q<0 的解集为 2 3， 求解不等式 qx2＋px＋1>0.
即x2－x－6<0， 解得－2<x<3.
所以不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2<x<3}．
23:16
32
5.a为何值时，不等式 (a 2 3a 2) x 2 (a 1) x 2 0 的解为一切实数？
不等式的解集即函数图象在x 轴下方或上方图象所对应x的范 围。
23:16 8
思考
对二次函数 y=x2-x-6，当x为何值时， y=0？当x为何值时，y<0？ 当x为何值时， y>0 ? 当 x=-2 或 x=3 时, y=0 即 x2x6=0 y -2 O 3 x
23:16
9
思考：对二次函数 y=x2-x-6，当x为何值时， y=0？当x为何值时，y<0？ 当x为何值时，y>0 ?
利用二次函数图象能解一元二次不等式！
23:16 11
利用二次函数图象能解一元二次不等式！
一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)
一元二次不等式 ax2 bx c 0(a 0) 一元二次函数
y
f (x)=ax 2 bx c(a 0)
0
0
{R x |xx x } 1 x 或 x x2 1 ax bx c 0的解
△<0 y
y=ax2+bx+c ( a> 0 ) 的图 x1 O 象
O 没有实根
x
ax2+bx+c=0 有两相异实根 (a>0)的根 x1, x2 (x1<x2) ax2+bx+c>0 ( a > 0 ) 的 解 {x|x<x1,或 x>x2} 集 ax2+bx+c<0 ( a > 0 ) 的 解 {x|x1< x <x2 } 集 23:16
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6.2一元二次不等式
本节主要内容：一元二次不等式的解法， 一元二次不等式与相应的二次函数的图象、 方程之间的联系.要求能熟练、准确、迅速 地解一元二次不等式，会用分类讨论的方 法求解含参数的一元二次不等式，能够判 断一元二次不等式恒成立的条件.注意等价 转化的思想、函数与方程的思想、数形结 合的思想以及分类讨论的思想在解决问题 中的应用.
一元二次不等式与相应的二次函数的图象、 方程之间的关系如下
判别式 b2 4ac
二次函数 y ax2 bx c (a 0)的图象
△>0
y
x1 x2
x1
x2
O
x
△=0 y
x1 x2
O
x
方程ax2 bx c 0 (a 0)的根
有x1,2两不等实根 b b2 4ac
2
时
x
a
x
2
a
当 a 2 时，原不等式的解集是 x x 2 ；
a
2
时，原不等式的解集为
x
2 a
x
a ；
0a
2
时，原不等式的解集为
x
a
x
2 a
；
a 2 时，原不等式的解集是 R ；
2
a
0
时，不等式的解集为
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
x3x1,或12x1
例2. (1) 设a>0， 解关于x 的不等式ax2－ (a2+2)x+2a≤0 .
(2) a≠0时，解关于x 的不等式ax2－(a2+ 2)x
+2a≤0.
解：(1) 当a= 2 时， xx 2
当a> 2 时
x
2 a
x
a
当0<a<
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
(2)
3M,且 5M
3a 5 32 a 52 a
0 0或
5a 52
5 a
0
3a 5 a 9
0
a
25或
a 1 a 25
0
(a
5)(a 3
9)
0
(a 1)(a 25) 0
1 a a5 3 ,或 2a59 1a5 3,或 9a2.5
(－∞, －1]∪[3, +∞)
(2) 不等式2x－1>m(x2－1)对满足－2≤m≤2 的所有m都成立，求x的取值范围.
x( 7 1, 31) 22
练习题
1. 不等式
1 x2 1
1 x 1
的解集为（
D
）
A．(1，+∞)
B. [0，+∞)
C. [0, 1) ∪(1,+∞)
D. (－1,0) ∪(1,+∞)
2. 已知f(x)在R上是减函数,则满足f ( 1 ) f (1)
x1
的实数取值范围是（ C ） A. (－∞，1) B. (2，+∞) C. (－∞，1) ∪(2，+∞) D. (1，2)
3. 已知不等式f(x)=ax2－x－c的解集为{x|
－2<x<1}，则函数y=f(－x)的图象为 ( B )
y
y
y
y
-2
1 x -1
2
x
x
O
O
x -2 O 1
-1 O
2
A
B
C
D
4.关于x的不等式 x2(a11)xa10(a0)
a
a
的解集为___x__1__x__a___1a_______.
5. 若a<－1，则不等式 x2 2xa x
x 1
的解集是__x__x___1_,或 ___x____a__．
R
例1 解下列不等式：
（1）－x2+5x－6>0； x 2x3
（2） x 2 0 ;
3x 1
（3）9x2－6x+1>0（4） x2－4x+>0;x x
2,或x
1 3
x
x R, 且x
1 3
x x R
（5）
3x5 x2 2x3
2
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
x
x
2 a
,或x
a
；
a
2
时，原不等式的解集为
x
x
a,或x
2 a
例3. 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α, β)， 且0<α<β，求不等式cx2+bx+a<0的解集.
x
x
1
,或x
1
例4. (1) 若对任意x∈(0, 1)，恒有2x2+(a+1)x －a(a－1)<0，求a的取值范围。
2a
有两相等实根
x1
x2
b 2a
一 ax2 bx c 0
元 二
(a 0)的解集
x x x1,或x x2
x
R
x
b 2a
次
不
等 式
ax 2 bx c 0
的
解
(a 0)的解集
x x1 x x2
法
△<0 y
O
y
无实根
6.若不等式x2－2x+3≤a2－2a－1在R上的解
集是空集， 则a的取值范围是 a1a3.
7. 已知关于x的不等式
ax 5 x2 a
0 的解集为M.
(1)当a=4时，求集合M;
(2)当3∈M且5∈M时，求实数a的取值范
围.
(1) Mxx2,或54x2
本节主要内容：一元二次不等式的解法， 一元二次不等式与相应的二次函数的图象、 方程之间的联系.要求能熟练、准确、迅速 地解一元二次不等式，会用分类讨论的方 法求解含参数的一元二次不等式，能够判 断一元二次不等式恒成立的条件.注意等价 转化的思想、函数与方程的思想、数形结 合的思想以及分类讨论的思想在解决问题 中的应用.
一元二次不等式与相应的二次函数的图象、 方程之间的关系如下
判别式 b2 4ac
二次函数 y ax2 bx c (a 0)的图象
△>0
y
x1 x2
x1
x2
O
x
△=0 y
x1 x2
O
x
方程ax2 bx c 0 (a 0)的根
有x1,2两不等实根 b b2 4ac
2
时
x
a
x
2
a
当 a 2 时，原不等式的解集是 x x 2 ；
a
2
时，原不等式的解集为
x
2 a
x
a ；
0a
2
时，原不等式的解集为
x
a
x
2 a
；
a 2 时，原不等式的解集是 R ；
2
a
0
时，不等式的解集为
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
x3x1,或12x1
例2. (1) 设a>0， 解关于x 的不等式ax2－ (a2+2)x+2a≤0 .
(2) a≠0时，解关于x 的不等式ax2－(a2+ 2)x
+2a≤0.
解：(1) 当a= 2 时， xx 2
当a> 2 时
x
2 a
x
a
当0<a<
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
(2)
3M,且 5M
3a 5 32 a 52 a
0 0或
5a 52
5 a
0
3a 5 a 9
0
a
25或
a 1 a 25
0
(a
5)(a 3
9)
0
(a 1)(a 25) 0
1 a a5 3 ,或 2a59 1a5 3,或 9a2.5
(－∞, －1]∪[3, +∞)
(2) 不等式2x－1>m(x2－1)对满足－2≤m≤2 的所有m都成立，求x的取值范围.
x( 7 1, 31) 22
练习题
1. 不等式
1 x2 1
1 x 1
的解集为（
D
）
A．(1，+∞)
B. [0，+∞)
C. [0, 1) ∪(1,+∞)
D. (－1,0) ∪(1,+∞)
2. 已知f(x)在R上是减函数,则满足f ( 1 ) f (1)
x1
的实数取值范围是（ C ） A. (－∞，1) B. (2，+∞) C. (－∞，1) ∪(2，+∞) D. (1，2)
3. 已知不等式f(x)=ax2－x－c的解集为{x|
－2<x<1}，则函数y=f(－x)的图象为 ( B )
y
y
y
y
-2
1 x -1
2
x
x
O
O
x -2 O 1
-1 O
2
A
B
C
D
4.关于x的不等式 x2(a11)xa10(a0)
a
a
的解集为___x__1__x__a___1a_______.
5. 若a<－1，则不等式 x2 2xa x
x 1
的解集是__x__x___1_,或 ___x____a__．
R
例1 解下列不等式：
（1）－x2+5x－6>0； x 2x3
（2） x 2 0 ;
3x 1
（3）9x2－6x+1>0（4） x2－4x+>0;x x
2,或x
1 3
x
x R, 且x
1 3
x x R
（5）
3x5 x2 2x3
2
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
x
x
2 a
,或x
a
；
a
2
时，原不等式的解集为
x
x
a,或x
2 a
例3. 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α, β)， 且0<α<β，求不等式cx2+bx+a<0的解集.
x
x
1
,或x
1
例4. (1) 若对任意x∈(0, 1)，恒有2x2+(a+1)x －a(a－1)<0，求a的取值范围。
2a
有两相等实根
x1
x2
b 2a
一 ax2 bx c 0
元 二
(a 0)的解集
x x x1,或x x2
x
R
x
b 2a
次
不
等 式
ax 2 bx c 0
的
解
(a 0)的解集
x x1 x x2
法
△<0 y
O
y
无实根
6.若不等式x2－2x+3≤a2－2a－1在R上的解
集是空集， 则a的取值范围是 a1a3.
7. 已知关于x的不等式
ax 5 x2 a
0 的解集为M.
(1)当a=4时，求集合M;
(2)当3∈M且5∈M时，求实数a的取值范
围.
(1) Mxx2,或54x2