函数曲线的渐近线

函数曲线的渐近线
淮南职业技术学院
问题：距原点无穷远的函数图像形状？
想象无穷远的 函数图像形状 … ？ 直线的图像最 容易想象喽！
1 y x
M
M
1
2
曲线渐近线的定义
定义 当曲线 y=f (x) 上的一动点 P 沿着曲线趋向于无穷远点时，如 果 P 点具某定直线 L 的距离趋向于零，则称直线 L 称为曲线y=f (x) 的一条渐近线。
M L：y= a x+ b
当L是一条水平线时，称 L 为曲线 C 的水平渐近线； 当 L 是一条铅垂线时，称 L 为曲线 C 的垂直渐近线； 当 L 是一条斜线时，称 L 为曲线 C 的斜渐近线； 1
1.水平渐近线
y b
M -∞ y M
x
当x→+∞，且y →b时，
y=b是曲线y=f (x)的水平渐近线。
所以y=0是曲线的水平渐近线。 当x→1时，
x y 2 x 1 x y 2 x 1
所以 x=1 是曲线的垂直渐近线。 当x→-1时，
所以 x= -1 是曲线的垂直渐近线。 此时曲线有水平渐近线，所以没有斜渐近线。
例题 2 ！
例2 求曲线
1 x3 y 1 x2
பைடு நூலகம்x
的渐近线。
这个数列后面的数 都集中0点处
a lim
x
f ( x) 存在，且 x
b lim ( f ( x ) ax )
x
存在
则 直线 y=ax+b 是曲线 y=f(x) 的垂直渐近线
例题1
!
例1 求曲线
解：
x 的渐近线。 2 x 1 x 1 1 0 当x→∞时， y 2 x 1 x 1 x2 1 y
x
y
M
a a
x
–∞ 1 2
3.斜渐近线
f ( x) 如果 a lim x x
存在，且 存在 则 直线 y=ax+b 是曲线 y=f(x) 的垂直渐近线 或 如果
y=f (x)
M
L： y= ax+b
N
b lim ( f ( x ) ax )
x
M
x
NM=f (x)-(ax+b) 注：曲线有斜渐近线 =( f(x)-ax ) -b ，所以没有水平渐近 线。
3 解 因为 a lim y lim 1 x 1 2
x
x
(1 x ) x
1 x3 1 x 1 b lim ( y ax ) lim ( x ) lim lim 0 x x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x
存在 所以曲线有斜渐近线 y=x 注：1）曲线在任一点处的极限都存在，不趋向于∞， 所以没有垂直渐近线。 2）在某一方向，如果曲线有斜渐近线，所以没有 水平渐近线。
特别提示！
1.曲线的渐近线是用于表述无界曲线在无穷远 点处附近的曲线的近似直线情况。 2.曲线如果有斜渐近线，就没有水平渐近线。如 果水平渐近线，就没有有斜渐近线。 3.观察曲线的垂直渐近线，通常观察函数分母为 零的点，以及没有定义的点。
当x→–∞，且y →b时， y=b是曲线y=f (x)的水平渐近线。 注：在某一方向，如果曲线有水平渐近线，所以没有斜渐近 线。 1 2
x
+∞
2.铅垂渐近线
+∞
当x →a+，且y → ±∞ 时， x=a 是曲线 y=f (x) 的铅垂渐近线。 或 当x→a﹣，且y → ±∞时， x=a 是曲线 y=f (x) 的铅垂渐近线。