离散数学第三版PPT
离散数学关系-PPT
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
方世昌离散数学第三版教材课件第3章二元关系（可编辑）
方世昌离散数学第三版教材课件第3章二元关系（可编辑）方世昌离散数学第三版教材课件第3章二元关系31 基本概念32 关系的合成33 关系上的闭包运算34 次序关系35 等价关系和划分 31 基本概念311 关系关系的数学概念是建立在日常生活中关系的概念之上的让我们先看两个例子例31-1 设 A abcd 是某乒乓球队的男队员集合 B efg 是女队员集合如果A和B元素之间有混双配对关系的是a 和gd和e我们可表达为 R 〈ag〉〈de〉这里R 表示具有混双配对关系的序偶集合所有可能具有混双配对关系的序偶集合是A×B 〈xy〉x∈A∧y∈B 〈ae〉〈af〉〈ag〉〈be〉〈bf〉〈bg〉〈ce〉〈cf〉〈cg〉〈de〉〈df〉〈dg〉例31-2 设学生集合A1 abcd 选修课集合A2 日语法语成绩等级集合A3 甲乙丙如果四人的选修内容及成绩如下 a 日乙 b 法甲c 日丙 d 法乙我们可表达为S 〈a 日乙〉〈b法甲〉〈c日丙〉〈d法乙〉这里S表示学生和选修课及成绩间的关系而可能出现的全部情况为A1×A2×A3 〈xyz〉x∈A1∧y∈A2∧z∈A3 〈a日甲〉〈a 日乙〉〈a日丙〉〈a法甲〉〈a 法乙〉〈a法丙〉〈b日甲〉〈b日乙〉〈b日丙〉〈b 法甲〉〈b法乙〉〈b法丙〉〈c日甲〉〈c日乙〉〈c日丙〉〈c法甲〉〈c法乙〉〈d法丙〉定〈c法丙〉〈d日甲〉〈d日乙〉〈d日丙〉〈d法甲〉〈d法乙〉义31―1 1 A×B的子集叫做A到B的一个二元关系2 A1×A2××An n≥1 的子集叫做A1×A2××An上的一个n元关系3 从定义可看出关系是一个集合所有定义集合的方法都可用来定义关系例31-1和例31-2是列举法的例子一个谓词Px1x2xn 可以定义一个n元关系R R 〈x1x2xn〉P x1x2xn 例如实数R上的二元关系＞可定义如下＞〈xy〉x∈R∧y∈R∧x＞y 反之一个n元关系也可定义一个谓词当n 1时R 〈x〉P x 称为一元关系它是一重组集合表示论述域上具有性质P的元素集合其意义与R xP x 相同仅记法不同而已例如设P x 表示x是质数论述域是N则质数集合可表示为〈x〉｜P x 或x｜P x 关系也可归纳地定义自然数上的小于关系可定义如下1 基础〈01〉∈＜2 归纳如果〈xy〉∈＜那么i 〈xy1〉∈＜ ii 〈x1y1〉∈＜ 3 极小性对一切xy∈Nx＜y当且仅当〈xy〉是由有限次应用条款 1 和 2 构成定义31―2 设R是的子集如果R 则称R为空关系如果则称R为全域关系现在定义关系相等的概念在关系相等的概念中不仅需要n重组集合相等还需其叉积扩集也相同定义31―3设R1 是上的n元关系R2是上的m元关系那么R1 R2当且仅当n m且对一切i1≤i≤nAi Bi并且R1和R2是相等的有序n重组集合 312 二元关系最重要的关系是二元关系本章主要讨论二元关系今后术语关系都指二元关系若非二元关系将用三元或n元一类术语指出二元关系有自己专用的记法和若干新术语设 A x1x2x7 B y1y2y6 R〈x3y1〉〈x3y2〉〈x4y4〉〈x6y2〉A到B的二元关系R可如图31―1那样形象地表示〈x3y1〉∈R也可写成x3Ry1称为中缀记法读做x3和y1有关系R中缀记法常用来表示诸如＜＞等关系例如〈35〉∈＜通常写作3＜5 A叫做关系R的前域B叫做关系R的陪域 D R x｜y 〈xy〉∈R 叫做关系R 的定义域R R y｜x 〈xy〉∈R 叫做关系R的值域关系是序偶的集合对它可进行集合运算运算结果定义一个新关系设R和S是给定集合上的两个二元关系则R∪SR∩SR-S 等可分别定义如下x R∪S y xRy∨xSy x R∩S y xRy∧xSy x R-S y xRy∧xy x y xRy 例31-3平面上的几何图形是平面R2的子集也是一种关系设参看图31―2 R1 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧x2y2≤9 R2 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧1≤x≤3 ∧0≤y≤3 R3 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧x2y2≥4 则R1∪R2 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧ x2y2 ≤9∨ 1≤x≤3∧0≤y≤3 R1∩R3〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧ x2y2 ≤9∧x2y2≥4 R1-R3 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧ x2y2≤9∧ L x2y2≥4 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧ x2y2≥4 313 关系矩阵和关系图表达有限集合到有限集合的二元关系时矩阵是一有力工具定义31―4 给定集合A a1a2am 和B b1b2bn 及一个A 到B的二元关系R 使例31-4 设A a1a2 B b1b2b3 R 〈a1b1〉〈a2b1〉〈a1b3〉〈a2b2〉则其关系矩阵为例31-5 设A 1234 A上的二元关系R 〈xy〉｜x＞y 试求出关系矩阵解R 〈41〉〈42〉〈43〉〈31〉〈32〉〈21〉例31-6 设 A 12345 R 〈12〉〈22〉〈32〉〈34〉〈43〉其图示如图31―3所示图中结点5叫做孤立点利用关系R的图示也可写出关系R 314 关系的特性在研究各种二元关系中关系的某些特性扮演着重要角色我们将定义这些特性并给出它的图示和矩阵的特点定义31―5 设R是A上的二元关系 1如果对A中每一xxRx那么R是自反的即 A上的关系R是自反的x x∈A→xRx A 123 R1 〈11〉〈22〉〈33〉〈12〉是自反的其关系图和关系矩阵的特点如图31―4所示 2 如果对A中每一xxRx那么R是反自反的即 A上的关系R是反自反的 x x∈A→xRx 例如 A 123 R2 〈21〉〈13〉〈32〉是反自反的其关系图和关系矩阵的特点如图31―5所示有些关系既不是自反的又不是反自反的如图31―6 例如R3 〈11〉〈12〉〈32〉〈23〉〈33〉3 如果对每一xy∈AxRy蕴含着yRx那么R是对称的即A上的关系R 是对称的x y x∈A∧y∈A∧xRy→yRx 例如A 123 R4 〈12〉〈21〉〈13〉〈31〉〈11〉是对称的其关系图和关系矩阵的特点如图31―7所示 4 如果对每一xy∈AxRyyRx蕴含着x y那么R是反对称的即A上的关系R是反对称的x y x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x y 例如A 123 R5 〈12〉〈23〉是反对称的其关系图和关系矩阵的特点如图31―8所示 5 如果对每一xyz∈AxRyyRz蕴含着xRz那么R是传递的即A上的关系R是传递的x y z x∈A∧y∈A∧z ∈A∧xRy∧yRz→xRz 例如A 1234R5 〈41〉〈43〉〈42〉〈32〉〈31〉〈21〉是传递的其关系图和关系矩阵如图31―10所示例31-7 1 任何集合上的相等关系是自反的对称的反对称的和传递的但不是反自反的 2 整数集合I上关系≤是自反的反对称的可传递的但不是反自反的和对称的关系＜是反自反的反对称的可传递的但不是自反的和对称的 3 设 ab 试考察上的下列关系 i 关系与有同样长度是自反的对称的可传递的但不是反自反的和反对称的 ii xRy当且仅当x是y的真词头这里R是反自反的反对称的可传递的但不是自反的和对称的 iii xRy当且仅当x的某真词头是y的一个真词尾这里R既不是自反的又不是反自反的因为aaRaa但abRab既不是对称的也不是反对称的并且不是传递的 4 非空集合上的空关系是反自反的对称的反对称的和传递的但不是自反的空集合上的空关系则是自反的反自反的对称的反对称的和可传递的 5 基数大于1的集合上的全域关系是自反的对称的和传递的但不是反自反的和反对称的例如图31―11所示的关系 321 关系的合成前边已经指出关系是序偶的集合因此可以进行集合运算本节介绍一种对关系来说更为重要的运算合成运算假设R1是A到B的关系R2是B到C的关系参看图32-1合成关系R1R2是一个A到C的关系如果在关系图上从a∈A到c∈C有一长度路径中弧的条数为2的路径其第一条弧属于R1其第二条弧属于R2那么〈ac〉∈R1R2合成关系R1R2就是由〈ac〉这样的序偶组成的集合其第一条弧属于R1其第二条弧属于R2那么〈ac〉∈R1R2合成关系R1R2就是由〈ac〉这样的序偶组成的集合定义32―1 设R1是从A到B的关系R2是从B到C的关系从A到C的合成关系记为R1R2定义为R1R2 〈ac〉｜a∈A∧c∈C∧b〔b∈B∧〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2〕例32-11 如果R1是关系是的兄弟R2是关系是的父亲那么R1R2是关系是的叔伯R2R2是关系是的祖父 2 给定集合A 1234 B 234 C 123 设R是A到B的关系S是B到C的关系R 〈xy〉｜xy 6 〈24〉〈33〉〈42〉S 〈yz〉｜y-z 1 〈21〉〈32〉〈43〉则R·S 〈23〉〈32〉〈41〉如图32―2所示 3 设A 12345 R和S都是A上二元关系如果 R 〈12〉〈34〉〈22〉 S 〈42〉〈25〉〈31〉〈13〉则R·S 〈15〉〈32〉〈25〉S·R 〈42〉〈32〉〈14〉R·S ·R 〈32〉R· S·R 〈32〉R·R 〈12〉〈22〉S·S〈45〉〈33〉〈11〉 4 设R是A到B的二元关系IAIB分别是A 和B上的相等关系则IA·R R·IB R 5 如果关系R的值域与关系S的定义域的交集是空集则合成关系R·S是空关系下边介绍合成关系的性质定理32―1 设R1是从A到B的关系R2 和R3是从B到C的关系R4是从C到D的关系那么1 R1 R2∪R3 R1R2∪R1R3 2 R1 R2∩R3 R1R2∩R1R3 3 R2∪R3 R4 R2R4∪R3R4 4 R2∩R3 R4 R2R4∩R3R41 2 3 部分的证明留作练习我们仅证明 2 部分证先证明公式因为〈ac〉∈R1 R2∩R3 b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2∩R3 〕b 〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2∧〈bc〉∈R3 〕b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2 ∧〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R3 〕b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2〕∧b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R3〕〈ac〉∈R1R2∧〈ac〉∈R1R3 〈ac〉∈R1R2∩R1R3 即〈ac〉∈R1 R2∩R3 〈ac〉∈R1R2∩R1R3 所以R1 R2∩R3 R1R2∩R1R3 再证包含可能是真包含举反例证明如果 A a B b1b2b3 C c A到B的关系R1〈ab1〉〈ab2〉 B到C的关系R2 〈b1c〉〈b3c〉 B到C的关系R3〈b2c〉〈b3c〉那么R1 R2∩R3 R1R2∩R1R3 〈ac〉此时R1 R2∩R3 ≠R1R2∩R1R3证毕定理32―2 设R1R2和R3分别是从A到BB到C和C到D的关系那么 R1R2 R3 R1 R2R3 证先证 R1R2R3 R1 R2R3 设〈ad〉∈ R1R2 R3那么对某c∈C〈ac〉∈R1R2和〈cd〉∈R3因为〈ac〉∈R1R2存在b∈B使〈ab〉∈R1和〈bc〉∈R2因为〈bc〉∈R2和〈cd〉∈R3得〈bd〉∈R2R3所以〈ad〉∈R1 R2R3 这样就证明了 R1R2 R3 R1 R2R3 R1 R2R3 R1R2 R3的证明是类似的留给读者自证上述证明也可用等价序列表达 322 关系R的幂当R是A上的一个关系时R可与自身合成任意次而形成A上的一个新关系在这种情况下RR常表示为R2RRR表示为R3等等我们能归纳地定义这一符号如下定义32―2设R是集合A上的二元关系n∈N那么R的n次幂记为Rn定义如下 1R0是A上的相等关系R0 〈xx〉｜x∈A 2 Rn1 Rn·R 定理32―3 设R是A上的二元关系并设m和n是N的元素那么 1Rm·Rn Rmn 2 Rm n Rmn 可用归纳法证明请读者自证定理32―4 设｜A｜nR是集合A上的一个关系那么存在i和j使Ri Rj而0≤i＜j≤证A上的每一二元关系是A×A的子集因为｜A×A｜ n2｜ρ A×A ｜因此A上有个不同关系所以R的不同的幂不会超过个但序列R0R1 有项因此R的这些幂中至少有两个是相等的证毕定理32―5 设R是集合A上的一个二元关系若存在i和ji＜j 使Ri Rj记d j-i那么 1 对所有k≥0Rik Rjk 2 对所有km≥0Rimdk Rik 3 记S R0R1R2Rj-1 那么R的每一次幂是S 的元素即对n∈NRn∈S 证 1 和 2 部分用归纳法证明留作练习3 对于 c 设n∈N如果n＜j那么根据S的定义Rn∈S假设n≥j那么我们能将n表示为imdk这里k＜d根据 b 部分得Rn Rik因为ik＜j这证明了Rn∈S定理中的ij在实用时宜取最小的非负整数以保证S中无重复元素例32-2 设A abcd R 〈ab〉〈cb〉〈bc〉〈cd〉其关系图如图32―3所示则R0 〈aa〉〈bb〉〈cc〉〈dd〉 R2 〈ac〉〈bb〉〈bd〉〈cc〉R3〈ab〉〈ad〉〈bc〉〈cb〉〈cd〉R4 〈ac〉〈bb〉〈bd〉〈cc〉它们的关系图如图32―4所示由于R4 R2根据定理32―5 c 对所有n∈NRn∈ R0R1R2R3 可见不必再算了事实上易证R5 R3R6 R4 R2用归纳法可得R2n1 R3和R2n R2这里n≥1 323 合成关系的矩阵表达定理32―6 设X x1x2xm Y y1y2yn Z z1z2zp R是X到Y的关系MR 〔aij〕是m×n矩阵S是Y到Z的关系MS 〔bij〕是n×p矩阵则MR·S 〔cij〕MR·MS这里证因为如果存在某k使aik和bki都等于1则cij 1但aik和bkj都等于1意味着xiRyk和ykSzj所以xi R·S zj可见如此求得的MR·S确实表达了R·S的关系因此上述等式是正确的如果不仅存在一个k使aik和bki都是1此时cij仍为1只是从xi到zj不止一条长度为2的路径但等式仍然正确上段的论证已隐含了不止一个k的情况本定理说明合成关系矩阵可用关系矩阵布尔矩阵的乘法表达例32-3设X 12 Y abc Z αβ R 〈1a〉〈1b〉〈2c〉 S 〈aβ〉〈bβ〉则定理32―7 关系矩阵的乘法是可结合的证利用关系合成的可结合性证明MR·MS ·MT MR·S·MT M R·S ·T MR· S·T MR·MS·T MR· MS·MT 不仅合成关系可用关系矩阵表达而且关系的集合运算也可用关系矩阵表达设R和S是X到Y上的二元关系MR 〔aij〕MS 〔bij〕cij是运算后所得新关系之关系矩阵的元素则MR∩S MR∧MS cij aij∧bij MR∪S MR∨MS cij aij∨bij cij aij MR-S MR∧ cij aij∧ bij 331 逆关系在讨论闭包运算时要用到逆关系的概念因此我们先介绍逆关系定义33―1设R是从A到B的二元关系关系R的逆或叫R的逆关系记为是一从B到A的二元关系定义如下例33-11 I上的关系2 集合族上的关系的逆是关系3 空关系的逆是空关系4 B×A即A×B的全域关系的逆等于B×A的全域关系定理33―1设R是从A到B的关系而S是从B到C 的关系则定理33―2 设RR1和R2都是从A到B的二元关系那么下列各式成立 332 关系的闭包运算关系的闭包运算是关系上的一元运算它把给出的关系R扩充成一新关系R′使R′具有一定的性质且所进行的扩充又是最节约的定义33―2设R是A上的二元关系R的自反对称传递闭包是关系R′使i R′是自反的对称的传递的ii R′R iii 对任何自反的对称的传递的关系R〃如果R〃R那么R〃R′ R的自反对称和传递闭包分别记为r R s R和t R 由定义可以看出R的自反对称传递闭包是含有R并且具有自反对称传递性质的最小关系如果R已经是自反的对称的传递的那么具有该性质并含有R的最小关系就是R自身下一定理说明这一点定理33―4设R是集合A上的二元关系那么 a R是自反的当且仅当r R R b R是对称的当且仅当s R R c R是传递的当且仅当t R R 证 a 如果R是自反的那么R具有定义33―2对R′所要求的性质因此r R R反之如果r R R那么根据定义33―2的性质 i R是自反的b 和c 的证明是类似的略构造R的自反对称和传递闭包的方法就是给R补充必要的序偶使它具有所希望的特性下面我们用关系图来说明如何实现这一点定理33―5 设R是集合A上的二元关系那么r R R ∪E 这里E是A上相等关系在本节中均如此证设R′ R∪E显然R′是自反的且R′R余下只需证明最小性现假设R〃是A上的自反关系且R〃R因R〃是自反的所以R〃E又R〃R所以R〃R∪E R′这样定义33―2都满足所以R′ r R 证毕设G是集合A上二元关系R的关系图我们把G的所有弧都画成有来有往即如果有从a到b的弧那么也有从b到a的弧就得到了R的对称闭包的有向图下一定理体现了这一想法定理33―7 设R 是集合A上的二元关系那么例33-2 a 整数集合I 上的关系＜的自反闭包是≤对称闭包是关系≠传递闭包是关系＜自身b 整数集合I上的关系≤的自反闭包是自身对称闭包是全域关系传递闭包是自身 c E的自反闭包对称闭包和传递闭包都是E d ≠的自反闭包是全域关系对称闭包是≠≠的传递闭包是全域关系e 空关系的自反闭包是相等关系对称闭包和传递闭包是自身 f 设R是I上的关系xRy当且仅当y x1那么t R 是关系＜定理33―8设R是集合A上的二元关系这里A有n个元素那么证设〈xy〉∈t R 于是必存在最小的正整数k使〈xy〉∈Rk现证明k≤n若不然存在A的元素序列x a0a1a2ak-1ak y使xRa1a1Ra2ak-1Ry因k ＞na0a1ak中必有相同者不妨设ai aj0≤i＜j≤k于是xRa1a1Ra2ai-1RaiajRaj1ak-1Ry 成立即〈xy〉∈Rs这里s k- j-i但这与k是最小的假设矛盾于是k≤n又〈xy〉是任意的故定理得证例33-3 设A abcd R如图33―1 a 所示则t R R∪R2∪R3∪R4如图33―1 b 所示本例即是32-2 定理33―9 1 如果R是自反的那么s R 和t R 都是自反的 2 如果R是对称的那么r R 和t R 都是对称的 3 如果R 是传递的那么r R 是传递的定理33―10 设R是集合A上的二元关系那么 1 rs R sr R 2 rt R tr R 3 ts R st R 2 注意到ER RE R 和对一切n∈NEn E可得 34 次序关系 341 偏序集合定义34―1 如果集合A上的二元关系R是自反的反对称的和传递的那么称R为A上的偏序称序偶〈AR〉为偏序集合如果R是偏序〈AR〉常记为〈A ≤〉≤是偏序符号由于≤难以书写通常写作≤读做小于或等于因为小于或等于也是一种偏序故不会产生混乱R是偏序时aRb就记成a≤b 如果R是集合A上的偏序则R 也是A上的偏序如果用≤表示R 可用≥表示R〈A≤〉和〈A ≥〉都是偏序集合并互为对偶例34-1 1 〈I≤〉是偏序集合这里≤表示整数中的小于或等于关系2 〈ρ A 〉是偏序集合这里是集合间的包含关系 3 A 2468 D代表整除关系M代表整倍数关系则 D 〈22〉〈44〉〈66〉〈88〉〈24〉〈26〉〈28〉〈48〉M 〈22〉〈44〉〈66〉〈88〉〈42〉〈62〉〈82〉〈84〉〈AD〉〈AM〉都是偏序集合且互为对偶例2 a P 1234 〈P≤〉的哈斯图为图34―2 b A 236122436 〈A整除〉的哈斯图为图34―3 c A 1212 〈A整除〉的哈斯图为图34―4 定义34―2 设〈A≤〉是一偏序集合B是A的子集 a 元素b∈B是B的最大元素如果对每一元素x∈Bx≤b b 元素b∈B是B的最小元素如果对每一元素x∈Bb≤x 例3考虑在偏序整除下整数1到6的集合其哈斯图为图34―5 a 如果B 1236 那么1是B的最小元素6是B的最大元素 b 如果B 23 因为2和3互相不能整除那么B没有最小元素和最大元素c 如果B 4 那么4是B的最大元素也是B的最小元素定理34―1 设〈A≤〉是一偏序集合且B A如果B有最大最小元素那么它是唯一的证假设a和b 都是B的最大元素那么a≤b和b≤a从≤的反对称性得到a b当a和b都是B 的最小元素时证明是类似的定义34―3设〈A≤〉是一偏序集合B是A的子集 a 如果b∈B且B中不存在元素x使b≠x且b≤x那么元素b∈B叫做B的极大元素b 如果b∈B且B中不存在元素x使b≠x且x≤b那么元素b∈B 叫做B的极小元素定义34―4设〈A≤〉是一偏序集合B是A的子集a 如果对每一b∈Bb≤a那么元素a∈A叫做B的上界如果对每一b∈Ba≤b那么元素a∈A叫做B的下界 b 如果a是一上界并且对每一B的上界a′有a≤a′那么元素a∈A叫做B的最小上界记为lub如果a是一下界并且对每一B的下界a′有a′≤a那么元素a∈A叫做B的最大下界记为glb 例34-4 a 考虑偏序集合〈〈11〉〈10〉〈01〉〈00〉≤〉这里≤按〈 ab〉≤〈cd〉a≤c∧b≤d 规定其哈斯图如图34―6 如果B 〈10〉那么〈10〉是B的最小和最大元素也是B的极大和极小元素B的上界是〈10〉和〈11〉〈10〉是最小上界B的下界是〈00〉和〈10〉〈10〉是最大下界 b 考虑偏序集合〈I≤〉设B 2i｜i∈N那么B既没有最大元素和极大元素也没有上界和最小上界B的最小元素和极小元素是0B的下界集合是 i｜i∈I∧i≤0 0是最大下界 c 考虑在偏序集合〈256101530 整除〉其哈斯图如图34―7设B是全集合256101530 那么2和5都是B的极小元素但B没有最小元素集合B没有下界所以没有最大下界元素30是B的最大元素极大元素上界最小上界定理34―2 如果〈A≤〉是非空有限的偏序集合则A的极小大元素常存在最大下界和最小上界也可能存在或不存在但如果它们存在则是唯一的定理34―3 设〈A≤〉是偏序集合且B A 如果B的最小上界最大下界存在那么是唯一的下述定理描述了存在于诸特异元素之间的某些关系定理34―4 设〈A≤〉是偏序集合B是A的子集 a 如果b是B的最大元素那么b是B的极大元素 b 如果b是B的最大元素那么b是B的lub c 如果b是B的一个上界且b∈B那么b是B的最大元素证明可由最大元素极大元素和lub的定义直接得出故略去另外读者不难给出表达最小元素极小元素和glb间关系的定理 342 拟序集合定义34―5如果集合A上的二元关系R是传递的和反自反的那么R叫做A上的拟序〈AR〉称为拟序集合常借用符号＜表示拟序拟序是反对称的虽然定义中没有明确指出但容易证明这一点因为如果xRy和yRx由R的传递性得xRx但这与R的反自反性矛盾所以xRy∧yRx常假于是xRy∧yRx→x y常真即R是反对称的例34-5 a 实数集合中的＜是拟序关系 b 集合族中的真包含是拟序关系拟序集合和偏序集合是紧密相关的唯一区别是相等关系E下述定理将说明这一点定理34―5在集合A上 a 如果R是一拟序那么rR R∪E是偏序 b 如果R是一偏序那么R-E是一拟序 343线序集合和良序集合如果≤是一偏序或a≤b或b≤a我们说a和b 是可比较的偏序集合中的元素不一定都可比较所以叫偏序下面介绍的都是可比较的情况定义34―6在偏序集合〈A≤〉中如果每一ab∈A或者a ≤b或者b≤a那么≤叫做A上的线序或全序这时的序偶〈A≤〉叫做线序集合或链例34-6 a P a ab abc 〈P〉是线序集合其哈斯图如图34―8所示 b 〈I≤〉是线序集合其哈斯图不完全如图34―9所示 c 设S是区间套的集合〔0a ｜a∈R 则〈S〉是线序集合 d 〈 1236 整除〉不是线序集合如果A是多于一个元素的集合那么〈ρ A 〉不是线序集合定义34―7如果A上的二元关系R是一线序且A的每一非空子集都有一最小元素那么R叫做A上的良序序偶〈AR〉叫做良序集合定理34―6〈N≤〉是良序集合证我们必须证明N的每一非空子集S在关系≤之下都有一最小元素因为S非空所以在S中可以取一个数n显然S中所有不大于n的数形成非空集T S如果T有最小数那么这最小数就是S中的最小数但从0到n只有n1个自然数于是T中所含的数最多是n1个所以T有最小数因此定理成立例34-8 a 每一有限线序集合是良序的 b 线序集合〈I≤〉不是良序集合因为I的某些子集诸如I自身不包含最小元素 c 关系≤是实数R的线序但不是良序例如子集A 01〕无最小元素如果A中的a是最小元素那么也在A中而≤a且不相等这与假设a是线序关系≤下A的最小元素矛盾2 应用N上的良序定义出Nn上的良序例如n 2时N2上的次序关系可如下定义〈ab〉〈cd〉a＜c∨ a c∧b d 〈N2〉是良序集合关系严格小于可如下定义〈ab〉＜〈cd〉〈ab〉≤〈cd〉∧〈ab〉≠〈cd〉类似地应用I上的线序能定义出线序集合〈In≤〉 3 应用字母表∑上的线序可定义出∑上的通常叫词典序的线序定义34―8 设∑是一有限字母表指定了字母表序线序如果xy∈∑ a x是y的词头或 b x zu和y zv这里z∈∑是x和y的最长公共词头且在字母表序中u的第一个字符前于v的第一个字符那么x≤y≤叫做词典序4 由于〈N〉和有限线序集合都是良序集合可应用它们定义出∑上的一个良序通常叫标准序定义34―9设∑是一有限字母表指定了字母表序‖x‖表示x∈∑的长度如果xy∈∑ a ‖x‖＜‖y‖或b ‖x‖‖y‖且在∑的词典序中x前于y那么x≤y ≤叫做标准序不论在词典序和标准序下∑的每一元素都有直接后继者设∑ abc 且a≤b≤cx∈∑在标准序下xa和xb的直接后继者分别是xb和xc xc的直接后继者是ya这里y是x的直接后继者在词典序下x的直接后继者是xa 在标准序下 xb和xc的直接前趋分别是xa和xb xa的直接前趋是yc这里y是x的直接前趋在词典序下 xa的直接前趋是x非a结尾的串都无直接前趋例如babaab但有无限个前趋345 数学归纳法的推广前章我们把数学归纳法第一第二原理看作是自然数域上的一个推理规则本小节我们把它推广到一般的良序集合对任一个自然数n我们先取0如果n≠0取0的后继者1如果n≠1再取1的后继者2如此进行下去最终会得出n 给定一个良序集合如果对它的任一元素x我们先取该集合的最小元素m0如果x≠m0取m0的后继者m1如果x≠m1再取m1的后继者m2如此以往最终会得出x那么就称这样的良序集合是像自然数的例 8 1 设∑ ab 良序集合〈∑标准序〉是像自然数的因为定长的串的个数有限给定任一个串x在x之前的串的个数有限所以从∧开始反复取后继者终可得出x 2 良序集合〈N×N≤〉不像自然数这里≤按上一小节规定因为有许多元素没有直接前趋例如〈50〉就是这样因而有无限个元素前于〈50〉所以从〈00〉开始反复地取后继者不可能取得〈50〉像自然数的良序集合可以应用数学归纳法第一原理因为第一原理是建立在后继运算上而这种良序集合的每一元素都可通过重复地取后继者得到设m0是该良序集合〈S≤〉的最小元素S x 是元素x的后继者则推理规则如下对不像自然数的良序集合不能应用数学归纳法第一原理因为这种良序集合的有些元素不能由后继运算得到但对它可应用数学归纳法第二原理第二原理是建立在良序集合上的适用于一切良序集合设〈S≤〉是良序集合＜表示≤-E 即x＜y表示x≤y且x≠y 则推理规则如下下面证明良序集合上这个推理规则是有效的假设我们能证明前提例34-10〈Q≤〉是线序集合现说明在此线序集合中第二原理不是有效推理规则设谓词P x 表示x小于或等于5 i 当x≤5时 y〔y＜x→P y 〕是真P x 也真所以是真综合 i 和 ii 得在论述域Q上 x 〔 y y＜x→P y →P x 〕是真但结论x P x 是假这说明第二原理不能应用于线序集合〈Q≤〉 35 等价关系和划分 351 等价关系二元关系的另一重要类型是等价关系其定义如下定义35―1 如果集合A上的二元关系R是自反的对称的和传递的那么称R是等价关系设R是A上的等价关系abc是A的任意元素如果aRb 即〈ab〉∈R 通常我们记作a～b读做a等价于b 定义35―2 设k是一正整数而ab∈I如果对某整数ma-b m·k那么a 和b是模k等价写成a≡b modk 整数k叫做等价的模数定理35―1模k等价是任何集合A I上的等价关系证如果A 例35-1 c 已指出它是等价关系如果A≠则 i 自反的因为对任一aa-a 0·k得出a≡a modk ii 对称的因为a≡b mod k 时存在某m∈I使a-b m·k于是b-a-m·k 因此b≡a mod k iii 传递的设a≡b mod k 和b≡c mod k 那么存在m1m2∈I 使a-b m1k和b-c m2·k 将两等式两边相加得a-c m1m2 ·k所以a≡c mod k 例1 a 同学集合A abcdefgA中的关系R是住在同一房间这是等价关系因为 i 任一个人和自己同住一间具有自反性ii 若甲和乙同住一间则乙和甲也同住一间具有对称性iii 若甲和乙同住一间乙和丙同住一间则甲和丙也同住一间具有传递性现假设a 和b同住一间def同住一间c住一间则 R 〈aa〉〈ab〉〈ba〉〈bb〉〈cc〉〈dd〉〈ee〉〈ff〉〈de〉〈ed〉〈ef〉〈fe〉〈df〉〈fd〉其有向图如图35―1所示 b 数中的相等关系集合中的相等关系命题演算中的关系等都是等价关系 c 空集合中的二元关系R是等价关系因为i x x∈→xRx ii x y〔x∈∧y∈∧xRy→yRx〕iii x y z〔x∈∧y∈∧z∈∧xRy∧yRz→xRz〕都无义地真所以R是等价关系集合A上的全域关系R A×A是等价关系模数等价是整数域或其子集上的等价关系并且是等价关系中极为重要的一类定理 35-1 模k 等价是任何集合A I上的等价关系证如果A 例35-1 3 已指出它是等价关系如果A≠则 i 自反的因为对任一aa-a 0·k得出a≡a mod k ii 对称的因为a≡b modk 时存在某m∈I使a-b m·k于是b-a -m·k因此b≡a modk iii 传递的设a≡b modk 和b≡c modk 那么存在m1m2∈I 使a-b m1k和b-c m2·k将两等式两边相加得a-c m1m2 ·k所以a≡c modk 例35-2 a 若R是I上模4等价关系则〔0〕4 -8-4048 〔1〕4 -7-3159 〔2〕4 -6-22610 〔3〕4 -5-13711 b 若R是I上模2等价关系则〔0〕2 -4-2024 〔1〕2 -3-1135 每一集合中的数相互等价 c 时钟是按模12方式记数的设备13点钟和1点钟有相同的记数定义35―3 设R是集合A上等价关系对每一a∈Aa关于R 的等价类是集合x｜xRa 记为〔a〕R简记为〔a〕称a为等价类〔a〕的表示元素如果等价类个数有限则R的不同等价类的个数叫做R的秩否则秩是无限的对每一a∈A等价类〔a〕R非空因为a∈〔a〕R 例35-3 1 如图35―2设A abcdef R 〈aa〉〈bb〉〈cc〉〈ab〉〈ba〉〈ac〉〈ca〉〈bc〉〈cb〉〈dd〉〈ee〉〈de〉〈ed〉〈ff〉则等价关系R的等价类如下〔a〕〔b〕〔c〕 abc 〔d〕〔e〕 de 〔f〕 f等价关系R的秩是3 2 I上模4等价的等价类是〔0〕4〔1〕4〔2〕4〔3〕4 参看例2 a I上模2等价的等价类是〔0〕2 〔1〕2 参看例2 b3 集合A上相等关系的秩等于A的元素个数定理35―2 设R是非空集合A上的等价关系aRb 当且仅当〔a〕〔b〕证充分性因为a∈〔a〕〔b〕即a∈〔b〕所以aRb 定理35―3设R是集合A上的等价关系则对所有ab∈A或者〔a〕〔b〕或者〔a〕∩〔b〕。
离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)PPT课件
主讲教师
13.11.2020
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第三章 集合的基本概念和运算
§3.1 集合的基本概念 §3.2 集合的基本运算 §3.3 集合中元素的计数
13.11.2020
离散数学
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集合论 集合论是研究集合一般性质的数学分支,它的创 始人康托尔(G.Cantor ,1845－1918)。在现代数学中， 每个对象(如数，函数等)本质上都是集合，都可以用 某种集合来定义，数学的各个分支，本质上都是在研 究某一种对象集合的性质。集合论的特点是研究对象 的广泛性，它也是计算机科学与工程的基础理论和表 达工具，而且在程序设计，数据结构，形式语言，关 系数据库，操作系统等都有重要应用。本课程在第三， 四章中介绍集合论的内容。
如：
A∪B
E
A∩B
E
AB
E
~A
E
AB
E
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离散数学
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二、文氏图 （Jahn Venn）
例4：用文氏图表示下面集合
13.11.2020
离散数学
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二、文氏图 （Jahn Venn）
例5：用集合公式表示下面文氏图中的阴影部分
(1)A ∩ B ∩ C，
(2) (A∩B )∪(B∩C)∪(C∩A)
或A = B x(x A x B)
x(x A x B) x(x B x A)
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离散数学
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四、集合之间的关系
3、真子集： B A。 BABABA BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A}
n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
离散数学第3版课件ch32集合与关系3.33.5贲
(A×B)×C≠A×(B×C) (当A≠∧B≠∧C≠时)
(4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)
A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
(5) AC∧BDA×BC×D
3
我们给出性质(4)第一个式子的证明。
说明:(1)把关系这种“无形”的联系用集合这种“有形”的实体来描述。
(2)有序对是讲究次序的。
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on numbers: a=b a<b a≥b
on integers: a|b on subsets: A B
|A|=|B| on people: a is married to b
a is younger than b a is a descendant of b.
例7 求集合A＝｛1,2,3,4｝上的恒等关系、空关系、 全域关系和小于关系，并画出小于关系的关系图。
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例7 求集合A＝｛1,2,3,4｝上的恒等关系、空关系、 全域关系和小于关系，并画出小于关系的关系图。
IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4> } EA={ <1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,
定义3.16 设A,B,C是三个任意集合,R是A到B的二元关系,S是B到C 的二元关系，则定义关系R和S的合成或复合关系 RοS＝{<a,c>| aA,cC ∧ bB,使 <a,b>R且<b,c>S }。
例11 集合A＝{a,b,c},B＝{1,2,3}，R是A上关系，S是A到B
大学离散数学ppt
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教育出版社 6、《离散数学》， 朱一清编著， 电子工业出版社 7、《离散数学》，乔维声编，西安电子科技大学出版社 8、《离散数学》，第四版，Richard Johnsonbaugh著，电子工业出版社
考核方式说明
1、考查方式：笔试（闭卷） 2、笔试时间：120分钟 3、成绩构成：结业考试成绩（占70%）,平时成绩(占30%，
离散数学的趣味应用
1、土耳其商人和帽子的故事
一个土耳其商人，想找一个十分聪明的助手协助他经商，有 两个人前来应聘，这个商人为了试一试哪一个聪明些，就把两个 人带进一间漆黑的屋子里，他打开电灯后：“这张桌子上有五顶 帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的。现在，我把灯关掉，而且 把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在头上， 在我开灯后，请你们尽快的说出自己头上戴的帽子是什么颜色 的。”说完之后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴 在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把电灯打开， 这时，那两个有应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，过了一 会儿，其中一个人便喊到：“我戴的是黑帽子。” 请问这个人猜得对吗？是怎么推导出来的？
3、(集合论技术)连续的形象：“剪不断，理还乱，是离愁， 恰似一江春水向东流。”——南唐，李后主词
4、离散的形象：“枯藤老树昏鸦，小桥流水人家，古道西 风瘦马，夕阳西下，断肠人在天涯。” ——元.马致远
【精品】离散数学PPT课件(完整版)
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联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
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联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
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联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
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例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
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例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
离散数学 3集合论基础PPT文档共50页
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
离散数学 3集合论基础
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，
离散数学讲义ppt课件
课程概况
教材：
《离散数学（第三版）》，耿素云等编著 清华大学出版社，2004年3月
参考书：
（1） 《离散数学(第二版)》及其配套参考书《离散 数学题解》作者：屈婉玲，耿素云，张立昂 清华大学出版社
（2） 《离散数学》焦占亚主编 电子工业出版社 2005年1月
2
课程概况
选修课/必修课：选修 周学时：3（学时） 上课周：1－16周 总学时：48（学时）
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课程内容及学时安排
第一篇 数理逻辑（14学时）
第一章 命题逻辑（8） 第二章 谓词逻辑（6）
第二篇 集合论（12学时）
第三章 集合（4） 第四章 二元关系与函数（8）
第四篇 图论（14学时）
第七章 图论（8） 第八章 一些特殊图（4） 第九章 树 （2）
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课程考核
第四篇 代数系统（8学时）
第5、6章 图论（8）
所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。
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NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发 师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我 也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但 是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来 刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的 人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他 任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发 师刮脸了！
P
Q
PQ
P
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
离散数学PPT【共34张PPT】
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
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关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
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可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
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11. 余补律
12. 双重否定律 13. 补交转换律
=E,
A=A
E=
A-B= AB
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基本集合恒等式(续)
14. 关于对称差的恒等式 (1) 交换律 AB=BA (2) 结合律 (AB)C=A(BC) (3) 对的分配律 A(BC)=(AB)(AC) (4) A=A, AE= ~ A (5) AA=, A ~ A= E
注意: 对没有分配律, 反例如下 A={a,b,c}, B={b,c,d}, C={c,d,e} A(BC)= {a,b,c}{b,e}= {a,b,c,e} (AB)(AC)= {a,b,c,d}{a,b,c,d,e}= {e}, 两者不等
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基本集合恒等式(续)
15. 16. 17. 18. 19. AAB, BAB. ABA, ABB. A-BA. AB=BABABAA-B=. AB=AC A=B, 即有消去律.
第1章 数学语言与证明方法
1
第1章 数学语言与证明方法
• 1.1 常用的数学符号 • 1.2 集合及其运算 • 1.3 证明方法概述 • 1.4 递归定义
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1.2 集合及其运算
• 集合及其表示法 • 包含(子集)与相等
• 空集与全集
• 集合运算(,, - , ~ , )
• 基本集合恒等式
• 包含与相等的证明方法
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实例
例5 证明 (A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证 (A-C)-(B-C) = (A ~C) ~(B ~C) = (A ~C) (~B ~~C) = (A ~C) (~B C) = (A ~C ~B) (A ~C C) = (A ~C ~B) (A ) = A ~C ~B = (A ~B) ~C = (A – B) – C
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集合的表示法
列举法 如 A={ a, b, c, d }, N={0,1,2,…} 描述法{ x | P(x) } 如N={ x | x是自然数 } 说明: (1) 集合中的元素各不相同. 如, {1,2,3}={1,1,2,3} (2) 集合中的元素没有次序. 如, {1,2,3}={3,1,2}={1,3,1,2,2} (3) 有时两种方法都适用, 可根据需要选用. 常用集合 自然数集N, 整数集Z, 正整数集Z+, 有理数集Q, 非零有理数集Q*, 实数集R, 非零实数集R*, 复数集C, 区间[a,b],(a,b)等
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1.3 证明方法概述
直接证明法 归谬法(反证法) 穷举法 间接证明法 数学归纳法 构造证明法
空证明法
平凡证明法
举反例——命题为假的证明
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待证明的命题的形式
形式1. 若A, 则B 形式2. A当且仅当B 形式3. 证明B 都可归结为形式1 AB AB B
i
n
A A1A2…An= {x | xA1xA2…xAn}
i i 1
i 1 n
并和交运算还可以推广到可数无穷个集合上
A A1A2…= { x | i (i=1,2,…)
i
xAi } xAi }
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A A1A2…= { x | i (i=1,2,…)
i i 1
i 1
实例
例2 设Ai=[0, 1/i ), Bi=(0, i ), i=1,2, …, 则
A [0, 1)
i
n
A
i i 1 n i 1 n i 1 i
i 1 n
A
i
[0, 1) {0} (0, +∞) (0, 1)
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[0, 1/n )
A
i
i 1 i 1 i 1 i 1
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归谬法(反证法)
做法 设A成立, 假设B不成立, 推出矛盾.
例3 若A-B=A, 则AB= 证 用归谬法, 假设AB, 则存在x,使得 xAB xA且xB xA-B且xB (A-B=A) (xA且xB)且xB xB且xB, 矛盾
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归谬法(续)
5. 德摩根律 绝对形式 (BC)=BC, (BC)=BC 相对形式 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)
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基本集合恒等式(续)
6. 吸收律 7. 零律 8. 同一律 9. 排中律 10. 矛盾律 A(AB)=A, A(AB)=A AE=E, A= A=A, AE=A AA=E AA=
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空集与全集
空集: 不含任何元素的集合 例如, {x | x2<0xR}= 定理1.1 空集是任何集合的子集 证 用归谬法. 假设不然, 则存在集合A, 使得 ⊈ A, 即存在x, x且xA, 矛盾. 推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2，则12 且12，因此1=2 全集E:限定所讨论的集合都是E的子集. 相对性
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证明集合包含或相等
方法一. 根据定义证明 方法二. 利用已知集合等式或包含式, 通过集合演算证明
例3 证明: (1) AB=BA (交换律) 证 x xAB xA 或 xB, 自然有 xB 或 xA xBA 得证 ABBA. 同理可证 BAAB.
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例3(续)
(补交转换律) (德摩根律) (双重否定律) (分配律) (矛盾律) (零律,同一律) (交换律,结合律) (补交转换律)
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பைடு நூலகம்
实例
例6 证明 (AB)(AC)= (BC) - A 证 (AB)(AC) =((AB) - (AC))((AC) - (AB)) =((AB)~A~C)((AC)~A~B) = (B~A~C)(C~A~B) =((B~C)(C~B))~A =((B-C)(C-B))~A = (BC) - A
B (0, n) B
i
B
i
(0, 1)
B
i
基本集合恒等式
1. 幂等律 2. 交换律 3. 结合律
4. 分配律
AA=A, AA=A AB=BA, AB=BA (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)
(2) A(BC)=(AB)(AC) (分配律) 证 x xA(BC) xA或(xB且 xC (xA或xB)且(xA或xC) x(AB)(AC) 得证 A(BC)(AB)(AC). 类似可证 (AB)(AC)A(BC). (3) AE=E (零律) 证 根据并的定义, 有EAE. 根据全集的定义, 又有A EE.
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集合的概念
朴素集合论(康托, G.Cantor), 罗素(Russell)悖论 集合是数学中最基本的概念,没有严格的定义 理解成某些个体组成的整体, 常用A,B,C等表示 元素:集合中的个体 xA(x属于A): x是A的元素 xA(x不属于A): x不是A的元素
无穷集:元素个数无限的集合 有穷集(有限集):元素个数有限的集合. |A|:A中元素个数 k元集:k个元素的集合, k 0
例4 证明 2 是无理数 证 假设 2 是有理数, 存在正整数n,m, 使得 2 =m/n, 不妨设m/n为既约分数. 于是m=n 2 , m2=2n2, m2是偶数, 从而m是偶数. 设m=2k, 得 (2k)2=2n2, n2=2k2, 这又得到n也 是偶数, 与m/n为既约分数矛盾.
~ AB= { x | x是外地走读生}
(A-B) D= { x | x是北京住校生, 并且喜欢听音乐} ~ D ~ B= { x | x是不喜欢听音乐的住校生}
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文氏图表示
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集合运算(续)
并和交运算可以推广到有穷个集合上
A A1A2…An= {x | xA1xA2…xAn}
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实例
例1 设E={ x | x是北京某大学学生}, A,B,C,D是E的子集, A= { x | x是北京人}, B= { x | x是走读生}, C= { x | x是数学系学生}, D= { x | x是喜欢听音乐的学生}. 试描述下列各集合中学生的特征: (AD) ~ C= { x | x是北京人或喜欢听音乐, 但不是数学系学生}
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例3(续)
(4) AE=A (同一律) 证 根据交的定义, 有AEA.
又, x xA,
根据全集E的定义, xE, 从而 xA且xE, xAE 得证 AAE.
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实例
例4 证明 A(AB)=A （吸收律） 证 利用例3证明的4条等式证明 A(AB) = (AE)(AB) (同一律) = A(EB) (分配律) = A(BE) (交换律) = AE (零律) =A (同一律) 对其余的基本集合恒等式不再一一证明(请自行证明), 今后把它们作为已知的集合等式使用.
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包含与相等
包含(子集) A B x (xA xB) 不包含 A ⊈ B x (xA xB) 相等 A=BABBA 不相等 ABA⊈BB⊈A 真包含(真子集) A B A B A B 例如, A={1,2,3}, B={ x | xR|x|1 }, C={ x | xRx2=1 }, D={-1,1}, C B, C B, C ⊈ A, A ⊈ B, B ⊈ A, C = D 性质 (1) A A (2) A B B C A C
(1 1) n 2n
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集合运算
并 AB = { x | xA xB } 交 AB = { x | xA xB } 相对补 AB = { x | xA xB } 对称差 AB = (AB)(BA) = (AB)(AB) 绝对补 A = EA= { x | xA } 例如 设E={0,1, … ,9}, A={0,1,2,3}, B={1,3,5,7,9}, 则 AB ={0,1,2,3,5,7,9}, AB ={1,3}, AB ={0,2}, AB ={0,2,5,7,9}, A ={4,5,6,7,8,9}, B ={0,2,4,6,8} 说明:1. 只使用圆括号 2. 运算顺序: 优先级别为(1)括号, (2)和幂集, (3)其他. 同级别的按从左到右运算