常微分方程(王高雄)第三版 4.2ppt课件

方程(4.19)的k个线性无关的解 1, t, t 2 , , t k1;
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(b) 设1 0
作 变 换 x ye1t并 把 它 代 入 方 程 (4.19), 经 整 理 得
L[
ye1t
]
(
dn dt
y
n
b1
d n1 y dt n1
bn y)e1t
L1[ y]e1t
于是方程(4.19)化为
an an1 ank1 0, ank 0;
从而特征方程有如下形式
n a1n1 ank k 0,
而对应方程(4.19)变为
dnx dt n
a1
d n1x dt n1
ank
dkx dt k
0
显然它有 k个解1,t,t 2, ,t k1,且它们是线性无关的 ;
从而可得 : 特征方程(4.21)的k重零根对应着
欧拉公式:
cost sin t
1 (eit eit ) 2 1 (eit eit )
2i
性质: (1) ekt ekt,
(2)
e e e , (k1k2 )t
k1t k2t
(3)
d ekt kekt, (4) dt
dn dt n
ekt
k nekt,
3
3 复值解
dnx dt n
a1(t)
5
(3)定理9 若方程
dnx dt n
a1
(t
)
d n1x dt n1
an (t)x
u(t) iv(t)
有复值解x U (t) iV (t),这里ai (t)(i 1, 2,L , n)及u(t),
v(t)都是实值函数,则这个解的实部U (t)和虚部V (t)分
别是方程
dnx dt n
(4.22)
由于
e1t
W [e1t , e2t , , ent ] 1e1t
e n1 1t 1
e2t
2e2t
e n1 2t 2
ent
nent
e n1 nt n
9
1 1 1
1 2 n
e(12 n )t
n1 1
n1
2
n1 n
e (12 n )t (i j ) 0 1 jin
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn y
0,
(4.23)
其中b1, b2 , , bn仍为常数 , 方程(4.23)相应特征方程为
G() n b1 n1 bn1 bn 0, (4.24)
常微分方程 Ordinary Differential Equations
第四章
§4.2 常系数线性方程的解法
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一、复值函数与复值解
1 复值函数
如果(t)与 (t)是区间a t b上定义的实函数, 我们称z(t) (wenku.baidu.com) i (t)为区间a t b上的复值函数.
若(t)与 (t)在区间a t b上连续,则称z(t)在
因方程的系数为实常数,复根将成对共轭出现,
设1 i是特征根,则2 i也是特征根 ,
相应方程(4.19)有两个复值解,
e( i)t et (cos t i sin t), e( i)t et (cos t i sin t);
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由定理8知,它的实部和虚部也是方程的解, 对方程
的一对共轭复根: 1 i , 得(4.19)的两个实值
a t b上连 续.
若(t)与 (t)在a t b上可微,则称z(t)在
a t b上可微,且z(t)的导数为 z' (t) ' (t) i ' (t)
复函数的求导法则与实函数求导法则相同
2
2 复指数函数
定义 z(t) ekt e( i)t et (cos t i sin t)
d n1x dt n1
an (t)x
f
(t)
dnx dt n
a1(t)
d n1x dt n1
an (t)x 0
(4.1) (4.2)
(1)定义 定义于区间a t b上的实变量复值函数z(t),
称为方程(4.1)的复值解, 如果
d n z(t) dt n
a1(t)
d n1z(t) dt n1
a1(t)
d n1x dt n1
an (t)x
u(t)
和
dnx dt n
a1
(t
)
d n1x dt n1
an (t)x
v(t)
的解.
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二、常系数齐线性方程和欧拉方程
1 常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法) 考虑方程
L[x]
dnx dt n
a1
d n1x dt n1
an x 0
an (t)z(t)
f
(t)
对于a t b恒成立.
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(2)定理8 如果方程(4.2)的所有系数ai (t)(i 1,2,L , n) 都是实值函数,而x z(t) (t) i (t)是方程的复值 解,则z(t)的实部(t)和虚部 (t)及z(t)的共轭复数z(t) 也都是方程(4.2)的解.
故解组(4.22)线性无关.
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若 i (i 1,2, , n)均 为 实 数,
则(4.22)是方程(4.19)的基本解组, 从而
(4.19)的通解为 x(t ) c1e 1t c2e 2t cne nt
其中c1, c2 , cn是任常数.
若 i (i 1,2, , n)中 有 复 数,
(4.19)
其中a1, a2, , an为常数, 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程. 显然,一阶常系数齐线性方程
有解
dx ax 0 dt
x ceat ,
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对(4.19)尝试求指数函数形式的解
x et , (4.20)
这里是待定常数, 可以是实数也可以是复数。
把它代入方程(4.19)得
L[et ] (n a1n1 an1 an )et 0 因此, et为(4.19)的解的充要条件是 : 是代数方程
F () n a1n1 an1 an 0, (4.21)
的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为 方程(4.19)的特征根.
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(1) 特征根是单根的情形
设1, 2, , n是特征方程(4.21)的n个彼此不相
等的特征根,则相应方程(4.19)有如下n个解
e1t , e2t , , ent
解为
et cos t, et sin t;
(2) 特征根是重根的情形
设特征方程 (4.21)有k重根 1,则有 F (1) F ' (1) F (k1) (1) 0, F (k) (1) 0; 下面分1 0和1 0两种情形加以讨论
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(a) 设1 0 则 特 征 方 程 有 因 子 k ,因 此