导数的概念

第二章导数与微分本章教学目标与要求理解导数的概念，会利用导数定义求导数。

了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。

掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。

理解可导性与连续性的关系。

了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

本章教学重点与难点1．导数概念及其求导法则；2．隐函数的导数；3．复合函数求导；4．微分的概念，可微和可导的关系，微分的计算§2.1 导数的概念教学目的与要求1.理解函数导数的概念及其几何意义.2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线.3.了解导数与导函数的区别和联系.4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系.教学重点与难点1.函数导数的概念、基本初等函数的导数2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数一、引例导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的．下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念．1．瞬时速度思考：已知一质点的运动规律为)(t s s =，0t 为某一确定时刻，求质点在0t 时刻的速度。

在中学里我们学过平均速度ts∆∆，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律.不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”. 设质点运动的路程是时间的函数 )(t s ，则质点在 0t 到 t t ∆+0 这段时间内的平均速度为tt s t t s v ∆-∆+=)()(00可以看出它是质点在时刻0t 速度的一个近似值，t ∆越小，平均速度 v 与 0t 时刻的瞬时速度越接近.故当0→∆t 时，平均速度v 就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在0t 时刻的瞬时速度，即物体在 0t 时刻的瞬时速度为tt s t t s v v t t ∆-∆+==→∆→∆)()(limlim 000_（1）思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？ 因为自由落体运动的运动方程为：221gt s =， 按照上面的公式，可知自由落体运动在0t 时刻的瞬时速度为000202000000)21(lim 21)(21lim )()(lim )(0gt t g gt t gt t t g t t s t t s t v t t t =∆+=∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆→∆。

这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.2．切线的斜率思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义.（1）切线的概念曲线C 上一点M 的切线的是指：在M 外另取C 上的一点N ，作割线MN ，当点N 沿曲线C 趋向点M 时，如果割线MN 绕点M 转动而趋向极限位置MT ，直线MT 就叫做曲线C 在点M 处的切线。

简单说：切线是割线的极限位置。

这里的极限位置的含义是：只要弦长MN 趋于0，NMT ∠也趋向于0.（如图所示）（2）求切线的斜率设曲线C 为函数)(x f y =的图形，C y x M ∈),(00，则)(00x f y =，点00(,)N x x y y +∆+∆为曲线C 上一动点，割线MN 的斜率为：00()()tan f x x f x y x xϕ+∆-∆==∆∆ 根据切线的定义可知，当点N 沿曲线C 趋于M 时，即0x ∆→，割线的斜率趋向于切线的斜率。

也就是说，如果0x ∆→时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为k ，即0000()()tan limlimx x f x x f x yk x xα∆→∆→+∆-∆===∆∆ （2） 3.边际成本设某产品的成本C 是产量x 的函数()C C x =，试确定产量为0x 个单位时的边际成本。

用前两例类似的方法处理得：00()()C x x C x C x x+∆-∆=∆∆表示由产量0x 变到0x x +∆时的平均成本，如果极限 000()()lim x C x x C x C x x∆→+∆-∆=∆∆ （3） 存在，则此极限就表示产量为0x 个单位时成本的变化率或边际成本。

思考：上述三个问题的结果有没有共同点？上述两问题中，第一个是物理学的问题，第二个是几何学问题，第三个是经济学问题，分属不同的学科，但问题都归结到求形如xx f x x f x ∆-∆+→∆）000()(lim（4）的极限问题.事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都归化为讨论形如（4）的极限问题.为了统一解决这些问题，引进“导数”的概念.二、导数的定义1．导数的概念定义 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，当自变量x 在点0x 处取得增量x ∆（点x x ∆+0仍在该邻域内）时，函数相应地取得增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则这个极限叫做函数)(x f 在点0x 处的导数，记为00)(),(,0'x x x x x x dxx df dxdyx f y ==='或当函数)(x f 在点0x 处的导数存在时，就说函数)(x f 在点0x 处可导，否则就说)(x f 在点0x 处不可导.特别地，当0→∆x 时，∞→∆∆xy，为了方便起见，有时就说)(x f y =在点0x 处的导数为无穷大.关于导数有几点说明：（1）导数除了定义中的形式外，也可以取不同的形式，常见的有h x f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→00)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→（2）00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆反映是自变量 x 从0x 改变到0x x +∆时，函数()f x 的平均变化速度，称为函数()f x 的平均变化率；而导数'00()lim x y f x x∆→∆=∆反映的是函数()f x 在点0x 处的变化速度，称为函数()f x 在点0x 处的变化率。

2．导函数的概念上面讲的是函数在某一点处可导，如果函数)(x f y =在开区间I 的每一点都可导，就称函数)(x f y =在开区间I 内可导，这时，I x ∈∀，都对应)(x f 的一个确定的导数值，就构成一个新的函数，这个函数叫做)(x f y =的导函数，记作：dxx df dx dy x f y )(),(,''或。

即，导函数的定义式为：x x f x x f y x ∆-∆+='→∆)()(lim0或.)()(lim )(0hx f h x f x f h -+='→在这两个式子中，x 可以取区间I 的任意数，然而在极限过程中，x 是常量，x ∆或h 才是变量；并且导数)(0'x f 恰是导函数)('x f 在点0x 处的函数值.3.单侧导数的概念我们知道在极限有左、右极限之分，而导数实质是一个“比值”的极限。

因此，根据左右极限的定义，不难得出函数左右导数的概念。

定义 极限x x f x x f x ∆-∆+-→∆)()(lim 000和xx f x x f x ∆-∆++→∆)()(lim 000分别叫做函数)(x f 在点0x 处的左导数和右导数，记为)(0x f -'和)(0x f +'.如同左、右极限与极限之间的关系，显然：函数)(x f 在点0x 处可导的充分必要条件是左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都存在并且相等.还应说明：如果)(x f 在开区间),(b a 内可导，且)(a f +'和)(b f -'都存在，就说)(x f 在闭区间],[b a 上可导.三、按定义求导数举例1．根据定义求函数的导数的步骤根据导数的定义可以总结出求函数某一点的步骤为：① 求增量：)()(x f x x f y -∆+=∆② 算比值：xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( ③ 求极限：xyy x ∆∆='→∆0lim2．运用举例例1 求C y =的导数（C 为常数）. 解 求增量0=-=∆C C y 作比值 0=∆∆xy取极限 0lim0=∆∆→∆xyx所以 0)('=C 即常量的导数等于零.例2 求函数)(+∈=N x x y n的导数. 解 n n n nnx x x n n x nxx x x y )()(!2)1()(221∆++∆-+∆=-∆+=∆-- ， 121)(!2)1(---∆++∆-+=∆∆n n n x x x n n nx x y ， 10'lim -→∆=∆∆=n x nx xyy ，即1')(-=n n nx x注意：以后会证明当指数为任意实数时，公式仍成立，即)(.)(1R x x ∈='-μμμμ例如：xx 21)('=，2'11)(x x -=-例3 求x x f sin )(=的导数. 解 hxh x h x f h x f x h h sin )sin(lim )()(lim)(sin 00'-+=-+=→→x h hhx h cos 22sin)2cos(lim 0=•+=→即x x cos )(sin '=.用类似方法，可求得x x sin )(cos '-=.例4 求)1,0(log ≠>=a a x y a 的导数.解 hx hh x h x y a h a a h )1(log lim log )(log lim 00'+=-+=→→00log (1)11lim limlog (1)xa h a h h hh x h x x xx→→+==+e xa log 1=所以e xx a a log 1)(log '=特别地，当e a =时，有xx 1)(ln '=四、导数的几何意义由前面对切线问题的讨论及导数的定义可知：函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0'x f 在几何上表示曲线)(x f y =在点M （)(,00x f x ）处的切线的斜率。