导数的概念

第二章导数与微分

本章教学目标与要求

理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

本章教学重点与难点

1．导数概念及其求导法则；

2．隐函数的导数；

3．复合函数求导；

4．微分的概念，可微和可导的关系，微分的计算

§2.1 导数的概念

教学目的与要求

1.理解函数导数的概念及其几何意义.

2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线.

3.了解导数与导函数的区别和联系.

4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系.

教学重点与难点

1.函数导数的概念、基本初等函数的导数

2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数

一、引例

导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的．

下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念．

1．瞬时速度

思考：已知一质点的运动规律为)(t s s =，0t 为某一确定时刻，求质点在0t 时刻的速度。 在中学里我们学过平均速度

t

s

∆∆，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律.

不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”. 设质点运

动的路程是时间的函数 )(t s ，则质点在 0t 到 t t ∆+0 这段时间内的平均速度为

t

t s t t s v ∆-∆+=

)

()(00

可以看出它是质点在时刻0t 速度的一个近似值，t ∆越小，平均速度 v 与 0t 时刻的瞬时速度越接近.故当0→∆t 时，平均速度v 就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在0t 时刻的瞬时速度，即物体在 0t 时刻的瞬时速度为

t

t s t t s v v t t ∆-∆+==→∆→∆)

()(lim

lim 000_

（1）

思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？ 因为自由落体运动的运动方程为：

2

2

1gt s =

， 按照上面的公式，可知自由落体运动在0t 时刻的瞬时速度为

00020

2000000)2

1(lim 21)(21lim )()(lim )(0gt t g gt t gt t t g t t s t t s t v t t t =∆+=∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆→∆。 这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.

2．切线的斜率

思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？

引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义.

（1）切线的概念

曲线C 上一点M 的切线的是指：在M 外另取C 上的一点N ，作割线MN ，当点N 沿曲线C 趋向点M 时，如果割线MN 绕点M 转动而趋向极限位置MT ，直线MT 就叫做曲线C 在点M 处的切线。简单说：切线是割线的极限位置。这里的极限位置的含义是：只要弦长MN 趋于0，

NMT ∠也趋向于0.（如图所示）

（2）求切线的斜率

设曲线C 为函数)(x f y =的图形，C y x M ∈),(00，则)(00x f y =，点

00(,)N x x y y +∆+∆为曲线C 上一动点，割线MN 的斜率为：

00()()

tan f x x f x y x x

ϕ+∆-∆=

=

∆∆ 根据切线的定义可知，当点N 沿曲线C 趋于M 时，即0x ∆→，割线的斜率趋向于切线的

斜率。也就是说，如果0x ∆→时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为k ，即

0000()()tan lim

lim

x x f x x f x y

k x x

α∆→∆→+∆-∆===∆∆ （2） 3.边际成本

设某产品的成本C 是产量x 的函数()C C x =，试确定产量为0x 个单位时的边际成本。 用前两例类似的方法处理得：

00()()

C x x C x C x x

+∆-∆=∆∆表示由产量0x 变到0x x +∆时的平均成本，如果极限 000()()lim x C x x C x C x x

∆→+∆-∆=∆∆ （3） 存在，则此极限就表示产量为0x 个单位时成本的变化率或边际成本。

思考：上述三个问题的结果有没有共同点？

上述两问题中，第一个是物理学的问题，第二个是几何学问题，第三个是经济学问题，分属不同的学科，但问题都归结到求形如

x

x f x x f x ∆-∆+→∆）

000

()(lim

（4）

的极限问题.事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都归化为讨论形如（4）的极限问题.为了统一解决这些问题，引进“导数”的概念.

二、导数的定义

1．导数的概念

定义 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，当自变量x 在点0x 处取得增量x ∆（点x x ∆+0仍在该邻域内）时，函数相应地取得增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果极限

x x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim

0000

存在，则这个极限叫做函数)(x f 在点0x 处的导数，记为

00)(),

(,0'

x x x x x x dx

x df dx

dy

x f y ==='或

当函数)(x f 在点0x 处的导数存在时，就说函数)(x f 在点0x 处可导，否则就说)(x f 在点0x 处不可导.特别地，当0→∆x 时，∞→∆∆x

y

，为了方便起见，有时就说)(x f y =在点0x 处的导数为无穷大.

关于导数有几点说明：

（1）导数除了定义中的形式外，也可以取不同的形式，常见的有

h x f h x f x f h )

()(lim

)(000

0-+='→

00)

()(lim

)(0

x x x f x f x f x x --='→