郑州师范学院-线性代数-试题B卷-参考答案及评分标准

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线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)

由，得的特征值，
属于对应的特征向量为，单位化：，
属于对应的特征向量为，单位化：，
取，则有。
八、（本题8分）证明：由
得的特征值，
，
故的最大特征值是。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由，得：，
可逆，故；
由于，。
五、（本题14分）解：（1）令，，
则线性无关，故是向量组的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量线性相关，
若线性无关，则可由线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若阶实方阵，为阶单位矩阵，则（）。
（A）（B）
（C）（D）无法比较与的大小
5、设，，，，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算阶行列式，的主对角线上的元素都为，其余位置元素都为，且。
四、（10分）设3阶矩阵、满足关系：，且，求矩阵。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r

大学物理、数学本科《线性代数》考试题及答案(八套)试卷

XXX学年第一学期期末考试试卷本科《线性代数》考试题及答案（H）本科试卷课程代码：适用班级：计算机科学与技术命题教师：任课教师：第一套试卷一、判断是非（每小题2分，共16分）。

1 若行列式等于零，则其中必有两行对应元素成比例。

2 线性无关的向量组的任意部分组必线性无关。

3 等价的两个向量组必含有相同个数的向量。

4 两个矩阵的乘积不满足交换律和消去律。

5 非齐次线性方程组有解的充要条件是其系数矩阵与增广矩阵的秩相等。

6 正交矩阵必是可逆矩阵。

7 相似矩阵的秩一定相等。

注：两个矩阵相似或合同，则两个矩阵一定等价。

因而，他们有相同的秩。

8 在可逆的线性变换下，二次型的标准型一定是唯一的。

二、填空题（每小题2分，共16分）。

1 排列6152734的逆序数是________________。

2 若矩阵A 可逆，则=-1*)(A ___________。

3 设=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A 则),654(321——————。

4 若向量____________),0,1,1,0(),0,1,0,1(='==βαβα则。

5 若三阶实对称矩阵A 的特征值为-1，2，3，则A -1的特征值为______。

6 对于四阶矩阵A ，。

则__________2,1==A A7 若四阶矩阵：。

则且___________),,,,(,2),,,,(432214321=+===B B A A ααααααααα 8 若向量组）（，，，（），，，（5,4,0)02121321-==-=αααt 线性无关，则t=————————。

三、计算下列行列式（12分）。

1 29930030119920020199100101=D22222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a四、（8分）设：B A A AB B A ''-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=及求2,101121121101010101。

线性代数试题及答案解析

线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。

A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。

A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。

3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。

A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。

4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。

A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。

5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。

A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。

6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。

A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。

7. 矩阵A的特征值是（）。

A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。

线性代数试卷答案及评分标准

2017—2018 学年第二学期期末考试
课程名称：线性代数 B
闭卷 A 卷 120 分钟
题号一二
三四五六七八九合计
满分 16 10 实得分
12 12 12 10 12 10 6 100
姓名----------------- 重修标记
评阅人得分一、填空题（每小题 2 分，共 16 分）
0
−2
0
r
~
0
1
0
，求得基础解系为
4 2 −4 0 0 0
α3 = (1,0,1)T ..（10 分）
故相似变换矩阵为 P = (α1,α2 ,α3 ) .(11 分)
−1
相应的对角阵= 为 Λ
−1
.（12
分）
1
第5页共6页
评阅人得分
3 4
八、设
A
=
4
−3
2
，求 0
A4
1
（10 分，写出分块阵得 2 分，其余每个箭头的 1 分，如先计算逆矩阵得 4 分）
−1
所以
X
=A
( A − 2E)−1 B
=4 −
5 2
−
1 2
−
7 2
−4
−
1 2
= −−120
1
−14
−2
.（12
分）
4
评阅人得分
五、求解非齐次线性方程组
6 x1 x1
− −
2 x2 x2
5 5
= 1.设 A
= 12 −21 32, B
1
−1
2
3
,则 ( BA)T
=
0
−5

线性代数期末考试(B卷)及答案

北京师范大学XX 分校2007-2008学年第一学期期末考试（B 卷）开课单位：应用数学系课程名称：线性代数任课教师：__ __ 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空（每空3分，共30分）1、行列式123345__0____567= 2、行列式sin cos cos sin _______+-=-1313113xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则______-+=21222350A A A4、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==45，则||______=20A B5、设A 为3阶方阵，且A =2，则A-=12 46、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12311102103，则A 的秩()R A = 37、已知3阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式A *=9，则=A 38、向量组,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111322023001线性相关还是无关线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1232963线性相关，则___1____=x10、设5元方程组=0A x 的系数矩阵A 的秩为3，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式13632196233418第2行第2列元素的代数余子式A =22（ D ）（A ）6；（B ）9；（C ）12；（D ）15。

2015-2016-1线性代数 B卷参考答案

拟题学院（系）：数理学院适用专业：全校 2015-2016学年 1 学期线性代数（必修）B 卷试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每小题3分，共15分）1. -2M2.11B A --3.111,,336- 4. 0 5. 2k >二、选择题（每小题3分，共15分）1. C2. D3. A4. B5. B三、计算题(每小题10分，共20分)1.解：888811111511151181151115111151115==原式——————————————————————5分11110400851200400004==2. 解：()22AX B X A E X B =+⇒-=1112012,002A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ————————————3分()1111101001112,012102~010100,002202001101A E B ⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭———————————— 8分所以111100101X --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

—————————————————————— 10分四、计算题(第1题10分，第2题15分，第3题15分，共40分)拟题人：周红燕书写标准答案人：周红燕1.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=00000100000120011221~10000500000120011221~13600512000240011221~46063332422084211221),(b A ————————————8分3)(,2)(==B R A R 因此 ——————————————————10分2. 解：111111101152321130012263(,)01226300000054331200000B A b ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭————8分基础解系为123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，特解为23000η-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，—————————————13分通解为112233x k k k ξξξη=+++。

(完整word版)线性代数期末考试试题答案解析合集

XXX 大学线性代数期末考试题、填空题(将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分)1 -3 11.若 05 x =0，则-12 -2| /..X| x 2x 3 = 02 .若齐次线性方程组 +h x 2 +x3 =0只有零解，则乙应满足X ! +x 2 +x 3 =05. n 阶方阵A 满足A 2-3A-E=0，则A 」= ___________________ 。

二、判断正误(正确的在括号内填“V” ，错误的在括号内填“X” 。

每小题2分，共10分)1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则 D 0 o ()2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

()3. 向量组a 1? a 2, , a m 中，如果a 1与a m 对应的分量成比例，则向量组a 1? a 2, , a s 线性相关。

()0 1 1 04. A =0 0 卫05. 若■为可逆矩阵A 的特征值，则 A ，的特征值为■ o ()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且A =2，则|AA^= ( )o①2n② 2n4③2n 1④42. n 维向量组〉2,…,s (3 - s _n )线性无关的充要条件是()。

①:-1,' 2 , , 〉s 中任意两个向量都线性无关②-■1,' 2,, 〉s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 0 0_0 01 “)，贝y A =Ao (0 11 03.已知矩阵A , B ,C = (C j )s n ，满足AC 二CB ，则A 与B 分别是 ________________ 阶矩阵。

a ii4 .矩阵 A = a 21 l a31ai2a 22的行向量组线性a32」③-■1,' 2, , 〉s中任一个向量都不能用其余向量线性表示④:-1,- 2, , 〉s 中不含零向量3. 下列命题中正确的是（）。

2022年线性代数试卷及答案6套

线性代数试卷及答案6套．试卷(一): 一．填空题（每小题4分，共20分）1．已知正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200010001AP P T ，则.________)(2006=+P A E A P T2．设A 为n 阶方阵，n λλ,,1 为A 的n 个特征值，则 ._________)det(2=A 3．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：._________4．若向量组T T T t )3,2,(,)1,3,2(,)2,4,0(===γβα的秩为2,则._____=t5．,27859453251151)(32--=x x x x D 则0)(=x D 的全部根为:_________.二．选择题（每小题4分，共20分）1.行列式001010100 ---的值为( ).A. 1B. -1C. 2)1()1(--n n D. 2)1()1(+-n n2. 对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于( ).A. 左乘一个m 阶初等矩阵B. 右乘一个m 阶初等矩阵C. 左乘一个n 阶初等矩阵D. 右乘一个n 阶初等矩阵 3. 若A 为n m ⨯矩阵,{},,0|,)(n R X AX X M n r A r ∈==<= 则( ). A. M 是m 维向量空间 B. M 是n 维向量空间 C. M 是r m -维向量空间 D. M 是r n -维向量空间 4. 若n 阶方阵A 满足,,02=A 则下列命题哪一个成立 ( ).A. 0)(=A rB. 2)(n A r =C. 2)(n A r ≥D. 2)(nA r ≤5. 若A 是n 阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ). A. 矩阵T A 为正交矩阵 B. 矩阵1-A 为正交矩阵 C. 矩阵A 的行列式是1± D. 矩阵A 的特征值是1±三. 解下列各题（每小题6分,共30分）1. 若A 为3阶正交矩阵, *A 为A 的伴随矩阵, 求).det(*A2. 计算行列式.111111111111aa a a 3. 设,,100002020B A AB A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=求矩阵.B4. 求向量组,)2,1,2,1(1T =α,)2,1,0,1(2T =α,)0,0,1,1(3T =αT )4,2,1,1(4=α的一个最大无关组.5. 求向量T )1,2,1(=ω在基,)1,1,1(T =α,)1,1,0(T =βT )1,1,1(-=γ下的坐标. 四. (12分) 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+++-=++-+631052372322543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x的通解(用基础解系与特解表示).五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵3123222132122),,(x x x x x x x x x f -++= 六. 证明题(6分)设r ξξξβ ,,,021≠是线性方程组β=AX 对应的齐次线性方程组的一个基础解系,η是线性方程组β=AX 的一个解, 求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关.试卷（二）：一．计算下列各题：（每小题6分，共30分）（1）,180380162176380162225379162（2）求,3222E A A ++其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3112A（3）已知向量组T T T t ),2,1(,)3,3,2(,)3,2,0(321-===ααα线性相关,求.t (4) 求向量T )4,2,1(-=α在基T T T )1,2,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321-===ααα下的坐标.(5) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5321A , 求A 的特征值.二.(8分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200002130A ,且,B A AB T +=求矩阵B.三. (8分) 计算行列式: 100200300321x c b a四. (8分) 设有向量组,)6,0,2,3,3(,)7,2,0,1,1(,)5,2,1,0,1(,)3,2,1,1,0(4321T T T T -=--===αααα 求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+-=-+-+.18257,432,1042354315432154321x x x x x x x x x x x x x x六. (8分) 求出把二次型323121232221222)(x x x x x x x x x a f -++++=化为标准形的正交变换,并求出使f 为正定时参数a 的取值范围.七. (10分) 设三阶实对称矩阵A 的特征值为3(二重根)、4(一重根),T )2,2,1(1=α是A 的属于特征值4的一个特征向量,求.A 八. (10分) 当b a ,为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,233,1032,4321321321x bx x x bx x x x ax 有惟一解、无穷多解、无解?九．(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题(1) 设A 是可逆矩阵, ,~B A 证明B 也可逆, 且.~11--B A (2) 设βα,是非零1⨯n 向量,证明α是n n ⨯矩阵T αβ的特征向量.试卷(三):一. 填空题（共20分）1. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有唯一解的充分必要条件是：2. 已知E 为单位矩阵, 若可逆矩阵P 使得11223,P AP P A P E --+= 则当E A -可逆时, 3A =3. 若t 为实数, 则向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3+t ）的秩为:4. 若A 为2009阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，则*A =5. 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则1ni i i i E A λ=-∑ =二. 选择题（共20分）1. 如果将单位矩阵E 的第i 行乘k 加到第j 行得到的矩阵为)),(,(k i j P 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘k 加到第j 列相当于把A ：A, 左乘一个));(,(k j i P B ，右乘一个));(,(k j i PC ．左乘一个));(,(k i j PD ，右乘一个)).(,(k i j P2. 若A 为m ×n 矩阵，B 是m 维非零列向量，()min{,}r A r m n =<。

大学本科2019-2020线性代数B期末试卷(参考答案)

西南交通大学2019－2020学年第一学期期末考试课程代码MATH000112课程名称线性代数B(A 卷)考试时间120分钟题号一二三四总成绩得分阅卷教师签字：说明：（1）本试卷共四页，17道题；（2）试卷中T A 表示矩阵A 的转置，A -1表示可逆方阵A 的逆矩阵，*A 表示方阵A 的伴随矩阵，A 表示A 的行列式.一、选择题（5小题，每小题4分，共20分）CCBCD二、填空题（5小题，每小题4分，共20分）6.1+n ；7.14；8.1-；9.135；10.22<<-a 班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线11．设A 是三阶矩阵，4=A ，X 是满足等式X A XA 21*+=-的三阶矩阵.判定矩阵X 是否可逆？并在可逆时，求其逆矩阵.解：由A A ⇒≠=04可逆且E E A AA 4*==，从而1*4-=A A 代入X A XA 21*+=-，得E A E X =-)24（因此矩阵X 可逆，且142X E A -=-.12.设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111,1132,111,11124321a a αααα，（1）求参数a 的值，使得向量组4321,,,αααα线性相关；（2）在（1）条件下求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出.解：()123421211311111111a a αααα⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，，，1111012110011200012~()()()a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪+ ⎪⎪⎪-+⎝⎭（1）当1=a 或2-=a 时，434321<=），，，（ααααR ，向量组4321,,,αααα线性相关；（2）当1=a 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110030101001~4321），，，（αααα321,,ααα为最大无关组，且32143αααα+-=.当2-=a 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000021100001021001~4321），，，（αααα321,,ααα为最大无关组，且3142121ααα--=.13.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=341432321,110001111B A ，求解矩阵方程B AX =.解：因为02110001111≠-=-=A ，1-A 存在,B A X B AX 1-=⇒=.又111123100234011143A B ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭（，）10023450101223001012~⎛⎫ ⎪ ⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以==-B A X 1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12302251432.另解:由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=212121100212121110010001~100110010001001111），（E A ，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-2121212121210101A ，==-B A X 1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12302251432.14.求非齐次线性方程组1234123412345231153612426x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪++-=-⎨⎪+++=-⎩的通解.解：()1523115361124216,A β--⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000022171101217901~由于()42,)(<==βA A R ，所以方程组有无穷多解原方程组的通解方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧--=++-=2217112179432431x x x x x x 令2413,7k x k x ==，得2,19212211--=++-=k k x k k x 原方程组的通解为：()R k k k k x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21214321, 0711********另解：原方程组的同解方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧++=---=⇒⎩⎨⎧-=+-=-+-142771749287214 113254234214324321x x x x x x x x x x x x x 原方程组的通解为：()R k k k k x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21214321, 27080719014017.15.设3231212322213212822),,(x x x x x x ax x x Ax x x x x f T +-++-==是3元实二次型，已知二次型),,(321x x x f 的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x Qy =，把),,(321x x x f 化为标准型.解：（1）二次型的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=a A 14111412因为二次型),,(321x x x f 的秩为2，所以A 的秩为2，从而2063=⇒=+-=a a A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=214111412A ,()()63214111412-+-=------=-λλλλλλλE A ,令0=-E A λ得A 的特征值：6,0,3321==-=λλλ当31-=λ时，解方程组03=+x E A ）（得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1111ξ；当02=λ时，解方程组0=Ax 得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1212ξ；当63=λ时，解方程组06=-x E A ）（得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1013ξ.令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111311p ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121612p ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101213p()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==21613106231216131,,321p p p Q ，正交变换x Qy =即为所求.四、证明题（2个小题，每小题5分，共10分）16.设*η是非齐次方程组β=Ax 的一个解r n -ξξξ,,,21 是其导出组0=Ax 的一组基础解系，证明：r n -+++ξηξηξηη*2*1**,,,, 线性无关.证明：由题知：βη=*A ，0,,0,021===-r n A A A ξξξ ,且r n -ξξξ,,,21 线性无关.设存在数r n k k k k -,,,,21 使得：0)()()(*2*21*1*=+++++++--r n r n k k k k ξηξηξηη ()1 即：0)2211*21=++++++++---r n r n r n k k k k k k k ξξξη （()2 ()2式两边左乘矩阵A 得：)2211*21=++++++++---r n r n r n A k A k A k A k k k k ξξξη （从而有：0)21=++++-βr n k k k k （，而0≠β，所以有021=++++-r n k k k k ()3 将（3）式代入式（2）得：2211=+++--r n r n k k k ξξξ 由于r n -ξξξ,,,21 线性无关，故021====-r n k k k 代入（3）得：0=k 从而021=====-r n k k k k ，由定义知：结论成立.另解：由题知：βη=*A 0,,0,021===-r n A A A ξξξ ,且r n -ξξξ,,,21 线性无关.()****12~,,,,cn r ηηξηξηξ-+++ ()*12,,,,n rηξξξ- 由等价等秩可得，要证****12,,,,n r ηηξηξηξ-+++ 线性无关，只需证明*12,,,,n r ηξξξ- 线性无关。

线性代数期末考试试卷习题包括答案合集大一期末线性代数试卷习题

大学生校园网—线性代数综合测试题×××大学线性代数期末考试题一、填空题〔将正确答案填在题中横线上。

每题 2 分，共 10 分〕1311. 假设05x 0 ，那么__________ 。

122x1x2x302．假设齐次线性方程组x1x2x30 只有零解，那么应满足。

x1x 2x303．矩阵A，B，C( c ij ) s n，满足AC CB ，那么 A 与 B 分别是阶矩阵。

a a11124．矩阵A a a的行向量组线性。

2122a a31325．n阶方阵A满足A 23A E0，那么A1。

二、判断正误〔正确的在括号内填“√〞，错误的在括号内填“×〞。

每题 2 分，共10 分〕1.假设行列式 D 中每个元素都大于零，那么D 0 。

〔〕2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

〔〕3.向量组 a1， a2，， a m中，如果a1与 a m对应的分量成比例，那么向量组a1， a2，，a s线性相关。

〔〕01001000A 。

〔〕4.A，那么 A1000100105. 假设为可逆矩阵 A 的特征值，那么 A 1的特征值为。

( )三、单项选择题 ( 每题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每题2 分，共 10 分 )1. 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2，那么AAT〔〕。

① 2n② 2n 1③ 2n 1④ 42. n 维向量组 1 ， 2，，s 〔 3 s n 〕线性无关的充要条件是〔〕。

①1， 2，， s 中任意两个向量都线性无关②1， 2，， s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示③1， 2，， s 中任一个向量都不能用其余向量线性表示共 3 页第 1 页大学生校园网—线性代数综合测试题④中不含零向量1， 2 ，， s3. 以下命题中正确的选项是 () 。

① 任意 n 个 n 1 维向量线性相关 ② 任意 n 个 n 1 维向量线性无关③ 任意 n 1 个 n 维向量线性相关 ④任意 n 1 个 n 维向量线性无关4. 设 A ， B 均为 n 阶方阵，下面结论正确的选项是( )。

2022年线性代数试卷试卷及答案AB卷

线性代数试卷(A)一、选择题（每题3分，共15分）1._____________,2)(2101210211的值为则的秩若矩阵a A r a a A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11-(D)1-(C)1-0(B)0(A)或者或2._____________,1||*=-=A A A 则，且为正交矩阵设3.设βα,是n 维列向量,0≠βαT,n 阶方阵T E A αβ+=,3≥n ，则在A 的 n 个特征值中,必然______________(A) 有n 个特征值等于1 (B) 有1-n 个特征值等于1 (C) 有1个特征值等于1 (D) 没有1个特征值等于14.______________,)()(,则阶方阵，且秩相等，既为设B r A r n B A =B)(A)(B),r(A (D)r(A)2B),r(A (C)r(A)2B)(A (B)0B)r(A (A)r r r +≤==+=－5._____________,)(b Ax n A r A n m ==⨯则非齐次线性方程组的秩设矩阵 )(A 一定无解 )(B 可能有解)(C 一定有唯一解 )(D 一定有无穷多解二、填空题（每题3分，共15分）1.设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，行列式2||=A ，则|2|*A =_____________2. D 中第二行元素的代数余子式的和∑=412j jA=__________ ,其中D =1111111*********---3. 已知实二次型321123122132,12224),(x x x ax x x x x x x f ++++=正定,则实常数a 的取值范围为________________A- D ） •A(C) A -A (A) T T (B)4. 2n 阶行列式 ________________=A B BA ,其中n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 0000000 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000 b b b B5. 设A=，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101而n ≥2为正整数，则______21=--n n A A 三、计算题(每题9分,共54分) 1. 计算n 阶行列式•m x x x x x x m x x x x x m x •D n nnn ---=3213213212. 求矩阵X 使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-+--120210006,100010002,011B A BX A BA AX ，其中3. 设非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++-=+++3432211244332114433213222dx x x c x c d x b x b x x d x a x a x x 有三个解向量 1η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211， 2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1112， 3η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2423求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中tk j i d c b a ,,,为已知常数)4. 已知实二次型 ),,(321x x x f =)0(233232232221>+++λλx x x x x 经过正交变换QY X =,化为标准形23222152y y y ++,求实参数λ及正交矩阵Q5. 设线性方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+++=+++=+++b x x x x x x a x x x x x x x x x x 432143214321432131723153203，问a ,b 各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解6. 在四元实向量构成的线性空间4R 中,求a 使4321,,,ββββ为4R 的基,并求由基43214321,,,,,,ββββαααα到的过渡矩阵P ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00112α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01113α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11114α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111a β ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12112a β ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00113β ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00014β四、证明题(每题8分,共16分)1. 设 321,,ααα 是欧氏空间V 的标准正交基,证明:112321233123111(22)(22)(22)333βαααβαααβααα=+-=-+=--也是V 的标准正交基2. 设=f AX X T是n 元实二次型,有n 维实列向量21,X X ,使11AX X T0>，22AX X T0<, 证明:存在n 维列实向量00≠X ,使00AX X T=0线性代数考试A 参考答案一、选择题1.(A)2.(B)3.(B)4.(D)5.(B) 二、填空题1. 12*2|2|-=n A ；2. 0；3.27||<a ； 4.nb a )(22-； 5.0A 2A 1n n =--三、计算题1. 解各列加到第一列，提出公因式•mx x x m x x x •m x D n n n ni i n ---=∑=2221111)( =•m m x x •m x n ni i ---∑=001)(218分=)()1(111m x mni i n n --∑=-- 9分2. 11)(--=-BA X A B A 3分⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120210003020200001X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=12/102/110003X 9分3. 由题设条件知1η,2η,3η是b AX =的三个解，因此3η－1η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1612， 3η－2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1331 是对应的齐次线性方程组的线性无关解向量,因此,系数矩阵A 的秩)(A r ≤2 又A 中有二阶子式052112≠-=-，)(A r ≥2，因此)(A r ＝23分因此3η－1η，3η－2η为其导出组的基础解系。

《线性代数》期末试题B卷参考答案及评分标准

《线性代数》试题参考答案及评分标准一、（本大题共5小题，每小题7分，共35分）1、设122122A -=⎛⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求6A 。

解2122122A ⎛⎫-- ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，31001A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，6A E =， ……………… 7分 2、计算行列式1234234134124123D =.解原式=11111105413132413-=---- . ……………… 7分3、计算行列式121212n n n x ax x x x a x D x x x a--=-.解121212n n n x a x x x x a x D x x x a--=-212121nin i ni ni ni n i x ax x x a x ax x ax x a===---=--∑∑∑ ……………… 3分221211()1n nn i i n x x x a x x a x x a=-=--∑ ……………… 5分2111100()()()0n nnn i i i i x x a x a a x a a-==-=-=---∑∑ ……………… 7分4、计算矩阵20202010102102101010⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩。

解2020222220202010100101001010210210122100211010100000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………… 7分 5、设矩阵111111000,010004b A b a B =⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且A 与B 相似，求,a b 。

解由两行列式相等得：，2(1)0b -=，得1b = ……………… 4分由两对角线的和相等得：25a +=，则3a = ……………… 7分二、（本大题共4小题，每小题9分，共36分）6、设矩阵101020101A =⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，且2AB E A B +=+，求B 。

线性代数考试练习题带答案大全(二)

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关，（B ）列向量组线性相关，（C ）行向量组线性无关，（D ）行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出，（B ）β必不可由,,αγδ线性表出，（C ）δ必可由,,αβγ线性表出，（D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-；（B ）0λ>；（C ）1λ>；（D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ）所对应的行列式的值都等于1；（C ）相乘仍为初等矩阵；（D ）相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

线性代数A,B试卷及答案

（试卷A ）一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）1. 排列6573412的逆序数是．2.函数中的系数是．()f x =21112x x x x x---3x 3．设三阶方阵A 的行列式,则=A/33A =*1()A -．4．n 元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是．5．设向量，=正交，则(1,2,1)Tα=--β⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22λλ=．6．三阶方阵A 的特征值为1，，2，则1-A ＝．7.设，则.1121021003A --⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭_________A *=8.设为的矩阵，已知它的秩为4，则以为系A 86⨯A 数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________．9．设A 为n 阶方阵，且 2则A ＝1*1()3A A --+=．10．已知相似于，则20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12B y -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭=x ，．=y 二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1.设n 阶矩阵A 的行列式等于，则等于D A －5．(A) (B)-5 (C) 5(D)(5)nD -D D 1(5)n D--2. 阶方阵与对角矩阵相似的充分必要条件是.n A (A) 矩阵有个线性无关的特征向量A n (B) 矩阵有个特征值A n (C) 矩阵的行列式A 0A ≠ (D) 矩阵的特征方程没有重根A 3．A 为矩阵，则非齐次线性方程组有唯一m n ⨯AX b =解的充要条件是．(A) (B)(,)R A b m <()R A m <(C) (D)()(,)R A R A b n ==()(,)R A R A b n =<4.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( )(A)． (B)．)()(A R B R ≤)()(A R B R <(C)． (D)．)()(A R B R =)()(A R B R ≥5. 向量组线性相关且秩为r ，则．12,,,s ααα(A)(B)(C)r s =r s <r s >(D) s r≤三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）1. 计算n阶行列式:.22221 =D 22222 2232221222-n n 22222．已知矩阵方程，求矩阵,其中.AX A X =+X 220213010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3. 设阶方阵满足,证明可逆，并n A 0422=--E A A3A E -求.1(3)A E --4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:1234123412342342323883295234x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪-++=⎪⎨-+--=-⎪⎪--=-⎩5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．123421234,1,3,5.2012αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．已知二次型：，323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++= 用正交变换化为标准形，并求出其正交),,(321x xx f 变换矩阵Q ．四、证明题（本题总计 10 分，每小题 10 分）设,,, ,且向量组11ba =212b a a =+ 12r r b a a a =+++ 线性无关，证明向量组线性无关.r a a a ,,,21 r b b b ,,,21 (答案二)一、填空题（本题总计 20 分，每小题2 分）1. 172. -23．4．5．6．-27．或13A ()R A n <2λ=-116A -8． 29、10、12110216003-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦21n）（－2,0-==y x 二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. A 2. A3.C4.D5. B三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10分）1、解： ------D),,4,3(2n i r r i =-00021 00022 001223022-n 20022-n 4分-------7分122r r -00001 00022 -00122 -3022--n20022--n---------10分（此题的)!2(2)2()3(21)2(1--=-⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯=n n n 方法不唯一，可以酌情给分。

2020-2021某大学《线性代数》期末课程考试试卷合集(含答案)

1、设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充要条件是（
A、 A 的列向量组线性相关
B、 A 的列向量组线性无关
C、 A 的行向量组线性相关
D、 A 的行向量组线性无关
2、设 A、B 为 n 阶可逆方阵，则下列结论成立的是（ C ）。
A）
A、 A + B = A + B B、 AB = BA C、 AB = BA D、 ( A + B)−1 = A−1 + B−1
3、设 A 是 45 矩阵， R( A) = 3 ,则（ D ）。
A、 A 中的 4 阶子式都不为 0；子式
C、 A 中的 3 阶子式都不为 0；子式
B、 A 中存在不为 0 的 4 阶 D、 A 中存在不为 0 的 3 阶
4、若矩阵 A, B 相似，下面结论不正确的是（ D ）
A、 R( A) = R(B)；
x1 0 3
3). 当 k = 4 时,方程组有无穷多解,通解为:
x2
=
4
+
c
1
,
(c
R)
x3 0 −1
1 2 1 4．求矩阵 A 的特征值与特征向量，其中 A= − 2 1 3 （10 分）
−1 − 3 1
−1 − 2 −1 解 det(E − A) = 2 −1 − 3 = ( −1)[( −1)2 +14]
3.若 A 为 n 阶方阵， x 为 n 维列向量，为一个数且 Ax = x ，则（ D ）．（ A ）是 A 的一个特征值；（ B ） x 是 A 的一个特征向量；（ C ） E − A 是 A 的特征多项式（ D ）以上结论都不正确．

线代期末考试B卷及答案

2011－2012学年第一学期期末考试《线性代数》试卷（B ）评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题。

(本大题共10小题，每小题3分,共30分) 1．下列等式中正确的是（） A ．()222A B A AB BA B +=+++ B ．()TT T AB A B = C ．()()A B A B A B -+=-22　D ．()33A A A A -=-22.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311132213A 则21a 的代数余子式21A 的值为（）A. 1.B. 1-C. 2.D. 2-3．设12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（） A ．ββ12+B ．12ββ-C ．1222ββ+ D ．12325ββ+ 4．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则21A -必有一个特征值是（）A ．210λ B ．021λ C ．20λD ．2λ 5．设向量组(I)：1α，2α，…r α，向量组(II)：1α，2α，…r α，1r +α，…，s α则必有（）。

A ．若(I)线性无关，则(II)线性无关B ．若(II)线性无关，则(I)线性无关C ．若(I)线性无关，则(II)线性相关D ．若(II)线性相关，则(I)线性相关6.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211121113A 的三个特征值分别是321,,λλλ，则321λλλ++的值等于（） A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.7.已知A 是一个43⨯阶矩阵，则下列命题正确的是( )__________________系__________专业___________班级姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………2 A. 若A 中所有三阶子式都为零，则 2.R AB. 若 2.R A则A 中所有三阶子式都为零C. 若A 中所有二阶子式都不为零，则 2.R AD. 若 2.R A则A 中所有二阶子式都不为零8.．设n 阶方阵A 的0=A 则A 的列向量（）A ．0)(=A RB ． 0)(≠A RC ．线性相关D ．线性无关 9.设向量组A 可由向量组B 线性表示，则有（）A. )()(B R A R ≤B. )()(B R A R ≥C. )()(B R A R =D. 不能确定)(A R 和)(B R 的大小. 10．设n 元线性方程组Ax =b 且为()()n b A R A R ==,，则该方程组（）A.有唯一解；B.有无穷多解；C.无解；D.不确定。

线性代数B试卷答案

《线性代数B 》课程试卷一、填空(本题共6小题，每小题3分，共18分)1. 设A 是四阶方阵，且,1=A 则=2-1-A16 .2．设三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E A A B 2+5-=2的特征值为 -2，8，-4.3. 已知321ααα,,线性相关,3α不能由21αα,线性表示，则21αα,线性相关.4. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-0151-4-02021=t A 的秩为2，则t = 3 . 5. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400021032=A ，则1-A =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4100021-03-2.6．设4阶矩阵[]321=γγγα,,,A ，[]321=γγγβ,,,B ，且,2=A ,3=B 则=+B A 40.二、单项选择(本题共5小题，每小题3分，共15分)1. 矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r)(A A 中任何1+r 列线性相关；)(B A 中任何r 列线性相关；)(C A 中有r 列线性无关； )(D A 中线性无关的列向量最多有r 个.2. 若n 阶方阵B A , 均可逆，C AXB = ，则=X （ C ） C BAA 1-1-)( ; 1-1-ACBB )(; 1-1-CBAC )(; 1-1-CABD )( .3、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a A1111，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n A A A A B1111，其中ij A 是ij a 的代数余子式（i ，j=1，2，…，n ），则（ C ）)(A A 是B 的伴随矩阵； )(B B 是A 的伴随矩阵；)(C B 是T A 的伴随矩阵； )(D B 不是TA 的伴随矩阵.4. A 与B 均为n 阶矩阵，若A 与B 相似，则下列说法正确的是（ C ）．)A (A 与B 有相同的特征值和特征向量； )B ( B E A E -=-λλ；)C (对任意常数k ，有 A kE -与B kE -相似； )D (A 与B 都相似于同一对角阵.5. 非齐次线性方程组b Ax =中A 为)(n m n m ≠⨯矩阵，则（ B ）(A) 若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 仅有零解；(B) 若b Ax =有唯一解，则0=Ax 仅有零解; (C) 若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解; (D) 若0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解.三、计算.（10分）1-1-1-n 2121n 21a a a a a a a a a n解 )1-=∑1=ni i n a D （1-11-11222n n n a a a a a a分4=)1-∑1=ni i a （1-0101-1001分8 1-1-=n )()1-∑1=ni i a （分10四、（10分）设B A ,满足关系式A B AB +2=，且 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103=A ，求矩阵B . 解 A E A B 1-2-=)( 分3 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4121001101-1103101=2- )(A E A 分5 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡410211-12-1-1-0103101−→−分6 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-1002-3-40102-2-5001−→−分9⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 (分或8⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111-1-2-21-1-2=2-1- )(E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 )五、 (14分) 已知非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=+++-=+-+=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x x 4321432143214321617231462032，问a 、b 为何值时，方程组有解，并求出所有解。

线性代数(本科)试卷_第20卷_参考答案及评分标准[1]

线性代数（本科）试卷第20卷参考答案及评分标准一、（每题3分，共24分）1. 39；2. 3；3. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-011213112； 4.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4315； 5. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----4128396264； 6. -32； 7. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1012ξ； 8. 21-。

二、计算题（6题，共66分）1.解：133112201411021---- 32r r +133112210211021-- = 1⨯(-1)3+3133121121- （4分）=2-3+6+6-2-3 = 6 （8分） 2.解：D 2n =n ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-3024231011n n n n n +(n +2)⨯(-1)1+2n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-0124231110n n n n n （4分）=n (n +3)D 2n - 2 -(n +2)(n +1)⨯(-1)2n -1+1D 2n -2=[n (n +3) -(n +2)(n +1)]D 2(n -1) =(-2)D 2(n -1)= (-2)(-2) D 2(n -2) =(-2)2D 2(n -2) =…= (-2)n -1D 2 （8分） =(-2)n -14231 =(-2)n（10分）3、（12分）解：∵| A |=-1≠0 ∴A 可逆又AX=B ∴X=A -1B （2分）()B A ,=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---201211101121322⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−↔20121213221101121r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−+-31110413401101113122r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−↔41340311101101132r r （6分） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−-+165100311104210123214r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−-++16510013401012300133231r r r r r∴X=A -1B= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----165134123 （12分）4、（10分）解：(4321,,,αααα)=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----3620014131121301⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−--362014401510130113122r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----−−→−--51600516001510131242324r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−-000051600151013134r r （6分）∴r (4321,,,αααα)=3，即向量组4321,,,αααα的秩为3 又r (421,,ααα)=3，∴421,,ααα是线性无关的，因此，421,,ααα是向量组4321,,,αααα的一个最大无关组（10分） 5、（12分）解：对增广矩阵A 作初等行变换，有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---112410111321211111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−-11241010241021111112r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−--2100001024103115012321r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−-21000010241010010131r r∵n =5， r (A ) = r (A )=3<5，∴ 方程组有无穷多解，（8分）令x 3=x 4=0，得原方程组的一个解η*=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20011，基础解系为：η1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00141，η2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-01020，所以原方程组的通解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54321x x x x x =k 1η1+k 2η2+η*= k 1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00141+k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01020+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20011，(k 1，k 2∈R ) （12分）6（14分）解：二次型的矩阵为： A= ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111120102E A λ-=λλλ---11112010212r r -λλλλ-----11102)2(10221c c +λλλ---112020102=- (λ-2) (λ-3) λ ∴A 的特征值为：λ1=2，λ2=3，λ3=0 （4分）当λ1=2时，解方程组 (A -2E )X=0，得基础解系为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α；当λ2=3时，解方程组 (A -3E )X=0，得基础解系为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112α；当λ3=0时，解方程组 (A -0E )X=0，得基础解系为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2113α。