郑州师范学院-线性代数-试题B卷-参考答案及评分标准

0 0
k1 2k2 3k3 0
………………………6 分
线性代数试卷(B) 参考答案及评分标准 共 4 页 第 1 页
方程组的系数行列式
1 0 2 0 2 5 0 ， 1 2 3
所以齐次方程组有非零解零解，即存在不全为零的数 k1, k2 , k3 ，使得
k1 β1 k2 β2 k3 β3 0 ，
（下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后
括号内。）
1.D 2．A 3.C 4．B 5. D
二、填空题 （每空 2 分，共 20 分）
1． 0 2． 0
3.
42016
2 4
1
2
6. -2 7. a1 a2 a3 a4 0 8. 3
三、判断题 （每题 2 分，共 10 分）
C. η1 η2 是 Ax b 的解
D. η1 η2 是 Ax b 的解
5. 设三阶矩阵 A 的特征值为 1,1，2，则 2A I 的特征值为
A.3,5
B.1，2
C.,1,1,2
D.3,3,5
【】
二、填空题 （每空 2 分，共 20 分）
3 1 2 4
1．设
Aij (i,
j
1, 2,3, 4)
郑州师范学院 2017—2018 学年第二学期期末试卷
线性代数（1820320B）
（信息科学与技术、经济与管理、历史文化学院 四 年制计算机科学与技术 、计算机 科学与技术（信息技术教育方向）、投资学、管理科学、文化产业管理 专业 17 级使用）
注意事项： 1.本试卷共 6 页，请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 3.考试时间 120 分钟。
(
A
2I
A)
1 1
1 2
0 1 1 1
1 2
0 3
00
1 1
32 10
5 3
33
1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 3 3
0 0
1 0
10 22
3 2
3 0
0 0
1 0
01 11
2 1
3 0
………………………7 分
0 3 3
得
B
(
A
2I
) 1
A
1
2
3
1 1 0
………………………………9 分
得 A 的特征值 1 2 3 1 ．
………………………………………4 分
当 1 2 3 1 时，解方程 ( A I ) x 0 ，由
3 1 2 1 0 1 1 0 1
A
I
5
2
3
0
2
2
0
1
1
,
1 0 1 0 1 1 0 0 0
得基础解系
1
η
11
，……………………………………………………7
.
5. A 为 3 阶方阵， A 1 ，则 r( A) =
.
2
k 1 1
6.
设矩阵
A
1 1
k 1
1 k
的秩
r(
A)
2
，则
k
=
.
x1 x2 a1
7.
若线性方程组
x2 x3 x3 x4
a2 a3
有解，则常数
a1, a2 , a3, a4
应满足的条件是
.
x4 x1 a4
8. 设三阶矩阵 A 的特征值为1, 2, 2 ， I 为单位矩阵，则| 4 A1 I | = 3
.
1 2 3
9.
若矩阵
A
与
B
0 0
2 0
4 3
相似，则
A
的特征值为
.
10. 已知方阵 A 与 B 相似，则 r( A) 与 r(B) 的关系为
.
线性代数试卷(B) 共 6 页 第 2 页
三、判断题 （每题 2 分，共 10 分）
（把答案写在题后的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”）
1.每行元素之和为零的行列式值为零.
【】
A. I A 可逆， I A 可逆 C. I A 不可逆， I A 可逆
B. I A 可逆， I A 不可逆 D. I A 不可逆， I A 不可逆
3. 设 A 为 m n 矩阵，且 r( A) m＜n ，则
【】
A. A 的行、列向量组均线性无关
B. A 的行、列向量组均线性相关
3．解
线性代数试卷(B) 参考答案及评分标准 共 4 页 第 2 页
1 2 1 1 1 2 1 1
(α1T
, α2T
, α3T
,
α4T
)
1 1
1 1
2 2
5 5
0 0
3 3
1 1
6
6
1 3
2
3
0
1
3
2
…………4 分
1 2 1 1 1 2 1 1
0 0
1 3
3 1
2 6
的秩为 r .
【】
5. 已知 A, B 为 n 阶方阵，A 可逆，且 A B ，则 B 也可逆.
【】
四、证明题 （10 分） 设向量组 α1，α2，α3 线性无关，令 β1 α1 α3 ， β2 2α2 2α3 ， β3 2α1-5α2 3α3 ， 试证明向量组 β1, β2 , β3 的线性无关.
1
x1 x2 x3 x4
c1
1
1
0
0
c2
1 0 2 1
2 0
1 2 0
Baidu Nhomakorabea
(c1
,c2
R).
……………9 分
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5. 解 A 的特征多项式为
2 AI 5
1
1 3
0
2 3 ( 1) 3 ， 2
C. A 的行向量组线性无关，列向量组线性相关
D. A 的行向量组线性相关，列向量组线性无关
线性代数试卷(B) 共 6 页 第 1 页
4．设非齐次线性方程组 Ax b 的任意两个解为 η1 和 η2 ，则下列结论正确的是【 】
A. η1 η2 是 Ax 0 的解
B. η1 η2 是 Ax 0 的解
成立，因此， β1, β2 , β3 线性无关． ………………………………………………10 分
五、完成下列各题 （每题 9 分，共 45 分）
1．解 将行列式各列都加到第一列上，有
x a a x (n 1)a a a
D
a
x
a
x (n 1)a
x
a
………………4 分
a a x x (n 1)a a x
题号 一 二 三 四 五 总分 计分人 核分人
一、选择题 （每题 3 分，共 15 分）
（下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号
字母填入题后括号内。）
1 2 34
1.
D
1 1
0 2
3 0
4 4
1 2 3 0
【】
A.1!
B. 2!
C. 3!
D. 4!
2．设 A 为 n 阶非零矩阵，I 为 n 阶单位矩阵，若 A3 O ，则
分
1
所以对应于 1
2
3
1 的全部特征向量为
kη
k
1
(k
0)
．………9
分
1
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【】
2.设 n 阶方阵 A 经若干次初等变换后变成 B ，则 A B .
【】
3.由 k1α1 k2α2 ksαs 0 ，其中 k1, k2 ,, ks 不全为零，可判断 α1, α2 ,, αs 线性无
关.
【】
4. 若向量组 α1, α2 ,, αs 中至少有一个含 r 个向量的部分组皆线性无关，则该向量组
是行列式
D
1 -2
1 7
11 5 3 中 元 素 aij 的 代 数 余 子 式 ， 则
0 2 62
A31 A32 A33 A34
.
2．已知 n 阶行列式 D 的每一列元素之和均为零，则 D
.
3. 设 α (1, 2) ， β (2,1) ， A αT β ，则 A2017
.
4. n 阶方阵 A 满足 A2 3A I 0 ，则 A-1
4. A 3I 5. 3 9. 1,2,3 10. 相等
（把答案写在题后的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”） 1.√ 2．× 3.× 4．× 5.√
四、证明题 （10 分）
证 设有 k1, k2 , k3 使
k1 β1 k2 β2 k3 β3 0 ， ………………………………2 分 即
1aa
[
x
(n
1)a]
1
x
a
1ax
………………………………6 分
1 aa
[x
(n
1)a]
0
xa
a
[x (n 1)a](x a)n1 .………9 分
0 0 xa
2．解 由 AB A 2B ，得（A 2I）B A ， B (A 2I )1 A ………3 分
于是由
2 3 3 0 3 3 1 1 0 1 1 0
郑州师范学院 2017—2018 学年第二学期期末试卷 线性代数（1820320B）参考答案及评分标准
（信息科学与技术、经济与管理、历史文化学院 四 年制计算机科学与技术、计算机科 学与技术（信息技术教育方向）、投资学、管理科学、文化产业管理 专业 17 级使用）
一、选择题 （每题 3 分，共 15 分）
0 0
1 0
3 8
2
0
………………………………6 分
0 0 0 0 0 0 0 0
所以矩阵 A 的列向量组的秩为 3，最大无关组为 α1, α2 , α3 .
…………9 分
4．解 对增广矩阵作初等行变换，化为最简形
A
1 1
1 1 1 1
10 3 1
1 0
1 0
1 1 2 4
0 1
1 1 2 3
1
2
0
0
1 2
1
2
……2 分
1 0 0
1 1 1 0 1 2 000
0 1
1
2
0
0 0
1 0 01 00
1 2 0
1
2
1
2 0
…………5 分
对应的方程组为
x1
x2
x4
1 2
,
x3
2x4
1. 2
……………………………………7 分
取 x2 , x4 为自由未知量，令 x2 c1, x4 c2 ，得
整理得
k1(α1 α3 ) k2 (2α2 2α3 ) k3 (2 α1 5 α2 3 α3 ) 0 ，
(k1 2k3)α1 (2k2 5k3) α2 (k1 2k2 3k3) α3 0 ， ……………4 分
因 α1, α2 , α3 线性无关，有
k1 2k2
2k3 5k3
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五、完成下列各题 （每题 9 分，共 45 分）
x aa
1．计算 n 阶行列式
D
a
x
a .
a a x
0 3 3
2．
设
A
1 1
1 2
0 3
，
AB
A
2B
,求
B
.
线性代数试卷(B) 共 6 页 第 4 页
3．求向量组 α1 (1, 1, 1, 1), α2 (2, 1, 1 , 3), α3 (1, 2, 2, 2), α4 (1, 5, 5, 3) 的秩和一个极大无关组.
4．求非齐次方程组
x1 x2 x3 x4 0 x1 x2 x3 3x4 1
的一个解及对应的齐次方程组的基础解
x1
x2
2x3
3x4
1 2
系.
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2 1 2
5.
求矩阵
A
5 1
3 0
3 2
的特征值和全部特征向量.
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