12届小机灵杯五年级决赛详解

【第 11 题】 两列火车分别从两座城市同时出发相向而行， 3.3 小时后在途中相遇。如果甲车提前 24 分钟出发，那么乙车 如果乙车提前 36 分钟出发， 那么甲车出发 3 小时后两车还需行 9 千 出发 3 小时后两车还需行 14 千米才能相遇； 米才能相遇。两座城市相距 ________ 千米。
a1 a2 a3 … a 10
a
b
b1
b2
b3
…
b 11
【分析与解】 图形计数。
a a1 a2 a3 M … N a 10
b
b1
b2
b3
P
…
Q
b 11
如图所示，如果注意到下面这个事实： 对于直线 a 上的任意两点 M 、 N 与直线 b 上的任意两点 P 、 Q 都可以构成一个四边形 MNQP ， 而这个四边形的两条对角线 NQ 、 NP 的交点恰好是我们要计数的点。 同时，对于任意四点（直线 a 、 b 上分别任取两个点）都可以产生一个这样的交点， 所以图中两条线段的交点与四边形有如下的对应：
两座城市相距 115 85 3.3 660 千米。
【第 12 题】 如图，直线 a 平行于直线 b 。直线 a 上有 10 个点，分别是 a1 、 a2 、 a3 、…、 a10 ，直线 b 上有 11 个点，分别 是 b1 、 b2 、 b3 、…、 b11 。将 a 上的每个点与 b 上的每个点相连，可以得到许多线段。已知没有三条线段相交 。 于直线 a 、 b 外的一点，这些线段一共有 ________ 个交点（不包括 a1 、 a2 、…、 a10 ， b1 、 b2 、…、 b11 ）
2 第 1 步，确定线段 MN ，有 1 2 9 1 9 9 2 45 或 C10
10 9 45 种选择方式； 2 1 11 10 55 种选择方式； 2 1
2 第 2 步，确定线段 PQ ，有 1 2 10 1 10 10 2 55 或 C11
10a b
2
100a 2 20wk.baidu.comb b 2 ；
02 0 ， 12 1 ， 22 4 ， 32 9 ， 42 16 ， 52 25 ， 62 36 ， 7 2 49 ， 82 64 ， 92 81 ； 如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是 6 ； 反之，如果完全平方数的个位数字是 6 ，则它的十位数字一定是奇数。
第十二届“小机灵杯”智力冲浪展示活动决赛试卷（五年级组）
2014 年 1 月 19 日 8 : 30 ~ 9 : 50 时间： 80 分钟 总分： 120 分
一、判断题（每题 1 分） 【第 1 题】 小数点在十进制中用来隔开整数部分和小数部分。中国魏晋时代的数学家刘徽第一个将“小数”这一概念用 文字表达出来。 …………………………………………………………………………………………… （ ） 【分析与解】
故若完全平方数 n 2 的十位数字是奇数，则 n 2 的个位数字是 6 ， n 的个位数字是 4 或 6 ； 1 ~ 95 中，个位数字是 4 或 6 的有 19 个； 故在 12 ， 22 ， 32 ，…， 952 这 95 个数中，十位数字是奇数的数共有 19 个。
【第 8 题】 某商店出售一种商品，有以下几种方案： A. 先提价 10% ，再降价 10% B. 先降价 10% ，再提价 10% C. 先提价 20% ，再降价 20% D. 先提价 30% ，再降价 30% 在这四种销售方案中，价格最低的是方案 ________ 。
【第 3 题】 中国古代数学最重要的典籍应当是《九章算术》 ，魏晋数学家刘徽用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给 出了计算圆周率的科学方法。 …………………………………………………………………………… （ ） 【分析与解】
所谓“割圆术” ，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法。 “圜，一中同长也” 。意思是说：圆只有一个中心，圆周上每一点到中心的距离相等。早在我国先秦时期， 《墨 经》上就已经给出了圆的这个定义，而公元前 11 世纪，我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的 关系。认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积。我国古代数学经典《九章算 术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步” ，也就是我们现在所熟悉的公式。 ，在这一公式后面写了一篇 为了证明这个公式，我国魏晋时期数学家刘徽于公元 263 年撰写《九章算术注》 1800 余字的注记，这篇注记就是数学史上著名的“割圆术” 。 填“√” 。 【第 4 题】 历史上， 最先把幻方当作数学问题来研究的人， 是我国宋朝著名数学家杨辉。 ……………………… （ 【分析与解】
）
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具 有这种性质的图表，称为“幻方” 。中国古代称为“河图” 、 “洛书” ，又叫“纵横图” 。 十三世纪，中国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研究。 填“√” 。
【第 5 题】 十八世纪时，数学家哥德巴赫在研究自然数时发现，很多偶数都有一个共同的性质，可以表示为两个奇素数 的和。于是，他提出了一个猜想：是不是任何一个比 2 大的偶数都能表示为两个奇素数的和 呢？………………………………………………………………………………………………………（ ） 【分析与解】
【分析与解】 经济问题。 方案 A ：最后的价格是原来的 1 10% 1 10% 1 0.1 1 0.1 12 0.12 ； 方案 B ：最后的价格是原来的 1 10% 1 10% 1 0.1 1 0.1 12 0.12 ； 方案 C ：最后的价格是原来的 1 20% 1 20% 1 0.2 1 0.2 12 0.22 方案 D ：最后的价格是原来的 1 30% 1 30% 1 0.3 1 0.3 12 0.32 ； 因为 0.12 0.22 0.32 ； 所以 12 0.12 12 0.22 12 0.32 ； 故在这四种销售方案中，价格最低的是方案 D 。
【分析与解】 平均数问题。 以“丙班原来的女生人数”为基准，乙班比丙班多 1 个女生，甲班比丙班多 4 1 5 个女生； 丙班比原来增加 1 5 3 2 个女生，乙班比原来增加 2 1 1 个女生，甲班比原来减少 5 2 3 个女生； 甲班第一组有女生 3 2 5 人； 乙班第一组有女生 5 1 4 人。
1742 年 6 月 7 日，普鲁士数学家克里斯蒂安·哥德巴赫在写给瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的通信中，提出了 以下的猜想： “任一大于 2 的整数都可以写成三个质数之和。 ”上述与现今的陈述有所出入，原因是当时的哥 德巴赫遵照的是“ 1 也是素数”的约定。现今数学界已经不使用这个约定了。哥德巴赫原初猜想的现代陈述 ”欧拉在 6 月 30 日的回信中注明此一猜想可以有另一个等价 为： “任一大于 5 的整数都可写成三个质数之和。 的版本： “任一大于 2 的偶数都可写成两个质数之和。 ”并将此一猜想视为一定理，但他却无法证明。今日常 见的猜想陈述为欧拉的版本，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想” 。从关于偶数的哥 ”的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想” 德巴赫猜想，可推出： “任一大于 5 的奇数都可写成三个素数之和。 或“关于奇数的哥德巴赫猜想” 。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对 的。 4 只能表示为 4 1 3 2 2 ，即 4 不能表示为两个奇素数的和。 故填“×” 。
【第 10 题】 某年级有甲、乙、丙三个班级，甲班比乙班多 4 个女生，乙班比丙班多 1 个女生。如果把甲班的第一组调到 乙班，把乙班的第一组调到丙班，把丙班的第一组调到甲班，则三个班的女生人数恰好相等。若已知丙班第 一组有 2 个女生，则甲班第一组有女生 ________ 人，乙班第一组有女生 ________ 人。
【第 9 题】 画两条直线将正方形分成四个形状相同、大小相等的图形，共有 ________ 种画法。
【分析与解】 图形剪拼。 这两条直线只要都过正方形的中心（正方形的对角线的交点）且相互垂直； 则这两条直线一定将这个正方形分成四个形状相同、大小相等的图形； 故画两条直线将正方形分成四个形状相同、大小相等的图形，共有无数种画法。
99 7 141 ； 99 1 98 能被 7 整除； 98 7 91 也能被 7 整除； “ □ ”是 1 或 8 。
【第 7 题】 在 12 ， 22 ， 32 ，…， 952 这 95 个数中，十位数字是奇数的数共有 ________ 个。
【分析与解】 数论，完全平方数。
二、填空题（每题 8 分） 【第 6 题】 在 1001 当中嵌入一个数码组成五位数 10□01 ，若这个五位数能被 7 整除，则嵌入的数码“□”是 ________ 。 【分析与解】 数论，整除。 若五位数 10□01 能被 7 整除； 则 10□01 10 10□010 能被 7 整除； 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7 整除，那么这个数能被 7 整除。 即 010 10□ ，则 10□ 10 9□ 能被 7 整除；
中国自古以来就使用十进位制计数法，一些实用的计量单位也采用十进制，所以很容易产生十进分数，即小 数的概念。第一个将这一概念用文字表达出来的是魏晋时代的刘徽。他在计算圆周率的过程中，用到尺、寸、 分、厘、毫、秒 、忽等 7 个单位；对于忽以下的更小单位则不再命名，而统称为“微数” 。 填“√” 。 【第 2 题】 做小数加减法时要把小数点对齐。在小数乘法法则中，两个因数中一共有几位小数，就要从积的左边向右数 几位点上小数点。 ………………………………………………………………………………………… （ ） 【分析与解】 在小数乘法法则中，两个因数中一共有几位小数，就要从积的右边向左数几位点上小数点。 故填“×” 。
交点
四边形MNQP
这说明，为了计数出有多少个交点， 我们只需要求出在直线 a 与 b 中有多少个满足条件的四边形 MNQP 就可以了。 从而把问题转化为：在直线 a 上有 10 个点，直线 b 上有 11 个点。四边形 MNQP 有多少个？ 其中，点 M 、 N 位于直线 a 上，点 P 、 Q 位于直线 b 上。 这是一个常规的组合计数问题，可以用乘法原理分 2 步计算：
【分析与解】 行程问题。 设甲车的速度为 x 千米/时，乙车的速度为 y 千米/时； 两座城市之间的距离 3.3 x y
24 36 x 3 x y 14 y 3 x y 9 ； 60 60
24 x 3 x y 14 3.3 x y 60 即 ； 36 y 3 x y 9 3.3 x y 60 x 115 解得 ； y 85
根据乘法原理，共可产生 45 55 2475 个四边形。 而已知没有三条线段相交于直线 a 、 b 外的一点，那么这些线段一共有 2475 个交点。
【第 13 题】 现有 91 根小棒，长度分别是 1cm ， 2cm ， 3cm ， 4cm ，…， 91cm ，从中至少选出 ________ 根小棒就一定 能围成一个三角形。 【分析与解】 最不利原则。 构成一个三角形要满足“两边之和大于第三边” 。 一方面，假设存在 8 根小棒不能组成三角形； 从小到大第 3 个数不小于 1 2 3 ， 从小到大第 4 个数不小于 1 2 3 6 ， 从小到大第 5 个数不小于 1 2 3 6 12 ， 从小到大第 6 个数不小于 1 2 3 6 12 24 ， 从小到大第 7 个数不小于 1 2 3 6 12 24 48 ， 从小到大第 8 个数不小于 1 2 3 6 12 24 48 96 ， 这与最长的小棒不大于 91 矛盾； 故原假设不成立，即任意选出 8 根小棒都能组成三角形。 另一方面，长度分别为 1 ， 2 ， 3 ， 6 ， 12 ， 24 ， 48 的这 7 根小棒不能围成一个三角形。 综上所述，从中至少选出 8 根小棒就一定能围成一个三角形。 【第 14 题】 幼儿园老师把 270 个苹果、 180 个梨和 235 个橘子平均分给大班小朋友，余下的苹果、梨和橘子的数量之比 是 3 : 2 :1 。大班有 ________ 名小朋友。