曲线积分与曲面积分备课教案

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曲线积分与曲面积分的计算

第21章曲线积分和曲面积分的计算教学目的：教学重点和难点：§ 1第一类曲线积分的计算设函数_/a ，y,z)在滑腻曲线/上有槪念且持续，/的方程为z = z(t)则“(3比)& = J:/［兀⑴，M)，乙(01F ⑴+严⑴+乙'"/)〃 »特别地，若是曲线/为一条滑腻的平面曲线，它的方程为y = 0(x)，(a<x<b),那例：设/是半圆周 x = a cost, y = asint, OS/S/r 。

求 (x 2 + y 2 )ds »例：设/是曲线b =4x±从点0(0,0)到点A(l,2)的一段，计算第一类曲线积分［yds . 例：计算积分［xv/5 ,英中/是球面，+),2+?2=“2被平而x+y + z = 0截得的圆周。

例：求/=J(x + y)c/s,此处/为连接三点O (0,0), A(l,0), B(l,l)的直线段。

§ 2第一类曲面积分的计算一曲面的面积(1) 设有一曲而块S,它的方程为z = /(x,y)。

/(x,y)具有对x 和y 的持续偏导数，即此曲而是滑腻的，且其在XY 平而上的投影为可求面积的。

则该曲而块的面积为 S 叮阿 + 代 dxdy。

x = x(u,v)（2）若曲而的方程为< y = y(“，“)，令E = X； + K + Z：，F = xx v + y u y v + gj ,uZ = Z(u.v)G = Xy + y； + Zy 9则该曲面块的面积为S = JJ J EG - F，di小。

V例：求球而X2 + y2 + Z2= a2含在柱而X2 + y2 = or （a > 0）内部的而积。

例：求球而x2 + F +分=a2含在柱而” +〉,2 =心（° > o）内部的而积。

二化第一类曲面积分为二重积分（1）设函数0（兀,”2）为概念在曲而S上的持续函数。

西工大—高数答案—曲线积分与曲面积分备课讲稿

西工大—高数答案—曲线积分与曲面积分第十章曲线积分与曲面积分第一节第一类曲线积分1.设xOy 平面内有一分布着质量的曲线弧L ,在点(,)x y 处它的线密度为(,)x y ρ,用对弧长的曲线积分表示：（1）这曲线弧L 的长度_______S =; （2）这曲线弧L 的质量_______M =;（3）这曲线弧L 的重心坐标：___x =;___y =; （4）这曲线弧L 对x 轴,y 轴及原点的转动惯量____x I =;____y I =;0____I =.解（1）d LS s =⎰;（2）(,)d LM x y s μ=⎰;（3）(,)d (,)d LLx x y s x x y s μμ=⎰⎰, (,)d (,)d LLy x y s y x y sμμ=⎰⎰, （4）2(,)d x LI y x y s μ=⎰, 2(,)d y LI x x y s μ=⎰, 220()(,)d LI x y x y s μ=+⎰2.（1）设L 为椭圆22143x y +=,其周长为a ,求⎰+L s y x d )43(22. （2）设L 为圆周2264x y +=,求⎰+Ls y x d 22.解（1）L ：22143x y +=,即223412x y +=, 从而 ⎰+Ls y x d )43(22=⎰Ls d 12=⎰Ls d 12=12a .（2）L ：2264x y +=, 从而⎰+Ls y x d 22=⎰Ls 8d =⎰Ls d 8=8π28⋅⋅=128π.3.计算22()d Lx y s +⎰,其中L 是以(0,0),(2,0),(0,1)为顶点的三角形. 解如图10.1所示,1L ：0y =,x 从02→,2L ：0x =,y 从01→, 3L ：22x y =-,y 从01→,d s y y ==. 从而22()d Lx y s +⎰=122()d L x y s +⎰+222()d L x y s +⎰+322()d L x y s +⎰=21122220d d [(22)]d x x y y y y y +-+⎰⎰=12081(485)d 33y y y +-+=3+4.计算s ⎰,其中L 为曲线222x y x +=.解1 L 的参数方程为 L ：1cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩ 02πθ≤≤. 计算出d d s θ=,于是s ⎰=20θ⎰=2π02cos d 2θθ⎰2u θ=π4cos d u u ⎰=π208cos d u u ⎰=8.解2 在极坐标系下,L :2cos ,r θ= ππ22θ-≤≤.计算出d s θ==2d θ,于是s ⎰=222cos 2d ππθθ-⋅⎰=208cos d πθθ⎰=8.5.求空间曲线e cos t x t -=,e sin t y t -=,e (0)t z t -=<<+∞的弧长. 解d s t =td t t -, 从而e d t s t +∞-==.6.有一铁丝成半圆形cos x a t =,sin y a t =,0t π≤≤,其上每一点处的密度等于该点的纵坐标,求铁丝的质量.图 10.1解 d s t =t =d a t . d Lm s ρ=⎰=d Ly s ⎰=π0sin d a t a t ⋅⎰=π20sin d a t t ⎰=22a .7.计算22()d Lx y z s +-⎰,其中L 为球面222x y z a ++=与平面0x y z ++=的交线.解由于222x y z a ++=与0x y z ++=对x ,y ,z 都具有轮换对称性,故 2d Lx s ⎰=2d Ly s ⎰=2d Lz s ⎰,d Lx s ⎰=d Ly s ⎰=d Lz s ⎰.于是2d L x s ⎰=2221(d d d )3LL L x s y s z s ++⎰⎰⎰ =2221()d 3Lx y z s ++⎰=2d 3La s ⎰=22π3a a ⋅=32π3a . 其中d Ls ⎰为圆周2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩的周长,显然平面0x y z ++=过球面2222x y z a ++=的球心(0,0,0)O ,所以L 为该球面上的大圆,即半径为a ,故周长为2a π.又因为()d Ly z s -⎰=d d LLy s z s -⎰⎰=0,所以22()d Lx y z s +-⎰=32π3a .第二节第二类曲线积分1.计算⎰+--+L yx y y x x y x 22d )(d )(,其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）.解 L :cos ,sin x a t y a t ==,t 由0到2π, 从而I =⎰+--+L yx yy x x y x 22d )(d )(=20[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]d t t t t t t t π+---⎰=20d t π-⎰=2π-.2.计算22()d Lx y x -⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.解 I =22()d Lx y x -⎰=2240()d x x x -⎰=5615-. 3.计算(2)d d La y x x y -+⎰,其中L 为摆线(sin )x a t t =-,(1cos )y a t =-上对应t 从0到π2的一段弧（图10.2）. 解 I =(2)d d La y x x y -+⎰=20{[2(1cos )](1cos )(sin )sin }d a a t a t a t t a t t π---+-⎰=220sin d a t t t π⎰=22πa -.4.计算22[1()sin ]d [()sin ]d Lxy y x x x xy y y ++++⎰,其中L 为上半椭圆221(0)x xy y y ++=≥,从点(1,0)-到点(1,0)的一段弧.解由221x xy y ++=可得221xy y x +=-,221x xy y +=-,代入积分式,得22[1()sin ]d [()sin ]d Lxy y x x x xy y y ++++⎰=22[1(1)sin ]d (1)sin d Lx x x y y y +-+-⎰ =1221[1(1)sin ]d (1)sin d x x x y y y -+-+-⎰⎰=2.5.计算222d d d x x y y z z Γ++⎰,其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段.解 Γ的点向式方程为：111123x y z ---==,从而Γ得参数方程为 1x t =+,12y t =+,13z t =+,t 由0到1. I =12220[(1)2(12)3(13)]d t t t t +++++⎰=111333000111(1)(12)(13)333t t t +++++=32.图 10.26.计算⎰Γ+-z y y x d d d ,其中Γ为有向闭折线ABCA ,这里的A ,B ,C 依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).解如图10.3,AB :1x y =-,0z =,y 由0到1. d d d ABx y y z -+⎰=12d y -⎰=2-;BC :1y z =-,0x =,z 由0到1; d d d BCx y y z -+⎰=1(2)d z z -⎰=32; CA :1z x =-,0y =,x 由0到1; d d d CAx y y z -+⎰=1d x ⎰=1,故 I =()d d d AB BC CA x y y z ++-+⎰⎰⎰=3212-++=12.7.有一质量为m 的质点,除受重力的作用外,还受到一个大小等于该质点到原点的距离,方向指向原点的力f 的作用,设该质点沿螺旋线:cos L x t =,sin y t =,z t =从点π(0,1,)2A 移动到点(1,0,0)B 移动到点,求重力与力f的合力所作的功.解依据题意,力f =x y z ---i j k ,故质点所受的合力 ()mg x y z mg =-=---+F f k i j k 在螺旋线L 上,起点A 对应于π2t =,终点B 对应于0t =,即π:02t →. 因此,力F 所作的功d d ()d LW x x y y z mg z =---+⎰=0π2[cos (sin )sin cos ()]d t t t t t mg t ----+⎰=π20()d t mg t +⎰=2ππ82mg +.第三节格林公式1.设xOy 平面上闭曲线L 所围成的闭区域为D ,将给定的二重积分与其相应的曲线积分用线连接起来.图 10.3(1) d d Dx y ⎰⎰ (a) ⎰-Lx y y x d d(2) 2d d Dx y ⎰⎰ (b)⎰-L y x x x d d 21(3)d d Dx y -⎰⎰ (c)⎰-L x y y x d d 212.利用曲线积分计算星形线3cos x a t =,3sin y a t =所围成图形的面积.解如图10.4，因为33cos sin x a tx a t ⎧=⎨=⎩ t 由0到2π. 从而S =d Dσ⎰⎰=⎰-L x y y x d d 21=2π323201[cos 3sin cos sin (3cos sin )]d 2a t a t t a t a t t t ⋅--⎰=2π22203sin cos d 2a t t t ⎰=2π2203sin 2d 8a t t ⎰=2π2031cos 4d 82t a t -⎰=23π8a .3.证明2322(6)d (63)d Lxy y x x y xy y -+-⎰只与L 的起始点有关,而与所取路径无关,并计算积分(3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰.解 236P xy y =-,2263Q x y xy =-,2123P Qxy y y x∂∂=-=∂∂,所以积分与路径无关, 故(3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰=34212(248)d (549)d x x y y y -+-⎰⎰=2323412[128][273]x x y y -+-=80156236+=. 或者 (3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰图 10.4=(3,4)2232(1,2)(6d 6d )(d 3d )xy x x y y y x xy y +-+⎰=(3,4)223(1,2)d(3)x y xy -⎰=223(3,4)(1,2)[3]x y xy -=236. 4.计算e (1cos )d e (sin )d x x LI y x y y y =-+-⎰,其中L 为从(0,0)O 到(,0)A π的正弦曲线sin y x =. 解如图10.5所示,由格林公式 I =e (1cos )d e (sin )d x x Ly x y y y -+-⎰=y y y x y x x AO AOL d )(sin e d )cos 1(e )(-+--⎰⎰+=(e )d d 0x Dy x y ---⎰⎰=πsin 0e d d x x x y y ⎰⎰=π201e sin d 2x x x ⎰=π01e (1cos 2)d 4xx x -⎰ =ππ0011e d e cos 2d 44x x x x x -⎰⎰=ππ11(e 1)(e 1)420---=π1(e 1)5-. 其中π0e cos 2d x x x ⎰=π0cos 2de x x ⎰=ππ00e cos 2|e dcos 2x x x x -⎰=πe 12sin 2d x e x x π-+⎰=ππ0e 12sin 2de x x -+⎰=πππ00e 12e sin 2|2e dsin 2x x x x -+-⎰=ππ0e 14e cos2d x x x --⎰.移项解之,得 ππ01e cos 2d (e 1)5x x x =-⎰.注意本题易犯两个错误：（1）I =y y y x y x x AO AOL d )(sin e d )cos 1(e )(-+--⎰⎰+=(e )d d x Dy x y -⎰⎰.产生错误的原因是,没有注意格林公式使用时的条件：⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂DL y Q x P y x yPx Q d d d d )(,图 10.5其中C 是D 的取正向的边界曲线.而本题的闭曲线L AO +是D 的取负向的边界曲线,所以二重积分()d d DQ Px y x y∂∂-∂∂⎰⎰前面必须添加负号. （2）计算定积分π0e cos 2d x x x ⎰是连续两次使用部分积分法后移项解出来的.对此积分有些同学束手无策,有些则在连续使用分布积分法d d u v uv v u =-⎰⎰时,每次选取函数()u x ,不注意必须是同类函数（如选三角函数作为()u x 就一直选三角函数,如选e x 作为()u x 就一直选e x ）,结果就出现了恒等式d d u v u v =⎰⎰,即前进一步又倒退一步,致使积不出来.5. 已知()x ϕ'连续,且(0)(1)0ϕϕ==,(0,0)A ,(1,1)B ,计算⎰-'+-=AMBx x y y x y y I d ]1e )([d ]e )([ϕϕ其中AMB 是以AB 线段为直径的上半圆周.解如图10.6所示⎰-'+-=AMBx x y y x y y I d ]1e )([d ]e )([ϕϕ =⎰⎰+-'+--BAAMB BA x x y y x y y d ]1e )([d ]e )(][[ϕϕ=d d [()e ]d [()e 1]d x x ABDx y y y x y y ϕϕ'-+-+-⎰⎰⎰=10π[(()())e (1)]d 4x x x x x ϕϕ'-++-+⎰=111000π()e d ()e d (1)d 4x x x x x x x x ϕϕ'-++-+⎰⎰⎰=1100π3()e d e d ()42x x x x x ϕϕ-++-⎰⎰=111000π3()e d e ()|()e d 42x x xx x x x x ϕϕϕ--++-⎰⎰ =π342--=π3()42-+.本题需注意两点：（1）同上题一样,使用格林公式时要注意边界曲线的方向,本题因是负向,故二重积分前必须添上负号;图 10.6（2）因()x ϕ是抽象函数,不可能直接将11()e d ()e d x x x x x x ϕϕ'+⎰⎰积出来,请不要先急于积分,先用分布积分法将10()e d x x x ϕ'⎰表示为11100e d ()e ()|()e d x x xx x x x ϕϕϕ=-⎰⎰,则两项抽象函数的定积分就抵消了,问题就可得到解决,因此在解题过程中一定要善于思考,从中发现解题技巧.6.证明22()d ()d x y x x y yx y-+++在右半平面(0)x >内为某一函数(,)u x y 的全微分,并求出一个这样的函数(,)u x y .解 22x y P x y -=+,22x yQ x y +=+,由于222222()P y xy x Q y x y x ∂--∂==∂+∂,所以 22()d ()d x y x x y yx y-+++ 为某一函数(,)u x y 的全微分.取定点0(1,0)M ,对于右半平面上任一点(,)M x y ,令 (,)u x y =(,)22(1,0)()d ()d x y x y x x y yx y -+++⎰=222100d d 0x y x x y x y x x y -++++⎰⎰ =22221001d d d x y y x yx y y xx y x y ++++⎰⎰⎰ =221ln arctan ln()ln 2y x x y x x +++- =221arctanln()2y x y x ++. 7.已知曲线积分⎰-++Ly x x x y d )9(d )1(33,其中L 为圆周222()x a y a -+=(0)a >,取逆时针方向,求a 的值,使得对应曲线积分的值最大.解显然31P y =+,39Q x x =-在区域:D 222()x a y a -+≤内有一阶连续的偏导数,由格林公式 ()I a =⎰+Ly Q x P d d =()d d DQ Px y x y ∂∂-∂∂⎰⎰=22(933)d d Dx y x y --⎰⎰ =229d d 3()d d DDx y x y x y -+⎰⎰⎰⎰=2cos 232029π3d d a a r r πθπθ--⎰⎰=244229π34cos d a a ππθθ--⎰=24420924cos d a aππθθ-⎰=2431π9π24422a a -⋅⋅⋅=2499ππ2a a -.2()18π(1)I a a a '=-,令()0I a '=,解得1a =（依题意设0a >，故将0a =和1a =-舍去）,因为1a =是()I a 在(0,)+∞内唯一的驻点,且()18π54πI a ''=-=36π0-<,故()I a 在1a =处取得最大值,因此1a =,即当积分路径为22(1)1x y -+=时,对应曲线积分的值最大.8.求⎰+---Ly x yx x y 22)1(d )1(d ,其中（1）L 为圆周2220x y y +-=的正向;（2）L 为椭圆22480x y x +-=的正向. 解令22(,)(1)y P x y x y =-+,22(1)(,)(1)x Q x y x y--=-+,则当22(1)0x y -+≠时,有22222(1)[(1)]Q x y Px x y y∂--∂==∂-+∂, 记L 所围成的闭区域为D ,（1）L :2220x y y +-=,即22(1)1x y +-=, 此时(1,0)D ∉,（如图10.7(a)所示）.由于Q Px y∂∂=∂∂,由格林公式, 0)1(d )1(d 22=+---⎰L y x y x x y . 图 10.7(a) 图 10.7(b)（2）L :22480x y x +-=,即22(1)14y x -+=,此时(1,0)D ∈,以(1,0)为圆心,以充分小的0ε>为半径作圆周1cos :sin x C y εθεθ-=⎧⎨=⎩,θ由0到2π,取逆时针方向（如图10.7(b)所示）.记L 和C 所围成的闭区域为1D ,对复连通区域1D 应用格林公式,得 0)1(d )1(d 22=+---⎰-+C L y x yx x y ,从而I =⎰+---Ly x y x x y 22)1(d )1(d =⎰+---C yx yx x y 22)1(d )1(d =2π2sin (sin )cos cos d εθεθεθεθθε--⋅⎰ =2π0d θ-⎰=2π-.注意（2）中由于点(1,0)位于L 所围成的闭区域D 内,需用复连通域上的格林公式,以避开(1,0)点,考虑到被积函数的分母为22(1)x y -+,故取圆周1cos :sin x C y εθεθ-=⎧⎨=⎩,有同学不考虑“洞”,即点(1,0),直接用格林公式,得到0)1(d )1(d 22=+---⎰Lyx yx x y 是错误的. 9.求[e sin ()]d (e cos )d x x LI y b x y x y ax y =-++-⎰,其中a 、b 为正常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y (0,0)O 的弧.解添加从点(0,0)O 沿0y =到点(2,0)A a 的有向直线段1L ,则⎰⎰-++---++-=+11d )cose (d )](sin e [d )cos e (d )](sin e [L x x L L x x yax y x y x b y y ax y x y x b y I =20[(e cos )(e cos )]d d d a x xDy a y b x y bx x -----⎰⎰⎰=20()d d d a Db a x y b x -+⎰⎰⎰=22π()(2)22bb a a a -+=23ππ(2)22a b a +-.第四节第一类曲面积分1.设有一分布着质量的曲面∑,在点(,,)x y z 处它的面密度为(,,)x y z ρ.用曲面积分表示：（1）这曲面∑的面积A =______; （2）这曲面∑的质量M =______;（3）这曲面∑的重心坐标为x =______,y =______,z =______; （4）这曲面∑对于x 轴,y 轴,z 轴及原点的转动惯量x I =__,y I =__,z I =______,0I =______.解（1）A =d S ∑⎰⎰.（2）M =(,,)d x y z S μ∑⎰⎰.（3）x =(,,)d (,,)d x x y z Sx y z Sμμ∑∑⎰⎰⎰⎰,y =(,,)d (,,)d y x y z Sx y z Sμμ∑∑⎰⎰⎰⎰,z =(,,)d (,,)d z x y z Sx y z Sμμ∑∑⎰⎰⎰⎰.（4）x I =22()(,,)d y z x y z S μ∑+⎰⎰, y I =22()(,,)d x z x y z S μ∑+⎰⎰,z I =22()(,,)d x y x y z S μ∑+⎰⎰, 0I =222()(,,)d x y z x y z S μ∑++⎰⎰.2.计算4(2)d 3z x y S ∑++⎰⎰,其中∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分. 解如图10.8所示，∑:1234x y z ++=,2zx ∂=-∂,43z y ∂=-∂d d S x y =d x y , 在积分曲面上,被积函数423z x y ++=4()4234x y z++=, 303:202xy y xD x ⎧≤≤-⎪⎨⎪≤≤⎩,图 10.8从而4(2)d 3z x y S ∑++⎰⎰=614d d 3xyD x y ⋅⎰⎰ =461d d xy D x y ⎰⎰=46133⋅=461. 3.计算⎰⎰∑+S y x d )(22,其中∑是锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 解如图10.9所示,1∑:22z x y =+,22zxx y∂=∂+,22z yx y∂=∂+,22d 1()()d d z z S x y x y∂∂=++∂∂=2d d x y ,22:1xy D x y +≤. 2∑:1z =,d d d S x y =,22:1xy D x y +≤,⎰⎰∑+S y x d )(22=122222()d ()d x y S x y S ∑∑+++⎰⎰⎰⎰ =2π12π1220d ρ2ρd ρd ρρd ρθθ+⎰⎰⎰⎰=11330022πρd ρ2πρd ρ+⎰⎰=π(21)2+.4.计算I =()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中∑为锥面22z x y =+被柱面222x y ax+=所截成的部分(0)a >.解因为积分曲面∑关于zOx 坐标面（即0y =平面）对称,xy yz +()y x z =+是关于y 的奇函数,所以I =()d d y x z S zx S ∑∑++⎰⎰⎰⎰＝0d zx S ∑+⎰⎰此外,在∑上,22z x y =+,d 2d d S x y =,且∑在xOy 面上的投影为22:2xy D x y ax +≤,因此图 10.9I ＝d zx S ∑⎰⎰＝22d x x y S ∑+⎰⎰＝222d d xyD x x y x y +⎰⎰＝π2cos 32π022d cos d a r r θθθ-⎰⎰＝452082cos d aπθθ⎰＝4428253a ⋅⋅＝4642a ． 5.计算d S ∑⎰⎰,其中∑为抛物面222()z x y =-+在xOy 面上方的部分.解如图10.10所示,222()z x y =-+,2zx x∂=-∂,2z y y ∂=-∂,22d 1()()d d z z S x y x y∂∂=++∂∂=22144d d x y x y ++, 22:2xy D x y +≤, d S ∑⎰⎰=22144d d xyD x y x y ++⎰⎰=2π220d 14ρρd ρθ+⎰⎰=12222012π(14ρ)d(14ρ)8++⋅⎰=2223π2(14ρ)|43⋅+=13π3.6.计算()d x y z S ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)z h h a ≥<<的部分.解 ∑在xOy 面上的投影为圆域：2222:xy D x y a h +≤-, d S =222222221()()d d x y x y a x ya x y--++----=222d d x y a x y--,故 ()d x y z S ∑++⎰⎰=222222()d d xyD x y a x y x y a x y++--⋅--⎰⎰图 10.10由积分区域的对称性可得：d xyD x x y ⎰⎰=0，d xyD y x y ⎰⎰=0,又积分区域xy D 的面积为22π()a h -,故()d x y z S ∑++⎰⎰=d d xyD a x y ⎰⎰=22π()a a h -.7.求柱面220x y ax +-=在球面2222x y z a ++=内部的部分的表面积(0)a >. 解由对称性,所求面积A 为其位于第一卦限部分面积的4倍,即4d A S ∑=⎰⎰,其中曲面∑为y =,求得面积元素d d S x z =d x z ,由22z x y ax⎧⎪=⎨+=⎪⎩,消去y ,得z 由此得∑在zOx 坐标面上的投影为::0xz D z ≤≤0x a ≤≤, 因此,曲面∑的面积 4d A S ∑=⎰⎰=4d xzD x z ⎰⎰=02d aa x ⎰⎰=02a a x ⎰=02a a x ⎰=24a . 8.设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(,,)P x y z S ∈,π为S 在点P 处的切平面,(,,)f x y z 为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求d (,,)SzS f x y z ⎰⎰解设(,,)X Y Z 为π上任意一点,则π的方程为122xX yY zZ ++=,从而知 (,,)f x y z =12222()44x y z -++,由z =有z x ∂∂,z y∂∂d Sd x yd x y ,从而d (,,)Sz S f x y z ⎰⎰=221(4)d d 4Dx y x y --⎰⎰=2π2001d ρ)ρd ρ4θ-⎰⎰=3π2.第五节第二类曲面积分1.当∑是xOy 面内的一个闭区域D 时,(,,)d f x y z S ∑⎰⎰与二重积分的关系为（1）(,,)d f x y z S ∑⎰⎰=____d d D x y ⎰⎰,（2）(,,)d R x y z S ∑⎰⎰=____d d Dx y ⎰⎰.解（1）(,,0)f x y , （2）(,,0)R x y ±.注意因第一类曲面积分与所给曲面的侧无关,所以(1)中应填(,,0)f x y ;而第二类曲面积分与曲面的侧有关,所以(2)中应填(,,0)R x y ±,有个别同学常疏忽这一点,只填(,,0)R x y ,这是不对的.2.计算222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰,其中∑为半球面z =.解记1∑:x =取前侧,2∑:x =,1∑与2∑在yoz 面的投影区域相同,记为yz D . 2d d x y z ∑⎰⎰=12d d x y z ∑⎰⎰+22d d x y z ∑⎰⎰=222222()d d ()d d yzyzD D a y z y z a y z y z -----⎰⎰⎰⎰=0.同理 2d d y z x ∑⎰⎰=0,而 2d d z x y ∑⎰⎰=222222()d d x y a a x y x y +≤--⎰⎰=2220d (ρ)ρd ρaa πθ-⎰⎰=4π2a . 从而I =222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰=2d d x y z ∑⎰⎰+2d d y z x ∑⎰⎰+2d d z x y ∑⎰⎰=0+0+4π2a =4π2a .注意常见的错误是：2d d x y z ∑⎰⎰=12d d x y z ∑⎰⎰+22d d x y z ∑⎰⎰=2222()d d yzD a y z y z --⎰⎰或 2d d y z x ∑⎰⎰=2222()d d zxD a x z z x --⎰⎰.产生错误的原因是忽视了将第二类曲面积分化为二重积分时,应根据积分曲面的侧选择二重积分前的正、负号.(,,)d d f x y z x y ∑⎰⎰=[,,(,)]d d xyD f x y z x y x y ±⎰⎰,(,,)d d g x y z y z ∑⎰⎰=[(,),,]d d yzD g x y z y z y z ±⎰⎰,(,,)d d R x y z z x ∑⎰⎰=[,(,),]d d zxD R x y z x z z x ±⎰⎰.将第二类曲面积分化为二重积分时,究竟什么时候二重积分前面写正号,什么时候写负号,这与所给曲面的侧有关.切记：上侧取正,下侧取负; 前侧取正,后侧取负; 右侧取正,左侧取负;3.计算⎰⎰∑y x xz d d ,其中∑是平面0x =,0y =,0z =,1x y z ++=所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解如图10.11所示,1234∑=∑+∑+∑+∑,其中1234,,,∑∑∑∑各自对应于四面体的一个表面,可表示为1∑:0z = 下侧; 2∑:0y = 左侧;3∑:0x = 后侧; 4∑:1x y z ++= 上侧.由于1∑在0z =平面上,故在1∑上的曲面积分为0;同理,在2∑,3∑上的曲面积分也都为0,所以,⎰⎰∑y x xz d d =4d d xz x y ∑⎰⎰ 由4∑得方程得1z x y =--,4∑在xoy 面上的投影域为:01xy D y x ≤≤-,01x ≤≤, 于是⎰⎰∑y x xz d d =4d d xz x y ∑⎰⎰=4(1)d d x x y x y ∑--⎰⎰=(1)d d xyD x x y x y --⎰⎰=110d (1)d x x x x y y ---⎰⎰=124. 4.计算d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z R ++=的外侧.解由题设,∑的单位法向量 n =(cos ,cos ,cos )αβγ,2,2)x y z =1(,,)x y z R. 由两类曲面积分的关系,可得d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰=(cos cos cos )d x y z S αβγ∑++⎰⎰=2221()d x y z S R ∑++⎰⎰=21d R S R ∑⎰⎰ =d R S ∑⎰⎰几何意义24πR R ⋅=34πR .5.计算I =y x z h x z y g z y x f d d )(d d )(d )d (++⎰⎰∑,其中,,f g h 为连续函数,∑为平行六面体:0,0,0x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤表面的外侧.解 ⎰⎰∑y x z h d d )(=()d d (0)d d xyxyD D h c x y h x y -⎰⎰⎰⎰=[()(0)]ab h c h -,⎰⎰∑x z y g d d )(=()d d (0)d d xzxzD D g b z x g z x -⎰⎰⎰⎰=[()(0)]ac g b g -,图 10.11⎰⎰∑z y x f d d )(=()d d (0)d d yzyzD D f a y z f y z -⎰⎰⎰⎰=[()(0)]bc f a f -,从而 I =()(0)()(0)()(0)[]f a f g b g h c h abc a b c---++. 注意本题易犯的错误是利用高斯公式来解,题目中仅告诉我们,,,f g h 为连续函数,又如何对,,f g h 求导呢?6.计算[(,,)]d d [2(,,)]d d [(,,)]d d f x y z x y z f x y z y z x f x y z z x y ∑+++++⎰⎰,其中(,,)f x y z 为连续函数,∑是平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧.解平面1x y z -+=的法线向量为n ={1,1,1}-,方向余弦为cos α=cos β=cos γ=, 则I =[(,,)]d d [2(,,)]d d [(,,)]d d f x y z x y z f x y z y z x f x y z z x y ∑+++++⎰⎰=[()cos (2)cos ()cos ]d f x f y f z S αβγ∑+++++⎰⎰=[((2)((f x f y f z S ∑+++++⎰⎰()d x y z S ∑-+=1d 3S ∑⎰⎰d xyD x yd xy x y ⎰⎰=d d xyD x y ⎰⎰=12.第六节高斯公式通量与散度1.设计y x xy z x z zx y z y yz x d d )(d d )(d )d (222-+-+-⎰⎰∑,其中∑为平面0x =,0,0,,,y z x a y a z a =====所围成的立体的表面的外侧. 解由高斯公式,I =y x xy z x z zx y z y yz x d d )(d d )(d )d (222-+-+-⎰⎰∑=(222)d x y z v Ω++⎰⎰⎰=2()d x y z v Ω++⎰⎰⎰设该正方体的形心坐标为(,,)x y z ,则2a x y z ===, 而 d d d x v x vx vvΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,d y vy vΩ=⎰⎰⎰,d z vz vΩ=⎰⎰⎰,所以 d ,x v xv Ω=⎰⎰⎰ d ,y v yv Ω=⎰⎰⎰ d ,z v zv Ω=⎰⎰⎰.从而 I =2()x y z v ++=31112()222a a a a ++=43a .本题巧妙地利用了重心坐标公式,将利用高斯公式后得到的三重积分()d x y z v Ω++⎰⎰⎰的计算转化为计算()x y z v ++,从而使问题得到解决.2.计算24d d d d 2d d xz y z y z x yz x y ∑-+⎰⎰,其中∑是球面2222x y z a ++=外侧的上半部分(0)a >.解补充平面2221:0()z x y a ∑=+≤取下侧,I =y x yz x z y z y xz d d 2d d d d 4)(211+--⎰⎰⎰⎰∑+∑∑=(422)d 0z y y v Ω-+-⎰⎰⎰=4d z v Ω⎰⎰⎰=2π04d ρd ρd az θ⎰⎰⎰=22ρρ8πρd ρ2aa -⋅⎰=4πa . 注意易犯的错误是（1）I =24d d d d 2d d xz y z y z x yz x y ∑-+⎰⎰=(422)d z y y v Ω-+⎰⎰⎰=4zdv Ω⎰⎰⎰=…产生错误的原因是,没有注意到∑仅是球面的上半部分,∑并非封闭曲面,不能直接用高斯公式.尽管本题中沿曲面1∑的积分：124d d d d 2d d 0xz y z y z x yz x y ∑-+=⎰⎰,致使题目答案未受任何影响,但对不封闭的曲面直接用高斯公式,显然是不对的.（2）有同学在补充平面2221:0()z x y a ∑=+≤时,不写取什么侧,这也不妥.3.计算y x z x z yxf x z y )y x f(y d d d d )(1d d 1++⎰⎰∑,其中()f u 具有一阶连续导数,∑为柱面222()()()2ax a y a -+-=及平面0,1(0)z z a ==>所围成立体的表面外侧.解利用高斯公式,有I =y x z x z y xf x z y )y x f(y d d d d )(1d d 1++⎰⎰∑=2211[()()1]d x xf f v y y y y Ω''-+⎰⎰⎰=d v Ω⎰⎰⎰ =2π()12a ⋅⋅=2π4a .4.计算y x z x z y z y x d d d d d d 333++⎰⎰∑,其中∑为球面2222x y z a ++=的内侧.解 y x z x z y z y x d d d d d d 333++⎰⎰∑=2223()d x y z v Ω-++⎰⎰⎰=2ππ403d sin d ρd ρaθϕϕ-⎰⎰⎰=512π5a -. 注意易犯的错误是y x z x z y z y x d d d d d d 333++⎰⎰∑=2223()d x y z v Ω++⎰⎰⎰=23d a v Ω⎰⎰⎰=2343π3a a ⋅=54πa .这里有两个错误：(1) 不注意高斯公式使用的条件：∑应是空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧. 本题所给的闭曲面是球面的内侧. 因此在将闭曲面上的曲面积分y x z x z y z y x d d d d d d 333++⎰⎰∑化成三重积分2223()x y z dv Ω++⎰⎰⎰时,前面必须写上负号.(2) 将曲面积分与三重积分的计算法混为一谈. 计算三重积分222()d x y z v Ω++⎰⎰⎰时,因为Ω为球体：2222x y z a ++≤,因此不能将三重积分中的被积函数222x y z ++用2a 代入,这种做法是常犯的错误. 只有计算曲面积分时,才能将曲面方程代入被积函数.5.计算322d d 2d d 3d d I x y z xz z x y z x y ∑=++⎰⎰,其中积分曲面∑为抛物面z =22(01)x y z +≤≤的上侧.解令221:1(1)z x y ∑=+≤,取下侧,则1∑+∑构成封闭曲面,取内侧. 于是y x y x z xz z y x d zd 3d d 2d d 2231++⎰⎰∑+∑=()d P Q Rv x y zΩ∂∂∂-++∂∂∂⎰⎰⎰ =223()d d d x y x y z Ω-+⎰⎰⎰=221223d d ()d xyx yD x y x y z +-+⎰⎰⎰=22π112003d d d r r r r z θ-⎰⎰⎰=13206π(1)d r r r --⎰=π2-.由于1∑在平面1z =上,1∑在,zOx yOz 坐标面上的投影为直线段,故d d z x =d d y z =0,1∑在xOy 坐标面上的投影域为22:1xy D x y +≤,于是322d d 2d d 3d d x y z xz z x y z x y ∑++⎰⎰=123d d y x y ∑⎰⎰=23d d xyD y x y -⎰⎰ =212203d ρρsin d ρπθθ-⋅⎰⎰=212303sin d ρd ρπθθ-⎰⎰=3π4-. 所以11322322d d 2d d 3d d d d 2d d 3d d I x y z xz z x y z x y x y z xz z x y z x y ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰=π3π()24---=π4.6.计算⎰⎰∑++S z y x d )cos cos cos (222γβα,其中∑是由222x y z +=及z h =(0)h >所围成的闭曲面的外侧,cos ,cos ,cos αβγ是此曲面的外法线的方向余弦.解 ∑在xOy 平面上的投影区域为：222x y h +≤. I =⎰⎰∑++S z y x d )cos cos cos (222γβα=⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d 222=(222)d x y z v Ω++⎰⎰⎰=2d d )d xyh D x y x y z z ++⎰⎰=2()d d 2d d d xyxyh h D D x y x y z x y z ++⎰⎰⎰⎰=222()2()(d 2d d 2xy xyD D h x y x y h x y x y -+++⎰⎰⎰⎰=2π2π22202(cos sin )d (ρ)ρd ρd (ρ)ρd ρh hh h θθθθ+-+-⎰⎰⎰⎰=23002π(ρρ)d ρhh +-⎰=442π[]24h h -=4π2h .7.已知向量场22xz x y y z =i +j +k A ,求A 的散度以及A 穿过∑流向∑指定侧的通量,其中∑为2222,1z x y x y =++=以及三个坐标面在第一卦限所围立体全表面的外侧.解令22,,P xz Q x y R y z ===,则A 的散度 22div P Q RA z x y x y z∂∂∂=++=++∂∂∂. 通量⎰⎰∑⋅=ΦS d n A =div d v Ω⎰⎰⎰A =22()d z x y v Ω++⎰⎰⎰=22220d d ()d xyx y D x y z x y z +++⎰⎰⎰22(:1,0,0)xy D x y x y +≤≥≥=2223()d d 2xyD x y x y +⎰⎰=142003d d 2r r r πθ⋅⎰⎰=π31226⋅⋅=π8.第七节斯托克斯公式环量与旋度1.利用斯托克斯公式计算⎰Γ++z x y z x y d d d ,这里Γ为曲线2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩从x 轴正向看去,Γ为逆时针方向.解平面0x y z ++=的上侧法线的方向余弦为cos cos cos αβγ===设∑为平面0x y z ++=上由圆周Γ所围成的面域,取上侧,相应的单位法向量. 于是⎰Γ++z x y z x y d d d =cos cos cos d S x y z yzxαβγ∑∂∂∂∂∂∂⎰⎰=(cos cos cos )d S αβγ∑-++⎰⎰=d S ∑=2a .2.求向量场(sin )(-cos )z y z x y +A =i -j 的旋度.解 rot sin cos 0x y z z y z x y∂∂∂∂∂∂+-+ijk A ==+i j . 3.求平面向量场22()2x y xy -A =i +j 沿闭曲线L 的环流量,其中L 是0x =,,0,x a y y b ===所围成的正向回路.解环向量 ⎰+-Ly xy x y x d 2d )(22=4d d xyD y x y ⎰⎰=004d d a bx y y ⎰⎰=22ab .4.利用斯托克斯公式计算⎰Lz xyz d ,其中Γ是用平面y z =截球面22x y +21z +=所得的截痕,若逆z 轴正向看去,取逆时针的方向.解由斯托克斯公式⎰Lz xyz d =d d d d d d 00y z z x x yx y z xyz∂∂∂∂∂∂=d d d d xz y z yz z x ∑-⎰⎰, 其中∑是平面y z =上以圆Γ为边界的平面,其侧与Γ的正向符合右手规则.显然,∑在yoz 坐标面上的投影为一线段,所以d d 0xz y z ∑=⎰⎰.∑在xoz 坐标面上的投影为一椭圆域22:21D x z +≤,且∑的法向量与y 轴成钝角, 从而2d d d d Dyz z x z z x ∑-=⎰⎰⎰⎰=2d z z x ⎰⎰=π22204sin cos d zt t t ⎰π2420(sin sin )d t t t -1π31π2()22422⋅-⋅⋅=π16.第十章曲线积分与曲面积分（总习题）1.填空.（1）设平面曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()d Lx y s +⎰的值是π;（2）向量场22(,,)ln(1)z x y z xy ye x z =+++u i j k 在点(1,1,0)P 处的散度div 2=u .（3）设L 为取正向的圆周229x y +=,则曲线积分⎰-+-Lyx x x y xy d )4(d )22(2的值是18π-.解（1）22()d L x y s +⎰=d L s ⎰=12π12⋅⋅=π.（2）div u =P Q R x y z ∂∂∂++∂∂∂=222e 1Z zy x z++⋅+, 从而 2(1,1,0)22div |e |21z P xzy z=++=+u . （3）⎰-+-Ly x x x y xy d )4(d )22(2=(2422)d d Dx x x y --+⎰⎰=2d d Dx y -⎰⎰=22π3-⋅⋅=18π-.2.计算⎰++ABCDA yx yx d d ,ABCDA 是以点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)A B C D --位顶点的正方形正向边界. 解法1 ⎰⎰+=++=ABCDA ABCDAy x y x yx I d d d d (00)d d 0Dx y =-=⎰⎰.此法是先将正方形的边界1x y +=代入被积函数后,再用格林公式求解. 法2 因 :1,AB x y += :1,BC y x -= :1,CD x y --=:1DA x y -=. 从而d d ()ABBCCDDAx yI x y+=++++⎰⎰⎰⎰ =()d d ABBCCDDAx y ++++⎰⎰⎰⎰=010111(11)d (11)d (11)d (11)d x x x x ---+++-++⎰⎰⎰⎰=112d 2d x x -+⎰⎰=0.法2是分段分别计算,比较一下还是法1简便.但切记不可直接对⎰++ABCDA yx y x d d 用格林公式.请同学们动脑筋想一下,这是为什么？3.计算⎰-+-+-=ABz xy z y zx y x yz x I d )(d )(d )(222,B A 为螺线cos x ϕ=,y =sin ϕ,z ϕ=由点(1,0,0)到点(1,0,2π)的弧段.解 ⎰-+-+-=ABz xy z y zx y x yz x I d )(d )(d )(222=22220[(cos sin )(sin )(sin cos )cos (sin cos )]d πϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ--+-+-⎰=22222222000cos dcos cos2d sin dsin d sin dsin πππππϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-++-⎰⎰⎰⎰⎰=33322π2π2π2π0000cos sin sin |0|||3332ϕϕϕϕ-++-=31000(2π)03-++-=38π3.4.设B A为连接点(1,2)A 与(2,3)B 的某曲线弧,又设B A与直线段AB 所包围图形的面积等于k ,计算曲线积分y x x x x y B A d )1(d 2⎰-+ .(直线段AB 与曲线弧B A 除点,A B 外无其它交点,曲线弧B A不与y 轴相交,且自身不相交).解 2(,)y P x y x =, 1(,)Q x y x x=-,则 221111Q P x y x x∂∂-=+-=∂∂, 直线段:1BA y x =+,x 由2到1,记B A与BA 所围成的闭区域为D ,由于要用到格林公式,所以要分两种情况讨论：B A取逆时针方向（如图10.12(a)）（1）y x x x x y I B A d )1(d 2⎰-+==y xx x x y BA AB BA d )1(d )(2-+-⎰⎰+ =21d d d ()d BA Dy x y x x y x x -+-⎰⎰⎰=12211()d x k x x x x +-+-⎰=1221()d k x x x-+⎰=2k +. （2）B A取顺时针方向（如图10.12（b ）所示）.y x x x x y I B A d )1(d 2⎰-+==y xx x x y BA AB BA d )1(d )(2-+-⎰⎰+ 图 10.12=21d d d ()d BADy x y x x y x x--+-⎰⎰⎰=1221()d k x x x--+⎰=2k -+. 注意常见错误是不讨论B A是取逆时针方向,还是取顺时针方向,就直接利用了格林公式,这是不对的.5.计算曲线积分⎰++-L yx yx x y 22d d . （1）L 是圆周22(1)(1)1x y -+-=的正向; （2）L 是曲线1x y +=的正向.解 22(,)y P x y x y -=+, 22(,)x Q x y x y=+,当220x y +≠时, 22222()P y x Qy x y x∂-∂==∂+∂, 记曲线L 所围成的闭区域为D .（1）如图10.13（a ）所示,此时(0,0),(,),(,)D P x y Q x y ∉在L 所围成的闭区域D 内有一阶连续偏导数,由格林公式： ⎰⎰⎰==++-=L Dy x y x yx x y I 0d d 0d d 22.c（2）如图10.13（b ）所示,此时(0,0),(,),(,)D P x y Q x y ∈在L 所围成的闭区域D 上有不连续点(0,0),以(0,0)为圆心,以充分小0ε>的为半径作圆周:cos ,sin ,02πC x y εθεθθ==≤≤,图 10.13C 取逆时针方向,记L 和C 所围成的闭区域为1D ,对复连通域1D 应用格林公式,有0d d 22=++-⎰-+C L yx yx x y 从而⎰++-L y x y x x y 22d d =⎰++-C y x y x x y 22d d=2π2sin (sin )cos cos d εθεθεθεθθε--+⋅⎰=20d πθ⎰=2π.6.计算曲线积分⎰+-Cy x xy y x 224d d ,其中C 是(1,0)以为中心,(1)R R ≠为半径的圆周,逆时针方向. 解 22(,)4y P x y x y -=+, 22(,)4xQ x y x y=+, 当2240x y +≠时,22224P y x Qy x y x∂-∂==∂+∂,C 所围成的闭区域记为D ,(0,0)究竟在不在以为(1,0)中心,R 为半径的圆内,要分两种情况讨论：（1）1R <时,(0,0)D ∉（图10-14(a)）,则⎰=+-Cyx xy y x 04d d 22; （2）1R >时,(0,0)D ∈,作足够小的椭圆cos :2sin x L y εθεθ=⎧⎨=⎩,02πθ≤≤,L 取逆时针方向（图10.14(b)）（a ）1R <（b ）1R >图 10.14于是由格林公式,有04d d 22=+-⎰-+L C y x x y y x , 从而 ⎰+-C y x x y y x 224d d =⎰+-L y x x y y x 224d d =2π22220cos 2cos )2sin (sin )d 4cos 4sin εθεθεθεθθεθεθ--+⎰=2π01d 2θ⎰=π. 注意易犯错误是不分1,1R R <>两种情况讨论,未注意闭曲线L 所围成的闭区域D 内有无“洞”,即D 是否为“单连通域”？7.设曲线积分2d ()d Lxy x y x y ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0ϕ=,计算(1,1)2(0,0)d ()d xy x y x y ϕ+⎰的值.解 2(,)P x y xy =,(,)()Q x y y x ϕ=,因曲线积分与路径无关,P Q y x ∂∂=∂∂, 22(),()2,()xy y x x x x x C ϕϕϕ''===+,由(0)0ϕ=,则0C =,从而2()x x ϕ=.(1,1)2(0,0)d ()d I xy x y x y ϕ=+⎰=(1,1)22(0,0)d d xy x x y y +⎰=10d y y ⎰=12. 8.质点P 沿着以AB 为直径的圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 的作用,F 的大小等于点P 到原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于2π,求变力F 对质点P 所做的功. 解圆弧AB 的方程为22(2)(3)2x y -+-=,其参数方程为23x t y t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩, 3π(π)44t -≤≤ y x =-+i j F ，所以434()d d )sin )cos ]d L W y x x y t t t t t ππ-=-+=++⎰⎰2(π1)=-.9.计算⎰⎰∑+S y x d )(22,其中∑为球面2222x y z a ++=.解 :∑2222x y z a ++=对,,x y z 具有轮换对称性,所以⎰⎰∑S x d 2=⎰⎰∑S yd 2=⎰⎰∑S z d 2, 于是⎰⎰∑+S y x d )(22=⎰⎰∑++S z y x d )(32222=⎰⎰∑S a d 322224284π33a a a ⋅=几何意义. 10.计算⎰⎰∑+-+++=y x z yz zf x z y yz yf z y x I d d ])([d d ])([d d 333,其中f 有一阶连续导数,而∑为球面2222x y z Rz ++=的内侧((0)R >.解令333,(),()P x Q yf yz y R zf yz z ==+=-+,则2223,()()3,()()3P Q R x f yz yzf yz y f yz yzf yz z x y z∂∂∂''==++=--+∂∂∂. 注意到∑取内侧,运用高斯公式,得I =222()d 3()d d d P Q R v x y z x y z y x z ΩΩ∂∂∂-++=-++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ =22cos 2220003d d sin d R r r r ππϕθϕϕ-⋅⎰⎰⎰=55206πsin 32cos d 5R πϕϕϕ-⋅⎰=65206πcos 32|56R πϕ⋅⋅=532π5R -. 11.计算d d (1)d d SI y z x z x y =-++⎰⎰,其中S 是圆柱面224x y +=被平面x z +=2和2z =所截出部分的外侧.解法1 设121,,,,S S S D Ω如图10.15所示,1:2;S x z += 2:0S z =d d (1)d d SI y z x z x y =-++⎰⎰=y x z x z y S S S S S d d )1(d d ][2112++---⎰⎰⎰⎰⎰⎰++ =1122(11)d d d (1)d d (1)d d S S S S V y z x z dxdy y z x z x y Ω-+---+---+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=110(1)d d d d S S z x y x y -+-⎰⎰⎰⎰=11(21)d d d d D D x x y x y --++⎰⎰⎰⎰图 10.15。

高等数学下册(第11章)曲线积分与曲面积分教案

L
L1
L2
二．对弧长曲线积分的计算法
定理设 f (x, y) 在平面曲线 L 上连续 L 的参数方程为 x (t), y (t) ( t ) 其中(t) 、
(t) 在[, ]上具有一阶连续导数且2 (t) 2 (t) 0 ，则曲线积分 f (x, y)ds 存在且有 L
f (x, y)ds f [(t), (t)] 2(t) 2(t)dt ( ) .
高等数学教学教案
第 11 章曲线积分与曲面积分
授课序号 01
教学基本指标
教学课题教学方法教学重点
第 11 章第 1 节对弧长的曲线积分讲授、课堂提问、讨论、启发、自学对弧长的曲线积分的计算方法
课的类型教学手段教学难点
新知识课黑板多媒体结合对弧长的曲线积分的计算方法
参考教材同济七版《高等数学》下册
性质 3（路径可加性) 如果把有向曲线弧 L 分成 L1 和 L2 则
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy.
L
L1
L2
二．对坐标的曲线积分的计算方法
3
定理设 P(x, y) , Q(x, y) 是定义在光滑有向曲线 L : x (t), y (t) 上的连续函数当参数 t 单调地由
c
（3）若空间曲线 L 的方程为 x (t), y (t), z (t) ( t ) ，则
f (x, y, z)ds
f ((t), (t),(t))
2(t) 2(t) 2(t)dt .
L
（4）对弧长的曲线积分的计算方法可以写成：“一定、二代、三替换、下限必定小上限”.“一定”是指确定
性质 1（线性性）设，为任意常数则 [f (x, y) g(x, y)]ds f (x, y)ds g(x, y)ds .

曲线积分和曲面积分的计算

第21章曲线积分和曲面积分的计算教学目的：教学重点和难点：§1 第一类曲线积分的计算设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续，l 的方程为()()()()0x x t y y t t t T z z t =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩则()()()(),,,,Tlt f x y z ds f x t y t z t =⎡⎣⎰⎰。

特别地，如果曲线l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为()y x ϕ=，()a xb ≤≤，那么有((,) , ()blaf x y ds f x x ϕ=⎰⎰。

例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。

求22()lx y ds +⎰。

例：设l 是曲线x y 42=上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第一类曲线积分lyds ⎰。

例：计算积分2lx ds ⎰，其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。

例：求()lI x y ds =+⎰，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直线段。

§2 第一类曲面积分的计算一曲面的面积（1）设有一曲面块S ，它的方程为 (),z f x y =。

(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。

则该曲面块的面积为 xyS σ=。

（2）若曲面的方程为 ()()(),,,x x u v y y u v z z u v =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 令222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222v v vG x y z =++，则该曲面块的面积为 S d u d v ∑=。

例：求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。

曲线积分与曲面积分

理学院工科数学教学中心－－理学院工科数学教学中心－
哈尔滨限存在 ,
i =1 i i i
n
则称此极限为函
数 P ( x , y )在有向曲线弧 L上对坐标 x的曲线或称第二类曲线积分） , 积分 (或称第二类曲线积分）记作
∫
L
P ( x , y )dx = lim ∑ P (ξ i ,η i )∆x i .
变力 F = P ( x , y )i + Q ( x , y ) j 沿AB所作的功 W 所作的功
⌒
W =
∫⌒
AB
AB
F ⋅dr
d r = (d x ,d y )
= ∫ ( Pi + Q j ) ⋅ (dxi + dy j )
= ∫ ⌒ Pdx + Qdy
AB
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哈尔滨工程大学微积分
x = ϕ (t ) ( 3 ) 推广 Γ : y = ψ ( t ), t起点 α , 终点 β . z = ω (t )
∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
= ∫ {P[ϕ(t ),ψ (t ),ω(t )]ϕ′(t )
y
1B A
解 (1)
x y 2 dx + ( x + y )dy ∫L
1
= ∫0 x ( x 2 ) 2 dx + ( x + x 2 )2 xdx 4 1 5 2 3 = ∫0 ( x + 2 x + 2 x ) dx = . 1 O 3 x y 2 dx + ( x + y )dy (2) ∫L = ∫OB xy 2 dx + ( x + y )dy + ∫BA xy 2 dx + ( x + y )dy

曲线积分与曲面积分备课教案

第十章曲线积分与曲面积分一、教学目标及基本要求：1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2、会计算两类曲线积分3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。

4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。

5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。

6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。

二、教学内容及学时分配：第一节对弧长的曲线积分2学时第二节对坐标的曲线积分2学时第三节格林公式及其应用4学时第四节对面积的曲面积分2学时第五节对坐标的曲面积分2学时第六节高斯公式通量与散度2学时第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时三、教学内容的重点及难点：1、二类曲线积分的概念及其计算方法2、二类曲面积分的概念及其计算方法3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。

5、两类曲线积分的关系和区别6、两类曲面积分的关系和区别7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用五、思考题与习题第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数）第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8第五节习题10-5 167页：3（单数）、4第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数）第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4第一节对弧长的曲线积分一、内容要点由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。

1、引例：求曲线形构件的质量最后举例巩固计算方法的掌握。

2、s z y x f d ),,(⎰Γ为第一类曲线积分，其中为曲线，被积函数),,(z y x f 中的点),,(z y x 位于曲线上，即),,(z y x 必须满足对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。

曲线积分与曲面积分备课教案

曲线积分与曲面积分备课教案第一章：曲线积分概述1.1 曲线积分的概念引入曲线积分的基本概念，理解曲线积分的重要性。

解释曲线积分的定义，通过图形和实例进行说明。

1.2 曲线积分的计算方法介绍常用的曲线积分计算方法，如参数法、极坐标法等。

讲解如何选择合适的计算方法，并通过实例进行演示。

第二章：曲线积分的应用2.1 曲线长度引入曲线长度的概念，并解释其与曲线积分的关系。

学习计算曲线长度的方法，并通过实例进行练习。

2.2 曲线围成的面积介绍曲线围成面积的概念，并解释其与曲线积分的关系。

学习计算曲线围成面积的方法，并通过实例进行练习。

第三章：曲面积分概述3.1 曲面积分的概念引入曲面积分的概念，理解曲面积分的重要性。

解释曲面积分的定义，通过图形和实例进行说明。

3.2 曲面积分的计算方法介绍常用的曲面积分计算方法，如参数法、极坐标法等。

讲解如何选择合适的计算方法，并通过实例进行演示。

第四章：曲面积分的应用4.1 曲面的面积引入曲面面积的概念，并解释其与曲面积分的关系。

学习计算曲面面积的方法，并通过实例进行练习。

4.2 曲面的体积介绍曲面体积的概念，并解释其与曲面积分的关系。

学习计算曲面体积的方法，并通过实例进行练习。

第五章：曲线积分与曲面积分的进一步应用5.1 曲线积分与曲面积分的联系与区别探讨曲线积分与曲面积分的联系与区别，加深对两种积分概念的理解。

通过实例说明两种积分的应用场景和计算方法的不同。

5.2 曲线积分与曲面积分的综合应用引入实际应用问题，综合运用曲线积分和曲面积分进行解决。

通过实例讲解如何将实际问题转化为曲线积分或曲面积分问题，并进行计算和分析。

第六章：曲线积分与曲面积分的定积分形式6.1 曲线积分的定积分形式引入曲线积分的定积分形式，解释其与不定积分的关系。

学习如何从曲线积分的定积分形式进行计算，并通过实例进行演示。

6.2 曲面积分的定积分形式介绍曲面积分的定积分形式，解释其与不定积分的关系。

曲线积分与曲面积分高等数学下册国家级课程教案

曲线积分与曲面积分——高等数学下册国家级精品课程教案第一章：曲线积分概念及性质1.1 教学目标了解曲线积分的概念掌握曲线积分的性质学会计算曲线积分1.2 教学内容曲线积分的定义曲线积分的性质曲线的参数方程与曲线积分曲线积分的计算方法1.3 教学方法采用讲解、例题、互动讨论的方式进行教学引导学生通过图形直观理解曲线积分概念培养学生运用性质简化计算过程的能力第二章：曲线积分的计算2.1 教学目标学会计算曲线的弧长掌握计算曲线积分的方法能够应用曲线积分解决实际问题2.2 教学内容弧长的计算曲线积分的计算方法曲线积分在实际问题中的应用2.3 教学方法结合实例讲解弧长与曲线积分的计算方法引导学生运用数学软件或图形计算器进行图形绘制与计算验证鼓励学生自主探究曲线积分在实际问题中的应用第三章：曲面积分概念及性质3.1 教学目标了解曲面积分的概念掌握曲面积分的性质学会计算曲面积分3.2 教学内容曲面积分的定义曲面积分的性质曲面的参数方程与曲面积分曲面积分的计算方法3.3 教学方法采用讲解、例题、互动讨论的方式进行教学引导学生通过图形直观理解曲面积分概念培养学生运用性质简化计算过程的能力第四章：曲面积分的计算4.1 教学目标学会计算曲面的面积掌握计算曲面积分的方法能够应用曲面积分解决实际问题4.2 教学内容曲面的面积计算曲面积分的计算方法曲面积分在实际问题中的应用4.3 教学方法结合实例讲解曲面的面积与曲面积分的计算方法引导学生运用数学软件或图形计算器进行图形绘制与计算验证鼓励学生自主探究曲面积分在实际问题中的应用第五章：曲线积分与曲面积分的应用5.1 教学目标学会运用曲线积分与曲面积分解决实际问题掌握曲线积分与曲面积分的几何意义了解曲线积分与曲面积分在工程与科学研究中的应用5.2 教学内容曲线积分与曲面积分的几何意义曲线积分与曲面积分在工程与科学研究中的应用实际问题的建模与计算方法5.3 教学方法结合实际问题讲解曲线积分与曲面积分的应用方法引导学生运用数学软件或图形计算器进行实际问题建模与计算验证鼓励学生自主探究曲线积分与曲面积分在工程与科学研究中的应用第六章：曲线积分与曲面积分的计算技巧6.1 教学目标学习曲线积分与曲面积分的计算技巧掌握一些特殊的积分公式提高计算曲线积分与曲面积分的速度和准确性6.2 教学内容特殊的积分公式变量代换法在曲线积分与曲面积分中的应用分部积分法在曲线积分与曲面积分中的应用三角函数的积分公式在曲线积分与曲面积分中的应用6.3 教学方法通过讲解和例题展示特殊的积分公式和计算技巧引导学生运用变量代换法和分部积分法解决实际问题鼓励学生自主探究三角函数的积分公式在曲线积分与曲面积分中的应用第七章：曲线积分与曲面积分的应用案例分析7.1 教学目标学会运用曲线积分与曲面积分解决实际问题掌握曲线积分与曲面积分的应用案例分析方法能够应用曲线积分与曲面积分解决工程与科学研究中的问题7.2 教学内容曲线积分与曲面积分在物理学中的应用案例分析曲线积分与曲面积分在工程学中的应用案例分析曲线积分与曲面积分在生物学中的应用案例分析7.3 教学方法结合实际问题讲解曲线积分与曲面积分的应用案例分析方法引导学生运用数学软件或图形计算器进行实际问题建模与计算验证鼓励学生自主探究曲线积分与曲面积分在工程与科学研究中的应用第八章：曲线积分与曲面积分的进一步研究8.1 教学目标学习曲线积分与曲面积分的更深入的理论知识掌握曲线积分与曲面积分的进一步研究方法了解曲线积分与曲面积分的前沿研究领域8.2 教学内容曲线积分与曲面积分的更深入的理论知识曲线积分与曲面积分的进一步研究方法曲线积分与曲面积分的前沿研究领域8.3 教学方法通过讲解和例题展示曲线积分与曲面积分的更深入的理论知识和进一步研究方法引导学生阅读相关的学术论文和研究报告鼓励学生自主探究曲线积分与曲面积分的前沿研究领域第九章：曲线积分与曲面积分的综合练习巩固和加深对曲线积分与曲面积分的理解和掌握提高解决实际问题的能力培养学生的综合应用能力9.2 教学内容综合练习题集综合练习题讲解实际问题案例分析9.3 教学方法通过布置综合练习题和实际问题案例分析，巩固和加深对曲线积分与曲面积分的理解和掌握组织学生进行小组讨论和交流，提高解决实际问题的能力引导学生运用所学的知识和方法，培养学生的综合应用能力第十章：总结与展望10.1 教学目标总结学习曲线积分与曲面积分的收获和体会展望曲线积分与曲面积分在未来的发展和应用前景激发学生继续学习和深入研究的兴趣和动力10.2 教学内容学习收获和体会分享曲线积分与曲面积分的未来发展趋势曲线积分与曲面积分的应用前景通过小组讨论和报告，总结学习曲线积分与曲面积分的收获和体会引导学生关注曲线积分与曲面积分的未来发展趋势和应用前景鼓励学生继续学习和深入研究，激发学生的兴趣和动力重点解析本文档详细编写了一套关于曲线积分与曲面积分的教案，包含了十个章节。

高等数学下册(第11章)曲线积分与曲面积分教案

高等数学教学教案
第 11 章曲线积分与曲面积分
授课序号 01
教学基本指标
教学课题教学方法教学重点
第 11 章第 1 节对弧长的曲线积分讲授、课堂提问、讨论、启发、自学对弧长的曲线积分的计算方法
课的类型教学手段教学难点
新知识课黑板多媒体结合对弧长的曲线积分的计算方法
参考教材同济七版《高等数学》下册
个点 A、B 以及区域 D 内从点 A 到点 B 的任意两条光滑曲线 L1 、 L2
等式
Pdx Qdy
L1
Pdx Qdy 恒成
L2
立则称曲线积分 L PdxQdy 在 D 内与路径无关否则说与路径有关.
定理设区域 D 是一个单连通域，函数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分
P0 A, P1, P2 ,, Pn B ，得到 n 个有向小弧段 Pi1Pi (i 1, 2, n) ，设 xi xi xi1 ， yi yi yi1 ，
n
n
(i ,i ) 为 Li 上任意一点
为各小弧段长度的最大值，如果极限 lim[ 0
i 1
P(i ,i )xi
i 1
Q(i ,i )yi ]
性质 1（线性性）设，为任意常数则 [f (x, y) g(x, y)]ds f (x, y)ds g(x, y)ds .
L
L
L
性质 2（可加性）若积分弧段 L 可分成两段光滑曲线弧 L1 和 L2 则
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds .
（1） y x ；（2） y x2 ；
4
（3）有向折线 OMA ，其中 M 的坐标为 (1, 0) .

第十一章曲线积分与曲面积分高等数学下册国家级精品课程教案41页

第十一章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1•理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2•掌握计算两类曲线积分的方法。

3•熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

4•了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法, 了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。

5•知道散度与旋度的概念，并会计算。

6. 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。

【教学重点】1. 两类曲线积分的计算方法；2. 格林公式及其应用；3. 两类曲面积分的计算方法；4. 高斯公式、斯托克斯公式；5. 两类曲线积分与两类曲面积分的应用。

【教学难点】1. 两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；2. 对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3. 应用格林公式计算对坐标的曲线积分；4. 应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；5. 应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

6. 两类曲线积分的计算方法，两类曲线积分的关系；7. 格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分；8. 两类曲面积分的计算方法及两类曲面积分的关系；9. 高斯公式、斯托克斯公式，应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；10. 两类曲线积分与两类曲面积分的应用；11. 应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

【教学课时分配】(14学时）第1次课§1第2次课§ 2第3次课§3第4次课§ 4第5次课§ 5第6次课§6第7次课习题课【参考书】第五版.高等教育出版社.[1]冋济大学数学系.《高等数学（下）》，[2] 同济大学数学系•《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版 •高等教育出版社 [3] 同济大学数学系•《高等数学习题全解指南(下)》，第六版•高等教育出版社§1.1对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧 L 上已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)求曲线形构件的质量把曲线分成n 小段 s i S 2 s n ( s i 也表示弧长)任取(ii )s i 得第i 小段质量的近似值 (i i ) s in整个物质曲线的质量近似为 M ( i , i ) si 1令 max{ s i s 2s n } 0则整个物质曲线的质量为nM lim 0( i ，J si 1这种和的极限在研究其它问题时也会遇到nI f(x,y)ds lim 0f( i , J sLi 1其中f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段定义设函数f(x y)定义在可求长度的曲线 L 上并且有界，将L 任意分成n 个弧段S 1S 2s n并用s 表示第i 段的弧长在每 -弧段 S i 上任取一点(ii )作和nf(i 1i, i ) s令 max{ S 1 s 2s n }如果当0时这和的极限总存在则称此极限为函数f(x y)在曲线弧!—对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作L f (x, y)ds 即曲线积分的存在性当f(x y)在光滑曲线弧L上连续时对弧长的曲线积分根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分L (x，y )ds 的值其中(x y)为线密度n对弧长的曲线积分的推广f(x,y,z)ds lim f( i , i , i ) si 1如果L(或)是分段光滑的则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和例如设L 可分成两段光滑曲线弧L i 及L 2则规定..f(x, y)ds L f(x, y)ds L f(x, y)dsJ L 2L1L2闭曲线积分如果L 是闭曲线那么函数f(x y)在闭曲线L 上对弧长的曲线积分记作f (x, y)ds对弧长的曲线积分的性质性质1设c i 、C 2为常数则L [qf(x,y) C 2g(x,y)]dsL f(x,y)ds C 2 L g(x,y)ds性质2若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L i 和L 2则f(x,y)ds f (x,y)ds f (x,y)dsLL1L2性质3设在L 上f(x y) g(x y)贝UL f (x, y)ds L g(x,y)ds特别地有I L f(x, y)ds| L | f (x,y)|ds二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义如果曲线形构件L 的线密度为f(x y)则曲线形构件L的质量为 L f (x,y)ds另一方面若曲线L 的参数方程为x (t) y (t) ( t )则质量元素为f (x, y)ds 是存在的以后我们总假定f(x y)在L 上是连续的「yds ；'X 2" (x 2)2dx0x " 4x 2dxf(x,y)ds f[ (t), (t)]「2(t)—2(t)dt曲线的质量为f[ (t), (t)h 2(t)2(t)dt即L f(x, y)ds f[ (t),(t)K _2(t)—2(t)dt定理设f(x y)在曲线弧L 上有定义且连续L 的参数方程为 x ⑴y (t) ( t )其中(t)、⑴在[]上具有一阶连续导数且2(t)2(t) 0则曲线积分L f (x, y)ds 存在且L f(x, y)ds f[ (t), (t)]厂2(t)—2(t)dt ( < )(1)若曲线L 的方程为y (x)(a x b)贝U L f (x, y)ds ? 提示 L 的参数方程为x x y (x)(a x b)L f(x, y)ds ：f[x, (x)bJ2(x)dx⑵若曲线L 的方程为x (y)(c y d)贝U L f (x, y)ds ?提示 L 的参数方程为x (y) y y(c y d)L f(x, y)ds c f[ (y), yh2(y) 1dy(3)若曲的方程为x (t) y (t) z (t)( t ) 则 f (x,y, z)ds ?提示 f(x, y,z)ds f[ (t), (t), (t)]、—2(t)—2(t)—2(t)dt例1计算L J?ds 其中L 是抛物线y x 2上点0(0 0)与点B(1 1)之间的一段弧解曲线的方程为y X 2 (0 x 1)因此应注意的问题定积分的下限讨论定要小于上限例2计算半径为R 、中心角为2的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量 1(设线密度为1)解取坐标系如图所示则I L y 2ds 曲线L 的参数方程为x Rcos y Rsin (< )于是 I L y 2dsR 2sin 2 J( Rsin )2 (Rcos )2dR 3 sin 2 dR 3( sin cos )例3计算曲线积分 (x 2 y 2 z 2)ds 其中为螺旋线x acost 、y asint 、z kt 上相应于t 从0到达2的一段弧解在曲线上有 x 2 y 2 z 2 (a cos t)2 (a sin t)2 (kt)2 a 2 k 2t 2 并且ds , ( asint)2 (acost)2 k 2dt 、a 2 k 2dt于是(x 2 y 2 z^ds 0 (a 2 k 2t 2)、_a 2 k 2dt2、a 2 k 2(3a 2 4 2k 2)小结用曲线积分解决问题的步骤(1) 建立曲线积分(2) 写出曲线的参数方程(或直角坐标方程)确定参数的变化范围 (3 )将曲线积分化为定积分 (4) 计算定积分教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。

高等数学电子教案第11章曲线积分与曲面积分

第二类曲线积分的定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧的情形。

第二类曲线积分的物理意义：当质点受到力Ｆ(x,y)=P(x,y)作用，在xoy平面内+=
]
Pdx Qdy k
P(x,y)及Q(x,y)在G 内具有一阶连续偏导数，则下面四个命题等价：内积分与路径无关；,(,)x y x
y
=∂∂）存在可微函数u(x,y)且当上述四个等价命题之一成立时有：L 1与L 所围成区域内计算二重积分，又要有利用所围成区域满足格林公式条件。

若L 为闭区线，但连续偏导数，则可采用“挖洞’法来利用格林公式。

，亦称它为第一型曲面积分。

其物理意义是面密度，∑叫做积分曲面
{
2
x,y 的曲面积分，记作
在∑上对坐标x,z 的曲面
)()i
i xz S ζ(,,)R x y z dxdy 其物理意义是单位时间内流向∑指定侧的流体的流量。

,)(,,y z i Q x y z +∑⎰⎰缩成点P 时，极限v ∆∑∆存在，x =+∂∂比计算对坐标的曲面积分容易；利用两类曲面积分之间的关系，有时可把对面积的曲面积分县转化为对坐标的曲面积分，然后应用高斯公式。

的曲线积分L A Γ=
⎰，则环流量可写成：
三、旋度简单说，旋度是环流量对面积的变化率。

设有矢量场(,,)(,,A P x y z i Q x y z =+数，则旋度为：
......................i k
x y P Q R
∂∂∂=∂∂。

第十四章曲线积分和曲面积分

14-1 第一类曲线积分与第一类曲面积分
4
〖教学目的和要求〗掌握第一类曲线积分与第一类曲面积分的概念与计算方法
〖教学重点〗第一类曲线积分与第一类曲面积分的概念与计算方法
〖教学难点〗第一类曲线积分与第一类曲面积分的计算
〖教学过程〗 1. 第一类曲线积分的背景
简单曲线： Rn 中以 A 点为起点， B 点为终点的连续不自相交的曲线段称为 Rn 中的简单曲线。如果
f
(x,
y,
z)
在曲
∫ ∫ ∑ 线 C 上的第一类曲线积分 , 记作 f (x, y, z)ds , 即 f (x, y, z)ds = lim
C
C
λ →0
n k =1
f
(xk ,
yk , zk
)∆s
,其中
f (x, y, z) 称为被积函数, C 为积分路径.
∫ 由此定义,前面所讨论的曲线质量可以表示为: M = f (x, y, z)ds . C
《数学分析》教案----曲线积分,曲面积分与场论
华中科技大学数学系汤燕斌
第十四章曲线积分与曲面积分
26+4
〖教学内容〗本章主要讲述曲线积分和曲面积分的概念和计算。曲线积分与曲面积分之间的联系，曲线积分和路径的无关性及场论初步。〖教学要求〗掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法，掌握 Green 公式，Gauss 公式和 Stokes 公式的意义与应用，理解外微分的引入在给出 Green 公式，Gauss 公式和 Stokes 公式统一形式上的意义，对场论知识有一个初步的了解。〖教学安排〗 §1.第一类曲线积分与第一类曲面积分 §2.第二类曲线积分与第二类曲面积分 §3.Green 公式，Gauss 公式和 Stokes 公式 §4.微分形式的外微分 §5.场论初步〖教学重点〗（1）理解两类曲线积分的概念，掌握两类曲线积分的计算公式，了解它们之间联系；（2）理解第一类曲面积分概念，掌握计算公式（直角坐标、参数式），会求曲面面积；（3）理解第二类曲面积分的概念，掌握计算公式（直角坐标）。（4）掌握各型积分之间的关系，曲线积分与路径无关的条件；（4）了解梯度、散度、旋度的概念及其物理意义。

第四章++曲线积分与曲面积分

第四章曲线曲面积分第一讲 Ⅰ型曲线积分与Ⅰ型曲面积分教学目的与要求：1. 理解Ⅰ型（对弧长的）曲线积分的概念和性质； 2. 理解Ⅰ型（对面积的）曲面积分的概念和性质； 3. 掌握计算曲线积分与曲面积分的方法； 4. 了解曲线积分与曲面积分的应用。

知识点：Ⅰ型曲线积分的概念、性质、计算及应用；Ⅰ型曲面积分的概念、性质、计算及应用重点：Ⅰ型曲线曲面积分的计算难点：Ⅰ型曲线曲面积分的概念教学方式：启发对比式教学，多媒体辅助教学思路：有定积分和重积分为基础，指出重积分及定积分的本质区别是积分区域不同，从而将积分区域再次变更，就自然地引入了Ⅰ型曲线曲面积分；为了得出精确定义以实例为背景，再逐一介绍性质、计算方法及应用，并以对比的方式进行。

教学过程：一、引例与概念指出定积分、二重积分、三重积分的概念都是构造性定义，它们的实际背景分别是曲边梯形的面积，曲顶柱体的体积、物体的质量，那么曲线形构件的质量，曲面形构件的质量又怎样得到，是否能得到我们所需要引进的概念，下面看引例。

1．引例引例1 设有线密度为ρ(x , y )的非均匀平面曲线形构件L ，求其质量解：分割，M 1，M 2，…，M n -1→△s i ，(,), (,)i i i i i i i s m s ξηρξη∀∈∆∆≈∆求和，1(,);ni i i i m s ρξη=≈∆∑ （近似值）取极限，01lim (,)ni i i i m s λρξη→==∆∑ （精确值）引例2 设有线密度为(,,)x y z ρ的非均匀空间曲线形构件Γ，求其质量。

解：分割，M 1，M 2，…，M n -1→△s i ， (,,), (,,)i i i i i i i i i s m s ξηζρξηζ∀∈∆∆≈∆ 求和，1(,,);ni i i i i m s ρξηζ=≈∆∑ （近似值）取极限，01lim (,,)ni i i i i m s λρξηζ→==∆∑ （精确值）引例3 设有面密度为(,,)x y z ρ的非均匀光滑曲面形构件∑，求其质量。

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曲线积分与曲面积分的计算

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第十四章 曲线积分和曲面积分

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第十四章曲线积分和曲面积分