圆锥曲线的切点弦方程

2011年江西高考一道试题解法的推广──圆锥曲线的切点弦方程

圆锥曲线问题是高考的重点，曲线的切线又是近几年的热点，这类题对学生的要求比较高，充分考查学生的逻辑思维能力，本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。

背景知识

已知圆()222:0C x y r

r +=>,点()00,A x y 是圆C 上一点，求以点A 为切点的切线方程.

分析：易知以()00,A x y 为切点的直线方程为：()2000xx yy r

r +=>

（2011年江西高考理科第14题） 问题1：若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

作圆221x y +=的切线，切点分别为A B 、，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________. 解：设()()1122,,,A x y B x y

∵点A B 、在圆221x y +=上，则

过点()11,A x y 的切线方程为111:1L x x y y +=.

过点()22,B x y 的切线方程为222:1L x x y y +=.

由于12,L L 经过点11,2⎛⎫

⎪⎝⎭则1122111,122

x y x y +=+=. 故()()1122,,,x y x y 均为方程112

x y +

=的解。 ∴经过A B 、两点的直线方程1:12AB x y +=. 设椭圆22

221x y a b

+=的右焦点为(),0c ,上顶点为()0,b . 由于直线AB 经过椭圆右焦点和上顶点。

1,12

b c ∴==即2b = 2225a b c ∴=+= 故椭圆方程为22

154

x y +=.

由此题的解题方法，可得到如下推广：

结论一：（圆的切点弦方程）

过圆()2220x y r r +=>，外一点(),P a b 作圆的两切线，切点为M N 、，则直

线MN 的方程为：2ax by r +=.

问题2：过椭圆22

143

x y +=外一点()1,2P 作椭圆的两切线，切点为M N 、求直线MN 的方程.

解：设()()1122,,,M x y N x y 则过M N 、的切线方程分别为；

11221,14343

x x y y x x y y +=+= 由于两切线都过()1,2P ，则11143x x y y +=① 22143

x x y y +=② 这两式表示直线2143x y +=经过M N 、，所以直线MN 的方程为：2143

x y +=。 结论二：（椭圆的切点弦方程） 过椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>外一点()00,P x y 作椭圆的两切线，切点为M N 、则直线MN 的方程为：

00221x x y y a b += 问题3：过抛物线24y x =外一点()1,2P --作抛物线两切线，切点分别为M N 、，

求直线MN 的方程。

解：设()()1122,,,M x y N x y 则过M N 、的切线方程为()()11222,2y y x x y y x x =+=+

由于过M N 、的切线都经过()1,2P --则()()1122221,221y x y x -=--=- ∴直线MN 的方程为()221y x -=-即10x y +-=

结论三：（抛物线的切点弦方程）

过抛物线()2

20y px p =>外一点()00,P x y 作两切线，切点为M N 、，则直线MN 的方程为()00yy p x x =+.

问题4：过双曲线22

154

x y -=外一点()3,3P 作双曲线两切线，切点分别为M N 、，求直线MN 的方程。

解：设两切点的坐标为()()1122,,,M x y N x y 则两切线方程为

11221,15454

x x y y x x y y -=-=， 由于两切线均过()3,3P 则112233331,15454

x y x y -=-= 故()()1122,,,x y x y 均为方程33154

x y -=的解， 则过M N 、的直线方程为：33154

x y -= 结论四：（双曲线的切点弦方程） 过双曲线22

221x y a b

-=外一点()00,P x y 作双曲线两切线，切点分别为M N 、则直线MN 的方程为：

00221x x y y a b -=.