离散时间序列的傅里叶变换

稳态响应.
r (k ) h(k )* e
j
jk
j ( k i ) j i jk h(i )e h(i)(e ) e i i 0

H (e )e
jk
系统对ejwk 响应仍然是同频率信号 ejwk ，其相位和幅度有所变化；
正变换
F (e j ) DTFT f (k )
k


f (k )e jk

反变换
1 f (k ) IDTFT F (e ) 2
j



F (e j )e jk d
DTFT存在的充分必要条件是F(z)的收敛区间包含单位圆。
例1：求离散序列的傅里叶变换。 RN (k ) (k ) (k N )
二、系统的频率响应的几何确定
j ( e (1)) j j j ( ) H (e ) H (e ) e j (e 1)
( z 1) H (z) ( z 1)
e
j
( 1) A e
j T
j
e
j
1 Be
j
H (e
A ) B
( )
解：
F (e )
j
k
R

N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
1 e 1 e j
j N
N sin j N 1 2 e 2 sin 2
| F (e j ) | e j ( )
|F(e j)| 幅频特性曲线 ()相频特性曲线
围内。
四、几种特殊的离散时间系统：
低通、高通、带通、带阻
全通系统
最小相位系统 最小相位系统：极零点全部在单位圆内。
全通
1) m=n;
2)
H (e j ) H 0 H ( z) |z 1
全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅
频响应，除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单
r (k )
i
k i k h ( i )( 1 ) ( 1 )

i
( 1) k H ( z ) z 1
H(-1)=32/3
32 r (k ) ( 1) k 3
k
作业：8.17 (2) , (3);
8.18(1)(5)
位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为倒数, 或 zi
1 pi*
）
H ( e j )
p2
r r
p1
1 r
z1
e
j
1 r
z2
2z 2 4z 2 例：已知 H ( z ) 2 z 0.25
k e ( k ) ( 1 ) 求激励序列为
k 的响应
i h ( i )( 1 )
频率特性曲线见书83页，图8-6
第六节 离散系统的频率响应 重点：
离散系统的频率响应
全同系统和最小相移系统
一、频率 响应定义
H (e ) H ( z ) z e j
j
H ( e j ) H ( e j ) e j ( )
例:单位函数响应为h(k),激励为
e(k ) e jk
离散时间序列 的傅里叶变换
傅里叶变换： 傅里叶反变换：
F ( j ) f ( t )e jt dt
1 f (t ) 2




F ( j )e jt d
一、离散序列傅里叶变换DTFT公式
F (e j ) F ( z )
T
z e jT
F (e j )
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k


f (k )e jk
假设F(z)的收敛区间包括单位圆
f (k ) 2 j 1 F ( z ) z k 1dz
j
c
可以令c等于单位圆

F (e 2 j

1

)e
j ( k 1)
de
j
ze
j
1 2



F (e j )e jk d
e
j
( 1) A e
A B
j
e
j
1 Be
j
幅频: H (e j )
相频:
( )
j Im[z]
e

z
j
200 150


100
p
50
Re[z ]
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
0 -4
e j
0
2
H ( e j )
H (e )
j
A B
k 1 r 1 N
M
r
靠近单位圆周的 极点附近有尖峰
k
2

三、 H (e j ) | H (e j ) | e j ( )
频响曲线的特点
1、幅频响应是频率的偶函数，相频响应是频率的奇函数； 2、幅频响应和相频响应是频率w的连续函数； 3、幅频响应函数和相频响应函数都是频率w的周期性函数， 4、离散时间系统中，同样有低通滤波器、高通滤波器以及带 通滤波器等。只不过这时候的频率只考虑在 -< < 频率范