圆锥曲线之轨迹方程的求法
圆锥曲线的解题方法(精选4篇)
圆锥曲线的解题方法(精选4篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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圆锥曲线轨迹问题
圆锥曲线轨迹问题1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。
◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，12O O 2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得PM =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
例2、已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程；◎◎ 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。
三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。
几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。
,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p x =-例3、如图，从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N 。
求线段QN 的中点P 的轨迹方程。
◎◎已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF 求点T 的轨迹C 的方程；【解析】 解法一：（相关点法）设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ 解法二：（几何法） 设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ，得2TF ⊥.又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
高考数学难点突破 难点22 轨迹方程的求法
难点22 轨迹方程的求法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.●难点磁场(★★★★)已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.●案例探究［例1］如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程.错解分析：欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.［例2］设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系.错解分析：当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论.技巧与方法：将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系.解法一：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y ①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1－x 2) 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=--⑥①³②,得y 12²y 22=16p 2x 1x 2③代入上式有y 1y 2=－16p 2 ⑦ ⑥代入④，得yxy y p -=+214⑧⑥代入⑤，得pyx y y x x y y y y p442111121--=--=+ 所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=y (y 1+y 2)－y 12－y 1y 2⑦、⑧代入上式，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M (4p ,0)仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设M (x ,y )，直线AB 的方程为y =kx +b由OM ⊥AB ，得k =－yx由y 2=4px 及y =kx +b ，消去y ,得k 2x 2+(2kb －4p )x +b 2=0所以x 1x 2=22kb ,消x ,得ky 2－4py +4pb =0① ② ③ ④ ⑤所以y 1y 2=kpb4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2 所以kpk4=－22k b ,b =－4kp故y =kx +b =k (x －4p ),用k =－yx代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.［例3］某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ●锦囊妙计求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.(★★★★)设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y x B.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y 二、填空题3.(★★★★)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________. 4.(★★★★)高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(★★★★)已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.(★★★★)双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7.(★★★★★)已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.(★★★★★)已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案难点磁场解：建立坐标系如图所示， 设|AB |=2a ,则A (－a ,0）,B (a ,0). 设M (x ,y ）是轨迹上任意一点.则由题设，得||||MB MA =λ,坐标代入，得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴).(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2=0.点M 的轨迹是以(－221)1(λ-λ+a ，0）为圆心，|1|22λ-λa 为半径的圆. 歼灭难点训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆. 答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0) ∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得 答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ). ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2.即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0), 则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①³②得：y 2=－)(2222121m x mx y -- ③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =mn m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =nm n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |²|OB |²sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
圆锥曲线中动点的轨迹方程的求法
知识导航有关圆锥曲线的题型较多，有求圆锥曲线的离心率、轨迹方程、判定两图形的位置关系、求弦长等，其中，求动点的轨迹方程比较常见.本文总结了求圆锥曲线中动点的轨迹方程的三种方法，供大家参考.一、直接法直接法主要应用于解答题目中所给的有关动点的几何条件较为明显的问题.运用直接法求动点的轨迹方程的主要步骤是：（1）建立合适的直角坐标系，设出所求动点的坐标；（2）根据题意，列出相关关系式；（3）将相关的点代入，化简并整理关系式即可得到动点的轨迹方程.例1.已知点Q (2,0)在圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0)，求动点M 的轨迹方程并说明它是什么曲线.分析：通过分析可知，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ，所以可以考虑运用直接法求解.设出动点M 的坐标，根据题设建立关系式，化简便可得到动点的轨迹方程.解：设M (x ,y )，由直线MN 切圆于N ，MN|MQ |=λ，可得22=λ，整理得则(λ1)x 2+(λ2-1)y 2-4λ2x +(1+4λ2)=0，若λ=1，方程可化为x =54，它代表过点(54,0)，与x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程可化为æèçöø÷x -2λ2λ2-12+y 2=1+3λ2(λ2-1)2，它代表以æèçöø÷2λ2λ2-1,0为半径的圆.二、代入法若动点M 依赖已知曲线上的另一动点N 而运动，就可以运用代入法来求动点的轨迹方程.首先设出两动点的坐标，建立两动点的关系式，然后将转化后的动点N 的坐标代入已知曲线的方程或条件中，从而得到动点M 的轨迹方程.例2.已知点B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1上的动点，A (2a ,Q )为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.分析:动点M 是线段AB 的中点，M 随着动点B 而运动，本题需采用代入法来求解.解:设动点M 的坐标为(x ,y )，B 点坐标为(x 0,y 0)，由M 为线段AB 的中点，可得ìíîïïïïx 0+2a2=x ,y 0+02=y ,则点B 的坐标为(2x -2a ,2y )，则(2x -2a )2a 2+(2y )2b2=1，故动点M 的轨迹方程为4(x -a )2a 2+4y 2b2=1.三、参数法参数法是指通过引入一些新变量(参数)为媒介来解答问题的方法.运用参数法求圆锥曲线中动点的轨迹方程的基本思路是，设出合适的参数，根据题意列出参数方程，通过消参将方程化为普通方程即可解题.但在解题的过程中需注意参数的取值范围.例3.如图，过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1,l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB的中点M 的轨迹方程.解:设M (x ,y )，直线l 1的方程为y -4=k (x -2)，(k ≠0)，由l 1⊥l 2，得直线l 2的方程为y -4=-1k(x -2)，∴l 1与x 轴焦点A 的坐标为(2-4k,0)，l 2与y 轴焦点B 的坐标为(0,4+2k)，∵M 为AB 的中点，∴ìíîïïïïx =2-4k 2=1-2k ,y =4+2k 2=2+1k ,消去k ，得到x +2y -5=0，当k =0时，AB 的中点为M (1,2)，满足上述方程，当k 不存在时，AB 的中点为M (1,2)，也满足上述方程，综上所述，M 的轨迹方程为x +2y -5=0.这里通过引入参数k ，得到两条直线的方程，然后结合题意建立关于k 的关系式，通过消参得到动点的轨迹方程.相比较而言，直接法较为简单，是最常用也是适用范围最广的方法；代入法的适用范围较窄，只适用于两个动点相关的题型；运用参数法解题的运算量较大.无论采用什么方法求动点的轨迹方程，都要关注轨迹方程中变量的取值范围.（作者单位：江苏省南通市海门四甲中学）蒋秋霞39Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
圆锥曲线直译法和定义求轨迹方程
直译法和定义法求轨迹方程圆锥曲线大题的第一问，往往是求轨迹方程。
求轨迹方程的方法很多，今天介绍两种，直译法和定义法。
这两种方法都要求对点的几何性质非常熟悉，根据几何性质，找出关系，列出式子从而得解。
一、直译法所谓直译法，其实就是指直接从题目给出的几何性质，列出等式，从而化简得到轨迹方程。
题目给的几何性质，往往跟斜率，距离公式，切线等有关。
步骤一般是：（1）设出动点坐标（x,y ）（2）根据几何性质列出方程(),0f x y =（3）化简整理得到结果例1 （2019全国2卷）已知点()2,0A -，(2,0)B ，动点M 满足直线AM 与直线BM 的斜率之积为12-。
记M 的轨迹为曲线C ，求C 的轨迹方程 解：根据斜率之积可以非常容易写出关系式，所以利用直译法即可。
设(),M x y 则,,22AM BM y y k k x x ==+- 由12AM BM k k =-得到1222y y x x =-+- 化简为2224x y +=即为所求例2 已知点()0,1A -，点B 在y=-3上，动点M 满足MB OA ‖且•·MA AB MB BA =，求M 轨迹方程 解析：有非常明确的向量关系，式子也是比较容易列出来。
因此用直译法，然后化简即可。
设(),M x y ，由MBOA ‖，OA 是个竖直的线段以及B 在y=-3上，非常容易知道B 点作为(,3)x -。
那么容易求出：()()(),1,0,3,,2MA x y MB y AB x =---=--=-由•·MA AB MB BA =得到()()22123x y y ----=--化简为248x y -=即为所求例3 已知圆O ：2220x y +-=，圆O '：228100x y x +-+=。
由点P 向两圆引切线长相等，求P 轨迹方程解析：这个就需要画一画图找到关系式。
如下图设圆O 的半径为1r ，圆O '的半径为2r 。
轨迹方程的求法
轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为221x y +=，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0λλ>，求动点M 的轨迹。
◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得PM . 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
例2、动圆过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程.◎◎ 已知圆C 的方程为 (x-2)2+y 2=100,点A 的坐标为（-2，0），M 为圆C 上任一点，AM 的垂直平分线交CM 于点P ，求点P 的方程。
◎◎已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.三、代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。
例3、P 是椭圆191622=+y x 上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 求PD 中点的轨迹方程.◎◎已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT 求点T 的轨迹C 的方程.练习:1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ）A 、双曲线B 、半圆C 、两条射线D 、抛物线2. 抛物线的准线l 的方程是y =1, 且抛物线恒过点P (1,-1), 则抛物线焦点弦的另一个端点Q 的轨迹方程是( ).A. (x -1)2=-8(y -1)B. (x -1)2=-8(y -1) (x ≠1)C. (y -1)2=8(x -1)D. (y -1)2=8(x -1) (x ≠1)3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=1B 、x 2+y 2=1(x ≠±1）C 、x 2+y 2=1(x ≠1）D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y)5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆B 、中心在（5，0）的椭圆C 、中点在原点的双曲线D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+y 2=4B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1)C 、(x －1)2+y 2=4D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7 . P 是椭圆191622=+y x 上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 则PD 中点的轨迹方程为( ). A. 116922=+y x B. 196422=+y x C. 14922=+y x D. 19422=+y x 8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ）A 、抛物线B 、圆C 、双曲线的一支D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ）A 、y 2=12xB 、y 2=12x(x>0)C 、y 2=6xD 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、x 2+y 2=21B 、x 2+y 2=41C 、x 2+y 2=21(x<21)D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹C 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 222222222222A. 1 B. 1 C. 1 D.12575752525757525x y x y x y x y +=+=+=+= 13、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ）A 、x 2+y 2=2a 2B 、x 2+y 2=4a 2C 、x 2－y 2=4a 2D 、x 2－y 2=a 214、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。
2019届高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线之轨迹方程的求法
圆锥曲线之轨迹方程的求法（一）【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤；□2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。
【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。
即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。
例1．已知ABC ∆中，2,AB BC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。
点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。
例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。
记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。
设点。
列式。
化简。
说明等，圆锥曲线标准方程的推导。
1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，求点P 的轨迹。
26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2、一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q 是圆x 2+y 2=4上动点另点A （3。
圆锥曲线中轨迹方程问题的求法
第3讲 圆锥曲线中轨迹方程问题的求法一、考情分析 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。
求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点 。
二、经验分享求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法(1)直接法 直接法是将圆锥曲线中动点满足的几何关系或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求；(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程；(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程；求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念三、题型分析(一) 直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常 数()0>λλ（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 【变式训练】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。
圆锥曲线知识总结
1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视“括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值〞与＜|F F|不可无视。
假设＝|F F|，那么轨迹是以F，F为端点的两条射线，假设﹥|F F|，那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母〞，其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
例题讲解:①定点，在满足以下条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是( )A． B．C． D．〔〕；②方程表示的曲线是__ __点及抛物线上一动点P〔x,y〕,那么y+|PQ|的最小值是_____2.圆锥曲线的标准方程〔标准方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程〕：〔1〕椭圆：焦点在轴上时〔〕〔参数方程，其中为参数〕，焦点在轴上时＝1〔〕。
方程表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B〕〔2〕双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1〔〕。
方程表示双曲线的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B异号〕。
〔3〕抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
例题讲解:①方程表示椭圆，那么的取值范围为____②假设，且，那么的最大值是____，的最小值是___〔①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，那么该双曲线的方程_______②设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，那么C的方程为_______3.圆锥曲线焦点位置的判断〔首先化成标准方程，然后再判断〕：〔1〕椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
圆锥曲线大题全攻略含答案详解
圆锥曲线大题全攻略含答案详解本文介绍了圆锥曲线中常见的问题和解题技巧，包括求轨迹方程问题、定点问题、定值问题、最值问题、点差法解决中点弦问题、常见几何关系的代数化方法、非对称“韦达定理”问题处理技巧、三点共线问题、巧用曲线系方程解决四点共圆问题、抛物线中阿基米德三角形的常见性质及应用、双切线题型等。
求轨迹方程问题是圆锥曲线中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。
直译法的步骤是设求轨迹的点为P(x,y)，由已知条件建立关于x,y的方程，化简整理；相关点法的步骤是设求轨迹的点为P(x,y)，相关点为Q(xO,yO)，根据点的产生过程，找到(x,y)与(xO,yO)的关系，并将xO,yO用x和y表示，将(xO,yO)代入相关点的曲线，化简即得所求轨迹方程；定义法的步骤是分析几何关系，由曲线的定义直接得出轨迹方程；参数法的步骤是引入参数，将求轨迹的点(x,y)用参数表示，消去参数，研究范围。
本文还给出了四个例题，分别是求点P的轨迹方程、求动点M的轨迹方程、求动点Q的轨迹方程、求AB中点M的轨迹方程。
最后，给出两道专题练题，帮助读者巩固所学知识。
3.抛物线C的焦点为F，点A在抛物线上运动，点P满足AP=-2FA，求动点P的轨迹方程。
改写：已知抛物线C的焦点为F，点A在抛物线上运动，设点P的坐标为(x,y)，则有AP=-2FA，求P的轨迹方程。
4.已知定圆M的方程为(x+y+4)^2=100，定点F的坐标为(0,4)，动圆P过定点F且与定圆M内切，求动圆圆心P的轨迹方程。
改写：已知定圆M的方程为(x+y+4)^2=100，定点F的坐标为(0,4)，设动圆P的圆心坐标为(x,y)，则P过定点F且与定圆M内切，求P的轨迹方程。
5.已知定直线l的方程为x=-2，定圆A的方程为(x-4)^2+y^2=16，动圆H与直线l相切，与定圆A外切，求动圆圆心H的轨迹方程。
改写：已知定直线l的方程为x=-2，定圆A的方程为(x-4)^2+y^2=16，设动圆H的圆心坐标为(x,y)，则H与直线l相切，与定圆A外切，求H的轨迹方程。
大学数学(高数微积分)专题五第讲圆锥曲线中的热点问题(课堂讲义)
＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的
斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
22
热点分类突破
(2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得
弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同
猜想，当直线l的倾斜角变化时，
本
讲 栏 目
AE与BD相交于定点N52，0，
开 关
证明：由(2)知A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴D(4，y1)，E(4，y2)，当直线l的倾斜角变化时，首先证直线
AE过定点52，0，
∵lAE：y－y2＝y42－－xy11(x－4)， 19
热点分类突破
当x＝52时，y＝y2＋y42－－xy11·－32
栏
目 时，求B点坐标．
开
关解
(1)设 N(x，y)，则由M→N＝2M→P，得 P 为 MN 的中点，
所以 M(－x,0)，P(0，2y)． 又P→M⊥P→F得P→M·P→F＝0，P→M＝(－x，－2y)， P→F＝(1，－2y)，所以y2＝4x(x≠0)．
13
热点分类突破
(2)由(1)知F(1,0)为曲线C的焦点，由抛物线定义知，抛物线上
“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义
的运用，以简化运算．
本
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，
讲 栏 目
y2)，则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k2 |x2－x1|或|P1P2|＝ 1＋k12
开 关
. |y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关
有关圆锥曲线轨迹方程的求法
轨迹方程.
解 直线l过点M(0,1),当l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的 方程为y=kx+1……………………………………….1′ 设 A x , y 、 B x , y ，由题设可得点A、B的坐标 x1 , y1 、 x2 , y2 2 2 1 1 y kx 1 是方程组 ， ① 2 2 y 1 的解. ② x 4 将①代入②并化简,得 (4 k 2 ) x2 2kx 3 , 4′ …………… 0 则 x x 2k 1 2
1 点P满足 OP 2 OA OB当l绕点M旋转时，求动点P的
轨迹方程.
分析 设出直线l的方程，和A、B两点的坐标，并将 直线l方程与椭圆方程联立，求出 x1 x2 , y1 y2 ,
1 由 OP OA OB 可表示出点P坐标，再用消参法求 2
曲线与方程
学习如几何曲线 幸福似小数循环.
椭圆: 平面内与两定点F1 , F2的 距离之和 ________ 等于 _________ 常数2a
的点的轨迹.
PF1 PF2 2a (2a F1 F2 )
常数2a 的点的轨迹. 等于 __________
F1F2 2a
__________ ________ 双曲线 : 平面内与两定点F1 , F2的距离的差的绝对值
PF1 PF2 2a (2a F1 F2 )
F1F2 2a
相等 ______ 抛物线 :平面内与一定点F和一条定直线的距离
的点的轨迹.
PF d p
典例分析
题型一 直接法求曲线方程 【例1】已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为坐标平面上 的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且 QP QF FP FQ 求动点P的轨迹方程C.
解圆锥曲线问题常用方法(二)
解圆锥曲线问题常用方法（二）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法：4、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。
如“2x+y ”，令2x+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2+y 2”,令d y x =+22，则d 表示点P（x ，y ）到原点的距离；又如“23+-x y ”，令23+-x y =k ，则k 表示点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率…… 5、参数法（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。
如x 轴上一动点P ，常设P （t ，0）；直线x-2y+1=0上一动点P 。
除设P （x 1,y 1）外，也可直接设P （2y,-1,y 1） （2）斜率为参数当直线过某一定点P(x 0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(x-x 0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。
（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。
6、代入法这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P 1,P 2求（或求证）目标Q ”，方法1是将条件P 1代入条件P 2，方法2可将条件P 2代入条件P 1，方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设，代入P 1,P 2,这就是待定法。
不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。
【典型例题】例1：已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任一点，求S=136422+-++b a b a 的最小值。
分析：由此根式结构联想到距离公式， 解：S=22)3()2(-++b a 设Q(-2,3), 则S=|PQ|,它的最小值即Q 到此直线的距离 ∴S min5535|1322|=-⨯+- 点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为t 消元后，它是一个一元二次函数）例2：已知点P(x,y)是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0上一动点，求xy的最值。
圆锥曲线的轨迹方程的求法
圆锥曲线轨迹方程的求法知识归纳求轨迹方程的常用方法：⒈直接法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点M 的坐标x ，y 表示相关点P 的坐标（Xo 、Yo ），然后代入点P 的坐标（Xo 、Yo ）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q 轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
（用未知表示已知，带入已知求未知）⒋参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一变数t 的关系，得再消去参变数t ，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
类型一 直接法求轨迹方程【例1】已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |＋MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅NP ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0 ,则动点P(x ，y)的轨迹方程为 。
【点评】直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简这四个步骤，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程。
【变式训练】1.已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．2．已知两点M(－1,0),N(1,0)，点P 为坐标平面内的动点，且满足|MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |＋MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅NP ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0，则动点P 的轨迹方程为3.在平面直角坐标系xOy 中，点P(a ，b)为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，已知△F 1PF 2为等腰三角形．设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．类型二 定义法求轨迹方程【例2】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．【点评】定义法求轨迹方程1.概念：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．【变式训练】1. 在△ABC中，BC＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且BD－CD＝22，则顶点A的轨迹方程为______________．2．设定点F(1,0)，动圆D过点F且与直线x＝−1相切.则动圆圆心D的轨迹方程为3.如图所示：在圆C：(x＋1)2＋y2＝16内有一点A(1，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直平分线与直线CQ 的连线交于点M ，根据椭圆定义可得点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1；利用类比推理思想：在圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16外有一点A(3，0)，点Q 为圆C 上一动点，线段AQ 的垂直平分线与直线CQ 的连线交于点M ，根据双曲线定义可得点M 的轨迹方程为______．类型三 相关点法求轨迹方程【例3】 如图所示，抛物线E ：y 2＝2px(p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P(x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M. (1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．【点评】相关点法的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y)，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．【变式训练】1.如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1＜t ＜3与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．2.已知三角形ABC 的顶点A (−3,0)、B (3,0)，若顶点C 在抛物线y 2＝6x 上移动，则三角形ABC 的重心的轨迹方程为______类型四 参数法求轨迹方程【例4】在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M(1，－3)，N(5,1)，若点C 的坐标满足OC →＝tOM →＋(1－t)ON →(t ∈R)，且点C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)在x 轴上是否存在一点P(m,0)(m≠0)，使得过点P 任意作一条抛物线y 2＝4x 的弦，并以该弦为直径的圆都经过原点？若存在，求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．【点评】利用参数法求轨迹方程：一是选择合适的参数(可以是单参数，也可以是双参数)；二是建立参数方程后消掉参数，消参数的方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．【变式训练】设椭圆中心为原点O，一个焦点为F(0,1)，长轴和短轴的长度之比为t.(1)求椭圆的方程；(2)设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右侧部分的交点为Q，点P在该直线上，且OP2－1，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．OQ＝t t类型五 交轨法法求轨迹方程例5 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线12222=-by a x 于M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.【变式训练】抛物线)0(42>=p px y 的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在直线AB 上的射影M 的轨迹。
圆锥曲线轨迹方程的求法
圆锥曲线轨迹方程的求法
一、直接法求轨迹方程
利用动点运动的条件得到等量关系，表示为x和y的等式。
例如，已知点A(-2,0)和B(3,0)，动点P(x,y)满足PA·PB=x²，
那么点P的轨迹是抛物线。
二、有定义法求轨迹方程
根据圆锥曲线的基本定义解题。
例如，已知圆O的方程
为x²+y²=100，点A的坐标为(-6,0)，M为圆O上的任意一点，AM的垂直平分线交OM于点P，那么点P的轨迹方程为
25/16=(x+3)²/y²，即椭圆。
三、用相关点法求轨迹方程
当动点M随着已知方程的曲线上另一动点C(x,y)运动时，找出点M与点C之间的坐标关系式，用(x,y)表示(x,y)，再将
x和y代入已知曲线方程，即可得到点M的轨迹方程。
例如，从双曲线x²-y²=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，
求线段QN的中点P的轨迹方程。
设动点P的坐标为(x,y)，点
Q的坐标为(x₁,y₁)，则N点的坐标为(2x-x₁,2y-y₁)。
因为N
点在直线x+y=2上，所以2x-x₁+2y-y₁=2.又因为PQ垂直于直线x+y=2，所以x-y+y₁-x₁=0.将两个方程联立，得到
x₁=2x+2y-1和y₁=2x+2y-1.因为点Q在双曲线上，所以x₁²-y₁²=1.将x₁和y₁代入公式中，得到动点P的轨迹方程式为2x²-2y²-2x+2y-1=0.
四、用参数法求轨迹方程
选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标得到动点轨迹的普通方程。
圆锥曲线中的轨迹方程问题-(解析版)
专题1 圆锥曲线的轨迹方程问题轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.本文主要研究圆锥曲线中关于轨迹方程求法。
首先正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直译法、定义法、相关点法、参数（交轨）法等方法1、直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含x,y 的等式，就得到轨迹方程。
直译法知识储备：两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率（向量）公式。
经典例题：1．（2020·江苏徐州市·高三月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++= B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】ABD【分析】设点P 的坐标，利用12PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．【详解】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =，12=，化简得x 2+y 2+8x ＝0，即：（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）=﹣4，+4，而3∈﹣4，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |，=又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误；对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=，又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．2．（2020·湖南省高三期末）点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. 求点P 的轨迹方程；【答案】22143x y +=12=，化简即可求出；12=，化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点是动点轨迹方程的求解.3．（2021年湖南省高三月考）已知动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54，求P 点的轨迹方程．【答案】轨迹方程是221169x y -=.【分析】利用动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54可得方程，化简由此能求出轨迹M 的方程．【详解】由题意，设P （x ，y ），则()22252516165x y x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得轨迹方程是221169x y -=． 故答案为221.169x y -=【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．由2、3题推广：圆锥曲线统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
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圆锥曲线之轨迹方程的求法（一） （制卷：周芳明）【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤；□2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。
【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。
即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。
例1．已知ABC ∆中，2,AB BC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。
点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。
例1．⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。
记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。
如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。
这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。
例1、已知定点A ( 3, 0 )，P 是圆x 2 + y 2 = 1上的动点，∠AOP 的平分线交AP 于M ，求M 点的轨迹。
例2、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.针对练习一、客观题1．平面内到点(0,1)A 、(1,0)B ( )A ．椭圆B ．一条射线C ．两条射线D ．一条线段2．平面上动点P 到定点)0,1(F 的距离比P 到y 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程为( )A ．22y x =B ．24y x =C ．22y x =或{00y x =≤D ．24y x =或{00y x =≤ 3．已知抛物线的方程为22(0)y px p =>，且抛物线上各点与焦点距离的最小值为2, 若点M 在此抛物线上运动, 点N 与点M 关于点A (1, 1)对称, 则点N 的轨迹方程为（ ）A ．28x y =B ．2(2)8(2)x y -=-C ．2(2)8(2)y x -=--D ．2(2)8(2)y x -=- 4．动点P 在抛物线221y x =+上移动，则点P 与点(0,1)A -连线中点M 轨迹方程是_____________.5．一动点P 到点F (2，0)的距离比它到y 轴的距离大2，则点P 的轨迹方程是 .二、解答题6．动圆M 过定点P （－4，0），且与圆C ：x 2 + y 2－8x = 0相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
、、、7．已知抛物线2y = x +1，定点A(3，1)、B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP ∶PA =1∶2，当B 点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点),(n S n n 在直线21121+=x y 上，数列{b n }满足*)(0212N n b b b n n n ∈=+-++，b 3=11，且{b n }的前9项和为153.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设)12)(112(3--=n n n b a c ，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式57k T n >对一切n∈N *都成立的最大正整数k 的值．19.（本题满分14分）已知点C(1，0)，点A 、B 是⊙O: x 2+y 2=9上任意两个不同的点， 且满足0=⋅BC AC ，设P 为弦AB 的中点。
(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x=-1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．20、(本题满分14分)过点),0(a A 作直线交圆M ：1)2(22=+-y x 于点B 、C ，在BC 上取一点P ，使P 点满足：AC AB λ=,)(,R PC BP ∈=λλ（1）求点P 的轨迹方程；（2）若（1）的轨迹交圆M 于点R 、S ，求MRS ∆面积的最大值。
一、知识概要：1. 定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。
2. 直接法:根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。
即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。
二、基本训练：1、已知∆ABC 的一边BC 的长为6，周长为16，则顶点A 的轨迹是什么？答: .2、若(5,0),(5,0)||||8A B MA MB --=且, 则点M 的轨迹方程是.(注意区别轨迹与轨迹方程两概念)三、例题：例1、两根杆分别绕着定点A和B (AB = 2a) 在平面内转动,并且转动时两杆保持相互垂直, 求两杆交点的轨迹方程.例3、过点(2,0)M -，作直线l 交双曲线221x y -=于A 、B 不同两点，已知OP OA OB =+。
（1）、求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（2）、是否存在这样的直线，使||||?OP AB =若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。
解：（1）、设直线l 的方程为(2)y k x =+，代入221x y -=得2222(1)4410k x k x k ----=， 当1k ≠±时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212241k x x k +=-，2122411k x x k +=- 212122244(2)(2)411k k k y y k x k x k k k+=+++=+=-- 设(,)P x y ，由OP OA OB =+，则212122244(,)(,)(,)11k k x y x x y y k k =++=-- ∴224141k x k ky k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，解之得x k y = (0)k ≠ 再将x k y =代入241k y k=-得22(2)4x y +-=……………………（1） 当0k =时，满足（1）式； 当斜率不存在是，易知(4,0)P -满足（1）式，故所求轨迹方程为22(2)4x y +-=，其轨迹为双曲线；当1k =±时，l 与双曲线只有一个交点，不满足题意。
（2）||||OP AB =，所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB 为矩形的充要条件是0OA OB =，即12120x x y y +=。
当k 不存在时，A 、B 坐标分别为(-，(2,-，不满足上式。
又212121212(2)()x x y y x x k x x +=+++2222222(1)(41)244011k k k k k k k ++=-+=-- 化简得：22101k k +=-，此方程无实数解，故不存直线l 使OAPB 为矩形。
点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。
课外作业：1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线2．如图,已知圆B ：(x+1)2+y 2=16及点A(1,0),C 为圆B上任意一点，则线段AC 的垂直平分l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程是 .3．已知ABC ,A(3,0),B(-3,0),且三边长|AC|、|AB|、|BC|依次成等差数列，则顶点C 的轨迹方程是 .6*．△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A , 则动点A 的轨迹方程为 .8． (06全国Ⅰ)在平面直角坐标系x oy 中，有一个以(10,3F -和(23F 为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x , y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+。
求点M 的轨迹方程.9．如图, 过A(-1,0),斜率为k 的直线l 与抛物线C:24y x =交于P 、Q 两点，若曲线C 的焦点F 与P 、Q 、R 三点按图中顺序构成平行四边形，求点R 的轨迹方程。
一、知识概要：代入法（相关点法）有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。
如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。
这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。
二、基本训练：1、双曲线2219xy-=有动点P，F1, F2是曲线的两个焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程。
例2、已知定点A ( 3, 0 )，P是圆x 2 + y2 = 1上的动点，∠AOP的平分线交AP于M，求M点的轨迹。
解：如图，设M ( x , y )、P ( x 1 , y 1 )。
由于OM平分∠AOP，故M 分AP 的比为：λ = ||||||||AM OA MP OP == 3 由定比分点公式，得113303,1313x y x y ++==++， 即1143()3443x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由于x 1 2 + y 1 2 = 1，故 22434[()]()1343x y -+=，即 2239()416x y -+=。