第4章 伯努利方程

4.6.1 动量积分方程 根据动量定理：流体系统的动量对时间的变化率等于外 界作用在该系统上的合力，即
dK d v dV F dt dt V
由于外力有质量力和表面力之分，故上式右边的等式可写为
d v dV fdV p n dS V V S dt
得控制体的动量积分方程
第四章 伯努利方程
4.1 伯努利方程
伯努利（瑞典），1738，《流体动力学》
——“流速增加，压强降低” 4.1.1 理想流体沿流线的伯努利方程 1. 伯努利方程的推导 欧拉运动方程＋四个假设
（1）定常流动
（2）沿流线积分
（3）质量力有势 （4）不可压缩
1）定常流场中的欧拉方程 2）将上式沿流线积分可得到伯努利方程 3）质量力有势 4）对于不可压缩流体有 ＝常数
缓变流：流线间夹角很小，流线曲率很小，流线几乎是一些 平行直线的流动。 特性： （1）质量力只有重力； （2）同一缓变过流断面上，各点的静压水头相等。 p z C g
假设 A1、A2是缓变流截面，对于微小流束：
p1 u p2 u2 z1 z2 g 2g g 2g
2 1
5）质量力只有重力
（1）理想流体
（2）定常流动 （3）沿流线积分
欧拉运动方程
V 0 t
dx dy dz vx vy vz

（4）质量力有势
v y dx v x dy v z dx v x dz U U U dU dx dy dz x y z f x dx f y dy f z dz
由动能修正系数定义 u12 v12 A1 2 g u1gdA1 1 2 v1 A1
u v A2 2 g u2gdA2 2 2 v2 A2
2 p1 1v12 p2 2 v2 z1 z2 g 2 g g 2 g
2 2
2 2
v1 A1 v2 A2
2
Fx (v0 u ) 2 A0 (1 cos ) Fy (v0 u ) A0 sin
3. 水流对喷嘴的作用力
喷嘴
F ( p1 pa ) A1 q(v2 v1 )
F ( p1 pa ) A1 q(v2 v1 )
2 A2 (1 A2 / A1 ) 由连续方程得 q(v2 v1 ) v2
A2 v1＝ v2 A1
2 v12 p1 v2 p ＋ 2 2 2
v1＝
（ 2 p2 p1 ) A [1 ( 1 ) 2 ] A2
p2 p1 gh( 1 )
v1＝ 2 gh（1 / 1) ( D / d )4 1
4.6 动量积分方程和动量矩积分方程及其应用
2
u1 gdA 1 u2 gdA 2
通过断面1和2的能量
理想流体总流
2 p1 u12 p2 u2 A1 ( z1 g 2g )u1gdA1 A2 ( z2 g 2g )u2gdA2
p1 p1 A1 ( z1 g ) u1gdA1 ( z1 g ) v1 gA1 p2 p2 ( z ) u gd A ( z A2 2 g 2 2 2 g ) v2 gA2
1 1
p
0
v1 2gh
小孔出流

4.1.4 相对运动的伯努利方程
随体坐标系将坐标固结于旋转的叶轮上。 叶轮的角速度为
f x x, f y y, f z g
2 2
2r
dU
U U U dx dy dz f x dx f y dy f y dy x y z

V
v dV v v n dS f dV p n dS S V S t
4.6.2 动量矩积分方程
根据动量矩定理：流体系统对某点的动量矩 H 对时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力 对同一点的力矩，即
F
dH d r v dV r F dt dt V
n1 i
n2 i cos j sin
水流对弯管作用力的两个分量可写为
Fx q(v2 cos v1 ) ( p1 pa ) A1 ( p2 pa ) A2 cos Fy qv2 sin ( p2 pa ) A2 sin
pB gHB
vB 2
pA gHA

( p A pB ) 2 gh
原理：测量时将静压孔和总压孔感受到 的压强分别和差压计的两个入口相连， 在差压计上可以读出总压和静压之差， 从而求得被测点的流速。
4.4 文丘里流量计 —— 测量管道中的流量
测量原理：测量截面1和喉部截面2处 结构：收缩段＋喉部＋扩张段 的静压强差，根据测得的压强差和已 知的管子截面积，应用伯努里方程和 连续性方程，就可以求得流量。 连续性方程： 伯努利方程： 联立求解：
叶轮
1 2 2 1 2 U r gz u gz 2 2
p w2 u 2 z C g 2 g 2 g
u：随叶轮旋转的牵连速度
w：相对与叶轮的速度
4.2 伯努利方程在工程中的应用
皮托管 —— 测量流速
沿流线B – A 列伯努利方程：
2 vB p p B A 2
4. 洒水器
喷水器
因此本问题的动量矩积分方程可写成
qv1r1 qv2 r2 0
v1r1 v2 r2 0
设
v为喷水的相对速度，则有
v1 v r1 v2 v r2
v(r1 r2 ) 4q(r1 r2 ) 2 2 2 2 2 r1 r2 d (r1 r2 )
x 方向动量方程： q1v1 q2v2 qv cos 0 y 方向动量方程： 0 ( qv sin ) F 由连续性条件 q = q1 + q2 和 x 方向的动量方程还 可以解出 1 cos 1 cos
q1 2 q0
q2 2 q0
y
x
v0
方程表明：沿流线速度和压强的变化是相互制约的，流速高 的点上压强低，流速低的点上压强高。
思
考
1. 轿车高速行驶时，为何感觉车身变轻？
4.1.2 理想流体总流的伯努利方程
动能修正系数
1 3 u dA A 2 1 3 v A 2
真实流速 平均流速
与速度分布有关，分布均匀为1；不均匀大于1。一般取1
4.1.3.实际流体总流的伯努利方程
p1 v p2 v z1 z2 hf g 2 g g 2 g
2 1 1 2 2 2
能量损失或 水头损失
伯努利方程应用举例
p0 p0 v z0 z1 g g 2 g
2 1 1
0
p
0
h
1
z0 z1 h
A0 Fx
Fy
v0

射流对固定叶片的作用图
取控制体如图，射流速度为v0 ,过流断面为A0 , 应用动量方程有
2 Fx v0 A0 (1 cos ) 2 Fy v0 A0 sin
y
x
v0 -u v0 A0 Fx Fy v0 -u

u
射流对运动叶片的作用
采用固结于叶片上的运动坐标系, 则在此动坐标系上观察到的 流动是定常的 取控制体如图, 此控制体进出口截面上的速度应为相对速度 (v0 – u), 过流断面为A0 , 应用动量方程有
伯努利方程
（速度水头）
v2 p z C 2 g g
（压强水头）
（位置水头）
v2 单位重量流体的动能 流速水头 2g v2 p 总机械能 总水头 z 2 g g
p g
z
物理意义
几何意义
单位重量流体的重力势能 位置水头 单位重量流体的压强势能 压力水头
平面流场（忽略重力作用）
v2 p ＋ C 2
P dP d 1
（5）不可压缩
2. 伯努利方程的意义 （1）几何意义：用几何图形来表示各物理量之 间的关系。 表明：在流线上的总水头为一常数。 （2）物理意义 表明：在流线上的单位重量流体的总能量为 一常数。 因此说伯努利方程是能量转化和守恒定 律在流体力学中的具体反映。
在应用控制体的动量积分方程和动量矩积分方程时，还要注 意如下几点： （1）方程是矢量式，为计算方便，要选择适宜的坐标系，以 便于求出各项的投影值； （2）法向分量的正负号以控制面外法向为正，向内为负； （3）方程未知数较多时，可联立连续方程和伯努利方程求 解； （4）控制面上的压力计算最好使用相对压强 p pa
动量方程求解步骤: (1)建立坐标系, 标出控制体 (2)分析控制体所受到的力，表明控制面上各 种参数 (3)分析动量的变化 (流出减流进, 速度投影有 正负)，列动量方程。
4.6.3 动量积分方程和动量矩积分方程的应用 1. 水流对弯管的作用力
动量方程为
F ( p1 pa )n 1 A1 ( p2 pa )n 2 A2 Q(v 2 v 1 )
d r v dV r f dV r p n dS V V S dt 根据雷诺输运方程式可得控制体的动量矩积分方程

V
r v dV r v v n dS r f dV r p n dS S V S t
4.6.3 动量积分方程和动量矩积分方程的应用 关于控制面 （1）与问题有关的边界面； （2）已知物理量较多的面； （3）流面即流线组成的面（ vn=0）两端截面垂直于流线 （此时 vn=v）
2 p1 v12 p2 v2 , p2 pa 得 由伯努利方程 g 2 g g 2 g
2 A2 1 2 p1 p a v2 1 2 A 1