弹塑性力学与有限元-材料非线性问题和几何非线性问题
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➢ 弹塑性增量的应力应变关系
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 弹塑性问题的增量方程 将载荷分成若干个增量，然后对于每一载荷增量，将弹塑性方程 线性化。假设对于时刻t的解已经求得，要求解t+Δt时刻的解。
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 一． 应变的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 一． 应变的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 一． 应变的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢ 弹塑性增量有限元分析 每一增量步包含下列三个算法步骤： 1．线性化弹塑性本构关系，并形成增量有限元方程。 2．求解有限元方程。 3．积分本构方程决定新的应力状态，检查平衡条件，并决定 是否进行新的迭代。
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢ 弹塑性增量分析数值方法中的几个问题 非线性方程组的求解方案 1．欧拉法及其改进 2．变刚度迭代(N-R迭代) 迭代步骤： (1) 形成方程组 (2) 求解方程组，得到本次迭代的位移增量修正量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢弹塑性增量分析数值方法中的几个问题 (3) 计算各单元应变增量和应力增量修正量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 1. 应变的度量
0时刻：
P点坐标0xi ；Q点坐标0x i +d 0x i
t 时刻:
P点坐标t xi；Q点坐标t xi +d txi；i =1,2,3
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 塑性力学的基本法则 (2)Tresca条件
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢ 塑性力学的基本法则 2．流动法则 可从塑性势导出流动法则
对于关联塑性情况，流动法则表示为 3．硬化法则
(1) 各向同性硬化法则 (2) 运动硬化法则
➢ 弹塑性问题的增量方程 它们应满足的方程和边界条件是
应力应变关系应通过积分求得
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 增量有限元格式 首先建立增量形式的虚位移原理如下：
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 增量有限元格式 基于增量形式虚位移原理有限元表达格式
(4) 根据收敛准则检验解是否满足收敛要求
3. 常刚度迭代(mN-R迭代)
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢弹塑性增量分析数值方法中的几个问题 弹塑性状态的决定和本构关系的积分 决定弹塑性状态的一般算法步骤: (1)利用几何关系计算应变增量 (2)按弹性关系计算应力增量的预测值以及应力的预测值
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
几何非线性问题
➢ 引言 几何非线性问题： 板、壳等薄壁结构在一定载荷作用下，尽管应变很小，甚至未超过 弹性极限，但是位移较大。这时必须考虑变形对平衡的影响，即平 衡条件必须建立在变形后的位形上，同时应变表达式应包括位移的 二次项——平衡方程和几何条件都是非线性的； 金属成型材料在受载时都可能出现很大的应变，这时除了采用非线 性的平衡方程和几何关系外，还需要引入相应的应力应变关系。
二． 应力的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
二． 应力的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形情况下的本构关系
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形情况下的本构关系
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材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形情况下的本构关系
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➢ 大变形情况下的本构关系
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材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 几何非线性问题分析的有限元法表达格式
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 几何非线性问题分析的有限元法表达格式
《弹塑性力学与有限元》
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 一． 应变的度量
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材料非线性问题和几何非线性问题
几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 二． 应力的度量 在大变形问题中，是从变形后的物体中截取出微元体建立平衡方 程和与之相等效的虚功原理，所以应从变形后的物体内截取单元 体定义应力张量－－欧拉应力张量，tτij
令m=0
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
作业：有一钢开孔板，其形状如下图所示，各尺寸a=1.6m ，b=0.8m ， r=0.05m，板厚 t=0.01m。设钢材的弹性模量为206Gpa ，屈服应力为235Mpa ，泊松比0.31 。 1、选取适当的单元利用ANSYS进行建模，并说明采用的单元、材料类型。 2、假设钢材为线性强化的弹塑性材料，其屈后刚度为弹性模量的1/10。对钢板进行位移 控制的往复加载。共有四级荷载，每一级先由ux=0 正向加载至位移为uxn ，再卸载并反向 加载至-uxn，最后回到ux=0, 完成一级的加载循环，四级荷载的位移值 uxn分别为0.5mm， 1.0mm，1.5mm，2.0mm。利用双线性随动强化和双线性等向强化两种模型进行分析并 绘制力-位移曲线。
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题 几何非线性问题
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢非线性方程组的数值解法 ➢材料弹塑性本构关系 ➢弹塑性增量有限元分析 ➢弹塑性增量分析数值方法中的几个问题
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
几何非线性问题
➢ 引言 在几何非线性问题的有限单元法中，通常采用增量分析方法。 增量分析方法一般采用两种表达格式： 完全的Lagrange格式：静力学和运动学变量总是参考初始位形， 即整个分析过程中参考位形保持不变。 更新的Lagrange格式：静力学和运动学变量参考于每一载荷或时 间步长开始时的位形，即在分析过程中参考位形不断在更新。
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 几何非线性问题分析的有限元法表达格式
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 几何非线性问题分析的有限元法表达格式 • 完全拉格朗日格式
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材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 几何非线性问题分析的有限元法表达格式 • 更新拉格朗日格式
材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢ 弹塑性增量的应力应变关系 1. 建立弹塑性增量的应力应变关系需遵循的原则 (1) 一致性条件 (2) 流动法则 (3) 弹性应力应变关系 2. 各向同性硬化材料的应力应变关系 以各向同性硬化材料为例
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 塑性力学的基本法则 (ii) Zeigler修正运动硬化法则 规定加载曲面沿联结其中心和现时应力点的向量方向移动。
在九维应力空间，以及在包括三个正应力，或不包括任何正应力的 应力子空间，这两种法则是完全相同的。
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 塑性力学的基本法则 (3) 混合硬化法则
如令M=1或M=0，混合硬化法则就分别蜕化为各向同性硬化法则和运 动硬化法则运动硬化法则。
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 塑性力学的基本法则 4．加载、卸载准则
(i) 对于理想弹塑性材料，此情况是塑性加载。 (ii) 对于硬化材料，此情况是中性变载。
《弹塑性力学与有限元》
(3)按单元内各个积分点计算D的预测值
1)计算屈服函数值
，然后区分三种情况
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢ 弹塑性增量分析数值方法中的几个问题 弹塑性状态的决定和本构关系的积分 (i)
(ii) 若
，则该积分点为由弹性
进入塑性的过渡情况，计算比例因子m。
（iii）若
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题wenku.baidu.com
➢有限元求解方程及解法
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢有限元求解方程及解法
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材料非线性问题和几何非线性问题
《弹塑性力学与有限元》
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材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 材料弹塑性本构关系 材料弹塑性行为的描述 1．单调加载
2．反向加载
3．循环加载
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢ 塑性力学的基本法则 1．初始屈服条件
(1) V．Mises条件
其中
有
《弹塑性力学与有限元》
如果应变是用变形前的坐标表示的 Green应变张量，则需要定义与之对 应的关于变形前位形的应力张量。
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材料非线性问题和几何非线性问题 几何非线性问题
二． 应力的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
二． 应力的度量
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材料非线性问题和几何非线性问题
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材料非线性问题和几何非线性问题
几何非线性问题
➢ 引言 ➢ 大变形条件下的应变和应力分量 ➢ 大变形条件下的本构关系 ➢ 几何非线性问题的表达格式 ➢ 有限元求解方程及解法
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➢ 引言
问题的类型： 大位移、小应变问题 大应变问题
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➢ 塑性力学的基本法则 (i) Prager运动硬化法则 规定加载曲面中心的移动是在表征现时应力状态的应力点的法线方向。
Prager运动法则一般说只能应用于九维应力空间。
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材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
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➢ 弹塑性问题的增量方程 将载荷分成若干个增量，然后对于每一载荷增量，将弹塑性方程 线性化。假设对于时刻t的解已经求得，要求解t+Δt时刻的解。
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材料非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 一． 应变的度量
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➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 一． 应变的度量
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➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 一． 应变的度量
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材料非线性问题
➢ 弹塑性增量有限元分析 每一增量步包含下列三个算法步骤： 1．线性化弹塑性本构关系，并形成增量有限元方程。 2．求解有限元方程。 3．积分本构方程决定新的应力状态，检查平衡条件，并决定 是否进行新的迭代。
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材料非线性问题
➢ 弹塑性增量分析数值方法中的几个问题 非线性方程组的求解方案 1．欧拉法及其改进 2．变刚度迭代(N-R迭代) 迭代步骤： (1) 形成方程组 (2) 求解方程组，得到本次迭代的位移增量修正量
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➢弹塑性增量分析数值方法中的几个问题 (3) 计算各单元应变增量和应力增量修正量
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几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 1. 应变的度量
0时刻：
P点坐标0xi ；Q点坐标0x i +d 0x i
t 时刻:
P点坐标t xi；Q点坐标t xi +d txi；i =1,2,3
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➢ 塑性力学的基本法则 (2)Tresca条件
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➢ 塑性力学的基本法则 2．流动法则 可从塑性势导出流动法则
对于关联塑性情况，流动法则表示为 3．硬化法则
(1) 各向同性硬化法则 (2) 运动硬化法则
➢ 弹塑性问题的增量方程 它们应满足的方程和边界条件是
应力应变关系应通过积分求得
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➢ 增量有限元格式 首先建立增量形式的虚位移原理如下：
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➢ 增量有限元格式 基于增量形式虚位移原理有限元表达格式
(4) 根据收敛准则检验解是否满足收敛要求
3. 常刚度迭代(mN-R迭代)
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材料非线性问题
➢弹塑性增量分析数值方法中的几个问题 弹塑性状态的决定和本构关系的积分 决定弹塑性状态的一般算法步骤: (1)利用几何关系计算应变增量 (2)按弹性关系计算应力增量的预测值以及应力的预测值
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几何非线性问题
➢ 引言 几何非线性问题： 板、壳等薄壁结构在一定载荷作用下，尽管应变很小，甚至未超过 弹性极限，但是位移较大。这时必须考虑变形对平衡的影响，即平 衡条件必须建立在变形后的位形上，同时应变表达式应包括位移的 二次项——平衡方程和几何条件都是非线性的； 金属成型材料在受载时都可能出现很大的应变，这时除了采用非线 性的平衡方程和几何关系外，还需要引入相应的应力应变关系。
二． 应力的度量
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二． 应力的度量
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➢ 大变形情况下的本构关系
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➢ 大变形情况下的本构关系
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➢ 大变形情况下的本构关系
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➢ 大变形情况下的本构关系
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➢ 几何非线性问题分析的有限元法表达格式
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➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 一． 应变的度量
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几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量 二． 应力的度量 在大变形问题中，是从变形后的物体中截取出微元体建立平衡方 程和与之相等效的虚功原理，所以应从变形后的物体内截取单元 体定义应力张量－－欧拉应力张量，tτij
令m=0
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材料非线性问题和几何非线性问题
作业：有一钢开孔板，其形状如下图所示，各尺寸a=1.6m ，b=0.8m ， r=0.05m，板厚 t=0.01m。设钢材的弹性模量为206Gpa ，屈服应力为235Mpa ，泊松比0.31 。 1、选取适当的单元利用ANSYS进行建模，并说明采用的单元、材料类型。 2、假设钢材为线性强化的弹塑性材料，其屈后刚度为弹性模量的1/10。对钢板进行位移 控制的往复加载。共有四级荷载，每一级先由ux=0 正向加载至位移为uxn ，再卸载并反向 加载至-uxn，最后回到ux=0, 完成一级的加载循环，四级荷载的位移值 uxn分别为0.5mm， 1.0mm，1.5mm，2.0mm。利用双线性随动强化和双线性等向强化两种模型进行分析并 绘制力-位移曲线。
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材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题 几何非线性问题
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材料非线性问题和几何非线性问题 材料非线性问题
➢非线性方程组的数值解法 ➢材料弹塑性本构关系 ➢弹塑性增量有限元分析 ➢弹塑性增量分析数值方法中的几个问题
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几何非线性问题
➢ 引言 在几何非线性问题的有限单元法中，通常采用增量分析方法。 增量分析方法一般采用两种表达格式： 完全的Lagrange格式：静力学和运动学变量总是参考初始位形， 即整个分析过程中参考位形保持不变。 更新的Lagrange格式：静力学和运动学变量参考于每一载荷或时 间步长开始时的位形，即在分析过程中参考位形不断在更新。
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 几何非线性问题分析的有限元法表达格式
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➢ 几何非线性问题分析的有限元法表达格式 • 完全拉格朗日格式
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➢ 几何非线性问题分析的有限元法表达格式 • 更新拉格朗日格式
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材料非线性问题
➢ 弹塑性增量的应力应变关系 1. 建立弹塑性增量的应力应变关系需遵循的原则 (1) 一致性条件 (2) 流动法则 (3) 弹性应力应变关系 2. 各向同性硬化材料的应力应变关系 以各向同性硬化材料为例
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➢ 塑性力学的基本法则 (ii) Zeigler修正运动硬化法则 规定加载曲面沿联结其中心和现时应力点的向量方向移动。
在九维应力空间，以及在包括三个正应力，或不包括任何正应力的 应力子空间，这两种法则是完全相同的。
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➢ 塑性力学的基本法则 (3) 混合硬化法则
如令M=1或M=0，混合硬化法则就分别蜕化为各向同性硬化法则和运 动硬化法则运动硬化法则。
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➢ 塑性力学的基本法则 4．加载、卸载准则
(i) 对于理想弹塑性材料，此情况是塑性加载。 (ii) 对于硬化材料，此情况是中性变载。
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(3)按单元内各个积分点计算D的预测值
1)计算屈服函数值
，然后区分三种情况
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材料非线性问题
➢ 弹塑性增量分析数值方法中的几个问题 弹塑性状态的决定和本构关系的积分 (i)
(ii) 若
，则该积分点为由弹性
进入塑性的过渡情况，计算比例因子m。
（iii）若
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➢有限元求解方程及解法
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➢有限元求解方程及解法
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➢ 材料弹塑性本构关系 材料弹塑性行为的描述 1．单调加载
2．反向加载
3．循环加载
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➢ 塑性力学的基本法则 1．初始屈服条件
(1) V．Mises条件
其中
有
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如果应变是用变形前的坐标表示的 Green应变张量，则需要定义与之对 应的关于变形前位形的应力张量。
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二． 应力的度量
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二． 应力的度量
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几何非线性问题
➢ 引言 ➢ 大变形条件下的应变和应力分量 ➢ 大变形条件下的本构关系 ➢ 几何非线性问题的表达格式 ➢ 有限元求解方程及解法
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➢ 引言
问题的类型： 大位移、小应变问题 大应变问题
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➢ 塑性力学的基本法则 (i) Prager运动硬化法则 规定加载曲面中心的移动是在表征现时应力状态的应力点的法线方向。
Prager运动法则一般说只能应用于九维应力空间。
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