泛函分析报告小论文设计[1]

泛函分析论文

泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。。

§1 度量空间

§1.1 定义：若X 是一个非空集合，:d X

X R ⨯→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ∀∈，有

（1）(,)0d x y =当且仅当x

y =；

（2）(,)(,)d x y d y x =；

（3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，

则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。

【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式） 其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。

§1.2 度量空间的进一步例子

例：1、离散的度量空间(,)X d ，设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当1,(,)0,=x y d x y x y

≠⎧=⎨⎩当当。 2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i i i i d x y ξηξη∞

=∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t A

d x y x y ∈=是度量空间

4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t b

d x y x y ≤≤=是度量空间

5、空间2l ，122=1(,)[(-)]k k

i d x y y x ∞=∑是度量空间

§1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间

§1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果{}n x 是(,)X d 中点列，如果

∃x X ∈，使n lim (,)=0n d x x →∞

，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列，x

是点列{}n x 的极限。

同样的类似于n

R ，度量空间中收敛点列的极限是唯一的。 §1.3.2稠密子集与可分空间:设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令

M M M ⊂表示的闭包，如果E ,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时，称M 为X 的一个稠密子集，如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。 即：{},,.()n n M E x E x M s t x x n ⇔∀∈∃⊂→→∞在中稠密对 §1.3.3 例子

1、 n 维欧氏空间n R 是可分空间；

2、 坐标为有理数的全体是n R 的可数稠密子集；

3、 l ∞是不可分空间。

§1.4 连续映射

§1.4.1定义：设

(,),(,),> 0,X (,) < (T ,T ) < ,o o o

o X X d Y Y d T X Y x X d x x x d x x T x εδδε==∈% 是两个度量空间，是到中映射，如果对于任意给定的正数，存在正数 使对

中一切满足 的 ，有 则称在连续。

§1.4.2 证明映射连续性的方法

1、定义法

2、邻域法：对o Tx 的每一个ε—邻域U,必有o x 的某个δ—邻域V 使TV

U ⊂, 其中TV 表示V 在映射T 作用下的像。

3、极限观点（定理一）：, T ()n o n o T x x x Tx n ⇔→→→∞连续 则

4、定理二:度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射 ⇔ Y 中任意开集M

的原像1T M -是X 中的开集。

5、定理二（变式）：把“开集”改为“闭集”，定理二仍成立。

§1.4.3 例题

例1、 设X,Y,Z 为三个度量空间，f 是X 到Y 中的连续映射，g 是Y 到Z

的连续映射，证明复合映射()()=((x))gf x g f 是X 到Z 的连续映射。

证明：设G 是Z 中开集，因g 是Y 到Z 的连续映射,

1g G -是Y 中开集， 又因f 是X 到Y 中的连续映射，

-11()f g G -是X 中的开集， 即-1(g f)G o 是X 中的开集，即(g f)o 连续。

【分析】此题就是利用定理二来证明的。

§1.5 柯西点列和完备度量空间

§1.5.1 定义：设(,)X X d =是度量空间，{}n

x 是X 中点列，如果对0ε∀>，∃正整数()N N ε=,使当,n m N >时，必有(,)n m d x x ε<，则称

{}n x 是X 中的柯西点列，如果度量空间(,)X d 中每个点列都在(,)

X d 中收敛，那么称(,)X d 是完备的度量空间。

§1.5.2 相关结论

1、Q 全体按绝对值距离构成的空间不完备

2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列

3、柯西点列一定是有界点列

4、定理：完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件是M 为X 中的闭子

空间。（即完备性关于闭子空间具有可遗传性）

【注意】开子空间不完备。

例：1、[a,b]C 是完备度量空间；

2、2

l 是完备度量空间；

3、n R 是完备的度量空间；

4、实系数多项式全体[,]P a b ，[,]P a b 作为[a,b]C 的子空间不是完备度量空间；

§1.6 度量空间的完备化

定理1 （度量空间的完备化定理）：设(,)X X d =是度量空间，那么一定存在一

完备度量空间(,)X X d =:::，使X 与X :

的某个稠密子空间W 等距同构，并且X :在等距同构意义下是唯一的，即若(,)X d ∧∧也是一万倍度量空间，且X 与X :的某个稠密空间等距同构，则(,)X d ∧∧与(,)X d ::等距同构。 （其中：若( , ) = ( , )d Tx Ty d x y ，称(,)X X d =与(,)X d ::等距同构。） 定理1可以通过图形象表达

定理'1 ：设(,)X

X d =是度量空间，那么存在唯一的完备空间(,)X X d =:::，使X 为X :

的稠密子空间。

§1.7压缩映射原理及其应用

§1.7.1定义：设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，如果,01αα∃<<，

.s t ,x y X ∀∈，(,)(,)d Tx Ty d x y α≤，则称T 是压缩映射。

§1.7.2定理1（压缩映射定理）设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，

那么T 有且只有一个不动点（就是说，方程Tx x =

，有且只有一个解）。 定理2（隐函数存在定理）设函数(,)f x y 在带状域,a x b y ≤≤-∞<<∞

中处处连续，且处处有关于

y 的偏导数'(,)y f x y 。如果∃常数m 和