泛函分析报告小论文设计[1]
泛函分析课程论文
泛函分析课程论文数学与计算科学学院 09数本2班 黄丽萍 2009224725大四新学年开始了，我们也开始学习了一门综合性及专业性强的课程——泛函分析。
首先，理解下“泛函分析”这个概念。
泛函分析是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。
在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。
所以在接下来的两章内容的学习中，我们将先学习“两大空间”——度量空间和赋范线性空间及其相关知识（第七章和第八章）。
在学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。
第七章的标题已经明确给出了学习任务——度量空间和赋范线性空间。
§1 度量空间§1.1 定义：若X 是一个非空集合，:d X XR ⨯→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ∀∈，有（1）(,)0d x y =当且仅当xy =；（2）(,)(,)d x y d y x =；（3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。
【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式） 其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。
§1.2 度量空间的进一步例子例：1、离散的度量空间(,)X d ，设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当1,(,)0,=x y d x y x y≠⎧=⎨⎩当当。
2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i i i i d x y ξηξη∞=∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t Ad x y x y ∈=是度量空间4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t bd x y x y ≤≤=是度量空间5、空间2l ，122=1(,)[(-)]k ki d x y y x ∞=∑是度量空间§1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间§1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果{}n x 是(,)X d 中点列，如果∃x X ∈，使n l im (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。
泛函分析课程总结论文
泛函分析课程总结论文第一部分：知识点体系第七章：度量空间和赋范线性空间度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。
泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。
一、度量空间的进一步例子 1、度量空间的定义定义1.1 设X 为一个集合，一个映射X X R ⨯→d ：.若对于任何x,y,z 属于X ，有1°d(,)0x y ≥，且d(,)0x y =当且仅当x y =（非负性）； 2°(,)(,)d x y d y x =（对称性）；3°(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+ （三角不等式） 则称d 为集合X 的一个度量，同时称(),X d 为一个度量空间（课本第二章第一节中已经讲解了度量空间的定义，第七章第一节接着讲解度量空间，下面介绍六种度量空间。
）2、常见的度量空间 例2.1 离散的度量空间设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称为离散的度量空间。
例2.2 序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点令 称为序列空间。
例2.3 （3）有界函数空间B(A ）,x y X ∈1,(,)0,if x yd x y if x y ≠⎧=⎨=⎩(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i id x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义例2.4 可测函数空间设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，若，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。
泛函分析论文
泛函分析在最优控制中的应用一、引言控制理论中几乎所有的问题，都可以用泛函分析中有关空间和算子的术语来描述，而泛函分析严谨广博的理论体系，对所研究问题的归属有明确的规定，同时可以向研究者提供解决的途径。
例如，利用对偶空间和伴随算子的理论，可以解释控制理论中几乎所有的对偶定理。
而这些定理的发现，大多也是数学结论直接演绎的结果。
控制理论所研究的问题，可以概括为系统分析、系统综合、建模和优化，系统分析包括系统的稳定性分析，能控能观性分析，鲁棒性分析等，主要是分析用以描述系统行为的算子的特性。
传统的分析方法是实用的，但只限于某些类型的非线性系统进行统一的处理，从而获得更加一般的结论。
系统的综合包括控制器和补偿器的设计等，使系统得以镇定或获得某种性能，这是分析的逆问题。
传统的综合方法不仅费时费事，而且解决问题的范围比较狭窄。
现代的综合方法倾向与构造能用于计算机实现某些算法。
迭代算法或递推算法的收敛性分析，以及闭环控制的稳定性分析等，只有借助于泛函分析所提供的工具，才有可能使问题得以解决。
系统建模和系统的最优控制，一般是在某些约束条件下，对某个泛函指标进行优化的问题，这更是泛函分析研究范围内的问题。
在最优控制问题中，目的是根据被控对象的动态过程选取一个最优的容许控制，使得某一性能指标（泛函）达到最优值。
从数学角度来看，这是求取一类带有约束条件的泛函极值问题二、问题描述考虑一个动态系统(,,),x f x u t = 00()x t x = （1） 其中()x t 为n 维状态向量；()u t 为m 维控制向量；f 为n 维向量函数。
确定一个最优的容许控制*()u t ，使得系统产生一个容许状态()x t 满足目标集约束 [(),]0f f x t t ψ= （2） 同时，还要使性能指标[(),](,,)ft f f t J x t t L x u t dt ϕ=+⎰（3）达到极值。
在这个一般描述中，末端时刻f t 可取两种情形：可固定，可自由；末端的状态()f x t 可取三种情形：固定，自由及受[(),]0f f x t t ψ=约束。
高馨泛函分析论文
泛函分析论文摘要:本文介绍了Hilbert 空间、Banach 空间、距离空间、拓扑空间的概念，通过一些典型例题论述它们空间之间的关系及算子定义和特征值关键词:Hilbert 空间、Banach 空间、距离空间、拓扑空间、算子一、空间每一个内积空间是赋范空间.我们称完备的内积空间为Hilibert 空间..一个内积空间必是一个赋范空间.反之,,每一个赋范空间都可以引进一个内积,使得由这个内积产生的范数是原来的范数,其中范数要满足平行四边形则.Hilbert space 是完备的线性赋范空间（Banach space ）的一个特例.1、Hilbert 空间有穷维线性空间可以引进各种种范数使它成为bananch 空间，但是通常欧式空间的一个重要特性是它上面定义了内积，借助于内积就可以定义向量的长和两个向量的正交性。
我们把这种方法推广到无穷维空间的情形，在下面里，我们引进内积空间Hilbert 空间的概念。
设H 是域K 上的线性空间，任意H y x ∈,,有一个K 中数(x,y)与之对应，使得对任意K a H z y x ∈∈,,,满足：⑴正定性：()(),0,;0,=≥x x y x 当且仅当;0=x⑵共轭对称性：()();,,x y y x =⑶对第一变元的线性性：()();,,y x a y ax =()()().,,,z y z x z y x +=+称（ ， ）是Ｈ上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。
()().,,y x a ay x =定理 1.1.1（Schwarz 不等式） 设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,有()()().,,,2y y x x y x ≤称内积空间的这个范数是由内积产生的范数，因此每一个内积空间是赋范空间.以后凡说到内积空间是赋范空间都是指范数是由内积产生的.我们称完备的内积空间为Hilbert 空间.例1.1.1 n R 是（实）Hilbert 空间.在定义n R 中定义()k nk k y x ηξ∑==1, {}{}().,n k k R y x ∈==ηξ不难验证，（ ， ）是一个内积，且由这个内积产生的范数为2112⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=n k x ξ {}().n k R x ∈=ξ 因此n R 是Hilbert 空间.例1.1.2 ]2,L a b ⎡⎣是Hilbert 空间与2l 类似，由Holder 不等式，对任意]2,,x y L a b ⎡∈⎣，()()112222,(())(())b b b aa a x t y t dt x t dt y t dt ≤⎰⎰⎰ 在]2,L ab ⎡⎣上定义内积()()(),ba x y x t y t dt =⎰ 有这个内积产生的范数为 122(())b a x x t dt =⎰由此可知]2,L a b ⎡⎣是Hilbert 空间 定理1.1.2 设H 是内积空间，则内积()y x ,是x,y 的连续函数，即当()().,,,,y x y x y y x x n n n n →→→时，定理1.1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数.2、Banach 空间定义2.1.1 设X 是域K(实数域或复数域)上的线性空间，函数:R X →∙: 满足条件：1) 对任意0,0;0,==≥∈x x x X x 当且仅当；2) 对任意（齐次性）及,,x a ax K a X x =∈∈； 3) 对任意（三角不等式）,,y x y x X y x +≤+∈. 称 ∙是X 上的一个范数，X 上定义了范数 ∙称为赋范（线性）空间，记为() , ∙X ，有时简记为X .在一个赋范线性空间() , ∙X 中通过范数可以自然地定义一距离，(),,y x y x d -= .,X y x ∈ ()1.1.2事实上，由范数公理，对任意()()，当且仅当当且仅当且0,0,0,,0,,,,=-=-==≥-=∈y x y x y x d y x y x d X z y x ()()()+-≤-+-=-==-=-==z x y z z x y x y x d x y d x y y x y x d y x ,,,,,即()()y z d z x d y z ,,+=-.称赋范空间中这个距离是由范数诱导的距离.这样，赋范空间是一个距离空间，以后凡说赋范空间的距离如无特别说明都指的是由范数诱导的距离.因此，在第一张所讨论的涉及距离空间、拓扑空间的一般概念、性质（如完备性、可分性、紧性等）都可以移植到赋范空间中来.特别地，设{}n x 是赋范空间X 中的点列，X x ∈,如果()∞→→-n x x n 0，称{}n x 强（或按范）收敛于x ，记为()∞→→n x x n ，或x xn n =∞→lim .如果赋范空间是完备的称它为Banach 空间.例2.1.1 空间[],C a b 。
泛函分析期中课程论文(2012.11)
湛江师范学院2012 年-2013 学年度第 1 学期
期中考核题目及评分标准
考查科目：泛函分析授课对象：数科院09数本1-9班
任课教师：栾姝
考核形式：课程论文
具体要求：课程论文应包括以下两方面内容：一、总结《泛函分析》课程的知识体系；二、列举泛函分析中的某个知识点在其
他课程中的应用。
文中如涉及他人论文内容，要列出参考
文献。
题目自拟。
A4纸单面打印(标明院系、专业、班级、
姓名、学号) 字体：小四字数：不限
评分标准：100-90分：一、知识点总结详尽、准确，特别应注重每章
中各个知识点之间的区别和联系，要有自己的
独到之处。
二、要通过查阅参考文献，全面、
系统地总结泛函分析中某个知识点在其他课
程中的应用。
89-80分：一、知识点总结较为详尽、准确，基本体现各
个知识点之间的区别和联系，有自己的观点。
二、通过查阅参考文献，较为全面地总结了泛
函分析中某个知识点在其他课程中的应用。
79-70分：一、知识点总结基本全面、部分知识点内在联系
总结基本准确。
二、文中体现了泛函分析中某
个知识点在其他课程中的应用。
69-60分：一、知识点总结相对不够全面、部分知识点内在联
系总结基本准确。
二、文中有涉及到泛函分析
中某个知识点在其他课程中的应用。
59-0分：一、知识点总结不够全面、部分知识点内在联系总结
不够准确或者完全没有涉及，只是罗列课本中
的内容，没有自己的观点。
二、文中没有涉及
到泛函分析中某个知识点在其他课程中的应
用。
泛函分析总结范文高中
泛函分析是现代数学分析的一个重要分支，它主要研究的是函数构成的函数空间以及这些空间上的线性算子。
相较于高中数学中的实变函数和复变函数，泛函分析更多地关注函数之间的相互关系和映射性质，为解决实际问题提供了新的视角和方法。
一、泛函分析的基本概念1. 函数空间：泛函分析研究的对象是函数，这些函数构成一个集合，称为函数空间。
常见的函数空间有实值函数空间、复值函数空间、有界函数空间、连续函数空间等。
2. 线性算子：函数空间上的线性算子是一种映射，它将一个函数映射到另一个函数，同时满足线性性质。
线性算子是泛函分析的核心概念，如积分算子、微分算子、傅里叶变换等。
3. 范数：范数是度量函数空间中函数“大小”的一种方式。
一个函数空间的范数满足以下性质：非负性、齐次性、三角不等式和归一性。
4. 内积：内积是度量函数空间中函数“夹角”的一种方式。
一个函数空间的内积满足以下性质：非负性、齐次性、共轭对称性和三角不等式。
二、泛函分析的主要理论1. 线性算子的谱理论：研究线性算子的特征值和特征向量，以及这些特征值和特征向量的性质。
2. 线性算子的有界性：研究线性算子是否具有有界性，以及有界性的条件。
3. 线性算子的连续性：研究线性算子是否具有连续性，以及连续性的条件。
4. 线性算子的可逆性：研究线性算子是否具有可逆性，以及可逆性的条件。
5. 线性算子的对偶性：研究线性算子的对偶算子，以及对偶算子的性质。
三、泛函分析的应用1. 微分方程：泛函分析为微分方程的求解提供了新的方法，如泛函微分方程、积分方程等。
2. 积分方程：泛函分析为积分方程的求解提供了新的方法，如变分法、迭代法等。
3. 函数论：泛函分析为函数论的研究提供了新的工具，如傅里叶分析、Sobolev空间等。
4. 线性代数：泛函分析为线性代数的研究提供了新的视角，如无穷维线性空间、线性算子等。
总之，泛函分析是一门具有广泛应用前景的数学分支。
通过对函数空间、线性算子、范数、内积等基本概念的研究，泛函分析为解决实际问题提供了新的思路和方法。
应用泛函分析读书报告范文
应用泛函分析读书报告范文泛函分析是现代数学的一个重要分支，是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门分析数学。
无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系统的数学工具。
因此，泛函分析是研究具有无穷多自由度的物理系统的有力工具。
控制科学与工程是一门研究控制的理论、方法、技术及其工程应用的学科。
它是20世纪最重要的科学理论和成就之一，控制科学以控制论、信息论、系统论为基础，研究各领域内独立于具体对象的共性问题，即为了实现某些目标，应该如何描述与分析对象与环境信息，采取何种控制与决策行为。
在《控制论与科学方法论》中谈到，所谓控制，便是研究确定事物发展的可能性空间，并通过一定的人为干预把可能性空间锁定或者缩小到期望的范围。
控制理论的研究对象是系统，所谓的控制是指对系统的控制。
对系统的研究，主要有研究系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性和方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能之间的关系，既是对系统进行分析和综合，以按照期望的性能和方式对系统进行控制。
然而，不管是对系统进行分析还是综合，首要前提就是建立起系统的数学模型，对系统的主要属性进行数学描述，利用适当的数学工具对系统属性间的关系进行定量描述和分析。
随着控制理论的发展，所用的数学工具也随着变化。
可以说，具体学科的发展为数学的发展提供了素材，而数学的发展，也为具体学科的发展提供了更为有力的工具。
控制科学作为具体的工程科学，基本的研究对象是自然界的物理系统。
所谓物理系统的自由度，是指用于完全描述系统行为的一组无关量的个数。
经典的数学分析是与经典力学的成就密切相关的，主要用来描述和分析物质作有限自由度连续运动的各种特性。
在此，主要研究一元函数或多元函数的性态，诸如单调性、连续性、可微性和可积性等，对连续函数建立了各种微积分运算。
数学的抽象把三维立体空间中向量的概念，推广到任意有限维线性空间；同时把力学中简单的坐标变换，推广到一般的线性变换，并且由此引出矩阵对线性变换的表示，以及矩阵的运算等，这些都是线性代数的研究内容。
[论文]泛函分析论文
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泛函分析是现代数学的一个分支，其研究的主要对象是函数构成的空间。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。
主要内容有拓扑线性空间等。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
泛函分析是二十世纪三十年代从变分法、微分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。
下面结合这学期的学习和内容从以下几个方面来浅谈泛函分析：一、度量空间和赋范线性空间1、度量空间现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。
19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。
20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。
度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。
这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。
定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。
若对于任何x,y,z属于X，有（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x = y；（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）则称d为集合X的一个度量（或距离）。
称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。
2、赋范线性空间泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。
泛函分析范文
泛函分析范文泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析(FunctionalAnalysis)是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫(StefanBanach)是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多·沃尔泰拉(VitoVolterra)对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型(譬如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等)，这说明函数空间里有不同的拓扑。
而函数空间一般是无穷维线性空间。
所以抽象的泛函分析研究的是一般的(无穷维的)带有一定拓扑的线性空间。
拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。
巴拿赫空间这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。
比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函数空间。
或者对于每个实数p，如果p≥1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。
(参看Lp空间) 在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。
对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。
微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。
实函与泛函分析范文
实函与泛函分析范文实函分析起源于19世纪，是由数学分析的发展而来的。
在实函分析中，关键概念是度量空间和拓扑空间。
度量空间是定义了一个距离函数的集合，可以用来度量两个元素之间的距离；拓扑空间则是对集合中的元素进行分类的方法，如开集、闭集等。
实函分析中的重要定理有柯西‐施瓦茨不等式、一致收敛定理、勒贝格积分定理等。
实函分析中的一项重要任务是研究函数的连续性。
实函数在其中一点连续，意味着在这一点的邻域内函数值的变化不会太大。
实函分析中研究连续性的方法有极限、收敛等。
另外，实函分析中的可微性研究的是函数的导数和微分，其中满足一定条件的函数可以求出导数，从而进一步探讨函数的凹凸性、极值等性质。
泛函分析是实函分析的推广，研究的是函数空间中的函数及其性质。
泛函分析中的关键概念是线性空间和范数。
线性空间是指满足线性组合和线性映射的集合，其中线性组合指的是对两个元素进行加法和乘法运算；线性映射则是将一个空间映射到另一个空间的函数。
范数是对线性空间中的元素赋予了一个非负实数的度量，用来衡量该元素的大小。
泛函分析中的重要定理有泛函极值问题、开映射定理、闭图像定理等。
泛函分析中的一项重要任务是研究函数空间中的收敛性。
在实函分析中，在度量空间中考虑函数的收敛性是一个自然的问题，而在泛函分析中，则是在函数空间中考虑函数序列的收敛性。
函数空间中的收敛分为点收敛和一致收敛。
点收敛是指函数序列在每个点处都收敛，而一致收敛是指函数序列在整体上收敛。
泛函分析中研究收敛性的方法有强收敛和弱收敛。
实函分析与泛函分析在数学领域中发挥着重要的作用。
实函分析为其他学科，如微积分、常微分方程等提供了重要的基础，而泛函分析则为非线性分析和偏微分方程等提供了有力的工具。
同时，实函分析和泛函分析也在应用数学领域中发挥着关键作用，如在物理学、工程学和经济学等领域的应用。
因此，实函分析与泛函分析的研究对于推动数学和其他学科的发展都具有重要的意义。
泛函分析学习报告
2012~2013学年第2学期《信息论与编码》课程论文题目信息论及其前沿应用专业信息与通信工程姓名徐玉伟学号2010208303二〇一三年六月十日信息论及其前沿应用学号：2010208303 姓名：徐玉伟专业：信息与通信工程摘要：信息论目前应用在我们生活的方方面面，生活中随处可见信息论应用的身影。
本文首先介绍了信息论，阐述了信息、信息论的意义，介绍了信息论的发展阶段，随后重点介绍了信息论在各行各业中的具体应用，最后对信息论的发展前景进行了展望。
关键词：信息信息论香农信息墒压缩感知情报分析统计信号处理一.信息论的基本认识1.1什么是信息“信息”一词有着很悠久的历史，早在两千多年前的西汉，即有“信”字的出现。
“信”常可作消息来理解。
作为日常用语，“信息”经常是指“音讯、消息”的意思，但至今信息还没有一个公认的定义。
信息是物质、能量、信息及其属性的标示。
信息是确定性的增加。
信息是事物现象及其属性标识的集合。
信息以物质介质为载体，传递和反映世界各种事物存在方式和运动状态的表征。
信息是物质运动规律总和，信息不是物质，也不是能量。
信息是客观事物状态和运动特征的一种普遍形式，客观世界中大量地存在、产生和传递着以这些方式表示出来的各种各样的信息。
信息论的创始人香农认为：“信息是能够用来消除不确定性的东西”。
信息相关资料：图片信息（又称作讯息），又称资讯，是一种消息，通常以文字或声音、图象的形式来表现，是数据按有意义的关联排列的结果。
信息由意义和符号组成。
文献是信息的一种，即通常讲到的文献信息。
信息就是指以声音、语言、文字、图像、动画、气味等方式所表示的实际内容。
信息是抽象于物质的映射集合。
信息是有价值的，就像不能没有空气和水一样，人类也离不开信息。
因此人们常说，物质、能量和信息是构成世界的三大要素。
所以说，信息的传播是极具重要与有效的。
信息是事物的运动状态和过程以及关于这种状态和过程的知识。
它的作用在于消除观察者在相应认识上的不确定性，她的数值则以消除不确定性的大小，或等效地以新增知识的多少来度量。
泛函分析论文范文
泛函分析论文范文泛函分析是数学中的一个分支，研究的是无限维空间中的向量和函数。
在泛函分析的研究过程中，论文是一种常见的学术产出形式。
下面是一篇关于泛函分析的论文范文，供参考。
Title：The Properties and Applications of Banach SpacesContinuous Linear Operators：In Banach spaces, continuous linear operators play an important role. They are linear transformations that preserve the norm and continuity of vectors. We present the definition and properties of continuous linear operators and prove several theorems related to bounded linear operators on Banach spaces. These theorems provide insight into the behavior of linear operators and their applications insolving mathematical problems.Applications of Banach Spaces：Banach spaces findapplications in various areas of mathematics. In this section,we discuss two specific applications: harmonic analysis and functional equations. Harmonic analysis deals with the representation of functions as superpositions of basic waves,and Banach spaces provide a framework for studying the convergence and properties of these representations. Functional equations involve finding functions that satisfy certainalgebraic conditions, and Banach spaces offer a tool forstudying the existence and uniqueness of solutions to these equations.。
强收敛、弱收敛和一致收敛
哈工大应用泛函分析最后论文
应用泛函分析在控制工程中的应用在研一上学期的课程学习过程中，我学习了《应用泛函分析》这门课程，刚接触这门课程的时候，觉的这门课是对数学理论的高度抽象，自己掌握的也是一知半解，并没有深入的去了解该课程对自己今后从事科研工作到底有什么样的帮助，随着学习理论知识的加深，结合王洋老师的《数字信号处理基础》和韩崇昭老师的《泛函分析——系统自动控制的基础》这两本书，我对泛函分析在机械工程和自动控制方面的应用有了一定的了解，以下我就来谈谈我眼中的应用泛函分析这门课程。
首先说一下应用泛函分析这门课程是如何产生并得到发展的。
人们在研究各种自然系统、社会经济系统和工程系统时，发现其内在机理有神奇的相似之处，它们都可以用同一的数学工具进行描述和分析，而针对某一特定类型系统研究的结论，也很容易移植到另一类型的系统。
系统科学或系统工程，正是研究各种系统共同规律的一门边缘学科，而控制理论则偏重于人或外部因素对系统行为的作用。
我由本学期开设的《控制理论及其应用》这门学科中知道，控制理论、系统工程以及其他应用学科的现代研究方法，往往首先需要建立一个用于描述对象特征的数学模型，进而利用这些模型来分析其静态或者动态的行为，诸如稳定性、能控性、能观性、能镇定性等等，或者设计某个控制策略或决策方案，从而产生对系统的有效控制作用，使之按人们预期的目标发展。
而现实的对象，除了极少数可利用物理定律或社会经济规律进行机理建模之外，大多数需要利用实测数据，按照某种方法，借用计算机辨识建模。
对于系统的分析或控制，除了要求掌握专门领域的知识之外，都需要掌握各种数学方法和计算工具，当代计算机技术的辉煌成就，给人们提供了这种研究的可能性，而现代数学理论的发展，已经和正在不断的为控制理论和系统科学提供强有力的分析和计算方法，应用泛函分析正是在这种背景和需求的情况下产生和发展起来的。
那么究竟什么是应用泛函分析呢，我个人认为，泛函分析是高度抽象的数学分支，是研究各类泛函空间及算子的理论。
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泛函分析论文泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。
在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。
学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。
§1 度量空间§1.1 定义：若X 是一个非空集合，:d XX R ⨯→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ∀∈，有（1）(,)0d x y =当且仅当xy =；（2）(,)(,)d x y d y x =；（3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。
【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式） 其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。
§1.2 度量空间的进一步例子例：1、离散的度量空间(,)X d ，设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当1,(,)0,=x y d x y x y≠⎧=⎨⎩当当。
2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i i i i d x y ξηξη∞=∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t Ad x y x y ∈=是度量空间4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t bd x y x y ≤≤=是度量空间5、空间2l ，122=1(,)[(-)]k ki d x y y x ∞=∑是度量空间§1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间§1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果{}n x 是(,)X d 中点列，如果∃x X ∈，使n lim (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列，x是点列{}n x 的极限。
同样的类似于nR ，度量空间中收敛点列的极限是唯一的。
§1.3.2稠密子集与可分空间:设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M M M ⊂表示的闭包，如果E ,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时，称M 为X 的一个稠密子集，如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。
即：{},,.()n n M E x E x M s t x x n ⇔∀∈∃⊂→→∞在中稠密对 §1.3.3 例子1、 n 维欧氏空间n R 是可分空间；2、 坐标为有理数的全体是n R 的可数稠密子集；3、 l ∞是不可分空间。
§1.4 连续映射§1.4.1定义：设(,),(,),> 0,X (,) < (T ,T ) < ,o o oo X X d Y Y d T X Y x X d x x x d x x T x εδδε==∈% 是两个度量空间，是到中映射，如果对于任意给定的正数，存在正数 使对中一切满足 的 ，有 则称在连续。
§1.4.2 证明映射连续性的方法1、定义法2、邻域法：对o Tx 的每一个ε—邻域U,必有o x 的某个δ—邻域V 使TVU ⊂, 其中TV 表示V 在映射T 作用下的像。
3、极限观点（定理一）：, T ()n o n o T x x x Tx n ⇔→→→∞连续 则4、定理二:度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射 ⇔ Y 中任意开集M的原像1T M -是X 中的开集。
5、定理二（变式）：把“开集”改为“闭集”，定理二仍成立。
§1.4.3 例题例1、 设X,Y,Z 为三个度量空间，f 是X 到Y 中的连续映射，g 是Y 到Z的连续映射，证明复合映射()()=((x))gf x g f 是X 到Z 的连续映射。
证明：设G 是Z 中开集，因g 是Y 到Z 的连续映射,1g G -是Y 中开集， 又因f 是X 到Y 中的连续映射，-11()f g G -是X 中的开集， 即-1(g f)G o 是X 中的开集，即(g f)o 连续。
【分析】此题就是利用定理二来证明的。
§1.5 柯西点列和完备度量空间§1.5.1 定义：设(,)X X d =是度量空间，{}nx 是X 中点列，如果对0ε∀>，∃正整数()N N ε=,使当,n m N >时，必有(,)n m d x x ε<，则称{}n x 是X 中的柯西点列，如果度量空间(,)X d 中每个点列都在(,)X d 中收敛，那么称(,)X d 是完备的度量空间。
§1.5.2 相关结论1、Q 全体按绝对值距离构成的空间不完备2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列3、柯西点列一定是有界点列4、定理：完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件是M 为X 中的闭子空间。
（即完备性关于闭子空间具有可遗传性）【注意】开子空间不完备。
例：1、[a,b]C 是完备度量空间；2、2l 是完备度量空间；3、n R 是完备的度量空间；4、实系数多项式全体[,]P a b ，[,]P a b 作为[a,b]C 的子空间不是完备度量空间；§1.6 度量空间的完备化定理1 （度量空间的完备化定理）：设(,)X X d =是度量空间，那么一定存在一完备度量空间(,)X X d =:::，使X 与X :的某个稠密子空间W 等距同构，并且X :在等距同构意义下是唯一的，即若(,)X d ∧∧也是一万倍度量空间，且X 与X :的某个稠密空间等距同构，则(,)X d ∧∧与(,)X d ::等距同构。
（其中：若( , ) = ( , )d Tx Ty d x y ，称(,)X X d =与(,)X d ::等距同构。
） 定理1可以通过图形象表达定理'1 ：设(,)XX d =是度量空间，那么存在唯一的完备空间(,)X X d =:::，使X 为X :的稠密子空间。
§1.7压缩映射原理及其应用§1.7.1定义：设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，如果,01αα∃<<，.s t ,x y X ∀∈，(,)(,)d Tx Ty d x y α≤，则称T 是压缩映射。
§1.7.2定理1（压缩映射定理）设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点（就是说，方程Tx x =，有且只有一个解）。
定理2（隐函数存在定理）设函数(,)f x y 在带状域,a x b y ≤≤-∞<<∞中处处连续，且处处有关于y 的偏导数'(,)y f x y 。
如果∃常数m 和M ，满足'0(,),y m f x y M m M <≤≤<，则方程(,)0f x y =在区间[,]a b 上必有唯一的连续函数()y x ϕ=作为解：(,())0,[,]f x x x a b ϕ≡∈§1.8 线性空间§1.8.1定义：设X 是一非空集合，在X 中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X 中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）x X ∀∈，均有1xx =，满足这样性质的集合X 称为线性空间。
例：1、n R 按自身定义的加法和数乘成线性空间2、[a,b]C 按自身定义的加法和数乘成线性空间3、空间(0)p lp >按自身定义的加法和数乘成线性空间§2 赋范线性空间§2.1赋范线性空间和巴拿赫空间§2.1.1定义：设X 是实（或复）的线性空间，如果对x X ∀∈，都有确定的一个实数，记为x 与之对应，并且满足：1o0x ≥，且0x =等价于0x =；（非负性） 2o ||x x αα=其中α为任意实（复）数；3o ,,x y x y x y X +≤+∈，（三角不等式） 则称x 为向量x 的范数，称X 按范数x 成为赋范线性空间。
注意：1、x 是x 的连续函数 2、||||0(,)0n n x x d x x -→⇔→ （诱导距离） §2.2重要结论：1、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间⇔X 是赋范线性空间，且{}n x 是柯西点列。
2、要判断一个空间是否为巴拿赫空间，有三点：（1）是否为线性空间 （2）是否为赋范线性空间 （3）是否完备3、任何有限维赋范线性空间都同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。
（即拓扑同构⇔范数等价）4、定理1： [,](1)p L a b p ≥按范数1(|()|)b p p p a f f t dt =⎰成赋范线性空间。
定理2：[,](1)p L a b p ≥是巴拿赫空间。
例题：1、n R 按范数x =2、空间[a,b]C 按范数max |()|a t b x x t ≤≤=成巴拿赫空间3、空间p l 是巴拿赫空间区别与联系：1、任意赋范线性空间都是度量空间2、赋范线性空间是一种特殊的度量空间，当它完备时称之为巴拿赫空间。
第八章 有界线性算子和连续线性泛函§1 有界线性算子和线性泛函的定义§1.1定义：设X 和Y 是两个同为实（或复）的线性空间，D 是X 的线性子空间，T 为D 到Y 中的映射，如果对,x y D ∀∈及数α，有()T x y Tx Ty +=+，()T x Tx αα=，则称T 为D 到Y 中的线性算子，其D 称为T 的定义域，记为()D T ，TD 称为T 的值域，记为()R T ，当T 取值于实（或复）数域时，就称T 为实（或复）线性泛函。
例：相似算子、微分算子、乘法算子、积分算子都是线性算子【值得一提】1、在有限维空间上，当基选定后，线性算子与矩阵是相对应的；2、n 维线性空间上线性泛函与数组12(,,,)n αααL （向量）相对应。
定义：T 为赋范线性空间X 的子空间()D T 到赋范线性空间Y 中的线性算子，称0()sup x x D T Tx T x ≠∈=为算子T 在()D T 上的范数。
定理1： 设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子，则T 为有界算子的充分必要条件是T 为X 上的连续算子。
这一定理说明，对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。
定理 2 ：设X 是赋范线性空间，f 是X 上线性泛函，那么f 是X 上连续泛函的充要条件为f 的零空间()N f 是X 中的闭子空间。