稳定误差分析与计算
3-5稳态误差的分析与计算
0型 系统
m
K (TjS 1) G(s) j1
n
(TiS 1)
i 1
抛物线输入 Ⅱ型系统
系统开环传递函数中 不含积分环节
KPlim G(s)K
s0
ess
1 1 K
阶跃输入时，误差系数=K
输出始终不会等于输入，存在稳态误差
Klim SG (s)0 斜坡输入时，误差系数=0
e s 0 ss 稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）
三种典型输入下对应于“0”“I”“Ⅱ”型三 种系统
有九种情况，误差的计算公式列表如下：
给定输入
给定稳态误差的终值 0型系统 I型系统 Ⅱ型系统
1(t)
1/(1+K)
0
0
t
∞1/K0源自t2/2∞∞1/K
注意: (1) 尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下 系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加 速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不 是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输 出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。
i1 n1
(is1) (k2s2 2kks1)
k1 n2
(Tjs1) (Tl2s2 2lls1)
j1
l1
稳态误差系数仅与系统参数K、(积分环节个数—系统 型号)有关，对应＝0、1、2 称 0、I、Ⅱ型系统
0、I、Ⅱ型三种系统 分别三种典型输入 稳态误差有九种情况
阶跃输入 斜坡输入
0型系统 I型系统
3. 稳态误差与系统传递系数有关
4. 稳态误差与扰动有关
本章结束
给定输入下的稳态误差与稳态误差系数
阶跃输入下:
e ssr
1
1 K
P
KPlimG(s) s0
3-3 第三节 系统误差分析与计算
第三节 系统误差分析与计算对于一个控制系统来说，不但要求其是稳定的，而且还要求其动态特性要好。
但这还不够，因为系统在输入作用下的过渡过程和稳态过程组成了时间响应的全部内容，因而研究系统的稳态过程也是相当重要的。
评定稳态过程的质量指标为稳态误差，是系统控制准确度的一种量度，是一项重要的性能指标。
控制系统设计的课题之一，就是如何使系统的稳态误差小于某个允许值。
一、误差与稳态误差1、误差误差——严格说就是被控对象的实际输出信号与理论输出信号之差。
工程上有两种误差定义。
①按输出端定义的误差含义：误差为系统希望输出量与系统实际输出量之差。
即： ()()()r e t c t c t =−或： ()()()r E s C s C s =−一般来说，这种误差信号直观实用，但是常无法进行测量，具有明显的数学意义，工程实际中相对前一种误差较少使用。
②按输入端定义的误差。
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11111E s R s B s R s H s C s R s H s s R s R s H s s G s H s R s G s H s R s G s H s =−=−=−Φ⎡⎤=−Φ⎣⎦⎡⎤=−⋅⋅⎢⎥+⎣⎦=⋅+有时也将()()()11e s G s H s Φ=+称为误差传递函数。
或者，误差表示为时间的函数：()()()e t r t b t =−这种形式的误差可以进行测量，具有一定的物理意义。
2、稳态误差在时域中误差是时间t 的函数()e t 。
一个稳定的闭环控制系统，在外加输入作用下，经过一段时间，其瞬态响应分量衰减到可以忽略的程度，其输出信号()c t 趋于稳态分量，同样其误差信号()ss c t ()e t 也将趋于一个稳态的。
()ss e t 稳态误差——当时间当t 时，→∞()e t 的稳态分量称为稳态误差，既稳定系统误差的终值。
记为()ss e t ()。
稳态误差的计算范文
稳态误差的计算范文稳态误差是指在系统达到稳定状态后，输出量与输入量之间的差异。
在控制系统中，我们希望输出与输入尽可能接近，因此稳态误差需要尽量减小。
计算稳态误差的步骤如下：1.确定控制系统类型控制系统的类型决定了稳态误差的计算方法。
常见的控制系统类型有比例控制系统、比例积分控制系统和比例积分微分控制系统。
2.给定输入信号选择适当的输入信号作为参考输入。
3.确定误差函数根据控制系统的类型，确定误差函数。
对于比例控制系统，误差函数为e(t)=r(t)-y(t)，其中e(t)为误差，r(t)为参考输入，y(t)为输出。
对于比例积分控制系统，误差函数为e(t)=r(t)-y(t)，且e(t)要累加积分。
4.计算稳态误差根据误差函数，计算系统的稳态误差。
常见的稳态误差包括静态误差、静态偏差和静态增益。
- 静态误差：在系统稳定状态下，输出值与参考输入值之间的差异。
常用符号e_ss表示。
静态误差是稳态误差的一个综合指标，不仅与系统类型有关，还与具体的输入信号有关。
- 静态偏差：系统稳定状态下的误差值，即e_ss = lim(t→∞)e(t)。
-静态增益：系统稳定状态下，输出与参考输入之比的比值。
常用符号K_p表示。
静态增益是稳态误差与参考输入之间的线性关系。
5.误差补偿如果稳态误差过大，可以通过引入补偿措施来减小误差。
常见的误差补偿方法有增益补偿、积分补偿、微分补偿和前馈补偿等。
计算稳态误差的方法根据具体的控制系统类型有所不同，下面将介绍常见的三种控制系统类型及其稳态误差的计算方法：1.比例控制系统的稳态误差计算对于比例控制系统，误差函数为e(t)=r(t)-y(t)。
当输入信号为阶跃信号时，稳态误差为静态偏差，可以通过以下公式计算：e_ss = lim(t→∞)e(t) = lim(t→∞)(r(t) - y(t))2.比例积分控制系统的稳态误差计算对于比例积分控制系统，误差函数为e(t)=r(t)-y(t)，且e(t)要累加积分。
误差分析与数值计算的基本方法
误差分析与数值计算的基本方法在日常生活中，我们不断地进行着数值计算，比如计算家庭的开销、工作中的数据分析等。
然而，在数值计算中，我们经常会遇到误差的问题。
误差不仅会影响计算结果的准确性，还可能导致实际应用中的误判或失败。
因此，正确的误差分析和数值计算方法具有非常重要的意义。
本文将从几个方面来介绍误差分析和数值计算的基本方法。
误差的类型误差是指实际值与真实值之间的差异，而误差可以分为绝对误差和相对误差。
绝对误差是指实际值与真实值之间的差异，通常以绝对值来表示。
相对误差是指绝对误差与真实值之比的绝对值，通常以百分数的形式来表示。
在计算机数值计算中，由于计算机内部表示数字的方式是有限制的，因此还会出现舍入误差。
所谓舍入误差，就是因为数字的位数限制而被截掉的数值，造成的误差。
误差的来源在数值计算中，误差来自多个方面，如输入数据、计算过程、输出结果等。
不同来源的误差，可能导致误差类型不同，进而影响正确性和可靠性。
输入数据的误差是指在实际输入数据时可能出现的误差，包括仪器误差、测量误差、观测误差等。
这些误差通常是由于工具或人的精度不同而产生的。
计算过程的误差是指计算中可能发生的误差，包括算法误差、步长误差、舍入误差等。
由于计算机的运算只有0和1两种状态，因此可能出现舍入误差。
输出结果的误差是指计算结果与最终目标之间的差异，包括截断误差、舍入误差等。
输出结果误差可能会影响后续的数值计算和实际结果的可靠性。
误差的刻画和控制误差的刻画和控制是数值计算中非常重要的内容，它们决定了数值计算的正确性和可靠性。
误差的刻画包括误差界的估计和误差分布的描述。
误差界是指计算结果可能存在的误差上限和下限，误差分布是指误差可能呈现的分布状态。
通过误差界和误差分布，我们可以判断计算结果的可靠性，制定正确的数值计算策略。
误差的控制包括提高输入数据的准确性、选择适当的算法和参数、严格的校验和测试、合适的舍入方式等方法。
通过合适的误差控制方法，我们可以提高数值计算的正确性和稳定性。
控制工程基础 第6章 控制系统的误差分析和计算
C0 (s)
N (s)
R(s) B(s)
(s)
-
G1 ( s )
+ G2 (s)
H (s)
e(s) -
C(s)
(b)
误差
C0(s) (s) N(s)
R(s)
1 H(s)
R1(s) C0(s)
E1(s(s))H(s)
E(s)
G1(s)
G2(s) C(s)
(c)
e(s) -+ (s)
H (s)
E(s)
因为偏差 (s) R(s) B(s) H (s)C0 (s) H (s)C(s) H (s)e(s)
这里 R(s) H (s)C0 (s) 是基于控制系统在理想工作情况下
(s) 0 得到的。
即当控制系统的偏差信号 (s) 0 时，该控制系统无调节控制
作用，此时的实际输出信号C(s)就是希望输出信号 C0 (s) 。
G(s)H(s)
i1 nv
sv (Tis 1)
i1
（4）稳态误差系数和稳态误差的总结 （系统在控制信号作用下）
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的
稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，
稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可
以得如下结论：
何改变系统结构?
(s)
- G1 K1
解：（1）给定作用下的误差传递函数为
RE (s)
(s)
R(s)
1
1
K1
K2 s
s s K1K2
当给定输入为单位阶跃输入时，稳态误差为
N (s)
+
G2
K2 s
稳态误差的分析与计算
R(S)
GC(S)
N(S) G0(S)
C(S)
稳态误差：B稳(S)态时输
H(S)
出值也是正弦量，频率
•恒值控和幅制输值系入 和统信 相：号 角稳一不态样同响值。应，—但恒值
•随动控制系统：稳态响应—跟稳随态输误入差变：化稳态时
•正弦输入下系统响应稳态实响际应值—与是期正望弦值波偏差
稳态误差：稳态时
一、稳态误差的定义
系统误差的定义:希望输出与实际输出之差。 e(t)=希望输出－实际输出
系统误差可分为稳态误差和动态误差。
说明：误差产生的原因是多样的，我们只研究由于系统结 构、参量、以及输入信号的形式不同所引起的误差。
稳态误差分类：
跟随稳态误差：用于衡量随动系统的稳态性能。表示系统能以 什么精度跟随系统输入信号的变化，用esr表示。
0、I、Ⅱ型三种系统 分别三种典型输入 稳态误差有九种情况
阶跃输入 斜坡输入
0型系统 I型系统
0型 系统
m
K (TjS 1) G(s) j1
n
(TiS 1)
i 1
抛物线输入 Ⅱ型系统
系统开环传递函数中 不含积分环节
KP lim G(s) K
s0
ess
1 1 K
阶跃输入时，误差系数=K
输出始终不会等于输入，存在稳态误差
抛物线输入下:
essr
1 Ka
m
Ka lim S 2G(s) s 0
K (TjS 1)
G(s)
S
j1
n
(TiS
1)
i 1
m1
m2
G(s)
K sv
(is 1)
(
2 k
自动控制原理3.6 线性系统的稳态误差
系统稳态误差是系统的稳态性能指标，是系统控 制精度的一种度量，它是控制系统设计中的一项重要 技术指标。 一、误差与稳态误差：
1、误差：被控量的希望值 c0(t )和实际值 c(t )之差：
(t) c0(t) c(t)
2、稳态误差：当 t 时系统误差的极限值：
二、给定输入下的稳态误差与静态误差系数：
1、阶跃
输
入下的esr与静
态位置误
差系数K
：
p
r(t) A 1(t)，R(s) A
s
esr
令K
p
lim sE(s)
s0
lim
s0
Gk
(s
lim
s0
)
1
s A
A
Gk s
esr
1
lim
As0
Gk
1 Kp
(
s)
0型：K p
ess
lim (t)
t
§3---6 稳态误差的分析计算
稳态误差的分析计算（续）
▲稳态误差是指在稳定条件下，加入输入信号后经 过足够长的时间，其瞬时响应已衰减到微不足道时， 稳态响应的期望值与实际值之差。因此，只有稳定 的系统讨论稳态误差才有意义。
●单位反馈系统的r(t)即为要求值：r(t) c0(t)
lim
s0
K
G0(s)
K
esr
A 1 K
1型：K p
lim
s0
K s
G0(s)
esr 0
1型以上：同1型一样ess 0
控制工程基础—第7章控制系统的误差分析与计算
ss 0
(3)Ⅱ型系统（N=2）
静态位置误差系数为Kp=∞，稳态误差ss=0。 图7-4 所示为单位反馈控制系统的单位阶跃响应 曲线，其中图7-4a为0型系统；图7-4b为Ⅰ型或 高于Ⅰ型系统。
图7-4 单位阶跃响应曲线
2. 静态速度误差系数Kv 系统对斜坡输入X(s)= R/s2的稳态误差称为速度误 差，即
图7-6 单位加速度输入的响应曲线
表7-1 单位反馈系统稳态误差 ss 输入信号 系统 类型 阶跃 x(t)=R
R 1 K
斜坡 x(t)=Rt
R K
加速度
R 2 x( t ) t 2
0型 Ｉ型 Ⅱ型
R K
0 0
0
三、其它输入信号时的误差
如果系统承受除三种典型信号之外的某一信号x(t) 输入，此信号x(t)在t=0点附近可以展开成泰勒级 数为 ：
1 R R ss lim s . 3 2 s0 1 G( s ) s lim s G ( s )
s0
（ 7-20 ）
静态加速度误差系数Ka定义为：
K a lim s G( s )
2 s 0
（ 7-21 ） （ 7-22 ）
所以
R ss Ka
(1) 0 型系统（N=0）
稳态误差 对式（7-5）进行拉氏反变换，可求得系统的误差 (t) 。对于稳定的系统，在瞬态过程结束后，瞬 态分量基本消失，而(t)的稳态分量就是系统的 稳态误差。应用拉氏变换的终值定理，很容易求 出稳态误差：
E ( s) ss lim ( t ) lim s ( s ) lim s t s0 s0 H ( s)
K v lim sG ( s )
3.5 控制系统的稳态误差分析与计算终
2.系统的类型
K 1s 1 2 s 1 Gk s Gs H s v s T1s 1T2 s 1
K为开环增益 τ1、τ2……和T1、T2……为时间常数
n m
1、系统对单位阶跃输入的稳态偏差 K 1s 11 2 s 1 s lim G G sE H s n m s s lim X s k v s ss i s 0 s s0 T1 s G 1 T s 1 1 s2 H s
s s Gk s
K 1s 1 对0型系统 K a lim s 0 s 0 T1s 1 1s 1 2 K 对I型系统 K a lim s 0 s 0 sT1s 1 1s 1 2 K
2
稳态加速度偏差系数 令：K
a
ss s 0 s 0 i s 0 k
2
K 1s 1 对0型系统 K v lim s 0 ss s 0 T1s 1 K 1s 1 1 对I型系统 K v lim s K ss s 0 sT1s 1 K K 1s 1 对II型系统 K v lim s 0 ss 2 s 0 s T1s 1
lim s Gs H s lim s Gk s
2 2 s 0 s 0
ss
ss
1 ss K
对II型系统 K a lim s s 0
s T1s 1
2
K
1t
t
1 ss Kv
Kv 0
K p lim Gk s K v lim sGk s K a lim s 2Gk s s 0 s 0 s 0
2 i
s H s s 1 Gs H s 1 G s T s 1T s1
《自动控制原理》第三章-3-5-稳态误差计算
伺服电动机
R(s)
E(s)
1
C(s)
-
s(s 1)
K 1, 1
r(t) 1(t),k p , ess 0
r(t) t, kv 1, ess 1
r(t)
1 2
t2, ka
0, ess
位置随动系统
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
14
4.扰动作用下稳态误差
R(s)
-
E(s)
R(s) E(s) 20
s4
N (s)
+
2
C(s)
s(s 2)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
28
3-20
R
-
K1
U
K2 S(T1S 1)
C
G(s)
K1K 2
B
s(T1s 1)(T2s 1)
1 T2S 1
(s)
C(s) R(s)
T1T2 s 3
K1K2 (T2s 1) (T1 T2 )s2 s
1
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
7
3.输入作用下稳态误差计算
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t) R 1(t), R(s) R s
ess
Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
1
R LimG(s)H (s)
Lim s R
s0
K Lim s
27
参考答案: Kp= ,kv=5,ka=0,essr=0.4，essn=-0.2
四、控制系统如图, r(t) 1 2t, n(t) 1(t), 试计算
§3-5稳态误差的分析与计算
G 2 (s) E n (s) Cn (s) N(s) 1 G1 (s)G 2 (s)H(s)
s 0
s 0
给定输入下的稳态误差与稳态误差系数
1 e ssr 阶跃输入下: 1 KP 斜坡输入下: essr 1 Kv 1 e ssr 抛物线输入下: Ka
K (TjS 1) G (s) S (TiS 1)
i 1 j1 n
K G( s) v s
i 1
n
系统开环传递函数中 不含积分环节
KP lim G (s) K
s 0
e ss 1 1 K
阶跃输入时，误差系数=K
输出始终不会等于输入，存在稳态误差
K lim SG (s) 0 斜坡输入时，误差系数=0 s 0
ess
2
稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）
Ka lim S G (s) 0抛物线输入时，误差系数=0 s 0 ess 输出不能跟随输入，
KP lim G(s)
K lim SG(s)
s 0
s 0
Ka lim S G(s)
s 0
m2
2
m
( s 1) (
i i 1 n1 k 1 n2 j j 1 l 1
m1
2 2 k
s 2 k k s 1) s 2 l l s 1)
(T s 1) (T
2 2
l
稳态误差系数仅与系统参数K、(积分环节个数—系统 型号)有关，对应＝0、1、2 称 0、I、Ⅱ型系统
0、I、Ⅱ型三种系统 分别三种典型输入 稳态误差有九种情况
机械工程控制基础控制系统的误差分析和计算
12
对单位阶跃输入，稳态误差为
ess
lim
s0
s 1
G
1
s
H (s)
1 s
1
G
1
0 H (0)
静态位置误差系数的定义：
Kp
lim G
s0
s
H (s)
G
0 H (0)
则
ess
1 1 Kp
13
对0型系统
Gs
K 1s 1 2s 1 T1s 1 T2s 1
Kp
lim
s0
K0 t1s 1t2s 1L T1s 1T2s 1L
Gs
K 1s 1 2s 1 T1s 1 T2s 1
Kv
lim
s0
s
K 1s 1 2s 1 T1s 1 T2s 1
0
16
对I型系统
Gs
K 1s 1 2s 1 s T1s 1 T2s 1
Kv
lim
s0
s
K 1s 1 2s 1 s T1s 1 T2s 1
K1
对II型系统
Gs
K 1s 1 2s 1 s2 T1s 1 T2s 1
ε(s) =Xi(s) - Y(s) Y(s)=H(s)Xo(s)
(s) 1
H (s)
p202
Xi (s)
X oi (s)
(s)
(s)
G1 ( s )
N(s)
＋ G2 (s)
Y (s)
H (s)
E(s)
1 H (s)
Xi (s)
X o (s)
ε(s) =Xi(s) - H(s)Xo(s)
1 (s)
t
s0
2. 利用终值定理计算系统的稳态误差：
第6章_控制系统的误差分析和计算_6.3干扰引起的稳态误差
N (s ) R (s ) E (s )
-
G1 = K1
+
G2 =
K2 s
C (s )
（2）扰动作用下的误差传递函数为 K2 − E(s) − K2 s ΦNE (s) = = = N(s) 1+ K K2 s + K1K2 1 s 当扰动输入为单位阶跃输入时，稳态误差为
essn
1 − K2 1 1 = lim s ⋅ Φ NE ⋅ = lim s ⋅ ⋅ =− s →0 s s →0 s + K1 K 2 s K1
N (s )
X i (s )
ε (s )
B (s )
-
G1 ( s )
+
H (s )
G2 (s)
X o (s )
（2）稳态误差的计算 ）
①给定作用下的偏差传递函数
N (s )
X i
X i (s )
-
G1 ( s )
+
H (s )
G2 (s)
X o (s )
ε (s )
ess = essr + essn 1 =− K1
（3）输入作用与扰动作用共同作用下的稳态误差为
N (s ) R (s ) E (s )
-
G1 =
K1 s
+
G2 =
K2 s
C (s )
（4）如果要求稳态误差为零，可以在G1中串联积分环节，令 K1 G1 = s 1 s2 1 essr = lim s ⋅ Φ RE ⋅ = lim s ⋅ 2 ⋅ =0 则有 s →0 s s →0 s + K1 K 2 s
④对于稳定的系统，采用拉氏变换的终值定理计算稳态偏差
稳态误差计算
稳定性的概念 稳定的充要条件
limk(t) 0
t
系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部 或所有闭环特征根均严格位于左半s平面
稳定判据
D(s) an sn an1sn1 a1s a0 0
（1）判定稳定的必要条件 ai 0
（2）劳斯判据 （3）劳斯判据特殊情况的处理
判定系统的稳定性 （4）劳斯判据的应用 确定使系统稳定的参数取值范围
静态速度误差系数
K
Kv
lim
s0
s G1(s)H(s)
lim
s0
sv1
A A
1
A
K essa
lim s
s0
e (s)
R(s)
lim s
s0
s3
1 G1(s)H (s)
lim
s0
s
2
G1
(
s
)
H
(
s
)
a
静态加速度误差系数
Ka
lim
s0
s
2
G1
(s)H
(
s)
lim
s0
K sv2
第11页/共21页
D(s) s1s2 K1K2 K3Ts K1K2 K3 0
K1 T
K
2K 0
3
0
essr
lim
s0
s
e
(s)
A s3
lim
s0
A s2
s1 s2
s1 s2 K1K 2 K 3Ts
K1K2K3
A K1K2K3
en(s)
E(s) N (s)
1
K 2 K 3 (Ts 1) K1K 2 K 3 (Ts 1)
数值计算中的数值误差与稳定性分析
数值计算中的数值误差与稳定性分析在数值计算领域，数值误差和稳定性是两个重要的概念。
数值误差是指数值计算结果与真实值之间的差异，而稳定性则关注计算方法对初始条件的敏感程度。
本文将就数值误差和稳定性进行分析，并探讨它们在数值计算中的应用。
一、数值误差1.1 精度误差精度误差是由计算机的有限位数表示数字所引起的误差。
在计算过程中，无法无限精确地表示实数，因此会出现舍入误差。
例如，计算π时，无论使用多少位的近似值，都无法精确表示π的真实值。
1.2 截断误差截断误差是指在数值计算过程中，为了减少计算量而对计算结果进行截断或舍入所引起的误差。
当我们对无限级数或函数进行近似计算时，往往只截取有限项或使用有限阶的多项式进行计算，从而引入截断误差。
1.3 累积误差累积误差是指在多次计算中，由于前一步计算的误差被传递到后一步而导致误差不断累积的情况。
当我们进行复杂的数值计算时，每一步的误差都会进一步影响后续的计算，从而导致累积误差的出现。
二、稳定性分析2.1 稳定性定义在数值计算中，稳定性是指计算方法对初始条件的敏感程度。
一个稳定的计算方法应该在输入条件有轻微变动时，计算结果不会发生剧烈的改变。
相反，如果计算方法对初始条件非常敏感，那么它就是不稳定的。
2.2 条件数条件数是衡量问题条件对计算结果影响程度的度量。
条件数越大，计算结果对输入条件的变动越敏感，稳定性越差。
条件数的计算方法因具体问题而异，但一般来说，条件数越大，计算问题就越病态，数值解的稳定性越差。
2.3 稳定性与算法选择在实际的数值计算中，选择合适的算法和计算方法对于保证计算结果的稳定性至关重要。
对于特定的数值计算问题，我们应该选择恰当的数值方法，避免不稳定的计算。
例如，在求解线性方程组时，若矩阵的条件数较大，我们应该选择稳定的求解方法，以避免结果的不确定性。
三、数值误差与稳定性的应用数值误差和稳定性的分析对于各个领域的数值计算都具有重要的应用价值。
以下是一些具体应用的例子：3.1 科学计算在科学计算中，例如天气预报、结构力学分析等，准确的数值计算结果对于判断问题的性质和做出决策至关重要。
控制系统的误差分析和计算
输入引起的稳态误差 误差传递函数与稳态误差
输入引起的误差传递函数为
E(s) 1 = X (s) 1+ G(s)
i
Xi(s) +
E(s) -
G(s)
Xo(s)
则
E(s) =
1 X (s) 1+ G(s)
i
根据终值定理得
sX (s) e = lime(t) = limsE(s) = lim 1+ G(s)
e ssa
1 = Ka
0 0－ 型系统 Ka = 0－Ι型系统 K－ΙΙ型系统
essa
∞ = ∞ 1 K
输入引起的稳态误差
输入引起的稳态误差 总结： 总结： （1）位置误差、速度误差、加速度误差分别指输入 位置误差、速度误差、 是阶跃斜坡、 是阶跃斜坡、加速度输入时所引起的输出位置上的 误差。 误差。 （2 ）
E (s )
K1 T1s + 1
K2 T2 s + 1
Y (s )
1）当x(t)=1(t)时系统的静态误差； x(t)=1(t)时系统的静态误差； 时系统的静态误差 f(t)=t时系统的静态误差 时系统的静态误差； 2）当f(t)=t时系统的静态误差；
例：控制系统结构如图所示，其中扰动信号f(t)=1(t)。 控制系统结构如图所示，其中扰动信号f(t)=1(t)。 f(t)=1(t) 试问：能否选择一个合适的K 试问：能否选择一个合适的K值，使系统在扰动作用下的 稳态误差为e 0.009？ 稳态误差为esf=-0.009？
e3 = ∞ ess = e1 + e2 + e3 = ∞
干扰引起的稳态误差
Xi(s) ε(s) + N(s) Xo(s)
稳态误差分析
R ss 1 K p
ss
v Kv
ss
K
0
Ⅰ
Ⅱ
K
0 0
K
R 1 K
v K
0
K
0 0
0
K
如果系统输入信号是多种典型信号代数组合时， 应用叠加原理可求的系统的稳态偏差（稳态误 v 差）。为了满足系统稳态响应的要求， 值应 按最复杂的输入信号来决定（例如，输入信号 包含有阶跃信号和等速度信号时， 值必须大 v 于等于1）。
G ( s)
C (s)
H ( s)
1 E ( s) R( s ) 1 H ( s)G ( s) 1 E1 ( s) R( s ) H ( s)(1 H ( s)G ( s))
图3-24 系统结构图
(3-45a) (3-45b) (3-46a) (3-46b)
系统的稳态误差为:
ess lim e(t )
1 N (s) s
K2 1 s 1 E ( s) s K1K 2 s s K1K 2 s
第三步：利用终值定理求稳态误差
ess
1 s
K2 s 1 ess lim sE ( s ) lim s s 0 s 0 s K1K 2 s s K1K 2 1 K1
(1)对扰动进行补偿
GN (s) 为待求的前
馈控制装置的传递 函数， N ( s ) 为扰动 作用 令 R( s ) 0
2.4
四、扰动输入引起的稳态偏差
R
G2 ( s) H ( S ) en ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
稳态误差的计算_图文(精)
System: untitled1 Final Value: 0.909 System: untitled4 Final Value: 0.5
G G1G2
1 s 11.67s 1
35
Байду номын сангаас
0
>> step(feedback(tf(1*[0.0,1],conv([1,1],[1.67,1])),1),0:.01:35) 5 10 15 20 25 30
3-6 线性系统的稳态误差分析 项目 内容
教 学 目 的 理解稳态及稳态误差的概念，掌握其计算方法和
计算结果，进而熟悉减小或消除稳态误差的措施。
教 学 重 点 稳态误差系数定义和典型输入信号作用下的稳态
误差，即表3－5 ；减小或消除稳态误差的措施。
教学难点
广义（动态）误差的概念和广义（动态）误差系 数的计算方法，各种补偿措施。
二、给定输入作用下系统的误差分析
这时，不考虑扰动的影响。 可以写出随动系统的误差 ： 1 1 E ( s) R( s ) R( s ) 1 G1G2 H 1 Gk
R( s )
E (s)
H
G2
G1
sR( s) ess lim e(t ) lim sE ( s) lim t s 0 s 0 1 G ( s ) k
Time (sec)
从图形中体会误差和稳态误差
单位斜坡函数输入时的稳态误差 1 当输入为R ( s ) 2 时（单位斜坡函数） s sR(s) 1 1 1 ess lim s 0 1 G ( s) lim s Gk (s) lim K G (s) Kv k s 0 0 s 0 s 1 K v lim s Gk ( s ) 称为速度误差系数； 式中：
稳态误差分析.
• 前者在实际系统中是可量测的，具有一定的物理意义；
• 后者一般只有数学意义。将图（a）等效变换为图（b），
可以看出两者之间有对应关系：
E(s) E(s) / H(s)
对于单位反馈系统来说，这两种定义是等价的。
二、稳态误差 ess
• 稳态误差是系统的误差响应达到稳态时的值，
是对系统稳态控制精度的度量，
lim
s0
0
sH (s)G(s)
0
Kv
令
Kv
lim sG(s)H(s)
s0
K v 静态速度误差系数
Static velocity error constant
0 Kv K
0 1 2
ess
v0 K
0
0 1 2
加速度信号输入
ess
lim
s0
sE ( s)
lim s0 1
sR(s) H (s)G(s)
1
R(S) 1 GC (s)GP (s)H (S)
E(S)
H (S)GP (s)
N (S) 1 GC (s)GP (s)H (S)
def
e (s)
E(s) R(s)
1
1 H (s)G(s)
E(s)
e
(s)R(s)
1
R(s) H (s)G(s)
e(t) L1[e (s)R(s)]
输入形
式
ess ()
解：
根据⑴和⑵的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统，因
而令其开环传递函数为 G(s)
K
K
S(S 2 bS C)
按定义
Kv
lim
s0
SH (s)G(s)
C
数值计算中的误差分析与稳定性
数值计算中的误差分析与稳定性数值计算在现代科学和工程领域起着至关重要的作用。
然而，在进行数值计算时，由于数值计算机制的特性，会引入一定的误差，这些误差可能会对计算结果产生重要影响。
因此，在数值计算中，误差分析和稳定性的研究至关重要。
本文将讨论数值计算中的误差来源、误差分析方法以及提高计算稳定性的措施。
一、误差来源在数值计算中，误差可以来自多个方面，主要包括截断误差和舍入误差。
1. 截断误差：截断误差是由于使用有限的计算步骤来近似无限精度的数学运算而引入的误差。
例如，在求解微分方程时，使用数值方法进行离散化处理，会引入截断误差。
2. 舍入误差：舍入误差是由于计算机内部表示实数时所引入的误差。
计算机在存储和计算实数时，通常是以有限的二进制位数进行表示。
因此，无法准确表示所有实数。
在进行计算时，舍入误差会导致最终结果与精确结果之间存在差异。
二、误差分析方法为了评估数值计算的精度和稳定性，需要对误差进行分析。
下面介绍几种常见的误差分析方法。
1. 绝对误差：绝对误差是指计算结果与真实值之间的差距。
绝对误差可以通过减去真实值得到。
2. 相对误差：相对误差是绝对误差除以真实值的比值。
相对误差可以反映计算结果的相对精度。
3. 条件数：条件数是用于衡量在输入数据中的微小变动如何影响计算结果的稳定性的度量。
条件数越大，计算结果对输入数据的变动越敏感，稳定性越差。
三、提高计算稳定性的措施为了提高数值计算的稳定性，可以采取以下几种措施。
1. 使用高精度计算库：使用高精度计算库可以增加计算精度，减小误差的产生。
高精度计算库通常能够提供更多的有效位数，从而减小舍入误差。
2. 选择合适的数值方法：不同的数值方法在不同问题上表现不同的准确性和稳定性。
在进行数值计算时，应根据实际情况选择合适的数值方法，以提高计算的稳定性。
3. 控制计算步骤：合理控制计算步骤对于减小误差具有重要作用。
例如，在求解数值积分时，可以选择适当的积分方法和节点，以减小截断误差。
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xi ( s ) A A ess lim sE (s) lim s lim s 0 s 0 1 G( s) 1 k s 0 1 G( s) p
k(Ti 1) k k p lim G(s) lim N lim N s 0 s 0 s (T 1) s 0 s j
第五节 复合控制系统的稳态误差
一、 引入定补偿
图3-25所示的闭环系统,为了减小给定作用的稳态误差, 从输入端通过Gc(s)引入给定补偿这一开环环节,使系统构
成复合控制系统,这种系统又称为顺馈系统。
按输入端误差定义
E(s) = Xi(s)-x0(s)=Xi(s)[1-Φ(s)]
X 0 G1 (s) G0 (s)G2 (s) Φ(s)= X i ( s) 1 G1 (s)G2 (s) G1 (s) Gc(s) 1 Gc(s)G2 (s) Xi(s) G2 (s)= E(s)=Xi(s) 1 1 G1 (s)Gc(s) 1 G1 (s)G2 (s)
０型系统中，k v lim sk 0, ess
上式说明0型系统不能跟随斜坡输入信号.而Ⅰ型可以跟 随,但是存在稳态误差,同样可以增大K值来减小误差。而Ⅱ 型系统对斜坡输入响应的稳态是无差的。用三角波模拟斜 坡时的输出波形如图3-19所示。
x(t) ess Xi(t) x(t) ess
xo(t)
1.从输入端定义
将给定输入信号作为期望值，反馈信号作为实际值，
et xi t bt
相应的传递函数
Es X i s Bs Xis X 0 s H s
这种定义便于利用已有框图及现存误差传递函数E (s) 作理论分析, 故采用较多。本书亦用此定义分析。
在单位反馈系统中
Ed s X 0 s
从概念上讲，由扰动引起的输出都是误差。 在扰动作用下
G0 s X 0 s Ds 1 Gc s G0 s H s
G0 s H s Ds Ed s H s X 0 s 1 Gc s G0 s H s
1 1 E s X i s X i s 1 G0 s Gc s H s 1 Gs
3.给定输入下的稳定误差：表3—1 （15分钟） 4.扰动作用下的稳态误差：表3—2 （15分钟）
讲课内容:
第四节 稳定误差分析与计算
稳态误差有两种：一种是给定输入信号引起的。一种是 扰动信号引起的，下面分别讨论。
D(s) Gc(s)
Xi(s)
E(s)
G1(s)
G2(s)
X0(s)
图3-26
引入扰动补偿的复合控制
ess lim s
s 0
X i s A A A lim lim 1 Gs s0 s[1 Gs ] s0 sGs k v
k s N 1
令
k v lim sG s lim
s 0 s 0
称Ｋv为速度误差系数。
A s 0 kv k A k lim k , e ss Ⅰ型系统中， v s 0 s 0 k k k lim Ⅱ型系统中， v s 0 s , ess 0
一、误差及稳态误差的定义
系统误差定义为被空量要求达到的值（或称期望值） 和实际值之差，即
et xreq t x0 t
D (s) Xi(s)
+
E (s) B(s) H(s) Gc(s) G0(s)
X0(s)
图3-16
控制系统的典型结构
对于图3-16所示的典型结构，其中Gc(s)、G0(s)、H(s)分 别为控制环节、控制对象、反馈环节的传递函数，D(s)、 B(s)分别为扰动量、反馈量。其误差的定义有两种：
1 G1 ( s)G2 ( s)
要使E(s) = -X0(s) = 0 , 则必1-Gc(s)G1(s)=0
所以 Gc(s)=
1 G1 ( s)
在实际工作中，实现完全不变性条件是困难的，因 为物理系统总有惯性，其传递函数的分母阶数总大于分 子阶数，而Gc(s)则要求作成分母的阶数低于分子阶数。 但是，采取近似补偿的办法，还是有利于改善系统性能， 减小甚至消除.
稳态误差的计算：首先求出系统的误差信号的拉式变 换式E(s)，再用终值定理求解
e ss lim e(t ) lim sE ( s )
t s 0
二、给定输入下的稳态误差
求给定输入下的稳态误差时，不计扰动信号D (s) = 0, 按典型结构3-16所示，传递函数为
1 1 E s X i s X i s 1 G0 s Gc s H s 1 Gs
即
图3-25 引入给定补偿的复合控制
二、引入扰动补偿
图3-26为将干扰信号往前,利用扰动产生补偿作用来 减小扰动的稳态误差,这种复合控制系统又称前馈系统。 此时不考虑给定作用 Xi(s)=0 E(s)=Xi(s)-X0(s)=-X0(s) 由扰动引起的输出 X0(s)=
1 Gc(s)G1 (s)D(s)
式中 G (s)—系统的开环传递函数. 对于单反馈系统
X 0 s E s X i s X 0 s X i s 1 X s i
可见系统的稳态误差与系统的结构参数G(s) 及输入 信号形式Ｘi(s)有关。 下面讨论给定误差的普遍规律，现将开环传递函数 的一般表达式写成时间常数的形式:
s 0
令
k a lim s 2 G s lim
s 0 s 0
k s N 2
0, e ss
称Ｋa为加速度误差系数。
０、Ⅰ型系统中，K a lim
s 0
k s
N 2
Ⅱ型系统中， k
a
k , e ss
A k
可见输入抛物线信号，0、Ⅰ型系统不能跟随，Ⅱ型 为有差，要无差则应采用Ⅲ型系统。用两个积分环节串 联模拟的抛物线信号，在Ⅱ型系统中输入输出特性如图 3-20所示。
当 G0 s Gc s H s 1 时,上式可近似为:
Ds E d s Gc s
k c (Ti s 1) s N (T j s 1)
j 1 i 1 P N q
设控制环节的传递函数为
Gc s
扰动稳态误差
sN s N 1 esd lim sEd (s) lim sDs lim Ds s 0 s 0 s 0 k kc c
要使E(s)=0则必须1-Gc(s)G2(s)=0
所以 此时
1 Gc(s)= G2 ( s )
G1 (s) 1 / G2 (s) G2 ( s ) 1 Φ(s)= 1 G1 (s)G2 (s)
X0(s)=Φ(s)Xi(s)=Xi(s)
Gc(s)
Xi(s) E(s) G1(s) G2(s) X0(s)
xi (t)
X0 (t)
0
t
0
t
图3-19 斜坡信号输出波形
图3-20 抛物线信号输出波形
3.当输入为加速度信号时
Xi
1 A At 2 , X i ( s ) 3 2 s
X i ( s) A A lim 2 s 0 s G s 1 Gs ka
ess lim s
X0(s)
图3-17
单位反馈系统中的稳态误差
在单位反馈系统中，H(s)=1,两个定义可以统一:
Es X i s X 0 s
稳态误差是指系统进入稳态后的误差,因此,不讨论动态过 程中的情况,只有稳定的系统才存在稳态误差 稳态误差的定义为
e ss lim e(t )
t
称Ｋp为位置误差系数。
k A k p lim 0 k , ess ０型系统中， ,为有差系统. s 0 S 1 k p
Ⅰ、Ⅱ型系统中，k p lim
2.当输入为斜坡信号时
K , ess 0为无差系统。 s 0 s N
A X i At , X i s 2 s
教学步骤：首先了解误差及稳态误差的定义，然后掌
握给定输入及扰动情况下的稳态误差，最后了解复合控 制系统的稳态误差。
教具及教学手段：多媒体教学，实物教具及板书教
学。
课后作业：3—7，3—8，3—10
板书或旁注：
1.控制系统的典型结构：如图3—16（17分钟） 2.误差的定义：（两种）（8分钟） 3.给定输入稳定误差的传递函数：（20分钟）
2.从输出端定义
由上式可得
X i s E s E s X 0 s H s H s
/ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则相应的期望值为 误差值为 ，即要进行一次折 算 ，两种定义不同，计算所得的误差结果也不同
X i s H s
E s H s
Xi(s)
E(s) G(s)
三、 扰动的稳态误差
系统扰动误差的大小，表示了抗扰动的能力.扰动误 差的大小,不仅与扰动输入信号形式有关,而且随干扰信 号作用点不同而改变。此时不考虑给定输入用,Χì(s)=0, 只有扰动信号D(s)。由图3-16得扰动误差的传递函数为
Ed s X i s Bs Bs H sX 0 s
G s k (Ti s 1)
SN m i 1 n N j 1
(T
j
s 1)
式中： Ｎ—串联积分环节的个数，或称系统的无差度，它 表征了系统的结构特征。 工程上一般规定: Ｎ＝０为０型系统； Ｎ＝１为Ⅰ型系统； Ｎ＝２为Ⅱ型系统。
Ｎ愈高稳态精度愈高，但稳定性愈差，因此一般 不超过Ⅲ型。 在不同形式输入作用下的稳态误差如下 1.当输入为阶跃信号时