自动网格生成法

自动网格生成法
二维网格生成—Advancing Front方法
从概念上来讲，Advancing front方法是最简洁的方法之一。

单位元素生成算法始于一个特殊边界条件所定义的“front”,此算法逐级地生成各个元素，同时“front”元素离散地前进，直至整个区域都被元素所覆盖。

网格生成过程包括三个主要步骤：
1、在边界上生成节点，形成一个离散的区域边界。

2、在离散区域边界内生成元素（亦或节点）。

3、强化节点形状以提高网格图形清晰度。

在介绍这个方法之前我们先介绍以下有关于二维空间地几何表示。

一、二维网格的几何特征
我们利用网格参数（一般是空间的函数）来表征网格的一些性质，诸如节点尺寸，节点形状和节点方向等等。

网格参数包括两个相互正交的单位矢量a1和a2表示的方向参数，和由两个相互正交代表节点形状的矢量的模值h1和h2。

前者表征网格节点伸展的方向，注意的是，只有在生成的是非各向同性的网格内，方向参数才有定义，否则方向矢量是常单位矢量，而尺寸参数有h1=h2，这样就定义了各向同性的平凡网格。

二、区域的几何表示
边界曲线的表示：
我们一般用组合参数样条线表示曲线边界单位，利用参数t，我们利用二维矢量函数表达出曲线边界：
r t=x t,y t,0≤t≤1
一般来讲，一条组合样条曲线至少是C1连续的，以保证边界曲线平滑和算法要求的数学连续性。

我们下面将要用厄米三阶样条线，当然还有许多就不一一举例了。

样条线的参数表达式如下：
X t=H0t,H1t,G0t,G1t∗x0,x1,x,t0,x,t1T,0≤t≤1
转置的前两项是曲线的两个端点，而后两项是它们对t求导现在端点处的值。

另外G和H分别是四个三阶厄米多项式：
H0t=1−3t2+2t3 ; H1t=3t2−2t3
G0t=t−2t2+t3 ; G1t=−t2+t3
此时，参数表达式可以通过一个系数矩阵来描述：
X t=1,t,t2,t3M x0,x1,x,t0,x,t1T,0≤t≤1
其中M矩阵读者很容易写出，是一个4*4的方阵，而每一列是这些厄米多项式的系数排列而成。

我们把这个表示称之为样本表示。

每个边界都包含n个这样的数据点：
x i,i=1,2,3,……,n
利用内插法可以构造出如下形式的关系式：
X u=H0t x u i−1+H1t x u i+Δi G0t x,t u i−1+Δi G1t x,t u i
其中Δi是单位区间的长度。

同时参数t也变为离散的取值是单位区间从原点到任意点所有的个数。

如果参数的离散取值正好是i，那么u的表达式将简化为：
t =u − i −1 Δi
;u =t +i −1
这样由内插法画出的边界曲线就如下图所示：
三、 三角形格点的生成
接下来我们讨论三角形格点生成算法的主要思想。

为了简化生成格点网格图的过程我们用方向矢量生成一个对称变换：
T x =
1i
2
i =1αi (x )αi (x )T 容易证明由此算符导出的定域变换是一种标度变换，i 方向上乘以hi 的倒数,如同下图中所画：
如图中所示，经过标度变换，下面的图两个尺寸变为一样，也就是进行了归一化。

边界节点的生成：
边界节点生成的算法步骤有以下几方面构成：
1、对于一个具有特征长度L的边界曲线，如同刚刚提到过的利用三阶厄米多项式生成
边界曲线一样，我们也得到一系列的离散边界点，如图所示：
根据一般欧氏空间几何方法，可以得出图中的与曲线相切的矢量为：
2、通过背景网格计算每一点的尺寸参数和方向参数，进而形成每一点的标度变换。

3、为了找到曲线上新的节点的位置，需要沿着曲线定义节点的尺寸分布函数：在切线
方向上可以定义一个新的矢量：
τl=ℎs
l
t l
应用标度变换，将以上矢量变换为归一化后的形式：
因此，利用上式很容易定义样本点的尺寸（切线矢量线长），在归一化的条件下，这个量是二维的欧几里得矩阵张量。

4、假设在x l的邻域内，变换矩阵T l是常数矩阵，ℎs
l
是参数u的函数，我们可以利用内插公式，构造连续的尺寸分布函数：
h u=ℎs
l N l u
m
l=0
密度函数定义如下：沿着曲线的单位长度，元素的个数，表示成上述定义的函数的倒数。

5、需要产生的N的总数需要与特定的元素尺寸自洽，这里我们用密度函数来表征这种
自洽性，因此，有下述积分：
然而，A并不严格是一个积分，为了描述N与A的关系，定义一个商：
由于曲线的两端点的位置是已知的：
X0=x0u0 ; X m=x m u m
我们只需要再额外生成(N-1)个新的节点就可以了。

6、假设边界上的每一个节点都是由相同的θ所形成，一个新的节点（例如第k个）有
下述积分描述：
那么第k+1个节点的特征积分为：
由于我们已经假设所有新的节点的特征积分是一样的，所以上面的两个积分实际上
是相等的，这样给出的关系式是：
其中k=0,1,2…(N-2),一般来讲我们可以用迭代的方法来求解上述积分
7、知道了节点的个数，利用三阶的厄米多项式样条线，就可以确定节点的位置。

元素的生成问题：
接下来介绍三角元素的生成，如图所示，生成的过程分以下几步：
1、一个方向为正的连接节点a和节点b的side是利用generation front来产生的，我们
将这个矢量作为生成新元素的基准点。

为了生成的网格图节点的尺寸是光滑渐变的过程，首先考虑最小的节点，在generation front方法中，我们对sides进行分类，根据它们的长度进行更新，同时算法的效率也在不断变高。

2、取基准side的中点为m，计算此点的方向和尺寸，再从背景网格内插入新的节点。

3、元素的生成过程是可以被大大简化的，当基准side上的点m和其他的节点的坐标都进
行之前我们定义的标度变换时，我们将在新的“归一化”矢量空间内，进行计算和演化过程，使生成的三角形尽可能趋近于等边三角形的形状。

4、定义一个理想的次级基准点形成一个理想的正三角形，如同上图所示。

这里标准的线段
ab的尺寸是：
这样选取以便于区域网格化。

ℎl′的选取是用来保证不会产生过度扭曲的元素。

5、其他的点的选取用来产生一系列的潜在节点，因而可以生成新的元素，这些点包括：
•从generation front产生的所有落入以c′为圆心半径为r=Nℎl′的圆内的节点。

我们把这些节点进行排序，依据是它们到圆心的直线距离n i′，其中第一个距离是最小的。

另外这里的N取为1。

这些在generation front上的点可以产生新的节点。

•接下来再说说圆心与m的连线上的在这一系列的点。

根据上一条中的排序准则我们也对这些点做一个排序，最后结果如上图所示。

我们考虑这些点的原因是，它们在generation front上也可以生成新的节点。

6、节点n i′（i=1,2…,M）和圆心与ab一起都可以生成新的三角形，我们可以优先考虑距离
圆心并不是很远的一些点。

我们取形成新三角形的点满足4中的关系式，这样一来新形成的三角形的sides不会与之前的sides发生交叉。

假如n i′和圆心都不能生成新的三角形，那么就需要考虑mc’线段上的点。

按照排序准则进行，第一个满足4中关系式的点可以和generation front形成新的三角形。

7、新的元素生成后，又会产生一个新的圆心，如果这个圆心能生成新的三角形，我们对它
的坐标进行标度变换，变灰原先的尺度。

8、一系列的advancing front就像这样不断更新。

这一过程会一直进行下去，直到没有符
合4中的标准的generation front产生，也就是说它的数目变为0的时候。

这样我们就会得到一个由三角元素填充的既定区域。

总结与评述：
自动网格生成法的大致思路是从边界曲线开始，进行迭代过程，利用一个约束条件来控制填充基元的尺寸大小这里我们只是介绍了最简单的三角形的填充法，其他的过程可以通过修改几何参数的个数来定义新的填充基元。

这种方法在晶体物理学中应用广泛，具有相对简便而精确的形成晶格的方法，但是还有一些需要改善的地方，比如在生成三角基元的advancing front的过程中，由于判别条件比较多（可生成generation front 的点），运行程序的时间也会相对加长，但是其优点是，选取的边界内插曲线不同可以不同程度地简化生成地过程，还可以得到不同形状的网格图，而各有特色。