函数的零点教案详细(孔祥武)
函数的零点教案详细
函数的零点教案详细教学目标：1.理解函数的零点概念；2.掌握求解函数零点的方法；3.能够应用函数零点解决实际问题。
教学准备：1.教师准备白板、黑板和彩色粉笔；2.学生准备教材和笔记。
教学步骤：第一步：概念讲解（10分钟）教师首先解释函数的零点的定义：当函数的自变量取一些值时，函数的值等于零。
即，在坐标系中，函数图像与x轴的交点即为函数的零点。
教师示范画出一条函数图像并指出该图像的零点，并要求学生观察和思考。
第二步：解决一元一次方程（10分钟）教师给出一元一次方程的定义并解释其与函数的零点的关系。
然后，教师以具体的一元一次方程为例，介绍求解一元一次方程的步骤和方法。
第三步：求解函数的零点（20分钟）教师示范以一元一次函数为例，介绍如何求解函数的零点。
教师解释首先要将函数转化为一元一次方程，然后解方程得到函数的零点。
第四步：练习与巩固（20分钟）教师出示几个函数图像，并要求学生找出函数的零点并解释其含义。
然后，教师提供一些函数的表达式，要求学生求解函数的零点。
第五步：应用实例（20分钟）教师给出一些实际问题，要求学生将其转化为函数并求解函数的零点。
例如，商品制造企业的销售函数为y=500-2x，其中x为单位时间内生产的商品数量，y为单位时间内的销售额。
学生需要求解销售额为零的情况，即找出生产多少单位商品时销售额为零。
第六步：总结与展望（10分钟）教师与学生共同总结函数的零点的概念和求解方法，并回顾本节课所学的内容。
最后，教师展望下节课的内容，引起学生的兴趣和思考。
教学反思：本节课通过理论讲解和实际问题的应用，使学生对函数的零点概念有了深入的理解，并掌握了求解函数零点的方法。
通过练习和实例的训练，学生的求解能力得到了提高。
然而，在实际问题的应用中，一些学生仍然存在困难，需要进一步加强训练和巩固。
因此，下节课将继续举一些实际问题进行训练和拓展。
函数的零点教案
函数的零点教案教案标题：函数的零点教案教案目标：1. 理解函数的零点的概念和意义；2. 能够通过图像、方程和计算等方式确定函数的零点；3. 掌握求解函数零点的方法和技巧；4. 运用函数的零点解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：计算器、白板、彩色粉笔、投影仪；2. 学生准备：笔、纸。
教学过程：步骤一：引入1. 教师通过提问和展示实际问题的图像，引发学生对函数零点的思考，例如：什么是函数的零点？为什么函数的零点在图像上表现为与x轴交点？2. 教师解释函数的零点是使得函数值等于零的x值，即f(x) = 0。
步骤二：图像法确定函数的零点1. 教师通过投影仪展示一些函数图像，并指导学生观察图像上与x轴交点的位置，解释这些点是函数的零点。
2. 学生在纸上绘制给定函数的图像，并标出零点。
步骤三：方程法确定函数的零点1. 教师解释通过方程来确定函数的零点的方法，即将函数f(x) = 0转化为一个方程，然后解方程得到零点。
2. 教师通过例题演示如何通过方程法求解函数的零点，并引导学生进行练习。
步骤四：计算法确定函数的零点1. 教师解释通过计算法确定函数的零点的方法，即将函数的表达式代入到计算器或手算中，求解函数值为零的x值。
2. 教师通过例题演示如何通过计算法求解函数的零点，并引导学生进行练习。
步骤五：应用实际问题1. 教师提供一些与函数的零点相关的实际问题，并引导学生运用所学的方法解决这些问题。
2. 学生个别或小组合作解决实际问题，并将解决过程和结果进行展示和讨论。
步骤六：总结1. 教师对本节课所学的内容进行总结回顾，强调函数的零点的概念和求解方法。
2. 学生进行课堂小结，回答教师提出的问题或总结要点。
作业布置：1. 预习下一节课的内容；2. 完成课堂练习题。
教学延伸：1. 学生可以进一步研究函数的零点在图像上的性质和变化规律；2. 学生可以探究更复杂的函数零点的求解方法，如二次函数、三次函数等。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和学习态度；2. 教师检查学生课堂练习的完成情况；3. 学生通过解决实际问题展示对函数零点的理解和应用能力。
8.1.1函数的零点教学设计-2023-2024学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
授课内容
授课时数
授课班级
授课人数
授课地点
授课时间
课程基本信息
1.课程名称：函数的零点
2.教学年级和班级：2023-2024学年高一上学期，数学苏教版（2019）必修第一册
3.授课时间：第1课时
4.教学时数：45分钟
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解函数零点的基本概念。函数零点是函数图像与x轴交点的横坐标，它是使函数值为零的输入值。函数的零点可以帮助我们解决方程的根的问题，它在数学和科学领域中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了函数零点在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
再次，在实践活动环节，学生对于如何利用函数零点解决实际问题还不够熟练。针对这一点，我计划在接下来的教学中，增加更多的生活实例，让学生在解决实际问题的过程中，更好地运用所学的函数零点知识。
此外，我在课堂上的提问和互动环节，发现学生参与度不高。为了提高学生的积极性，我计划改变提问方式，更多地采用开放式问题，引导学生进行思考和讨论。
答案：根据函数值的正负来判断。如果函数在这两个值之间的区间内有一个值为0，则函数在这个区间内有零点。
2.函数零点的求解方法
题型3：求解一次函数的零点。
答案：一次函数的零点为函数的截距，即y轴截距。
题型4：求解二次函数的零点。
答案：二次函数的零点为判别式Δ=0的解，即x1,x2=(-b±√Δ)/(2a)。
-学生能够在作业中正确解答与函数零点相关的实际问题，显示出对函数零点的应用能力。
5.教师评价与反馈：
函数的零点 教案
函数的零点教案教案主题：函数的零点教学目标：1. 理解函数的零点的概念和意义。
2. 掌握求解函数的零点的方法。
3. 能够应用函数的零点解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、投影仪、计算器。
2. 学生准备：笔、纸、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过引入实际问题，如“如果一个物体从100米的高度自由落下，求它落地时的时间”，激发学生对函数零点的兴趣。
2. 引导学生思考，探讨如何解决这个问题。
二、概念讲解（10分钟）1. 教师通过示意图和实例，解释函数的零点是函数图像与x轴相交的点。
2. 引导学生理解零点的意义：函数的零点表示函数取值为0的x值，即函数的输入使得函数的输出为0。
3. 教师给出函数零点的定义和符号表示。
三、求解零点的方法（15分钟）1. 教师介绍常见的求解函数零点的方法，如图像法、代数法和数值法。
2. 通过示例演示每种方法的步骤和应用场景。
3. 引导学生讨论每种方法的优缺点。
四、练习与应用（20分钟）1. 学生个别或小组完成一些简单的函数零点求解练习题，巩固所学的方法。
2. 学生在小组中，结合实际问题，设计一个需要求解函数零点的应用场景，并通过演示解决问题。
五、总结与拓展（10分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调函数零点的重要性和应用。
2. 教师提供一些拓展的问题，引导学生进一步思考和探索。
六、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业：完成课堂练习剩余的题目，并思考如何应用函数零点解决其他实际问题。
2. 提醒学生预习下节课的内容。
教学反思：本节课通过引入实际问题，激发了学生的兴趣和思考，使学生能够理解函数的零点的概念和意义。
通过讲解和示例演示，学生掌握了求解函数零点的方法，并能够应用于实际问题中。
通过练习和应用，学生巩固了所学的知识。
整节课的教学过程紧凑有序，学生参与度高，达到了预期的教学目标。
《函数的零点》教学设计
题目：《函数的零点》教学设计一、教学内容分析1、学习任务分析本节课的设计思想是以多媒体网络教学平台为依托，用电子白板进行画图，为学生描绘一个数学图形的世界，营造一个探究学习的环境，让他们经历回顾旧知、探求新知、发现规律、解决问题、总结规律的全过程。
《函数的零点》通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索一般函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，对函数图像进行全新的认识，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。
函数与方程高中数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。
研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。
之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解.更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．即体现了函数与方程的思想,又渗透了数形结合的思想.总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。
2、学生情况分析本节课的学习障碍为零点概念的认识。
零点的概念是在分析了二次函数图像的基础上，由图像与x轴的位置关系得到的一个全新概念，学生可能会设法画出图像找到所有任意函数可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图像都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍。
新教材关注学生的学习兴趣和认知特点，一方面注意控制教材内容总量，精选学生终身学习必备的基础知识和基本技能，另一方面也适当降低了某些知识的难度要求，改变了原有教材中原理性知识过深、过难的现象，本节课就充分体现了这一点。
函数的零点教案设计
函数的零点教案设计
一、教学目标
1.能够掌握函数的零点以及计算函数的零点的方法。
2.能够熟练使用解一元二次方程组的方法求解函数的零点。
3.能够运用函数的零点解决实际问题。
二、教学准备
1.准备一些实际的例子来让学生理解函数的零点。
2.准备一些计算机软件来帮助学生进行实际操作演示。
三、教学过程
1. 介绍函数的概念：函数（function）是一种特殊的关系，其中每一个输入都有对应一输出，可以用函数表或图标表示，如函数
y=f(x)=2x+1、y=f(x)=x2+1等。
2.介绍函数零点：当函数y=f(x)在其中一点x=a时，取得值
y=f(a)=0，这个点a就是函数f(x)的零点。
3.给出一个典型例子来让学生明白函数的零点的概念：例如有函数
y=f(x)=x2-2x+1，我们求出这个函数的零点，当x=1时，y=f(1)=0，所以x=1就是这个函数的零点。
4.演示如何计算函数的零点：让学生学会运用函数的定义求函数的零点，如让学生学会把函数y=f(x)转化成一元二次方程组，然后使用解一元二次方程组的方法求解函数的零点。
5.运用函数的零点解决实际问题：让学生学会如何运用函数的零点解决实际问题，比如有一个小学生跳远比赛，他的分数满分为90分，比赛结束后他的得分为75分。
2.4.1函数的零点教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校§2.4函数与方程2.4.1 函数的零点【学习要求】1.了解函数零点的概念，会求函数的零点；2.会判定二次函数零点的个数；3.熟悉函数零点的性质，理解函数零点与方程根的关系．【学法指导】通过函数零点概念的建立，感知函数与方程的密切联系，进一步加深对函数方程思想的理解，同时体验数学中的转化思想的意义和价值.填一填：知识要点、记下疑难点1.零点的定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即 f(α)＝0 ，则α叫做这个函数的零点，我们也把一个函数的图象与 x轴交点的横坐标叫做这个函数的零点．函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔方程f(x)＝0有实数根．2.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点．当Δ＝b2－4ac>0时，二次函数有_2_个零点；Δ＝b2－4ac＝0时，二次函数有_1_个零点；Δ＝b2－4ac<0时，二次函数有_0_个零点．3.如果函数y＝f(x)在实数集R上有零点a，b (a<b)，当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值_变号，并在区间(－∞，a)、(a，b)、(b，＋∞)上所有函数值保持同号.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 下图是某地气象局测得当地一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被墨水污染了，有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他做出正确判断吗？探究点一函数零点的定义导引考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.问题1 你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴的交点坐标吗？答：略问题2“导引”中方程的根与对应函数图象与轴的交点有怎样的关系？答：方程根的个数与对应函数与x轴交点的个数相同，方程的根是函数与x轴交点的横坐标．问题3 在“导引”中，当x的值为－1,3时，函数y＝x2－2x－3的值为0，我们把－1,3叫做函数y＝x2－2x－3的零点，那么如何定义函数f(x)的零点？答：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与x轴的公共点的是(α，0)点.问题4函数y＝f(x)有零点可等价于哪些说法？答：函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔方程f(x)＝0有实数根．问题5函数的零点与函数图象上的点有什么区别？答：函数的零点不是点，是函数值为0时对应的自变量的值，也是函数图象与x轴交点的横坐标；函数图象上的点可用有序实数对表示，而函数的零点只用一个实数表示．例1已知函数y＝ax2＋bx＋c，若ac<0，则函数f(x)的零点个数有( )A．0 B．1 C．2 D．不确定解析：因为ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，即函数f(x)的零点个数为2.小结：求函数的零点或判断零点的个数除了利用零点的定义外，还经常利用其等价结论．跟踪训练1 函数y＝x2－2x－8的零点是 ( )A．(－2,0)，(4,0) B．(－2,0) C．(4,0) D．－2和4解析：函数y＝x2－2x－8对应的方程为x2－2x－8＝0，而方程x2－2x－8＝0有两个实数根，x1＝－2，x2＝4，由于函数零点就是对应方程的根，所以D选项正确．探究点二函数零点的性质问题1 二次函数f(x)＝x2－2x－3的零点是什么，画出函数f(x)的图象观察函数零点把x 轴分成哪几部分？函数f(x)在各部分的函数值的符号有什么特点？答：由x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，即函数的零点为－1,3.画出函数f(x)的图象如右图，发现函数零点把x轴分成(－∞，－1)，(－1,3)，(3，＋∞)．当x∈(－1,3)时，y<0；当x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，y>0.问题 2 观察f(x)＝x2－2x－3的图象，指出函数值的符号在函数零点附近发生怎样的变化？答: 当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．问题3二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间(－2,1)上有零点x＝－1，而f(－2)>0，f(1)<0，即f(－2)·f(1)<0，在区间(2,4)上有零点x＝3而f(2)<0，f(4)>0，即f(2)·f(4)<0.由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？答：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．问题4 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，那么f(a)·f(b)<0是否一定成立？答: 不一定成立，由下图可知．问题5 如果函数y＝f(x)满足了在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？答: 函数零点不一定唯一，由下图可知．还需添加函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调．小结: 函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但不一定有f(a)·f(b)<0.例2 求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的图象．解因为x3－2x2－x＋2＝x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x－1)(x＋1)，所以已知函数的零点为－1,1,2. 3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)，(－1,1)，(1,2)，(2，＋∞)．在这4个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表(略)，在直角坐标系内描点连线，即得函数图象．如图所示：小结: 由函数的图象不难看出，这一函数图象通过三个零点时，函数值分别改变了符号，并且在每个区间内，函数值保持同号．跟踪训练2 已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x＋8|＝a的实数解的个数．解: 令f(x)＝|x2－6x＋8|，g(x)＝a，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，f(x)＝|(x－3)2－1|，下面对a进行分类讨论，由图象得，当a<0时，原方程无实数解；当a＝1时，原方程实数解的个数为3；当0<a<1时，原方程实数解的个数为4；当a>1或a ＝0时，原方程实数解的个数为2.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.函数y＝x2－4的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分别是 ( )A．(0，±2)；±2 B．(±2,0)；±2 C．(0，－2)；－2 D．(－2,0)；2 解析: 令x2－4＝0，得x＝±2，故交点坐标为(±2,0)，所以函数的零点为±2.2.若函数f(x)在定义域R上的图象是连续的，图象穿过区间(0,4)，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值 ( )A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断解析: 由题意可知，函数在零点左边和右边的函数值是异号的，所以f (0)·f(4)<0.3.如果二次函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，则m 的取值范围是 ( )A ．(－2,6)B ．[－2,6]C ．(－∞，－2)∪(6，＋∞)D ．{－2,6}解析: 由题意，得Δ＝m 2－4(m ＋3)>0， 即m 2－4m －12>0，∴m>6或m<－2.4.若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，则a ＝______，b ＝________.解析: ∵2，－4是函数f(x)的零点，∴f(2)＝0，f(－4)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－4，－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－8.课堂小结：1.函数的零点实质上是函数图象与x 轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根是函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f(x)－g(x)的零点．2.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.。
2012-2013年高一数学2.4.1《函数的零点》教案(新人教B版)必修1
2.4.1 函数的零点 教案教学目标：1、知识目标：理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系 .2、能力目标：体验函数零点概念的形成过程，引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力.3、情感目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想.重点、难点：教学过程：一．自主达标1．如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在实数处的值等于零，即ｆ（ｘ）＝０，则ｘ叫做 ． ２．把一个函数的图像与 叫做这个函数的零点．３．二次函数ｙ＝ａ2x ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），当Δ＝2b －４ａｃ＞０时，二次函数有 个零点；Δ＝2b －４ａｃ＝０时，二次函数有 个零点；Δ＝2b －４ａｃ＜０时，二次函数有 个零点．４．二次函数零点的性质：（１）二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），．（２）在相邻的两个零点之间所有 ．二。
典例解析例１．若函数ｆ（ｘ）＝2x ＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，求ａ，ｂ的值．例1、解：函数ｆ（ｘ）＝2x ＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，也就是方程2x ＋ａｘ＋ｂ＝０的两个根是２和－４，由根与系数的关系可知⎩⎨⎧=-⨯-=-+b a )4(2)4(2得ａ＝２，ｂ＝－８．评析：反常的根与函数零点的关系以及反常的根与系数的关系是本体解决关键．例２．求证：方程５2x －７ｘ－１＝０的一个根在（－１，０）上，另一个根在（１，２）上．例2、证明：设ｆ（ｘ）＝５2x －７ｘ－１，则ｆ（－１）ｆ（０）＝－１１＜０，ｆ（１）（２）＝－１５＜０．而二次函数ｆ（ｘ）＝５2x －７ｘ－１是连续的．所以，ｆ（ｘ）在（－１，０）和（１，２）上分别有零点．即方程５2x －７ｘ－１＝０的根一个在（－１，０）上，另一个（１，２）在上．评析：判断函数是否在（ａ，ｂ）上存在零点，除验证ｆ（ａ）∙ｆ（ｂ）＜０是否成立外，还需考察函数是否在（ａ，ｂ）上连续．若判断根的个数问题，还须结合函数的单调性．例３：学校请了３０名木工，要制作２００把椅子和１００张桌子．已知制作一张桌子与制作一把椅子的工时数之比为１０：７，问３０名工人应当如何分组（一组制桌子，另一组制椅子），能使完成全部任务最快？例3、解：设名ｘ工人制桌子，（３０－ｘ）名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制７张桌子或１０把椅子，所以 制作１００张桌子所需时间为函数ｐ（ｘ）＝x7100，制作２００把椅子所需时间为函数ｑ（ｘ）＝)30(10200x -，完成全部任务所需时间为ｙ（ｘ）＝ｍａｘ｛ｐ（ｘ），ｑ（ｘ）｝． x 7100＝)30(10200x -，解得ｘ＝１２．５，考虑到人数x N +∈，考察ｐ（１２）与ｑ（１３），ｐ（１２）＝84100≈１．１９，ｑ（１３）＝≈1720１．１８，即ｙ（１２）＞ｙ（１３）．所以用１３名工人制作桌子，１７名工人制作椅子完成任务最快．评析：对于本题要用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点来解，则可使应用问题化生为熟，尽快得到解决．三、达标练习：１．已知函数ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上单调且ｆ（ａ）ｆ（ｂ）＜０，则函数ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上（ ）Ａ．至少有一个零点 Ｂ．至多有一个零点 Ｃ．没有零点 Ｄ．必有唯一零点２．已知ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）－２并且α，β是函数ｆ（ｘ）的两个零点，则实数ａ，ｂ，α，β的大小关系可能是（ ）Ａ．ａ＜α＜ｂ＜β Ｂ．ａ＜α＜β＜ｂ Ｃ．Α＜ａ＜ｂ＜βＤ．ａ＜ａ＜β＜ｂ３．函数ｆ（ｘ）＝222(1)2(1)x x x x x -≥⎧⎨-<⎩，则函数ｆ（ｘ）－０．２５的零点．４．如果函数f （x ）=2x +ｍx ＋（ｍ＋３）至多有一个零点，则ｍ的取值范围 ．５．对于函数ｆ（ｘ）；若存在0x ∈Ｒ，使ｆ（0x ）＝0x 成立，则称0x 为ｆ（ｘ）的不动点．已知函数f （x ）=a 2x +（b ＋１）x ＋（ｂ－１）（ａ≠０）．（１）当ａ＝１，ｂ＝－２时，求函数ｆ（ｘ）的不动点；（２）若对任意实数ｂ，函数ｆ（ｘ）恒有两个相异的不动点，求ａ的取值范围．参考答案：１．Ｄ ２．Ｃ ３．254,89- ４．2-6≤≤m ５．（１）当ａ＝１，ｂ＝－２时，ｆ（ｘ）＝x 2－ｘ－３，由题意可知ｘ＝x 2－ｘ－３解得ｘ＝－１或ｘ＝３，故当ａ＝１，ｂ＝－２时ｆ（ｘ）的两个相异的不动点为－１，３．（２） f （x ）=a x 2+（b ＋１）x ＋（ｂ－１）恒有两个相异的不动点．∴ｘ＝a x 2+（b ＋１）x ＋（ｂ－１），即ａx 2＋ｂｘ＋（ｂ－１）＝０恒有两个相异的实数根，得Δ＝)(0)1(42R b b a b ∈>--恒成立，即)(0442R b a ab b ∈>+-恒成立，于是∆1＝016162<-a a ，解得０＜ａ＜１．故当R b ∈，ｆ（ｘ）恒有两个相异的不动点时，ａ取值范围为０＜ａ＜１．。
函数的零点教案
函数的零点【教学目标】1、了解函数零点的概念及函数零点的等价描述；2、能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；3、理解判断函数零点存在性的结论并能研究简单的函数零点的存在性问题；4、体现、感受并理解方程和函数图象在零点问题中的应用，渗透数形结合思想，运用数形结合来研究和解决数学问题，并能应用从特殊到一般的数学方法去探索和认识数学知识。
【教学重难点】1、重点：理解零点的概念利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；应用函数零点存在性的结论研究函数零点的存在问题2、难点：理解判断函数零点的存在性的结论【教学过程】一、概念引入请同学们一起来看投影上的问题画出下列函数图象并指出x取何值时，y=021(1)y x 2 (2)y=x2x 3 (3)y=1x（图象保留）处理：学生上黑板板书（上黑板画出图像并求出x值）师：（1）所求x就是对应方程的实数根（2）从图象上来看，我们所求的x就是什么？师：这里所求的x就是我们今天要来研究的函数的零点那么，什么是函数的零点呢？二、概念认识一般地，对于函数y=f （x ），若f （x ）=0则实数x 称为该函数的零点师：了解了函数零点的定义，同学们对函数零点有怎样的认识？（1）等价描述：①函数y= f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的实数根②函数y= f （x ）的零点就是它的图象与x 轴交点的横坐标（2）函数的零点是实数，不是点（板书）师：认识了函数零点的定义后，请同学们来求下面几个函数的零点练习1：求下列函数的零点x-32x 1(1)y (2)y=log x - 1 (3)y=2x 1（投影展示）归纳：求函数零点的步骤：（板书）（1）令f （x ）=0 （2）解方程f （x ）=0 （3）写出零点师：通过上面的研究我们认识了函数零点的定义，掌握了函数零点的求法下面请同学们继续看例1的问题三、应用例题例1：求证：二次函数2yx 3x 2有两个不同的零点 练习2：（1）函数2yx 3x k 没有零点，求k 的取值范围 （2）函数2yx kx 2有零点，求k 的取值范围 （3）函数2y kx 3x 2有一个零点，求实数k 的值（投影展示）（看情况或学生回答）师：由例1和练习2的研究，请大家总结一下归纳：如何来判断二次函数2y ax bx c(a0)零点？师：由上面的认识，我们可以通过判别式来判断二次函数零点的个数那么二次函数零点具体的分布情况，我们如何来研究呢？请同学们继续来看例2例2：判断二次函数2f(x)x3x2在区间（0，1）上是否存在零点？学生回答：法一）解方程师：还有其它的想法吗？（引导）由刚才我们对函数零点的认识，函数零点除了可以转化为的方程来研究，还可以从什么角度来研究啊？---图象在多媒体上展示图象？那么利用图象我们如何来研究例2呢？学生回答（教师补充、完善）师：一般地，我们如何来判断函数y=f（x）在区间（a，b）上存在零点？图象展示（多媒体）函数零点存在性判断的结论：一般地,若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且()()0f a f b，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点师：判断函数y=f （x ）在区间（a ，b ）上有零点的条件有几个？哪两个？师：下面我们具体来认识一下这个结论（1）函数图象是一条不间断的曲线 （问题1（3））（2）为什么要在闭区间[a ，b]上是一条不间断的曲线①为什么要连续曲线（开始练习（3）图象解释）②为什么要在闭区间[a ，b]上是一条不间断的曲线师：认识了函数零点存在性判断的结论后，请同学们来解决下面的问题练习（3）（1）求证：()220函数在区间，1上存在零点x f x x （2）判断函数32()3在区间1，2上是否存在零点f x x x师：应用零点存在性的判断结论我们很容易解决练习（3）的问题师：对于例2，我们从零点等价描述的两个角度进行了研究。
函数的零点教案
函数的零点
一、教学目标
1、知识目标：理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，
了解函数的零点与方程的关系。
2、能力目标：体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。
3、情感目标：让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。
二、教学重点、难点
重点是函数零点的概念及求法；难点是利用函数的零点作图。
三、教学方法
本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主体，自主探究，合作交流的教学方法为宜。
四、教学过程。
函数零点教学设计
过程，变静态教学为动态教学．
2、 渗透数学思想方法重在平时 当学生有一天不再学习数学了， 我们给他们留下了什么？我想应该是学生遇到具体问题
时那种思考问题的方式， 和解决问题的方法． 本节课始终是注意数学思想方法和数学探索方
式的合理渗透，如特殊一般，数形结合，类比归纳等的交叉运用．
3、 问题设计合理 通过层层深入，由浅入深，由特殊到一般的阶梯式问题，有效的降解了本课的难点，帮
助学生实现了思维的腾飞．
美中不足的是教学重点不是太突出， 零点的引入部分可以简化改进， 使之更趋合理， 零
点存在性定理引入部分略显生硬， 应该有更艺术的方式． 高一学生在函数的学习中， 常表现
出不适， 主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任． 具体表现为将函数孤立起来， 认识不到函 数在高中数学中的核心地位． 函数与方程相联系的观点的建立， 函数应用的意识的初步树立，
（ D）
A ． (0， 0)， (4， 0) B． 0， 4
C． (–4， 0)， (0， 0)， (4， 0)
设意图：及时矫正 “零点是交点 ”这一误解．
说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．
②求函数零点就是求方程 f (x)＝ 0 的根．
D． –4， 0， 4
5、归纳函数的零点与方程的根的关系． 问题 4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？
应该是本节课必须承载的重要任务． 在这一任务的达成度方面， 本课还需更加浓墨重彩的予
以突出． 另外， 课堂上教师怎样引导学生也是值得我深思的一个问题，
还有少讲多学方面也
是我今后教学中努力的方向．
y f (x) 的零点个数为
。
（3）已知函数 y f ( x) 的图象是连续不断的，有如下对应值表：
函数的零点课时教学设计
设计意图:问题由浅入深形成序列，既是对本节课新知识的应用，也进一步促进学生对函数零点概念的理解，例3的处理方式是由初中与高中知识衔接的关系而定．
反馈
训练
1、若函数 有零点，则实数 的取值范围是．
设计意图：通过对一般二次函数的零点与相应方程实数根的关系的研究，得到“二次函数”零点的性质，培养学生的归纳概括能力．
应用
提升
例1、求下列函数的零点：
（1） ；（2） ．
例2、求函数 的零点，并指出 ， 时 的取值范围．
例3、求函数 的零点，并画出它的图象．
学生：例1、例2全体学生动笔解答，例2由1名学生板演．
情感态度价值观：感受函数的零点在研究函数与方程问题中的应用，体会学习与研究函数的零点的意义与价值；进一步认识合作学习的意义，增强学生的合作交流意识与能力．
重点
结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；学习函数零点的意义．
难点
函数的零点与方程根的关系；对三次函数零点的求解与画图
教学模式
课题导入→体验感悟→新知形成→应用提升→反馈训练→归纳总结
主体方法
引导发现
教学过程
环节
教学内容
师生活动及设计意图
课题
引入
引例：求函数 的图象与 轴交点的横坐标．
学生：独立完成，部分学生展示．
教师：结合学生的解答与展示阐明函数与方程的关系．
设计意图：通过教师的陈述让学生了解函数与方程的关系．
体验
感悟
问题1：求方程 的实数根，并画出函数 的图象．
学生：独立思考后再合作探究，独立完成表格的填写．
数学必修一函数的零点教案
数学必修一函数的零点教案第一篇：数学必修一函数的零点教案4.1.1方程的根与函数的零点学习目标1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．2.通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．学习重点、难点重点: 零点的概念及存在性的判定．难点: 零点的确定．学习过程(一)课题1、提出问题：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：①方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3 ②方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3（二）研讨新知函数零点的概念：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点．函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标．即：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点．函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：①（代数法）求方程f(x)=0的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．1．根据函数零点的意义，其求法有：①代数法；②几何法．2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)．（１）△＞０，方程ax2+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程ax2+bx+c=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（３）△＜０，方程ax2+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．3．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象：① 在区间[-2,1]上有零点______；． f(-2)=_______，f(1)=_______,f(-2)·f(1)_____0（＜或＞＝）② 在区间[2,4]上有零点______；f(2)·f(4)____0（＜或＞＝）．（Ⅱ）观察下面函数y=f(x)的图象① 在区间[a,b]上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0（＜或＞＝）．② 在区间[b,c]上______(有/无)零点；f(b)·f(c)_____0（＜或＞＝）．③ 在区间[c,d]上______(有/无)零点；f(c)·f(d)_____0（＜或＞＝）．（三）、巩固深化，发展思维 1．例题例1．求函数f(x)=-x2-2x+3的零点个数。
《241函数的零点》教学设计
必修1《2.4.1 函数的零点》教学设计一、教学内容分析本节课的主要内容是函数零点的定义，函数零点存在性的判定方法．1．教学重点：函数零点的定义的理解。
2．教学难点：正确理解函数零点的定义，了解函数零点的判定方法的不可逆性。
知识与技能目标：理解函数零点的意义，了解函数的零点与方程根的关系，会求简单函数的零点，能判断二次函数零点的存在性，并能对零点存在定理进行简单的应用。
过程与方法目标：引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力.；体验函数零点存在定理的形成过程，初步感受零点存在定理在解题中的应用。
情感态度与价值观目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想.二、教学基本条件分析1．学生条件：学生有较好的数学基础和数学理解能力，喜欢思考，乐于探究。
2．前期内容准备：在学习一次函数和二次函数时，教师结合课后习题，对函数、方程和不等式三者的联系已经作了适当的渗透。
3．教学媒体条件：支持幻灯片展示。
三、教学过程设计（一）开门见山，揭示课题引语：同学们还记得在序言课上老师给大家展示的那首小诗《偶成》吗？（幻灯片展示）函数方程显神通，集合语言奠基功。
一次二次学方法，指对幂中活运用。
数形结合诚美妙，重要性质作沟通。
因果变化多联系，物换星移运不穷。
前几节课我们一起整理了一次函数和二次函数的性质，初步学习了研究函数的一般方法，进一步体会了这首小诗的寓意，今天我们通过研究函数的另一个重要性质——函数的零点来进一步感受函数与方程的联系。
（板书课题）教师直接板书函数零点的定义：如果函数在实数x0处的值等于零，即f(x0)=0，则x0叫做这个函数的零点。
设计意图：因为对这个定义的直观理解不难，所以直接给出，意为锻炼学生的数学阅读理解的能力，同时教师对这个概念暂时不加分析的处理为后面的设计作铺垫。
（二）逐层深化，发现联系教师在确定学生能读懂这个定义个基础上给出如下例题：例1：求出下列函数的零点，并能够作出函数的图象。
《241函数的零点》教学设计
必修1《2.4.1 函数的零点》教学设计一、教学内容分析本节课的主要内容是函数零点的定义，函数零点存在性的判定方法．1．教学重点：函数零点的定义的理解。
2．教学难点：正确理解函数零点的定义，了解函数零点的判定方法的不可逆性。
知识与技能目标：理解函数零点的意义，了解函数的零点与方程根的关系，会求简单函数的零点，能判断二次函数零点的存在性，并能对零点存在定理进行简单的应用。
过程与方法目标：引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力.；体验函数零点存在定理的形成过程，初步感受零点存在定理在解题中的应用。
情感态度与价值观目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想.二、教学基本条件分析1．学生条件：学生有较好的数学基础和数学理解能力，喜欢思考，乐于探究。
2．前期内容准备：在学习一次函数和二次函数时，教师结合课后习题，对函数、方程和不等式三者的联系已经作了适当的渗透。
3．教学媒体条件：支持幻灯片展示。
三、教学过程设计（一）开门见山，揭示课题引语：同学们还记得在序言课上老师给大家展示的那首小诗《偶成》吗？（幻灯片展示）函数方程显神通，集合语言奠基功。
一次二次学方法，指对幂中活运用。
数形结合诚美妙，重要性质作沟通。
因果变化多联系，物换星移运不穷。
前几节课我们一起整理了一次函数和二次函数的性质，初步学习了研究函数的一般方法，进一步体会了这首小诗的寓意，今天我们通过研究函数的另一个重要性质——函数的零点来进一步感受函数与方程的联系。
（板书课题）教师直接板书函数零点的定义：如果函数在实数x0处的值等于零，即f(x0)=0，则x0叫做这个函数的零点。
设计意图：因为对这个定义的直观理解不难，所以直接给出，意为锻炼学生的数学阅读理解的能力，同时教师对这个概念暂时不加分析的处理为后面的设计作铺垫。
（二）逐层深化，发现联系教师在确定学生能读懂这个定义个基础上给出如下例题：例1：求出下列函数的零点，并能够作出函数的图象。
函数的零点教案课程详细孔祥武
(1)函数的零点概念是什么？
函数的零点问题 方程的根的问题 图像与 轴交点问题.
(2)函数的零点个数的判断方法有哪些？
（1）求出相应方程的实数根；（2）转化为函数的图象交点问题；（3）利用零点存在性定理.
(3)本节课运用了哪些数学思想方法？
函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想.
本人执教的班级是一中的教改班，学生层次较高，简单引用教材上的例题学生会觉得提不起兴趣，因此尝试在立足教材的基础上提出一些有挑战性的问题，调动学生的积极性，引导学生自主发现，自我建构知识．
3.?教材处理
本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形．体会函数与方程之间的转化关系．
设计意图：例题1设计了一个三次函数的例子，不能像通常二次函数那样从代数角度直接求解函数零点，需要结合零点存在性定理解题，属于浅层次的模仿运用，让学生感悟零点存在性定理是判断函数有无零点的又一种方法．变式训练把问题推向高潮，首先要把方程根的问题转化为函数的零点问题，训练学生函数与方程思想．当然变式1有一定难度，可根据学生层次选择．
4.本节课教态很自然，始终面带微笑，不慌不忙，娓娓道来，不太像自己平时严厉的作风，给人以亲近的感觉，学生似乎也被感染了，师生配合较好，还要坚持．
需要改进的方面：
1．给出函数零点定义时提出问题：学习了零点定义要注意什么，问题太大，太空．可改为：学习了零点，你能告诉人家零点是什么吗？可能更具体一些．
2.零点不是点，黑马不一定是马说法不准确．改为零点不是点，海马不是马可能较好．
【生】：1个.
【师】：变式：二次函数 在区间 上有 ,则函数 在区间 上有几个零点？
函数的零点的教学设计
《函数的零点的教学设计》一、教学内容解析本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定定理。
函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。
二、教学目标解析1．了解函数的零点与方程根的联系，理解函数的零点的定义．（能区分零点与点，能了解其中的三维特征，及蕴含的数学思想．）2．初步掌握函数零点的判定方法．（能结合函数图像判断函数零点的存在，即判断方程根的存在性．）3．通过本节课的活动，使学生理解基本知识中蕴含的数学思想，了解类比研究问题的方法，在函数零点的存在性判定方法的学习过程中，感受探究发现的过程和方法三、教学问题诊断分析1．由于受已有知识的负迁移影响，学生可能会将“函数的零点”误以为是点，教学时可以在正面强化的基础上，给出合理的解释，不要只强调记忆；2．由于学生比较熟悉解方程，所以在讨论方程的根的存在性时，对于简单的、特殊的方程，尤其是一元二次方程，学生可能会先入为主地选择求出方程的根再回答问题，偏离教学的重心，因此在教学过程中要强调根据函数图象分析问题，或者设计一些不能直接求解的方程．3．由于函数的零点与方程的根，以及函数图像与x轴的交点有着内在的统一性，在学生还没有真正接受函数的零点的概念之前，很容易将它们搞混淆，所以在得到函数的零点的定义后要立体化的分析它们之间的关系，在全面认识的基础上突出研究重点．4．对于函数的零点存在的判定方法，学生可能会很快理解其表面含义，但是这种理解是否经得起考验，要在实践中检验，所以教学时可以设计一些易混问题，通过解决这些问题促进理解．因此本节课的教学难点是：正确理解函数零点的定义，了解函数零点的判定方法的不可逆性．四、教学过程设计（一）复习深化，揭示课题问题1请大家回忆初中研究过的一个问题：一次函数与相应的一元一次方程（组）之间的关系．先用自己的语言叙述相关的结论，之后再分析这些结论中蕴含的数学思想有哪些，从中你得到什么启示？（设计意图：通过对学生已有知识经验的分析，将初中阶段的感性经验进一步理性化，为本节课的研究找到固着点．）师生活动1：一起回忆所学知识．的自变量的值．从图像上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．”“每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从‘数’的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少；从‘形’的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．”等等．师生活动2：分析上述知识中蕴含的数学思想方法．预期的活动结果：1．化归的数学思想方法．体现在：解一元一次方程（组）的问题可以转化为函数的函数值为0时，求相应的自变量的值的问题（或自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少的问题）．事实上“函数的函数值为0时，求相应的自变量的值的问题”就是一个方程求解的问题，因此又可以利用方程解决函数问题．因此这种化归是双向的．2．数形结合的数学思想方法．体现在：解一元一次方程的问题可以转化为确定函数的图像与x轴的交点的横坐标的值的问题（或确定两条直线交点的坐标的问题）．3．函数思想．上述结论反映了一个客观存在的关系：整体与局部的关系．一次函数y=ax+b是一个整体，当函数值y取特殊的数值时就得到一个方程，如：ax+b=0（a≠0），或者ax+b=3（a≠0），等等．但是后一个方程又可以转化为前一个方程，只是相应的函数关系式有所改变．因此可以用函数观点统领函数、方程以及不等式，三位一体，方能应用自如，灵活解题．4．三维角度认识问题．上述3点体现了要从3个角度立体的认识一个现象：方程ax+b=0（a≠0）的根x0，就是使得函数y=ax+b的值为0时的自变量x的值x，也就是函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标x0．三者有着内在的0统一，但是其外部表现形式又不同，就好像一个人在不同等环境中扮演者不同的身份一样．教师揭示课题：x0扮演着不同的角色，因此为了区分这些角色命名“使得函数y=ax+b（a≠0）的值为0时的自变量x的值x0”中的x0为“一次函数y=ax+b （a≠0）的零点”．本节课就是在此基础上进一步研究“方程的根与函数的零点”的关系问题．特别强调：“方程的根”与“函数的零点”不能混为一谈，而且“函数的零点”是实数，而不是点，之所以称之为点，是因为实数与数轴上的点一一对应的缘故．（二）类比研究，形成定义问题2 类比一元一次方程与一次函数的关系，完成下表，并回答问题：一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像有什么关系？其中蕴含了什么数学思想？用自己的语言描述什么是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点？如果你觉得解决前面的问题困难，可以给式中的a、b、c赋值，之后在解决相同的问题．（设计意图：类比研究，丰富学生的感性经验，增进对一次函数与一元一次方程关系中得到的结论的理解，提供抽象概括的素材．）1．一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的关系：应的自变量的值．从图像上看，这相当于已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，确定它与x轴的交点的横坐标的值．（获得这种结果是受到一次函数与相应的一元一次方程（组）之间的关系的表述方法的影响．）（2）当方程有根时：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x0，就是函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图像与x轴交点的横坐标x0，就是使得函数y= ax2+bx+c(a≠0)的值为0时的自变量x的值x0（即函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的零点为x0）．当方程没有根时，相应的函数的图像与x轴没有交点，不存在使得函数y= ax2+bx+c(a≠0)的值为0的自变量x的值．（获得这种结论是受问题1中得到的预期活动结果的第4条的影响．）（3）当＞0时，一元二次方程有两个不等的实数根x1， x2，相应的二次函数的图像与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），函数有两个零点x1， x2；当 =0时，一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2，相应的二次函数的图像与x轴有唯一的交点（x1，0），函数有一个零点x1；当＜0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图像与x轴没有交点，函数没有零点．教师评价：每种表述方法都是正确的，从不同角度解决了问题，概括层次也不同，为了进一步推广我们采用第（２）种说法．3．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点：“使得二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时的自变量x的值x0”中的x0就是“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点”．（此处有可能出现将零点与点混淆的现象，教师要再次予以澄清辨明．）问题3对于一般函数y=f(x)，如何定义它的零点？关于一次、二次函数及其相应的方程的关系对于一般函数y=f(x)及其相应的方程f(x)=0是否成立？并类比上述结论，从三维角度进行描述．师生活动：（此处由学生先形成定义，可能是不规范不严谨的，教师可予以帮助，使之数学化即可．）活动结果1：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点．活动结果2：方程f(x)=0的根x0，就是使得函数y=f(x)的值为0时的自变量x的值x0，也就是函数y= f(x)的图像与x轴交点的横坐标x0．追问：上述结论逆推成立吗？活动结果：一般函数y=f(x)与其相应的方程f(x)=0的关系：x0是方程f(x)=0的实数根（x0，0）是函数y=f(x)的图像与x轴的交点x0是函数y=f(x)的零点．追问：上述结论中蕴含的数学思想是什么？活动结果：（可类比解决，不再赘述．）教师讲解：上述研究了函数与其相应的方程的关系，由于在解决问题中遇到的更广泛的方程是没有特殊的解法的，因此需要把方程的根的问题，转化为函数零点问题，借助函数图象数形结合地解决，因此接下来将研究如何判断一个函数在其某个定义域区间内是否存在零点的问题．（三）探究发现，获得判定方法问题4 对于给定的每个函数，根据函数图像写出多个区间，使得函数在每个区间内存在一个零点，之后，观察你写的区间，这些区间端点的函数值具有什么特征时，能保证函数在该区间内存在零点？再根据函数的定义，随意画几个函数的图像，验证你得到的结论是否成立?（1）y=3x-2（2）y=2x2+x-1(3)y=x2+2x+11．学生可能发现的符合条件的区间具有的特征：结论1：如果一个函数f(x)满足f(a) f(b)<0，则函数在区间(a，b)上存在零点，而且是至少有一个；结论2：如果一个函数f(x)满足f(a) f(b)>0，则函数在区间(a，b)上存在零点，而且是至少有一个；（学生可能得到上述两种结论，此时教师不要急于给出定论，给学生时间，让他们举例子验证上述结论，看哪个结论经得住检验．）2．学生检验，讨论：3．概括得到零点存在性的判定方法：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．追问1：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，那么是否一定有f(a) f(b)<0呢？追问2：函数在符合上述条件的区间内是否只有一个零点？为什么？（通过追问加深对判定方法的理解判定方法中的条件“f(a) f(b)<0”时充分不必要的条件，事实上，这两个问题都在前面的问题中涉及到了．）（四）初步应用，巩固、理解例1：已知函数f(x)=㏑x＋2x－6．(1)函数f(x)有零点吗？若有指出零点所在的区间．(2)函数f(x)有几个零点?为什么?（可以借助计算机或计算器解决．）解：（略．）例2：判断方程㏑x+2x=6有几个实根?写出它的根所在的区间?分析：根据判定方法，转化为例1求解．（五）小结深华请回顾本节课所学知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想又有哪些？你还获得了什么？(六)作业（略）。
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《函数的零点》教学设计常州市第一中学孑L祥武一.设计思想与理念本课的教学设计是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线. ”的原则而设计的•教师在充分分析学生已有知识水平和思维能力的基础上，为学生创设探索的情境，通过问题串，指引探索的途径，通过环环相扣问题链激发学生的求知欲、探索欲，弓I导学生不断地提出新问题，解决新问题.二.教材分析：1.内容分析函数f(X)的零点，是中学数学的一个重要概念，从函数值与自变量对应的角度看，就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看，即为相应方程f (x) = 0的实数根；从函数的图像角度看，函数的零点就是函数f (x)与x轴交点的横坐标•函数的零点从不同的角度，将函数与方程，数与形有机的联系在一起，体现的是函数知识的应用.学习函数零点存在性定理可为二次函数实根分布打下基础，并为下一节内容《二分法求方程近似解》提供理论支持•在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合的思想方法•2.学情分析：初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程的根•教学时可通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，只能把方程交给函数，转化为考察相应函数的零点问题，从动态的角度来研究，借助形的角度来研究数的问题.本人执教的班级是一中的教改班，学生层次较高，简单引用教材上的例题学生会觉得提不起兴趣，因此尝试在立足教材的基础上提出一些有挑战性的问题，调动学生的积极性，引导学生自主发现，自我建构知识.3.教材处理本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形•体会函数与方程之间的转化关系.第1页共10页对于函数零点判断定理，教师要引导学生从特例中发现感悟这一定理，在给出这个定理之后，还需要围绕定理作一些深入的剖析，引导学生多画图，讨论定理逆命题的真假，加深对定理的理解及应用.重点：函数的零点存在性定理的理解及运用难点：体会函数的零点与方程的根之间的联系；三.教学目标设计1•知识与技能(1 )理解函数(结合二次函数)零点的概念.(2)理解零点存在性定理的判定条件，会判断函数在某区间上是否存在零点2.过程与方法能够理解函数零点与方程的根之间的关系，能够结合反例找到不间断函数在某个区间上存在零点的判断方法.3.情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用. 体验数学内在美，激发学习热情，培养学生创新意识和科学精神.四.教学过程设计1.情境问题：i/问题一：函数y2=x -2x-3图象与x轴交点坐标是什么？\【生】:(-1, 0) (3, 0)-1\O(3 x【师】:你是怎样得到的，\【生】:令y = =0解出来的./问题二：方程x2-2x-3=0的根与函数y=x2 -2x-3之间有什么联系？【生】：从图象上看，方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标.【师】：很好，方程X2-2X-3=0可看作函数y = x2-2x-3函数值为0时特殊情形,函数与方程之间似乎有某种联系，-1,3是方程X2_2X_3=：0的两根，那么是函数2 2 y=x -2x-3的什么呢？为了表述方便，我们给它一个名称，把-1,3称为函数y=x-2x-3 的零点.(板书课题)设计意图：单刀直入，从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，通过对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，给学生搭自然类比引出概念•零点知识是陈述性知识，关键不在于让学生提出这个概念，而在于理解提出零点概念的作用一一沟通函数与方程的关系.引入函数的零点的概念一是突出这一转化的思想，二是表述起来更方便.2 .建构数学问题三：类似的，函数y = f (X)的零点又该怎样定义？【生】：令y = 0，解出f (x) = 0的根便是函数的零点.函数的零点：1、定义：一般地，我们把使函数y = f (x)的值为0的实数X称为函数y二f(x)的零点.【师】：函数的零点从本质上来说是什么呢？一张纸还是一支笔啊？【生】：零点是一个实数.【师】：很好，去掉修饰语，实数 X称为零点•我们不妨这么记忆，零点不是点，海马不是马.2、说明：(1)函数的零点不是点，是个实数•(2 )函数的零点就是相应方程的根，也是函数图象与X轴交点的横坐标•函数的零点问题二方程的根的问题二图象与X轴的交点问题设计意图：围绕零点概念的剖析，帮助学生理解零点的本质，体会函数的零点与相应方程的根以及函数图像之间的相互转化的思想.问题四：方程3456x2-3458x V =0有没有实数根？【生】：有，用D = 34582- 4? 3456 0计算，可以估算.【师】：很好，还有别的做法吗?2【生】：设f (x)二3456X2 -3458x 1 , f (1) = -1 ：：： 0 ,因图像开口向上，所以2f (x) = 3456x - 3458x 1的图像和x轴必有两个交点.【师】：成功的关键在于把方程交给了函数，从函数角度来看问题变化：在区间(1,2)上有根吗？【生】：f(1) - -1, f(2) •0 ,二次函数图像必定穿越x轴，在区间(1,2)上有一个根.变化：在区间(0,1)上有根吗?【生】f(1) = _1,f(0) =1，函数图像必定穿越x轴，在区间(0,1)上有一个根.：设计意图：有意设计了一个不便于从代数角度求根的一元二次方程，“逼迫”学生另辟蹊径，把方程转化为函数，从“形”的角度，来考察二次方程在区间上是否有根，渗透函数与方程思想，数学结合的思想•同时让学生感受端点函数值异号，图像连续，函数有零点，这便是零点存在性定理的“雏形”，为下面引出零点存在性定理埋下伏笔问题五：若函数y = f (x)在区间［a,b］上满足f(a) f(b) ：：： 0,则函数y = f(x)在区间(a,b)上定有零点吗？试举例说明教师学生自己画图论证.1【生1】：不一定，y=—在区间(-1,1)上满足条件，却没有x零点・【师】：加一个怎样的条件就能保证上述函数y = f (x)在区间(a,b)上一定有零点？【生】：感觉只要函数y = f(x)在区间［a, b］上连在一起，不间断就可以了.引出零点存在性定理设计意图：通过问题四学生感觉似乎函数在区间上端点函数值异好，就有零点，教师适时地提出问题五，顺其自然把问题推向纵深，引导学生画图论证，自我探究，寻找反例，接下来定理的引出便是自然的，水到渠成的.零点存在定理：一般地，若函数y二f (x)在区间［a,b］上的图象是一条不间断的曲线，且f(a) f(b)：：： 0,则函数y = f(x)在区间(a,b)上有零点.问题六(剖析概念系列①②③④问)：【师】：学习了这个定理，你有哪些不明白的地方.(设计意图引导学生自主发现问题)【生】：①区间从［a,b］变化为(a,b)，为什么？【师】：使零点位置更精确！第一个区间［a,b］能改为区间(a,b)吗？『1,x 引一1,1)【生】：不可以，女口函数f(x)=I-1,X=1【师】②何谓“有零点”？【生】：至少有一个零点【师】③(能逆向吗？)一般地，若函数y二f (X)在区间［a,b］上的图象是一条不间断的曲线,【生】：1个.【师】：变式：二次函数y = f(x)在区间［a,b］上有f (a) • f (b) ：：： 0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有几个零点？【生】：1个(这是由二次函数自身的形状决定，引导学生画图感受)设计意图：在给出这个定理之后，还需要围绕定理作一些深入的剖析, 件就有零点，不满诸如：满足定理的条足定理的条件是否就没有零点，函数在区间上有零点是否一定有f(a)f(b) ：：：0，引导学生多画图，结合我们熟悉的二次函数的零点讨论定理逆命题的真假，加深对定理的理解，为灵活运用奠定基础. 这样达到完成本节课的知识与技能目标的目的，同时也突出了重点，3、典型例题：例题1：求证：函数f(x)=x3 x2 1在区间(-2,-1)存在零点.解答：f (_2)f(-1) ：：：0，函数f (x) -x3 x2 1 在区间(-2,-1)上不间断.强调：函数f(x) ^x3 x2 1在区间(-2, -1)上不间断•注重解题规范.变式1：求证：方程x3=4x，2在区间(-2,0)上至少有两个实根•解：令f (x) =x3 -4x-2 ,f(—2) =-8 8-2 ：：0, f(0) =-2 ：：0 , f (一1)=1 0 ,又函数f(x) =x3 -4x-2在区间(-2,0)上连续不间断，3f(x) -x -4x -2在区间(-2, -1),( -1,0)上都至少有一个根，所以得证.教师点评：把方程的根的问题转化为相应函数图象的零点问题处理.设计意图：例题1设计了一个三次函数的例子，不能像通常二次函数那样从代数角度直接求解函数零点，需要结合零点存在性定理解题，属于浅层次的模仿运用，让学生感悟零点存在性定理是判断函数有无零点的又一种方法. 变式训练把问题推向高潮，首先要把方程根的问题转化为函数的零点问题，训练学生函数与方程思想•当然变式1有一定难度，可根据学生层次选择.例题2：函数f (x) =1 nx x -4有零点的区间为(k,k，1) Z，求k的值.分析1：尝试直接应用定理解题.函数f (x) = In x x -4 , f (2) = In 2 - 2 ：： 0 , f (3) = In 3 -1 0 ,函数f (x) = In x x - 4在区间(k,k V) Z上单调增，故k =2分析2 :把问题转化为我们熟悉的函数图像的交点问题.% =-X • 4与y 2 =1 nx ，观察图像可得零点在区间 （1,4）当中,至于根到底在哪个区间，依靠图像本省还不有精确，需要把问题交给代数，考查 整点2,3.x = 2 时，如=2， y2 = l n 2 ：： 1， x = 3时，％ =1， y 2 =1 n3 1，通过精确比较，根位于区间（2,3）要进行细化.纠正学生的常见误区：直4 k [ C lk 的做法不对，属于认为有零点，便有端点值异好，若看出单调增，便可以这样使用 •逐一检验整数点。
归纳：函数零点的求解与个数的判断：（1） （代数法）转化为相应方程的实数根问题； （能求则求）， （2） （几何法）转化为函数的图象交点问题； （3）利用零点存在性定理解决.设计意图：设计一个入口较宽的，有一定挑战性的，一题多解的例题，让学生正确理解零点 存在性定理使用误区和注意事项，并培养学生数形结合的意识，把陌生的问题转化为熟悉问题， 把数的问题转化为形的问题， 当依靠形说不清时再次把形的问题转化为数，感受数学解题其实就是一个不断转化的过程. 4、当堂训练：（备用）1、 设函数f （X ）=? X-1，则函数g （x ）=f （x ）-l 的零点为 _______________________________log 81 x x =1n 4答：3 ——可以直接求根，也可以作图像！2、 函数f （x ）=xlgx-1有零点的区间为（k,k ，1） k ・Z ，则k 的值为 _________________________ . 21lg x,转化为熟知的图像的交点，最后细化！x(1,4)中的f( k) f( k 1= ) (kl nk13、方程3x log2 ^0在区间［―,1］内实数根的个数为___________________________ •14法一、转化为两个图像的交点个数.法二、函数单调增，用f(a) .f(b) ：：：0设计意图：争对课上的重点难点内容，当堂巩固训练，变式训练，课内时间可能来不及，看情况备用•5、课堂小结：(引导学生自己总结，自我建构)(1)函数的零点概念是什么？函数的零点问题二方程的根的问题二图像与x轴交点问题.⑵函数的零点个数的判断方法有哪些？(1)求出相应方程的实数根；(2)转化为函数的图象交点问题；(3)利用零点存在性定理(3)本节课运用了哪些数学思想方法？函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想设计意图在学生谈收获，谈体验的过程中，教师将本节课的内容回顾总结，概况升华，进一步优化学生的认知结构，把课堂所学的知识与方法较快转化为学生的素质，也更进一步培养学生的归纳概括能力.6、课外作业：一中配套课时训练第33课时函数的零点开课反思常州市第一中学孔祥武本节课好的地方：1.以问题串组织教学，一步步引导学生自主建构概念，6个大问题把整节课知识点串了起来.这样的课堂是高效的，学生在思考中发现，在探究中感悟.2.因为学生层次很好，(一中教改班)，这节课我设计时立足放手让学生来说，把舞台交给学生.充分体现教师为主导，学生为主体的新课程理念. 许多概念的反例都是学生自己来举的,第8页共10页听课老师都觉得学生表现得很让人吃惊•这里学生的主动性积极性得到调动•学生的大胆质疑，大声回答让人佩服，这样的课堂正是我们老师希望看到的，这样的学生正是我们老师希望培养的.3. 零点存在性定理讲的比较细致入微，嚼得有滋有味，剖析得比较透彻，是本节课的亮点.零点存在性问题本身是充分的，有局限性的. “剖析问题 ③(能逆向吗)一般地，若函数y 二f(x)在区间［a,b ］上的图象是一条不间断的曲线，若函数 y 二f(x)在区间(a,b)上有零点.贝U f (a) f (bh ：：0 ?能举例吗？”和变式2都在研究定理逆向方面的问题. 防止学生理解发 生偏差•定理的正向，逆向剖析，让学生对定理加深理解，使得学生对定理理解更全面.4. 本节课教态很自然，始终面带微笑，不慌不忙，娓娓道来，不太像自己平时严厉的作风，给人以亲近的感觉，学生似乎也被感染了，师生配合较好，还要坚持.需要改进的方面：1 •给出函数零点定义时提出问题：学习了零点定义要注意什么，问题太大，太空•可改为：学 习了零点，你能告诉人家零点是什么吗？可能更具体一些.2•零点不是点，黑马不一定是马说法不准确•改为零点不是点，海马不是马可能较好.3.零点存在性定理的生成亦可以设计一些活动让学生动手探究，揭示定理( 10分钟)已知函数y 二f x 的图象是一条连续不断的曲线，且过点 A a, f a 、B b, f b ，请思考：函数满足什么条件，在区间 la,b 1上一定有零点?可以让学生小组合作，这样使用于学生层次相对较低的班级.4••因为学生更适应零点问题先转换为求相应方程的实数根，能求则求也是一种重要的方法. 书中的例子还是应该用的. A •kiB • 图 A •1图 B • 2 在下列坐标系中作出 y 二f x 的可能图象.例题1:求证：函数f(x)= x3+ x2+ 1在区间(-2, - 1)上存在零点.变式1 ：求证：方程x3=4x ■ 2在区间(-2,0)上至少有两个实根.变式2 :函数f (x) = I n x • x「4有零点的区间为(k, kT) k Z，求k的值.可增加铺垫：判断函数f(x) =x2 -2x-1在区间(2,3)上是否存在零点？变式1：求证：函数f(x)= x3+ x2+ 1在区间(-2, - 1)上存在零点.(从二次到三次)变式2：求证：方程x = 4x 2在区间(-2,0)上至少有两个实根.变式3：函数f (x) = In x • x -4有零点的区间为(k, k T) k Z，求k的值.25.处理变式2过程中用学生提出作％ =x3,y2=4x • 2的图像，在作图过程中要强调画图的准确性，学生提出在区间(-2,0)上至少有两个实根.实质只有两个实根.处理变式3过程中有同学想到有零点则f(k)f(k 1h：： 0 ,这样的说法有问题，讲评时没有提及这方面的问题，只讲了正确的，没有兼顾错误的，错误也是一种资源，也有很好的教育意义.。