常州大学数值分析09-10试卷及参考答案

常州大学2009~2010学年第 2 学期硕士生考试试题评分标准

1. （10分）当x 充分大时, 试比较

算上的差异？并叙述常见的防止误差的一些原则。

解：当x 充分大时，两个表达式在理论上恒等， 但其数值计算结果不同，前者会出现相近数相减，失去有效数位，降低计算结果精度的问题；后者避免了相近数相减的问题，尽可能地保证了计算结果的精度。

防止误差的几个基本原则主要有： 1） 防止大数“吃”小数；

2） 避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 3） 避免相近数相减；

4） 避免使用不稳定的算法；

注意简化计算步骤，减少运算次数；

………… 5 分

2. （15分）已知列表函数

利用Newton 插值方法求()f x 的插值逼近多项式3()N x ，利用插值多项式近似计算

(1.52)f 。

解：

Newton 差商表： D =

1.0000 -1.0000 -

2.0000

3.0000

4.0000 3.0000 2.0000 -1.0000 -2.5000 -1.8333

………… 5 分

3() 1.8333^38.5000^28.6667 1.0000N x x x x =-+-+

………… 5 分

3(1.52)(1.52) 1.0268f N ≈=。

………… 5 分

3. （10分）已知列表函数

解：写出正规方程组

42 5.15

26 6.09

a b a b +=⎧⎨

+=⎩ ………… 5 分

解上述正规方程组得

0.9360,0.7030a b ==

………… 5 分

4. （15分）写出龙贝格（Romberg ）方法的数值积分公式，并用龙贝格方法计算

1

sin 0

x e dx ⎰

，

要求误差不超过2

10-。

解：龙贝格（Romberg ）方法计算定积分

()b

a

f x dx ⎰

的数值积分公式如下：

211122221(),,

2241

3316115156416363

n n n i i i i n n n

n n n

n n n

h b a

T T f x h x x n S T T C S S R C C --=-=+=-==-=-=-∑，

其中1[()()]2

b a

T f a f b -=

+。 ………… 7 分

利用上述公式计算可得 romberg_table =

1.6599 1.6301 1.6319 1.6375 1.6318 1.6332

………… 8 分

5. （10分）设213212408A -⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

, 3312b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试用高斯消去法或LU 分解法解线性方程组Ax b =。

解：利用LU 分解法可得

121311212113A LU -⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦

分别解,Ly b Ux y ==可得方程组的解为112x ⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

。 6. （15分）写出解线性方程组Ax b =的Jacobi 迭代法方法及Gauss-Seidel 迭代方法的分

量形式；对下述线性方程组

12312312

3335333

x x x x x x x x x --=⎧⎪

+-=⎨⎪+-=-⎩ 给出一个收敛的Gauss-seidel 迭代格式，并说明收敛的理由。 解：设()

()()

()

12(,,

,)'k k k k n x

x x x =为方程组的第k 次迭代解，

则解线性方程组Ax b =的Jacobi 迭代法方法及Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式分别为

1

(1)()()1

1

()/,1,2,

,i n

k k k i

i ij j

ij j ii j j i x

b a x

a x a i n -+==+=--

=∑∑，

1

(1)

(1)()1

1

()/,1,2,

,i n

k k k i

i ij j

ij

j

ii j j i x

b a x

a x

a i n -++==+=--

=∑∑。

………… 8 分

将方程组123123123335333x x x x x x x x x --=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩改写为12312312

3533333

x x x x x x x x x +-=⎧⎪

--=⎨⎪+-=-⎩， 则新方程组的系数矩阵严格对角

占优， 从而解上述方程组的一个收敛的Guass-Seidel 迭代格式

(1)()()123(1)(1)()

213(1)(1)(1)3

12(3)/5(3)/3(3)/3

k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=-+⎪=--+⎨⎪=++⎩， 1,2,,k =

对于任意(0)

x 收敛。 ………… 7 分

7. （15分）写出Newton 迭代方法求非线性方程()0f x =根的方法思想；并选用适当的方

法求方程tan x x =在0 4.5x =附近的一个根，要求误差不超过3

10-。

解：解非线性方程()0f x =根的Newton 方法是迭代方法, 对于给定的第k 次初始近似解k x , Newton 迭代法的思想是用曲线()y f x =在点(,())k k x f x 的切线与x 轴的交点的横坐标

1k x +作为曲线()y f x =与x 轴交点*x ，即方程()0f x =根的第k+1次近似。相应的迭代

公式如下:

)

(')

(1k k k k x f x f x x -

=+, ,2,1,0=k

当ε≤-+||1k k x x 时可以认为1+k x 为满足精度的近似解 本题取0 4.5x =, 由上述迭代公式, 容易得到: x1 = 4.4936 x2 = 4.4934

The root x is 4.4934

8. (10分)用四阶Runge －Kutta 方法解方程

2'2,1 1.6

(1)1

y x xy x y ⎧=-≤≤⎨

=⎩

取0.3h =。

解：写出Runge －Kutta 方法公式：

112341213243(22)

6

(,)(/2,/2)(/2,/2)(,)

k k k k k k k k k k h

y y K K K K K f x y K f x h y h K K f x h y h K K f x h y hK +=++++==++=++=++其中

利用y0=1及上述公式可得：

k1= -1.0000 k2= -0.5117 k3= -0.8104 k4= -0.1894 y1= 0.8083 k1= -0.3988 k2= -0.1747 k3= -0.3239 k4= -0.0183 y2= 0.7376

所得列表函数为：

x = 1.0000 1.3000 1.6000

y = 1.0000 0.8083 0.7376 ………… 5 分