常州大学数值分析09-10试卷及参考答案

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数值分析试题与答案

一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。

常州大学数值分析07-08试卷A及参考答案

江苏工业学院2007~2008学年第 2 学期硕士生考试试题参考解答一、（10分）叙述防止误差的几个基本原则，并举一例说明其在数值计算中的应用。

答：防止误差的几个基本原则主要有： 1）防止大数“吃”小数；2）避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 3）避免相近数相减；4）避免使用不稳定的算法；5）注意简化计算步骤，减少运算次数； ………… 5 分例如：当x 充分大时，即1x >>时，计算可以用表达式来计算，以避免相近数相减。

………… 5 分二、(15分)（1）叙述Lagrange 插值或Newton 插值方法的方法思想。

(2) 设(1)0,(2)3,(3)10f f f ===, 试求)(x f 的二次Newton 插值多项式。

解：（1）拉格朗日插值、牛顿插值的方法思想分别如下：对于给定的节点(,),0,1,2,,i i x y i n = 拉格朗日插值通过引入满足如下条件的基函数1,(),0,i j j il x j i=⎧=⎨≠⎩ 构造如下形式的插值多项式()()nn i i i P x l x y ==∑其中0()()()nj i j ijj ix x l x x x =≠-=-∏。

………… 4 分牛顿插值方法是通过构造如下形式的多项式01020101()()()()()()n n n N x a a x x a x x x x a x x x x -=+-+--++--其中,0,1,2,,i a i n =通过Newton 差商公式得到，且仅与0,1,,,i x x x 有关，由此可以保证在增加节点时，原先的计算量能够被充分利用。

………… 4 分 (2) 根据列表函数可得差商表如下：0 0 0 3 3 0 10 7 2)(x f 的二次Newton 插值多项式为()3(1)2(1)(2)P x x x x =-+--即2()231P x x x =-+。

常州大学数值分析作业

常州大学数值分析作业1.解：（1）x = [ 3*π/8 π/2];Y = cos(x);x0 = π/3;[A,Y] = lagrange(x,y,x0);P1 = vpa(poly2sym(A),3)结果如下：P1 = 1.53*x - 0.974Y = 0.5102（2）x = [π/4 3*π/8π/2];Y = cos(x);[A,Y] = lagrange(x,y,x0);P2=vpa(poly2sym(A),3)结果如下：P2 = 1.18*x^2 - 0.455*x - 0.189Y = 0.4973（3）x = [0 π/8 π/4 3*π/8 π/2];Y = cos(x);[A,Y]=lagrange(x,y,x0);结果如下：P3 = x^4 + 0.00282*x^3 - 0.514*x^2 + 0.0232*x + 0.0287 Y = 0.50017.function [T]=aitken(x,y,x0,T0)If nargin == 3T0=[];endn0=size(T0,1);m=max(size(x));n=n0+m;T=zeros(n,n+1);T(1:n0,1:n0+1)=T0;T(n0+1:n,1)=x;T(n0+1:n, 2)=y; ifn0==0i0=2;elsei0=n0+1;Endx=[0 1];y=[0.5 1.25];x0=2.8;T0=aitken(x,y,x0);T=T0;x=[3.0,4.0]';y=[3.5,2.75]';x0=2.8;T=aitken(x,y,x0,T0);n=max(size(x))+size(T0,1);for i=1:nfor j=1:i+1fprintf('%10.4f',T(i,j));endfprintf('\n');EndReturn0.0000 0.5000 0 0 01.0000 1.25002.6000 0 03.0000 3.5000 3.3000 3.2300 04.0000 2.7500 2.0750 2.2850 3.419016.function [C,D,Y]=newpoly(x0,y0,x)if nargin < 2 | nargin> 3error( 'Incorrect Number of Inputs'); endif length(x0)~=length(y0)error('The length of x0 must be equal to it of y0');end n=length(x0); D=zeros(n,n); D(:,1)=y0'; for j=2:n%计算差商表for k=j:nIf abs(x0(k)-x0(k-j+1))<eps< bdsfid="127" p=""></eps<> error('DividedbyZero,therearetwonodesarethes ame');endD(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(x0(k)-x0(k-j+1));EndEndC=D(n,n);For k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(x0(k)));m=length(C);C(m)=C(m)+D(k,k);endIf nargin==3Y=polyval(C,x);endC=fliplr(C);Returnx = [0 1 2 3 4 ];y = [0.5,1.25,2.75,3.5,2.75];[A,Y]=lagrange(x,y,x0)x0 = [0 1 2 3 4 ];y0 = [0.5,1.25,2.75,3.5,2.75];[C,D,X]=newpoly(x0,y0,x)plot(x,Y,'b-',x0,X,'r:')A = 0.5000 -0.3125 1.4687 -0.4375 0.0313Y = 0.5000 1.2500 2.75003.5000 2.7500C = 0.0313 -0.4375 1.4688 -0.3125 0.5000D = 0.5000 0 00 01.2500 0.7500 0 0 02.7500 1.5000 0.3750 0 03.5000 0.7500 -0.3750 -0.2500 02.7500 -0.7500 -0.7500 -0.1250 0.0313X = 0.5000 1.2500 2.7500 3.5000 2.7500fl(x)=0.5*x^4 - 0.312*x^3 + 1.47*x^2 - 0.438*x + 0.0312fn(x)=0.5*x^4 - 0.312*x^3 + 1.47*x^2 - 0.438*x + 0.03126. 解：对题中函数进行变形：原式→y/x = a* exp(b*x) →ln(y/x) = ln(a) + b*exp(x) 化为线性形式计算：>> a = [1 2 3 4 5];>> b = [1.222 2.984 5.466 8.902 13.592];>> x = exp(a);>> y = log(b)-log(a);>> n = 1; >> [C]=lspoly(x,y,n);>> y = vpa(poly2sym(C),3)结果如下：y = 0.00464*x + 0.384写成题中拟合函数的形式即为：y = 1.4679*x*exp(0.00464*x)7.function [a0,a1,a2]=ec2(h,w)S=log(s)';N=length(h);A=zeros(N,3);for i=1:5A(i,1)=1;A(i,2)=log(h(i));A(i,3)=log(w(i));endc=inv(A'*A)*(A'*S); a0=exp(c(1)); a1=c(2); a2=c(3);return%给出数据h=[175 172 183 164 156]; w=[80 90 80 70 65];s=[1000 900 1200 750 800]; [a0, a1,a2]=ec2(h,w,s)输出结果为：a0 =1.614815742043648e-04a1 =3.383163094165866a2 =-0.4191650115826638.x= lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb, ub,options)[x,resnorm] = lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual]=lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag]= lsqcu rvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag,output,l ambda] = lsqcurvefit(…) [x,resnorm,residual,exitflag,output,l ambda,jacobian] =lsqcurvefit(…)function F = myfun(x,xdata)F=(x(1).*xdata).*(exp(x(2).*xdat a));xdata=[1,2,3,4,5];ydata=[1.222,2.984,5.466,8.902,13. 592]; x0=[0,0];[x,resnorm]=lsqcurvefit(@myfun,x0, xdata,ydata)输出结果为：Local minimum found.Optimization completed because t he size of the gradient is less than t he default value of the function toler ance.x =0.999958348976391 0.2000141328 12834aaresnorm = 8.067930437509675e -7。

《数值分析》所有参考答案

解：
等价三角方程组
，，
11.设计算机具有4位字长。分别用Gauss消去法和列主元Gauss消去法解下列方程组，并比较所得的结果。
解：Gauss消去法
回代
列主元Gauss消去
15.用列主元三角分解法求解方程组。其中
A= ,
解：
等价三角方程组
回代得
，，，
16.已知，求，，。
解：
, ,
17.设。证明
，(II)
，
当时
当时
迭代格式(II)对任意均收敛
3) ，
构造迭代格式 (III)
，
当时
当时
迭代格式(III)对任意均收敛
4)
取格式(III)
，，，
4.用简单迭代格式求方程的所有实根，精确至有3位有效数。
解：
当时，，
1 2
当时
，
，
，，
1)
迭代格式，
,
当时，，
任取迭代格式收敛于
是中的一种向量范数。
解：
当时存在使得
，
,
所给为上的一个范数
18.设。证明
(1) ;
(2) ;
(3) 。
解：(1)
(2)
(3)
19.设
A=
求，，及，。
解： ,
Newton迭代格式
,
20.设为上任意两种矩阵(算子)范数，证明存在常数
，使得
对一切均成立。
解：由向量范数的等价性知道存在正常数使得
,
=0.187622
[23.015625 , 23.015625+0.187622]

数值分析试卷及答案

数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。

答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。

答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。

答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。

答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。

09下数值分析答案(A)

《数值分析》I课程试题参考答案及评分标准（中文试卷）( A卷)适用专业年级：信息与计算科学07级考试时间: 100分钟命题人：吕勇一、解------------------------------------------------------5分则插值多项式。

---------------------------------------- -------10分二、证明设，以为节点的Lagrange插值多项式为 --3分余项为-----------------------------------------------------6分由于为线性函数，当时，。

--------------------------------9分则：，所以结论得证-------------------------------------------------10分三、证明 ----------------------------------------------------5分-------------------------8分 ---------------------------------------------------10分四、证明设则根据插值多项式原理-------------------------------------------------------------------------------------6分两端在上积分-------------------------------------------------------------10分五、解设，。

--------------------------------------------------------------------3分，---------------------------------------------------------------6分，。

常州大学数值分析09-10试卷及参考答案

常州大学2009~2010学年第 2 学期硕士生考试试题评分标准1. （10分）当x 充分大时, 试比较算上的差异？并叙述常见的防止误差的一些原则。

解：当x 充分大时，两个表达式在理论上恒等，但其数值计算结果不同，前者会出现相近数相减，失去有效数位，降低计算结果精度的问题；后者避免了相近数相减的问题，尽可能地保证了计算结果的精度。

防止误差的几个基本原则主要有： 1）防止大数“吃”小数；2）避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 3）避免相近数相减；4）避免使用不稳定的算法；注意简化计算步骤，减少运算次数；………… 5 分2. （15分）已知列表函数利用Newton 插值方法求()f x 的插值逼近多项式3()N x ，利用插值多项式近似计算(1.52)f 。

解：Newton 差商表： D =1.0000 -1.0000 -2.00003.00004.0000 3.0000 2.0000 -1.0000 -2.5000 -1.8333………… 5 分3() 1.8333^38.5000^28.6667 1.0000N x x x x =-+-+………… 5 分3(1.52)(1.52) 1.0268f N ≈=。

………… 5 分3. （10分）已知列表函数解：写出正规方程组42 5.1526 6.09a b a b +=⎧⎨+=⎩ ………… 5 分解上述正规方程组得0.9360,0.7030a b ==………… 5 分4. （15分）写出龙贝格（Romberg ）方法的数值积分公式，并用龙贝格方法计算1sin 0x e dx ⎰，要求误差不超过210-。

解：龙贝格（Romberg ）方法计算定积分()baf x dx ⎰的数值积分公式如下：211122221(),,22413316115156416363n n n i i i i n n nn n nn n nh b aT T f x h x x n S T T C S S R C C --=-=+=-==-=-=-∑，其中1[()()]2b aT f a f b -=+。

《数值分析》练习题及答案解析

《数值分析》练习题及答案解析第一章绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。

1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。

第二章非线性方程求根主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算；牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。

（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。

"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。

（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。

（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。

（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。

常州大学数值分析作业(共六章)

第二章：20.（1）用 Jacobi 迭代法解方程组 AX=b. function [x,iternum,flag]=jacobi(A,b,x0,delta,max1) %检验输入参数，初始化 if nargin<2,error('more augments are needed');end if nargin<3,x0=zeros(size(b));end if nargin<4,delta=1e-13;end if nargin<5,max1=100;end if nargin>5,error('incorrect number of input');end n=length(b);x=0*b;flag=0;iternum=0; %用Jacobi迭代法解方程组 for k=1:max1 iternum=iternum+1; for i=1:n if abs(A(i,i))<eps error('A(i,i) equal to zero,divided by zero'); end x(i)=(b(i)-A(i,[1:i-1,i+1:n])*x0([1:i-1,i+1:n]))/A(i,i); end err=norm(x-x0); relerr=err/(norm(x)+eps); x0=x; if (err<delta)||(relerr<delta) flag=1; break; end end if flag==1 disp('The Jacobi method converges.') x=x; else disp(['The Jacobi method does not converge with '... ,num2str(max1),' iterations']) end return A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1]; b=[1;1;1]; [x,iternum,flag]=jacobi(A,b) 输出结果为： The Jacobi method converges. ans = -3 3 1 iternum =4 flag = 1

(完整word版)数值分析考试试卷和答案(word文档良心出品)

线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分）用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(，试证明：用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分）又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。

常州大学数值分析第一章习题解答

1.1解：m=3;f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m);g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m);f(3.33)g(3.33)有ans = 121ans =121实际上，当m=2时，就可以看出这两种算法在计算的精确度上的区别：m=2;f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m);g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m);f(3.33)g(3.33)有ans = 120ans =130，可以看出，两者在计算精度上的不同区别，数学上恒等，在数值上不一定恒等。

1.2解：（1）精确到小数点后第三位，故有4位有效数字（2）精确到小数点后第三位，故有2位有效数字（3）精确到小数点后第三位，故有0位有效数字1.3 解;记圆的面积为S，由题意有|e(S)|≤1%。

由S=πr2知：dS=2πrdr所以dS/S=(2πrdr)/(πr2)=2(dr/r)∴|e(r)|≈1／2|e(S)|≤0.5×1%=0.5%1.4 解：由题有：|e(x)|≤1/2×10^-2 ; |e(y)|≤1/2×10^-2; |e(z)||≤1/2×10^-2∴|e（S）|≈|xe(x)+ye(y)|+ |ze(z)|^2≈x|e(x)|+y|e(y)|+z^2|z(z)|^2≤4.21×0.005+1.79×1.005+2.11×2.11×0.005^2=0.03≤1/2×10^-1又S=4.21*1.79+2.11^2=11.988∴S至少具有3位有效数字。

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。

A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。

A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。

A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。

A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。

A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。

A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。

A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。

常州大学2012-2013级研究生数值分析试卷A解答及评分标准

一．（1）已知函数24()73f x x x =++，用秦九昭方法计算(2)f ；（2）秦九昭方法计算任一n 次多项式在任一点函数值至多需要多少次乘法？（3）至少写出四种减少误差危害的常用手段。

解：（1）2422()73(31)7f x x x x x =++=++22(2)(321)2759f =⨯++=………… 5 分（2）秦九昭方法计算任一n 次多项式在任一点函数值至多需要n 次乘法。

………… 5 分（3） A ）防止大数“吃”小数； B ）避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；C ）避免相近数相减；D ）避免使用不稳定的算法；E ）注意简化计算步骤，减少运算次数；………… 5 分二．给定方程组123311413132156x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （1）以分量形式写出解此线性方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss -Seidel 迭代格式；（2）求1A 和A∞；（3）判断Gauss -Seidel 迭代格式的敛散性。

解：（1）Jacobi 迭代(1)()()123(1)()()213(1)()()312(4)/3(3)/3(62)/5k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++=--=+-=-+， 0,1,2,k = Gauss-Seidel 迭代(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(4)/3(3)/3(62)/5k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++=--=+-=-+， 0,1,2,k =………… 5 分（2）17A =，8A∞=；………… 5 分（3）因为方程组系数矩阵严格对角占优，所以Gauss -Seidel 迭代格式收敛。

………… 5 分三．已知方程2()30x f x e x =-=，（1）证明该方程在区间[0.6,1.2]上存在唯一实根；（2）叙述牛顿法求方程()0f x =根的方法思想；（3）以初值01x =，用牛顿法求上述方程的近似解，要求误差不超过210- 。

常州大学数值分析习题解答

数值分析试题(卷)与答案解析

数值分析试题一、填空题（2 0×2′）1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2位有效数字。

2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。

3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。

4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。

5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。

6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。

7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。

8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。

9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是(B)<1 。

10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 y =f (x )-2-1.75-10.2524.2511. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

数值分析参考答案

数值分析参考答案1.4 习题解答或提示1、解：（1）>> a=[1 2 3 ;4 5 6 ]'a =1 42 53 6（2）>> b=[9;7;5;3;1]b =97531（3）>> c=b(2:4)c =753（4）>> d=b(4:-1:1)d =3579（5）>> e=sort(b)e =13579（6）>> f=[3:b']f =3 4 5 6 7 8 92、解：>> x=[7 4 3 ];y=[-1 -2 -3];（1）>> u=[y,x]u =-1 -2 -3 7 4 3 （2）>> u=[x,y]u =7 4 3 -1 -2 -33、解：sum=0;a=[4 -1 2 -8 4 5 -3 -1 6 -7]; for i=1 : length(a)if a(i)>0, sum=sum+a(i); endendsumsum =214、解：m=input('input an array:')input an array:[1 2 5;3 1 2;4 1 3]m =1 2 53 1 24 1 35、解：sum(m)ans =8 4 10>> max(m)ans =4 2 5>> min(m)ans =1 1 26、解：function y=fun_es(x)y=0.5.*exp(x./3)-x.^2.*sin(x);>> fun_es(3)ans =0.0891>> fun_es([1 2 3])ans =-0.1437 -2.6633 0.08917、提示：本题主要考查的是随机数生成函数rand的使用方法，以及选取种子数的方法之一：使用clock命令。

可以参照课本的例1.5来编写函数。

8、解：function y=fun_xa()x=input('input the value of x：');n=input('input the value of n：');y=1;for i=1:1:ny=y+x^i/factorial(i); end>> fun_xa()input the value of x ：1 input the value of n ：4ans =2.70832.4 习题解答1 解：E(lnx)=(ln ’E(x)=)(1x E x =xδ=Er(x) 2. 解 Er(x 2)＝)(22x Er x xx ⨯=4% 3. 解：123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0x x x x x *****=====⨯分别有5 位，2位，4位，5位，2位有效数字4 解 4*1105.0)(-⨯=x E3*2105.0)(-⨯=x E1*3105.0)(-⨯=x E3*4105.0)(-⨯=x E=++)(*4*2*1x x x E +)(*1x E +)(*2x E )(*4x E =0.00105))()((*4*2x E x E E =)()()(*42*4*2*4*2x E x x x x E -5. 解 V=334r π Er(v)=)(//x Er V x dx dV ⨯⨯=3Er(x)%1)(3≤x Er%33.0)(≤x Er6. 解 7830100-=Y Y)783()(100E Y E =＝0.00057．解 x 1，2＝24561122-±＝56783±21,2105.0)x (-⨯=E 2105.0)783(-⨯=E98.27783≈x 1，2＝83.98 或 28.02 8．略。

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常州大学2009~2010学年第 2 学期硕士生考试试题评分标准
1. （10分）当x 充分大时, 试比较
算上的差异？并叙述常见的防止误差的一些原则。

防止误差的几个基本原则主要有： 1）防止大数“吃”小数；
2）避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 3）避免相近数相减；
4）避免使用不稳定的算法；
注意简化计算步骤，减少运算次数；
………… 5 分
2. （15分）已知列表函数
利用Newton 插值方法求()f x 的插值逼近多项式3()N x ，利用插值多项式近似计算
(1.52)f 。

解：
Newton 差商表： D =
1.0000 -1.0000 -
2.0000
3.0000
4.0000 3.0000 2.0000 -1.0000 -2.5000 -1.8333
………… 5 分
3() 1.8333^38.5000^28.6667 1.0000N x x x x =-+-+
………… 5 分
3(1.52)(1.52) 1.0268f N ≈=。

………… 5 分
3. （10分）已知列表函数
解：写出正规方程组
42 5.15
26 6.09
a b a b +=⎧⎨
+=⎩ ………… 5 分
解上述正规方程组得
0.9360,0.7030a b ==
………… 5 分
4. （15分）写出龙贝格（Romberg ）方法的数值积分公式，并用龙贝格方法计算
1
sin 0
x e dx ⎰
，
要求误差不超过2
10-。

解：龙贝格（Romberg ）方法计算定积分
()b
a
f x dx ⎰
的数值积分公式如下：
211122221(),,
2241
3316115156416363
n n n i i i i n n n
n n n
n n n
h b a
T T f x h x x n S T T C S S R C C --=-=+=-==-=-=-∑，
其中1[()()]2
b a
T f a f b -=
+。

………… 7 分
利用上述公式计算可得 romberg_table =
1.6599 1.6301 1.6319 1.6375 1.6318 1.6332
………… 8 分
5. （10分）设213212408A -⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
, 3312b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试用高斯消去法或LU 分解法解线性方程组Ax b =。

解：利用LU 分解法可得
121311212113A LU -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
分别解,Ly b Ux y ==可得方程组的解为112x ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

6. （15分）写出解线性方程组Ax b =的Jacobi 迭代法方法及Gauss-Seidel 迭代方法的分
量形式；对下述线性方程组
12312312
3335333
x x x x x x x x x --=⎧⎪
+-=⎨⎪+-=-⎩ 给出一个收敛的Gauss-seidel 迭代格式，并说明收敛的理由。

解：设()
()()
()
12(,,
,)'k k k k n x
x x x =为方程组的第k 次迭代解，
则解线性方程组Ax b =的Jacobi 迭代法方法及Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式分别为
1
(1)()()1
1
()/,1,2,
,i n
k k k i
i ij j
ij j ii j j i x
b a x
a x a i n -+==+=--
=∑∑，
1
(1)
(1)()1
1
()/,1,2,
,i n
k k k i
i ij j
ij
j
ii j j i x
b a x
a x
a i n -++==+=--
=∑∑。

………… 8 分
将方程组123123123335333x x x x x x x x x --=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩改写为12312312
3533333
x x x x x x x x x +-=⎧⎪
--=⎨⎪+-=-⎩，则新方程组的系数矩阵严格对角
占优，从而解上述方程组的一个收敛的Guass-Seidel 迭代格式
(1)()()123(1)(1)()
213(1)(1)(1)3
12(3)/5(3)/3(3)/3
k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=-+⎪=--+⎨⎪=++⎩， 1,2,,k =
对于任意(0)
x 收敛。

………… 7 分
7. （15分）写出Newton 迭代方法求非线性方程()0f x =根的方法思想；并选用适当的方
法求方程tan x x =在0 4.5x =附近的一个根，要求误差不超过3
10-。

解：解非线性方程()0f x =根的Newton 方法是迭代方法, 对于给定的第k 次初始近似解k x , Newton 迭代法的思想是用曲线()y f x =在点(,())k k x f x 的切线与x 轴的交点的横坐标
1k x +作为曲线()y f x =与x 轴交点*x ，即方程()0f x =根的第k+1次近似。

相应的迭代
公式如下:
)
(')
(1k k k k x f x f x x -
=+, ,2,1,0=k
当ε≤-+||1k k x x 时可以认为1+k x 为满足精度的近似解本题取0 4.5x =, 由上述迭代公式, 容易得到: x1 = 4.4936 x2 = 4.4934
The root x is 4.4934
8. (10分)用四阶Runge －Kutta 方法解方程
2'2,1 1.6
(1)1
y x xy x y ⎧=-≤≤⎨
=⎩
取0.3h =。

解：写出Runge －Kutta 方法公式：
112341213243(22)
6
(,)(/2,/2)(/2,/2)(,)
k k k k k k k k k k h
y y K K K K K f x y K f x h y h K K f x h y h K K f x h y hK +=++++==++=++=++其中
利用y0=1及上述公式可得：
k1= -1.0000 k2= -0.5117 k3= -0.8104 k4= -0.1894 y1= 0.8083 k1= -0.3988 k2= -0.1747 k3= -0.3239 k4= -0.0183 y2= 0.7376
所得列表函数为：
x = 1.0000 1.3000 1.6000
y = 1.0000 0.8083 0.7376 ………… 5 分。