初中数学中考复习专题 最短路径问题 (24张PPT)
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最短路径问题PPT课件
A
·
C′ C
B
·
l
B′
问题1 归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
尝试应用：
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建
一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
A
·
l C
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
B A
l
将A，B 两地抽象为两个点，将河流l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河流l边 饮马，然后到B 地；
AM+NB+MN.
问题3：还有其他的方法选两点M,N，使得 AM+MN+NB的和最小吗？试一试。
a
b
A
M
N
B
问题2 归纳
解决实 际问题
《最短路径问题》课件
E
M
CF
G B
N
H
随堂练习
某大学建立分校,本部与分校隔着两条平行的小河.如图,
小河甲的两岸为l1,l2,且l1//l2,小河乙的两岸为l3,l4,且l3//l4， A为本部大门,B为分校大门.为了方便两校区人员来往,
要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.为使A,B
两点间来往路径最短,试在图中画出
B′
AB′交直线l于点C，此时点C就是
所求作的点.
2.两线一点型问题. 如图，在直线l1和直线l2上分别找 到点M，N，使得△AMN的周长 最小.此时过点A分别作关于直线 l1，l2的对称点A1，A2，连接A1A2 分别交直线l1，l2于点M，N，则 点M，N即为所求.
A2 N
l2 A
M
l1
A1
3.两线两点型问题.
A A1
符合条件的路径,并标明桥的位置.
ll12
l3 B1 l4 B
课堂小结
最
短
A∙
路 径
造桥选址问题
M
问
A′
a b
题
N
∙B
《最短路径问题》
知识回顾
1.两点一线型.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找
一点C,使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与
直线l的交点.
A
C
பைடு நூலகம்
l
B
1.两点一线型.
如图，点A，B是直线l同侧的两
B
点，在直线l上找一点C使得
A
AC+BC的值最小，这时先作点B
l
C
关于直线l的对称点的B′，连接
即AM+NB+MN的值最小.
初中数学中考复习专题 最短路径问题 (24张PPT)
【例题分层探究】 问题 1：边 CD 是定值，此问题可转化为计算 CE＋DE 的最小值问题． 问题 2：线段 CD，EF 均为定值，此问题可借助轴对称 求最短路径的方法计算出 DE＋CF 的最小值．
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
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∵C(0,-5) ∴C′(0,5) ∴直线C′D为y=-7x+5
D(2,-9)
ME
x
AO
B
∴y=0 ， 即-7x+5=0 ∴m=5 ∕ 7
∴x=5 ∕ 7
C D
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
中考链接
24 如图 Z8－3，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的
A
B l
在直线l上求一 点P，使 PA+PB值最小
作B关于l 的对称点 B＇，连A B＇与l交 点即为P
图形
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
问题3
作法
l1
P
分别作点P关于
l2
两直线的对称
在直线l1、l2上 点P＇和P＂，连 分别求点M P＇P＂与两直线
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
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∵ OE∥BC，∴ Rt△D′OE∽Rt△D′BG, 有 OBGE＝DD′′OB， ∴ OE＝D′DO′·BBG＝D′O·（DB′BC－CG）＝2×6 1＝13， ∴ OF＝OE＋EF＝13＋2＝73. ∴ 点 E 的坐标为13，0，点 F 的坐标为73，0.
，交l1于N．
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图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
长
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问题9
作法
A
B l
在直线l上求一 点P，使︱PAPB︱的值最小
连AB， 作AB的 中垂线与 直线l的交 点即为P
问题10
作法
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1应该认识到，阅读是学校教育的重要 组成部 分，一 个孩子 如果在 十多年 的教育 历程中 没有养 成阅读 的习惯 、兴趣 和能力 ，一旦 离开校 园，很 可能把 书永远 丢弃在 一边， 这样的 结果一 定是我 们所有 的教育 工作者 不想看 到的。 2对教育来说，阅读是最基础的教学手 段，教 育里最 关键、 最重要 的基石 就是阅 读。 3但是现在，我们的教育在一定程度上 ，还不 够重视 阅读， 尤其是 延伸阅 读和课 外阅读 。 4. “山不在高，有仙则名。水不在深 ，有龙 则灵” 四句， 简洁有 力，类 比“斯 是陋室 ，惟吾 德馨” ，说明 陋室也 可借高 尚之士 散发芬 芳 5. 这是一篇托物言志的铭文，本文言 简义丰 、讲究 修辞。 文章骈 散结合 ，以骈 句为主 ，句式 整齐， 节奏分 明，音 韵和谐 。 6.了解和名著有关的作家作品及相关 的诗句 、名言 、成语 和歇后 语等， 能按要 求向他 人推介 某部文 学名著 。 7.能够根据所提供的有关文学名著的 相关语 言信息 推断作 品的作 者、作 品的名 称和人 物形象 ，分析 人物形 象的性 格和作 品的思 想内容 并进行 简要评 价。 8．能够由具体的阅读材料进行拓展和 迁移， 联系相 关的文 学名著 展开分 析，提 出自己 的认识 和看法 ，说出 自己阅 读文学 名著的 感受和 体验。 9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲 突中， 充分深 刻显示 人物复 杂内心 世界， 突出了 对人物 性格的 刻画， 使其有 血有肉 ，栩栩 如生。 10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志 11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。 12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
人教版初中数学 2020年中考数学复习 专题 最短路径问题(36张ppt)
第5题图
课后精练 6．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°， ∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动 点，则BM＋MN的最小值是___2___.
第6题图
课后精练 7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的坐标分别为A(－1，0)，B(0，2)，C(3，2)，D(2，0)， 点P是AD边上的一个动点，若点A关于BP的对称点为A′， 则A′C的最小值为__________．
单击此处编辑母版标题样式
的最小值是( C )
A．3
B．4
第 3 题图 C．5 D．6
课后精练
4．如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为边 AD 上一个动点，连接 BE，取 BE 的中点 G，点 G 绕点 E 逆时针旋转 90°得到点 F，连接 CF，则△CEF 面积
的最小值是( B )
答案图
第 4 题图
【提示】如图，过点F作AD的垂线交AD 的延长线于点H；证明△FEH∽△EBA，
∴C(0，－k)，OC＝k.
∵点 P 在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP 为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB
或△ABC∽△PAB.
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB.
设 P(x，y)，过点 P 作 PN⊥x 轴于点 N，如图 1，
图1
则 ON＝x，PN＝y.
课堂精讲
中考·数学
2020版
第一部分 系统复习
专题11 最短路径问题
考点解读
最短路径问题在近三年成都中考中都占了重要地位， 都是在大题中结合题目的背景进行综合考查，重在考查 学生对知识应用能力．考查的基本类型有：线段和最小、 差最大、多条线段和最小、点到点的距离与点到直线距 离之和最小、多条线路上速度不同时的最短时间问题， 这些问题大多是利用数形结合、转化思想将问题转化为 两点间线段最短或者垂线段最短来加以解决.
课后精练 6．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°， ∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动 点，则BM＋MN的最小值是___2___.
第6题图
课后精练 7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的坐标分别为A(－1，0)，B(0，2)，C(3，2)，D(2，0)， 点P是AD边上的一个动点，若点A关于BP的对称点为A′， 则A′C的最小值为__________．
单击此处编辑母版标题样式
的最小值是( C )
A．3
B．4
第 3 题图 C．5 D．6
课后精练
4．如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为边 AD 上一个动点，连接 BE，取 BE 的中点 G，点 G 绕点 E 逆时针旋转 90°得到点 F，连接 CF，则△CEF 面积
的最小值是( B )
答案图
第 4 题图
【提示】如图，过点F作AD的垂线交AD 的延长线于点H；证明△FEH∽△EBA，
∴C(0，－k)，OC＝k.
∵点 P 在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP 为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB
或△ABC∽△PAB.
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB.
设 P(x，y)，过点 P 作 PN⊥x 轴于点 N，如图 1，
图1
则 ON＝x，PN＝y.
课堂精讲
中考·数学
2020版
第一部分 系统复习
专题11 最短路径问题
考点解读
最短路径问题在近三年成都中考中都占了重要地位， 都是在大题中结合题目的背景进行综合考查，重在考查 学生对知识应用能力．考查的基本类型有：线段和最小、 差最大、多条线段和最小、点到点的距离与点到直线距 离之和最小、多条线路上速度不同时的最短时间问题， 这些问题大多是利用数形结合、转化思想将问题转化为 两点间线段最短或者垂线段最短来加以解决.
人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课件(共27张PPT)
A∙ 请小组讨论证明这个结论吧！
A′
M′ a M
b
N′
N
∙B
13.4 最短路径问题
证明
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，
连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′， 即AM+NB+MN的值最小.
13.4 最短路径问题
解：∵点B 和 点C 关于直线 AD 对称， ∴BF = CF . 求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小. 连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最 小值. ∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点， ∴CE = AD = 5. ∴BF+EF的最小值为5.
路程最短？ C
A
D
A1
A C
C1 D1 E
E1 B B1
C1 B
解：如图，作 AA1⊥CD，且 AA1 = 河宽，作 BB1⊥CE，且 BB1 = 河宽， 连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1. 过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、 DD1，即为桥.
13.4 最短路径问题
13.4 最短路径问题
学习目标 1. 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 重点
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为
数学问题的思想. 难点
专题最短路径问题复习 ppt课件
13章：
2020/12/2
1
1.最短路径问题的类型
（一）两点一线型的线段和最小值问题；
①两点在直线异侧 ②两点在直线同侧
（二）两线一点型线段和最小值问题；
（三）两点两线型的线段和最小值问题；
(四)造桥选址问题. 2020/12/2
2 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
小河边去饮水，然后回家(即图中的小屋B). 问：马牵到小河边什么地方饮 水，然后回家所走的路程最短？请在图中画出河边马饮水的位置.
A'
C
2020/12/2
练习3. 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、
AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小
值为（ B ）
A．7.5
C
E F
∟
A
M
B
D
2020/12/2
16
知识点一：利用轴对称解决最短路径问题
典例讲评
两线两点型
某中学八(12)班举行文艺晚会， C 桌子摆成如图所示两直排(图中的AO， A
MO
BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面
C
N
上摆满了糖果，站在C处的学生小明先 拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上， 请你帮助他设计一条行走路线，使其所
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线 AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的 最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
2020/12/2
变式.如图，△ABC是等边三角形，高AD＝3，点E是AB上
2020/12/2
1
1.最短路径问题的类型
（一）两点一线型的线段和最小值问题；
①两点在直线异侧 ②两点在直线同侧
（二）两线一点型线段和最小值问题；
（三）两点两线型的线段和最小值问题；
(四)造桥选址问题. 2020/12/2
2 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
小河边去饮水，然后回家(即图中的小屋B). 问：马牵到小河边什么地方饮 水，然后回家所走的路程最短？请在图中画出河边马饮水的位置.
A'
C
2020/12/2
练习3. 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、
AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小
值为（ B ）
A．7.5
C
E F
∟
A
M
B
D
2020/12/2
16
知识点一：利用轴对称解决最短路径问题
典例讲评
两线两点型
某中学八(12)班举行文艺晚会， C 桌子摆成如图所示两直排(图中的AO， A
MO
BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面
C
N
上摆满了糖果，站在C处的学生小明先 拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上， 请你帮助他设计一条行走路线，使其所
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线 AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的 最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
2020/12/2
变式.如图，△ABC是等边三角形，高AD＝3，点E是AB上
人教版八年级数学上册教学课件-13.4 课题学习 最短路径问题24优秀课件PPT
B′
解题思路
5、推理论证′，连接AC′，B′C′，BC′.
根据轴对称的性质可知 BC=B′C，BC′=B′C′
∴AC+BC=AC+B′C=AB′ AC′+BC′=AC′+B′C′ 由△AB′C′三边关系可
知 A′B<AC′+B′C′
A
·
C′ C
B
·
l B′
人教版数学八年级上册
将军饮马问题
---13.4课题学习 最短路径问题1
B A
l
学习目标
1.能利用轴对称变换解决实际问题. 2.能利用作图解决生活中的轴对称问题. （作图建模）
学习重点：
路径极值问题的转换方法.
复习旧知
如图所示，点A、B分别是直线 l异侧 的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得 这个点到点A，点B的距离的和最短？
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
初中数学中考复习专题 最短路径问题 24张
A●
●
A' ●
P
B ● l
最短路径问题是初中阶段图论研究中的经典算 法问题，旨在寻找图（有结点和路径组成的）中两 结点之间的最短路径算法形式包括：
一、确定起点的最短路径问题
二、确定终点的最短路径问题
三、确定起点、终点的最短路径问题
四、全局最短路径问题
问题原型 “将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”
作B关于l 的对称点B ＇,作直线 A B＇与l 交点即为P
．
图形
原理
三角形任意两边 之差小于第三边 ︱PA-PB︱≤AB＇． ︱PA-PB︱最大值 ＝AB＇
问题12 “费马点”
作法
图形
原理
所求点为“费马点”，
既满足
△ABC中每一 内角都小于
∠APB=∠BPC=∠ APC=1200.以AB、
1200，在 △ABC内求一
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
长
问题9
作法
A
B l
在直线l上求一 点P，使︱PAPB︱的值最小
连AB， 作AB的 中垂线与 直线l的交 点即为P
AC为边向外作等边 △ABD、△ACE,连
点P，使
CD、BE相交于P，
PA+PB+PC最 点P即为所求点.
小．
两点之间 线段最
短.PA+PB+ PC最小值
=CD.
随堂练习一
如图,已知正方形ABCD，点M为BC边的中点，
●
A' ●
P
B ● l
最短路径问题是初中阶段图论研究中的经典算 法问题，旨在寻找图（有结点和路径组成的）中两 结点之间的最短路径算法形式包括：
一、确定起点的最短路径问题
二、确定终点的最短路径问题
三、确定起点、终点的最短路径问题
四、全局最短路径问题
问题原型 “将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”
作B关于l 的对称点B ＇,作直线 A B＇与l 交点即为P
．
图形
原理
三角形任意两边 之差小于第三边 ︱PA-PB︱≤AB＇． ︱PA-PB︱最大值 ＝AB＇
问题12 “费马点”
作法
图形
原理
所求点为“费马点”，
既满足
△ABC中每一 内角都小于
∠APB=∠BPC=∠ APC=1200.以AB、
1200，在 △ABC内求一
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
长
问题9
作法
A
B l
在直线l上求一 点P，使︱PAPB︱的值最小
连AB， 作AB的 中垂线与 直线l的交 点即为P
AC为边向外作等边 △ABD、△ACE,连
点P，使
CD、BE相交于P，
PA+PB+PC最 点P即为所求点.
小．
两点之间 线段最
短.PA+PB+ PC最小值
=CD.
随堂练习一
如图,已知正方形ABCD，点M为BC边的中点，
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M
C
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
随堂练习二
如图，点A、B位于直线L同侧，定长为a的线段
MN在直线L上滑动，请问当MN滑到何处时，折线
AMNB长度最短？
B1
●
●
●
M A1 ●
N
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
A●
●
A' ●
P
B ● l
最短路径问题是初中阶段图论研究中的经典算 法问题，旨在寻找图（有结点和路径组成的）中两 结点之间的最短路径算法形式包括：
一、确定起点的最短路径问题
二、确定终点的最短路径问题
三、确定起点、终点的最短路径问题
四、全局最短路径问题
问题原型 “将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”
问题10
作法
A
B
作直线
l AB,与直
在直线l上求一 线l的交点
点P，使︱PA- 即为P.
PB︱的值最大.
图形 图形
原理
垂直平分线上的 点到线段两端点 的距离相等． ︱PA-PB︱＝0．
原理
三角形任意两边 之差小于第三 边．︱PA-PB︱
≤AB． ︱PA-PB︱最大值 ＝AB
问题11
作法
A
l B
在直线l上求一 点P，使︱PAPB︱的值最大 ．
随堂练习三
2. 如图，点A、B位于直线L同侧，定长为a的 线段MN在直线L上滑动，请问当MN滑到何处时， 折线AMNB长度最短？
A1
●
●
●
M
N
●
A2
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
随堂练习四
如图，已知点P是直线x=1上的一动点，点A 的坐标为（0，－2），若△OPA的周长最小,试 在图中确定点P的位置.
作B关于l 的对称点B ＇,作直线 A B＇与l 交点即为P
．
图形
原理
三角形任意两边 之差小于第三边 ︱PA-PB︱≤AB＇． ︱PA-PB︱最大值 ＝AB＇
问题12 “费马点”
作法
图形
原理
所求点为“费马点”，
既满足
△ABC中每一 内角都小于
∠APB=∠BPC=∠ APC=1200.以AB、
1200，在 △ABC内求一
∵C(0,-5) ∴C′(0,5) ∴直线C′D为y=-7x+5
D(2,-9)
ME
x
AO
B
∴y=0 ， 即-7x+5=0 ∴m=5 ∕ 7
∴x=5 ∕ 7
C D
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
中考链接
如图，抛物线y=x2-4x-5与x轴交于A，B两点，与y
轴交于C点，且A（﹣1，0）．点M（m，0）是x轴上
的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值.
解：作点C关于x轴的对称点C′，连接C'D
y
交x轴于点M，此时MC＋MD的值最小．
C'
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
长
问题9
作法
A
B l
在直线l上求一 点P，使︱PAPB︱的值最小
连AB， 作AB的 中垂线与 直线l的交 点即为P
、N，使
交点即为M，N
△PMN的周
长最小
图形
原理
两点之间线段 最短．
PM+MN+PN 的最小值为 线段P＇P＂的
长
问题4
作法
l1
Q
P
l2
在直线l1、l2 上分别求点 M、N，使四 边形PQMN 的周长最小
分别作点Q 、P 关于直线l1、l2 的对称点Q＇和 P＇,连Q＇P＇ 与两直线交点
即为M，N
图形
原理
两点之间线段 最短．
四边形PQMN 周长的最小值
为线段 P＇Q＇的长
问题5“造桥 选址”
A
作法
M
m
n N
B
直线m∥n， 在m、n上分 别求点M、N ，使MN⊥m ，且
将点A向下平移 MN的长度单位 得A＇，连A＇ B，交n于点N
，过N作 NM⊥m于M
AM+MN+BN的
值最小．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AC为边向外作等边 △ABD、△ACE,连
点P，使
CD、BE相交于P，
PA+PB+PC最 点P即为所求点.
小．
两点之间 线段最
短.PA+PB+ PC最小值
=CD.
随堂练习一
如图,已知正方形ABCD，点M为BC边的中点，
P为对角线BD上的一动点，要使PM+PC的值最小，
请确定点P的位置.
A
D
P
P●
B
涉及知识
“两点之间线段最短”，“垂线段最短”， “三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、
出题背景 圆、坐标轴、抛物线等
解题思路 找对称点实现“折”转“直”.
问题1
A
作法
l
B
在直线l上求一 点P，使 PA+PB值最小
连AB与l 交点即为
P
图形
A
●
P
●
l
●
B
问题2“将军饮马” 作法
AM+MN+BN 的最小值为 A＂B+MN
问题7点A ，在l2上求点 B，使PA+AB 值最小．
作点P关于l1的 对称点P＇，作 P＇B⊥l2于B，
交l2于A．
图形
原理
点到直线，垂 线段最短．
PA+AB的最小 值为线段P＇B
的长
问题8
作法
N A
M
l1
l2 B
A为l1上一定 点，B为l2上 一定点，在l2 上求点M， 在l1上求点N ，使
A
B l
在直线l上求一 点P，使 PA+PB值最小
作B关于l 的对称点 B＇，连A B＇与l交 点即为P
图形
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
问题3
作法
l1
P
分别作点P关于
l2
两直线的对称
在直线l1、l2上 点P＇和P＂，连 分别求点M P＇P＂与两直线
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
O’
●
●
P
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
随堂练习五
如图，正方形的边长为2，E为AB的中点，P是 BD上一动点．连结AP、EP ，则AP+EP的最小值是
____5___；
P P
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
AM+MN+BN 的最小值为 A＇B+MN
问题6
作法
A
B 将点A向右平移
M a N l a个长度单位得
在直线l上求 两点M、N（ M在左），使
A＇，作A＇关 于l的对称点A＂ ， 连A＂B， 交直线l于点N
MN=a，并使 ，将N点向左平
AM+MN+NB的 移个单位得M
值最小．
图形
原理
两点之间线段 最短．