应用正交分解法解决简单的平衡问题
正交分解法求解合力和物体平衡问题
G
m g 解得： F cos sin
Fy N F sin mg 0
例题3：如图所示，质量为m的物体在倾角为θ的粗糙 斜面下匀速下滑，求物体与斜面间的滑动摩擦因数。
θ
解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力 4、别写出x、y方向的方程 5、根据方程求解
练习一：如图所示，质量为m的光滑小球放在倾角为 θ的斜面上被挡板挡住，求斜面对小球的弹力及挡板 对小球的弹力。
θ
解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力 4、别写出x、y方向的方程 5、根据方程求解
练习二：如图所示，质量为m的物体在与竖直方向成 θ角的恒力F作用下沿粗糙墙面向上匀速运动，求物 体与墙壁间的动摩擦因数。
Fx F1x F 2 x F3x 0
Fy F1y F 2 y F3 y 0
5、根据方程求解。
例题3：如图所示，质量为m的物体在倾角为θ的粗糙 斜面下匀速下滑，求物体与斜面间的滑动摩擦因数。
y
∵物体匀速运动，合外力为零 由x方向合外力为零，有：
f
N
Fx mg sin N 0
由y方向合外力为零，有：
x
θ
mg
Fy N mgcos 0
解得：
sin tan cos
F合 F x Fy
2 2
y
F1y F2y
F2
F2X
F1
F3x
F1x
O
F3y
x
F3 y
F合
Fy
tan
Fy Fx
O
Fx
x
1、目的： 把复杂的矢量运算化为普通的代数运算，将 力的合成化简为同向或反向或垂直方向。便于运 用普通代数运算公式来解决矢量的运算。
正交分解解决平衡问题
正交分解法解决平衡问题
例题：如图一物块的质量5Kg ，受水平拉力F=20N 作用下在粗糙的水平面上匀速直线运动求摩擦因数u 是多少？
变式：上题中水平拉力与改为与水平方向成37°角的拉力，问物体做匀速直线运动拉力应该多大 ？
例题：如图一质量为5 Kg 的物块，在倾角为37°的斜面上匀速下滑，求摩擦因数u
变式：（1）上题中用沿斜面向上的拉力F ，使物体匀速上滑求F
变式：（2）一质量为5 Kg 的物块，在倾角为37°的斜面上，在沿斜面向上的拉力F 作用下沿斜面下滑，物体与斜面的摩擦因数为0.2，求F
变式：（3）一质量为5 Kg 的物块，在倾角为37°的斜面上，物体与斜面的摩擦因数为0.2，用水平推力F 作用下沿斜面匀速上滑，求F
变式：（4）一质量为5 Kg 的物块，在倾角为37°的斜面上，物体与斜面的摩擦因数为0.2，用水平推力F 作用下沿斜面匀速下滑，求F
练习：1、如图所示，物体重G=100N ，并保持静止．绳子AC 与BC 分别与竖直方向成30°角和60°角，则绳子AC 和BC 的拉力分别为多大?
2、如图所示，绿妹将重10N 的气球用细绳拴在水平地面上，空气对其的浮力为16N ．由于受到水平方向的风力的影响，系气球的绳子与水平方向成 =60°角．由此可知，绳子的拉力和水平方向的风力分别为多大?
3、如图，位于水平地面上的质量为M 的小木块，在大小为F 、方向与水平方向成a 角的拉力作用下沿地面作匀速直线运动。
求： （1） 地面对物体的支持力？ （2） 木块与地面之间的动摩擦因数？。
正交分解法解决平衡问题
正交分解法解决平衡问题一、解题思路1、先对物体进行受力分析2、建立直角坐标系，把不在坐标轴上的力分解在坐标轴上，（简单原则：让尽量多的力在轴上）3、根据平衡条件，在x轴上和y轴上分别列出两个等式，并联立解出等式。
二、例题例1：如图所示，一质量为m的物体恰好能沿倾角为θ的斜面匀速下滑，求：（1）物体与斜面间的压力；（2）物体与斜面间的动摩擦因数，并说明它与物体质量m的关系。
例2：如图所示，半圆柱固定在水平面上，质量为m的物块静置于圆柱体上的A处，O为横截面的圆心，OB为竖直的半径，∠BOA=300，求圆柱体对物块的支持力和摩擦力。
例3：如图所示，一质量为m，横截面为直角三角形的斜劈ABC，AB边靠在竖直墙面上。
F是垂直于斜面的推力。
（1）现物块静止不动。
斜劈受到的摩擦力大小为多大？（2）若斜劈与墙壁之间的动摩擦因数为u，要使斜劈匀速下滑，则F为多大？【作业】：1、如图所示，一个质量为10kg的物体，在沿斜面方向推力的作用下，沿斜面向上匀速运动。
已知斜面倾角为370，物体与斜面间的动摩擦因数为0.2。
（已知sin370=0.6，cos370=0.8，g取10m/s2）。
求推力的大小。
2、如图所示，重500N的物体在与水平方向成300的拉力F作用下，向右匀速运动，物体与地面之间的动摩擦因数u=0.2。
求：（1）物体与地面之间的压力；（2）拉力F的大小。
3、如图所示，质量为4kg的物体与竖直墙面间的动摩擦因数为0.2，它在受到与水平方向成370角斜向上的推力F作用时，沿竖直墙面匀速上滑。
（已知sin370=0.6，cos370=0.8，g取10m/s2）。
求：（1）物体与竖直墙面之间的压力；（2）推力F。
正交分解法解共点力平衡
正交分解法解共点力平衡
共点力平衡，是物理学中比较常见的问题之一，解决这个问题需
要用到正交分解法。
正交分解法，顾名思义就是将问题拆解成正交方向上的分量，然
后再分别计算解决。
在共点力平衡问题中，我们需要寻找一个共点力的平衡点。
首先，需要用向量表示每个力的作用方向和大小。
然后，将这些向量按照一
个参考方向分解成正交方向的分量，得到每个力在横向和纵向的分量值。
接下来，我们需要利用正交性的特点，即每个方向上的分量彼此
独立，通过分别计算各自的合力，来找到平衡点。
在计算过程中，很可能遇到一些重叠或者冲突的力，这时候需要
利用向量的几何加法和减法来得到新的合力向量。
然后再将新的合力
向量重新分解成正交方向上的分量，得到新的合力大小和方向。
通过这样的分解、计算、重组的过程，我们可以准确、高效地解
决共点力平衡问题。
需要注意的是，正交分解法虽然具有很强的应用性，但也需要一
定的数学基础和实践经验，才能更好地理解和应用。
因此，我们建议
学习者在学习过程中，注重理论知识的掌握，同时也需要多尝试一些
具体的实例，以便更好地掌握分解和计算的技巧。
总之，正交分解法是解决共点力平衡问题的重要方法，也是学习物理学的重要内容之一。
通过深入学习和实践，我们可以更好地掌握这个方法，解决更多的物理问题。
正交分解法分析平衡问题
正交分解法分析平衡问题一、知识准备：1、共点力：物体所受的力的作用在同一点上，或者力的作用线交于同一点，这样的一组力称为共点力。
2、正交分解：将物体所受的力在互相垂直（正交）的方向上进行分解，这样的分解方法称为正交分解法。
正交分解法得到的分力互相垂直。
3、解题方法（1）当物体在两个共点力作用下平衡时，这两个力一定等值反向；（2）当物体在三个共点力作用下平衡时，任意两个力的合力一定和第三个力等值反向，往往采用平行四边形定则或三角形定则；（3）当物体在四个或四个以上共点力作用下平衡时，往往采用正交分解法。
①首先建立平面直角坐标系，并确定正方向．建立坐标系时以使尽可能多的力落在坐标轴上为原则.②把各个力向x轴、y轴上投影（分解），但应注意的是：与确定的正方向相同的力为正，与确定的正方向相反的为负，这样，就用正、负号表示了被正交分解的力的分力的方向．③求在轴上的各分力的代数和F x合和在y轴上的各分力的代数和F y合．④求合力的大小F2＝F y合2+F x合2合力的方向：tana＝F y合/ F x合(a为合力F与x轴的夹角)．二、例题：例题1、一质量为2kg的铁块静止在水平地面上，现对铁块施加一个斜向左下方的推力，方向与水平线成30º角，大小为10N，铁块仍静止，试求铁块所受的摩擦力和地面支持力的大小。
（g=10m/s2）例题2、如图所示，细绳CO与竖直方向成30°角，A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连，已知物体B所受到的重力为100N，地面对物体B的支持力为80N，试求（1）物体A所受到的重力；（2）物体B与地面间的摩擦力；（3）细绳CO受到的拉力。
例题3、如图，一木块质量为m，放在倾角为θ的固定斜面上，木块与斜面间的动摩擦因数为μ．当用水平方向的力F推这木块时，木块沿斜面匀速上升，则此水平推力多大？例题4、一质量为1kg的铁块静止在倾角为37º的斜面上，试用正交分解法求铁块所受到的支持力和摩擦力。
教科版物理一第四章物体的平衡7应用正交分解法解平衡问题(讲义)
二、重难点提示重点：利用正交分解法解决多力平稳问题。
难点：灵活建立正交坐标系。
例题1 如下图所示，质量为M 的斜面体A 置于粗糙水平面上，用轻绳拴住质量为m 的小球B 置于斜面上，整个系统处于静止状态。
已知斜面倾角θ＝30°，轻绳与斜面平行且另一端固定在竖直墙面上，不计小球与斜面间的摩擦，则（ ）A. 斜面体对小球的作用力大小为mgB. 轻绳对小球的作用力大小为21mgC. 斜面体对水平面的压力大小为（M ＋m ）gD. 斜面体与水平面间的摩擦力大小为43mg 思路分析：以小球为研究对象，对其受力分析如图所示。
因小球保持静止，因此由共点力的平稳条件可得：mgsin θ－FT ＝0 ① FN －mgcos θ＝0 ②由①②两式可得 FT ＝mgsin θ＝21mg FN ＝mgcos θ＝23mg 即轻绳对小球的作用力（拉力）为21mg ，斜面对小球的作用力（支持力）为23mg ，故A 错误，B 正确。
把小球和斜面体作为一个整体进行研究，其受重力（M ＋m ）g ，水平面的支持力FN ′、摩擦力Ff 以及轻绳的拉力FT 。
受力情形如图所示，因为研究对象处于静止状态，因此由平稳条件可得：Ff －FTcos θ＝0③ FN ′＋FTsin θ－（M ＋m ）g ＝0④联立①③④式可得：FN ′＝Mg ＋43mg ，Ff ＝43mg 由牛顿第三定律可知，斜面体对水平面的压力为Mg ＋43mg ，C 错误，D 正确。
答案：BD例题2 重为G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F ，使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？思路分析：木块在运动过程中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使作用力F 斜向上，设当F 斜向上与水平方向的夹角为α时，F 的值最小，木块受力分析如图所示，由平稳条件可知：Fcos α－μFN ＝0，Fsin α＋FN －G ＝0解上述二式得：αμαμsin cos +=GF令tan φ＝μ，则2211cos ,1sin μϕμμϕ+=+= 可得)cos(1sin cos 2ϕαμμαμαμ-+=+=GG F 可见当α＝φ时，F 有最小值，即Fmin ＝21μμ+G答案：21μμ+G与水平方向成α角且tan α＝μ。
求解共点力平衡问题的十一种方法(附详细答案)
求解共点力平衡问题的十一种方法(附详细答案)求解共点力平衡问题的方法共点力平衡问题是高考中的热点，涉及多方面的数学和物理知识，对于刚入学的高一新生来说是一大难点。
以下介绍几种解决共点力平衡问题的方法。
1.力的合成法当物体在三个共点力的作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反。
例如，如图所示，质量为m的物体悬挂在轻质支架上，斜梁OB与竖直方向的夹角为θ（A、B点可以自由转动）。
设水平横梁OA和斜梁OB作用于O点的弹力分别为F1和F2，则正确的结果是F1=mgsinθ，F2=mgcosθ。
2.力的分解法在实际问题中，一般根据力产生的实际作用效果分解。
例如，如图所示，在倾角为θ的斜面上，放一质量为m的光滑小球，球被竖直的木板挡住，则球对挡板的压力和球对斜面的压力分别是多少？3.正交分解法解多个共点力作用下物体平衡问题的方法，常用正交分解法列平衡方程求解。
为方便计算，建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则。
例如，如图所示，重力为500N的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200N的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止。
不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。
4.相似三角形法根据平衡条件并结合力的合成与分解的方法，把三个平衡力转化为三角形的三条边，利用力的三角形与空间的三角形的相似规律求解。
5.其他方法例如，如图所示，固定在水平面上的光滑半球半径为R，球心的正上方C处固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球置于半球面上A点，另一端绕过定滑轮，缓慢地拉向B点，则此过程中小球对半球的压力大小FN、细线的拉力大小FT的变化情况是FN不变、FT变小。
6.长度问题例如，如图所示，两根长度相等的轻绳下端悬挂一质量为m物体，上端分别固定在天花板M、N两点，M、N之间距离为S。
已知两绳所能承受的最大拉力均为T，则每根绳长度不得短于S/√2.五、用图解法处理动态平衡问题三角形法是一种处理物体平衡问题的方法，适用于受三力作用而平衡的物体。
5共点力的平衡——正交分解法解题
用三根细线a、b、c将重力均为G的两个小球1和2连接，并悬挂如 图所示。两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细 线c水平。求: (1)细线a、c分别对小球1和2的拉力大小; (2)细线b对小球2的拉力大小。
如图，重力为G的木块，恰好能沿倾角为θ的斜面匀速下滑，那 么要将木块沿斜面匀速向上推，必须加多大的水平推力F?
如图所示，某人用轻绳牵住一只质量m＝0.6 kg的氢气球，因受 水平风力的作用，系氢气球的轻绳与水平方向成37°角。已知 空气对气球的浮力为15 N，人的质量M＝50 kg，且人受的浮力 忽略不计(g=10 N/kg，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。‘’求： (1)水平风力的大小； (2)人对地面的压力大小； (3)若水平风力增强，人对地面的压力 如何变化？(要求说明理由)
共点力平衡 正交分解法解题
某幼儿园要在空地上做一个滑梯，根据空地的大小，滑梯与水平方向夹 角为θ，要使重为G的小孩从滑梯上能匀速下滑，求此时滑梯对小孩子的 支持力及摩擦力大小。
在我国东北寒冷的冬季，狗拉雪橇是人们出行的常见交通工具，如图 所示，一质量为30 kg的小孩坐在10.6 kg的钢制滑板的雪橇上，狗用与 水平方向成37°斜向上的拉力拉雪橇，雪橇与冰道间的动摩擦因数为 0.02，求狗要用多大的力才能够拉雪橇匀速前进。(取sin 37°＝0.6，
cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)
解：对小孩和雪橇整体受力分析如图所示，雪橇匀速运
动时有
竖直方向：(M＋m)g＝F N＋Fsin 37° ①
水平方向：Fcos 37°＝f
②
又f＝μFN
③
由①②③得：
狗拉雪橇匀速前进要用力为F＝10 N
变式：一个质量为500 kg的箱子，在平行于斜面的拉力F作用 下，沿倾角为30°的斜面匀速ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上运动。已知箱子与斜面间的 动摩擦因数为0.3，拉力F是多少?
1轮复习：第二章第6课时 正交分解法在平衡问题中的应用.
【例2】重为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲 用最小的作用力F使木块做匀速运动，则
此最小作用力的大小和方向应如何？
G 1 2 与水平方向成α角且tan α＝μ
Op’p；’ 解析 木块在运动过程中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使作用力F斜向上，
设当F斜向上与水平方向的夹角为α时，F的值最小．木块受力分析如图所示，由平
（2016黑龙江大庆一中模拟）重为G1=8N的物体悬挂在绳PA和PB的结点上。PA偏 离竖直方向370角，PB在水平方向，连接着另一个重为G2=100N的木块，木块静止 于倾角为370的斜面上，如图所示，(已知sin 370=0.6，cos370=0.8，重力加速度g取 10 m/s2)。试求： (1)绳PA和PB所受的拉力； (2)木块受到的斜面作用的弹力和摩擦力。
正交分解法解共点力平衡
正交分解法解共点力平衡引言在物理学中，力学是一个重要的领域，它研究物体在受力下的运动和平衡。
平衡是物体所受力的总和为零时的状态。
在某些情况下，多个力作用在一个点上，这就是共点力的问题。
为了解决这个问题，正交分解法是一种常用的方法。
本文将介绍正交分解法的原理及其在解共点力平衡问题中的应用。
正交分解法正交分解法是一种将一个力分解为多个互相垂直的分力的方法。
它基于向量分解的原理，通过将力分解为水平和垂直两个方向上的分力，简化了问题的求解过程。
原理正交分解法的原理基于三角函数的性质。
我们可以将一个力F分解为水平方向的分力Fx和垂直方向的分力Fy。
通过三角函数的定义，我们可以得到以下关系：Fx = F * cosθ Fy = F * sinθ其中，θ是力F与水平方向之间的夹角。
应用步骤正交分解法的应用步骤如下：1.画出力的示意图，并标注力的方向和大小。
2.根据示意图确定力与水平方向之间的夹角θ。
3.使用三角函数计算水平方向和垂直方向上的分力Fx和Fy。
4.根据得到的分力，进行进一步的计算，如求和或比较大小。
优点和局限性正交分解法的优点在于它简化了问题的求解过程，并且能够将复杂的共点力问题转化为简单的分力问题。
它使得物理问题的解决更加直观和易于理解。
然而，正交分解法也有一些局限性。
首先，它只适用于共点力的问题，对于其他类型的力的平衡问题并不适用。
其次，它只能解决平衡问题，对于动力学问题并不适用。
解共点力平衡问题在解共点力平衡问题时，我们可以通过正交分解法将复杂的共点力问题转化为简单的分力问题。
下面通过一个例子来说明如何使用正交分解法解共点力平衡问题。
问题描述有一个物体在平面上受到三个力的作用，这三个力分别是F1=10N，F2=15N和F3=20N。
角度a1=30°，a2=45°和a3=60°。
我们需要求解物体是否处于平衡状态，如果不平衡，计算物体沿哪个方向运动。
解决步骤1.画出力的示意图。
《正交分解法解平衡问题(1)》作业.doc
《正交分解法解平衡问题（1）》班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________ 1．正交分解法F x=F y=2.常见三角函数值sin30°= sin37°= sin45°= sin53°= sin60°= cos30°= cos37°= cos45°= cos53°= cos60°= 3．静态平衡问题的解题“四步骤”4．绳悬重物问题5．铰链三角形支架受力特点1．(多选)如图6所示，电灯的重力G＝10 N，AO绳与顶板间的夹角为45°，BO绳水平，AO绳的拉力为F A，BO绳的拉力为F B，则()A．F A＝10 2 N B．F A＝10 N C．F B＝10 2 N D．F B＝10 N2．（2012广东卷）如图所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角都为45°，日光灯保持水平，所受重力为G，左右两绳的拉力大小分别为( )A．G和G B.22G和22G C.12G和32G D.12G和12G3．(04广东)用三根轻绳将质量为m 的物块悬挂在空中,如图所示.已知ac 和bc 与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac 绳和bc 绳中的拉力分别为（ ）A．1,2mg B．12mg C．1,42mg mg D．1,24mg mg4．如图所示，能承受最大拉力为10 N 的细线OA 与竖直方向成45°角，能承受最大拉力为5 N 的细线OB 水平，细线OC 能承受足够大的拉力，为使OA 、OB 均不被拉断，OC 下端所悬挂物体的最大重力是( ) A ．10 2 N B ．10 N C ．5 2 N D ．5 N5．（多选）如图10所示，小球a 的质量为小球b 质量的一半，分别与轻弹簧A 、B 和轻绳相连接并处于平衡状态。
正交分解法解平衡问题
正交分解法解平衡问题正交分解法是一种解决平衡问题的有效方法，通过对平衡方程进行分解，不仅可以解决平衡问题，还可以得到每个物质在平衡状态下的摩尔数。
下面分步骤阐述正交分解法解平衡问题的过程：第一步，写出平衡方程式，并确认反应物和生成物，并进行计数。
例如，对于以下平衡反应：$$3\text{H}_2 + \text{N}_2 \leftrightarrow 2\text{NH}_3$$反应物为3个H2和一个N2，生成物为2个NH3。
第二步，定义正交基。
将反应物和生成物的物质数写成向量的形式，定义这些向量为正交基。
对于上述反应，正交基为：$$\begin{aligned}\vec{a}_1 &= \begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix},\quad\vec{a}_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\quad\vec{a}_3 = \begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}\\\vec{b}_1 &= \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\quad\vec{b}_2 = \begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix},\quad\vec{b}_3 = \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\end{aligned}$$其中，$\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$表示反应物，$\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3$表示生成物。
每个向量的元素表示一个元素的摩尔数。
第三步，将平衡方程式转化为点乘形式。
对于每个反应物和生成物，计算它们与正交基的点乘积，得到反应物和生成物在正交基下的表示：$$\begin{aligned}\vec{a} &= 3\vec{a}_1 + 1\vec{a}_2 + 0\vec{a}_3\\\vec{b} &= 0\vec{b}_1 + 0\vec{b}_2 + 2\vec{b}_3\end{aligned}$$这个表示方法描述了反应物和生成物在正交基下的线性组合，称之为正交分解。
正交分解法解平衡问题(2).doc
正交分解法解平衡问题（2）班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一1． 共点力的平衡——水平面模型1． （多选）(2017·江阴二中月考)如图所示，一根轻绳跨过定滑轮将物体A 、B 连接在一起，A 、B 均处于静止状态．已知两物体质量分别为m A 和m B ，绳与水平方向的夹角为θ，不计滑轮和绳的质量及其摩擦，则：物体B 受水平地面对它的支持力大小及摩擦力大小为（ ）A ．支持力大小为mB g －m A g B ．支持力大小为：m B g －m A g sin θC ．摩擦力大小为m B g cos θD ．摩擦力大小为：m A g cos θ2． 如图所示，质量为m 的物体置于水平地面上，受到一个与水平面方向成α角的拉力F 作用，恰好作匀速直线运动，则物体与水平面间的动摩擦因数为（ ）A ．Fcosα/（mg －Fsinα）B ．Fsinα/（mg －Fsinα）C ．（mg －Fsinα）/FcosαD ．Fcosα/mg3． （09·浙江·14）如图所示，质量为m 的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上。
已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为（ ）A ．23mg 和21mgB ．21mg 和23mgC ．21mg 和21μmgD ．23mg 和23μmg4． （09·北京·18）如图所示，将质量为m 的滑块放在倾角为θ的固定斜面上。
滑块与斜面之间的动摩擦因数为μ。
若滑块与斜面之间的最大静摩擦力合滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g ，则（ ）A ．将滑块由静止释放，如果μ＞tanθ，滑块将下滑B ．给滑块沿斜面向下的初速度，如果μ＜tanθ，滑块将减速下滑C ．用平行于斜面向上的力拉滑块向上匀速滑动，如果μ=tanθ，拉力大小应是2mgsinθD ．用平行于斜面向下的力拉滑块向下匀速滑动，如果μ=tanθ，拉力大小应是mgsinθ 5． 如图所示，与水平面夹角为30°的固定斜面上有一质量m ＝1.0 kg 的物体。
正交分解
【典型例题】题型1 共点力平衡问题的基本解法例1. 如图（1）所示，一个重力G 的物体在两条细绳的悬吊下处于静止状态，细绳AC 与竖直方向的夹角，细绳BC 与竖直方向的夹角为，则细绳AC 、BC 对重物的拉力、分别是多大？（1） （2）解析：解法一：分解法：如图（2）所示，因为重力的作用效果是对两绳AC 、BC 产生了拉伸的力、，沿AC 、BC 两绳的方向将重力分解，由图中的几何关系可得到：，，又因为与是一对平衡力，故，并且与也是一对平衡力，故。
解法二：合成法。
分析重物G 的受力情况，如图（3）所示，由三力平衡的条件可得知、的合力必然是重力G 的平衡力，即与G 必然是等值而反向，则，又由图中的几何关系可得：AC 绳对重物的拉力，BC 绳对重物的拉力。
（3）（4） 解法三：正交分解法。
如图（4）所示，选拉力和的方向分别为二个坐标轴的方向，由共点力的平衡可得：，则得，，则得。
解法四：拉密定理法。
由拉密定理可知，物体在三个共点力作用下，如果处于平衡状态，则其中各力的大小分别与另外两力之间的夹角的正弦值成正比。
故得：，解上式可得：，。
︒=601θ︒=302θ1T F 2TF 1T F 2T F ︒==30sin G sin G G 21θ2/G =2/G 330cos G cos G G 22=︒==θ1T F 1G 2/G G F 1T 1==2T F 2G 2/G 3G F 2T 2==1T F 2T FT F T F G F T =2/G 30sin G sin G F 2T 1=︒==θ2/G 330sin G cos G F 2T 2=︒==θ1T F 2T F 030sin G F 1T =︒-2/G 30sin G F 1T =︒=030cos G F 2T =︒-2/G 330cos G F 2T =︒=︒=︒=︒90sin G120sin F 150sin F 21T T 2/G F 1T =2/G 3T 2T =例2. 如图（a ）所示，OA 为一遵从胡克定律的橡皮条，其一端固定在天花板上的O 点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A 相连，当绳处在竖直位置时，滑块A 对地面有压力作用，B 为紧靠绳的光滑水平小钉，它到天花板的距离OB 等于弹性橡皮条的自然长度，现用一水平力F 作用于A ，使之向右做直线运动，在运动过程中（在弹性限度内）作用于A 的摩擦力应（a ） （b ）A. 逐渐增大B. 逐渐减小C. 保持不变D. 先增大后减小解析：A 在运动中受滑动摩擦力、重力mg 、水平拉力F 、绳拉力及地面对A 的支持力的作用（见图（b ）），设绳与竖直方向成角，建立直角坐标系，在竖直方向合力为零，即，又因为（为伸长量），由图可知，，所以是个不变的量，即地面对物体的支持力始终不变，由可知，不变，选择选项C 。
用正交分解法求解力学平衡问题
用正交分解法求解力学平衡问题
F合=0的正交分解形式：x轴的合力F x=且y轴的合力F y=
以下平衡问题有的有多种方法，本次练习请一律采用正交分解法
例1：已知：m A=1kg，给A一个初速度后，A可以在斜面上沿着斜面匀速向下滑动，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
1）A受到的摩擦力f大小和支持力F N大小
2）现在给A施加一个沿着斜面向上的拉力，使得A能够沿着斜面向上做匀速直线运动。
求这个拉力的大小
小结1：利用正交分解法解决平衡问题的基本步骤
1）明确研究对象，并对研究对象进行
2）适当建立（不在坐标轴上的力正交分解到轴和轴上）
3）列出F合=0的表达式：
4）解方程（必要时对结果进行讨论）
课堂练习：物体在F=10N的推力作用下在水平地面上匀速直线运动，推力F与水平面的夹角α=37°，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8
求：物体受到的摩擦力和支持力
小结2：在解决平衡问题的列式方法中，
对于三个力的平衡问题，可以考虑用力平衡的三角法列式，也可以考虑用正交分解法列式对于四个力或四个力以上的平衡问题，一般采用正交分解法列式
练习：质量为30kg的小孩坐在10kg的雪橇上，大人用与水平方向成37°斜向上的大小为100N的拉力F拉雪橇，使雪橇沿水平地面作匀速运动，(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，求：
(1)雪橇对地面的压力大小
（提示：后面会学到“雪橇受到的支持力大小等于雪橇对地面的压力”）；
(2)雪橇与水平地面的动摩擦因数的大小。
正交分解法解平衡问题(2).doc(答案)
正交分解法解平衡问题（2）（参考答案）一、知识清单1． 【答案】2． 【答案】3． 【答案】4． 【答案】 二、选择题5． 【答案】BD【解析】对A 、B 分别用隔离法分析有：对A ：F T ＝m A g对B ：F T cos θ＝F fF T sin θ＋F N ＝m B g联立解可得：F N ＝m B g －m A g sin θF f ＝m A g cos θ故选项B 、D 正确．6． 【答案】A7． 【答案】A8． 【答案】C 【解析】A 、B 对斜面上的滑块受力分析，要使物块沿斜面下滑，则mgsin θ＞μmgcos θ，故μ＜tan θ，故AB 错误；C 、若要使物块在平行于斜面向上的拉力F 的作用下沿斜面匀速上滑，由平衡条件有：F-mgsin θ-μmgcos θ=0故F=mgsin θ+μmgcos θ，若μ=tan θ，则mgsin θ=μmgcos θ，即F=2mgsin θ．故C 正确；D 、若要使物块在平行于斜面向下的拉力F 作用下沿斜面向下匀速滑动，由平衡条件有：F+mgsin θ-μmgcos θ=0有μ=tan θ则 F=0，故D 错误．故选C9． 【答案】 A【解析】 物体的重力沿斜面方向的分力大小和绳子的拉力相等，所以斜面对物体的摩擦力大小为零，选项A 正确，B 错误；斜面对物体的支持力F N ＝mg cos 30°＝4.9 3 N ，方向垂直斜面向上，选项C 、D 错误。
10．【答案】CD【解析】当物体向上匀速滑动时，对m 进行受力分析并正交分解，如图所示．则有F cos θ＝mg ＋F fF sin θ＝F N ，F f ＝μF N解得F ＝mg cos θ－μsin θ，选项C 正确． 当物体向下匀速滑动时，摩擦力F f 向上，同理可得F ＝mg cos θ＋μsin θ，选项D 正确．11．【答案】C【解析】对物体受力分析如图所示，由平衡条件可得f=Mg+Fsinθ，所以C正确ABD错误．故选C12．【答案】C【解析】小鸟沿着较粗且均匀的树枝从右向左缓慢爬行，属于平衡状态，树枝对小鸟的作用力等于小鸟重力，一直不变，选项A错误；树枝对小鸟的摩擦力等于小鸟的重力沿树枝切线方向的分力，先减小后增大，选项B 错误；树枝对小鸟的弹力等于小鸟的重力垂直树枝方向的分力，先增大后减小，选项C正确，D错误。
正交分解法解平衡问题【参考借鉴】
正交分解法解平衡问题1.熟记特殊角的三角函数值．(提示：tan θ= sin θ/cos θ)sin30°＝_______，cos30°＝______，tan30°＝______，sin45°＝_______，cos45°＝______，tan45°＝______，sin60°＝_______，cos60°＝______，tan60°＝______，sin37°＝ ，cos37°＝ ，tan37°＝ ，2. 运用正交分解法解题步骤㈠以力的作用点为原点作直角坐标系，标出x 轴和y 轴，如果这时物体处于平衡状态，则两轴的方向可根据自己需要选择，如果力不平衡而产生加速度，则x 轴（或y 轴）一定要和加速度的方向重合；㈡将与坐标轴成角度的力分解成x 轴和y 轴方向的两个分力，并在图上标明，用符号F x 和F y 表示；㈢在图上标出与x 轴或与y 轴的夹角，然后列出F x 、F y 的数学表达式。
如：F 与x 轴夹角分别为θ，则θθsin ;cos F F F F y x ==。
与两轴重合的力就不需要分解了；㈣列出x 轴方向上和各分力的合力和y 轴方向上的各分力的合力的两个方程，然后再求解。
1 重量G=100N 的物体置于水平面上，给物体施加一个与水平方向成θ=37°的拉力F ，F=20N ，物体仍处于静止状态，求地面对物体的静摩擦力；地面对物体的支持力。
2．一个氢气球重为10N ，所受的空气浮力的大小为16N ，用一根轻绳拴住．由于受水平风力的作用，气球稳定时，轻绳与地面成53°角，如图所示．求：(1)绳的拉力为多大?(2)汽球所受水平风力为多大?3.如图所示，物P 的重量为G ＝2.50N ，与P 相连的弹簧劲度系数k ＝120N/m ，在大小为102N ，方向与水平面成θ＝45°的推力F 作用下，将弹簧压缩△x=5.0cm 后静止，求：(1)地面对P 的支持力为多少?(2)这时地面对P 的摩擦力为多少?4.如图所示，重20N 的物体在沿斜面向上的推力作用下匀速上滑，0.5，斜面的倾角为370，求推力大小5.如图所示，某同学拉动一个重为130牛的箱子匀速前进，已知箱子与地面的动摩擦因数0.4，拉力与水平面的夹角为37°，问绳子的拉力为多大？6．如图所示，质量为0.2千克的物体在与竖直方向成37°角的推力F 作用下，沿竖直墙壁向上匀速运动。
正交分解法在共点力平衡问题中的应用
第二 步 ， 对 研 究 对 象进 行 状 态 分 析 和 受 力 分析 ， 并将力 的示 意 图作 出来 ．
图 １
第三步 ， 根据画出的示意图， 把不在 、 Ｙ 轴上 的力 沿 、 Ｙ方 向分 解 ， 求 出各 分 量 ， 凡跟 Ｙ轴方 向一 致 的 为 正 ； 凡 与 、 Ｙ轴 反 向 的
（ ２ ）要使 物 体 匀速 下 滑 ， 推 力 Ｆ的 方 向 将 力 ，分解 为 和 Ｆ ｙ ． 由共 点 力平衡 条 件 ， 不 变时 ， 其 大小应 变 为 多大？
解析
Ｊ
（ １ ）物体静
—
¨ｌ
＿ — —
４ Ｆｃ ｏ ｓ ６ ０。一Ｇ ：０
一
止 时受 到 四个 力 的作 用 ， 重 － － 力 Ｇ， 墙壁 弹力 Ⅳ， 静摩擦 力 ，以及 推 力 Ｆ， 建 立 坐 标 系
果沿水 平方 向建立 轴 ， 竖直 方 向建立 Ｙ轴 ，
解 得 Ｎ＝Ｇ
问题 的解 决会 简便 很 多 ， 如图 １ 所示 ， 请 记住
这个结 论．
根 据牛顿 第三 定律 ， 斜 面 所受 的压 力 Ⅳ 大小也 为 Ｇ， 方 向垂 直 于斜面 向下． 二、 应 用正 交分解 法 求解 的 步骤 第 一步 ， 确定研 究对 象 ， 建 立平 面直 角 坐
， ＋Ｆｃ ｏ ｓ ０一 Ｇｓ ｉ ｎ ０ ＝０
放 置在 水平 面 或 竖 直 面 内 的 物体 ， 通 常
沿水平 方 向建立 轴 ， 竖 直方 向建 立 Ｙ轴 ； 放
置在斜面内的物体， 沿斜面方向建立 轴 ， 在
垂直 于斜 面的方 向上 建 立 Ｙ轴 ； 当 我 们 遇 到
， ，
、
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1、正交分解法：把力沿两个选定的互相(垂直) 的方向进行分解的方法叫正交分解法。
y
FyoΒιβλιοθήκη F α FxxFX= Fcosα Fy= Fsinα
2、平衡状态：一个物体在共点力作用下，保持 ( 静止 )或( 匀速直线运动 )状态叫平衡状态。 平衡条件：( F合=0 ) （F合x=0 F合y=0）
Fx F1x F 2 x F3x 0
Fy F1y F 2 y F3 y 0
4、根据方程求解。
水平面的平衡问题
变式1：小孩用与水平地面成的推力斜向下推着大纸 箱在水平地面上匀速运动，推力F多大？
斜面的平衡问题
变式2：要使纸箱沿木板向上匀速运动，应沿斜面向 上施加一个多大的推力F？（已知木板的与水平面的 夹角为 ）
水平面的平衡问题
例：老师在商场买了一台电视（用大纸箱包装）， 我把大纸箱（纸箱和电视的重力为G）用一根绳子沿 与水平地面成的斜向上的拉力拉着大纸箱，使大纸 箱在水平地面上匀速运动，已知纸箱与地面的动摩 擦因数为μ ，拉力F多大？
应用力的正交分解解决简单的平衡问题的步骤
1、选取研究对象。 2、画出物体的受力图。 3、物体平衡时各方向上合力为零,分别写出x 方向 和y 方向方程。
斜平面的平衡问题
变式3：要使物体沿木板向上匀速运动，应沿水平方 向上施加一个多大的推力F？（已知木板的与水平面 的夹角为 ）
水平面的平衡问题
高考链接：（2010新课标理综 第18题） 如图所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向 成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当 改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做 匀速直线运动。若F1和F2的大小相等，则物块与地面 之间的动摩擦因数为（ ）
A B C D
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3 1 2 2
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