第二章 2.2.1(一)《椭圆及其标准方程(一)》

2．2.1椭圆及其标准方程(一)学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义思考1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．思考2在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否为椭圆？答案笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长．绳长大于两图钉间的距离．若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆．若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆．梳理(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a>|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a＝|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a<|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在知识点二椭圆的标准方程思考若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？答案以两定点的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)．设P(x，y)，依题意得|P A|＋|PB|＝10, 所以(x－3)2＋y2＋(x＋3)2＋y2＝10，即点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.梳理(1)标准方程的两种形式形式一：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程，其中b2＝a2－c2.形式二：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程，其中b2＝a2－c2.(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系b2＝a2－c2类型一椭圆定义的应用例1 点P (－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹．解 方程x 2＋y 2－6x －55＝0化标准形式为：(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3,0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆．反思与感悟 椭圆定义的双向运用(1)判断：符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆．(2)求值：椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a . 跟踪训练1 (1)已知A (－5,0)，B (5,0)．动点C 满足|AC |＋|BC |＝10，则点C 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．线段D ．点(2)已知定点A (0，－1)，点B 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16上运动，F 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BF 于P .则动点P 的轨迹E 为____________． 答案 (1)C (2)以A ，F 为焦点的椭圆 解析 (1)因为|AC |＋|BC |＝10＝|AB |， 所以点C 的轨迹是线段AB ，故选C.(2)由题意得|P A |＝|PB |.所以|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝4>|AF |＝2，所以动点P 的轨迹E 是以A ，F 为焦点的椭圆． 类型二 求椭圆的标准方程例2 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P (13，13)，Q (0，－12)的椭圆的标准方程．解 方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆标准方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (13)2a 2＋(13)2b 2＝1，0＋(－12)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14.由a >b >0知不合题意，故舍去．②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为： y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(13)2a 2＋(13)2b 2＝1，(－12)2a 2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． 则⎩⎪⎨⎪⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故标准方程为y 214＋x 215＝1.反思与感悟 求椭圆的标准方程的方法：(1)定义法：用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a ，b 的值． (2)待定系数法：①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆方程一定是标准形式，就可以利用待定系数法先建立方程，然后依照题设条件，计算出方程中a ，b 的值，从而确定方程．②当不明确焦点在哪个坐标轴上时，通常应进行分类讨论，但计算较复杂，此时，可设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必再考虑焦点的位置，用待定系数法结合题目给出的条件求出m ，n 的值即可．跟踪训练2 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．解 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 不妨取|PF 1|＝453，|PF 2|＝253， 由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2 5. 即a ＝ 5.由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于长轴． 在Rt △PF 2F 1中，4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝609， ∴c 2＝53， ∴b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1. 类型三 椭圆中的焦点三角形问题例3 已知点P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2分别是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．解 由椭圆方程y 25＋x 24＝1可得a ＝5，b ＝2，c ＝a 2－b 2＝1.又|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2 ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30°， ∴4＝(25)2－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)． ∴12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝8－4 3. 反思与感悟 由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形叫做焦点三角形，焦点三角形常和椭圆的定义、正(余)弦定理、内角和定理及面积公式等综合考查． 跟踪训练3 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积． 解 由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. 从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|. 从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4. 解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．射线D ．圆答案 A解析 连接FP ，OF ，MF ，如图，由题意知，CD 是线段MF 的垂直平分线， ∴|MP |＝|PF |，∴|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)． 又|MO |>|FO |，∴根据椭圆的定义可推断出点P 的轨迹是以F ，O 两点为焦点的椭圆． 2．已知方程(5－m )x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．2<m <72 B.72<m <5 C ．2<m <5 D ．以上都不正确答案 A解析 原方程可化简为x 285－m ＋y 28m －2＝1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧85－m <8m －2，85－m >0，8m －2>0，解得2<m <72.3．已知|AB |＝25，M 是线段AB 的中点，点P 在平面内运动且|P A |＋|PB |＝6，则|PM |的最大值和最小值分别是( ) A ．3， 5 B ．3,2 C ．3， 3 D ．4,2 答案 B解析 由题意，知点P 的轨迹是以点A ，B 为焦点的椭圆， 其长轴长为6，焦距为25，所以短轴长为4，易知|PM |的最大值为3，最小值为2.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，线段OF 1(O 为坐标原点)的中点为B 1，椭圆与y 轴上半轴的交点为A ，且△AOB 1为等腰直角三角形，则椭圆C 的标准方程是________________． 答案 x 220＋y 24＝1解析 由题意，得c ＝4.又点B 1为线段OF 1的中点， A 为上顶点，△AOB 1为等腰直角三角形， 所以b ＝|OA |＝|OB 1|＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝20， 所以椭圆C 的标准方程为x 220＋y 24＝1.5．已知椭圆的方程为：x 225＋y 216＝1，若C 为椭圆上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，并且|CF 1|＝2，则|CF 2|＝________. 答案 8解析 根据椭圆的定义，椭圆上的点到两定点的距离之和为10，因为|CF 1|＝2，所以|CF 2|＝8.(1)椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．在解题过程中将|PF 1|＋|PF 2|看成一个整体，可简化运算．(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．(3)凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a (M 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M (x 0，y 0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算．一、选择题1．已知椭圆x 29＋y 25＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．1B ．4C ．3D ．25－2 答案 B解析 由椭圆的定义知P 到两焦点的距离之和等于2a ＝6， 故所求距离为6－2＝4，故选B.2．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．－ 5 答案 B解析 原方程可化简为x 2＋y 25k＝1，因c 2＝5k －1＝4，得k ＝1.3．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1D.x 26＋y 22＝1答案 D解析 由题意知a 2－2＝4，∴a 2＝6.∴所求椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.4．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析当方程x 2m －1＋y23－m＝1表示椭圆时，必有⎩⎨⎧m －1>0，3－m >0，m －1≠3－m ，所以1<m <3且m ≠2；当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．5．设α∈(0，π2)，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围为()A．(0，π4] B．(π4，π2)C．(0，π4) D．[π4，π2)答案 C解析由题意知，cos α>sin α>0，∴tan α<1，∵α∈(0，π2)，∴0<α<π4.故选C.6．过椭圆9x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的三角形ABF2的周长是()A.43B．4 C．8 D．2 2答案 B解析方程可化为x219＋y2＝1，∴焦点在y轴上，且a2＝1，∴a＝1.∴△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF2|＋|BF1|＝2a＋2a＝4a＝4.故选B.二、填空题7．设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．答案15解析由椭圆定义知|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2×5－|PF2|，而|PM|－|PF2|≤|MF2|＝5，所以|PM|＋|PF1|≤2×5＋5＝15.8．已知F1，F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.答案8解析由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，∴|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝20.又∵|F 2A |＋|F 2B |＝12，∴|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＝8.9．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________． 答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为E ，则|MF |＋|ME |＝10， ∴|ME |＝8，又ON 为△MEF 的中位线，∴|ON |＝12|ME |＝4.10．若椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________．答案 6433解析 由已知得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，|F 1F 2|＝2c ＝12.由余弦定理，知(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°， 即144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563，∴12F PF S ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝6433.三、解答题11．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．解 两定圆的圆心与半径分别为O 1(－3,0)，r 1＝1； O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R .则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R .∴|MO 1|＋|MO 2|＝10>|O 1O 2|＝6.由椭圆的定义知M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16.故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.12．已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积；(2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围． 解 (1)由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，① 且F 1(－3，0)，F 2(3，0)．在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°.②由①②得|PF 1|·|PF 2|＝43.所以12PF F S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝33.(2)设点P (x ，y )，由已知∠F 1PF 2为钝角，得F 1P →·F 2P →<0，即(x ＋3，y )·(x －3，y )<0，又y 2＝1－x 24，所以34x 2<2， 解得－263<x <263，所以点P 横坐标的取值范围是－263<x <263.13．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A, ∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.。