点集拓扑试卷b

《点集拓扑》试卷B 卷 第1页 （共4页） 《点集拓扑》试卷B 卷 第2页 （共4页）

2011 至 2012 学年第 1 学期

点集拓扑 试卷B 卷

出卷教师：谢萍丽 适应班级：信计0801、0802

考试方式：开卷 本试卷考试分数占学生总评成绩的100%

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人

得分

复查总分 总复查人

一、填空：（每题3分，共15分）

1. 设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 .

2. 设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = .

3. :f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .

4. 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =______________.

5. 拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质

是一个 .

二、判断对错，并说明理由：（每题5分，共15分）

1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射. ( )

2、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.

（ ）

3、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=。（ ）

三、名词解释：

（每题4分，共16分）

1. 紧致空间

2. 正则空间

3. 可分空间

4. Lindeloff 空间

四、

（本题10分）设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.

得分 评卷人

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得分 评卷人

得分 评卷人

学院名称 专业班级： 姓名： 学号：

我 密 封 线 内 不 要 答 题

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密

┃┃┃┃┃┃┃┃┃

封

┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃ 线 ┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃

《点集拓扑》试卷B 卷 第3页 （共4页） 《点集拓扑》试卷B 卷 第4页 （共4页）

五、

（本题10分） 设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.

六、（本题10分）设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射. 证明

{|()}A x X f x x =∈=是X 的闭子集.

七、（本题12分）

设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个连续映射.如果X 是一个紧致空间，

证明()f X 是Y 的一个紧致子集.

八、（本题12分）设X 是一个拓扑空间，证明：X 是一个正则空间当且仅当如果

,x X A ∈是X 中的一个闭集，使得x A ∉，则x 和A 分别有开邻域U 和V ，使得

Φ=V U 。

得分 评卷人

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得分 评卷人

得分 评卷人

学院名称 专业班级： 姓名： 学号：

我

密 封 线 内 不 要 答 题

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密 ┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃

封 ┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃

线 ┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃