函数的概念及正比例函数

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T - 函数的概念 C - 正比例函数的概念 C 正比例函数的图像与性质

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函数的概念

知识要点一：常量和变量

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，而数值始终保持不变的量为常量.

判断一个量是常量还是变量，需看两个方面：

①看它是否在一个变化的过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况。

知识要点二：定义

在某个变化过程中有两个量x 和y ，如果在x 的允许范围内，变量y 随x 的变化而变化，它们之间存在确定的依

么变 量y 叫做变量x 的函数，x 叫自变量，y 叫做因变量。

自变量与函数概念的形成过程：①一个变化过程；②两个变量；③一个量随另一个量的变化而变化。

若两个量满足上述三个条件，就说这两个量具有函数关系。

对于函数的关系，即两个变量的对应关系，有三种表示方法：（1）解析法（2）列表法（3）图象法

表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式.

知识要点三：定义域与函数值

函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。

求自变量的取值范围的两个依据是：（1）自变量取值范围是使函数解析式(即是函数表达式)有意义．

（2）自变量取值范围要使实际问题有意义．

对自变量x 在定义域内的每一个值，变量y 都有唯一确定的值与它对应。在定义域内，取x=a 对应的y 值叫x=a 时的函数值。

有时把y 用()f x 来代替，所以x=a 时的函数值也可以用()f a 来表示。如

()()()()211,0,1,,12x f x f f f f a x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭

求 理解函数概念把握三点：①一个变化过程，②两个变量，③一种对应关系。判断两个量是否具有函数关系也以这三点为依据。

各类型函数的定义域（1）整式-----一切实数 （2）分式-----分母不为零

（3）根式-------()()⎩

⎨⎧≥被开方数为一切实数奇数根式被开方数偶数根式0

（4）零指数-----底数≠0

1．汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y (千米)与行驶时间x 之间的函数关系是 。

2．圆的面积y (厘米2)与它的半径x 之间的函数关系是 。

函数的定义域：

1、下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ）

A ．y=2x 2中，x 取全体实数

B ．y=

11x +中，x 取x ≠-1的实数 C ．y=2x -中，x 取x ≥2的实数 D ．y=13

x +中，x 取x ≥-3的实数 2、已知函数y=212

x x -+中，当x=a 时的函数值为1，则a 的值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．-3 D ．3

3、已知函数y = 2x －1x ＋2

，当x=m 时的函数值为1，则m 的值为（ ） （A ） 1 （B ）3 （C ）－3 （D ）－1

4、函数y =x －2＋3－x 中自变量x 的取值范围是（ ）

（A ）x ≥2 （B ）x ≤3 （C ）2≤x ≤3 （D ）x ≥3或x ≤2

1.写出下列函数关系式,并指出式中的自变量与因变量.

（1）汽车油箱可贮油20kg,当汽车在公路上行驶时每小时耗油0.5kg,求t 小时后油箱剩油Q 与t 之间的关系

（2）一项工程由若干个工人在30天内完成,求平均每个工人每天的工作量x 与工人人数n 之间的关系

2求下列函数中自变量x 的取值范围，并求出3=x 时的函数值。

（1） y ＝2x 2＋7 （2）y ＝

21+x （3） y = 2+x

正比例函数的概念

要点一：正比例函数的概念

•一般地，形如y=kx （k•是常数，k•≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。

注意：其中k•≠0，自变量x 的最高次幂为1.

要点二：待定系数法

先设出符合题意的解析式，再根据条件列出方程求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法。

例1、下列函数中，是正比例函数的是( )

(A) x y 3=

(B) 4

x y -= (C)93+=x y (D)22x y =

例2、若x 、y 是变量，且函数2)1(k x k y +=是正比例函数，则k=_________．

例3、已知y 与x 成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x=________．

例4、若y 与21x +成正比例，且函数图像经过点()3,1A -．求y 与x 的函数解析式。

例5、正比例函数y kx =的图像上有一定A ，过点A 向x 轴作垂线，垂足为点B ，点B 的坐标为(2,0)，若OAB ∆的面积为6．试求正比例函数解析式．

1、下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）

A ．y=4x+1

B ．y=2x 2

C ．y=-5x

D ．y=x 2、若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ ）

A ．m=-3

B ．m=1

C ．m=3

D ．m>-3；

3、已知y-3与4x 成正比例，且当x =－2时y =－6，求当x =4时y 的值。

4、已知y -3与3x +成正比例，且当2x =时，5y =-．

（1）求y与x的函数解析式；

x=时，y的值；

（2）当3

y=时，x的值．

（3）当7

正比例函数的图像

正比例函数解析式与图象特征之间的规律：

正比例函数

表达式y=kx （k≠0）

k＞0 k＜0