2013重庆中考数学A卷(答案)
2023年重庆市中考数学试卷(A卷)解析版
重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠）的顶点坐标为2424,b ac b a a ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，对称轴为2b x a =-一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.8的相反数是（）A.8- B.8 C.18 D.18-【答案】A【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：8的相反数是8-，故选A ．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】从正面看第一层是2个小正方形，第二层右边1个小正方形，故选：D ．【点睛】考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．3.反比例函数4y x=-的图象一定经过的点是（）A.()14， B.()14--， C.()22-， D.()22，【答案】C【解析】【分析】根据题意将各项的坐标代入反比例函数4y x =-即可解答．【详解】解：A 、将1x =代入反比例函数4y x=-得到14y =-≠，故A 项不符合题意；B 、项将1x =-代入反比例函数4y x=-得到44y =≠-，故B 项不符合题意；C 、项将=−2代入反比例函数4y x=-得到22y ==，故C 项符合题意；D 、项将2x =代入反比例函数4y x=-得到22y =-≠，故D 项不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数图象上则其坐标一定满足函数解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．4.若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是（）A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为1:4，∴相似三角形的对应边比为1:4，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键．5.如图，,⊥∥AB CD AD AC ，若155∠=︒，则2∠的度数为（）A.35︒B.45︒C.50︒D.55︒【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得CAB ∠的度数，根据垂直的定义可得90CAD ∠=︒，然后根据2CAB CAD Ð=Ð-Ð即可得出答案．【详解】解：∵AB CD ∥，155∠=︒，∴18055125CAB Ð=°-°=°，∵AD AC ⊥，∴90CAD ∠=︒，∴21259035CAB CAD Ð=Ð-Ð=°-°=°，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键．6.估计+的值应在（）A.7和8之间B.8和9之间C.9和10之间D.10和11之间【答案】B【解析】【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．=4=+∵2 2.5<<，∴45<<，∴849<+<，故选：B ．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．7.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A.39B.44C.49D.54【答案】B【解析】【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，第⑧个图案用的木棍根数是45844+⨯=根，故选：B ．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．8.如图，AC 是O 的切线，B 为切点，连接OA OC ，．若30A ∠=︒，AB =3BC =，则OC 的长度是（）A.3B.C.D.6【答案】C【解析】【分析】根据切线的性质及正切的定义得到2OB =，再根据勾股定理得到OC =【详解】解：连接OB ，∵AC 是O 的切线，B 为切点，∴OB AC ⊥，∵30A ∠=︒，AB =，∴在Rt OAB 中，tan 23OB AB A =⋅∠==，∵3BC =，∴在Rt OBC 中，OC ==，故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．9.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，连接AE ，AF ，EF ，45EAF ∠=︒．若BAE α∠=，则FEC ∠一定等于（）。
2023年重庆中考数学试卷及答案(A卷)
2023年重庆中考数学试卷及答案(A 卷)（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答2. 作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3. 作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4. 考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回参考公式：抛物线）的顶点坐标为，对称轴为()20y ax bx c a =++≠2424,b ac b a a ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-2b x a =-一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 8的相反数是（ ） A. B. 8C.D.8-1818-【答案】A 【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：8的相反数是， 8-故选A ．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】从正面看第一层是个小正方形，第二层右边个小正方形， 21故选：D ．【点睛】考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） 4y x=-A. B. C. D. ()14，()14--，()22-，()22，【答案】C 【解析】【分析】根据题意将各项的坐标代入反比例函数即可解答． 4y x=-【详解】解：将代入反比例函数得到，故项不符合题意； A 、1x =4y x=-14y =-≠A 项将代入反比例函数得到，故项不符合题意； B 、1x =-4y x=-44y =≠-B 项将代入反比例函数得到，故项符合题意； C 、x =‒24y x=-22y ==C 项将代入反比例函数得到，故项不符合题意； D 、2x =4y x=-22y =-≠D 故选．C 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数图象上则其坐标一定满足函数解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 4. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ） 1:4A. B.C.D.1:21:41:81:16【答案】B 【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答． 【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为， 1:4∴相似三角形的对应边比为， 1:4故选．B 【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键．5. 如图，，若，则的度数为（ ）,⊥∥AB CD AD AC 155∠=︒2∠A. B. C. D.35︒45︒50︒55︒【答案】A 【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得的度数，根据垂直的定义可得CAB ∠，然后根据即可得出答案．90CAD ∠=︒2CAB CAD Ð=Ð-Ð【详解】解：∵，， AB CD ∥155∠=︒∴， 18055125CAB Ð=°-°=°∵， AD AC ⊥∴，90CAD ∠=︒∴， 21259035CAB CAD Ð=Ð-Ð=°-°=°故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键． 6. 估计的值应在（ ）()2810+A. 7和8之间 B. 8和9之间 C .9和10之间D. 10和11之间【答案】B 【解析】【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断． 【详解】解：()2810+ 1620=+425=+∵，25 2.5<<∴， 4255<<∴， 84259<+<故选：B ．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．7. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）A. 39B. 44C. 49D. 54【答案】B 【解析】【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案． 【详解】解：第①个图案用了根木棍， 459+=第②个图案用了根木棍， 45214+⨯=第③个图案用了根木棍， 45319+⨯=第④个图案用了根木棍， 45424+⨯=……，第⑧个图案用的木棍根数是根， 45844+⨯=故选：B ．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．8. 如图，是的切线，为切点，连接．若，，AC O :B OA OC ，30A ∠=︒23AB =，则的长度是（ ）3BC =OCA. B. C. D.323136【答案】C 【解析】【分析】根据切线的性质及正切的定义得到，再根据勾股定理得到． 2OB =13OC =【详解】解：连接，OB ∵是的切线，为切点， AC O :B ∴，OB AC ⊥∵，，30A ∠=︒23AB =∴在中，， Rt OAB :3tan 2323OB AB A =⋅∠=⨯=∵，3BC =∴在，，Rt OBC :中2213OC OB BC =+=故选．C【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．9. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，ABCD E F BC CD AE AF EF ．若，则一定等于（ ）45EAF ∠=︒BAE α∠=FEC ∠A. B. C.D.2α902α︒-45α︒-90α︒-【答案】A 【解析】【分析】利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角90︒和定理即可求解．【详解】将绕点逆时针旋转至，ADF :A 90︒ABH :∵四边形是正方形，ABCD ∴，，AB AD =90B D BAD C ∠=∠=∠=∠=︒由旋转性质可知：，，， DAF BAH ∠=∠90D ABH ∠=∠=︒AF AH =∴， 180AHB ABC ∠+∠=︒∴点三点共线，H B C ，，∵，，， BAE α∠=45EAF ∠=︒90BAD HAF ∠=∠=︒∴，， 45DAF BAH α∠=∠=︒-45EAF EAH ∠=∠=︒∵， 90AHB BAH ∠+∠=︒∴， 45AHB α∠=︒+在和中AEF :AEH :， AF AH FAE HAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴， ()AFE AHE SAS ::≌∴，45AHE AFE α∠=∠=︒+∴， 45AHE AFD AFE α∠=∠=∠=︒+∴， 902DFE AFD AFE α∠=∠+∠=︒+∵， 90DFE FEC C FEC ∠=∠+∠=∠+︒∴， 2FEC α∠=故选：．A 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度．10. 在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意x y z m n ----x y z m n >>>>添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，x y z m n x y z m n ----=--+-，……．x y z m n x y z m n ----=---+下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为； 0③所有的“绝对操作”共有种不同运算结果． 7其中正确的个数是（ ） A. B.C.D.0123【答案】C 【解析】【分析】根据“绝对操作”的定义及绝对值的性质对每一项判断即可解答． 【详解】解：∵， x y z m n >>>>∴，x y z m n x y z m n ----=----∴存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等， 故①正确；根据绝对操作的定义可知：在多项式（其中）中，经x y z m n ----x y z m n >>>>过绝对操作后，的符号都有可能改变，但是的符合不会改变， z n m 、、x y △∴不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为， 0故②正确；∵在多项式（其中）中，经过“绝对操作”可能产生x y z m n ----x y z m n >>>>的结果如下：∴，x y z m n x y z m n ----=----，x y z m n x y z m n ----=-+--， x y z m n x y z m n x y z m n ----=----=--+-， x y z m n x y z m n x y z m n ----=----=---+，x y z m n x y z m n ----=-+-+共有种不同运算结果， 5故③错误； 故选C ．【点睛】本题考查了新定义“绝对操作”，绝对值的性质，整式的加减运算，掌握绝对值的性质是解题的关键．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算_____. 1023-+=【答案】1.5 【解析】【分析】先根据负整数指数幂及零指数幂化简，再根据有理数的加法计算. 【详解】. 1023-+=11=1.52+故答案为1.5.【点睛】本题考查了负整数指数幂及零指数幂的意义，任何不等于0的数的负整数次幂，等于这个数的正整数次幂的倒数，非零数的零次幂等于1.12. 如图，在正五边形ABCDE 中，连接AC ，则∠BAC 的度数为_____．【答案】36° 【解析】【分析】首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和，再求得每个内角的度数，利用等腰三角形的性质可得∠BAC 的度数．【详解】正五边形内角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°∴，5401085B ︒︒∠==∴ .180B 1801083622BAC ︒︒︒︒-∠-∠===故答案为36°．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式：（n-2）×180°是解答此题的关键．13. 一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是___________ ． 【答案】19【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：根据题意列表如下： 红球白球蓝球红球 （红球，红球） （白球，红球） （蓝球，红球） 白球 （红球，白球） （白球，白球） （蓝球，白球） 蓝球（红球，蓝球）（白球，蓝球）（蓝球，蓝球）由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，所以两次摸到球的颜色相同的概率为， 19故答案为：． 19【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14. 某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将1501提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可1815x 列方程为___________． 【答案】 ()2150111815x +=【解析】【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次x 方程，即可求解．【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得，x ，()2150111815x +=故答案为：．()2150111815x +=【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．15. 如图，在中，，，点D 为上一点，连接Rt ABC △90BAC ∠= AB AC =BC AD ．过点B 作于点E ，过点C 作交的延长线于点F ．若，BE AD ⊥CF AD ⊥AD 4BE =，则的长度为___________．1CF =EF【答案】3 【解析】【分析】证明，得到，即可得解． AFC BEA ≌△△,BE AF CF AE ==【详解】解： ∵， 90BAC ∠=︒∴， 90EAB EAC ∠+∠=︒∵，， BE AD ⊥CF AD ⊥∴，90AEB AFC ∠=∠=︒∴， 90ACF EAC ∠+∠=︒∴， ACF BAE ∠=∠在和中：AFC △BEA △， AEB CFA ACF BAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴， ()AAS AFC BEA ≌△△∴， 4,1AF BE AE CF ====∴， 413EF AF AE =-=-=故答案为：3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．16. 如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为O :ABCD 4,3AB AD ==___________．（结果保留）π【答案】25124π-【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到，再根据圆的面积及矩形5BD =的性质即可解答． 【详解】解：连接， BD ∵四边形是矩形， ABCD ∴是的直径， BD O :∵， 4,3AB AD ==∴，225BD AB AD =+=∴的半径为， O :52∴的面积为，矩形的面积为， O :254π3412⨯=∴阴影部分的面积为； 25124π-故答案为； 25124π- 【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．17. 若关于x 的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是___________． 14222a y y-+=--【答案】4 【解析】【分析】先解不等式组，确定a 的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方6a ≤程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a 的值，相加即可得到答案． 12a y -=【详解】解：+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩①②解不等式①得：， 5x ≤解不等式②得：， 1+2a x ≥∴不等式的解集为， 1+52ax ≤≤∵不等式组至少有2个整数解， ∴， 1+42a≤解得：； 6a ≤∵关于y 的分式方程有非负整数解， 14222a y y-+=--∴()1422a y ---=解得：， 12a y -=即且， 102a -≥122a -≠解得：且1a ≥5a ≠∴a 的取值范围是，且 16a ≤≤5a ≠∴a 可以取：1，3， ∴， 134+=故答案为：4．【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足abcd ab bc cd -=，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递411229-=减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减53322124-=≠数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数a312与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是abc bcd ___________．【答案】 ①. ②. 8165 4312【解析】【分析】根据递减数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵ 是递减数， a312∴， 1033112a +-=∴， 4a =∴这个数为； 4312故答案为：4312∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能abc bcd 被9整除，∴，101010a b b c c d +--=+∵，1001010010abc bcd a b c b c d +=+++++∴， 110010110100110001abc bcd a b c b b a b a b c +=++++++--=∵，能被整除， ()11010199112a b a b a b +=+++9∴能被9整除，112a b +∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴， 12345678,,,,,,,87654321a a a a a a a a b b b b b b b b ========⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨========⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩∵最大的递减数， ∴，8,1a b ==∴，即：， 1089110c c d ⨯-⨯-=+1171c d +=∴最大取，此时， c 65d =∴这个最大的递减数为8165． 故答案为：8165．【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算：（1）；()()()211a a a a -++-（2）22.211x x x x x x ⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭【答案】（1） 21a -（2）11x +【解析】【分析】（1）先计算单项式乘多项式，平方差公式，再合并同类项即可； （2）先通分计算括号内，再利用分式的除法法则进行计算． 【小问1详解】解：原式2221a a a =-+-；21a =-【小问2详解】原式 ()222.11x x x x x x ⎛⎫+-=÷ ⎪++⎝⎭()22211x x x x =÷++()22211x x x x +=⋅+． 11x =+【点睛】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．20. 学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E ，交于点F ，垂足为点O ．（只保留AC DC AB 作图痕迹）已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点ABCD AC EF AC O ．求证：．OE OF =证明：∵四边形是平行四边形， ABCD ∴．DC AB ∥∴ ① ． ECO ∠=∵垂直平分， EF AC ∴ ② ．又___________③ ． EOC ∠=∴． ()COE AOF ASA ∆≅∆∴．OE OF =小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交AC 形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形对角线中点的直线 ④ ．【答案】作图：见解析；；；；被平行四边形一组对边所截，FAO ∠AO CO =FOA ∠截得的线段被对角线中点平分 【解析】【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．【详解】解：如图，即为所求；证明：∵四边形是平行四边形， ABCD ∴． DC AB ∥∴ ． ECO ∠=FAO ∠∵垂直平分， EF AC ∴． AO CO =又． EOC ∠=FOA ∠∴． ()COE AOF ASA ≅::∴．OE OF =故答案为：；；；FAO ∠AO CO =FOA ∠由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．21. 为了解A 、B 两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A 、B 两款智能玩具飞机各架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并10对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x 表示，共分为三组：合格，6070x ≤<中等，优等），下面给出了部分信息：7080x ≤<80x ≥A 款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间是：1060,64,67,69,71,71,72,72,72,82B 款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：1070,71,72,72,73两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B 款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图 类别A B平均数 7070中位数 71b众数 a67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中___________，___________，___________；=a b =m =（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A 款智能玩具飞机架、B 款智能玩具飞机架，估计两款智能200120玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？ 【答案】（1），，；7270.510（2）B 款智能玩具飞机运行性能更好；因为B 款智能玩具飞机运行时间的方差比A 款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；（3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架． 192【解析】【分析】（1）由A 款数据可得A 款的众数，即可求出，由B 款扇形数据可求得合格数及a 优秀数，从而求得中位数及优秀等次的百分比； （2）根据方差越小越稳定即可判断；（3）用样本数据估计总体，分别求出两款飞机中等及以上的架次相加即可． 【小问1详解】解：由题意可知架A 款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中，只有出现了三次，1072且次数最多，则该组数据的众数为，即；7272a =由B 款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知，合格的百分比为， 40%则B 款智能玩具飞机运行时间合格的架次为：（架） 1040%4⨯=则B 款智能玩具飞机运行时间优等的架次为：（架） 10451--=则B 款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为：，70,71故B 款智能玩具飞机运行时间的中位数为：707170.52+=B 款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为：1100%10%10⨯=即10m =故答案为：，，； 7270.510【小问2详解】B 款智能玩具飞机运行性能更好；因为B 款智能玩具飞机运行时间的方差比A 款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定； 【小问3详解】架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：200（架） 620012010⨯=架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为： 200（架） 61207210⨯=则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：架， 12072192+=答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架．192【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数、众数、百分比，用方差做决策，用样本估计总体；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．22. 某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱50％面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？ 【答案】（1）购买杂酱面80份，购买牛肉面90份 （2）购买牛肉面90份 【解析】【分析】（1）设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，由题意知，x ()170x -，解方程可得的值，然后代入，计算求解，进而可()152********x x +⨯-=x 170x -得结果；（2）设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，由题意知，，计算求出a 1.5a 1260120061.5a a+=满足要求的解即可． 【小问1详解】解：设购买杂酱面份，则购买牛肉面份， x ()170x -由题意知，， ()152********x x +⨯-=解得，， 80x =∴，17090x -=∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份； 【小问2详解】解：设购买牛肉面份，则购买杂酱面份， a 1.5a 由题意知，， 1260120061.5a a+=解得，90a =经检验，是分式方程的解， 90a =∴购买牛肉面90份．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．23. 如图，是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同ABC :时从点A 出发，点E 沿折线方向运动，点F 沿折线方向运动，A B C →→A C B →→当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．（1）请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值． 【答案】（1）当时，；当时，； 04t <≤y t =46t <≤122y t =-（2）图象见解析，当时，y 随x 的增大而增大 04t <≤（3）t 的值为3或 4.5【解析】【分析】（1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，04t <≤46t <≤利用周长减去即可；2AE （2）在直角坐标系中描点连线即可； （3）利用分别求解即可． 3y =【小问1详解】 解：当时， 04t <≤连接，EF由题意得，， AE AF =60A ∠=︒∴是等边三角形， AEF △∴；y t =当时，；46t <≤122y t =-【小问2详解】函数图象如图：当时，y 随x 的增大而增大； 04t <≤【小问3详解】当时，即；04t <≤3y =3t =当时，即，解得， 46t <≤3y =1223t -= 4.5t =故t 的值为3或．4.5【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键．24. 为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①AB ；②．经勘测，点B 在点A 的正东方，点C 在点B 的正北方A D C B ---A E B --10千米处，点D 在点C 的正西方千米处，点D 在点A 的北偏东方向，点E 在点A 的正1445︒南方，点E 在点B 的南偏西方向．（参考数据：60︒2 1.41,3 1.73)≈≈（1）求AD 的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？【答案】（1）AD 的长度约为千米 14（2）小明应该选择路线①，理由见解析 【解析】【分析】（1）过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而得出D DF AB ⊥F BCDF ，然后解直角三角形即可；10DF BC ==（2）分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可． 【小问1详解】解：过点作于点，D DF AB ⊥F由题意可得：四边形是矩形， BCDF ∴千米， 10DF BC ==∵点D 在点A 的北偏东方向， 45︒∴，45DAF DAN Ð=Ð=°∴千米，10214sin 45DFAD ==»°答：AD 的长度约为千米； 14【小问2详解】由题意可得：，，10BC =14CD =∴路线①的路程为：（千米）， 10214102410238AD DC BC ++=++=+»∵，，， 10DF BC ==45DAF DAN Ð=Ð=°90DFA ∠=︒∴为等腰直角三角形， DAF △∴，10AF DF ==∴， 101424AB AF BF AF DC =+=+=+=由题意可得， 60EBS Ð=°∴， 60E ∠=︒∴，，83tan 60AB AE ==°163sin 60ABBE ==°所以路线②的路程为：千米， 8316324342AE BE +=+=»∴路线①的路程路线②的路程， <故小明应该选择路线①．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义，掌握特殊角三角函数值是解本题的关键．25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x 轴于点22y ax bx =++()1,3，B 两点，交y 轴于点C ．()1,0A -（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线上方抛物线上的一动点，过点P 作于点D ，过点P 作y 轴BC PD BC ⊥的平行线交直线于点E ，求周长的最大值及此时点P 的坐标；BC PDE △（3）在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个PDE △CB 5单位长度，点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） 213222y x x =-++（2）周长的最大值，此时点 PDE △65105+()2,3P （3）以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时或或 59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭137,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭137,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）把、代入计算即可；()1,3()1,0A -22y ax bx =++（2）延长交轴于，可得，进而得到，PE x F DEP BCO ∠=∠DPE OBC :::，求出的最大值即可；DPE PEOBC BC=周长周长::PE （3）先求出平移后的解析式，再设出M ，N 的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可．【小问1详解】把、代入得，，()1,3()1,0A -22y ax bx =++3202a b a b =++⎧⎨=-+⎩解得，1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的表达式为； 213222y x x =-++【小问2详解】 延长交轴于，PE x F∵过点P 作于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线于点E ， PD BC ⊥BC ∴，， DEP BCO ∠=∠90PDE COB ∠=∠=︒∴，DPE OBC :::∴，DPE PEOBC BC=周长周长::∴， PEDPE OBC BC=⋅周长周长::∴当最大时周长的最大 PE PDE △∵抛物线的表达式为， 213222y x x =-++∴，()4,0B ∴直线解析式为， BC 122y x =-+2225BC OC OB =+=设，则 213,222P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴， ()222131112222222222PE m m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪⎝⎭∴当时最大，此时 2m =2PE =()2,3P ∵周长为， BOC :625OC OB BC ++=+∴周长的最大值为，此时， PDE △()26510625525+⨯+=()2,3P 即周长的最大值，此时点； PDE △65105+()2,3P 【小问3详解】∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再CB 5向下平移一个单位长度， ∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为()()221317222142222y x x x x =--+-+-=-+-直线， 72x =∴设， 7,2M n ⎛⎫⎪⎝⎭(),N s t ∵，()2,3P ()1,0A -∴，，218PA =()()22227923324PM n n ⎛⎫=-+-=+- ⎪⎝⎭，()22227811024AM n n ⎛⎫=++-=+ ⎪⎝⎭当为对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形 PA ∴与互相平分，且 PA MN PM AM =∴，解得()22981344n n +-=+32n =-∵中点坐标为，中点坐标为， PA 2130,22-+⎛⎫⎪⎝⎭MN 72,22s n t ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭∴，解得，7123s n t ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩5292s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩此时； 59,22N ⎛⎫-⎪⎝⎭当为边长且和是对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形 PA AM PN ∴与互相平分，且AM PN PM PA =∴，解得 ()293184n +-=3732n =±∵中点坐标为，中点坐标为， PN 23,22s t ++⎛⎫⎪⎝⎭AM 7102,22n ⎛⎫- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭∴，解得， 721230s t n ⎧+=-⎪⎨⎪+=+⎩12372s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩此时或；137,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭137,22N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭同理，当为边长且和是对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱PA AN PM 形∴和互相平分，且AN PM AM PA =，此方程无解； 281184n +=综上所述，以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时或或59,22N ⎛⎫-⎪⎝⎭137,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭； 137,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．26. 在中，，，点为线段上一动点，连接．Rt ABC :90ACB ∠=︒=60B ∠︒D AB CD（1）如图1，若，，求线段的长．9AC =3BD =AD （2）如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延CD CD CDE :F DE BF 长，交的延长线于点． 若，求证：．CD G G BCE ∠=∠GF BF BE =+（3）在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所CD CD CD CDE :M CD 在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到． 连接BEM :BM ABC :BNM :，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所AN P AN CP CP BP BCP :BC 在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值． ABC :BCQ :NQCP【答案】（1） 53（2）见解析 （3） 435【解析】【分析】（1）解，求得，根据即可求解；Rt ABC :AB AD AB BD =-（2）延长使得，连接，可得，根据FB FH FG =EH ()SAS GFD HFE ::≌，得出四点共圆，则，60DEC DBC ==︒∠∠,,,B C D E EDB BCE ∠=∠，得出，结合已知条件BEC BDC ∠=∠6060BEH BEC BDC EDB ∠=︒-∠=︒-∠=∠得出，可得，即可得证；H BEH ∠=∠EB BH =（3）在取得最小值的条件下，即，设，则，CD CD AB ⊥4AB a =2BC a =，根据题意得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，取的中点23AC a =N B a AB S，连接，则是的中位线，在半径为的上运动，当取最大值SP SP ABN :P 12a S :CP 时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作,,P S C P PT AC ⊥T N NR AC ⊥于点，连接，交于点，则四边形是矩形，得出是的中位R PQ NR U PURT PD ANR :线，同理可得是的中位线，是等边三角形，将沿所在直线PT ANR :BCS △BCP :BC 翻折至所在平面内得到，则，在中，ABC :BCQ :2120QCP BCP ∠=∠=︒Rt NUQ :勾股定理求得，进而即可求解． NQ 【小问1详解】解：在中，，，Rt ABC :90ACB ∠=︒=60B ∠︒∴， 963sin 32AC AB B ===∵，3BD =∴； 53AD AB BD =-=【小问2详解】证明：如图所示，延长使得，连接，FB FH FG =EH∵是的中点则，，， F DE DF FE =FH FG =GFD HFE ∠=∠∴， ()SAS GFD HFE ::≌∴， H G ∠=∠∴，EH GC ∥∴ 60HEC ECD ∠=∠=︒∵是等边三角形， DEC :∴， 60DEC EDC ∠=∠=︒∵， 60DEC DBC ==︒∠∠∴四点共圆，,,,B C D E ∴，，EDB BCE ∠=∠BEC BDC ∠=∠∴， 6060BEH BEC BDC EDB ∠=︒-∠=︒-∠=∠∵，G BCE BDE H ∠=∠=∠=∠。
2023年重庆市中考数学试题(A卷)及答案
重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠）的顶点坐标为2424,b acba a ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，对称轴为2b x a =-一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.8的相反数是（）A.8- B.8 C.18 D.18-2.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A . B.C.D.3.反比例函数4y x =-的图象一定经过的点是（）A.()14， B.()14--， C.()22-，D.()22，4.若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是（）A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:165.如图，,⊥∥AB CD AD AC ，若155∠=︒，则2∠的度数为（）A.35︒B.45︒C.50︒D.55︒6.估计的值应在（）A.7和8之间B.8和9之间C.9和10之间D.10和11之间7.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A.39B.44C.49D.548.如图，AC 是O 的切线，B 为切点，连接OA OC ，．若30A ∠=︒，AB =3BC =，则OC 的长度是（）A.3B.C.D.69.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，连接AE ，AF ，EF ，45EAF ∠=︒．若BAE α∠=，则FEC ∠一定等于（）A.2αB.902α︒-C.45α︒-D.90α︒-10.在多项式x y z m n ----（其中)x y z m n >>>>中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：||x y z m n x y z m n ----=--+-，x y z m n x y z m n ----=---+，⋯．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11.计算1023-+=_____.12.如图，在正五边形ABCDE 中，连接AC ，则∠BAC 的度数为_____．13.一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是___________．14.某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为___________．15.如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若4BE =，1CF =，则EF 的长度为___________．16.如图，O 是矩形ABCD 的外接圆，若4,3AB AD ==，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）17.若关于x 的一元一次不等式组+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是___________．18.如果一个四位自然数abcd 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab bc cd -=，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵411229-=，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53322124-=≠，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a312，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19.计算：（1）()()()211a a a a -++-；（2）22.211x x x x x x ⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭20.学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC 的垂直平分线交DC 于点E ，交AB 于点F ，垂足为点O ．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，EF 垂直平分AC ，垂足为点O ．求证：OE OF =．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=①．∵EF 垂直平分AC ，∴②．又EOC ∠=___________③．∴()COE AOF ASA ∆≅∆．∴OE OF =．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线④．21.为了解A 、B 两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A 、B 两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x 表示，共分为三组：合格6070x ≤<，中等7080x ≤<，优等80x ≥），下面给出了部分信息：A 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60,64,67,69,71,71,72,72,72,82B 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70,71,72,72,73两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B 款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图类别A B平均数7070中位数71b 众数a 67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中=a ___________，b =___________，m =___________；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A 款智能玩具飞机200架、B 款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？22.某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？23.如图，ABC 是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点E 沿折线A B C →→方向运动，点F 沿折线A C B →→方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．（1）请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．24.为了满足市民的需求，我市在一条小河AB 两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①A D C B ---；②A E B --．经勘测，点B 在点A 的正东方，点C 在点B 的正北方10千米处，点D 在点C 的正西方14千米处，点D 在点A 的北偏东45︒方向，点E 在点A 的正南方，点E 在点B 的南偏西60︒方向．（参考数据：2 1.41,3 1.73)≈≈（1）求AD 的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++过点()1,3，且交x 轴于点()1,0A -，B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PDE △周长的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中PDE △周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB 5位长度，点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．26.在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．（1）如图1，若9AC =，BD =，求线段AD 的长．（2）如图2，以CD 为边在CD 上方作等边CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若G BCE ∠=∠，求证：GF BF BE =+．（3）在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将BEM 沿BM 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将BCP 沿BC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BCQ ，请直接写出此时NQ CP的值．重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A卷）（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回参考公式：抛物线()20y ax bx c a=++≠）的顶点坐标为2424,b ac ba a⎛⎫⎪⎝-⎭-，对称轴为2bxa=-一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.8的相反数是（）A.8-B.8C.18 D.18-【答案】A【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：8的相反数是8-，故选A．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A. B.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】从正面看第一层是2个小正方形，第二层右边1个小正方形，故选：D ．【点睛】考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．3.反比例函数4y x=-的图象一定经过的点是（）A.()14， B.()14--， C.()22-，D.()22，【答案】C 【解析】【分析】根据题意将各项的坐标代入反比例函数4y x=-即可解答．【详解】解：A 、将1x =代入反比例函数4y x=-得到14y =-≠，故A 项不符合题意；B 、项将1x =-代入反比例函数4y x =-得到44y =≠-，故B 项不符合题意；C 、项将=−2代入反比例函数4y x =-得到22y ==，故C 项符合题意；D 、项将2x =代入反比例函数4y x=-得到22y =-≠，故D 项不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数图象上则其坐标一定满足函数解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．4.若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是（）A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16【答案】B 【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为1:4，∴相似三角形的对应边比为1:4，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键．5.如图，,⊥∥AB CD AD AC ，若155∠=︒，则2∠的度数为（）A.35︒B.45︒C.50︒D.55︒【答案】A 【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得CAB ∠的度数，根据垂直的定义可得90CAD ∠=︒，然后根据2CAB CAD Ð=Ð-Ð即可得出答案．【详解】解：∵AB CD ∥，155∠=︒，∴18055125CAB Ð=°-°=°，∵AD AC ⊥，∴90CAD ∠=︒，∴21259035CAB CAD Ð=Ð-Ð=°-°=°，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键．6.估计的值应在（）A.7和8之间B.8和9之间C.9和10之间D.10和11之间【答案】B 【解析】【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．+=4=+∵2 2.5<<，∴45<<，∴849<+<，故选：B ．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．7.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A.39B.44C.49D.54【答案】B 【解析】【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，第⑧个图案用的木棍根数是45844+⨯=根，故选：B ．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．8.如图，AC 是O 的切线，B 为切点，连接OA OC ，．若30A ∠=︒，AB =3BC =，则OC 的长度是（）A.3B.23C.13D.6【答案】C 【解析】【分析】根据切线的性质及正切的定义得到2OB =，再根据勾股定理得到13OC =．【详解】解：连接OB ，∵AC 是O 的切线，B 为切点，∴OB AC ⊥，∵30A ∠=︒，23AB =∴在Rt OAB 中，3tan 323OB AB A =⋅∠==，∵3BC =，∴在Rt OBC 中，2213OC OB BC =+=，故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．9.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，连接AE ，AF ，EF ，45EAF ∠=︒．若BAE α∠=，则FEC ∠一定等于（）A.2αB.902α︒-C.45α︒- D.90α︒-【答案】A 【解析】【分析】利用三角形逆时针旋转90︒后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．【详解】将ADF 绕点A 逆时针旋转90︒至ABH，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90B D BAD C ∠=∠=∠=∠=︒，由旋转性质可知：DAF BAH ∠=∠，90D ABH ∠=∠=︒，AF AH =，∴180AHB ABC ∠+∠=︒，∴点H B C ，，三点共线，∵BAE α∠=，45EAF ∠=︒，90BAD HAF ∠=∠=︒，∴45DAF BAH α∠=∠=︒-，45EAF EAH ∠=∠=︒，∵90AHB BAH ∠+∠=︒，∴45AHB α∠=︒+，在AEF 和AEH 中AF AH FAE HAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AFE AHE SAS ≌，∴45AHE AFE α∠=∠=︒+，∴45AHE AFD AFE α∠=∠=∠=︒+，∴902DFE AFD AFE α∠=∠+∠=︒+，∵90DFE FEC C FEC ∠=∠+∠=∠+︒，∴2FEC α∠=，故选：A ．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度．10.在多项式x y z m n ----（其中)x y z m n >>>>中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：||x y z m n x y z m n ----=--+-，x y z m n x y z m n ----=---+，⋯．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．【详解】解：x y z m n x y z m n ----=----，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现x -，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x 的符号为负，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是x y z m n x y z m n ----=----；x y z m n x y z m n----=-+--；||x y z m n x y z m n----=--+-；x y z m n x y z m n ----=---+．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是x y z m n x y z m n----=--+-；x y z m n x y z m n----=---+；x y z m n x y z m n ----=-+-+．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11.计算1023-+=_____.【答案】1.5【解析】【分析】先根据负整数指数幂及零指数幂化简，再根据有理数的加法计算.【详解】1023-+=11=1.52+.故答案为1.5.【点睛】本题考查了负整数指数幂及零指数幂的意义，任何不等于0的数的负整数次幂，等于这个数的正整数次幂的倒数，非零数的零次幂等于1.12.如图，在正五边形ABCDE 中，连接AC ，则∠BAC 的度数为_____．【答案】36°【解析】【分析】首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和，再求得每个内角的度数，利用等腰三角形的性质可得∠BAC 的度数．【详解】正五边形内角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°∴5401085B ︒︒∠==，∴180B 1801083622BAC ︒︒︒︒-∠-∠===.故答案为36°．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式：（n-2）×180°是解答此题的关键．13.一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是___________．【答案】19【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：根据题意列表如下：红球白球蓝球红球（红球，红球）（白球，红球）（蓝球，红球）白球（红球，白球）（白球，白球）（蓝球，白球）蓝球（红球，蓝球）（白球，蓝球）（蓝球，蓝球）由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，所以两次摸到球的颜色相同的概率为19，故答案为：19．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为___________．【答案】()2150111815x +=【解析】【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意得，()2150111815x +=，故答案为：()2150111815x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．15.如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若4BE =，1CF =，则EF 的长度为___________．【答案】3【解析】【分析】证明AFC BEA ≌△△，得到,BE AF CF AE ==，即可得解．【详解】解：∵90BAC ∠=︒，∴90EAB EAC ∠+∠=︒，∵BE AD ⊥，CF AD ⊥，∴90AEB AFC ∠=∠=︒，∴90ACF EAC ∠+∠=︒，∴ACF BAE ∠=∠，在AFC △和BEA △中：AEB CFA ACF BAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS AFC BEA ≌△△，∴4,1AF BE AE CF ====，∴413EF AF AE =-=-=，故答案为：3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．16.如图，O 是矩形ABCD 的外接圆，若4,3AB AD ==，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）【答案】25124π-【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到5BD =，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．【详解】解：连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD 是O 的直径，∵4,3AB AD ==，∴5BD ==，∴O 的半径为52，∴O 的面积为254π，矩形的面积为3412⨯=，∴阴影部分的面积为25124π-；故答案为25124π-；【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．17.若关于x 的一元一次不等式组+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是___________．【答案】4【解析】【分析】先解不等式组，确定a 的取值范围6a ≤，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得12a y -=，由分式方程有正整数解，确定出a 的值，相加即可得到答案．【详解】解：+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩①②解不等式①得：5x ≤，解不等式②得：1+2a x ≥，∴不等式的解集为1+52a x ≤≤，∵不等式组至少有2个整数解，∴1+42a ≤，解得：6a ≤；∵关于y 的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解，∴()1422a y ---=解得：12a y -=，即102a -≥且122a -≠，解得：1a ≥且5a ≠∴a 的取值范围是16a ≤≤，且5a ≠∴a 可以取：1，3，∴134+=，故答案为：4．【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．18.如果一个四位自然数abcd 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab bc cd -=，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵411229-=，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53322124-=≠，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a312，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．【答案】①.4312②.8165【解析】【分析】根据递减数的定义进行求解即可．【详解】解：∵a312是递减数，∴1033112a +-=，∴4a =，∴这个数为4312；故答案为：4312∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，∴101010a b b c c d +--=+，∵1001010010abc bcd a b c b c d +=+++++，∴110010110100110001abc bcd a b c b b a b a b c +=++++++--=，∵()11010199112a b a b a b +=+++，能被9整除，∴112a b +能被9整除，∵各数位上的数字互不相等且均不为0，∴12345678,,,,,,,87654321a a a a a a a ab b b b b b b b ========⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨========⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩，∵最大的递减数，∴8,1a b ==，∴1089110c c d ⨯-⨯-=+，即：1171c d +=，∴c 最大取6，此时5d =，∴这个最大的递减数为8165．故答案为：8165．【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19.计算：（1）()()()211a a a a -++-；（2）22.211x x x x x x ⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭【答案】（1）21a -（2）11x +【解析】【分析】（1）先计算单项式乘多项式，平方差公式，再合并同类项即可；（2）先通分计算括号内，再利用分式的除法法则进行计算．【小问1详解】解：原式2221a a a =-+-21a =-；【小问2详解】原式()222.11x x x x x x ⎛⎫+-=÷ ⎪++⎝⎭()22211x x x x =÷++()22211x x x x +=⋅+11x =+．【点睛】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．20.学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC 的垂直平分线交DC 于点E ，交AB 于点F ，垂足为点O ．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，EF 垂直平分AC ，垂足为点O ．求证：OE OF =．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=①．∵EF 垂直平分AC ，∴②．又EOC ∠=___________③．∴()COE AOF ASA ∆≅∆．∴OE OF =．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线④．【答案】作图：见解析；FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【解析】【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．【详解】解：如图，即为所求；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=FAO ∠．∵EF 垂直平分AC ，∴AO CO =．又EOC ∠=FOA ∠．∴()COE AOF ASA ≅．∴OE OF =．故答案为：FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．21.为了解A 、B 两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A 、B 两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x 表示，共分为三组：合格6070x ≤<，中等7080x ≤<，优等80x ≥），下面给出了部分信息：A 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60,64,67,69,71,71,72,72,72,82B 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70,71,72,72,73两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B 款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图类别A B平均数7070中位数71b 众数a 67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中=a ___________，b =___________，m =___________；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A 款智能玩具飞机200架、B 款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？【答案】（1）72，70.5，10；（2）B 款智能玩具飞机运行性能更好；因为B 款智能玩具飞机运行时间的方差比A 款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；（3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．【解析】【分析】（1）由A款数据可得A款的众数，即可求出a，由B款扇形数据可求得合格数及优秀数，从而求得中位数及优秀等次的百分比；（2）根据方差越小越稳定即可判断；（3）用样本数据估计总体，分别求出两款飞机中等及以上的架次相加即可．【小问1详解】解：由题意可知10架A款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中，只有72出现了三次，且次数最多，则该组数据的众数为72，即72a=；由B款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知，合格的百分比为40%，则B款智能玩具飞机运行时间合格的架次为：1040%4⨯=（架）则B款智能玩具飞机运行时间优等的架次为：10451--=（架）则B款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为：70,71，故B款智能玩具飞机运行时间的中位数为：707170.5 2+=B款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为：1100%10% 10⨯=即10m=故答案为：72，70.5，10；【小问2详解】B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；【小问3详解】200架A款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：620012010⨯=（架）200架A款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：61207210⨯=（架）则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：12072192+=架，答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．。
2024年重庆市中考真题数学试卷(A卷)含答案解析
2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个数中，最小的数是（）A．2-B．0C．3D．1 2 -2．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．3．已知点()3,2-在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，则k 的值为（ ）A ．3-B ．3C ． 6-D ．64．如图，AB CD ∥，165∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．105︒B ．115︒C ．125︒D ．135︒【答案】B【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得3165∠=∠=︒，由邻补角性质得23180∠+∠=︒，然后求解即可，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．【详解】解：如图，∵AB CD ∥，∴3165∠=∠=︒，∵23180∠+∠=︒，∴2115∠=︒，故选：B ．5．若两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是（ ）A ．1:3B ．1:4C ．1:6D ．1:9【答案】D【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可．【详解】解：两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是1:9，故选：D ．6．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）A ．20B ．22C ．24D ．26【答案】B【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可．【详解】解：由图可得，第1种如图①有4个氢原子，即2214+⨯=第2种如图②有6个氢原子，即2226+⨯=第3种如图③有8个氢原子，即2238+⨯=⋯，∴第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：221022+⨯=；故选：B ．7．已知m =m 的范围是（ ）A ．23m <<B ．34m <<C ．45m <<D ．56m <<8．如图，在矩形ABCD 中，分别以点A 和C 为圆心，AD 长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若4=AD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．328π-B ．4π-C ．324π-D ．8π-根据题意可得2AC AD =∵矩形ABCD ，∴AD BC =在Rt ABC △中，AB =9．如图，在正方形ABCD 的边CD 上有一点E ，连接AE ，把AE 绕点E 逆时针旋转90︒，得到FE ，连接CF 并延长与AB 的延长线交于点G ．则FGC E的值为（ ）AB C D 由旋转得,90EA EF AEF =∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴90D Ð=°，DC AB ∥，DA =∴D H ∠=∠，10．已知整式1110:n n n n M a x a x a x a --++++ ，其中10,,,n n a a - 为自然数，n a 为正整数，且1105n n n a a a a -+++++= ．下列说法：①满足条件的整式M 中有5个单项式；②不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且只有3个；③满足条件的整式M 共有16个．其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得04n ≤≤，再分类讨论得到答案即可．【详解】解：∵10,,,n n a a - 为自然数，n a 为正整数，且1105n n n a a a a -+++++= ，∴04n ≤≤，当4n =时，则2104345a a a a a +++++=，∴41a =，23100a a a a ====，满足条件的整式有4x ，当3n =时，则210335a a a a ++++=，∴()()3210,,,2,0,0,0a a a a =，()1,1,0,0，()1,0,1,0，()1,0,0,1，满足条件的整式有：32x ，32x x +，3x x +，31x +，当2n =时，则21025a a a +++=，∴()()210,,3,0,0a a a =，()2,1,0，()2,0,1，()1,2,0，()1,0,2，()1,1,1，满足条件的整式有：23x ，22x x +，221x +，22x x +，22x +，21x x ++；当1n =时，则1015a a ++=，∴()()10,4,0a a =，()3,1，()1,3，()2,2，满足条件的整式有：4x ，31x +，3x +，22x +；当0n =时，005a +=，满足条件的整式有：5；∴满足条件的单项式有：4x ，32x ，23x ，4x ，5，故①符合题意；不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且只有3个；故②符合题意；满足条件的整式M 共有1464116++++=个．故③符合题意；故选D二、填空题11．计算：011(3)(2π--+＝ ．12．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 ．【答案】9【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．故答案为：9．13．重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A 、B 、C 三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点B 的概率为 ．由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点∴甲、乙两人同时选择景点B 的的概率为19，故答案为：19．14．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．【答案】10%【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x ，然后根据题意可列方程进行求解．【详解】解：设平均增长率为x ，由题意得：()240148.4x +=，解得：10.110%x ==，2 2.1x =-（不符合题意，舍去）；故答案为：10%．15．如图，在ABC 中，延长AC 至点D ，使CD CA =，过点D 作DE CB ∥，且DE DC =，连接AE 交BC 于点F ．若CAB CFA ∠=∠，1CF =，则BF = ．【答案】3【分析】先根据平行线分线段成比例证AF EF =，进而得22DE CD AC CF ====，4AD =，再证明CAB DEA ≌，得4BC AD ==，从而即可得解．16．若关于x 的不等式组()411321x x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13211a y y-=---的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ．17．如图，以AB 为直径的O 与AC 相切于点A ，以AC 为边作平行四边形ACDE ，点D 、E 均在O 上，DE 与AB 交于点F ，连接CE ，与O 交于点G ，连接DG ．若10,8AB DE ==，则AF = ．DG = ．∵以AB 为直径的O 与AC ∴AB AC ⊥，∴90CAB ∠=︒，∵四边形ACDE 为平行四边形，∴∥D E A C ，8AC DE ==，18．我们规定：若一个正整数A 能写成2m n -，其中m 与n 都是两位数，且m 与n 的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A 为“方减数”，并把A 分解成2m n -的过程，称为“方减分解”．例如：因为26022523=-，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成26022523=-的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数”A 进行“方减分解”，即2A m n =-，将m 放在n 的左边组成一个新的四位数B ，若B 除以19余数为1，且22m n k +=（k 为整数），则满足条件的正整数A 为 ．三、解答题19．计算：(1)()()22x x y x y -++；(2)22111a a a a -⎛⎫+÷ ⎪+．20．为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x 表示，共分成四组：A ．6070x <≤；B ．7080x <≤；C ．8090x <≤；D ．90100x <≤），下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.八年级20名学生的竞赛成绩在C 组的数据是：81，82，84，87，88，89．七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8585中位数86b 众数a 79根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中=a ______，b =______，m =______；(2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀()90x >的学生人数是多少？【答案】(1)86，87.5，40；(2)八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析；(3)该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320人．【分析】（1）根据表格及题意可直接进行求解；（2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果；（3）由题意可得出参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，然后可进行求解；本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键．【详解】（1）根据七年级学生竞赛成绩可知：86出现次数最多，则众数为86，八年级竞赛成绩中A 组：2010%2⨯=（人），B 组：2020%4⨯=（人），21．在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：(1)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE．（不写作法，保留作图痕迹）(2)已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且⊥．求证：四边形AECF是菱形．EF AC证明：∵四边形ABCD是矩形，．∴AB CD∠=∠．∴①，OCF OAE∵点O是AC的中点，∴②．∴CFO AEO≅△△（AAS）．∴③．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．进一步思考，如果四边形ABCD 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．【答案】(1)见解析(2)①OFC OEA ∠=∠；②OA OC =；③OF OE =；④四边形AECF 是菱形【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图：（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可；（2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到OFC OEA ∠=∠，OCF OAE ∠=∠，进而证明()AAS CFO AEO ≌，得到OF OE =，即可证明四边形AECF 是平行四边形．再由EF AC ⊥，即可证明四边形AECF 是菱形．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ．∴OFC OEA ∠=∠，OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点，∴OA OC =．∴()AAS CFO AEO ≌．∴OF OE =．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ．∴OFC OEA ∠=∠，OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点，∴OA OC =．∴()AAS CFO AEO ≌．∴OF OE =．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．故答案为：①OFC OEA ∠=∠；②OA OC =；③OF OE =；④四边形AECF 是菱形．22．为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；(2)需要更新设备费用为1330万元23．如图，在ABC 中，6AB =，8BC =，点P 为AB 上一点，过点P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ．设AP 的长度为x ，点P ，Q 的距离为1y ，ABC 的周长与APQ △的周长之比为2y ．(1)请直接写出1y ，2y 分别关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数1y ，2y 的图象；请分别写出函数1y ，2y 的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出12y y >时x 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）（3）解：由函数图象可知，当12y y >时x 的取值范围2.26x <≤．24．如图，甲、乙两艘货轮同时从A 港出发，分别向B ，D 两港运送物资，最后到达A 港正东方向的C 港装运新的物资．甲货轮沿A 港的东南方向航行40海里后到达B 港，再沿北偏东60︒方向航行一定距离到达C 港．乙货轮沿A 港的北偏东60︒方向航行一定距离到达D 港，再沿南偏东30︒方向航行一定距离到达C 港． 1.41≈ 1.73≈，2.45≈）(1)求A ，C 两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B 、D 两港的时间相同），哪艘货轮先到达C 港？请通过计算说明．∴90AEB CEB ∠=∠=︒，由题意可知：45GAB ∠=︒，∴45BAE ∠=︒，∴cos 40cos AE AB BAE =∠=⨯∴tan 202tan CE BE EBC =∠=25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,6-，与y 轴交于点C ，与x 轴交于A B ，两点（A 在B 的左侧），连接tan 4AC BC CBA ∠=，，．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是射线CA 上方抛物线上的一动点，过点P 作PE x ⊥轴，垂足为E ，交AC 于点D ．点M 是线段DE 上一动点，MN y ⊥轴，垂足为N ，点F 为线段BC 的中点，连接AM NF ，．当线段PD 长度取得最大值时，求AM MN NF ++的最小值；(3)将该抛物线沿射线CA 方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD 长度取得最大值时的点D ，且与直线AC 相交于另一点K ．点Q 为新抛物线上的一个动点，当QDK ACB ∠∠=时，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．∴()4,0A -，设直线AC 的解析式为y =代入()4,0A -，得04m =-解得1m =，∴直线AC 的解析式为y =()当0y =时，046x =--，解得32x =-，∴3,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵()4,0A -，()0,4C ，∴OA OC =，∴45OAC OCA ∠=∠=︒，∵DR x ∥轴，26．在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上一点（点D 不与端点重合）．点D 关于直线AB 的对称点为点E ，连接,AD DE ．在直线AD 上取一点F ，使EFD BAC ∠∠=，直线EF 与直线AC 交于点G ．(1)如图1，若60,,BAC BD CD BAD α∠=︒<∠=，求AGE ∠的度数（用含α的代数式表示）；(2)如图1，若60,BAC BD CD ∠=︒<，用等式表示线段CG 与DE 之间的数量关系，并证明；(3)如图2，若90BAC ∠=︒，点D 从点B 移动到点C 的过程中，连接AE ，当AEG △为等腰三角形时，请直接写出此时CG AG 的值．∵EFD BAC ∠∠=，BAC ∠∴60EFD ∠=︒∵1EFD BAD ∠=∠+∠=∠∴160α∠=︒-，∵,AB AC EFD BAC =∠=∠∴=45ABC ∠︒，由轴对称知EAB ∠=∠试题31设BAD BAE β∠=∠=，∴90DAC GAF ∠=∠=︒∴GAE EAF GAF ∠=∠-∠∵GE GA =，。
2023年重庆万州中考数学真题及答案(A卷)
2023年重庆万州中考数学真题及答案(A 卷)（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠）的顶点坐标为2424,b ac b a a ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，对称轴为2b x a =-一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.8的相反数是（）A.8- B.8C.18D.18-【答案】A 【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：8的相反数是8-，故选A．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】从正面看第一层是2个小正方形，第二层右边1个小正方形，故选：D．【点睛】考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．3.反比例函数4y x=-的图象一定经过的点是（）A.()14， B.()14--， C.()22-，D.()22，【答案】C 【解析】【分析】根据题意将各项的坐标代入反比例函数4y x=-即可解答．【详解】解：A 、将1x =代入反比例函数4y x=-得到14y =-≠，故A 项不符合题意；B 、项将1x =-代入反比例函数4y x=-得到44y =≠-，故B 项不符合题意；C 、项将代入反比例函数4y x=-得到22y ==，故C 项符合题意；D 、项将2x =代入反比例函数4y x=-得到22y =-≠，故D 项不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数图象上则其坐标一定满足函数解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．4.若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是（）A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16【答案】B 【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为1:4，∴相似三角形的对应边比为1:4，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键．5.如图，,⊥∥AB CD AD AC ，若155∠=︒，则2∠的度数为（）A.35︒B.45︒C.50︒D.55︒【答案】A 【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得CAB ∠的度数，根据垂直的定义可得90CAD ∠=︒，然后根据2CAB CAD Ð=Ð-Ð即可得出答案．【详解】解：∵AB CD ∥，155∠=︒，∴18055125CAB Ð=°-°=°，∵AD AC ⊥，∴90CAD ∠=︒，∴21259035CAB CAD Ð=Ð-Ð=°-°=°，故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键．6.估计2810的值应在（）A.7和8之间B.8和9之间C .9和10之间D.10和11之间【答案】B 【解析】【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．28101620=45=+∵25 2.5<<，∴455<<，∴8459<+<，故选：B．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．7.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A.39B.44C.49D.54【答案】B 【解析】【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，第⑧个图案用的木棍根数是45844+⨯=根，故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．8.如图，AC 是O 的切线，B 为切点，连接OA OC ，．若30A ∠=︒，AB =3BC =，则OC 的长度是（）A.3B.C.D.6【答案】C 【解析】【分析】根据切线的性质及正切的定义得到2OB =，再根据勾股定理得到OC =【详解】解：连接OB ，∵AC 是O 的切线，B 为切点，∴OB AC ⊥，∵30A ∠=︒，AB =，∴在Rt OAB 中，tan 23OB AB A =⋅∠==，∵3BC =，∴在Rt OBC 中，OC ==，故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．9.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，连接AE ，AF ，EF ，45EAF ∠=︒．若BAE α∠=，则FEC ∠一定等于（）A.2αB.902α︒-C.45α︒- D.90α︒-【答案】A 【解析】【分析】利用三角形逆时针旋转90︒后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．【详解】将ADF 绕点A 逆时针旋转90︒至ABH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90B D BAD C ∠=∠=∠=∠=︒，由旋转性质可知：DAF BAH ∠=∠，90D ABH ∠=∠=︒，AF AH =，∴180AHB ABC ∠+∠=︒，∴点H B C ，，三点共线，∵BAE α∠=，45EAF ∠=︒，90BAD HAF ∠=∠=︒，∴45DAF BAH α∠=∠=︒-，45EAF EAH ∠=∠=︒，∵90AHB BAH ∠+∠=︒，∴45AHB α∠=︒+，在AEF 和AEH 中AF AH FAE HAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AFE AHE SAS ≌，∴45AHE AFE α∠=∠=︒+，∴45AHE AFD AFE α∠=∠=∠=︒+，∴902DFE AFD AFE α∠=∠+∠=︒+，∵90DFE FEC C FEC ∠=∠+∠=∠+︒，∴2FEC α∠=，故选：A ．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度．10.在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x y z m n x y z m n----=--+-，x y z m n x y z m n ----=---+，……．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据“绝对操作”的定义及绝对值的性质对每一项判断即可解答．【详解】解：∵x y z m n >>>>，∴x y z m n x y z m n ----=----，∴存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等，故①正确；根据绝对操作的定义可知：在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中，经过绝对操作后，z n m 、、的符号都有可能改变，但是x y 、的符合不会改变，∴不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②正确；∵在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中，经过“绝对操作”可能产生的结果如下：∴x y z m n x y z m n ----=----，x y z m n x y z m n ----=-+--，x y z m n x y z m n x y z m n ----=----=--+-，x y z m n x y z m n x y z m n ----=----=---+，x y z m n x y z m n ----=-+-+，共有5种不同运算结果，故③错误；故选C．【点睛】本题考查了新定义“绝对操作”，绝对值的性质，整式的加减运算，掌握绝对值的性质是解题的关键．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11.计算1023-+=_____.【答案】1.5【解析】【分析】先根据负整数指数幂及零指数幂化简，再根据有理数的加法计算.【详解】1023-+=11=1.52+.故答案为1.5.【点睛】本题考查了负整数指数幂及零指数幂的意义，任何不等于0的数的负整数次幂，等于这个数的正整数次幂的倒数，非零数的零次幂等于1.12.如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠BAC的度数为_____．【答案】36°【解析】【分析】首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和，再求得每个内角的度数，利用等腰三角形的性质可得∠BAC的度数．【详解】正五边形内角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°∴5401085B︒︒∠==，∴180B1801083622BAC︒︒︒︒-∠-∠===.故答案为36°．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式：（n-2）×180°是解答此题的关键．13.一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是___________．【答案】1 9【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：根据题意列表如下：红球白球蓝球红球（红球，红球）（白球，红球）（蓝球，红球）白球（红球，白球）（白球，白球）（蓝球，白球）蓝球（红球，蓝球）（白球，蓝球）（蓝球，蓝球）由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，所以两次摸到球的颜色相同的概率为1 9，故答案为：19．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为___________．【答案】()2150111815x +=【解析】【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意得，()2150111815x +=，故答案为：()2150111815x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．15.如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若4BE =，1CF =，则EF 的长度为___________．【答案】3【解析】【分析】证明AFC BEA ≌△△，得到,BE AF CF AE ==，即可得解．【详解】解：∵90BAC ∠=︒，∴90EAB EAC ∠+∠=︒，∵BE AD ⊥，CF AD ⊥，∴90AEB AFC ∠=∠=︒，∴90ACF EAC ∠+∠=︒，∴ACF BAE ∠=∠，在AFC △和BEA △中：AEB CFA ACF BAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS AFC BEA ≌△△，∴4,1AF BE AE CF ====，∴413EF AF AE =-=-=，故答案为：3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．16.如图，O 是矩形ABCD 的外接圆，若4,3AB AD ==，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）【答案】25124π-【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到5BD =，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．【详解】解：连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD 是O 的直径，∵4,3AB AD ==，∴5BD ==，∴O 的半径为52，∴O 的面积为254π，矩形的面积为3412⨯=，∴阴影部分的面积为25124π-；故答案为25124π-；【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．17.若关于x 的一元一次不等式组+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是___________．【答案】4【解析】【分析】先解不等式组，确定a 的取值范围6a ≤，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得12a y -=，由分式方程有正整数解，确定出a 的值，相加即可得到答案．【详解】解：+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩①②解不等式①得：5x ≤，解不等式②得：1+2a x ≥，∴不等式的解集为1+52a x ≤≤，∵不等式组至少有2个整数解，∴1+42a ≤，解得：6a ≤；∵关于y 的分式方程14222a y y -+=--有非负整数解，∴()1422a y ---=解得：12a y -=，即102a -≥且122a -≠，解得：1a ≥且5a ≠∴a 的取值范围是16a ≤≤，且5a ≠∴a 可以取：1，3，∴134+=，故答案为：4．【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．18.如果一个四位自然数abcd 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab bc cd -=，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵411229-=，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53322124-=≠，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a312，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．【答案】①.4312②.8165【解析】【分析】根据递减数的定义进行求解即可．【详解】解：∵a312是递减数，∴1033112a +-=，∴4a =，∴这个数为4312；故答案为：4312∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，∴101010a b b c c d +--=+，∵1001010010abc bcd a b c b c d +=+++++，∴110010110100110001abc bcd a b c b b a b a b c +=++++++--=，∵()11010199112a b a b a b +=+++，能被9整除，∴112a b +能被9整除，∵各数位上的数字互不相等且均不为0，∴12345678,,,,,,,87654321a a a a a a a a b b b b b b b b ========⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨========⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩，∵最大的递减数，∴8,1a b ==，∴1089110c c d ⨯-⨯-=+，即：1171c d +=，∴c 最大取6，此时5d =，∴这个最大的递减数为8165．故答案为：8165．【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19.计算：（1）()()()211a a a a -++-；（2）22.211x x x x x x ⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭【答案】（1）21a -（2）11x +【解析】【分析】（1）先计算单项式乘多项式，平方差公式，再合并同类项即可；（2）先通分计算括号内，再利用分式的除法法则进行计算．【小问1详解】解：原式2221a a a =-+-21a =-；【小问2详解】原式()222.11x x x x x x ⎛⎫+-=÷ ⎪++⎝⎭()22211x x x x =÷++()22211x x x x +=⋅+11x =+．【点睛】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．20.学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC 的垂直平分线交DC 于点E ，交AB 于点F ，垂足为点O ．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，EF 垂直平分AC ，垂足为点O ．求证：OE OF =．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=①．∵EF 垂直平分AC ，∴②．又EOC ∠=___________③．∴()COE AOF ASA ∆≅∆．∴OE OF =．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线④．【答案】作图：见解析；FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【解析】【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．【详解】解：如图，即为所求；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=FAO ∠．∵EF 垂直平分AC ，∴AO CO =．又EOC ∠=FOA ∠．∴()COE AOF ASA ≅ ．∴OE OF =．故答案为：FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．21.为了解A 、B 两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A 、B 两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x 表示，共分为三组：合格6070x ≤<，中等7080x ≤<，优等80x ≥），下面给出了部分信息：A 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60,64,67,69,71,71,72,72,72,82B 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70,71,72,72,73两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B 款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图类别A B平均数7070中位数71b 众数a 67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中=a___________，b=___________，m=___________；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？【答案】（1）72，70.5，10；（2）B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；（3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．【解析】【分析】（1）由A款数据可得A款的众数，即可求出a，由B款扇形数据可求得合格数及优秀数，从而求得中位数及优秀等次的百分比；（2）根据方差越小越稳定即可判断；（3）用样本数据估计总体，分别求出两款飞机中等及以上的架次相加即可．【小问1详解】解：由题意可知10架A款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中，只有72出现了三次，且次数最多，则该组数据的众数为72，即72a=；由B款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知，合格的百分比为40%，则B款智能玩具飞机运行时间合格的架次为：1040%4⨯=（架）则B款智能玩具飞机运行时间优等的架次为：10451--=（架）则B款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为：70,71，故B款智能玩具飞机运行时间的中位数为：707170.5 2+=B款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为：1100%10% 10⨯=即10m=故答案为：72，70.5，10；【小问2详解】B 款智能玩具飞机运行性能更好；因为B 款智能玩具飞机运行时间的方差比A 款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；【小问3详解】200架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：620012010⨯=（架）200架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：61207210⨯=（架）则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：12072192+=架，答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数、众数、百分比，用方差做决策，用样本估计总体；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．22.某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？【答案】（1）购买杂酱面80份，购买牛肉面90份（2）购买牛肉面90份【解析】【分析】（1）设购买杂酱面x 份，则购买牛肉面()170x -份，由题意知，()152********x x +⨯-=，解方程可得x 的值，然后代入170x -，计算求解，进而可得结果；（2）设购买牛肉面a 份，则购买杂酱面1.5a 份，由题意知，1260120061.5a a+=，计算求出满足要求的解即可．【小问1详解】解：设购买杂酱面x 份，则购买牛肉面()170x -份，由题意知，()152********x x +⨯-=，解得，80x =，∴17090x -=，∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；【小问2详解】解：设购买牛肉面a 份，则购买杂酱面1.5a 份，由题意知，1260120061.5a a+=，解得90a =，经检验，90a =是分式方程的解，∴购买牛肉面90份．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．23.如图，ABC 是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点E 沿折线A B C →→方向运动，点F 沿折线A C B →→方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．（1）请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．【答案】（1）当04t <≤时，y t =；当46t <≤时，122y t =-；（2）图象见解析，当04t <≤时，y 随x 的增大而增大（3）t 的值为3或4.5【解析】【分析】（1）分两种情况：当04t <≤时，根据等边三角形的性质解答；当46t <≤时，利用周长减去2AE 即可；（2）在直角坐标系中描点连线即可；（3）利用3y =分别求解即可．【小问1详解】解：当04t <≤时，连接EF ，由题意得AE AF =，60A ∠=︒，∴AEF △是等边三角形，∴y t =；当46t <≤时，122y t =-；【小问2详解】函数图象如图：当04t <≤时，y 随x 的增大而增大；【小问3详解】当04t <≤时，3y =即3t =；当46t <≤时，3y =即1223t -=，解得 4.5t =，故t 的值为3或4.5．【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键．24.为了满足市民的需求，我市在一条小河AB 两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①A D C B ---；②A E B --．经勘测，点B 在点A 的正东方，点C 在点B 的正北方10千米处，点D 在点C 的正西方14千米处，点D 在点A 的北偏东45︒方向，点E 在点A 的正南方，点E 在点B 的南偏西60︒方向．（参考数据：2 1.41,3 1.73)≈≈（1）求AD 的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？【答案】（1）AD 的长度约为14千米（2）小明应该选择路线①，理由见解析【解析】【分析】（1）过点D 作DF AB ⊥于点F ，根据题意可得四边形BCDF 是矩形，进而得出10DF BC ==，然后解直角三角形即可；（2）分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可．【小问1详解】解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，由题意可得：四边形BCDF 是矩形，∴10DF BC ==千米，∵点D 在点A 的北偏东45︒方向，∴45DAF DAN Ð=Ð=°，∴10214sin 45DF AD ==»°千米，答：AD 的长度约为14千米；【小问2详解】由题意可得：10BC =，14CD =，∴路线①的路程为：102141024238AD DC BC ++=+=+（千米），∵10DF BC ==，45DAF DAN Ð=Ð=°，90DFA ∠=︒，∴DAF △为等腰直角三角形，∴10AF DF ==，∴101424AB AF BF AF DC =+=+=+=，由题意可得60EBS Ð=°，∴60E ∠=︒，∴tan 60AB AE ==°，sin 60AB BE ==°，所以路线②的路程为：42AE BE +==»千米，∴路线①的路程<路线②的路程，故小明应该选择路线①．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义，掌握特殊角三角函数值是解本题的关键．25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++过点()1,3，且交x 轴于点()1,0A -，B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PDE △周长的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中PDE △周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB 位长度，点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．【答案】（1）213222y x x =-++（2）PDE △周长的最大值65105+，此时点()2,3P（3）以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时59,22N ⎛⎫-⎪⎝⎭或137,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或137,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）把()1,3、()1,0A -代入22y ax bx =++计算即可；（2）延长PE 交x 轴于F ，可得DEP BCO ∠=∠，进而得到DPE OBC ，DPE PE OBC BC=周长周长 ，求出PE 的最大值即可；（3）先求出平移后的解析式，再设出M ，N 的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可．【小问1详解】把()1,3、()1,0A -代入22y ax bx =++得，3202a b a b =++⎧⎨=-+⎩，解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为213222y x x =-++；【小问2详解】延长PE 交x 轴于F，∵过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，∴DEP BCO ∠=∠，90PDE COB ∠=∠=︒，∴DPE OBC ，∴DPE PE OBC BC=周长周长 ，∴PE DPE OBC BC =⋅周长周长 ，∴当PE 最大时PDE △周长的最大∵抛物线的表达式为213222y x x =-++，∴()4,0B ，∴直线BC 解析式为122y x =-+，BC ==设213,222P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴()222131112222222222PE m m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当2m =时2PE =最大，此时()2,3P∵BOC 周长为6OC OB BC ++=+，∴PDE △(651065++=，此时()2,3P ，即PDE △周长的最大值65105，此时点()2,3P ；【小问3详解】∵将该抛物线沿射线CB 方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，∴平移后的解析式为()()221317222142222y x x x x =--+-+-=-+-，此抛物线对称轴为直线72x =，∴设7,2M n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),N s t ∵()2,3P ，()1,0A -∴218PA =，()()22227923324PM n n ⎛⎫=-+-=+- ⎪⎝⎭，()22227811024AM n n ⎛⎫=++-=+ ⎪⎝⎭，当PA 为对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形∴PA 与MN 互相平分，且PM AM=∴()22981344n n +-=+，解得32n =-∵PA 中点坐标为2130,22-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，MN 中点坐标为72,22s n t ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴7123s n t ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得5292s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当PA 为边长且AM 和PN 是对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形∴AM 与PN 互相平分，且PMPA =∴()293184n +-=，解得32n =±∵PN 中点坐标为23,22s t ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，AM 中点坐标为7102,22n ⎛⎫- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴721230s t n ⎧+=-⎪⎨⎪+=+⎩，解得12372s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，此时137,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或137,22N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；同理，当PA 为边长且AN 和PM 是对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形∴AN 和PM 互相平分，且AM PA =281184n +=，此方程无解；综上所述，以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或137,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．26.在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．（1）如图1，若9AC =，BD =，求线段AD 的长．（2）如图2，以CD 为边在CD 上方作等边CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若G BCE ∠=∠，求证：GF BF BE =+．（3）在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将BEM 沿BM 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将BCP 沿BC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BCQ ，请直接写出此时NQ CP 的值．【答案】（1）（2）见解析（3）435【解析】【分析】（1）解Rt ABC ，求得AB ，根据AD AB BD =-即可求解；（2）延长FB 使得FH FG =，连接EH ，可得()SAS GFD HFE ≌，根据60DEC DBC ==︒∠∠，得出,,,B C D E 四点共圆，则EDB BCE ∠=∠，BEC BDC ∠=∠，得出6060BEH BEC BDC EDB ∠=︒-∠=︒-∠=∠，结合已知条件得出H BEH ∠=∠，可得EB BH =，即可得证；（3）在CD 取得最小值的条件下，即CD AB ⊥，设4AB a =，则2BC a =，AC =，根据题意得出点N 在以B 为圆心，a 为半径的圆上运动，取AB 的中点S ，连接SP ，则SP是ABN 的中位线，P 在半径为12a 的S 上运动，当CP 取最大值时，即,,P S C 三点共线时，此时如图，过点P 作PT AC ⊥于点T ，过点N 作NR AC ⊥于点R ，连接PQ ，交NR 于点U ，则四边形PURT 是矩形，得出PD 是ANR 的中位线，同理可得PT 是ANR 的中位线，BCS △是等边三角形，将BCP 沿BC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BCQ ，则2120QCP BCP ∠=∠=︒，在Rt NUQ 中，勾股定理求得NQ ，进而即可求解．【小问1详解】解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，∴sin 32AC AB B ===，∵BD =，∴AD AB BD =-=；【小问2详解】证明：如图所示，延长FB 使得FH FG =，连接EH，∵F 是DE 的中点则DF FE =，FH FG =，GFD HFE ∠=∠，∴()SAS GFD HFE ≌，∴H G ∠=∠，∴EH GC ∥，∴60HEC ECD ∠=∠=︒∵DEC 是等边三角形，∴60DEC EDC ∠=∠=︒，∵60DEC DBC ==︒∠∠，∴,,,B C D E 四点共圆，∴EDB BCE ∠=∠，BEC BDC ∠=∠，∴6060BEH BEC BDC EDB ∠=︒-∠=︒-∠=∠，∵G BCE BDE H ∠=∠=∠=∠，∴H BEH ∠=∠，∴EB BH =，∴FH FG BF BH BF EB ==+=+；【小问3详解】解：如图所示，。
重庆市2013年中考数学真题试题(A卷)(解析版)
2013年中考数学试题（重庆市A 卷）（本试卷满分150分，考试时间120分钟）参考公式：抛物线()2y ax bx c a 0=++≠的顶点坐标为2b 4ac b 2a 4a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，对称轴为by 2a=-一．选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A ．B ．C ．D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑（或将正确答案的代号填人答题卷中对应的表格内）. 1．在3，－1，0，－2这四个数中，最大的数是【 】A ．0B ．6C ．－2D ．32．计算()232x y 的结果是【 】A ．624x yB ．628x yC ．524x yD ．528x y3．已知∠A=650，则∠A 的补角等于【 】A ．1250B ．1050C ．1150D ．950】4．分式方程210x 2x-=-的根是【 】 A ．x 1= B ．x 1=- C ．x 2= D ．x 2=-5．如图，AB∥CD，AD 平分∠BAC，若∠BAD=700，那么∠ACD 的度数为【 】A ．400B ．350C ．500D ．456．计算006tan 452cos60 的结果是【 】A ．43B ．4C ．53D ．57．某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是是0.21。
则下列说法中，正确的是【 】A ．甲的成绩比乙的成绩稳定B ．乙的成绩比甲的成绩稳定C ．甲、乙两人成绩的稳定性相同D ．无法确定谁的成绩更稳定8．如图，PO 是⊙O 外一点，PA 是⊙O 的切线，PO=26cm ，PA=24 cm ，则⊙O 的周长为【 】A ．18cm πB ．16cm πC ．20cm πD ．24cm π9．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接CE 并延长与BA 的延长线交于点F ，若AE=2ED ，CD=3cm ，则AF 的长为【 】A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm10．下列图形都是由同样大小的矩形按一定规律组成，其中第（1）个图形的面积为22cm ，第（2）个图形的面积为82cm ，第（3）个图形的面积为182cm ，……，由第（1）个图形的面积为【 】A ．1962cmB ．2002cmC ．2162cmD ．2562cm11．万州某运输公司的一艘轮船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地。
2023年重庆市中考数学试卷(A卷)及答案解析
2023年重庆市中考数学试卷（A卷）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）8的相反数是（）A．﹣8B．8C．D．2．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A．B．C．D．3．（4分）反比例函数y＝﹣的图象一定经过的点是（）A．（1，4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，2）D．（2，2）4．（4分）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：165．（4分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．50°D．55°6．（4分）估计（+）的值应在（）A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间7．（4分）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A．39B．44C．49D．548．（4分）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是（）A．3B．C．D．69．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（）A．2αB．90°﹣2αC．45°﹣αD．90°﹣α10．（4分）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．（4分）计算：2﹣1+30＝．12．（4分）如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为．13．（4分）一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是．14．（4分）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为．16．（4分）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）17．（4分）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程+＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．18．（4分）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足﹣＝，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41﹣12＝29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53﹣32＝21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（8分）计算：（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）；（2）÷（x﹣）．20．（10分）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O．求证：OE＝OF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝．∵EF垂直平分AC，∴．又∠EOC＝，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线．21．（10分）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80），下面给出了部分信息：A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．两款智能玩具飞机运行最长时间统计表类别A B平均数7070中位数71b众数a67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝，b＝，m＝；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？22．（10分）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？23．（10分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．24．（10分）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A﹣D﹣C﹣B；②A﹣E﹣B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E 在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73）（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y 轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD．（1）如图1，若AC＝9，BD＝，求线段AD的长；（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE；（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值．2023年重庆市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．【解答】解：8的相反数是﹣8．故选：A．【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．2．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．3．【分析】根据k＝xy对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，∴k＝﹣4，A、∵1×4＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；B、∵﹣1×（﹣4）＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；C、∵﹣2×2＝﹣4，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意；D、∵2×2＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy为定值是解答此题的关键．4．【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，∴这两个三角形对应边的比为1：4，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．5．【分析】根据平行线的性质，可以求得∠BAC+∠1＝180°，然后根据∠1的度数和AD⊥AC，即可得到∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠1＝180°，∵∠1＝55°，∴∠BAC＝125°，∵AD⊥AC，∴∠CAD＝90°，∴∠2＝∠BAC﹣∠CAD＝35°，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．【分析】化简题干中的式子得到4+2，计算出2＜＜2.5．利用不等式的性质，得出式子的值所在的范围．【解答】解：原式＝4+2．∵2.52＝6.25，∴2＜＜2.5，∴4＜2＜5，∴8＜4+2＜9．故选：B．【点评】本题以计算选择为背景考查了无理数的估算，考核了学生对无理数范围确定及不等式的性质的掌握，解题关键是化简式子并确定无理数的范围利用不等式的性质解决问题．解题时应注意合理缩小无理数的范围得到最准确的答案．7．【分析】根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，图案①有：4+5＝9根小木棒，图案②有：4+5×2＝14根小木棒，图案③有：4+5×3＝19根小木棒，…，∴第n个图案有：（4+5n）根小木棒，∴第⑧个图案有：4+5×8＝44根小木棒，故选：B．【点评】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．【分析】根据切线的性质得到OB⊥AC，求得∠ABO＝∠CBO＝90°，得到OB＝AB ＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的切线，∴OB⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝90°，∵∠A＝30°，AB＝2，∴OB＝AB＝2，∵BC＝3，∴OC＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．9．【分析】根据正方形的性质可得AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，易证△GAE≌△FAE（SAS），根据全等三角形的性质可得∠AEF＝∠AEG，进一步根据∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB求解即可．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，如图所示：则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠GAE＝∠FAE＝45°，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴∠AEF＝∠AEG，∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°﹣α，∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α，∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．10．【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．【解答】解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现﹣x，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x的符号为负号，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y ﹣z|﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y ﹣z﹣m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m ﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C．【点评】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．【分析】根据负整数指数幂和零指数幂计算即可．【解答】解：2﹣1+30＝+1＝，故答案为：．【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键．12．【分析】利用多边形内角和公式及正多边形性质易得∠B的度数，AB＝BC，再根据等边对等角，利用三角形内角和定理即可求得答案．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠B＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠BAC＝∠BCA＝＝＝36°，故答案为：36°．【点评】本题主要考查多边形内角和及正多边形性质，利用其求得∠B的度数是解题的关键．13．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，∴两次都摸到红球的概率是，故答案为：．【点评】此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．【分析】根据今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，列一元二次方程即可．【解答】解：根据题意，得1501（1+x）2＝1815，故答案为：1501（1+x）2＝1815．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．15．【分析】先证明△ABE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，进一步可得EF的长．【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠FAC＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AF＝BE，AE＝CF，∵BE＝4，CF＝1，∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．16．【分析】连接BD，根据圆周角定理证得BD是⊙O的直径，利用勾股定理求得直径，然后利用圆的面积减去矩形的面积即可求得阴影部分的面积．【解答】解：连接BD，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝＝＝5，＝S⊙O﹣S矩形ABCD＝﹣3×4＝π﹣12．∴S阴影故答案为：π﹣12．【点评】本题考查了圆的面积和矩形的面积，解题的关键是明确阴影部分的面积是圆的面积减去矩形的面积，属于中考常考题型．17．【分析】先解不等式组，根据至少有2个整数解求出a的取值范围，再解分式方程，根据解是非负整数，可求出满足条件的a的值，进一步求解即可．【解答】解：解不等式组，得，∵至少有2个整数解，∴≤4，∴a≤6，解分式方程+＝2，得y＝，∵y的值是非负整数，a≤6，∴当a＝5时，y＝2，当a＝3时，y＝1，当a＝1时，y＝0，∵y＝2是分式方程的增根，∴a＝5（舍去），∴满足条件的a的值有3和1，∵3+1＝4，∴所有满足条件的整数a的值之和是4．故答案为：4．【点评】本题考查了分式方程与一元一次不等式组的综合，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的解法是解题的关键．18．【分析】根据递减数的概念列方程求a的值，根据递减数的概念先求得10a﹣9b﹣11c＝d，然后根据题意列出两个三位数字之和，结合能被9整除的数的特征分析满足条件的最大值．【解答】解：由题意可得10a+3﹣31＝12，解得a＝4，∴这个数为4312，由题意可得，10a+b﹣（10b+c）＝10c+d，整理，可得10a﹣9b﹣11c＝d，一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为：100a+10b+c+100b+10c+d＝100a+10b+c+100b+10c+10a﹣9b﹣11c＝110a+101b＝99（a+b）+11a+2b，又∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，∴是整数，且a≠b≠c≠d，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，0≤d≤9，a＝9时，原四位数可得最大值，此时b只能取0，不符合题意，舍去，当a＝8时，b＝1，此时71﹣11c＝d，c取9或8或7时，均不符合题意，当c取6时，d＝5，∴满足条件的数的最大值是8165，故答案为：4312；8165．【点评】本题考查新定义运算，理解新定义概念，正确推理计算是解题关键．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．【分析】（1）先由单项式乘以多项式，平方差公式进行化简，然后合并同类项即可；（2）先将括号内的进行合并，除法变成乘法，再约分化简即可．【解答】解：（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）＝2a﹣a2+a2﹣1＝2a﹣1．（2）÷（x﹣）＝＝＝．【点评】此题主要是考查了分式的混合运算，整式的混合运算，能够熟练运用平方差公式，完全平方公式是解答此题的关键．20．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF；过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点平分，故答案为：∠FAO；OA＝OC；∠FOA；被一组对边截得的线段被对角线的中点平分．【点评】此题考查命题与定理，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．21．【分析】（1）根据众数的定义可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，用“1”减去其他两组所占百分百可得m的值；（2）可比较中位数，众数与方差得出结论；（3）利用样本估计总体可求解．【解答】解：（1）A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间中，72出现的次数最多，故众数a＝72，把B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是70和71，故中位数b＝＝70.5，m%＝1﹣50%﹣40%＝10%，即m＝10．故答案为：72，70.5，10；（2）A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好；（答案不唯一）；（3）200×+120×（1﹣40%）＝120+72＝192（架），答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．【点评】本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，方差以及用样本估计总体，解题关键是从统计图表中获取有用信息是解题的关键．22．【分析】（1）设购买炸酱面x份，牛肉面y份，利用总价＝单价×数量，结合该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买牛肉面m份，则购买炸酱面（1+50%）m份，利用单价＝总价÷数量，结合每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，可得出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：（1）设购买炸酱面x份，牛肉面y份，根据题意得：，解得：．答：购买炸酱面80份，牛肉面90份；（2）设购买牛肉面m份，则购买炸酱面（1+50%）m份，根据题意得：﹣＝6，解得：m＝60，经检验，m＝60是所列方程的解，且符合题意．答：购买牛肉面60份．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．23．【分析】（1）根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可；（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，再根据图象写出函数的一个性质即可；（3）根据两个函数关系式分别求出当y＝3时的t值即可解决问题．【解答】解：（1）当点E、F分别在AB、AC上运动时，△AEF为边长等于t的等边三角形，∴点E，F的距离等于AE、AF的长，∴当0≤t≤4时，y关于t的函数表达式为y＝t，当点E、F都在BC上运动时，点E，F的距离等于4﹣2（t﹣4），∴当4＜t≤6时，y关于t的函数表达式为y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t，∴y关于t的函数表达式为；（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当t＝0时，y＝0；当t＝4时，y＝4；当t＝6时，y＝0，分别描出三个点（0，0），（4，4），（6，0），然后顺次连线，如图：该函数的其中一个性质：当0≤t≤4时，y随t的增大而增大．（答案不唯一，正确即可）（3）把y＝3分别代入y＝t和y＝12﹣2t中，得：3＝t，3＝12﹣2t，解得：t＝3或t＝4.5，∴点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5．【点评】本题是三角形综合题，主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键．24．【分析】（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，根据题意可得：四边形ABCF是矩形，从而可得AF＝BC＝10千米，然后在Rt△AFD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；（2）先在Rt△ADF中，根据等腰三角形的判定求出AF的长，再在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AB，AE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答．【解答】解：（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，由题意得：四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米，在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD＝＝＝10≈10×1.41≈14（千米）．∴AD的长度约为14千米；（2）小明应该选择线路①，理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF，∴DF＝AF＝10千米，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣60°＝30°，AB＝DF+CD＝24千米，∴AE＝AB•tan30°＝24×＝8（千米），EB＝2AE＝16千米，按路线①A﹣D﹣C﹣B走的路程为AD+DC+CB＝14+14+10＝38（千米）按路线②A﹣E﹣B走的路程为AE+EB＝8+16≈24×1.73＝41.52（千米）∵38千米＜41.52千米，∴小明应该选择线路①．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）由△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED），即可求解；（3）当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN，列出方程组即可求解；当AM或AN是对角线时，同理可解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）令y＝﹣x2+x+2＝0，解得：x＝4或﹣1，即点B（4，0），∵PE∥y轴，则∠PED＝∠OCB，则tan∠PED＝tan∠OCB＝2，则sin∠PED＝，cos∠PED＝，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+2，则PE＝﹣x2+x+2+x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2≤2，即PE的最大值为2，此时，点P（2，3），则△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED）＝（1++）PE＝，即△PDE周长的最大值为，点P（2，3）；（3）抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位，则平移后抛物线的对称轴为x＝，设点M（，m），点N（s，t），由点A、P的坐标得，AP2＝18，当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN得：，解得：，即点N的坐标为：（﹣，）；当AM或AN是对角线时，由中点坐标公式和AN＝AP或AM＝AP得：或，解得：（不合题意的值已舍去），即点N的坐标为：（，）；综上，点N的坐标为：（，﹣）或（，）或（﹣，）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、菱形的性质、平行四边形的性质、解直角三角形等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．26．【分析】（1）在Rt△ABC中，由∠B＝60°，AC＝9，可得BC＝＝3，AB＝2BC ＝6，即得AD＝AB﹣BD＝5；（2）取AB的中点O，连接OC，证明△BOC为等边三角形，得CO＝CB，∠OCB＝∠BOC＝60°，可得△OCD≌△BCE（SAS），有∠EBC＝∠DOC＝120°，故OC∥BE，在GF上截取HF＝BF，连接DH，可证△BEF≌△HDF（SAS），得BE＝HD，∠BEF＝∠HDF，有DH∥BE，DH∥OC，可得∠HDG＝∠OCD，知∠G＝∠HDG，HG＝HD，从而HG＝BE，GF＝HG+FH＝BE+BF；（3）取AB的中点S，连接PS，在CD取得最小值时，CD⊥AB，设AB＝4a，则BC＝2a，AC＝2a，用面积法得CD＝＝a，BD＝BC＝a，证明△BCD≌△BCE （SAS），知BD＝BE＝a，根据将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM，有BE＝BN＝a，故N的运动轨迹是以B为圆心，a为半径的圆，又PS＝BN ＝a，故P的运动轨迹是以S为圆心，a为半径的圆，当CP最大时，C，P，S三点共线，过P作PT⊥AC于T，过N作NR⊥AC于R，可得△BSC是等边三角形，∠PCB＝60°，BC＝CS＝2a，而CP＝CS+PS＝2a+a＝a，可求得PT＝CP＝a，CT＝PT ＝a，AT＝AC﹣CT＝a，连接PQ交NR于W，根据将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，知PQ⊥BC，故即PW∥AR，PW是△ANR的中位线，同理可得PT是△ANR的中位线，即可得PT＝NW＝RW＝a，PW＝AR＝AT＝a，根据将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，得CP＝CQ，∠QCP＝120°，有PQ＝CP＝a，即得WQ＝PQ﹣PW＝a，从而NQ＝＝a，＝．【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵∠B＝60°，AC＝9，∴BC＝＝3，AB＝2BC＝6∵BD＝，∴AD＝AB﹣BD＝5；（2）证明：取AB的中点O，连接OC，如图：在Rt△ABC中，点O为斜边AB的中点，∴OC＝OB，∵∠ABC＝60°，∴△BOC为等边三角形，∴CO＝CB，∠OCB＝∠BOC＝60°，∴∠DOC＝120°，∵△CDE为等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴∠DCE＝∠OCB＝60°，即∠OCD+∠OCE＝∠OCE+∠BCE，∴∠OCD＝∠BCE，在△OCD和△BCE中，，∴△OCD≌△BCE（SAS），∴∠EBC＝∠DOC＝120°，∴∠OCB+∠EBC＝180°，∴OC∥BE，在GF上截取HF＝BF，连接DH，∵点F是DE的中点，∴FE＝FD．在△BEF和△HDF中，，∴△BEF≌△HDF（SAS），∴BE＝HD，∠BEF＝∠HDF，∴DH∥BE，∴DH∥OC，∴∠HDG＝∠OCD，又∠G＝∠BCE，∴∠G＝∠HDG，∴HG＝HD，∴HG＝BE，∴GF＝HG+FH＝BE+BF；（3）解：取AB的中点S，连接PS，如图：在CD取得最小值时，CD⊥AB，设AB＝4a，则BC＝2a，AC＝2a，＝AC•BC＝AB•CD，∵2S△ABC∴CD＝＝a，BD＝BC＝a，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°，CD＝CE，∴∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB＝60°﹣30°＝30°＝∠DCB，∵BC＝BC，∴△BCD≌△BCE（SAS），。
2023年重庆市中考数学试卷(a卷)
2023年重庆市中考数学试卷（A卷）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）8的相反数是()A．8-B．8C．18-D．182．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是()A．B．C．D．3．（4分）反比例函数4yx=-的图象一定经过的点是()A．(1,4)B．(1,4)--C．(2,2)-D．(2,2) 4．（4分）若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是( )A．1:2B．1:4C．1:8D．1:16 5．（4分）如图，//AB CD，AD AC⊥，若155∠=︒，则2∠的度数为()A．35︒B．45︒C．50︒D．55︒6．（42(810)+的值应在()A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间7．（4分）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，⋯，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是()A．39B．44C．49D．548．（4分）如图，AC是O 的切线，B为切点，连接OA，OC．若30AB=，∠=︒，23ABC=，则OC的长度是()3A．3B．23C．13D．69．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，45∠一定等于()∠=，则FECEAF∠=︒．若BAEαA．2αB．902α︒-︒-C．45α︒-D．90α10．（4分）在多项式x y z m n>>>>中，对相邻的两个字母x y z m n----（其中)间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：||----=--+-，x y z m n x y z m n----=---+，⋯．下列说法：x y z m n x y z m n||||①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．（4分）计算：1023-+=．12．（4分）如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么BAC∠的度数为．13．（4分）一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是．14．（4分）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．15．（4分）如图，在Rt ABC∆中，90∠=︒，AB AC=，点D为BC上一点，连BAC接AD．过点B作BE AD⊥于点E，过点C作CF AD⊥交AD的延长线于点F．若BE=，14CF=，则EF的长度为．16．（4分）如图，O 是矩形ABCD的外接圆，若4AB=，3AD=，则图中阴影部分的面积为．（结果保留)π17．（4分）若关于x的一元一次不等式组34222xx a+⎧⎪⎨⎪-⎩至少有2个整数解，且关于y的分式方程14222ay y-+=--有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．18．（4分）如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab bc cd-=，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，411229-=，4129∴是“递减数”；又如：四位数5324，53322124-=≠，5324∴不是“递减数”．若一个“递减数”为312a，则这个数为；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（8分）计算：（1）(2)(1)(1)a a a a-++-；（2）22(211x xxx x x÷-+++．20．（10分）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O．求证：OE OF=．证明： 四边形ABCD是平行四边形，∴．DC AB//∴∠=．ECO垂直平分AC，EF∴．又EOC∠=，∴∆≅∆．()COE AOF ASA∴=．OE OF小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线．21．（10分）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格6070x<，优等80)x<，中等7080x，下面给出了部分信息：A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．两款智能玩具飞机运行最长时间统计表类别A B平均数7070中位数71b众数a67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a=，b=，m=；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？22．（10分）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？23．（10分）如图，ABC∆是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A B C→→方向运动，点F沿折线A C B→→方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．24．（10分）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB 两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A D C B ---；②A E B --．经勘测，点B 在点A 的正东方，点C 在点B 的正北方10千米处，点D 在点C 的正西方14千米处，点D 在点A 的北偏东45︒方向，点E 在点A 的正南方，点E 在点B 的南偏西60︒方向．（参考数据：1.41≈ 1.73)≈（1）求AD 的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++过点(1,3)，且交x 轴于点(1,0)A -，B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PDE ∆周长的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中PDE ∆周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB 方向平移个单位长度，点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．26．（10分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．（1）如图1，若9AC =，BD =AD 的长；（2）如图2，以CD 为边在CD 上方作等边CDE ∆，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若G BCE ∠=∠，求证：GF BF BE =+；（3）在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边CDE ∆．点M 为CD 所在直线上一点，将BEM ∆沿BM 所在直线翻折至ABC ∆所在平面内得到BNM ∆．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将BCP ∆沿BC 所在直线翻折至ABC ∆所在平面内得到BCQ ∆，请直接写出此时NQ CP 的值．2023年重庆市中考数学试卷（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．【解答】解：8的相反数是8-．故选：A ．2．【解答】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形，故选：D ．3．【解答】解： 反比例函数4y x=-，4k ∴=-，A 、1444⨯=≠- ，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；B 、1(4)44-⨯-=≠- ，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；C 、224-⨯=- ，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意；D 、2244⨯=≠- ，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意．故选：C ．4．【解答】解： 两个相似三角形周长的比为1:4，∴这两个三角形对应边的比为1:4，故选：B ．5．【解答】解：//AB CD ，1180BAC ∴∠+∠=︒，155∠=︒ ，125BAC ∴∠=︒，AD AC ⊥ ，90CAD ∴∠=︒，235BAC CAD ∴∠=∠-∠=︒，故选：A ．6．【解答】解：原式4=+22.5 6.25= ，2 2.5∴<<，45∴<<，849∴<+<．故选：B ．7．【解答】解：由图可得，图案①有：459+=根小木棒，图案②有：45214+⨯=根小木棒，图案③有：45319+⨯=根小木棒，⋯，∴第n 个图案有：(45)n +根小木棒，∴第⑧个图案有：45844+⨯=根小木棒，故选：B ．8．【解答】解：连接OB ，AC 是O 的切线，OB AC ∴⊥，90ABO CBO ∴∠=∠=︒，30A ∠=︒ ，AB =，2OB ∴==，3BC = ，OC ∴=故选：C ．9．【解答】解：在正方形ABCD 中，AD AB =，90BAD ABC ADC ∠=∠=∠=︒，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得ABG ∆，如图所示：则AF AG =，DAF BAG ∠=∠，45EAF ∠=︒ ，45BAE DAF ∴∠+∠=︒，45GAE FAE ∴∠=∠=︒，在GAE ∆和FAE ∆中，AF AG FAE GAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()GAE FAE SAS ∴∆≅∆，AEF AEG ∴∠=∠，BAE α∠= ，90AEB α∴∠=︒-，90AEF AEB α∴∠=∠=︒-，1801802(90)2FEC AEF AEB αα∴∠=︒-∠-∠=︒-⨯︒-=，故选：A．10．【解答】解：||x y z m n x y z m n ----=----，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现x -，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x 的符号为负号，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是||x y z m n x y z m n ----=----；||x y z m n x y z m n ----=-+--；||x y z m n x y z m n ----=--+-；||x y z m n x y z m n ----=---+．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是||||x y z m n x y z m n ----=--+-；||||x y z m n x y z m n ----=---+；||||x y z m n x y z m n ----=-+-+．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C ．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．【解答】解：1023-+112=+32=，故答案为：32．12．【解答】解： 五边形ABCDE 是正五边形，AB BC ∴=，(52)1805108B ∠=-⨯︒÷=︒，1801801083622B BAC BCA ︒-∠︒-︒∴∠=∠===︒，故答案为：36︒．13．【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，∴两次都摸到红球的概率是19，故答案为：19．14．【解答】解：根据题意，得21501(1)1815x +=，故答案为：21501(1)1815x +=．15．【解答】解：BE AD ⊥ ，CF AD ⊥，90BEA AFC ∴∠=∠=︒，90BAE ABE ∴∠+∠=︒，90BAC ∠=︒ ，90BAE FAC ∴∠+∠=︒，FAC ABE ∴∠=∠，在ABE ∆和CAF ∆中，BEA AFC ABE FAC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CAF AAS ∴∆≅∆，AF BE ∴=，AE CF =，4BE = ，1CF =，4AF BE ∴==，1AE CF ==，413EF AF AE ∴=-=-=，故答案为：3．16．【解答】解：连接BD ，90BAD ∠=︒ ，BD ∴是O 的直径，4AB = ，3AD =，5BD ∴===，2525(341224O ABCD S S S ππ∴=-=⨯-⨯=- 阴影矩形．故答案为：25124π-．17．【解答】解：解不等式组34222x x a +⎧⎪⎨⎪-⎩，得522x a x ⎧⎪⎨+⎪⎩， 至少有2个整数解，∴242a +，6a ∴，解分式方程14222a y y -+=--，得12a y -=，y 的值是非负整数，6a ，∴当5a =时，2y =，当3a =时，1y =，当1a =时，0y =，2y = 是分式方程的增根，5a ∴=（舍去），∴满足条件的a 的值有3和1，314+= ，∴所有满足条件的整数a 的值之和是4．故答案为：4．18．【解答】解：由题意可得1033112a +-=，解得4a =，∴这个数为4312，由题意可得，10(10)10a b b c c d +-+=+，整理，可得10911a b c d --=，一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和为：1001010010a b c b c d+++++100101001010911a b c b c a b c=+++++--110101a b=+99()112a b a b =+++，又 一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，∴1129a b +是整数，且a b c d ≠≠≠，19a ，19b ，19c ，09d ，9a =时，原四位数可得最大值，此时b 只能取0，不符合题意，舍去，当8a =时，1b =，此时7111c d -=，c 取9或8或7时，均不符合题意，当c 取6时，5d =，∴满足条件的数的最大值是8165，故答案为：4312；8165．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．【解答】解：（1）(2)(1)(1)a a a a -++-2221a a a =-+-21a =-．（2）22(211x x x x x x ÷-+++222(1)1x x x x =÷++2221(1)x x x x +=⨯+11x =+．20．【解答】证明： 四边形ABCD 是平行四边形，//DC AB ∴．ECO FAO ∴∠=∠．EF 垂直平分AC ，OA OC ∴=．又EOC FOA ∠=∠，()COE AOF ASA ∴∆≅∆．OE OF ∴=；过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点平分，故答案为：FAO ∠；OA OC =；FOA ∠；被一组对边截得的线段被对角线的中点平分．21．【解答】解：（1）A 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间中，72出现的次数最多，故众数72a =，把B 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是70和71，故中位数707170.52b +==，%150%40%10%m =--=，即10m =．故答案为：72，70.5，10；（2）A 款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A 款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于B 款智能玩具飞机，所以A 款智能玩具飞机运行性能更好；（答案不唯一）；（3）6200120(140%)1207219210⨯+⨯-=+=（架)，答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．22．【解答】解：（1）设购买炸酱面x 份，牛肉面y 份，根据题意得：17015203000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：8090x y =⎧⎨=⎩．答：购买炸酱面80份，牛肉面90份；（2）设购买牛肉面m 份，则购买炸酱面(150%)m +份，根据题意得：120012606(150%)m m-=+，解得：60m =，经检验，60m =是所列方程的解，且符合题意．答：购买牛肉面60份．23．【解答】解：（1）当点E 、F 分别在AB 、AC 上运动时，AEF ∆为边长等于t 的等边三角形，∴点E ，F 的距离等于AE 、AF 的长，∴当04t 时，y 关于t 的函数表达式为y t =，当点E 、F 都在BC 上运动时，点E ，F 的距离等于42(4)t --，∴当46t <时，y 关于t 的函数表达式为42(4)122y t t =--=-，y ∴关于t 的函数表达式为(04)212(46)y t t y t t =⎧⎨=-+<⎩；（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当0t =时，0y =；当4t =时，4y =；当6t =时，0y =，分别描出三个点(0,0)，(4,4)，(6,0)，然后顺次连线，如图：该函数的其中一个性质：当04t 时，y 随t 的增大而增大．（答案不唯一，正确即可）（3）把3y =分别代入y t =和122y t =-中，得：3t =，3122t =-，解得：3t =或 4.5t =，∴点E ，F 相距3个单位长度时t 的值为3或4.5．24．【解答】解：（1）过D 作DF AE ⊥，垂足为F ，由题意得：四边形ABCF 是矩形，10AF BC ∴==千米，在Rt ADF ∆中，45DAF ∠=︒，10 1.4114sin 4522AF AD ∴===≈⨯≈︒（千米）．AD ∴的长度约为14千米；（2）小明应该选择线路①，理由：在Rt ADF ∆中，45DAF ∠=︒，10AF =千米，45ADF DAF ∴∠=︒=∠，10DF AF ∴==千米，在Rt ABE ∆中，906030ABE ∠=︒-︒=︒，24AB DF CD =+=千米，tan 3024AE AB ∴=⋅︒=⨯（千米），2EB AE ==千米，按路线①A D C B ---走的路程为14141038AD DC CB ++=++=（千米）按路线②A E B --走的路程为24 1.7341.52AE EB +=+≈⨯=（千米）38 千米41.52<千米，∴小明应该选择线路①．25．【解答】解：（1）由题意得：2302a b a b ++=⎧⎨=-+⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则抛物线的表达式为：213222y x x =-++；（2）令2132022y x x =-++=，解得：4x =或1-，即点(4,0)B ，//PE y 轴，则PED OCB ∠=∠，则tan tan 2PED OCB ∠=∠=，则sin PED ∠=，cos PED ∠=由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：122y x =-+，则2131122(2)2222222PE x x x x =-+++-=--+，即PE 的最大值为2，此时，点(2,3)P ，则PDE ∆周长的最大值10(1sin cos )(15PE PED PED PE +=+∠+∠=+=，即PDE ∆周长的最大值为10655+，点(2,3)P ；（3）抛物线沿射线CB个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位，则平移后抛物线的对称轴为72x =，设点7(2M ，)m ，点(,)N s t ，由点A 、P 的坐标得，218AP =，当AP 是对角线时，由中点坐标公式和AM AN =得：2222712237(1)(1)2s m t m s t ⎧-+=+⎪⎪=+⎨⎪⎪++=++⎩，解得：329252m t s ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩，即点N 的坐标为：5(2-，9)2；当AM 或AN 是对角线时，由中点坐标公式和AN AP =或AM AP =得：2271223(1)18s m t s t ⎧-=+⎪⎪=+⎨⎪++=⎪⎩或2271237(1)182s t m m ⎧-=⎪⎪=+⎨⎪⎪++=⎩，解得：1223732s t m ⎧=⎪⎪⎪=±⎨⎪⎪=±⎪⎩（不合题意的值已舍去），即点N 的坐标为：1(2，；综上，点N 的坐标为：1(2，或1(2或5(2-，92．26．【解答】（1）解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒ ，9AC =，BC ∴==，2AB BC ==BD =，AD AB BD ∴=-=（2）证明：取AB 的中点O ，连接OC，如图：在Rt ABC ∆中，点O 为斜边AB 的中点，OC OB ∴=，60ABC ∠=︒ ，BOC ∴∆为等边三角形，CO CB ∴=，60OCB BOC ∠=∠=︒，120DOC ∴∠=︒，CDE ∆ 为等边三角形，CD CE ∴=，60DCE ∠=︒，60DCE OCB ∴∠=∠=︒，即OCD OCE OCE BCE ∠+∠=∠+∠，OCD BCE ∴∠=∠，在OCD ∆和BCE ∆中，CD CE OCD BCE CO CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OCD BCE SAS ∴∆≅∆，120EBC DOC ∴∠=∠=︒，180OCB EBC ∴∠+∠=︒，//OC BE ∴，在GF 上截取HF BF =，连接DH ，点F 是DE 的中点，FE FD ∴=．在BEF ∆和HDF ∆中，BF HF BFE HFD FE FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEF HDF SAS ∴∆≅∆，BE HD ∴=，BEF HDF ∠=∠，//DH BE ∴，//DH OC ∴，HDG OCD ∴∠=∠，又G BCE ∠=∠，G HDG ∴∠=∠，HG HD ∴=，HG BE ∴=，GF HG FH BE BF ∴=+=+；（3）解：取AB 的中点S ，连接PS ，如图：在CD 取得最小值时，CD AB ⊥，设4AB a =，则2BC a =，AC =，2ABC S AC BC AB CD ∆=⋅=⋅ ，AC BC CDAB ⋅∴==，12BD BC a ==，CDE ∆ 是等边三角形，60DCE ∴∠=︒，CD CE =，603030BCE DCE DCB DCB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒=∠，BC BC = ，()BCD BCE SAS ∴∆≅∆，BD BE a ∴==，将BEM ∆沿BM 所在直线翻折至ABC ∆所在平面内得到BNM ∆，BE BN a ∴==，N ∴的运动轨迹是以B 为圆心，a 为半径的圆，点P 为AN 的中点，S 为AB 的中点，1122PS BN a ∴==，P ∴的运动轨迹是以S 为圆心，12a 为半径的圆，当CP 最大时，C ，P ，S 三点共线，过P 作PT AC ⊥于T ，过N 作NR AC ⊥于R ，如图：S 是AB 中点，122BS AS CS AB a ∴====，60ABC ∠=︒ ，BSC ∴∆是等边三角形，60PCB ∴∠=︒，2BC CS a ==，30PCA ∴∠=︒，15222CP CS PS a a a =+=+= ，1524PT CP a ∴==，534CT ==，4AT AC CT ∴=-=，连接PQ 交NR 于W ，如图：将BCP ∆沿BC 所在直线翻折至ABC ∆所在平面内得到BCQ ∆，PQ BC ∴⊥，AC BC ⊥ ，//PQ AC ∴，即//PW AR ，P 为AN 中点，PW ∴是ANR ∆的中位线，12NW RW NR ∴==，同理可得PT 是ANR ∆的中位线，12PT NR ∴=，54PT NW RW a ∴===，13324PW AR AT ===， 将BCP ∆沿BC 所在直线翻折至ABC ∆所在平面内得到BCQ ∆，60QCB PCB ∴∠=∠=︒，CP CQ =，120QCP ∴∠=︒，532PQ ∴==，533373244WQ PQ PW a ∴=-=-=，432NQ a ∴===，∴2552NQ CP a ==．。
重庆市中考数学标准测试卷含答案解析
重庆市中考数学标准测试卷一、选择题1．下列各数中，最小的数为（）A．2 B．﹣3 C．0 D．﹣22．雾霾天气影响着我国北方中东部地区，给人们的健康带来严重的危害．为了让人们对雾霾有所了解．摄影师张超通过显微镜，将空气中细小的霾颗粒放大1000倍，发现这些霾颗粒平均直径为10微米〜20微米，其中20微米（1米=1000000微米）用科学记数法可表示为（）A．2×105米B．0.2×10﹣4米C．2×10﹣5米 D．2×10﹣4米3．计算：（﹣a2）3（）A．a6B．﹣a6C．a5D．﹣a54．如果是二次根式，那么x，y应满足的条件是（）A．x≥1，y≥0 B．（x﹣1）•y≥0 C．≥0 D．x≥1，y＞05．如图，已知AB⊥GH，CD⊥GH，直线CD，EF，GH相交于一点O，若∠1=42°，则∠2等于（）A．130°B．138°C．140°D．142°6．7月份，某市一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，33，30，33，31．則下列关于这列数据表述正确的是（）A．众数是30 B．中位教是31 C．平均数是33 D．极差是357．对于非零的两个实数a，b，规定a*b=﹣，若5*（3x﹣1）=2，则x的值为（）A．B．C．D．﹣8．在如图所示的矩形ABCD中，已知MN丄MC，且M为AD的中点，AN=2，tan∠MCN=，则AB等于（）A．32 B．28 C．36 D．409．如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，4），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线勻速运动，设动点P的运动路程为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（）A．B．C．D．10．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线的图象如图所示，当y1≠y2时，取y1，y2中的较大值记为N；当y1=y2时，N=y1=y2．则下列说法：①当0＜x＜2时，N=y1；②N随x的增大而增大的取值范围是x＜0；③取y1，y2中的较小值记为M，则使得M大于4的x值不存在；④若N=2，则x=2﹣或x=1．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．观察图中菱形四个顶点所标的数字规律，可知数应标在（）A．第502个菱形的左边B．第502个菱形的右边C．第504个菱形的左边D．第503个菱形的右边12．如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为（）A．6 B．9 C．10 D．12二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）13．的倒数是．14．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD=1，DB=2，则=．15．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BM=CN=5，CM，DN交于点O．则下列结论：①DN⊥MC；②DN垂直平分MC；③sin∠OCD=；④S△ODC=S中，四边形BMON正确的有（填写序号）16．今年某市中考增加了体育测试科目，考生考试顺序和考试项目（考生从考试的各个項目中抽取一項作为考试項目）由抽签的方式决定，具体操作流程是①每位考生从写有A，B，C的三个小球中随机抽取一个小球确定考试组別；②再从写有“引体向上””立定跳远”“800米”的抽签纸中抽取一个考试项目进行测试，则考生小明抽到A组“引体向上”的概率是．17．已知正方形ABCD的边长为a，分别以B，D为圆心，以a为半径画弧，如图所示，则阴影部分的面积为．18．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=．三、解答题19．计算：（+1）0+（﹣1）+sin45°﹣（）﹣1．20．如图，在锐角三角形ABC中，AB=10，AC=2，sinB=．（1）求tanC；（2）求线段BC的长．四、解答题（共4小题，每小题10分，共40分）21．先化简，再求值：（﹣）÷（﹣），其中x=，y=1．22．中国式过马路，是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关”针对这种现象某媒体记者在多个路口采访闯红灯的行人，得出形成这种现象的四个基本原因：①红绿灯设置不科学，交通管理混乱；②侥幸心态；③执法力度不够；④从众心理．该记者将这次调查情况整理并绘制了如下尚不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题．（1）该记者本次一共调査了名行人；（2）求图1中④所在扇形的圆心角，并补全图2；（3）在本次调查中，记者随机采访其中的一名行人，求他属于第②种情况的概率．23．受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：到超市的路程（千米）运费（元/斤•千米）甲养殖场200 0.012乙养殖场140 0.015（1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元，则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？（2）设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，总运费为W元，试写出W与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？24．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH丄AB于H，交AO 于G，连接0H．（1）求证：AG•GO=HG•GD；（2）若∠ABC=120°，AB=6，求OG的长．五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）25．如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣a）（a＞0）与x轴交于点A，B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，抛物线过点N（6，一4）．（1）求实数a的值；（2）在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，求出点H的坐标；（3）若把题干中“抛物线过点N（6，﹣4）”这一条件去掉，试问在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B，A，F为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．26．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8，点M为AC的中点，动点E从点C出发以每秒1个单位的速度运动到点B停止，连接EM并延长交AD于点F，设点E的运动时间为t秒．（1）求四边形ABCD的面积；（2）当∠EMC=90°时，判断四边形DCEF的形状，并说明理由；（3）连接BM，点E在运动过程中是否能使△BEM为等腰三角形？如果能，求出t；如果不能，请说明理由．重庆市中考数学标准测试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列各数中，最小的数为（）A．2 B．﹣3 C．0 D．﹣2【考点】有理数大小比较．【分析】根据有理数比较大小的法则进行比较即可．【解答】解：∵|﹣3|=3，|﹣2|=2，3＞2，∴﹣3＜﹣2，∴﹣3＜﹣2＜0＜2，∴最小的数是﹣3．故选B．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键．2．雾霾天气影响着我国北方中东部地区，给人们的健康带来严重的危害．为了让人们对雾霾有所了解．摄影师张超通过显微镜，将空气中细小的霾颗粒放大1000倍，发现这些霾颗粒平均直径为10微米〜20微米，其中20微米（1米=1000000微米）用科学记数法可表示为（）A．2×105米B．0.2×10﹣4米C．2×10﹣5米 D．2×10﹣4米【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：20微米=20÷1 000 000米=0.00002米=2×10﹣5米，故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．计算：（﹣a2）3（）A．a6B．﹣a6C．a5D．﹣a5【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据积的乘方计算即可．【解答】解：（﹣a2）3=﹣a6，故选B．【点评】此题考查积的乘方，关键是根据法则进行计算．4．如果是二次根式，那么x，y应满足的条件是（）A．x≥1，y≥0 B．（x﹣1）•y≥0 C．≥0 D．x≥1，y＞0【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式即可．【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知，x，y满足≥0时，是二次根式．故选：C．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．5．如图，已知AB⊥GH，CD⊥GH，直线CD，EF，GH相交于一点O，若∠1=42°，则∠2等于（）A．130°B．138°C．140°D．142°【考点】平行线的判定与性质；垂线．【分析】根据平行线的判定推出AB∥CD，根据平行线的性质求出∠BPF，即可求出∠2的度数．【解答】解：如图：∵AB⊥GH，CD⊥GH，∴∠GMB=∠GOD=90°，∴AB∥CD，∴∠BPF=∠1=42°，∴∠2=180°﹣∠BPF=180°﹣42°=138°，故选B．【点评】本题考查了邻补角和平行线的性质和判定的应用，能正确运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．6．7月份，某市一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，33，30，33，31．則下列关于这列数据表述正确的是（）A．众数是30 B．中位教是31 C．平均数是33 D．极差是35【考点】极差；加权平均数；中位数；众数．【分析】根据极差、众数、平均数和中位数的定义对每一项进行分析即可．【解答】解：A、31出现了3次，出现的次数最多，则众数是31，故本选项错误；B、把这些数从小到大排列为30，31，31，31，33，33，35，最中间的数是31，则中位数是31，故本选项正确；C、这组数据的平均数是（30+31+31+31+33+33+35）÷7=32，故本选项错误；D、极差是：35﹣30=5，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了极差、众数、平均数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．7．对于非零的两个实数a，b，规定a*b=﹣，若5*（3x﹣1）=2，则x的值为（）A．B．C．D．﹣【考点】解分式方程．【专题】新定义．【分析】根据规定5*（3x﹣1）可化成﹣，再根据解分式方程的步骤即可得出答案．【解答】解：根据题意得：﹣=2，解得：x=；经检验x=是原方程的解；故选B．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．8．在如图所示的矩形ABCD中，已知MN丄MC，且M为AD的中点，AN=2，tan∠MCN=，则AB等于（）A．32 B．28 C．36 D．40【考点】矩形的性质．【分析】通过证得△AMN∽△DCM，对应边成比例即可求得．【解答】解：∵MN丄MC，tan∠MCN=，∴=，∵∠AMN+∠DMC=90°，∠AMN+∠ANM=90°，∴∠ANM=∠DMC，∵∠A=∠D=90°，∴△AMN∽△DCM，∴==，∵AN=2，∴MD=8，∵M为AD的中点，∴AM=8，∵△AMN∽△DCM，∴==，∴=，∴DC=32，∴AB=32．故选A．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等，证得三角形相似是解题的关键．9．如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，4），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线勻速运动，设动点P的运动路程为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】分三段求解：①当P在AB上运动时；②当P在BC上时；③当P在CO上时；分别求出S关于t的函数关系式即可选出答案．【解答】解：∵A（4，0）、C（0，4），∴OA=AB=BC=OC=4，①当P由点A向点B运动，即0≤t≤4，S=OA•AP=2t；②当P由点A向点B运动，即4＜t≤8，S=OA•AP=8；③当P由点A向点B运动，即8＜t≤12，S=OA•AP=2（12﹣t）=﹣2t+24；结合图象可知，符合题意的是A．故选：A．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据图形求出S关于t的函数关系式．10．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线的图象如图所示，当y1≠y2时，取y1，y2中的较大值记为N；当y1=y2时，N=y1=y2．则下列说法：①当0＜x＜2时，N=y1；②N随x的增大而增大的取值范围是x＜0；③取y1，y2中的较小值记为M，则使得M大于4的x值不存在；④若N=2，则x=2﹣或x=1．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的性质．【专题】探究型．【分析】根据函数图象和题意，可以判断题目中①②③④的正确与否，从而解答本题，得到正确的选项．【解答】解：由题意和图象可知：x≤0时，N=y2，M=y1；0＜x≤2时，N=y1，M=y2；x＞2时，M=y1，N=y2∴当0＜x＜2时，N=y1，故①正确；由图象可知，N的值随x的增大而增大，x为全体实数，故②错误；因为二次函数的最大值为4，而M为y1，y2中的较小值，故M的最大值为4，故③正确；由图象和题意可知，N=2时，0＜x＜2，N=y1，故对应的x值只有一个，故④错误．由上可得，①③正确，②④错误．故选项A错误，选项B正确，选项C错误，选项D错误．故选B．【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象的相关知识，关键是会看函数的图象，能弄懂题意，能找出所求问题需要的条件．11．观察图中菱形四个顶点所标的数字规律，可知数应标在（）A．第502个菱形的左边B．第502个菱形的右边C．第504个菱形的左边D．第503个菱形的右边【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由题意可知：四个数字以下、左、上、右的顺序依次循环，由此用除以4根据余数判定得出答案即可．【解答】解：由已知图形可知，每四个数字一循环，∵÷4=503…3，∴在第504个图形上，余数是3，则与第一个图形中3的位置相同，即在左边．故选：C．【点评】此题考查图形的变化规律，找出数字循环的规律，利用规律解决问题．12．如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为（）A ．6B ．9C ．10D ．12【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】过点B 作BE ⊥x 轴于E ，延长线段BA ，交y 轴于F ，得出四边形AFOD 是矩形，四边形OEBF 是矩形，得出S 矩形AFOD =3，S 矩形OEBF =k ，根据平行线分线段成比例定理证得AB=2OD ，即OE=3OD ，即可求得矩形OEBF 的面积，根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得k 的值．【解答】解：过点B 作BE ⊥x 轴于E ，延长线段BA ，交y 轴于F ，∵AB ∥x 轴，∴AF ⊥y 轴，∴四边形AFOD 是矩形，四边形OEBF 是矩形，∴AF=OD ，BF=OE ，∴AB=DE ，∵点A 在双曲线y=上，∴S 矩形AFOD =3，同理S 矩形OEBF =k ，∵AB ∥OD ， ∴==，∴AB=2OD ，∴DE=2OD ，∴S 矩形OEBF =3S 矩形AFOD =9，∴k=9，故选B ．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作出辅助线，构建矩形是解题的关键．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）13．的倒数是．【考点】倒数．【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，即可解答．【解答】解：根据倒数的定义得：的倒数是．故答案为：．【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．14．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD=1，DB=2，则=．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】先根据DE∥BC得出△ADE∽△ACB，由相似三角形的性质求出两个相似三角形的面积比，进而求出的值．【解答】解：DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=（）2，∵AD=1，DB=2，∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，本题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求值．15．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BM=CN=5，CM，DN交于点O．则下列结论：①DN⊥MC；②DN垂直平分MC；③sin∠OCD=；④S△ODC=S中，四边形BMON正确的有①③④（填写序号）【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．【分析】根据正方形的性质得出BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，然后根据SAS证得△BMC≌△CND，得出∠MCB=∠NDC．进而即可证得∠DOC=90°，即DN⊥MC；根据勾股定理求得DN，然后根据NC•CD=ND•OC，求得OC=，OM=13﹣=，则OC≠OM，因为∠DNC+∠NDC=90°，∠ODC+∠OCD=90°，得出∠OCD=∠DNC，所以sin∠OCD=sin∠DNC==；由△BMC≌△CND，=S△ODC．得出S△BMC=S△CND，求得S△BMC﹣S△CNC=S△CND﹣S△CNC，即S四边形BMON【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，在△BMC和△CND中，，∴△BMC≌△CND，∴∠MCB=∠NDC．又∠MCN+∠MCD=90°，∴∠MCD+∠NDC=90°，∴∠DOC=90°，∴DN⊥MC，故①正确；在Rt△CDN中，∵CD=12，CN=5，∴DN==13．又∵∠BCD=90°，∠COD=90°∴NC•CD=ND•OC，∴OC=，OM=13﹣=，∴OC≠OM，故②错误；∵∠DNC+∠NDC=90°，∠ODC+∠OCD=90°，∴∠OCD=∠DNC，∴sin∠OCD=sin∠DNC==，故③正确；∵△BMC≌△CND，∴S△BMC=S△CND=S△ODC，故④正确．S△BMC﹣S△CNC=S△CND﹣S△CNC，即S四边形BMON综上，正确的结论是①③④．故答案为①③④．【点评】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形以及三角形面积等，熟练掌握待定系数法是解题的关键．16．今年某市中考增加了体育测试科目，考生考试顺序和考试项目（考生从考试的各个項目中抽取一項作为考试項目）由抽签的方式决定，具体操作流程是①每位考生从写有A，B，C的三个小球中随机抽取一个小球确定考试组別；②再从写有“引体向上””立定跳远”“800米”的抽签纸中抽取一个考试项目进行测试，则考生小明抽到A 组“引体向上”的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】分别用D ，E ，F 表示“引体向上””立定跳远”“800米”，据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果；再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：分别用D ，E ，F 表示“引体向上””立定跳远”“800米”，画树状图得：∵共有9种等可能的结果，∴小明抽到A 组“引体向上”的概率=．故答案为．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．已知正方形ABCD 的边长为a ，分别以B ，D 为圆心，以a 为半径画弧，如图所示，则阴影部分的面积为 （π﹣1）a 2 ．【考点】列代数式．【专题】计算题．【分析】根据圆的面积公式和利用S 扇形ABC +S 扇形ADC =S 阴影部分+S 正方形ABCD 进行计算．【解答】解：∵S 扇形ABC +S 扇形ADC =S 阴影部分+S 正方形ABCD ，∴S 阴影部分=2וπ•a 2﹣a 2=（π﹣1）a 2．故答案为（π﹣1）a2．【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．本题的根据是利用面积的和差计算阴影部分的面积．18．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=40°．【考点】圆周角定理．【分析】首先连接CD，由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD=90°，又由圆周角定理，可得∠D=∠ABC=50°，继而求得答案．【解答】解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠ABC=50°，∴∠CAD=90°﹣∠D=40°．故答案为：40°．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．三、解答题19．计算：（+1）0+（﹣1）+sin45°﹣（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；实数．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=1﹣1+1﹣3=﹣2．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．如图，在锐角三角形ABC中，AB=10，AC=2，sinB=．（1）求tanC；（2）求线段BC的长．【考点】解直角三角形；勾股定理．【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，根据已知条件可得出AD，再利用勾股定理得出CD，进而得出tanC；（2）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD=8，结合CD的长度，即可得出BC的长．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，AB=10，sinB==，∴=，∴AD=6，在Rt△ACD中，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2，∴CD2=（2）2﹣62=16，∴CD=4，∴tanC===；（2）在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，∴由勾股定理得BD=8，由（1）得CD=4，∴BC=BD+CD=12．【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，要熟练掌握好边角之间的关系．四、解答题（共4小题，每小题10分，共40分）21．先化简，再求值：（﹣）÷（﹣），其中x=，y=1．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=，y=1代入进行计算即可．【解答】解：原式=[﹣][﹣]=•=•=﹣，当x=，y=1是，原式=﹣=2﹣3．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．22．中国式过马路，是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关”针对这种现象某媒体记者在多个路口采访闯红灯的行人，得出形成这种现象的四个基本原因：①红绿灯设置不科学，交通管理混乱；②侥幸心态；③执法力度不够；④从众心理．该记者将这次调查情况整理并绘制了如下尚不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题．（1）该记者本次一共调査了200名行人；（2）求图1中④所在扇形的圆心角，并补全图2；（3）在本次调查中，记者随机采访其中的一名行人，求他属于第②种情况的概率．【考点】条形统计图；扇形统计图．【分析】（1）根据①种的人数除以①所占的百分比，可得答案；（2）④种情况的人数除以总人数乘以圆周角，可得答案，总人数乘以第③种情况所占的百分比，可得第③种情况的人数，根据总人数减去第①种情况的人数，减去第③种情况的人数，减法第④种情况的人数，可得第②中情况的人数；（3）根据概率的意义：④的人数除以总人数，可得答案．【解答】解：（1）2÷%=200（名）；（2）④所在扇形的圆心角×360°=126°，③的人数200×9%=18人，②的人数200﹣18﹣2﹣70=110人，第②种情况110人，第③种情况18，补全图形如图：．（3）p==，他属于第②种情况的概率为．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：到超市的路程（千米）运费（元/斤•千米）甲养殖场200 0.012乙养殖场140 0.015（1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元，则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？（2）设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，总运费为W元，试写出W与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，从乙养殖场调运鸡蛋y斤，根据题意列方程组即可得到结论；（2）从甲养殖场调运了x斤鸡蛋，从乙养殖场调运了（1200﹣x）斤鸡蛋，根据题意列方程组得到300≤x≤800，总运费W=200×0.012+140×0.015×（1200﹣x）=0.3x+2520，（300≤x≤800），根据一次函数的性质得到W随想的增大而增大，于是得到当x=300时，W最小=2610元，【解答】解：（1）设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，从乙养殖场调运鸡蛋y斤，根据题意得：，解得：，∵500＜800，700＜900，∴符合条件．答：从甲、乙两养殖场各调运了500斤，700斤鸡蛋；（2）从甲养殖场调运了x斤鸡蛋，从乙养殖场调运了（1200﹣x）斤鸡蛋，根据题意得：，解得：300≤x≤800，总运费W=200×0.012x+140×0.015×（1200﹣x）=0.3x+2520，（300≤x≤800），∵W随x的增大而增大，∴当x=300时，W=2610元，最小∴每天从甲养殖场调运了300斤鸡蛋，从乙养殖场调运了900斤鸡蛋，每天的总运费最省．【点评】本题考查了二元一次方程组与一次函数的实际应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，抓住等量关系．24．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH丄AB于H，交AO 于G，连接0H．（1）求证：AG•GO=HG•GD；（2）若∠ABC=120°，AB=6，求OG的长．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）根据菱形的性质得到AC⊥BD，由于DH⊥AB于H，于是得到∠DHA=∠DOG=90°，推出△AGH∽△DGO，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论；（2）根据已知条件得到∠DAB=60°，AB=AD=6，得到△ABD是等边三角形，根据菱形的性质得到AC⊥DB，OD=OB=BD=3，得到∠ODG=30°，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DH⊥AB于H，∴∠DHA=∠DOG=90°，∵∠AGH=∠DGO，∴△AGH∽△DGO，∴，∴AG•GO=HG•GD；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠DAB=60°，AB=AD=6，∴△ABD是等边三角形，∵AC⊥DB，OD=OB=BD=3，∵DH⊥AB，∴∠ODG=30°，∴OG=OD•tan30°=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟记个性质定理是解题的关键．五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）25．如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣a）（a＞0）与x轴交于点A，B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，抛物线过点N（6，一4）．（1）求实数a的值；（2）在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，求出点H的坐标；（3）若把题干中“抛物线过点N（6，﹣4）”这一条件去掉，试问在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B，A，F为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将N点坐标代入即可求得；（2）由于A、B关于对称轴对称，所以相当于求AH+CH的最小值，根据两点之间线段最短，当A、H、C三点共线时AH+CH最小，即连接AC与对称轴的交点就是H，求出AC解析式，再与对称轴方程联立即可求得；（3）分两种情况：①作BF∥AC交抛物线于点F，先求出BF解析式，再与抛物线方程联立求出F 点坐标，再用两点间的距离公式表示出BF的长度，接着利用相似比例关系列出方程求解；②在x 轴下方作∠ABF=∠ABC=45°，同样先求出BF解析式，再求出F点坐标，进而表示出BF长度，最后利用相似比例关系列方程求解．算的过程中，可能有一种情况无解，舍去就是了．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣（x+2）（x﹣a）（a＞0）过点N（6，一4），∴﹣4=，解得，a=4，即实数a的值为4；（2）∵a=4∴令y=0，得x1=﹣2，x2=4；令x=0，得y=2∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，2）∵点A和点B关于抛物线的对称轴x=对称，∴在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，即AH+CH最小，连接AC，则AC与抛物线的对称轴x=1的交点即为所求如下图所示：设过点A（4，0），C（0，2）的直线解析式为：y=kx+b则解得k=，b=2∴y=令x=1代入y=，得y=∴点H的坐标为（1，）即点H的坐标为（1，）时，使得BH+CH最小；（3）①作BF∥AC交抛物线于点F，如图：则∠FBA=∠BAC，由y=﹣（x+2）（x﹣a）=﹣，令x=0，则y=2，∴C（0，2），又∵A（a，0），∴AC的解析式为y=，设BF的解析式为y=，∵BF过点B（﹣2，0），∴b=，∴BF的解析式为：y=，∴，解得：F（a+2，﹣2﹣），∴BF=∵△BFA∽△ABC，∴AB2=BF•AC，∴，化简整理得：16=0，不存在这种情形，即这种情况不存满足要求的F点；②∵B（﹣2，0），C（2，0），∴BC的解析式为y=x+2，∠ABC=45°，在x轴下方作∠ABF=∠ABC=45°，如图：∴BF⊥BC，∴BF的解析式为y=﹣x﹣2，∴，解得：F（2a，﹣2a﹣2），∴BF=，∵△BFA∽△BAC，∴AB2=BF•BC，∴，整理得：a2﹣4a﹣4=0，解得a=或a=（舍去），综上所述，a=时，以点B，A，F为顶点的三角形与△BAC相似．【点评】考查了二次函数综合题，解决二次函数问题应注意对称性的应用，若已知三点坐标，可设一般式；若已知顶点坐标，可设顶点式；若已知抛物线与x轴两交点坐标，可设两点式，从而简化运算，整个问题围绕二次函数展开，并将二次函数、三角形等多个问题紧密地结合在一起，无论是题设的给出还是思维方式的考查都很新颖．一道考题不仅考查了二次函数、三角形相似等初中数学中的重点内容，还考查了待定系数法等数学思想方法，这是中考试卷的创新题型和发展趋势，代数知识与几何知识得到了很好的整合，是一个典型的在知识网络交汇点处设计的热点试题．26．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8，点M为AC的中点，动点E从点C出发以每秒1个单位的速度运动到点B停止，连接EM并延长交AD于点F，设点E的运动时间为t秒．（1）求四边形ABCD的面积；（2）当∠EMC=90°时，判断四边形DCEF的形状，并说明理由；（3）连接BM，点E在运动过程中是否能使△BEM为等腰三角形？如果能，求出t；如果不能，请说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求得平行四边形的定和高，再利用底乘以高计算面积；（2）结合∠EMC=90°以及平行四边形的性质，可证明四边形DCEF是平行四边形，再通过计算得到平行四边形CDFE的一组邻边相等即可证得结论；（3）探究△BEM为等腰三角形，要分三种情况进行讨论：EB=EM，EB=BM，EM=BM．通过相应的计算表示出BE，EM，BM，然后利用边相等建立方程进行求解．【解答】解：（1）∵∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8，∴CD=4，AC=4．又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD的面积为4×4=16．。
2023年重庆市中考数学真题(A卷)(答案解析)
重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）1.【答案】A【解析】解：8的相反数是8-，故选A ．2.【答案】D【解析】从正面看第一层是2个小正方形，第二层右边1个小正方形，故选：D ．3.【答案】C【解析】解：A 选项，将1x =代入反比例函数4y x =-得到14y =-≠，故A 项不符合题意；B 选项，项将1x =-代入反比例函数4y x =-得到44y =≠-，故B 项不符合题意；C 选项，项将=−2代入反比例函数4y x =-得到22y ==，故C 项符合题意；D 选项，项将2x =代入反比例函数4y x=-得到22y =-≠，故D 项不符合题意；故选C ．4.【答案】B【解析】解：∵两个相似三角形周长的比为1:4，∴相似三角形的对应边比为1:4，故选B ．5.【答案】A【解析】解：∵AB CD ∥，155∠=︒，∴18055125CAB Ð=°-°=°，∵AD AC ⊥，∴90CAD ∠=︒，∴21259035CAB CAD Ð=Ð-Ð=°-°=°，故选：A ．6.【答案】B+=4=+∵2 2.5<<，∴45<<，∴849<+，故选：B ．7.【答案】B【解析】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，第⑧个图案用的木棍根数是45844+⨯=根，故选：B ．8.【答案】C【解析】解：连接OB ，∵AC 是O 的切线，B 为切点，∴OB AC ⊥，∵30A ∠=︒，AB =∴在Rt OAB 中，3tan 23OB AB A =⋅∠==，∵3BC =，∴在Rt OBC 中，OC ==，故选C ．9.【答案】A【解析】将ADF 绕点A 逆时针旋转90︒至ABH，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90B D BAD C ∠=∠=∠=∠=︒，由旋转性质可知：DAF BAH ∠=∠，90D ABH ∠=∠=︒，AF AH =，∴180AHB ABC ∠+∠=︒，∴点H B C ，，三点共线，∵BAE α∠=，45EAF ∠=︒，90BAD HAF ∠=∠=︒，∴45DAF BAH α∠=∠=︒-，45EAF EAH ∠=∠=︒，∵90AHB BAH ∠+∠=︒，∴45AHB α∠=︒+，在AEF 和AEH 中AF AH FAE HAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AFE AHE SAS ≌，∴45AHE AFE α∠=∠=︒+，∴45AHE AFD AFE α∠=∠=∠=︒+，∴902DFE AFD AFE α∠=∠+∠=︒+，∵90DFE FEC C FEC ∠=∠+∠=∠+︒，∴2FEC α∠=，故选：A ．10.【答案】C【解析】解：x y z m n x y z m n ----=----，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现x -，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x 的符号为负，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是x y z m n x y z m n ----=----；x y z m n x y z m n ----=-+--；||x y z m n x y z m n ----=--+-；x y z m n x y z m n ----=---+．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是x y z m n x y z m n ----=--+-；x y z m n x y z m n ----=---+；x y z m n x y z m n ----=-+-+．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C ．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）11.【答案】1.5【解析】1023-+=11=1.52+.故答案为1.5.12.【答案】36°【解析】正五边形内角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°∴5401085B ︒︒∠==，∴180B 1801083622BAC ︒︒︒︒-∠-∠===.故答案为36°．13.【答案】19【解析】解：根据题意列表如下：红球白球蓝球红球（红球，红球）（白球，红球）（蓝球，红球）白球（红球，白球）（白球，白球）（蓝球，白球）蓝球（红球，蓝球）（白球，蓝球）（蓝球，蓝球）由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，所以两次摸到球的颜色相同的概率为19，故答案为：19．14.【答案】()2150111815x +=【解析】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意得，()2150111815x +=，故答案为：()2150111815x +=．15.【答案】3【解析】解：∵90BAC ∠=︒，∴90EAB EAC ∠+∠=︒，∵BE AD ⊥，CF AD ⊥，∴90AEB AFC ∠=∠=︒，∴90ACF EAC ∠+∠=︒，∴ACF BAE ∠=∠，在AFC △和BEA △中：AEB CFA ACF BAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS AFC BEA ≌△△，∴4,1AF BE AE CF ====，∴413EF AF AE =-=-=，故答案为：3．16.【答案】25124π-【解析】解：连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD 是O 的直径，∵4,3AB AD ==，∴5BD ==，∴O 的半径为52，∴O 的面积为254π，矩形的面积为3412⨯=，∴阴影部分的面积为25124π-；故答案为25124π-；17.【答案】4【解析】解：+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩①②解不等式①得：5x ≤，解不等式②得：1+2a x ≥，∴不等式的解集为1+52a x ≤≤，∵不等式组至少有2个整数解，∴1+42a ≤，解得：6a ≤；∵关于y 的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解，∴()1422a y ---=解得：12a y -=，即102a -≥且122a -≠，解得：1a ≥且5a ≠∴a 的取值范围是16a ≤≤，且5a ≠∴a 可以取：1，3，∴134+=，故答案为：4．18.【答案】①.4312②.8165【解析】解：∵a312是递减数，∴1033112a +-=，∴4a =，∴这个数为4312；故答案为：4312∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，∴101010a b b c c d +--=+，∵1001010010abc bcd a b c b c d +=+++++，∴110010110100110001abc bcd a b c b b a b a b c +=++++++--=，∵()11010199112a b a b a b +=+++，能被9整除，∴112a b +能被9整除，∵各数位上的数字互不相等且均不为0，∴12345678,,,,,,,87654321a a a a a a a ab b b b b b b b ========⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨========⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩，∵最大的递减数，∴8,1a b ==，∴1089110c c d ⨯-⨯-=+，即：1171c d +=，∴c 最大取6，此时5d =，∴这个最大的递减数为8165．故答案为：8165．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）19.【答案】（1）21a -（2）11x +【解析】（1）解：原式2221a a a =-+-21a =-；（2）原式()222.11x x x x x x ⎛⎫+-=÷ ⎪++⎝⎭()22211x x x x =÷++()22211x x x x +=⋅+11x =+．20.【答案】作图：见解析；FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【解析】解：如图，即为所求；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=FAO ∠．∵EF 垂直平分AC ，∴AO CO =．又EOC ∠=FOA ∠．∴()COE AOF ASA ≅ ．∴OE OF =．故答案为：FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．21.【答案】（1）72，70.5，10；（2）B 款智能玩具飞机运行性能更好；因为B 款智能玩具飞机运行时间的方差比A 款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；（3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．【解析】（1）解：由题意可知10架A 款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中，只有72出现了三次，且次数最多，则该组数据的众数为72，即72a =；由B 款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知，合格的百分比为40%，则B 款智能玩具飞机运行时间合格的架次为：1040%4⨯=（架）则B 款智能玩具飞机运行时间优等的架次为：10451--=（架）则B 款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为：70,71，故B 款智能玩具飞机运行时间的中位数为：707170.52+=B 款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为：1100%10%10⨯=即10m =故答案为：72，70.5，10；（2）B 款智能玩具飞机运行性能更好；因为B 款智能玩具飞机运行时间的方差比A 款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；（3）200架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：620012010⨯=（架）200架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：61207210⨯=（架）则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：12072192+=架，答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．22.【答案】（1）购买杂酱面80份，购买牛肉面90份（2）购买牛肉面60份【解析】（1）解：设购买杂酱面x 份，则购买牛肉面()170x -份，由题意知，()152********x x +⨯-=，解得，80x =，∴17090x -=，∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；（2）解：设购买牛肉面a 份，则购买杂酱面1.5a 份，由题意知，1260120061.5a a+=，解得60a =，经检验，60a =是分式方程的解，∴购买牛肉面60份．23.【答案】（1）当04t <≤时，y t =；当46t <≤时，122y t =-；（2）图象见解析，当04t <≤时，y 随x 的增大而增大（3）t 的值为3或4.5【解析】（1）解：当04t <≤时，连接EF ，由题意得AE AF =，60A ∠=︒，∴AEF △是等边三角形，∴y t =；当46t <≤时，122y t =-；（2）函数图象如图：当04t <≤时，y 随t 的增大而增大；（3）当04t <≤时，3y =即3t =；当46t <≤时，3y =即1223t -=，解得 4.5t =，故t 的值为3或4.5．24.【答案】（1）AD 的长度约为14千米（2）小明应该选择路线①，理由见解析【解析】（1）解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，由题意可得：四边形BCDF 是矩形，∴10DF BC ==千米，∵点D 在点A 的北偏东45︒方向，∴45DAF DAN Ð=Ð=°，∴14sin 45DF AD ==°千米，答：AD 的长度约为14千米；（2）由题意可得：10BC =，14CD =，∴路线①的路程为：14102438AD DC BC ++=+=+（千米），∵10DF BC ==，45DAF DAN Ð=Ð=°，90DFA ∠=︒，∴DAF △为等腰直角三角形，∴10AF DF ==，∴101424AB AF BF AF DC =+=+=+=，由题意可得60EBS Ð=°，∴60E ∠=︒，∴tan 60AB AE ==°，sin 60AB BE ==°，所以路线②的路程为：42AE BE +=千米，∴路线①的路程<路线②的路程，故小明应该选择路线①．25.【答案】（1）213222y x x =-++（2）PDE △周长的最大值65105+，此时点()2,3P （3）以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭或137,22⎛ ⎝⎭或137,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）把()1,3、()1,0A -代入22y ax bx =++得，3202a b a b =++⎧⎨=-+⎩，解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为213222y x x =-++；（2）延长PE 交x 轴于F，∵过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，∴DEP BCO ∠=∠，90PDE COB ∠=∠=︒，∴DPE OBC ，∴DPE PEOBC BC =周长周长 ，∴PEDPE OBC BC =⋅周长周长 ，∴当PE 最大时PDE △周长的最大∵抛物线的表达式为213222y x x =-++，∴()4,0B ，∴直线BC 解析式为122y x =-+，BC ==设213,222P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴()222131112222222222PE m m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当2m =时2PE =最大，此时()2,3P ∵BOC周长为6OC OB BC ++=+，∴PDE △(651065++=，此时()2,3P ，即PDE △周长的最大值65105+，此时点()2,3P ；（3）∵将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，∴平移后的解析式为()()221317222142222y x x x =--+-+-=-+-，此抛物线对称轴为直线72x =，∴设7,2M n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),N s t ∵()2,3P ，()1,0A -∴218PA =，()()22227923324PM n n ⎛⎫=-+-=+- ⎪⎝⎭，()22227811024AM n n ⎛⎫=++-=+ ⎪⎝⎭，当PA 为对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形∴PA 与MN 互相平分，且PM AM=∴()22981344n n +-=+，解得32n =-∵PA 中点坐标为2130,22-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，MN 中点坐标为72,22s n t ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴7123s n t ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得5292s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当PA 为边长且AM 和PN 是对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形∴AM 与PN 互相平分，且PMPA =∴()293184n +-=，解得3732n =±∵PN 中点坐标为23,22s t ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，AM 中点坐标为7102,22n ⎛⎫- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴721230s t n ⎧+=-⎪⎨⎪+=+⎩，解得122s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，此时137,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或137,22N ⎛- ⎝⎭；同理，当PA 为边长且AN 和PM 是对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形∴AN 和PM 互相平分，且AM PA =281184n +=，此方程无解；综上所述，以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭或137,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或137,22⎛- ⎝⎭；26.【答案】（1）（2）见解析（3）435【解析】（1）解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，∴sin 32AC AB B ===，∵BD =，∴AD AB BD =-=（2）证明：如图所示，延长FB 使得FH FG =，连接EH ，∵F 是DE 的中点则DF FE =，FH FG =，GFD HFE ∠=∠，∴()SAS GFD HFE ≌，∴H G ∠=∠，∴EH GC ∥，∴60HEC ECD ∠=∠=︒∵DEC 是等边三角形，∴60DEC EDC ∠=∠=︒，∵60DEC DBC ==︒∠∠，∴,,,B C D E 四点共圆，∴EDB BCE ∠=∠，BEC BDC ∠=∠，∴6060BEH BEC BDC EDB ∠=︒-∠=︒-∠=∠，∵G BCE BDE H ∠=∠=∠=∠，∴H BEH ∠=∠，∴EB BH =，∴FH FG BF BH BF EB ==+=+；（3）解：如图所示，在CD 取得最小值的条件下，即CD AB ⊥，设4AB a =，则2BC a =，AC =，∴24AC BC a CD AB a⨯⨯===，12BD BC a ==，∵将BEM 沿BM 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BNM ．∴BE BN=∴点N 在以B 为圆心，a 为半径的圆上运动，取AB 的中点S ，连接SP ，则SP 是ABN 的中位线，∴P 在半径为12a 的S 上运动，当CP 取最大值时，即,,P S C 三点共线时，此时如图，过点P 作PTAC ⊥于点T ，过点N 作NR AC ⊥于点R ，∵S 是AB 的中点，60ABC ∠=︒∴SC SB BC ==，∴BCS △是等边三角形，则60PCB ∠=︒，∴30PCA ACB BCP ∠=∠-∠=︒，∵2BC a =，4AB a =，∴2CS BC a ==，12PS a =∴52PC a =，15sin 24PT PC PCT PC a =⨯∠==，TC ==∵AC =，∴AT =，如图所示，连接PQ ，交NR 于点U ，则四边形PURT是矩形，∴PU AR ∥，P 是AN 的中点，∴1NU NP UR PA==即PD 是ANR 的中位线，同理可得PT 是ANR 的中位线，∴54NU UR PT a ===，12PU AR AT ===∵BCS △是等边三角形，将BCP 沿BC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BCQ ，∴2120QCP BCP ∠=∠=︒∴PQ ===则UQ PQ PU =-=-=在Rt NUQ中，432NQ a =∴43432552a NQ CP a ==．。
2013中考数学试题及答案(word完整版)(1)
二O 一三年高中阶段教育学校统一招生考试（含初三毕业会考）数 学注意事项：1. 全套试卷分为A 卷和B 卷，A 卷满分100分，B 卷满分50分；考试时间120分钟。
2. 在作答前，考生务必将自己的姓名，准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方。
考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回。
3. 选择题部分必须使用2B 铅笔填涂；非选择题部分也必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
4. 请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试卷上答题均无效。
5. 保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等。
A 卷（共100分）第I 卷（选择题，共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题均有四个选项.其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．2的相反数是（ ）(A)2 (B)-2 (C)21 (D)21-2．如图所示的几何体的俯视图可能是（ ）3．要使分式15-x 有意义，则x 的取值范围是（ ） （A ）x ≠1 （B ）x>1 （C ）x<1 （D ）x ≠-1 4．如图，在△ABC 中，∠B=∠C,AB=5，则AC 的长为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 5．下列运算正确的是（ ）（A ）31×(-3)=1 （B ）5-8=-3（C）32-=6 （D）0)(-=020136．参加成都市今年初三毕业会考的学生约有13万人，将13万用科学计数法表示应为（）（A）1.3×51010（B）13×4（C）0.13×51010（D）0.13×67．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点'C重合，若AB=2，则'C D 的长为（）（A）1（B）2（C）3（D）48．在平面直角坐标系中，下列函数的图像经过原点的是（）5（A）y=-x+3 （B）y=x（C）y=x2（D）y=7x22--x+9．一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是（）（A）有两个不相等的实数根（B）有两个相等的实数根（C）只有一个实数根（D）没有实数根10．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）（A）40°（B）50°（C）80°（D）100°二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分,答案写在答题卡上）11．不等式3x的解集为_______________.-12>12．今年4月20日在雅安市芦山县发生了7.0级的大地震，全川人民众志成城，抗震救灾，某班组织“捐零花钱，献爱心”活动，全班50名学生的捐款情况如图所示，则本次捐款金额的众数是__________元.13．如图，∠B=30°，若AB ∥CD ，CB 平分∠ACD, 则∠ACD=__________度.14．如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC 的长为__________米. 三．解答题（本大题共6个小题，共54分） 15．（本小题满分12分，每题6分）（1）计算1260sin 2|3|)2(2-+-+-（2）解方程组⎩⎨⎧=-=+521y x y x16．（本小题满分6分）化简112)(22-+-÷-a a a a a17．（本小题满分8分）如图， 在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°（1）画出旋转之后的△''C AB（2）求线段AC 旋转过程中扫过的扇形的面积18．（本小题满分8分）“中国梦”关乎每个人的幸福生活, 为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品. 现将参赛的50件作品的成绩（单位：分）进行统计如下：（1）表中的x 的值为_______，y 的值为________（2）将本次参赛作品获得A 等级的学生一次用1A ，2A ，3A ，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得A 等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生1A 和2A 的概率.19.（本小题满分10分）如图，一次函数11y x =+的图像与反比例函数2ky x=（k 为常数，且0≠k ）的图像都经过点)2,(m A（1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式； （2）结合图像直接比较：当0>x 时，1y 和2y 的大小.20.（本小题满分10分）如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 同侧，90A C ∠=∠=o ，BD BE ⊥，AD BC =.（1）求证：CE AD AC +=；（2）若3AD =，5CE =，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作DP PQ ⊥，交直线BE 与点Q ；i ）当点P 与A ，B 两点不重合时，求DPPQ的值； ii ）当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长.（直接写出结果，不必写出解答过程）B 卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21. 已知点(3,5)在直线y ax b =+（,a b 为常数，且0a ≠）上，则5ab -的值为_____.22. 若正整数n 使得在计算(1)(2)n n n ++++的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n 为“本位数”.例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”.现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为_______.23. 若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩，恰有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a =-的图像与反比例函数32a y x+=的图像的公共点的个数为_________. 24. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =（k 为常数）与抛物线2123y x =-交于A ，B 两点，且A 点在y 轴左侧，P 点的坐标为(0,4)-，连接,PA PB .有以下说法：○12PO PA PB =⋅；○2当0k >时，()()PA AO PB BO +-的值随k 的增大而增大；○3当k =时，2BP BO BA =⋅；○4PAB ∆面积的最小值为其中正确的是_______.（写出所有正确说法的序号）25. 如图，A B C ，，，为⊙O 上相邻的三个n 等分点，AB BC =，点E 在弧BC 上，EF 为⊙O 的直径，将⊙O 沿EF 折叠，使点A 与'A 重合，连接'EB ，EC ，'EA .设'EB b =，EC c =，'EA p =.先探究,,b c p 三者的数量关系：发现当3n =时， p b c =+.请继续探究,,b c p 三者的数量关系：当4n =时，p =_______；当12n =时，p =_______.（参考数据：sin15cos75==o o ，cos15sin 754==o o ） 二、解答题（本小题共三个小题，共30分.答案写在答题卡上）26.（本小题满分8分）某物体从P 点运动到Q 点所用时间为7秒，其运动速度v （米每秒）关于时间t （秒）的函数关系如图所示.某学习小组经过探究发现：该物体前进3秒运动的路程在数值上等于矩形AODB 的面积.由物理学知识还可知：该物体前n （37n <≤）秒运动的路程在数值上等于矩形AODB 的面积与梯形BDNM 的面积之和.根据以上信息，完成下列问题：（1）当37n <≤时，用含t 的式子表示v ； （2）分别求该物体在03t ≤≤和37n <≤时，运动的路程s （米）关于时间t （秒）的函数关系式；并求该物体从P 点运动到Q 总路程的710时所用的时间.27.（本小题满分10分）如图，⊙O 的半径25r =，四边形ABCD 内接圆⊙O ，AC BD ⊥于点H ，P 为CA 延长线上的一点，且PDA ABD ∠=∠.（1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由：（2）若3t a n 4A D B ∠=，PA AH =，求BD 的长； （3）在（2）的条件下，求四边形ABCD 的面积.28.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线212y x bx c =-++（,b c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的定点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限.（1）如图，若该抛物线过 A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q . i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M P Q 、、 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标；ii）取BC的中点N，连接,NP BQ.试探究PQNP BQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.二O 一三年高中阶段教育学校统一招生考试数学答案 A 卷1～5：BCADB 6～10： ABCAD11、 x >2 12、10 13、60° 14、100 15．（1）4； （2）⎩⎨⎧-==12y x 16. a17．（1）略 （2）π18．（1）4， 0.7 （2）树状图（或列表）略，P=61122= 19．（1）A(1，2) ，xy 2=（2）当0<x<1时，21y y <； 当x=1时，21y y =； 当x>1时，21y y >；20．（1）证△ABD ≌△CEB →AB=CE ；（2）如图，过Q 作QH ⊥BC 于点H ，则△AD P ∽△HPQ ，△BHQ ∽△BCE ， ∴QHAPPH AD =， EC QH BC BH =；设AP=x ，QH=y ，则有53yBH = ∴BH=53y ，PH=53y+5x - ∴yxx y=-+5533，即0)53)(5(=--x y x 又∵P 不与A 、B 重合，∴ ,5≠x 即05≠-x ， ∴053=-x y 即x y 53=∴53==y x PQ DP(3)3342 B 卷21．31- 22．117 23．3 24．③④ 25．c b ±2， c b 21322-+或c b --226 26． （1）42-=t v ；（2）S=⎩⎨⎧≤<-≤≤)73(42)30(22t t t t t ， 6秒 27．(1)如图，连接DO 并延长交圆于点E ，连接AE∵DE 是直径，∴∠DAE=90°，∴∠E +∠ADE=90°∵∠PDA =∠ADB =∠E∴∠PDA +∠ADE=90°即PD ⊥DO∴PD 与圆O 相切于点D(2) ∵tan ∠ADB=43∴可设AH=3k,则DH=4k∵PA AH =∴PA=k )334(-∴PH=k 34∴∠P=30°，∠PDH=60°∴∠BDE=30°连接BE ，则∠DBE=90°，DE=2r=50∴BD=D E ·cos30°=325(3)由（2）知，BH=325-4k ，∴HC=34(325-4k) 又∵PC PA PD ⨯=2 ∴)]4325(3434[)334()8(2k k k k -+⨯-= 解得k=334-∴AC=7324)4325(343+=-+k k ∴S=23175900)7324(3252121+=+⨯⨯=∙AC BD 28．（1）12212-+-=x x y （2）M 的坐标是（1-5，-5-2）、（1+5，5-2）、（4，-1）、（2，-3）、（-2，-7）（3）PQ NP BQ +的最大值是510。
2023年重庆市中考数学试卷(A卷)及其答案
2023年重庆市中考数学试卷（A卷）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）8的相反数是（）A．﹣8B．8C．D．2．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A．B．C．D．3．（4分）反比例函数y＝﹣的图象一定经过的点是（）A．（1，4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，2）D．（2，2）4．（4分）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：165．（4分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．50°D．55°6．（4分）估计（+）的值应在（）A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间7．（4分）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A．39B．44C．49D．548．（4分）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC 的长度是（）A．3B．C．D．69．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（）A．2αB．90°﹣2αC．45°﹣αD．90°﹣α10．（4分）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．（4分）计算：2﹣1+30＝．12．（4分）如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为．13．（4分）一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是．14．（4分）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE ⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为．16．（4分）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）17．（4分）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程+＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．18．（4分）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足﹣＝，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41﹣12＝29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53﹣32＝21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（8分）计算：（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）；（2）÷（x﹣）．20．（10分）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O．求证：OE ＝OF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝．∵EF垂直平分AC，∴．又∠EOC＝，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线．21．（10分）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80），下面给出了部分信息：A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．两款智能玩具飞机运行最长时间统计表类别A B平均数7070中位数71b众数a67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝，b＝，m＝；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？22．（10分）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？23．（10分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．24．（10分）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A﹣D﹣C﹣B；②A﹣E﹣B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73）（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD．（1）如图1，若AC＝9，BD＝，求线段AD的长；（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE；（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值．2023年重庆市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）8的相反数是（）A．﹣8B．8C．D．【解答】解：8的相反数是﹣8．故选：A．2．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形，故选：D．3．（4分）反比例函数y＝﹣的图象一定经过的点是（）A．（1，4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，2）D．（2，2）【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，∴k＝﹣4，A、∵1×4＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；B、∵﹣1×（﹣4）＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；C、∵﹣2×2＝﹣4，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意；D、∵2×2＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意．故选：C．4．（4分）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，∴这两个三角形对应边的比为1：4，故选：B．5．（4分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．50°D．55°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠1＝180°，∵∠1＝55°，∴∠BAC＝125°，∵AD⊥AC，∴∠CAD＝90°，∴∠2＝∠BAC﹣∠CAD＝35°，故选：A．6．（4分）估计（+）的值应在（）A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间【解答】解：原式＝4+2．∵2.52＝6.25，∴2＜＜2.5，∴4＜2＜5，∴8＜4+2＜9．故选：B．7．（4分）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A．39B．44C．49D．54【解答】解：由图可得，图案①有：4+5＝9根小木棒，图案②有：4+5×2＝14根小木棒，图案③有：4+5×3＝19根小木棒，…，∴第n个图案有：（4+5n）根小木棒，∴第⑧个图案有：4+5×8＝44根小木棒，故选：B．8．（4分）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC 的长度是（）A．3B．C．D．6【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的切线，∴OB⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝90°，∵∠A＝30°，AB＝2，∴OB＝AB＝2，∵BC＝3，∴OC＝＝＝，故选：C．9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（）A．2αB．90°﹣2αC．45°﹣αD．90°﹣α【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，如图所示：则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠GAE＝∠FAE＝45°，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴∠AEF＝∠AEG，∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°﹣α，∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α，∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α，故选：A．10．（4分）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现﹣x，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x的符号为负号，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y﹣z|﹣m ﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．（4分）计算：2﹣1+30＝．【解答】解：2﹣1+30＝+1＝，故答案为：．12．（4分）如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为36°．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠B＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠BAC＝∠BCA＝＝＝36°，故答案为：36°．13．（4分）一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是．【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，∴两次都摸到红球的概率是，故答案为：．14．（4分）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为1501（1+x）2＝1815．【解答】解：根据题意，得1501（1+x）2＝1815，故答案为：1501（1+x）2＝1815．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE ⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为3．【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠FAC＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AF＝BE，AE＝CF，∵BE＝4，CF＝1，∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，故答案为：3．16．（4分）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为π﹣12．（结果保留π）【解答】解：连接BD ，∵∠BAD ＝90°，∴BD 是⊙O 的直径，∵AB ＝4，AD ＝3，∴BD ＝＝＝5，∴S 阴影＝S ⊙O ﹣S 矩形ABCD ＝﹣3×4＝π﹣12．故答案为：π﹣12．17．（4分）若关于x 的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y 的分式方程+＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是4．【解答】解：解不等式组，得，∵至少有2个整数解，∴≤4，∴a ≤6，解分式方程+＝2，得y ＝，∵y 的值是非负整数，a ≤6，∴当a ＝5时，y ＝2，当a ＝3时，y ＝1，当a＝1时，y＝0，∵y＝2是分式方程的增根，∴a＝5（舍去），∴满足条件的a的值有3和1，∵3+1＝4，∴所有满足条件的整数a的值之和是4．故答案为：4．18．（4分）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足﹣＝，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41﹣12＝29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53﹣32＝21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为4312；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是8165．【解答】解：由题意可得10a+3﹣31＝12，解得a＝4，∴这个数为4312，由题意可得，10a+b﹣（10b+c）＝10c+d，整理，可得10a﹣9b﹣11c＝d，一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为：100a+10b+c+100b+10c+d＝100a+10b+c+100b+10c+10a﹣9b﹣11c＝110a+101b＝99（a+b）+11a+2b，又∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，∴是整数，且a≠b≠c≠d，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，0≤d≤9，a＝9时，原四位数可得最大值，此时b只能取0，不符合题意，舍去，当a＝8时，b＝1，此时71﹣11c＝d，c取9或8或7时，均不符合题意，当c取6时，d＝5，∴满足条件的数的最大值是8165，故答案为：4312；8165．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（8分）计算：（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）；（2）÷（x﹣）．【解答】解：（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）＝2a﹣a2+a2﹣1＝2a﹣1．（2）÷（x﹣）＝＝＝．20．（10分）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O．求证：OE ＝OF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线被平分．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF；过平行四边形对角线中点的直线被平分，故答案为：∠FAO；OA＝OC；∠FOA；被平分．21．（10分）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80），下面给出了部分信息：A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．两款智能玩具飞机运行最长时间统计表类别A B平均数7070中位数71b众数a67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝72，b＝70.5，m＝10；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？【解答】解：（1）A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间中，72出现的次数最多，故众数a＝72，把B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是70和71，故中位数b＝＝70.5，m%＝1﹣50%﹣40%＝10%，即m＝10．故答案为：72，70.5，10；（2）A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好；（答案不唯一）；（3）200×+120×（1﹣40%）＝120+72＝192（架），答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．22．（10分）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？【解答】解：（1）设购买炸酱面x份，牛肉面y份，根据题意得：，解得：．答：购买炸酱面80份，牛肉面90份；（2）设购买牛肉面m份，则购买炸酱面（1+50%）m份，根据题意得：﹣＝6，解得：m＝60，经检验，m＝60是所列方程的解，且符合题意．答：购买牛肉面60份．23．（10分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．【解答】解：（1）当点E、F分别在AB、AC上运动时，△AEF为边长等于t的等边三角形，∴点E，F的距离等于AE、AF的长，∴当0＜t≤4时，y关于t的函数表达式为y＝t，当点E、F都在BC上运动时，点E，F的距离等于4﹣2（t﹣4），∴当4＜t≤6时，y关于t的函数表达式为y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t，∴y关于t的函数表达式为；（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当t＝0时，y＝0；当t＝4时，y＝4；当t＝6时，y＝0，分别描出三个点（0，0），（4，4），（6，0），然后顺次连线，如图：该函数的其中一个性质：当0＜t≤4时，y随t的增大而增大．（答案不唯一，正确即可）（3）把y＝3分别代入y＝t和y＝12﹣2t中，得：3＝t，3＝12﹣2t，解得：t＝3或t＝4.5，∴点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5．24．（10分）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A﹣D﹣C﹣B；②A﹣E﹣B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73）（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？【解答】解：（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，由题意得：四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米，在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD＝＝＝10≈10×1.41≈14（千米）．∴AD的长度约为14米；（2）小明应该选择线路①，理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF，∴DF＝AF＝10千米，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣60°＝30°，AB＝DF+CD＝24千米，∴AE＝AB•tan30°＝24×＝8（千米），EB＝2AE＝16千米，按路线①A﹣D﹣C﹣B走的路程为AD+DC+CB＝17+14+10＝41（千米）按路线②A﹣E﹣B走的路程为AE+EB＝8+16≈241.73＝41.52（千米）∵41千米＜41.52千米，∴小明应该选择线路①．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）令y＝﹣x2+x+2＝0，解得：x＝4或﹣1，即点B（4，0），∵PE∥y轴，则∠PED＝∠OCB，则tan∠PED＝tan∠OCB＝2，则sin∠PED＝，cos∠PED＝，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+2，则PE＝﹣x2+x+2+x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2≤2，即PE的最大值为2，此时，点P（2，3），则△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED）＝（1++）PE＝，即△PDE周长的最大值为，点P（2，3）；（3）抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位，则平移后抛物线的对称轴为x＝，设点M（，m），点N（s，t），由点A、P的坐标得，AP2＝18，当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN得：，解得：，即点N的坐标为：（﹣，）；当AM或AN是对角线时，由中点坐标公式和AN＝AP或AM＝AP得：或，解得：（不合题意的值已舍去），即点N的坐标为：（，）；综上，点N的坐标为：（，﹣）或（，）或（﹣，）．26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD．（1）如图1，若AC＝9，BD＝，求线段AD的长；（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE；（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值．【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵∠B＝60°，AC＝9，∴BC＝＝3，AB＝2BC＝6∵BD＝，∴AD＝AB﹣BD＝5；（2）证明：取AB的中点O，连接OC，如图：在Rt△ABC中，点O为斜边AB的中点，∴OC＝OB，∵∠ABC＝60°，∴△BOC为等边三角形，∴CO＝CB，∠OCB＝∠BOC＝60°，∴∠DOC＝120°，∵△CDE为等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴∠DCE＝∠OCB＝60°，即∠OCD+∠OCE＝∠OCE+∠BCE，∴∠OCD＝∠BCE，在△OCD和△BCE中，，∴△OCD≌△BCE（SAS），∴∠EBC＝∠DOC＝120°，∴∠OCB+∠EBC＝180°，∴OC∥BE，在GF上截取HF＝BF，连接DH，∵点F是DE的中点，∴FE＝FD．在△BEF和△HDF中，，∴△BEF≌△HDF（SAS），∴BE＝HD，∠BEF＝∠HDF，∴DH∥BE，∴DH∥OC，∴∠HDG＝∠OCD，又∠G＝∠BCE，∴∠G＝∠HDG，∴HG＝HD，∴HG＝BE，∴GF＝HG+FH＝BE+BF；（3）解：取AB的中点S，连接PS，如图：在CD取得最小值时，CD⊥AB，设AB＝4a，则BC＝2a，AC＝2a，＝AC•BC＝AB•CD，∵2S△ABC∴CD＝＝a，BD＝BC＝a，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°，CD＝CE，∴∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB＝60°﹣30°＝30°＝∠DCB，∵BC＝BC，∴△BCD≌△BCE（SAS），∴BD＝BE＝a，∵将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM，∴BE＝BN＝a，∴N的运动轨迹是以B为圆心，a为半径的圆，∵点P为AN的中点，S为AB的中点，∴PS＝BN＝a，∴P的运动轨迹是以S为圆心，a为半径的圆，当CP最大时，C，P，S三点共线，过P作PT⊥AC于T，过N作NR⊥AC于R，如图：∵S是AB中点，∴BS＝AS＝CS＝AB＝2a，∵∠ABC＝60°，∴△BSC是等边三角形，∴∠PCB＝60°，BC＝CS＝2a，∴∠PCA＝30°，∵CP＝CS+PS＝2a+a＝a，∴PT＝CP＝a，CT＝PT＝a，∴AT＝AC﹣CT＝a，连接PQ交NR于W，如图：∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，∴PQ⊥BC，∵AC⊥BC，∴PQ∥AC，即PW∥AR，∵P为AN中点，∴PW是△ANR的中位线，∴NW＝RW＝NR，同理可得PT是△ANR的中位线，∴PT＝NR，∴PT＝NW＝RW＝a，PW＝AR＝AT＝a，∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，∴∠QCB＝∠PCB＝60°，CP＝CQ，∴∠QCP＝120°，∴PQ＝CP＝a，∴WQ＝PQ﹣PW＝a﹣a＝a，∴NQ＝＝＝a，∴＝＝．。
2023年重庆市中考数学试卷(A卷)及答案解析
2023年重庆市中考试卷（A卷）数学注意事项:1.本试卷共6页，满分为120分。
考试时间为120分钟。
2.答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置。
请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
3.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选涂其他各案。
4.答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米的黑色字迹签字笔描清楚。
要求字体工整，笔迹清晰。
严格按题号所示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效：在试卷、草稿纸上答题无效。
5.保持答题卡清洁、完整，严禁折叠、损坏。
严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）8的相反数是（）A．﹣8B．8C．D．2．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A．B．C．D．y4-=的图象一定经过的点是（）3．（4分）反比例函数xA．（1，4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，2）D．（2，2）4．（4分）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：166.（4分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．50°D．55°6．（4分）估计（+）的值应在（）A ．7和8之间B ．8和9之间C ．9和10之间D ．10和11之间7．（4分）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．547.（4分）如图，AC 是⊙O 的切线，B 为切点，连接OA ，OC ．若∠A ＝30°，AB ＝2，BC ＝3，则OC 的长度是（）A ．3B ．C ．D ．68.（4分）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，连接AE ，AF ，EF ，∠EAF ＝45°．若∠BAE ＝α，则∠FEC 一定等于（）A ．2αB ．90°﹣2αC ．45°﹣αD ．90°﹣α10．（4分）在多项式x ﹣y ﹣z ﹣m ﹣n （其中x ＞y ＞z ＞m ＞n ）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x ﹣y ﹣|z ﹣m |﹣n ＝x ﹣y ﹣z +m ﹣n ，|x ﹣y |﹣z ﹣|m ﹣n |＝x ﹣y ﹣z ﹣m +n ，…．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．（4分）计算：=+-0132．12．（4分）如图，正五边形ABCDE 中，连接AC ，那么∠BAC 的度数为．13．（4分）一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是．14．（4分）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为．16．（4分）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）17．（4分）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程+＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．18．（4分）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足﹣＝，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41﹣12＝29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53﹣32＝21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（8分）计算：（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）；（2）÷（x﹣）．20．（10分）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O．求证：OE＝OF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝．∵EF垂直平分AC，∴．又∠EOC＝，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线．21．（10分）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80），下面给出了部分信息：A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．两款智能玩具飞机运行最长时间统计表类别A B平均数7070中位数71b众数a67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝，b＝，m＝；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？22．（10分）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？23．（10分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．24．（10分）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A﹣D﹣C﹣B；②A﹣E﹣B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E 在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73）（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22++=bx ax y 过点（1，3），且交x 轴于点A （﹣1，0），B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求△PDE 周长的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中△PDE 周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB 方向平移个单位长度，点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．26．（10分）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．（1）如图1，若AC ＝9，BD ＝，求线段AD 的长；（2）如图2，以CD 为边在CD 上方作等边△CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若∠G ＝∠BCE ，求证：GF ＝BF +BE ；（3）在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边△CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将△BEM 沿BM 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将△BCP 沿BC 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BCQ ，请直接写出此时的值．2023年重庆市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）8的相反数是（）A．﹣8B．8C．D．【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．【解答】解：8的相反数是﹣8．故选：A．【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．2．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．3．（4分）反比例函数y＝﹣的图象一定经过的点是（）A．（1，4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，2）D．（2，2）【分析】根据k＝xy对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，∴k＝﹣4，A、∵1×4＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；B、∵﹣1×（﹣4）＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；C、∵﹣2×2＝﹣4，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意；D、∵2×2＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy为定值是解答此题的关键．4．（4分）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，∴这两个三角形对应边的比为1：4，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．5．（4分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．50°D．55°【分析】根据平行线的性质，可以求得∠BAC+∠1＝180°，然后根据∠1的度数和AD ⊥AC，即可得到∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠1＝180°，∵∠1＝55°，∴∠BAC＝125°，∵AD⊥AC，∴∠CAD＝90°，∴∠2＝∠BAC﹣∠CAD＝35°，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．（4分）估计（+）的值应在（）A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间【分析】化简题干中的式子得到4+2，计算出2＜＜2.5．利用不等式的性质，得出式子的值所在的范围．【解答】解：原式＝4+2．∵2.52＝6.25，∴2＜＜2.5，∴4＜2＜5，∴8＜4+2＜9．故选：B．【点评】本题以计算选择为背景考查了无理数的估算，考核了学生对无理数范围确定及不等式的性质的掌握，解题关键是化简式子并确定无理数的范围利用不等式的性质解决问题．解题时应注意合理缩小无理数的范围得到最准确的答案．7．（4分）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A．39B．44C．49D．54【分析】根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，图案①有：4+5＝9根小木棒，图案②有：4+5×2＝14根小木棒，图案③有：4+5×3＝19根小木棒，…，∴第n个图案有：（4+5n）根小木棒，∴第⑧个图案有：4+5×8＝44根小木棒，故选：B．【点评】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9.（4分）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是（）A．3B．C．D．6【分析】根据切线的性质得到OB⊥AC，求得∠ABO＝∠CBO＝90°，得到OB＝AB ＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的切线，∴OB⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝90°，∵∠A＝30°，AB＝2，∴OB＝AB＝2，∵BC＝3，∴OC＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．10.（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（）A．2αB．90°﹣2αC．45°﹣αD．90°﹣α【分析】根据正方形的性质可得AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF 绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，易证△GAE≌△FAE（SAS），根据全等三角形的性质可得∠AEF＝∠AEG，进一步根据∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB求解即可．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，如图所示：则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠GAE＝∠FAE＝45°，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴∠AEF＝∠AEG，∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°﹣α，∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α，∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．10．（4分）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．【解答】解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现﹣x，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x的符号为负号，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y ﹣z|﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y ﹣z﹣m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m ﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C．【点评】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．（4分）计算：2﹣1+30＝．【分析】根据负整数指数幂和零指数幂计算即可．【解答】解：2﹣1+30＝+1＝，故答案为：．【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键．11.（4分）如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为36°．【分析】利用多边形内角和公式及正多边形性质易得∠B的度数，AB＝BC，再根据等边对等角，利用三角形内角和定理即可求得答案．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠B＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠BAC＝∠BCA＝＝＝36°，故答案为：36°．【点评】本题主要考查多边形内角和及正多边形性质，利用其求得∠B的度数是解题的关键．13．（4分）一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，∴两次都摸到红球的概率是，故答案为：．【点评】此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．（4分）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为1501（1+x）2＝1815．【分析】根据今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，列一元二次方程即可．【解答】解：根据题意，得1501（1+x）2＝1815，故答案为：1501（1+x）2＝1815．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为3．【分析】先证明△ABE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，进一步可得EF的长．【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠FAC＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AF＝BE，AE＝CF，∵BE＝4，CF＝1，∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．17．（4分）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为π﹣12．（结果保留π）【分析】连接BD，根据圆周角定理证得BD是⊙O的直径，利用勾股定理求得直径，然后利用圆的面积减去矩形的面积即可求得阴影部分的面积．【解答】解：连接BD，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝＝＝5，∴S＝S⊙O﹣S矩形ABCD＝﹣3×4＝π﹣12．阴影故答案为：π﹣12．【点评】本题考查了圆的面积和矩形的面积，解题的关键是明确阴影部分的面积是圆的面积减去矩形的面积，属于中考常考题型．17．（4分）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程+＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是4．【分析】先解不等式组，根据至少有2个整数解求出a的取值范围，再解分式方程，根据解是非负整数，可求出满足条件的a的值，进一步求解即可．【解答】解：解不等式组，得，∵至少有2个整数解，∴≤4，∴a≤6，解分式方程+＝2，得y＝，∵y的值是非负整数，a≤6，∴当a＝5时，y＝2，当a＝3时，y＝1，当a＝1时，y＝0，∵y＝2是分式方程的增根，∴a＝5（舍去），∴满足条件的a的值有3和1，∵3+1＝4，∴所有满足条件的整数a的值之和是4．故答案为：4．【点评】本题考查了分式方程与一元一次不等式组的综合，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的解法是解题的关键．18．（4分）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足﹣＝，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41﹣12＝29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53﹣32＝21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为4312；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是8165．【分析】根据递减数的概念列方程求a的值，根据递减数的概念先求得10a﹣9b﹣11c＝d，然后根据题意列出两个三位数字之和，结合能被9整除的数的特征分析满足条件的最大值．【解答】解：由题意可得10a+3﹣31＝12，解得a＝4，∴这个数为4312，由题意可得，10a+b﹣（10b+c）＝10c+d，整理，可得10a﹣9b﹣11c＝d，一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为：100a+10b+c+100b+10c+d＝100a+10b+c+100b+10c+10a﹣9b﹣11c＝110a+101b＝99（a+b）+11a+2b，又∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，∴是整数，且a≠b≠c≠d，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，0≤d≤9，a＝9时，原四位数可得最大值，此时b只能取0，不符合题意，舍去，当a＝8时，b＝1，此时71﹣11c＝d，c取9或8或7时，均不符合题意，当c取6时，d＝5，∴满足条件的数的最大值是8165，故答案为：4312；8165．【点评】本题考查新定义运算，理解新定义概念，正确推理计算是解题关键．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（8分）计算：（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）；（2）÷（x﹣）．【分析】（1）先由单项式乘以多项式，平方差公式进行化简，然后合并同类项即可；（2）先将括号内的进行合并，除法变成乘法，再约分化简即可．【解答】解：（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）＝2a﹣a2+a2﹣1＝2a﹣1．（2）÷（x﹣）＝＝＝．【点评】此题主要是考查了分式的混合运算，整式的混合运算，能够熟练运用平方差公式，完全平方公式是解答此题的关键．20．（10分）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O．求证：OE＝OF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线被平分．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF；过平行四边形对角线中点的直线被平分，故答案为：∠FAO；OA＝OC；∠FOA；被平分．【点评】此题考查命题与定理，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．21．（10分）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80），下面给出了部分信息：A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．两款智能玩具飞机运行最长时间统计表类别A B平均数7070中位数71b众数a67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝72，b＝70.5，m＝10；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？【分析】（1）根据众数的定义可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，用“1”减去其他两组所占百分百可得m的值；（2）可比较中位数，众数与方差得出结论；（3）利用样本估计总体可求解．【解答】解：（1）A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间中，72出现的次数最多，故众数a＝72，把B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是70和71，故中位数b＝＝70.5，m%＝1﹣50%﹣40%＝10%，即m＝10．故答案为：70，70.5，10；（2）A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好；（答案不唯一）；（3）200×+120×（1﹣40%）＝120+72＝192（架），答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．【点评】本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，方差以及用样本估计总体，解题关键是从统计图表中获取有用信息是解题的关键．22．（10分）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次。
2023年重庆市中考数学真题(A卷)(原卷版和解析版)
重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠）的顶点坐标为2424,b ac b a a ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，对称轴为2bx a =-一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.8的相反数是（）A.8- B.8C.18D.18-2.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A.B.C.D.3.反比例函数4y x=-的图象一定经过的点是（）A.()14， B.()14--， C.()22-，D.()22，4.若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是（）A.1:2B.1:4C.1:8D.1:165.如图，,⊥∥AB CD AD AC ，若155∠=︒，则2∠的度数为（）A.35︒B.45︒C.50︒D.55︒6.估计2810+的值应在（）A.7和8之间B.8和9之间C.9和10之间D.10和11之间7.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A.39B.44C.49D.548.如图，AC 是O 的切线，B 为切点，连接OA OC ，．若30A ∠=︒，23AB =3BC =，则OC 的长度是（）A.3B.23C.13 D.69.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，连接AE ，AF ，EF ，45EAF ∠=︒．若BAE α∠=，则FEC ∠一定等于（）A.2αB.902α︒-C.45α︒-D.90α︒-10.在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x y z m n x y z m n ----=--+-，x y z m n x y z m n ----=---+，……．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11.计算1023-+=_____.12.如图，在正五边形ABCDE 中，连接AC ，则∠BAC 的度数为_____．13.一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是___________．14.某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为___________．15.如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若4BE =，1CF =，则EF 的长度为___________．16.如图，O 是矩形ABCD 的外接圆，若4,3AB AD ==，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）17.若关于x 的一元一次不等式组+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程14222a y y -+=--有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是___________．18.如果一个四位自然数abcd 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab bc cd -=，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵411229-=，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53322124-=≠，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a312，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19.计算：（1）()()()211a a a a -++-；（2）22.211x x x x x x ⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭20.学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC 的垂直平分线交DC 于点E ，交AB 于点F ，垂足为点O ．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，EF 垂直平分AC ，垂足为点O ．求证：OE OF =．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=①．∵EF 垂直平分AC ，∴②．又EOC ∠=___________③．∴()COE AOF ASA ∆≅∆．∴OE OF =．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线④．21.为了解A 、B 两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A 、B 两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x 表示，共分为三组：合格6070x ≤<，中等7080x ≤<，优等80x ≥），下面给出了部分信息：A 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60,64,67,69,71,71,72,72,72,82B 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70,71,72,72,73两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B 款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图类别AB平均数7070中位数71b众数a67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中=a ___________，b =___________，m =___________；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A 款智能玩具飞机200架、B 款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？22.某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？23.如图，ABC 是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点E 沿折线A B C →→方向运动，点F 沿折线A C B →→方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．（1）请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．24.为了满足市民的需求，我市在一条小河AB 两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①A D C B ---；②A E B --．经勘测，点B 在点A 的正东方，点C 在点B 的正北方10千米处，点D 在点C 的正西方14千米处，点D 在点A 的北偏东45︒方向，点E 在点A 的正南方，点E 在点B 的南偏西60︒方向．（参考数据：2 1.41,3 1.73)≈≈（1）求AD 的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++过点()1,3，且交x 轴于点()1,0A -，B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PDE △周长的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中PDE △周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB 方向平移5个单位长度，点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．26.在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．（1）如图1，若9AC =，BD =，求线段AD 的长．（2）如图2，以CD 为边在CD 上方作等边CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若G BCE ∠=∠，求证：GF BF BE =+．（3）在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将BEM 沿BM 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将BCP 沿BC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BCQ ，请直接写出此时NQCP的值．重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠）的顶点坐标为2424,b ac b a a ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，对称轴为2bx a =-一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.8的相反数是（）A.8- B.8C.18D.18-【答案】A 【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：8的相反数是8-，故选A ．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】从正面看第一层是2个小正方形，第二层右边1个小正方形，故选：D ．【点睛】考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．3.反比例函数4y x=-的图象一定经过的点是（）A.()14， B.()14--， C.()22-，D.()22，【答案】C 【解析】【分析】根据题意将各项的坐标代入反比例函数4y x=-即可解答．【详解】解：A 、将1x =代入反比例函数4y x=-得到14y =-≠，故A 项不符合题意；B 、项将1x =-代入反比例函数4y x =-得到44y =≠-，故B 项不符合题意；C 、项将=−2代入反比例函数4y x =-得到22y ==，故C 项符合题意；D 、项将2x =代入反比例函数4y x=-得到22y =-≠，故D 项不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数图象上则其坐标一定满足函数解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．4.若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是（）A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16【答案】B 【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为1:4，∴相似三角形的对应边比为1:4，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键．5.如图，,⊥∥AB CD AD AC ，若155∠=︒，则2∠的度数为（）A.35︒B.45︒C.50︒D.55︒【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得CAB ∠的度数，根据垂直的定义可得90CAD ∠=︒，然后根据2CAB CAD Ð=Ð-Ð即可得出答案．【详解】解：∵AB CD ∥，155∠=︒，∴18055125CAB Ð=°-°=°，∵AD AC ⊥，∴90CAD ∠=︒，∴21259035CAB CAD Ð=Ð-Ð=°-°=°，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键．6.估计2810+的值应在（）A.7和8之间B.8和9之间C .9和10之间 D.10和11之间【答案】B【解析】【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．28101620=45=+∵25 2.5<<，∴455<<，∴8459<+<，故选：B ．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．7.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A.39B.44C.49D.54【答案】B【解析】【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，第⑧个图案用的木棍根数是45844+⨯=根，故选：B ．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．8.如图，AC 是O 的切线，B 为切点，连接OA OC ，．若30A ∠=︒，AB =3BC =，则OC 的长度是（）A.3B.C.D.6【答案】C【解析】【分析】根据切线的性质及正切的定义得到2OB =，再根据勾股定理得到OC =【详解】解：连接OB ，∵AC 是O 的切线，B 为切点，∴OB AC ⊥，∵30A ∠=︒，AB =，∴在Rt OAB 中，3tan 23OB AB A =⋅∠==，∵3BC =，∴在Rt OBC 中，OC ==，故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．9.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，连接AE ，AF ，EF ，45EAF ∠=︒．若BAE α∠=，则FEC ∠一定等于（）A.2αB.902α︒-C.45α︒-D.90α︒-【答案】A【解析】【分析】利用三角形逆时针旋转90︒后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．【详解】将ADF 绕点A 逆时针旋转90︒至ABH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90B D BAD C ∠=∠=∠=∠=︒，由旋转性质可知：DAF BAH ∠=∠，90D ABH ∠=∠=︒，AF AH =，∴180AHB ABC ∠+∠=︒，∴点H B C ，，三点共线，∵BAE α∠=，45EAF ∠=︒，90BAD HAF ∠=∠=︒，∴45DAF BAH α∠=∠=︒-，45EAF EAH ∠=∠=︒，∵90AHB BAH ∠+∠=︒，∴45AHB α∠=︒+，在AEF 和AEH 中AF AH FAE HAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AFE AHE SAS ≌，∴45AHE AFE α∠=∠=︒+，∴45AHE AFD AFE α∠=∠=∠=︒+，∴902DFE AFD AFE α∠=∠+∠=︒+，∵90DFE FEC C FEC ∠=∠+∠=∠+︒，∴2FEC α∠=，故选：A ．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度．10.在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x y z m n x y z m n ----=--+-，x y z m n x y z m n ----=---+，……．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据“绝对操作”的定义及绝对值的性质对每一项判断即可解答．【详解】解：∵x y z m n >>>>，∴x y z m n x y z m n ----=----，∴存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等，故①正确；根据绝对操作的定义可知：在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中，经过绝对操作后，z n m 、、的符号都有可能改变，但是x y 、的符合不会改变，∴不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②正确；∵在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中，经过“绝对操作”可能产生的结果如下：∴x y z m n x y z m n ----=----，x y z m n x y z m n ----=-+--，x y z m n x y z m n x y z m n ----=----=--+-，x y z m n x y z m n x y z m n ----=----=---+，x y z m n x y z m n ----=-+-+，共有5种不同运算结果，故③错误；故选C ．【点睛】本题考查了新定义“绝对操作”，绝对值的性质，整式的加减运算，掌握绝对值的性质是解题的关键．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11.计算1023-+=_____.【答案】1.5【解析】【分析】先根据负整数指数幂及零指数幂化简，再根据有理数的加法计算.【详解】1023-+=11=1.52+.故答案为1.5.【点睛】本题考查了负整数指数幂及零指数幂的意义，任何不等于0的数的负整数次幂，等于这个数的正整数次幂的倒数，非零数的零次幂等于1.12.如图，在正五边形ABCDE 中，连接AC ，则∠BAC 的度数为_____．【答案】36°【解析】【分析】首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和，再求得每个内角的度数，利用等腰三角形的性质可得∠BAC 的度数．【详解】正五边形内角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°∴5401085B ︒︒∠==，∴180B 1801083622BAC ︒︒︒︒-∠-∠===.故答案为36°．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式：（n-2）×180°是解答此题的关键．13.一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是___________．【答案】19【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：根据题意列表如下：红球白球蓝球红球（红球，红球）（白球，红球）（蓝球，红球）白球（红球，白球）（白球，白球）（蓝球，白球）蓝球（红球，蓝球）（白球，蓝球）（蓝球，蓝球）由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，所以两次摸到球的颜色相同的概率为19，故答案为：19．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为___________．【答案】()2150111815x +=【解析】【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意得，()2150111815x +=，故答案为：()2150111815x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．15.如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若4BE =，1CF =，则EF 的长度为___________．【答案】3【解析】【分析】证明AFC BEA ≌△△，得到,BE AF CF AE ==，即可得解．【详解】解：∵90BAC ∠=︒，∴90EAB EAC ∠+∠=︒，∵BE AD ⊥，CF AD ⊥，∴90AEB AFC ∠=∠=︒，∴90ACF EAC ∠+∠=︒，∴ACF BAE ∠=∠，在AFC △和BEA △中：AEB CFA ACF BAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS AFC BEA ≌△△，∴4,1AF BE AE CF ====，∴413EF AF AE =-=-=，故答案为：3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．16.如图，O 是矩形ABCD 的外接圆，若4,3AB AD ==，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）【答案】25124π-【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到5BD =，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．【详解】解：连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD 是O 的直径，∵4,3AB AD ==，∴5BD ==，∴O 的半径为52，∴O 的面积为254π，矩形的面积为3412⨯=，∴阴影部分的面积为25124π-；故答案为25124π-；【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．17.若关于x 的一元一次不等式组+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程14222a y y -+=--有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是___________．【答案】4【解析】【分析】先解不等式组，确定a 的取值范围6a ≤，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得12a y -=，由分式方程有正整数解，确定出a 的值，相加即可得到答案．【详解】解：+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩①②解不等式①得：5x ≤，解不等式②得：1+2a x ≥，∴不等式的解集为1+52a x ≤≤，∵不等式组至少有2个整数解，∴1+42a ≤，解得：6a ≤；∵关于y 的分式方程14222a y y -+=--有非负整数解，∴()1422a y ---=解得：12a y -=，即102a -≥且122a -≠，解得：1a ≥且5a ≠∴a 的取值范围是16a ≤≤，且5a ≠∴a 可以取：1，3，∴134+=，故答案为：4．【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．18.如果一个四位自然数abcd 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab bc cd -=，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵411229-=，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53322124-=≠，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a312，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．【答案】①.4312②.8165【解析】【分析】根据递减数的定义进行求解即可．【详解】解：∵a312是递减数，∴1033112a +-=，∴4a =，∴这个数为4312；故答案为：4312∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，∴101010a b b c c d +--=+，∵1001010010abc bcd a b c b c d +=+++++，∴110010110100110001abc bcd a b c b b a b a b c +=++++++--=，∵()11010199112a b a b a b +=+++，能被9整除，∴112a b +能被9整除，∵各数位上的数字互不相等且均不为0，∴12345678,,,,,,,87654321a a a a a a a a b b b b b b b b ========⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨========⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩，∵最大的递减数，∴8,1a b ==，∴1089110c c d ⨯-⨯-=+，即：1171c d +=，∴c 最大取6，此时5d =，∴这个最大的递减数为8165．故答案为：8165．【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19.计算：（1）()()()211a a a a -++-；（2）22.211x x x x x x ⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭【答案】（1）21a -（2）11x +【解析】【分析】（1）先计算单项式乘多项式，平方差公式，再合并同类项即可；（2）先通分计算括号内，再利用分式的除法法则进行计算．【小问1详解】解：原式2221a a a =-+-21a =-；【小问2详解】原式()222.11x x x x x x ⎛⎫+-=÷ ⎪++⎝⎭()22211x x x x =÷++()22211x x x x +=⋅+11x =+．【点睛】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．20.学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC 的垂直平分线交DC 于点E ，交AB 于点F ，垂足为点O ．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，EF 垂直平分AC ，垂足为点O ．求证：OE OF =．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=①．∵EF 垂直平分AC ，∴②．又EOC ∠=___________③．∴()COE AOF ASA ∆≅∆．∴OE OF =．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线④．【答案】作图：见解析；FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【解析】【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．【详解】解：如图，即为所求；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=FAO ∠．∵EF 垂直平分AC ，∴AO CO =．又EOC ∠=FOA ∠．∴()COE AOF ASA ≅ ．∴OE OF =．故答案为：FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．21.为了解A 、B 两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A 、B 两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x 表示，共分为三组：合格6070x ≤<，中等7080x ≤<，优等80x ≥），下面给出了部分信息：A 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60,64,67,69,71,71,72,72,72,82B 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70,71,72,72,73两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B 款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图类别A B平均数7070中位数71b众数a67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：a___________，b=___________，m=___________；（1）上述图表中=（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？【答案】（1）72，70.5，10；（2）B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；（3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．【解析】【分析】（1）由A款数据可得A款的众数，即可求出a，由B款扇形数据可求得合格数及优秀数，从而求得中位数及优秀等次的百分比；（2）根据方差越小越稳定即可判断；（3）用样本数据估计总体，分别求出两款飞机中等及以上的架次相加即可．【小问1详解】解：由题意可知10架A款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中，只有72出现了三次，且次数最多，则该a=；组数据的众数为72，即72由B款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知，合格的百分比为40%，⨯=（架）则B款智能玩具飞机运行时间合格的架次为：1040%4则B 款智能玩具飞机运行时间优等的架次为：10451--=（架）则B 款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为：70,71，故B 款智能玩具飞机运行时间的中位数为：707170.52+=B 款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为：1100%10%10⨯=即10m =故答案为：72，70.5，10；【小问2详解】B 款智能玩具飞机运行性能更好；因为B 款智能玩具飞机运行时间的方差比A 款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；【小问3详解】200架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：620012010⨯=（架）200架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：61207210⨯=（架）则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：12072192+=架，答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数、众数、百分比，用方差做决策，用样本估计总体；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．22.某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？【答案】（1）购买杂酱面80份，购买牛肉面90份（2）购买牛肉面90份【解析】【分析】（1）设购买杂酱面x 份，则购买牛肉面()170x -份，由题意知，()152********x x +⨯-=，解。
2023年重庆南岸中考数学真题及答案(A卷)
2023年重庆南岸中考数学真题及答案(A 卷)（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠）的顶点坐标为2424,b ac b a a ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，对称轴为2b x a =-一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.8的相反数是（）A.8- B.8C.18D.18-【答案】A 【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：8的相反数是8-，故选A．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】从正面看第一层是2个小正方形，第二层右边1个小正方形，故选：D．【点睛】考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．3.反比例函数4y x=-的图象一定经过的点是（）A.()14， B.()14--， C.()22-，D.()22，【答案】C 【解析】【分析】根据题意将各项的坐标代入反比例函数4y x=-即可解答．【详解】解：A 、将1x =代入反比例函数4y x=-得到14y =-≠，故A 项不符合题意；B 、项将1x =-代入反比例函数4y x=-得到44y =≠-，故B 项不符合题意；C 、项将代入反比例函数4y x=-得到22y ==，故C 项符合题意；D 、项将2x =代入反比例函数4y x=-得到22y =-≠，故D 项不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数图象上则其坐标一定满足函数解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．4.若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是（）A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16【答案】B 【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为1:4，∴相似三角形的对应边比为1:4，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键．5.如图，,⊥∥AB CD AD AC ，若155∠=︒，则2∠的度数为（）A.35︒B.45︒C.50︒D.55︒【答案】A 【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得CAB ∠的度数，根据垂直的定义可得90CAD ∠=︒，然后根据2CAB CAD Ð=Ð-Ð即可得出答案．【详解】解：∵AB CD ∥，155∠=︒，∴18055125CAB Ð=°-°=°，∵AD AC ⊥，∴90CAD ∠=︒，∴21259035CAB CAD Ð=Ð-Ð=°-°=°，故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键．6.估计2810的值应在（）A.7和8之间B.8和9之间C .9和10之间D.10和11之间【答案】B 【解析】【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．28101620=45=+∵25 2.5<<，∴455<<，∴8459<+<，故选：B．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．7.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A.39B.44C.49D.54【答案】B 【解析】【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，第⑧个图案用的木棍根数是45844+⨯=根，故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．8.如图，AC 是O 的切线，B 为切点，连接OA OC ，．若30A ∠=︒，AB =3BC =，则OC 的长度是（）A.3B.C.D.6【答案】C 【解析】【分析】根据切线的性质及正切的定义得到2OB =，再根据勾股定理得到OC =【详解】解：连接OB ，∵AC 是O 的切线，B 为切点，∴OB AC ⊥，∵30A ∠=︒，AB =，∴在Rt OAB 中，tan 23OB AB A =⋅∠==，∵3BC =，∴在Rt OBC 中，OC ==，故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．9.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，连接AE ，AF ，EF ，45EAF ∠=︒．若BAE α∠=，则FEC ∠一定等于（）A.2αB.902α︒-C.45α︒- D.90α︒-【答案】A 【解析】【分析】利用三角形逆时针旋转90︒后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．【详解】将ADF 绕点A 逆时针旋转90︒至ABH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90B D BAD C ∠=∠=∠=∠=︒，由旋转性质可知：DAF BAH ∠=∠，90D ABH ∠=∠=︒，AF AH =，∴180AHB ABC ∠+∠=︒，∴点H B C ，，三点共线，∵BAE α∠=，45EAF ∠=︒，90BAD HAF ∠=∠=︒，∴45DAF BAH α∠=∠=︒-，45EAF EAH ∠=∠=︒，∵90AHB BAH ∠+∠=︒，∴45AHB α∠=︒+，在AEF 和AEH 中AF AH FAE HAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AFE AHE SAS ≌，∴45AHE AFE α∠=∠=︒+，∴45AHE AFD AFE α∠=∠=∠=︒+，∴902DFE AFD AFE α∠=∠+∠=︒+，∵90DFE FEC C FEC ∠=∠+∠=∠+︒，∴2FEC α∠=，故选：A ．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度．10.在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x y z m n x y z m n----=--+-，x y z m n x y z m n ----=---+，……．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据“绝对操作”的定义及绝对值的性质对每一项判断即可解答．【详解】解：∵x y z m n >>>>，∴x y z m n x y z m n ----=----，∴存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等，故①正确；根据绝对操作的定义可知：在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中，经过绝对操作后，z n m 、、的符号都有可能改变，但是x y 、的符合不会改变，∴不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②正确；∵在多项式x y z m n ----（其中x y z m n >>>>）中，经过“绝对操作”可能产生的结果如下：∴x y z m n x y z m n ----=----，x y z m n x y z m n ----=-+--，x y z m n x y z m n x y z m n ----=----=--+-，x y z m n x y z m n x y z m n ----=----=---+，x y z m n x y z m n ----=-+-+，共有5种不同运算结果，故③错误；故选C．【点睛】本题考查了新定义“绝对操作”，绝对值的性质，整式的加减运算，掌握绝对值的性质是解题的关键．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11.计算1023-+=_____.【答案】1.5【解析】【分析】先根据负整数指数幂及零指数幂化简，再根据有理数的加法计算.【详解】1023-+=11=1.52+.故答案为1.5.【点睛】本题考查了负整数指数幂及零指数幂的意义，任何不等于0的数的负整数次幂，等于这个数的正整数次幂的倒数，非零数的零次幂等于1.12.如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠BAC的度数为_____．【答案】36°【解析】【分析】首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和，再求得每个内角的度数，利用等腰三角形的性质可得∠BAC的度数．【详解】正五边形内角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°∴5401085B︒︒∠==，∴180B1801083622BAC︒︒︒︒-∠-∠===.故答案为36°．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式：（n-2）×180°是解答此题的关键．13.一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是___________．【答案】1 9【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：根据题意列表如下：红球白球蓝球红球（红球，红球）（白球，红球）（蓝球，红球）白球（红球，白球）（白球，白球）（蓝球，白球）蓝球（红球，蓝球）（白球，蓝球）（蓝球，蓝球）由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，所以两次摸到球的颜色相同的概率为1 9，故答案为：19．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为___________．【答案】()2150111815x +=【解析】【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意得，()2150111815x +=，故答案为：()2150111815x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．15.如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若4BE =，1CF =，则EF 的长度为___________．【答案】3【解析】【分析】证明AFC BEA ≌△△，得到,BE AF CF AE ==，即可得解．【详解】解：∵90BAC ∠=︒，∴90EAB EAC ∠+∠=︒，∵BE AD ⊥，CF AD ⊥，∴90AEB AFC ∠=∠=︒，∴90ACF EAC ∠+∠=︒，∴ACF BAE ∠=∠，在AFC △和BEA △中：AEB CFA ACF BAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS AFC BEA ≌△△，∴4,1AF BE AE CF ====，∴413EF AF AE =-=-=，故答案为：3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．16.如图，O 是矩形ABCD 的外接圆，若4,3AB AD ==，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）【答案】25124π-【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到5BD =，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．【详解】解：连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD 是O 的直径，∵4,3AB AD ==，∴5BD ==，∴O 的半径为52，∴O 的面积为254π，矩形的面积为3412⨯=，∴阴影部分的面积为25124π-；故答案为25124π-；【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．17.若关于x 的一元一次不等式组+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是___________．【答案】4【解析】【分析】先解不等式组，确定a 的取值范围6a ≤，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得12a y -=，由分式方程有正整数解，确定出a 的值，相加即可得到答案．【详解】解：+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩①②解不等式①得：5x ≤，解不等式②得：1+2a x ≥，∴不等式的解集为1+52a x ≤≤，∵不等式组至少有2个整数解，∴1+42a ≤，解得：6a ≤；∵关于y 的分式方程14222a y y -+=--有非负整数解，∴()1422a y ---=解得：12a y -=，即102a -≥且122a -≠，解得：1a ≥且5a ≠∴a 的取值范围是16a ≤≤，且5a ≠∴a 可以取：1，3，∴134+=，故答案为：4．【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．18.如果一个四位自然数abcd 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab bc cd -=，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵411229-=，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53322124-=≠，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a312，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．【答案】①.4312②.8165【解析】【分析】根据递减数的定义进行求解即可．【详解】解：∵a312是递减数，∴1033112a +-=，∴4a =，∴这个数为4312；故答案为：4312∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，∴101010a b b c c d +--=+，∵1001010010abc bcd a b c b c d +=+++++，∴110010110100110001abc bcd a b c b b a b a b c +=++++++--=，∵()11010199112a b a b a b +=+++，能被9整除，∴112a b +能被9整除，∵各数位上的数字互不相等且均不为0，∴12345678,,,,,,,87654321a a a a a a a a b b b b b b b b ========⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨========⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩，∵最大的递减数，∴8,1a b ==，∴1089110c c d ⨯-⨯-=+，即：1171c d +=，∴c 最大取6，此时5d =，∴这个最大的递减数为8165．故答案为：8165．【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19.计算：（1）()()()211a a a a -++-；（2）22.211x x x x x x ⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭【答案】（1）21a -（2）11x +【解析】【分析】（1）先计算单项式乘多项式，平方差公式，再合并同类项即可；（2）先通分计算括号内，再利用分式的除法法则进行计算．【小问1详解】解：原式2221a a a =-+-21a =-；【小问2详解】原式()222.11x x x x x x ⎛⎫+-=÷ ⎪++⎝⎭()22211x x x x =÷++()22211x x x x +=⋅+11x =+．【点睛】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．20.学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC 的垂直平分线交DC 于点E ，交AB 于点F ，垂足为点O ．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，EF 垂直平分AC ，垂足为点O ．求证：OE OF =．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=①．∵EF 垂直平分AC ，∴②．又EOC ∠=___________③．∴()COE AOF ASA ∆≅∆．∴OE OF =．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线④．【答案】作图：见解析；FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【解析】【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．【详解】解：如图，即为所求；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=FAO ∠．∵EF 垂直平分AC ，∴AO CO =．又EOC ∠=FOA ∠．∴()COE AOF ASA ≅ ．∴OE OF =．故答案为：FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．21.为了解A 、B 两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A 、B 两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x 表示，共分为三组：合格6070x ≤<，中等7080x ≤<，优等80x ≥），下面给出了部分信息：A 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60,64,67,69,71,71,72,72,72,82B 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70,71,72,72,73两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B 款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图类别A B平均数7070中位数71b 众数a 67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中=a___________，b=___________，m=___________；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？【答案】（1）72，70.5，10；（2）B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；（3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．【解析】【分析】（1）由A款数据可得A款的众数，即可求出a，由B款扇形数据可求得合格数及优秀数，从而求得中位数及优秀等次的百分比；（2）根据方差越小越稳定即可判断；（3）用样本数据估计总体，分别求出两款飞机中等及以上的架次相加即可．【小问1详解】解：由题意可知10架A款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中，只有72出现了三次，且次数最多，则该组数据的众数为72，即72a=；由B款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知，合格的百分比为40%，则B款智能玩具飞机运行时间合格的架次为：1040%4⨯=（架）则B款智能玩具飞机运行时间优等的架次为：10451--=（架）则B款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为：70,71，故B款智能玩具飞机运行时间的中位数为：707170.5 2+=B款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为：1100%10% 10⨯=即10m=故答案为：72，70.5，10；【小问2详解】B 款智能玩具飞机运行性能更好；因为B 款智能玩具飞机运行时间的方差比A 款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；【小问3详解】200架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：620012010⨯=（架）200架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：61207210⨯=（架）则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：12072192+=架，答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数、众数、百分比，用方差做决策，用样本估计总体；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．22.某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？【答案】（1）购买杂酱面80份，购买牛肉面90份（2）购买牛肉面90份【解析】【分析】（1）设购买杂酱面x 份，则购买牛肉面()170x -份，由题意知，()152********x x +⨯-=，解方程可得x 的值，然后代入170x -，计算求解，进而可得结果；（2）设购买牛肉面a 份，则购买杂酱面1.5a 份，由题意知，1260120061.5a a+=，计算求出满足要求的解即可．【小问1详解】解：设购买杂酱面x 份，则购买牛肉面()170x -份，由题意知，()152********x x +⨯-=，解得，80x =，∴17090x -=，∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；【小问2详解】解：设购买牛肉面a 份，则购买杂酱面1.5a 份，由题意知，1260120061.5a a+=，解得90a =，经检验，90a =是分式方程的解，∴购买牛肉面90份．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．23.如图，ABC 是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点E 沿折线A B C →→方向运动，点F 沿折线A C B →→方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．（1）请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．【答案】（1）当04t <≤时，y t =；当46t <≤时，122y t =-；（2）图象见解析，当04t <≤时，y 随x 的增大而增大（3）t 的值为3或4.5【解析】【分析】（1）分两种情况：当04t <≤时，根据等边三角形的性质解答；当46t <≤时，利用周长减去2AE 即可；（2）在直角坐标系中描点连线即可；（3）利用3y =分别求解即可．【小问1详解】解：当04t <≤时，连接EF ，由题意得AE AF =，60A ∠=︒，∴AEF △是等边三角形，∴y t =；当46t <≤时，122y t =-；【小问2详解】函数图象如图：当04t <≤时，y 随x 的增大而增大；【小问3详解】当04t <≤时，3y =即3t =；当46t <≤时，3y =即1223t -=，解得 4.5t =，故t 的值为3或4.5．【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键．24.为了满足市民的需求，我市在一条小河AB 两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①A D C B ---；②A E B --．经勘测，点B 在点A 的正东方，点C 在点B 的正北方10千米处，点D 在点C 的正西方14千米处，点D 在点A 的北偏东45︒方向，点E 在点A 的正南方，点E 在点B 的南偏西60︒方向．（参考数据：2 1.41,3 1.73)≈≈（1）求AD 的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？【答案】（1）AD 的长度约为14千米（2）小明应该选择路线①，理由见解析【解析】【分析】（1）过点D 作DF AB ⊥于点F ，根据题意可得四边形BCDF 是矩形，进而得出10DF BC ==，然后解直角三角形即可；（2）分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可．【小问1详解】解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，由题意可得：四边形BCDF 是矩形，∴10DF BC ==千米，∵点D 在点A 的北偏东45︒方向，∴45DAF DAN Ð=Ð=°，∴10214sin 45DF AD ==»°千米，答：AD 的长度约为14千米；【小问2详解】由题意可得：10BC =，14CD =，∴路线①的路程为：102141024238AD DC BC ++=+=+（千米），∵10DF BC ==，45DAF DAN Ð=Ð=°，90DFA ∠=︒，∴DAF △为等腰直角三角形，∴10AF DF ==，∴101424AB AF BF AF DC =+=+=+=，由题意可得60EBS Ð=°，∴60E ∠=︒，∴tan 60AB AE ==°，sin 60AB BE ==°，所以路线②的路程为：42AE BE +==»千米，∴路线①的路程<路线②的路程，故小明应该选择路线①．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义，掌握特殊角三角函数值是解本题的关键．25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++过点()1,3，且交x 轴于点()1,0A -，B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PDE △周长的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中PDE △周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB 位长度，点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．【答案】（1）213222y x x =-++（2）PDE △周长的最大值65105+，此时点()2,3P（3）以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时59,22N ⎛⎫-⎪⎝⎭或137,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或137,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）把()1,3、()1,0A -代入22y ax bx =++计算即可；（2）延长PE 交x 轴于F ，可得DEP BCO ∠=∠，进而得到DPE OBC ，DPE PE OBC BC=周长周长 ，求出PE 的最大值即可；（3）先求出平移后的解析式，再设出M ，N 的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可．【小问1详解】把()1,3、()1,0A -代入22y ax bx =++得，3202a b a b =++⎧⎨=-+⎩，解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为213222y x x =-++；【小问2详解】延长PE 交x 轴于F，∵过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，∴DEP BCO ∠=∠，90PDE COB ∠=∠=︒，∴DPE OBC ，∴DPE PE OBC BC=周长周长 ，∴PE DPE OBC BC =⋅周长周长 ，∴当PE 最大时PDE △周长的最大∵抛物线的表达式为213222y x x =-++，∴()4,0B ，∴直线BC 解析式为122y x =-+，BC ==设213,222P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴()222131112222222222PE m m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当2m =时2PE =最大，此时()2,3P∵BOC 周长为6OC OB BC ++=+，∴PDE △(651065++=，此时()2,3P ，即PDE △周长的最大值65105，此时点()2,3P ；【小问3详解】∵将该抛物线沿射线CB 方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，∴平移后的解析式为()()221317222142222y x x x x =--+-+-=-+-，此抛物线对称轴为直线72x =，∴设7,2M n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),N s t ∵()2,3P ，()1,0A -∴218PA =，()()22227923324PM n n ⎛⎫=-+-=+- ⎪⎝⎭，()22227811024AM n n ⎛⎫=++-=+ ⎪⎝⎭，当PA 为对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形∴PA 与MN 互相平分，且PM AM=∴()22981344n n +-=+，解得32n =-∵PA 中点坐标为2130,22-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，MN 中点坐标为72,22s n t ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴7123s n t ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得5292s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当PA 为边长且AM 和PN 是对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形∴AM 与PN 互相平分，且PMPA =∴()293184n +-=，解得32n =±∵PN 中点坐标为23,22s t ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，AM 中点坐标为7102,22n ⎛⎫- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴721230s t n ⎧+=-⎪⎨⎪+=+⎩，解得12372s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，此时137,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或137,22N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；同理，当PA 为边长且AN 和PM 是对角线时，此时以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形∴AN 和PM 互相平分，且AM PA =281184n +=，此方程无解；综上所述，以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时59,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或137,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．26.在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．（1）如图1，若9AC =，BD =，求线段AD 的长．（2）如图2，以CD 为边在CD 上方作等边CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若G BCE ∠=∠，求证：GF BF BE =+．（3）在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将BEM 沿BM 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将BCP 沿BC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BCQ ，请直接写出此时NQ CP 的值．【答案】（1）（2）见解析（3）435【解析】【分析】（1）解Rt ABC ，求得AB ，根据AD AB BD =-即可求解；（2）延长FB 使得FH FG =，连接EH ，可得()SAS GFD HFE ≌，根据60DEC DBC ==︒∠∠，得出,,,B C D E 四点共圆，则EDB BCE ∠=∠，BEC BDC ∠=∠，得出6060BEH BEC BDC EDB ∠=︒-∠=︒-∠=∠，结合已知条件得出H BEH ∠=∠，可得EB BH =，即可得证；（3）在CD 取得最小值的条件下，即CD AB ⊥，设4AB a =，则2BC a =，AC =，根据题意得出点N 在以B 为圆心，a 为半径的圆上运动，取AB 的中点S ，连接SP ，则SP是ABN 的中位线，P 在半径为12a 的S 上运动，当CP 取最大值时，即,,P S C 三点共线时，此时如图，过点P 作PT AC ⊥于点T ，过点N 作NR AC ⊥于点R ，连接PQ ，交NR 于点U ，则四边形PURT 是矩形，得出PD 是ANR 的中位线，同理可得PT 是ANR 的中位线，BCS △是等边三角形，将BCP 沿BC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BCQ ，则2120QCP BCP ∠=∠=︒，在Rt NUQ 中，勾股定理求得NQ ，进而即可求解．【小问1详解】解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，∴sin 32AC AB B ===，∵BD =，∴AD AB BD =-=；【小问2详解】证明：如图所示，延长FB 使得FH FG =，连接EH，∵F 是DE 的中点则DF FE =，FH FG =，GFD HFE ∠=∠，∴()SAS GFD HFE ≌，∴H G ∠=∠，∴EH GC ∥，∴60HEC ECD ∠=∠=︒∵DEC 是等边三角形，∴60DEC EDC ∠=∠=︒，∵60DEC DBC ==︒∠∠，∴,,,B C D E 四点共圆，∴EDB BCE ∠=∠，BEC BDC ∠=∠，∴6060BEH BEC BDC EDB ∠=︒-∠=︒-∠=∠，∵G BCE BDE H ∠=∠=∠=∠，∴H BEH ∠=∠，∴EB BH =，∴FH FG BF BH BF EB ==+=+；【小问3详解】解：如图所示，。
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一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内．1.在3，0，6，－2这四个数中，最大的数是（ ）A ．0B ．6C ．－2D ．3 2.计算()232y x 的结果是（ ）A ．4x 6y 2B ．8x 6y 2C ．4x 5y 2D ．8x 5y 2 3已知∠A =65°，则∠A 的补角等于（ ）A ．125°B ．105°C ．115°D ．95° 4.分式方程0121=--xx 的根是（ ） A ．x =1 B ．x =－1 C ．x =2 D ．x =－2 5.如图，AB ∥CD ，AD 平分∠BAC ，若∠BAD =70°，那么∠ACD 的度数为（ ）A ．40°B ．35°C ．50°D ．45° 6.计算6tan 45°－2cos 60°的结果是（ ）A ．43B ．4C ．53D ．57.某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（ ） A ．甲的成绩比乙的成绩稳定 B ．乙的成绩比甲的成绩稳定 C ．甲乙两人成绩的稳定性相同 D ．无法确定谁的成绩更稳定8.如图，P 是⊙O 外一点，PA 是⊙O 的切线，PO =26cm ，PA =24cm ，则⊙O 的周长为（ ）A ．18πcmB ．16πcmC ．20πcmD ．24πcm9.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接CE 并延长与BA 的延长线交于点F ，若AE =2ED ，CD =3cm ，则AF 的长为（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm10.下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为2cm 2，第（2）个图形的面积为8cm 2，第（3）个图形的面积为18cm 2……，则（10）第个图形的面积为（ ）A ．196 cm 2B ．200 cm 2C ．216 cm 2D ．256 cm 211.万州某运输公司的一艘轮船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地。
假设轮船在静水中的速度不变，长江的水流速度不变，该轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，停留一段时间（卸货、装货、加燃料等）又顺水航行返回万州，若该轮船从万州出发后所用的时间为x （小时），轮船距万州的距离为y （千米），则下列各图中，能反映y 与x 之间函数关系的大致图像是（）12.一次函数y =ax +b (a ≠0)、二次函数y =ax 2+bx 和反比例函数)0(≠=k xky 在同一直角坐标系中的图像如图所示，A 点的坐标为（－2，0），则下列结论中，正确的是（ ） A ．b =2a +k B ．a =b +k C ．a >b >0 D ．a >k >0二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡（卷）中对应的横线上。
13.实数6的相反数是。
14.不等式2x－3≥x的解集是。
15.某老师为了了解学生周末利用网络进行学习的时间，在所任教班级随机调查了10名学生，其统计数据如下表：则这10名学生周末利用网络进行学习的平均时间是小时。
16.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留 ）。
17.从3，0，－1，－2，－3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=(5－m2)x和关于x 的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值，恰好使所得函数的图像经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为________。
18.如图，菱形OABC的顶点O是坐标圆点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点B、C均在第一象限，OA=2,∠AOC=60°，点D在边AB上，将四边形ODBC沿直线OD翻折，使点B 和C分别落在这个坐标平面内的点B′和点C′处，且∠C′DB′=60°.若某反比例函数的图像经过点B′，则这个反比例函数的解析式为________。
三、解答题（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．19. 计算：()()220133121932-⎪⎭⎫⎝⎛-+------20.作图题：（不要求写作法）如图，△ABC 在平面直角坐标系中，其中，点A 、B 、C 的坐标分别为A (－2，1)，B (－4,5)，C (－5，2)。
（1）作△ABC 关于直线l ：x =－1对称的△A 1B 1C 1，其中，点A 、B 、C 的对应点分别为点A 1、B 1、C 1；（2）写出点A 1、B 1、C 1的坐标。
四、解答题 （本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．21.化简求值：ab a b a b ab a b ab a 12252962222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷-+-，其中a ，b 满足{42=+=-b a b a 。
22.减负提质“1+5”行动计划是我市教育改革的一项重要举措。
某中学“阅读与演讲社团”为了了解本校学生的每周课外阅读时间，采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查结果分为“2小时内”、“2小时—3小时”、“3小时—4小时”、“4小时以上”四个等级，分别用A 、B 、C 、D 表示，根据调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中所给出的信息解答下列问题：（1） 求出x 的值，并将不完整的条形统计图补充完整；（2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人每周课外阅读时间都是4小时以上，现从中任选2人参加学校的知识抢答赛，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自同不同小组的概率。
23.随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元。
在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲乙两队分工合作完成这项工程。
在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲乙两队的施工时间按月取整数）．24. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。
（1）求证：OE=OF（2）若BC=23，求AB的长。
五、解答题：（本大题2个小题，每小题各12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．25.如图，对称轴为直线x=－1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A、B两点，其中点A的坐标为(－3,0).(1)求点B的坐标；(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点。
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。
26.已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD。
以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°,∠AED=90°.（1）求△AED的周长；（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止移动。
设移动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC饶点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B1,E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q,是否存在这样的，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由。
（2）AAAt=6重庆市2013年初中毕业暨高中招生考试数学试题答案选择题1－12 BACDADBCBBCD12、（－2，0）代入y =ax +b 得b =2a 代入y =ax 2+bx 求得对称轴x =－1，比较x =－1时反比例函数顶点纵坐标的值和反比例函数的值可得正确答案D 填空题13－18 －6 x ≥3 2.5 10－π52x y 33-=22、统计：（1）30=x （2）概率32=A 设A 和B 是一个小组每周课外阅读时间都是4小时以上，C 、D 是另一小组每周课外阅读时间都是4小时以上23.解：（1）设乙队单独完成这项工程需x 个月，则甲队需（x +5）个月，根据题意得：()()()不合题意，舍去，3100307565212-===--++=+x x x x x x x x∴x +5=15(个月)答：甲、乙两队单独完成这项工程各需15个月和10个月。
（2）设甲队施工时间y 个月，乙队施工时间为2y个月。
∴y ×100+（100+50）2y≤1500 ∴175y ≤1500760≤∴y ∵施工时间为整数∴y 的最大整数值=8答：甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元。
24、（1）AAS 证明 三角形全等 （2）6 AB25、(1)B 的坐标为（1,0）()()()），或（，，又，，则令）（设54)214(4443212331213)30(3032,3213222-∴±=∴=∴=⨯⨯==⨯⨯=∴=∴-∴-==-+-+=-+=∆∆∆∆P x x S S x S S OC C y x x x x P x x x x y BOCPOC POC BOC（3）设直线AC 为：y =kx +b (k ≠0),将A （－3，0）、C (0，－3)代入得：{331303--=∴-=-=∴-==+-x y b k b b k ，设Q （x ，－x －3），D （x ，x 2+2x －3）∴QD =－x －3－ x 2－2x +3=49232+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x∴当x =4923=-最大时，QD 26、（1）周长=339+（2）)230(232≤<=t t S )2923(2332632≤<-+-=t t t S )629(34232063132<<-+-=t t t S（3）︒︒︒=1657530或、αA。