小学奥数--燕尾模型练习答案

第五讲 燕尾模型
【例1】（难度等级 ※）
如图，M 为AB 中点，N 是BC 上一点，CN=2BN ．连结AN 交MC 于O 点，若四边形BMON 的面积为14cm 2，则△ABC 的面积是_________cm 2。

【分析与解】 答案：60 cm 2
解析：联结OB 。

设△BMO 的面积为a ，因为M 为AB 中点，即AM:MB=1:1，所以
== AMO BMO S
S a ，根据燕尾定理可知
1
2
=
=ABO ACO
S
BN S
NC ，易得=4ACO
S a ，根据燕尾定理
可知
1=
=ACO BCO
S AM
S
MB
，易得4=B C O S a ，因为BN:NC=1:2，所以4
3
=
N B O S a ，可得247
1433
=+=
+==NBO BMO
BMON S S S
a a a cm ，计算得到26=a cm ，所以210= = 60ABC
S
a cm 。

【例2】（难度等级 ※※）
如图，正方形ABCD 的面积是180平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边
形BGHF 的面积是_____平方厘米。

【分析与解】 答案：21 平方厘米
B
E
解析：联结BH 。

因为E 为AB 中点，根据沙漏模型可知1
2
==BG BE GD CD ，设△BHF 的面积为a ，因为F 为BC 中点，即BF:FC=1:1，所以== HF
BH C F
S
S
a ，根据燕尾定理可知
1
2
=
=CDH
BCH S BG S
GD ，
易得4=CDH S a ，
根据燕尾定理可知1=
=BDH CDH
S
BF
S
FC
，
易得4=BDH
S a ，
根据一半模型可得2
20==180ABCD S a cm ，计算得到29=a cm ，因为BG:GD=1:2，所以
4
3
=
BGH
S
a ，可得247
2133
=+=+==BHF
BGH
BGHF S S S
a a a cm 。

【例3】（难度等级 ※※）
两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别
是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？
【分析与解】 答案：18
解析：联结AO 。

设△ADO 的面积为x ，::7:71:1===BC CEO
O
BO OE S
S
，可得
== +3A A BO
EO
S
S
x ，根据燕尾定理可知:::==BCO
BDO
ACO
ADO
S
S
AD DB S S
，即
(37):7:3++=x x
，计算可得7.5=x ，所以= +(+3)=7.5+7.5+3=18阴S x x 。

【例4】（难度等级 ※※）
在平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是CD 边上的三等分点，BD 与AE 交于点G ，BD 与AF 交于点H ，求图中阴影部分面积与空白部分面积的比。

B
【分析与解】 答案：S 阴：S 空=1:2
解析：O 是AC ，BD 的交点，设△DFH 的面积为a ，设△BEG 的面积为b ，如图标份。

在△ABC 中，空白是阴影的两倍；在△ACD 中，空白是阴影的两倍；综合看，S 阴：S
空
=1:2
【例5】（难度等级 ※※※）
三角形ABC 的面积为24平方厘米，D 为BC 中点，E 为AC 中点，F 为AB 中点，求阴影部分的面积？
【分析与解】 答案：5平方厘米
解析：令BE 与CF 的交点为G ，BE 与DF 的交点为H ，联结AG ，CH 。

在∆ABC 中，因为D 、E 、F 为中点，根据燕尾定理可知
1=
=BC AB G
G S
AE
S
EC
，
1=
=BC AC G
G S AF
S FB
，所以1===3
BCG AC A B G
BG A C S
S S
S ,又因为11==22
A AF CG G
BG
A S
S S ，所以
12
==
AFG ACG
S
FG GC S
，在∆BCF 中，设△BFH 的面积为a ，根据燕尾定理可知1
2
=
=BFH BCH
S FG S
GC ，
易得2=BCH
S a ，
因为D 为BC 中点，所以== BDH CDH S
S a ，根据燕尾定理可知
1=
=CF BF H
H S BD
S
DC
，易得== CFH BFH S S a
，又因为FG:GC=1:2，所以
2
3=
CGH
S
a ，可得211
424122
2==
=⨯=BCF
ABC
S
a S cm ，计算可得3
a =2
cm ，
则
225
+533
阴==+==CGH
CDH
S S
S
a a a cm 。

C
B
【例6】（难度等级 ※※※）
【第十五届中环杯五年级初赛】如图，正方形ABCD 和正方形EFGH ，它们的四对边相互平行。

联结CG 并延长交BD 于点I 。

已知BD=10，3=BCF
S ，5=CDH
S
，则BI 的长度为？
【分析与解】 答案：
15
4
解析：联结BG 、DG ，FG ∥BC ，根据等积变形可知3==BCG
BCF
S S
，同理，GH ∥
CD ，5==CDG
CDH
S
S
，在∆BCD 中，根据燕尾定理可知
3
5
==
BCG CDG
S BI ID S
，则3315103584
=
=⨯=+BI BD 。

【例7】（难度等级 ※※※※）
如图所示，已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，S 甲：S 乙=1：8。

a 、b 是两个正方形的边长，求:=a b ?
【分析与解】 答案：:1:2=a b
解析：连接EO 、AF ，作OM 垂直AE ，ON 垂直EF ，在∆AEF 中，根据燕尾定理可知
=
=AOE AOF
S EH a
S
HF b
，AOF EOF
S AD a S
DE b ==，
所以2
2=AOE EOF
S
a S
b
，又因为∆AOE 和∆EOF 的底相等，即AE=EF=+a b ，所以两者的
高之比等于面积之比，即22
::=OM ON a b ，所以33::1:8==AOD FOH
S
S
a b ，那么
:1:2=a b 。

a b
E
H
D
M
B
A
【例8】（难度等级 ※※※※）
如图在三角形ABC 中，AD:DB=1:1,BE:EC=1:2,CF:FA=1:3,已知三角形ABC 面积为1： （1） 求三角形ABH 、BCI 、ACG 面积；
（2） 求三角形GHI 与三角形ABC 的面积比。

【分析与解】 答案：(1)
3
10=
ABH
S
，
15
=BCI
S ，25
=
ACG
S ； (2)
:1:10=ABC
GHI
S S
解析：(1)联结CH 。

在∆ABC 中，设△BCH 的面积为a ，根据燕尾定理可知
13=
=ABH
BCH S CF S
FA ，1
2
=
=ACH
ABH S
BE S
EC ，易得3=ABH
S
a ，6=ACH
S
a ，所以101==ABC
S a ，计
算可得1
10
=
a ，则13331010
==⨯
=ABH
S a 。

联结AI 。

在∆ABC 中，设△BCI 的面积为b ，根据燕尾定理可知
1
3=
=ABI
BCI S CF S
FA ，
1=
=BC AC I
I S AD
S DB
，易得3=ABI
S
b ，=ACI S
b ，所以51==ABC
S
b ，计算可得
1
5
=b ，则15
==BCI
S
b 。

联结BG 。

在∆ABC 中，设△ABG 的面积为c ，根据燕尾定
理可知
1
2==ACG
ABG S
BE S EC ，1==BC AC G
G S AD
S
DB
，易得2=ACG
S
c ，=2BCG
S c ，所以51==ABC
S
c ，计算可得
1
5
=c ，则12
2255==⨯=ACG
S
c 。

(2) 31211105510
=---=-
--=ABC
ABH
BCI
I
AC GH G
S S S S
S
, 所以1
::11:1010
=
=A G BC
HI S S。

B
B
1
2
B。