§11-1 瞬时功率和平均功率要点

当单口网络呈现纯电阻时，功率因数角为零以及功 率因数cos=1，功率利用程度最高。当单口网络等效为一
个电阻与电感或电容连接时，即单口呈现电感性或电容性
时，功率因数角=090以及功率因数cos<1，以致于 P<UI。为了提高电能的利用效率，电力部门采用各种措施 力求提高功率因数。
例11-1 图(a)表示电压源向一个电感性负载供电的电路模 型，试用并联电容的方法来提高负载的功率因数。
图(a)电路的功率因数=cos=0.6，功率的利用效率很低。
图(b)电路并联电容后，功率因数提高到=cos=1。
图11-5
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郁 金 香
3. 由 RLC 元件构成的单口网络，其相量模型等效为一 个电阻与电抗的串联或一个电导与电纳的并联。当等效电 阻和等效电导为正时，其电压电流的相位差在-90到+90
之间变化，功率因数cos在0到1之间变化。
此时瞬时功率p(t)随时间作周期性变化，所吸收的平均 功率为
P UI cos I 2 Re(Z ) U 2 Re( Y)
(11 6)
式中的Re(Z)是单口网络等效阻抗的电阻分量，它消耗 的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。
与此相似，式中的Re(Y)是单口网络等效导纳的电导分
量，它消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。
当单口网络中包含有独立电源和受控源时，计算平均 功率的式(11－3)仍然适用，但此时的电压与电流的相位差
其波形如下图所示。
图11-3 电阻的瞬时功率和平均功率
瞬时功率p(t)在任何时刻均大于或等于零，电阻始终吸 收功率和消耗能量。此时平均功率的表达式为
2 U P UI I 2 R R
(11 4)
p(t ) UI cos UI cos(2t 2 u ) (11- 2)
其瞬时功率为
p( t ) u( t )i ( t ) U m cos( t u ) I m cos( t i ) 1 U m I m [cos( u i ) cos(2t u i )] 2 UI cos UI cos(2t 2 u ) (11 2)
从式(11－3)可见，在单口网络电压电流有效值的乘积 UI一定的情况下，单口网络吸收的平均功率P与cos的大 小密切相关，cos表示功率的利用程度，称为功率因数，
记为，它与P和UI的关系为
P cos UI
(11 7)
功率因数cos 之值与单口网络电压与电流间的相位差 密切相关，故称=u-i为功率因数角。
p(t ) u(t )i(t )
(11 1)
在单口网络工作于正弦稳态的情况下。端口电压和电
流是相同频率的正弦电压和电流，即
u( t ) U m cos( t u ) 2U cos( t u ) i ( t ) I m cos( t i ) 2 I cos( t i )
2 cos x cos y cos( x y ) cos( x y )
p(t ) UI cos UI cos(2t 2 u )
其中=u-i是电压与电流的相位差,瞬时功率的波形 如图所示
图11-2正弦稳态单口网络的瞬时功率和平均功率
周期性变化的瞬时功率在一个周期内的平均值，称为 平均功率，用P表示，其定义是
图11-5
解：图(a)电路中的电流为
U 10 0 I S I 2 53 . 1 A 1 Z 3 j4
其相量图如图(d)所示。单口网络吸收的平均功率为
P UI cos φ 10 2 cos(53.1 ) 12W

此时的功率因数=cos=0.6，功率的利用效率很低。
图11-5
为了提高功率因数，可以在ab两端上并联一个电容， 如图(b)所示。为分析方便，先将电阻与电感串联等效变换 为电阻和电感的并联，如图(c)所示，其电导和电纳值由下 式确定
1 3 j4 Y G jB 2 (0.12 j0.16)S 2 3 j4 3 4
从此式可见，并联的电容的导纳为YC=jC=+j0.16S时， 单口网络呈现为纯电阻，可以使功率因数提高到1，即效率 达到100％。
可能在+90到+270之间变化，功率因数cos在0到-1之间
变化，导致平均功率为负值，这意味着单口网络向外提供
能量。
值得注意的是在用UIcos计算单口网络吸收的平均功 率时，一定要采用电压电流的关联参考方向，否则会影响 相位差的数值，从而影响到功率因数cos以及平均功率 的正负。
二、功率因数
第十一章 正弦稳态的功率
三相电路
本章先讨论正弦稳态单口网络的瞬时功率、
平均功率和功率因数。再讨论正弦稳态单口网络
向可变负载传输最大功率的问题以及非正弦稳态
平均功率的计算。最后介绍三相电路的基本概念。
§11－1 瞬时功率和平均功率
一、瞬时功率和平均功率
图示单口网络，在端口电压和电流采用关联参考方向 的条件下，它吸收的功率为
1 T P p( t )dt T 0 1 T [UI cos UI cos(2t u i )]dt T 0 UI cos (11 3)
由此式看出正弦稳态的平均功率不仅与电压电流有效 值乘积UI有关，还与电压电流的相位差=u-i有关，式 中的因子cos称为功率因数。平均功率是一个重要的概念， 得到广泛使用，我们通常说某个家用电器消耗多少瓦的功 率，就是指它的平均功率，简称为功率。
图11-5
并联电容后，图(b)和(c)电路端口的电流变为
I I (I I ) I (GU Y U I 1 C G L C S L S ) YCU S (1.2 j1.6) j1.6 1.20 A
其相量图如图(e)所示，由此可见，并联电容后，不会 影响电阻中的电流和吸收的平均功率P=12W。而端口电流 由2A减小到1.2A，提高了电源的利用效率。可以将节省下 来的电流，提供给其它用户使用。
下面我们讨论单口网络的几种特殊情况。 1. 单口网络是一个电阻，或其等效阻抗为一个电阻。 此时单口网络电压与电流相位相同，即=u-i=0, cos=1，式(11－2)变为
p(t ) UI cos UI cos(2t 2 u )
p(t ) UI UI cos(2 t 2 u )
其波形如图(a)和(b)所示。其特点是在一段时间吸收功 率获得能量；另外一段时间释放出它所获得的全部能量。
图11-4 电感和电容的瞬时功率和平均功率
此时平均功率的表达式(11-3)变为
P UI cos(90 ) 0

(11 5)
这说明在正弦稳态电路中，任何电感或电容吸收的平 均功率为零。
2. 单口网络是一个电感或电容，或等效为一个电抗。 此时单口网络电压与电流相位为正交关系，即 =u-
i=90, cos=0源自文库式(11－2)变为
pL ( t ) UI cos(2t 2 u 90 ) UI sin ( 2t 2 u ) pC ( t ) UI cos(2t 2 u 90 ) UI sin ( 2t 2 u 180 )